对称式和轮换对称式及答案

对称式和轮换对称式
一•填空题(共10小题)
1.已知，a, b, c是厶ABC的边，且，，，则此三角形的面积是：—_ •
r r . 2 2 2 2
2.已知实数a、b、c,且0.若实数X i、X2、y i、y满足x i +ax2 =b, X2y i- x i y2=a, X i y i+ax2y2=c，贝U y i+ay2 的值为_______________ .
3.已知正数a, b, c, d, e, f 满足=4, =9, =16,=;=,=，则(a+c+e)-( b+d+f)的值为_^_______^_.
2 2 2
4.已知bc- a =5, ca - b =- 1, ac- c = - 7,贝U 6a+7b+8c= _____________ .
5.X1、X2、y1、y2满足xj+X22=2, x2y1 -xy2=1, X1y1+X2y2=3.贝U y12+y22= ______________ .
6.设a=, b=, c=，且x+y+zz0,贝U = _______________ .
7.已知，，其中a, b, c为常数，使得凡满足第一式的 ____ m n, P, Q也满足第二式，则a+b+c= .
&设2 ( 3x- 2) +3=y, 2 (3y - 2) +3=z, 2 (3z - 2) +3=u 且2 (3u - 2) +3=x，贝U x= ______________ .
9.若数组(x, y, z)满足下列三个方程：、、，则xyz= __________________ .
10
.
设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，贝y xyz= .
二
选择题（共2小题）
11 .
已知，，则的值是（) A. B. C. D.
12
. 如杲a, b, c均为正数，且a(b+c) =152, b (c+a) =162, c (a+b) =170,那么abc 的值是( )
A. 672
B. 688
C. 720
D. 750
三解答题（共1小题）
13.已知b>0,且a+b=c+1, b+c=d+2, c+d=a+3，求a+b+c+d 的最大值.
(-1)
答案与评分标准 一•填空题(共10小题)
1. _______________________________________________________ 已知，a , b , c 是厶ABC 的边，且，，，
则此三角形的面积是： _____________________________________________ • 考点：对称式和轮换对称式。

分析：首先将将三式全部取倒数，然后再将所得三式相加，即可得：
++=+++，再整理，配方即可得:
2 2 2
+ (-1) + (- 1) =0,则可得此三角形是边长为
1的等边三角形，则可求得此三角形的面积.
解答：解：T a=, b=, c=, •••全部取倒数得：=+, =+, =+, 将三式相加得：++=+++,
两边同乘以2,并移项得：-+ - + - +3=0,
2 2 2
配方得：(-1) + (- 1) + (- 1) =0,
.•.- 1=0,-仁0,-仁0, 解得：a=b=c=1,
• △ ABC 是等边三角形， • △ ABC 的面积=x 1X =. 故答案为：•
点评：此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了配方法与等边三角形的性质•此题难度较大，解题的 关键是将三式取倒数，再利用配方法求解，得到此三角形是边长为
1的等边三角形.
2. 已知实数 a 、b 、c ，且 0.若实数 X 1、X 2、y 1、y 满足
X 1 +ax 2 =b , X 2y 1 - X 1y 2=a , X 1y 1+ax 2y 2=c , 的值为 ____ .
考点：对称式和轮换对称式。

分析：Tx 12
+ax 22
=b ①，X 2y 1 - X 1y 2=a ②，X 1y 1+ax 2y 2=c @.首先将第②、③组合成一个方程组，变形把 表示出
来，在讲将 X 1、X 2的值代入①，通过化简就可以求出结论.
2 2
解答： 解：Tx 1+ax 2 =b ①，X 2y 1 - xy 2=a ②，X 1y 1+ax 2y 2=c ③. 由②，得 ④ ，
把④代入③，得 ⑤
把⑤代入③，得 ⑥
把⑤、⑥代入①，得
+=b
/ 3 2、 / 2
2、 . / 2
2、 2
• (a +c ) (y 1+ay 2) =b (y 1+ay 2)
. 2 2 .・y 1
+ay 2 =.
故答案为：
点评：本题是一道代数式的转化问题，考查了对称式和轮换对称式在代数式求值过程中的运用.
3.已知正数 a , b , c , d , e , f 满足=4, =9, =16,=;=,=，则(a+c+e )-( b+d+f )的值为 _________________ :
考点：对称式和轮换对称式。

分析：根据题意将六个式子相乘可得(
abcdef ) 4
=1，又a , b , c , d , e , f 为正数，即abcdef=1 ,
给式子即可求出a , b , c , d , e , f 的值，继而求出答案.
4
解答：解：根据题意将六个式子相乘可得( abcdef ) =1,且a , b , c , d , e , f 为正数， • abcdef=1 ,
2 2
贝 U y 1
X 1、X 2
再根据所
•bcdef=,
T =4,
•bcdef=4a,
(-1)
••• 4a=, --a=.
同理可求出：b=, c=, d=2, e=3, f=4 .
•原式=++3__ 2-4,
故答案为：-.
点评：本题是一道分式的化简求值试题，考查了分式的轮换对称的特征来解答本题，有一定难度，根据所给条件求出
a，b，c，d，e，f的值是关键.
2 2 2
4.已知be—a =5, ca - b=—1, ac - c=—7,贝U 6a+7b+8c= 44 或-44 .
考点：对称式和轮换对称式。

2 2 2 2 2
分析：令bc—a =5…①，ca —b = —1…②，ac —c =—7…③，用①式减②式得bc —a —ca+b =c( b—a) + (b+a) (b —a) = (a+b+c) (b —a) =6,②式减③式得ca —b —ab+c =a ( c—b) + (c+b) (c —b) = (a+b+c) (c—b)
=6,于是求出b和a、c之间的关系，进一步讨论求出a、b和c的值，6a+7b+8c的值即可求出.
2 2 2
解答：解：令bc —a =5…①，ca —b =—1…②，ac —c =—7…③，
①式减②式得bc —a —ca+b =c (b —a) + ( b+a) (b —a) = (a+b+c) (b—a) =6,
2 2
②式减③式得ca —b —ab+c =a (c —b) + ( c+b) (c —b) = (a+b+c) (c—b) =6,
所以b —a=c—b,即b=,代入②得ca —=—1,
4ac —( a+c) =—4, (a—c) =4, a —c=2 或a —c=4,
2
当a —c=2 时，a=c+2, b==c+1，代入③式得(c+2) (c+1)—c =—7, 3c+2= —7, c= —3,
所以a=— 1, b=— 2,此时6a+7b+8c=6X(— 1) +7X(— 2) +8X(— 3) =— 44,
2
当a —c= —2 时，a=c—2, b==c—1，代入③式得(c —2) (c —1)—c = —7 —3c+2= —7, c=3,
所以a=1, b=2 此时6a+7b+8c=6X 1+7X 2+8X 3=44,
所以6a+7b+8c= —44 或6a+7b+8c=44 ,
故答案为44或-44.
点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是求出b=,此题难度不大.
5.X1、X2、y1、y2满足X12+X22=2, X2y1 —X1y2=1, X1y1+X2y2=3.贝V y12+y22= 5 .
考点：对称式和轮换对称式。

分析：根据题意令X1=sin 0, X2=cos 0，又知X2y1—X t y2=1, X1y t+X2y2=3,列出方程组解出y1和y2,然后求出
y12+y22的值.
解答：解：令X1=sin 0, X2=cos 0,
又知X2y1 —X1y2=1, X1y1+X2y2=3,
故，
解得：y1=cos0 +3sin 0, y2=3cos 0 —sin 0,
故y12+y22=5.
故答案为5.
点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令X1=cos 0, X2=sin 0,此题难度不
大.
6.设
考
a=,
b=, c=，且x+y+zz0,贝U = 1 .
对称式和轮换对称式。

分析：•/a=, b=, c=分别代入，，表示出，，的值，然后化简就可以求出结果了.
解
答：
解：••• a=, b=, c=,
=++
•/x+y+zK
•■•原式=1.
故答案为：1 .
点评：本题是一道代数式的化简求值的题，考查了代数式的对称式和轮换对称式在化简求值中的运用•具有一定的难度.
7.已知，，其中a, b, c为常数，使得凡满足第一式的m, n, P, Q也满足第二式，则a+b+c= _______ .
考点：对称式和轮换对称式。

分析：令P= (m+9rj)x, Q= (9m+5n) x (X M0),由可得：==,解出a、b和c的值即可.
解答：解：令P= (m+9r) x, Q= ( 9m+5rr x (X M 0),
又知，
即==,
解得a=2, c=, b=-,
即a+b+c=2 - +=.
故答案为.
点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令P= ( m+9r) x, Q= (9m+5r) x,
题难度不大.
&设2 ( 3x- 2) +3=y, 2 (3y - 2) +3=z, 2 (3z - 2) +3=u 且2 (3u - 2) +3=x，贝U x= ____ .
考点：对称式和轮换对称式。

专题：计算题。

分析：先化简各式，将各式联立相加，然后分别将y、z和u关于x的式子代入消去y、z和u,即可求出
的值.
解答：解：将各式化简得：，
(1) + (2) + (3) + (4)得:x+y+z+u=⑤，
分别将y、z和u关于x的式子代入⑤中，得：x+6x - 1+6 (6x - 1)- 1+=,
解得：x=.
故答案为：.
点评：本题考查对称式和轮换对称式的知识，难度适中，解题关键是将y、z和u关于x的式子代入消除
z和u.
9.若数组(x, y, z)满足下列三个方程：、、，则xyz= 162 .
考点：对称式和轮换对称式。

分析：将3个方程分别分别由第一个方程除以第二方程，再由第一个方程除以第三个方程.就可以把x、
用含z的式子表示出来，然后代入第一个方程就可以求出z、x、y的值，从而求出其结果.
解答：解：
由①十②，得
y=④
由①*③，得
x= ⑤
把④、⑤代入①，得
，解得
z=9
• y=6, x=3
•原方程组的解为：
• xyz=3 X 6X 9=162. 故答案为：162.
点评：本题是一道三元高次分式方程组，考查了运用分式方程的轮换对称的特征解方程的方法，解方程组的过程以及求代数式的值的方法.
10.设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，贝U xyz= ±1.
考点：对称式和轮换对称式。

专题：计算题。

分析：分析本题x, y, z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的情形，由左边的两个等式可得出zy=, 同理可得出zx=, xy=,三式相乘可得出xyz的值.
解答：解：由已知x+=y+=z+,
得出x+=y+,
••• x - y=-=,
zy=①
同理得出：
zx=②，
xy=③，
①x②x③得x2y2z2=1，即可得出xyz= ± 1.
故答案为：土1.
点评：此题考查了对称式和轮换式的知识，有一定的难度，解答本题的关键是分别求出yz、zx、xy的表达式, 技巧性较强，要注意观察所给的等式的特点.
二.选择题(共2小题)
11.已知，，，则的值是( )
A. B. C. D.
考点：对称式和轮换对称式。

专题：计算题。

分析：先将上面三式相加，求出+, +, +,再将化简即可得出结果. 解答：解：•••，••• +=15①，+=17②；
+=16③，
•••① + ② + ③得，2 (++) =48,
• ++=24,
则===,
故选D.
点评：本题考查了对称式和轮换对称式，是基础知识要熟练掌握.
12 .如果a, b, c 均为正数，且a(b+c) =152, b (c+a) =162, c (a+b) =170,那么abc 的值是( )
A. 672
B. 688
C. 720
D. 750
考点：对称式和轮换对称式。

分析：首先将a ( b+c) =152, b ( c+a) =162, c ( a+b) =170 分别展开，即可求得ab+ac=152 ①，bc+ba=162 ②，ca+cb=170③，然后将三式相加，即可求得ab+bc+ca值，继而求得bc, ca, ab的值，将它们相乘再开
方，即可求得abc的值.
解答：解：a ( b+c) =152, b (c+a) =162, c (a+b) =170,
• ab+ac=152 ①，
bc+ba=162 ②，
ca+cb=170 ③，
•••① +② +③得：ab+bc+ca=242 ④，
④-①得：bc=90,
④-②得：ca=80,
④-③得：ab=72,
••• bc?ca?ab=90x 80x 72,
22
即（abc）2=7202，
•「a, b, c均为正数，
•abc=720．
故选C．
点评：此题考查了对称式和轮换对称式的知识,考查了方程组的求解方法．此题难度较大,解题的关键是将
ab, ca, bc看作整体，利用整体思想与方程思想求解.
三．解答题（共1 小题）
13.已知b>0,且a+b=c+1, b+c=d+2, c+d=a+3,求a+b+c+d 的最大值.
考点：对称式和轮换对称式。

分析：分别表示出a, b, c, d，然后通过分别代入，使最后成为只含b的代数式，b的范围知道从而得解. 解答：解：「a+b=c+1, b+c=d+2, c+d=a+3,
•2b+c=6, c=6 - 2b,
代入a+b=c+1 得a=7 - 3b,
代入b+c=d+2 得d=4- b,
则a+b+c+d=17- 5b,
因为b>0,
所以当b 取0 时, a+b+c+d 的最大值为17.
点评：本题对称式和轮换对称式，关键是根据代数式的运算，用代入法，转换成关于b的代数式，从而求出取值范围.。