关于矩阵正定半正定的几个命题

关于矩阵正定半正定的几个命题

１、A 正定定义：对AX X X '≠∀00

２、A 正定０的顺序主子式 A ⇔

３、⇔ A 的所有主子式大于０；

４、⇔ A 合同于E

５、⇔A 的正惯性指数为n 。

６、⇔标准形中n 个系数全大于０

７、⇔规范型为：22221n y y y +++

８、⇔A ＝C C ' （存在可逆阵C ）

9、⇔A ＝B ２ （存在正定阵B ）

10、⇔ A ＝L L ' （存在满秩下三角阵L ）

11、⇔A=U U ' （存在可逆上三角阵U ）

12、⇔对称阵A 的特征值全大于０；

13、⇔A ＝为正定阵B N k B k ,∈∃。

关于半正定的等价条件

0,0≥'≠∀AX X X

⇔A 的所有主子式0≥

⇔A 合同于⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛0r E ⇔A 的正惯性指数等于秩r

⇔A 的标准形中n 个系数全部非负

⇔规范型为：222

21r y y y +++ ⇔ A ＝C C '

⇔ A ＝B ２ （存在半正定阵B ）

⇔A 对称，A 的特征值非负

⇔ A ＝为半正定阵B N k B k ,∈∃

⇔A ，tE t +∀0 为正定阵。

A 为负定的充要条件：A 的奇数阶顺序主子式全小于0，偶数阶顺序主子式全大于0。

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