反比例函数的几何性质

图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB＝ 2，则k的值为( )
A．2
B．3
C
C．4
D．5
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6．(中考•青岛)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过
A(－1，－4)，B(2，2)两点，P为反比例函数y＝ 图
象上一动点，O为坐标原点，过点P作y轴的垂线，垂
足为C，则△PCO的面积为( )
8．反比例函数的图象，既是___中__心___对称图形，_坐__标__原__点_ 是它的对称中心，其对称点的坐标为(a，b)与 __________；又是____对称图形，直线y＝______和直 线(－y＝a，__－__b_)_是它的对轴称轴，其对称点的坐标为x：关于 直线y＝－x对x 称的点的坐标为__________与(b，a)，关于 直线y＝－x对称的点的坐标为(a(，a，b)b与) __________．
反比例函数的几何性质
2020/8/21
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5Biblioteka Baidu
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知识点 1 反比例函数图象上点的坐标
1．(中考•哈尔滨)点(2，－4)在反比例函数y＝ 的图象
上，则下列各点在此函数图象上的是( )
A．(2，4)
B．(－1，－8)
D
C．(－2，－4) D．(4，－2)
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2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，2)，
(1)求函数y＝kx＋b和y＝ 的解析式； (2)已知点C(0，5)，试在该一次函数图象上确定一点M，使
得MB＝MC，求此时点M的坐标．
解：(1)∵点A(4，3)在反比例函数y＝ax的图象上
，∴3＝ ，a＝12.
∴反比例函数解析式是y＝ .
∵OA＝
，OA＝OB，
∴点B的坐标为(0，－5)．
将点A，B的坐标分别代入y＝kx＋b，
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题型 2 反比例函数图象与点的坐标的关系在求函数解析式中的应用
12．(中考•泰安)如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分 别为3，8，E是DC的中点，反比例函数y＝ 的图象 经过点E，与AB交于点F.
(1)若点B的坐标为(－6，0)，求m的值及图象经过A，E两 点的一次函数的解析式；
(2)若AF－AE＝2，求反比例函数的解析式．
线段OA向右平移得到线段O′A′，点A的对应点A′在函
数y＝ (x>0)的图象上，则点O与其对应点O′之间的
距离是( )
A.
D B.
C.
D.3
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3．(中考•无锡)已知点P(a，m)，Q(b，n)都在反比例 函数y＝－ 的图象上，且a<0<b，则下列结论一 定正确的是( )
A．m＋n<0 B．Dm＋n>0 C．m<n D．m>n
(1)求反比例函数解析式； (2)求点C的坐标．
解：(1)∵∠ABO＝90°，S△BOD＝4， ∴ •k＝4，解得k＝8. ∴反比例函数解析式为y＝ .
(2)∵∠ABO＝90°，OB＝4，AB＝8， ∴A点坐标为(4，8)． 可求直线OA的解析式为y＝2x.
解方程组
得 或 ∴C点坐标为(2，4)．
得
解得
∴一次函数解析式为y＝2x－5 (2)∵点B(0，－5)，点C(0，5)，
∴点B，C关于x轴对称．
(－b，－a) 返回
9．(中考•湖州)如图，已知直线y＝k1x(k1≠0)与反比例 函数y＝ (k2≠0)的图象交于M，N两点，若点M的 坐标是(1，2)，则点N的坐标是( )
A．(－1，－2)
B．(－1，2) A
C．(1，－2)
D．(－2，－1)
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10．如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y＝ 的图象
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题型 3 反比例与正比例关系在求函数解析式中的
13．(中考•株洲)如图，平行四边形ABCD的两个顶点A， C在反比例函数y＝kx(k≠0)的图象上，点B，D在x轴 上，且B，D两点关于原点对称，AD交y轴
于P点．已知点A的坐标是(2，3)．
(1)求k的值及C点的坐标； (2)若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．
为y＝ax＋b(a≠0)，
∴
解得
即直线PA的函数解析式为y＝ x＋2.
将y＝0代入y＝ x＋2，
得x＝－4，
∴OD＝4.
∵A(2，3)，C(－2，－3)，
∴AC＝
＝2 .
设点D到直线AC的距离为m，
∵S△ACD＝S△ODA＋S△ODC，
∴
，
解得m＝
.
即点D到直线AC的距离是
.
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14．(中考•安徽)如图，一次函数y＝kx＋b的图象分别与反 比例函数y＝ 的图象在第一象限交于点A(4，3)，与y 轴负半轴交于点B，且OA＝OB.
解：(1)∵B(－6，0)，AD＝3，AB＝8，E为CD的中点 ，∴E(－3，4)，A(－6，8)．
∵反比例函数y＝mx的图象过点E(－3，4)，∴m＝－ 3×4＝－12.
设图象经过A，E两点的一次函数的解析式为y＝kx＋b， 可得 解得 ∴图象经过A，E两点的一次函数的解析式为y＝－ x.
(2)在Rt△AED中，∵AD＝3，DE＝4，∴AE＝5. ∵AF－AE＝2，∴AF＝7.∴BF＝1. 设E点坐标为(a，4)，则F点坐标为(a－3，1)． ∵E，F两点在反比例函数y＝ 的图象上， ∴4a＝a－3，解得a＝－1.∴E(－1，4)，∴m＝－4. ∴反比例函数的解析式为y＝－ .
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4．反比例函数中k的几何性质：过双曲线y＝ (k≠0)上 的任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的 矩形面积等于________；连接该点与原点，还可得 出两个直角三角形|k，| 这两个直角三角形的面积都等 于_____． |k|
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5．(中考•河南)如图，过反比例函数y＝ (x＞0)的
交于A，B，C，D四点，已知点A的横坐标为1，则点
C的横坐标为( )
A．－4
B．B－3
C．－2
D．－1
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题型 1 反比例函数中k的几何性质在求函数解析式中的应用
11．如图，在△AOB中，∠ABO＝90°，OB＝4，AB＝8， 反比例函数y＝ 在第一象限内的图象分别交OA，AB于
点C和点D，且△BOD的面积等于4.
A．2
B．4
A
C．8
D．不确定
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7．(中考•台州)如图，点A，B在反比例函数y＝ (x>0)的 图象上，点C，D在反比例函数y＝ (k＞0)的图象上 ，
AC∥BD∥y轴．已知点A，B的横坐标分别为1，2，
△OAC与△ABD的面积之和为 ，则k的值为( )
B
A．4
B．3
C．2
D.
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知识点 2 反比例函数图象的对称性
解：(1)∵点A的坐标是(2，3)，且点A在反比例函数 y＝ (k≠0)的图象上，
∴3＝ ，∴k＝6. 易得点C与点A关于原点O对称， ∴C(－2，－3)．
(2)∵△APO的面积为2，点A的坐标是(2，3)，
∴2＝ ，得OP＝2.∴点P的坐标为(0，2)．
设过点P(0，2)、点A(2，3)的直线的函数解析式