行列式内容归纳要点.ppt

a11a23a32a44；a11a23a34a42；a12a23a31a44；a12a23a34a41；a14a23a32a41；a14a23a31a42 ，经验
证，其中带负号的项为 － a11a23a32a44；－ a12a23a34a41；－ a14a23a31a42 .
习题 8 解： 1) 此行列式只有一个非零项 a1na2n1 an1 = n! ，其符号为
习题 3 解： 12435 (1,2) 21435 (1,5) 25431 (3,4) 25341.
习题 4 解： (n(n 1) 21) (n 1) (n 2) 2 1= (n 1)[1+(n 1)] n(n 1) .
2
2
习题 5 解：在 n 个数码中，比 xi 大的数有 n xi 个→在题设两个排列中，由
xi 与比它大的各数构成的逆序数总和为 n xi →由各 xi （即 1，2，…，n）所 能构成的逆序数的总和为1 2 (n 1)= n(n 1) , 它们不在题设第一个排
2 列中就在第二个排列中 → 因 x1x2 xn 的逆序数为 k, 则 xn xn1 x2 x1 的逆序数 应为 n(n 1) k .
《行列式》习题解答
A. 排列及逆序问题（P96 习题 1 — 5） 习题 1 1） 解： (134782695) 0 4 0 0 4 2 0 0 0 10
2） 解： (217986354) 1 0 4 5 4 3 0 1 0 18 3) 解： (987654321) 8 7 6 5 4 3 2 1 0 8(1 8) 36
2 1, 2, …, xi , xi , , n 比xi 大的数为 n xi个, 它们在两个排列中的分布为：
n xi
x1x2 xi1 xi xi1 xn1xn xn xn1 xi1 xi xi1 x2 x1 , 即 xi 所 能 构成的逆 序在
k个
(n xi )k个
(n xi )k个
k个
前一排列中占 k 个，后一排列中占 (n xi ) k 个
(n 2)(nΒιβλιοθήκη Baidu1)
(n 2)(n 1)
(1) ((n 1)(n 2) 21n ) (1)(n 2)(n 3) 1 (1)
2
，故行列式值为(1) 2
n! .
习题 9 解： 行列式的一般项为 a1 j1a2 j2 a3 j3 a4 j4 a5 j5 → 列指标 j3, j4 , j5 只能在 数码 1，2，3，4，5 中取不同的值，故至少有一个要取到 3，4，5 中之一 → a3 j3 , a4 j4 , a5 j5 中至少有一个为 0 → 行列式中任一项至少包含一个 0 为因子 → 每一项均为 0 → 行列式的值为 0. 习题 10 解： 据行列式定义，能构成 x4 的项只能是 a11a22a33a44 2x4 . 含 x3 的
项只能是 a12a21a33a44 (1) (2134) x3 x3 . 习题 11 解： 由行列式定义及题设可知， 题设行列式的每一项绝对值为 1. 行列式值等于 0，说明带正号的项与带负号的项数相等. 而由定义，项的符号 是：当行指标成自然排列，则列指标所成排列为偶排列时带正号，为奇排列 时带负号，故奇偶排列各半.
B . 行列式计算问题（计算方法）
一． 行列式的定义计算行列式（基本方法）
习题 6 解： 据行列式定义，题设两项的符号分别为： (1) (234516) (312645) (1)44 1 ； (1) (341562) (234165) (1)64 1 .
习题 7 解： 从第一行开始取元素，为保证取到 a23 , 所得含 a23 的项共 6 项：
n ( n 1)
n (n 1)
(1) (n(n1) 21) (1) 2 → 原行列式的值为 (1) 2 n ! .
2) 此行列式只有一个非零项 a12a23 an1nan1 n !，其符号为 (1)n1 ，故
行列式的值为 (- 1) (23 n1)n! (1)n 1 n!.
3) 行列式只含一个非零项 a1n1a2n2 an11ann n ! , 其符号为
补充题 1 证明：n 阶行列式中等于 0 的元素个数如果多于 n2 n 个，则行 列式的值为 0. 证明： n 阶行列式 Dn 共含 n2 个元素，据题设，非零元素个数＜n2―(n2―n) . 于是根据行列式的定义，Dn 的展开式中每一项至少含一个因子为 0，所以行 列式的值为 0 .
二. 化成上、下三角形行列式计算（基本方法）
习题 12 解：1) 因该行列式中仅第一行含 x, 故含 xn1 的只有一项，其系数 为 (1)n1 乘一范德邦行列式，由条件知系数不为 0，故 p(x) 为 n 1次多项式 .
2) 据行列式性质，将 a1, a2, , an1 分别代入 x 时行列式的值为 0, 即有 p(ai ) 0 ( i 1, 2, , n ), 故 a1, a2, , an1 是多项式 p(x) 的根.
➢ 一般可用矩阵初等行变换编成程序，化为上、下三角形行列式上计算机
2 以上均为偶排列. 习题 2 1) 解：由题设可知，i, k∈{3, 8} → 可构成的排列为 127435689 或 127485639 → 经验证，当 i = 8, k = 3 时，127485639 为偶排列.
2) 解： 类似上题方法可知，当 i = 3, k = 6 时，132564897 为偶排列.
《行列式》内容归纳要点
排列及性质
矩阵的定义
行列式概念
方阵行列式 矩阵初等变换
行列式性质
行列式计算
行列式 按行、 列展开
Laplace 定理
行列式 乘法规
则
线性方 程组求
解
习题类型要点提示
A 排列于逆序问题 B 行列式的计算（主要计算方法分类）
一 行列式定义计算行列式； 二 化成上(下)三角形行列式计算； 三 递推法计算行列式； 四 数学归纳法计算行列式； 五 加边法计算行列式； 六 分行(列)成比例法计算行列式； 七 Laplace定理计算行列式； 八 Vandermonde行列式计算行列式. C Cramer的应用