静电场
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场电荷 + q1
+ + +
q2 + 场电荷
Q
q2
+ + +
场电荷
Q
被屏物
导体壳 +
Q2
+
+
+ +Q +被屏物 1 + + + +
+ + +
+
导体壳 +
无论“q1、q2等”、Q的数量及分布如何变化 在导体壳外表面以内的区域场强、电势均 总是为零.
不能屏蔽电势.
腔内带电体的电荷Q1仅位置变化时, 仅导致Q2的分布变化, 而Q的数量及分布均不变 化,因而壳外区域的场强、电势均不发生改变. 此时导体壳既屏蔽了场强也屏蔽了电势.
2-3、内、外同时完全屏蔽 如图，导体壳接地后，壳内、外的电
q
场彼此隔开，场强、电势均互不影响.
Q
+
思考问题 如果导体壳不接地，当壳内电荷Q1的数量及位置变化时， 壳外空间区域的电场（场强、电势）能够不受影响吗？
一个简单的例子：如图，当+Q1变 化时，球壳外空间的电场受影响吗？
Q+
+ + Q2 + + + Q + 1 + + +
+
+
+
CAI使用说明
1、斜体文字 —— 表示有备注供查看 2、加下划线的文字 ——表示有超链接 3、 —— 表示返回至链接来处
4、
5、 6、
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中学物理奥赛解题研究
第十一专题 静电场
解题知识与方法研究
一、导体壳的性质与静电屏蔽的全面认识 二、导体不接地情况下的电像法应用 三、静电感应情况下移动电荷做功的计算
表面是否带电？
b
qa
qa qa
q
设球壳外表面带电为qa， 则其内表面带电-qa 且均匀分布. 内球体表面带电qa且均匀分布. （1）所有电荷在内球球心处（及内球的其 他处）的总电势为
a
d
k
解得
q q q q k a k a k a 0 d a b b a qa q. d
接地时静电感应至静电平衡后，球
（2）场强性质
+ +Q1 + + + + +
+ + +
+
场电荷
导体壳 +
电场线的分布情况:
从Q1（或Q2）发出的电场线全部止于Q2（或Q1）. 止于Q2 （或Q1）的电场线全部来自Q1 （或Q2）.
壳内空腔中（无导体材料处）则仅有Q1与Q2的电场
线. Q1与Q2的电场线仅在空腔内. 壳外空间则仅有Q与场电荷（+q1，-q2等）的电场线. Q与（+q1，-q2）的电场线仅在壳外.
+ +Q1 + + + + +
+ + +
++ ++ +
+
导体壳
导体壳
无论Q1如何变化（Q2随之而变）在导体壳 内表面以外的区域场强、电势总是为零.
无论Q1如何变化（Q2随之而变）在导体壳 内表面以外的区域场强、电势分布总是不变.
(因Q及q 的数量与分布均不变: Q 0, q 0 ） (因Q及q的数量与分布均不变)
a
d
将（1）的结果代入，得
U ba =k
因Ua=0， 所以
请判断 外球壳与内球体的 电势差与那些电荷
q a U b =k (1 ). d b
b
有关？
题后总结与思考 取球心计算电势、场强 的大小是常用技巧！ 内球接地如图，导体球
q
a
表面，球壳内、外表面 有无电荷？
d
二、导体不接地情况下的电像法应用 各种典型导体接地的问题： 问题1 如图，有一无限大接地导体板，在板前距板a处有一固定的点电荷-q（<0）， 求： （1）板右侧空间的场强和电势分布； （2）导体板上感应电荷的面密度分布； （3）q受的静电力. （4）感应电荷总量.
内表面以外 U′=0，E′=0
S + + + Q1 + Q2 ++ + + + +
（1） （2） 内表面以外 U′=0，E′=0
场电荷 + q1
+
Q
Q
+ + + +
q2
场电荷 + q1
+ + +
q2
Q2
+ + + + +Q1 + + + + +
Q2
场电荷
+
+ +Q1 + + + + +
+ + +
S
场电荷 + q1
（1）
+
导体壳 +
+ + + Q1 + Q2 ++ + + + +
S
+ + +
（2）
q2
Q
场电荷 + q1 S
+ + 场电荷
Q2
+ +Q1 + + + + +
+ + +
+ ++ ++ +
+
导体壳
例1 如图，半径为a的导体球外同心放置一个半径为b的不带电导体薄球壳，在离 球心距离为d（d >b）处有一个带电量为q的固定点电荷. 现让内导体球接地，静电平衡 后，试求： （1）内导体球上电荷量； （2）外导体球壳电势. 解 如果不接地，球 壳内表面和球体
q
a
o
a
q
z
结论：
+q 像电荷为 z a
由此不难进一步回答四个问题.
…………………………………… （4）感应电荷总量为+q.
问题2 研究接地导体球附近存在一点电荷的情况（如图）. 求：
（1）替代球上感应电荷的像电荷q′（若存在的话）的位置及电量；
（2）球外点电荷q受到感应电荷的作用力； （3）感应电荷的总量Q； （4）若q>0，导体球表面是否有地方σ >0，是否有地方σ = 0？ 结论：
疑难题解答研究
例1（均匀带电薄球壳上的小孔中的电场）
例2（均匀带电线段与均匀带电圆弧场强 的等效）
解题知识与方法研究
一、静电场中导体壳的性质与静电屏蔽的全面认识
1、静电场中导体壳的性质
静电场中的导体壳——一种特殊的静电平衡导体 1-1、腔内无电荷的情形 （1）带电性质：导体壳的内表面上处处没有 电荷，电荷只能分布在外表面上； （2）场强性质：空腔内场强为零； （3）电势性质：腔内电势处处相等—等于导 体壳的电势.
+ + 场电荷
导体壳 +
（3）
体系（3）的形成：
让导体壳带电Q：则Q分布在导体壳外表 将体系（ 2）、（3）合并，是否 . 为零. 电势处处相等 就是体系（1）？
面上. 导体壳外表面以内空间场强处处
再切断接地线： Q1、Q2数量及分布不变,
其场强、电势的分布亦不变.
+ + +
q2
Q
Q数量及分布均不随之变化，球壳
壳外部空间的场强、电势都将发生改变.
外部空间的场强、电势均不发生改变.
（2）导体壳不接地时
q0 Q
+
+ + + +
被屏物
+ +
q0
+ + + + + + + + +
+ +
+
Q
Q2
+ +Q1 + + + + +
q2
+ + +
场电荷
Q
场电荷 + q1
被屏物
导体壳 +
Q2
+
+
+ +Q +被屏物 1 + + + +
+ + +
+
导体壳 +
无论“q1、q2等”、Q的数量及分布如何变化 在导体壳外表面以内的区域场强总是为零.
场电荷 + q1
无论“q1、q2等”、Q的数量及分布如何变化 在导体壳外表面以内的区域场强分布不变.
外表面以内 各处U″=C 场电荷 + q1 表面以外的空间处处为零. 内表面以外 Q 各处U′=0 （在导体壳内表面以内的不存在导体材料的 + + + + + 空间中并不为零） + +Q1 Q2 + + + + + + （2-2）导体壳外表面的电荷Q和导体壳 + 外部空间的场电荷（+q1，-q2等）的合场强E 导体壳 + 外表面以内 + q 2 在导体壳外表面以内的空间处处为零. 场电荷 各处E =0. （在导体壳外表面以外空间并不为零） 导体中： 内表面以外 （3）电势性质 E E E 的各处E =0. （3-1）Q1和Q2的合电场对导体壳内表 000 由性质（2-1）即 面以外的空间的电势贡献U′处处为零. 可导出此结论. （3-2）Q和“+q1、-q2等”的合电场对
+ +
Q2
+ +Q1 + + + + +
+ + +
+ + 被屏物 ++ ++ + +
导体壳
+
导体壳
+
腔内带电体的电荷Q1的数量变化时, 导致Q2的数量及分布变化, 从而Q的数量及分布 也将随之而变,因而导致壳外区域的场强、电势发生改变. 此时导体壳既不能屏蔽场强也
R2 x ， d R q q . d
Q
d
像电荷为
R
x o
q
q
感应电荷总量为Q
R q. d
若q 0, 球面处处 0.
为何电像法处理的问题一般总是导体接地？
例2 讨论不接地导体球及球外一个点电荷构成的带电系统的情况（如图）. （1）导体球原总电量为零，确定静电平衡 后 系统在球外空间的电场分布及q的受力；
无论“q1、q2等”、Q的数量及分布如何变化
在导体壳外表面以内的区域场强、电势均 不变.
2-2、外屏蔽 （1）导体壳接地时
q0 Q =0
q0 Q0
被屏物
+ 被屏物
+
Q2
+ +Q1 + + + + +
+ + +
Q2
d
（2）若导体球原总电量为Q0，确定静电平衡
后系统在球外的电场分布及q的受力. 解（1） 若将导体球接地，则从地面流入电量 R Q q d 至球体表面, 其不均匀分布使球体成为一零电势体. 切断接地线，导体球的电荷Q分 布变不变，还是不是等势体？ 若再将-Q的电量加在球面上，-Q如
导体壳 +
（3）
合并体系（2）、体系（3）： ⅰ、因为{Q,+q1,-q2}在壳外表面以内空间的场强为零，而{Q1、Q2}在壳内表面以外空间
的场强为零， Q1、Q2的分布不变以及Q、+q1、-q2分布不变是可以的.
Q1、Q2，以及Q、+q1、-q2的其他分布情况是不可能存在的. ⅱ、根据唯一性定理， 所以，体系（2）+体系（3）=体系（1）:
（2-1）Q1和Q2的合场强E 在导体壳内
导体壳外表面以内的空间的电势贡献U″ 处处相等, 但不一定为零. 用唯一性定理证明上述场强和电势性质：
由性质（2-2）即
可导出此结论.
证明：
+
考察带电体系 （2）、（3）：
q2
Q
+ +
场电荷
Q2
+
+ +Qຫໍສະໝຸດ Baidu + + + + +
+
场电荷
导体壳 +
+
场电荷
导体壳 +
外表面以内 U″=C，E″=0
（3）
2、静电屏蔽 2-1、内屏蔽
外表面以内 U″=C， E″=0
某空间区域内的静电场不受区域外的电荷变化的影响. 则称该区域被静电屏蔽.
+ + +
q2 + 场电荷
Q
场电荷 + q1
q2
Q
+ + + + +
场电荷 + q1
导体壳 +
场电荷
1-2、腔内有电荷的情形
（1）带电性质
导体壳内表面所带电荷与腔内电荷 代数和为零. 即
Q1 Q2 0.
+ + + +
q2
Q
场电荷 + q1
Q2
导体壳总电量(Q Q2 )不一定等于0
+
导体球壳 + + + +
如图，当Q1的数量（及符号）变化时：
+ +
如图，当Q1仅位置变化时：
+ +
+Q1
+
+
Q+
+
Q2
Q+
+ + + + +
Q2
+ + + + +
+Q1
导体球壳 + +
+导体球壳 + + +
Q数量及分布将随之变化，致使球
壳的内外表面 上、内球体上有无电
荷？如何分布？
（2）外导体球壳电势. 外球壳到内球体的电势差仅取决于
b
qa
qa qa
q
内球体表面的电荷qa. 所以
U b -a k qa q 1 1 k a kqa ( ). b a b a q a (1 ). d b
a qa q. d
+ + +
S
Q
场电荷 + q1
（1）
+
导体壳 +
+ + + Q1 + Q2 ++ + + + +
S
+ + +
（2）
q2
场电荷 + q1 S
体系（2）的形成：
先让导体壳接地： 则导体壳内表面将带 电为Q2（=－Q1）, 外表面处处不带电. 导体壳内表面以外空间的场强处处为零， 电势处处为零.
+ + +
q2 + 场电荷
Q
q2
+ + +
场电荷
Q
被屏物
导体壳 +
Q2
+
+
+ +Q +被屏物 1 + + + +
+ + +
+
导体壳 +
无论“q1、q2等”、Q的数量及分布如何变化 在导体壳外表面以内的区域场强、电势均 总是为零.
不能屏蔽电势.
腔内带电体的电荷Q1仅位置变化时, 仅导致Q2的分布变化, 而Q的数量及分布均不变 化,因而壳外区域的场强、电势均不发生改变. 此时导体壳既屏蔽了场强也屏蔽了电势.
2-3、内、外同时完全屏蔽 如图，导体壳接地后，壳内、外的电
q
场彼此隔开，场强、电势均互不影响.
Q
+
思考问题 如果导体壳不接地，当壳内电荷Q1的数量及位置变化时， 壳外空间区域的电场（场强、电势）能够不受影响吗？
一个简单的例子：如图，当+Q1变 化时，球壳外空间的电场受影响吗？
Q+
+ + Q2 + + + Q + 1 + + +
+
+
+
CAI使用说明
1、斜体文字 —— 表示有备注供查看 2、加下划线的文字 ——表示有超链接 3、 —— 表示返回至链接来处
4、
5、 6、
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中学物理奥赛解题研究
第十一专题 静电场
解题知识与方法研究
一、导体壳的性质与静电屏蔽的全面认识 二、导体不接地情况下的电像法应用 三、静电感应情况下移动电荷做功的计算
表面是否带电？
b
qa
qa qa
q
设球壳外表面带电为qa， 则其内表面带电-qa 且均匀分布. 内球体表面带电qa且均匀分布. （1）所有电荷在内球球心处（及内球的其 他处）的总电势为
a
d
k
解得
q q q q k a k a k a 0 d a b b a qa q. d
接地时静电感应至静电平衡后，球
（2）场强性质
+ +Q1 + + + + +
+ + +
+
场电荷
导体壳 +
电场线的分布情况:
从Q1（或Q2）发出的电场线全部止于Q2（或Q1）. 止于Q2 （或Q1）的电场线全部来自Q1 （或Q2）.
壳内空腔中（无导体材料处）则仅有Q1与Q2的电场
线. Q1与Q2的电场线仅在空腔内. 壳外空间则仅有Q与场电荷（+q1，-q2等）的电场线. Q与（+q1，-q2）的电场线仅在壳外.
+ +Q1 + + + + +
+ + +
++ ++ +
+
导体壳
导体壳
无论Q1如何变化（Q2随之而变）在导体壳 内表面以外的区域场强、电势总是为零.
无论Q1如何变化（Q2随之而变）在导体壳 内表面以外的区域场强、电势分布总是不变.
(因Q及q 的数量与分布均不变: Q 0, q 0 ） (因Q及q的数量与分布均不变)
a
d
将（1）的结果代入，得
U ba =k
因Ua=0， 所以
请判断 外球壳与内球体的 电势差与那些电荷
q a U b =k (1 ). d b
b
有关？
题后总结与思考 取球心计算电势、场强 的大小是常用技巧！ 内球接地如图，导体球
q
a
表面，球壳内、外表面 有无电荷？
d
二、导体不接地情况下的电像法应用 各种典型导体接地的问题： 问题1 如图，有一无限大接地导体板，在板前距板a处有一固定的点电荷-q（<0）， 求： （1）板右侧空间的场强和电势分布； （2）导体板上感应电荷的面密度分布； （3）q受的静电力. （4）感应电荷总量.
内表面以外 U′=0，E′=0
S + + + Q1 + Q2 ++ + + + +
（1） （2） 内表面以外 U′=0，E′=0
场电荷 + q1
+
Q
Q
+ + + +
q2
场电荷 + q1
+ + +
q2
Q2
+ + + + +Q1 + + + + +
Q2
场电荷
+
+ +Q1 + + + + +
+ + +
S
场电荷 + q1
（1）
+
导体壳 +
+ + + Q1 + Q2 ++ + + + +
S
+ + +
（2）
q2
Q
场电荷 + q1 S
+ + 场电荷
Q2
+ +Q1 + + + + +
+ + +
+ ++ ++ +
+
导体壳
例1 如图，半径为a的导体球外同心放置一个半径为b的不带电导体薄球壳，在离 球心距离为d（d >b）处有一个带电量为q的固定点电荷. 现让内导体球接地，静电平衡 后，试求： （1）内导体球上电荷量； （2）外导体球壳电势. 解 如果不接地，球 壳内表面和球体
q
a
o
a
q
z
结论：
+q 像电荷为 z a
由此不难进一步回答四个问题.
…………………………………… （4）感应电荷总量为+q.
问题2 研究接地导体球附近存在一点电荷的情况（如图）. 求：
（1）替代球上感应电荷的像电荷q′（若存在的话）的位置及电量；
（2）球外点电荷q受到感应电荷的作用力； （3）感应电荷的总量Q； （4）若q>0，导体球表面是否有地方σ >0，是否有地方σ = 0？ 结论：
疑难题解答研究
例1（均匀带电薄球壳上的小孔中的电场）
例2（均匀带电线段与均匀带电圆弧场强 的等效）
解题知识与方法研究
一、静电场中导体壳的性质与静电屏蔽的全面认识
1、静电场中导体壳的性质
静电场中的导体壳——一种特殊的静电平衡导体 1-1、腔内无电荷的情形 （1）带电性质：导体壳的内表面上处处没有 电荷，电荷只能分布在外表面上； （2）场强性质：空腔内场强为零； （3）电势性质：腔内电势处处相等—等于导 体壳的电势.
+ + 场电荷
导体壳 +
（3）
体系（3）的形成：
让导体壳带电Q：则Q分布在导体壳外表 将体系（ 2）、（3）合并，是否 . 为零. 电势处处相等 就是体系（1）？
面上. 导体壳外表面以内空间场强处处
再切断接地线： Q1、Q2数量及分布不变,
其场强、电势的分布亦不变.
+ + +
q2
Q
Q数量及分布均不随之变化，球壳
壳外部空间的场强、电势都将发生改变.
外部空间的场强、电势均不发生改变.
（2）导体壳不接地时
q0 Q
+
+ + + +
被屏物
+ +
q0
+ + + + + + + + +
+ +
+
Q
Q2
+ +Q1 + + + + +
q2
+ + +
场电荷
Q
场电荷 + q1
被屏物
导体壳 +
Q2
+
+
+ +Q +被屏物 1 + + + +
+ + +
+
导体壳 +
无论“q1、q2等”、Q的数量及分布如何变化 在导体壳外表面以内的区域场强总是为零.
场电荷 + q1
无论“q1、q2等”、Q的数量及分布如何变化 在导体壳外表面以内的区域场强分布不变.
外表面以内 各处U″=C 场电荷 + q1 表面以外的空间处处为零. 内表面以外 Q 各处U′=0 （在导体壳内表面以内的不存在导体材料的 + + + + + 空间中并不为零） + +Q1 Q2 + + + + + + （2-2）导体壳外表面的电荷Q和导体壳 + 外部空间的场电荷（+q1，-q2等）的合场强E 导体壳 + 外表面以内 + q 2 在导体壳外表面以内的空间处处为零. 场电荷 各处E =0. （在导体壳外表面以外空间并不为零） 导体中： 内表面以外 （3）电势性质 E E E 的各处E =0. （3-1）Q1和Q2的合电场对导体壳内表 000 由性质（2-1）即 面以外的空间的电势贡献U′处处为零. 可导出此结论. （3-2）Q和“+q1、-q2等”的合电场对
+ +
Q2
+ +Q1 + + + + +
+ + +
+ + 被屏物 ++ ++ + +
导体壳
+
导体壳
+
腔内带电体的电荷Q1的数量变化时, 导致Q2的数量及分布变化, 从而Q的数量及分布 也将随之而变,因而导致壳外区域的场强、电势发生改变. 此时导体壳既不能屏蔽场强也
R2 x ， d R q q . d
Q
d
像电荷为
R
x o
q
q
感应电荷总量为Q
R q. d
若q 0, 球面处处 0.
为何电像法处理的问题一般总是导体接地？
例2 讨论不接地导体球及球外一个点电荷构成的带电系统的情况（如图）. （1）导体球原总电量为零，确定静电平衡 后 系统在球外空间的电场分布及q的受力；
无论“q1、q2等”、Q的数量及分布如何变化
在导体壳外表面以内的区域场强、电势均 不变.
2-2、外屏蔽 （1）导体壳接地时
q0 Q =0
q0 Q0
被屏物
+ 被屏物
+
Q2
+ +Q1 + + + + +
+ + +
Q2
d
（2）若导体球原总电量为Q0，确定静电平衡
后系统在球外的电场分布及q的受力. 解（1） 若将导体球接地，则从地面流入电量 R Q q d 至球体表面, 其不均匀分布使球体成为一零电势体. 切断接地线，导体球的电荷Q分 布变不变，还是不是等势体？ 若再将-Q的电量加在球面上，-Q如
导体壳 +
（3）
合并体系（2）、体系（3）： ⅰ、因为{Q,+q1,-q2}在壳外表面以内空间的场强为零，而{Q1、Q2}在壳内表面以外空间
的场强为零， Q1、Q2的分布不变以及Q、+q1、-q2分布不变是可以的.
Q1、Q2，以及Q、+q1、-q2的其他分布情况是不可能存在的. ⅱ、根据唯一性定理， 所以，体系（2）+体系（3）=体系（1）:
（2-1）Q1和Q2的合场强E 在导体壳内
导体壳外表面以内的空间的电势贡献U″ 处处相等, 但不一定为零. 用唯一性定理证明上述场强和电势性质：
由性质（2-2）即
可导出此结论.
证明：
+
考察带电体系 （2）、（3）：
q2
Q
+ +
场电荷
Q2
+
+ +Qຫໍສະໝຸດ Baidu + + + + +
+
场电荷
导体壳 +
+
场电荷
导体壳 +
外表面以内 U″=C，E″=0
（3）
2、静电屏蔽 2-1、内屏蔽
外表面以内 U″=C， E″=0
某空间区域内的静电场不受区域外的电荷变化的影响. 则称该区域被静电屏蔽.
+ + +
q2 + 场电荷
Q
场电荷 + q1
q2
Q
+ + + + +
场电荷 + q1
导体壳 +
场电荷
1-2、腔内有电荷的情形
（1）带电性质
导体壳内表面所带电荷与腔内电荷 代数和为零. 即
Q1 Q2 0.
+ + + +
q2
Q
场电荷 + q1
Q2
导体壳总电量(Q Q2 )不一定等于0
+
导体球壳 + + + +
如图，当Q1的数量（及符号）变化时：
+ +
如图，当Q1仅位置变化时：
+ +
+Q1
+
+
Q+
+
Q2
Q+
+ + + + +
Q2
+ + + + +
+Q1
导体球壳 + +
+导体球壳 + + +
Q数量及分布将随之变化，致使球
壳的内外表面 上、内球体上有无电
荷？如何分布？
（2）外导体球壳电势. 外球壳到内球体的电势差仅取决于
b
qa
qa qa
q
内球体表面的电荷qa. 所以
U b -a k qa q 1 1 k a kqa ( ). b a b a q a (1 ). d b
a qa q. d
+ + +
S
Q
场电荷 + q1
（1）
+
导体壳 +
+ + + Q1 + Q2 ++ + + + +
S
+ + +
（2）
q2
场电荷 + q1 S
体系（2）的形成：
先让导体壳接地： 则导体壳内表面将带 电为Q2（=－Q1）, 外表面处处不带电. 导体壳内表面以外空间的场强处处为零， 电势处处为零.