2016年北京石景山高三一模数学(理)试题及答案

石景山区2015—2016学年第一次模拟考试试卷

高三数学（理）

本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选

出符合题目要求的一项．

1．已知集合{|0}M x x x =≥∈，

R ，2{|1}N x x x =<∈，R ，则M N ＝( ) A ．[]01，

B ．()01，

C ．(]01，

D ．[)01，设i 是虚数单位，则

复数

21i

i

-在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．1y x =+ B ．3y x =- C ．1

y x

= D ．y x x =

4．下图给出的是计算1111

2

4

6

10

+++⋅⋅⋅+

的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是( )

A ．5i >

B ．5i <

C ．6i >

D ．6i <

5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )

A ．8

B ．

．10 D ．

6．在数列{}n a 中，“1n n a a +>”是“数列{}n a 为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

7．函数()sin()(00)2

f x A x A =+>><，

，π

ωϕωϕ的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6

π

个单位后，得到的函数图象的解析

式为( )

A ．sin 2y x =

B ．2sin(2)3

y x π

=+

C ．sin(2)6

y x π

=- D ．cos 2y x =

8．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果

n 是偶数，就将它减半 (即

2

n

)；如果n 是奇数，则将它乘3加1(即31n +)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n (首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现)，则n 的所有不同值的个数为( ) A ．4 B ．6 C ．32 D ．128

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．双曲线22

12

x y -=的焦距是________，渐近线方程是________．

10．若变量x y ，满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩

，

，，则2z x y =+的最大值等于_____．

11．如图，AB 是半圆O 的直径，30BAC ︒∠=，BC 为半圆的切线，

且BC =则点O 到AC 的距离OD ＝______．

12．在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为11x s y s =+⎧⎨=-⎩

，(s 为参数)，曲线

C 的参数方程为2

2x t y t =+⎧⎨

=⎩

，

(t 为参数)，若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，则AB ＝____．

13．已知函数2log 0()30x

x x f x x >⎧=⎨≤⎩，

，，，关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题共13分）设△ABC 的内角A B C ，

，的对边分别为a b c ，，，且sin cos b A B =．

（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3sin 2sin b C A ==，

，求a c ，的值．

16．（本小题共13分）我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：

已知分3期付款的频率为0.15,请以此100人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；

（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S手机，顾客分1期付款(即全款)，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用X表示销售一部苹果6S手机的利润，求X的分布列及数学期望．

17．（本小题共14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，

1AA ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，2BC AC ==，13AA =，D 为AC 的中点． （Ⅰ）求证：1AB ∥平面1BDC ； （Ⅱ）求二面角1C BD C --的余弦值；

（Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得CP ⊥平面1BDC ？若存在，求出AP 的长；若不存在，说明理由．

18．（本小题共13分）已知函数()sin cos f x x x x =-．

（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点(())πf π，

处的切线方程； （Ⅱ）求证：当(0)2x ∈，π时，

3

1()3

f x x <； （Ⅲ）若()cos f x kx x x >-对(0)2

x ∈，π

恒成立，求实数k 的最大值．