高考数学复习-常见的几个函数不等式及其应用

常见的几个函数不等式及其应用
在近几年的高考中，无论是国家考试中心的数学命题，还是一些独立命题省市的数学命题，有一些函数不等式在命题中出现的频率很高，它们在函数的性质的应用中和函数不等式的证明中发挥着很重要的作用，下面分别介绍这些函数不等式.一、函数不等式的介绍（1）
)1()1ln(1->≤+≤+x x x x
x
①
证明：令x x x f -+=)1ln()(，则x
x
x x f +-=
-+=
'1111)(.当01<<-x 时，0)(>'x f ；当0>x 时，0)(<'x f .所以)(x f 在0=x 时取得极大值，故0)0()(=≤f x f ，所以)1()1ln(->≤+x x x .令x x x x g +-
+=1)1ln()(，则2
2)
1()1()1(11)(x x
x x x x x g +=+-+-+='.当01<<-x 时，0)(<'x f ；当0>x 时，0)(>'x f .所以)(x f 在0=x 时取得极小值，故0)0()(=≥g x g ，)1)(1ln(1->+≤+∴x x x
x
.综上可知，
)1()1ln(1->≤+≤+x x x x
x
.变式：)0(1ln >-≤x x x ，②)0(11
ln >≥+x x
x .③（2）)1)(1
(21ln ≥-≤
x x
x x ④
)10)(1
(21ln ≤<-≥
x x
x x ⑤
证明：令)1(21ln )(x x x x f --=，则02)1()11(211)(2
2≤--=+-='x x x
x x f .所以函数)(x f 在),0(+∞单调递减.
所以，当1≥x 时，0)1()(=≤f x f ；当10≤<x 时，0)1()(=≥f x f .所以，不等式④，⑤成立.变式：)
0(1
)1ln(≥+≤+x x x x ⑥（3）)1(1
)
1(2ln ≥+-≥
x x x x ⑦
)10(1
)
1(2ln ≤<+-≤
x x x x ⑧
证明：令1)1(2ln )(+--=x x x x f ，则0)1()1()(2
2
≥+-='x x x x f .
所以函数)(x f 在),0(+∞单调递增.当1≥x 时，0)1()(=≥f x f ；当10≤<x 时，0)1()(=≤f x f .所以，不等式⑦，⑧成立.（4）
)10(2
1
1)1ln(112ln 1≤<<-+≤-x x x ⑨
证明：令x x x f 1
)1ln(1)(-+=
，则2
21)1(ln )1(1)(x
x x x f +++-='，而)
1(ln ]1)1][ln(1)1[ln()1(ln 1)1(ln )(22222
2
x x x x x x x x x x x x x x f ++-++++=
++-
+='，
由⑥式)0(1
)1ln(≥+≤+x x x x 知，0)(<'x f ，所以)(x f 在10≤<x 上为减函数，12
ln 1
)1()(-=≥f x f .由⑦式)1(1)1(2ln ≥+-≥
x x x x 知21
1)1ln(1<-+x x .综上可知，不等式⑨成立.
（5）)0(1
)
21
1()1ln(≥++
≤+x x x x x ⑩
证明：令1)211()1ln()(++
-
+=x x x x x f ，则0)1(2)(2
2≤+-='x x x f .故0)0()(=≤f x f .所以，不等式⑩成立.变式：)
0)(1
1
1(21)11ln(>++≤+x x x x ⑪
利用上述类似构造函数方法，还可以得到以下一些重要不等式：（6）贝努尼不等式：当1->x 时，)0,1(1)1(<≥+≥+αααα或x x ，
⑫)10(1)1(<<+≤+αααx x ⑬
（7）)0(2
1)1ln(2
≥-
≥+x x x x ⑭
二、常见的函数不等的作用
利用上述介绍的函数不等式，无论是去研究函数性质，还是去证明函数不等式或证明数列不等式都会带来许多便利.下面分别联系近几年高考的命题进行说明。

（1）求函数的单调区间或研究函数的单调性，求函数的极值或最值例1
（2008年湖南卷，理21）已知函数x
x x x f +-+=1)1(ln )(2
2
.
（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若不等式e )1
1(≤++αn n
对任意的*∈N n 都成立，求α的最大值.
解：（Ⅰ）对)(x f 求导数，得2
2
)1()1(211)1ln(2)(x x x x x x x f +-+-
+⋅+=')]111(21)1[ln(12x x x x +-+-++=.由不等式④)1)(1(21ln ≥-≤
x x x x ，⑤)10)(1
(21ln ≤<-≥x x
x x 可知：当0≥x 时，11≥+x ，有)11
1(21)1ln(x
x x +-+≤+，0)(≤'x f ；当01≤<-x 时，110≤+<x ，有)11
1(21)1ln(x
x x +-+≥
+，0)(≥'x f .因此，当0≥x 时，)(x f 为减函数；当01≤<-x 时，)(x f 为增函数.（Ⅱ）由e )11(≤++αn n 可知，1)11ln()(≤+⋅+n n α，所以n n -+≤)11ln(1
α.记]1,0(1∈=t n ，则t t 1)1ln(1-+≤
α，]1,0(∈t .由不等式⑨)10(211)1ln(112ln 1≤<<-+≤-x x x ，可知12
ln 11)1ln(1-≥-+t t ，12ln 1-≤
∴α.所以，α的最大值为12
ln 1
-.
（2）利用常用不等式求参数的取值范围例2
（2010年全国卷，理22）设x x f --=e 1)(.
（Ⅰ）证明：1->x 时，1
)(+≥x x x f ；（Ⅱ）设0≥x 时，1
)(+≤
ax x
x f ，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）利用分析法，结合①式)1()1ln(1->≤+≤+x x x x
x
可以证明.（Ⅱ）因为1e
110+≤-
<ax x
x
在0≥x 时恒成立，所以01>+ax 在0≥x 时恒成立，则0≥a .另一方面，由1e
110+≤-<ax x x ，得x a x x 11e e --≤.令t x =e ，由0≥x 知1≥t .)1(ln 1
1≥--≤∴t t t t a .
由不等式⑦)1(1)1(2ln ≥+-≥
x x x x 可知)1(1)1(2ln ≥+-≥t t t t ，所以1>t 时，21
)1(211ln 11=-+-->--t t t t t t t .又由导数定义可知11ln lim
1=-→t t t ，所以21ln )1(lim 1=-+→t t t t ，故2
1
ln 11≥--t t t .
综上，所求a 的取值范围为]2
1
,0[.
例3
（2014年湖南卷，理22）已知常数0>a ，2
2)1ln()(+-
+=x x
ax x f .（Ⅰ）讨论)(x f 在区间),0(+∞上单调性；
（Ⅱ）若)(x f 存在两个极值点21,x x ，且0)()(21>+x f x f ，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）2
22)2)(1()
1(4)2(41)(++--=
+-+='x ax a ax x ax a x f .因为0)2)(1(2>++x ax ，所以当01≤-a ，即1≥a 时，0)(≥'x f 恒成立，则函数)(x f 在区间),0(+∞上单调递增.当10<<a 时，由0)(='x f ，得a a a x )1(2-±=.则函数)(x f 在区间))1(2,0(a a a -单调递减，在),)
1(2(+∞-a
a a 单调递增.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，10<<a 时才可能出现两个极值点21,x x ，且021=+x x ，a
a x x )
1(421-=.而22)1ln(22)1ln()()(22
211121+-+++-+=+x x ax x x ax x f x f 44
)(2)4(4])(1ln[21212121221-+++++++++=x x x x x x x x a x x a 2122)12ln(2--+
-=a a )1121
|12|(ln 2--+-=a a ，此时1121<-<-a .由不等式③)0(11
ln >≥+
x x
x 可知：要使0)()(21>+x f x f 恒成立，必需1120<-<a ，从而12
1
<<a .所以，所求a 的取值范围为)1,2
1
(.
（3）利用常见不等式比较大小
例4（2013年陕西卷，理21）已知函数x x f e )(=，R ∈x .(Ⅰ)若直线1+=kx y 与)(x f 的反函数的图像相切，求实数k 的值；(Ⅱ)设0>x ，讨论曲线)(x f y =与曲线2(0)y mx m =>公共点的个数；(Ⅲ)设b a <，比较
()()2f a f b +与()()
f b f a b a
--的大小，并说明理由.解：(Ⅰ)
)(x f 的反函数x x g ln )(=.设切点)ln ,(00x x ，则⎪⎩
⎪⎨⎧='=+=,
1)(,
1ln 0000x x g k kx x 解之得2
e -=k .
(Ⅱ)由2
e mx
x
=，得2e x m x =.令2e )(x x g x =，则3
)
2(e )(x
x x g x -='.当20<<x 时，0)(<'x g ；当2>x 时，0)(>'x g .所以2=x 是极小值点.
从而可知，在4e 2<m 时无交点；在4e 2=m 时有一个交点；在4e 2
>m 时有两个交点.
(Ⅲ)记a
b a b a f b f b f a f M a
b b a ---
+=---+=e e 2e e )()(2)()(，令0>=-t a b ，则t a b M a t a t a a a b b a e e 2e e e e 2e e --+=---+=++)]2()2(e [2e )1e 2e 1(e ++-=--+=t t t
t t a t t
a .再令0),2()2(e )(>++-=t t t t h t ，在2≥t 时，可知0)(>t h .在20<<t 时，可证明t
t
t -+<22e .事实上，令t t t -+=
'22，则1>'t ，且112+'-'=t t t .只需证
)1(ln 1
)
1(2>''<+'-'t t t t .而由常见不等式⑦)1(1
)
1(2ln ≥+-≥
x x x x 可知上式恒成立.从而0)2()2(e )(>++-=t t t h t 在0>t 时恒成立.所以0>M ，即a
b a f b f b f a f -->
+)
()(2)()(.（4）利用常用不等式研究存在性问题
例5（2011年湖南卷，文22）设函数)(ln 1
)(R ∈--=a x a x
x x f .（Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；
（Ⅱ）若)(x f 有两个极值点1x 和2x ，记过点))(,(11x f x A ，))(,(22x f x B 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得a k -=2？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞.2
22
11'()1a x ax f x x x x
-+=+-=令1)(2
+-=ax x x g ，其判别式42-=∆a .当22≤≤-a 时，0≤∆，0)(≥'x f ，故)(x f 在),0(+∞上单调递增．当2-<a 时，而0>x ，有0)(≥'x f ，故)(x f 在),0(+∞上单调递增．
当2>a 时，0>∆，012
=+-ax x 的两根为2421--=a a x ，2
4
22-+=a a x .
故)(x f 在),0(1x 上单调递增，在),(21x x 上单调递减，在),(2+∞x 上单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2>a ，且a x x =+21，121=x x ．因为12
12121212
()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+--，所以2
12
12121212121ln ln 2ln ln 11)()(x x x x a x x x x a x x x x x f x f k --⋅
-=--⋅-+=--=
若存在a ，使得a k -=2，则1ln ln 2
121=--x x x x .而121=x x ，所以2221
ln 2x x x -=.由不等式④)1)(1
(21ln >-≤
x x
x x 可知上式不可能成立，故不存在a ，使得a k -=2.（5）利用常用不等式证明不等式例6
（2013年全国大纲卷，理22）已知函数x
x x x x f ++-
+=1)
1()1ln()(λ.
（Ⅰ）若0≥x 时，0)(≤x f ，求λ的最小值；（Ⅱ）设数列}{n a 的通项n a n 131211++++
= ，证明：2ln 412>+-n
a a n n .解：（Ⅰ）由已知0)0(=f ，2
2
)
1()21()(x x x x f +--='λλ，0)0(='f .若2
1
<λ，则当)21(20λ-<<x 时，0)(>'x f ，所以0)(>x f .若2
1
≥
λ，则当0>x 时，0)(<'x f ，所以0)(<x f .综上，λ的最小值是
2
1.（Ⅱ）由不等式⑩)0(1)
211()1ln(≥++
≤+x x x x x ，令n x 1=，有)1
11(21)11ln(++<+n n n .于是)1
11(21ln )1ln(++<-+n n n n ，)21
11(21)1ln()2ln(+++<+-+n n n n ，……
)21
121(21)12ln()2ln(n
n n n +-<
--，以上各式相加，得n n n n n n 41)21211(ln 2ln +++++<- n a a n n 412+-=.所以2ln 41
2>+-n
a a n n .
例7（2016全国卷Ⅰ，理21）已知函数2)1(e )2()(-+-=x a x x f x 有两个零点.（Ⅰ）求a 的取值范围；
（Ⅱ）设x 1，x 2是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x .解：（Ⅰ）令t x =-1，则1+=t x .
因为函数2)1(e )2()(-+-=x a x x f x 有两个零点，所以21e )1()(at t t g t +-=+有两个零点，而0≠t ，
所以t
t t t t t a e )(e e )1(122
1--+-=-=.
记t t t t m e )(e )(12
---=，则1
321
2
23
e 2]e )(e )2(e[)(+----+-=-++-=t t
t t
t t t
t t
t m .
列表如下：
t -∞)0,(-∞0),0(+∞+∞
)(t m '+
不存在－)
(t m 0
↗
+∞
↘
-∞
而0)1(=h ，
所以，当0>a 时，)(t g 有两个零点，其中一个零点01>t ，另一个零点02<t .综上，a 的取值范围为(0,)+∞．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知0>a 时，)(t g 有两个零点1t 和2t ，其中0111>-=x t ，0122<-=x t ，即存在01>t ，02<t 使得)(e )1()(e )1(22
2
1
212
1
1
121t m t t t m t t a t t =-=
=-=++.
下面证明021<+t t .
记21e )1()(t t t m t +-=，则2
1
e )1()(t
t t m t +-+=-，先证明不等式)()(t m t m >-在0>t 时恒成立.（ⅰ）当1≥t 时，0)(>-t m ，0)(<t m ，所以)()(t m t m >-.（ⅱ）当10<<t 时，要证2
1
21e )1(e )1(t t t t t t ++-->
+，只需证t t t -+<11e 2，即t
t
t -+<11ln 2.记
111>=-+u t t ，只需证)1(1
)1(2ln >+->u u u u 恒成立.令1)
1(2ln )(+--=u u u u F ，则0)
1()1()(2
2≥+-='u u u u F ，所以0)1()(=>F u F ，从而)()(t m t m >-在)1,0(∈t 时恒成立.所以，)()(t m t m >-在0>t 时恒成立.因为)()(21t m t m a ==，02<t ，02>-t ，所以)()(22t m t m <-.所以)()()(221t m t m t m ->=.又)(t m 在),0(+∞上单调递减，所以21t t -<，从而021<+t t ，所以0)1()1(21<-+-x x ，故221<+x x .
总之，从2006年开始，在近十年的高考数学命题中，这些常见的函数不等式在全国卷中出现的频率是最高的，其次在湖南省、湖北省、陕西省的独立命题中出现也很频繁，在山东省、天津市、辽宁省、广东省等省市的独立命题也时常出现.这些不等式是一种很好的桥梁，能够有效地将一些条件和结论联系起来，无论处理选择题与填空题，还是解决解恨答题，恰当的使用的确能起到事半功倍的效果，要引起广大教师和考生的高度重视，对导数和函数这一部分的复习起到画龙点睛的作用.。