公开课充要条件教案

充要条件

●教学目标

（一）教学知识点（二）能力训练要求

1．充要条件的概念．1．理解并掌握充要条件的概念．

2．判断命题的条件的充要性的方法．2．掌握判断命题的条件的充要性的方法．

3．把充要条件的思想自觉地运用到解题之中．3．培养学生简单的逻辑推理的思维能力．

●教学重点

1．理解充要条件的意义．2．命题条件的充要性判断．

●教学难点

命题条件的充要性判断．

●教学过程

Ⅰ．复习回顾

1、什么是充分条件和必要条件?

2、试判断下列命题的条件是结论成立的什么条件?

（1）若a是无理数，则a＋5是无理数．

（2）若a＞b，则a＋c＞b＋c．

（3）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根，则判别式Δ＞0．

Ⅱ．讲授新课

§1.2.2充要条件

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：“p⇔q”，“⇔”叫做等价符号，“p⇔q”表示“p⇒q，且q⇒p”．

这时p既是p的充分条件,又是q的必要条件,则p是q的充分必要条件，简称充要条件．

命题（1）中因：a是无理数⇒a＋5是无理数，所以“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分条件；又因“a＋5是无整数⇒a是无理数”则“a是无理数”又是“a＋5是无理数”的必要条件，因此，“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分必要条件．

命题（2）中因“a＞b⇒a＋c＞b＋c”，又有“a＋c＞b＋c⇒a＞b”，则“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．

命题（3）中因：“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根⇒Δ＞0”，又有“Δ＞0”⇒“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根．”

则“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”是“判断式Δ＞0”的充要条件．

例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件．

（1）p：b＝0，q：f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

（2）p：x＞0,y＞0，q：xy＞0；

（3）p：a＞b，q：a＋c＞b＋c；

（4）p：两直线平行；q：两直线的斜率相等.

命题（1）中因“（x－2）（x－3）＝0⇒x＝2或x＝3x－2＝0”；

而“x－2＝0⇒（x－2）（x－3）＝0”，所以p是q的必要而不充分条件．

命题（2）中因“同位角相等⇔两直线平行”，所以p是q的充要条件．

命题（3）中因“x＝3⇒x2＝9”，而“x2＝9”x＝3”，所以p是q的充分而不必要条件．

命题（4）中因“四边形的对角线相等四边形是平行四边形，又因“四边形是平行四边形四边形的对角线相等．”所以p是q的既不充分又不必要条件．

命题（5）中因：p：x

3

2+

x＝x2⇔x（3

2+

x－x）＝0，解得x＝0或x＝3；q：2x＋3＝x2得x＝

－1或x＝3．则有p q且q p．所以p是q的既不充分也不必要条件．由命题（5）可知：对复杂命题条件的判断，应先等价变形后，再进行推理判定．

例2.已知p、q是r的必要条件，s是r 的充分条件，q是s的充分条件问：

（1）s是q的什么条件？

（2）r是q的什么条件？

（3）p是q的什么条件？

例3. p：x∈{x|－1

解由“x∈M或x∈P”可得“x∈P”，又由“x∈M∩P”可得：x∈{x｜2＜x＜3}．

则由x∈P，即x∈{x｜x＜3} x∈{x｜2＜x＜3}．但由“x∈{x｜2＜x＜3}⇒x∈{x｜x＜3}，即x∈P．故“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要而不充分条件．

例4 求证|a|＋|b|＝|a＋b|的充要条件是ab≥0.

分析：充分性即证：xy≥0⇒｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜必要性即证：

｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜⇒xy≥0．

证明：①充分性．

若xy＝0，则有x＝0或y＝0或x＝0且y＝0．

此时显然｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．

若xy＞0，则x，y同号．

当x＞0且y＞0时，｜x＋y｜＝x＋y＝｜x｜＋｜y｜．

当x＜0且y＜0时，｜x＋y｜＝－x－y＝（－x）＋（－y）＝｜x｜＋｜y｜

综上所述，xy≥0⇒｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．

②必要性

∵｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜，且x，y∈R

∴（x＋y）2＝（｜x｜＋｜y｜）2

即x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜x｜｜y｜·y2

⇒xy＝｜xy｜⇒xy≥0．

因此｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜⇒xy≥0．

故xy≥0⇔｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．

评述：证明“p的充要条件是q”时，即等价于“q是p的充要条件”．

也就是需证明充分性：q⇒p；必要性p⇒q不能颠倒证反”．

注：本题也可用绝对值的概念证明：

｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜

⇔｜x＋y｜2＝（｜x｜＋｜y｜）2

⇔x2＋2xy＋y2

＝x2＋2｜xy｜＋y2

⇔｜xy｜＝xy

⇔xy≥0．

故xy≥0⇔｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜

例5、已知圆o的半径是r，圆心o到直线l的距离为d.求证：d=r是直线l与圆o相切的充要条件.

课堂小结：

1.p是q的充分条件包括两种可能，即p是q的充分不必要条件或p是q的充要条件；同样，p是q的必

要条件也包括两种可能，即p是q的必要不充分条件或p是q的充要条件.

2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就是充分性，

由结论推出条件就是必要性.

3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题的求解，就是求结论成立的充要条件. 在判断p是q的什么条

件时，要“正逆互推，注意特例”.