2018版高考数学(浙江专用)专题复习
2018年高考数学(浙江省专用)复习专题测试：第11章 计数原理 11.2 二项式定理
(浙江专用)
第十一章 计数原理
§11.2 二项式定理
五年高考
考点 二项式定理及应用
1.(2017课标全国Ⅲ理,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为 ( A.-80 B.-40 C.40 D.80 )
答案 C 本题考查二项式定理,求特定项的系数.
r 3 r r 3 2 C5 (2x-y)5的展开式的通项为Tr+1= · (2x)5-r· (-y)r=(-1)r· 25-C x5-ryr.其中x2y3项的系数为(-1)3· 22C · 5 · 5 =-40,x y 2 C5 项的系数为(-1)2· 23· =80.于是(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为-40+80=40.
2 2 Cn C3 C6 C1 C1 C C3 · 4 .从而f(3,0)= 6 =20, f(2,1)= 4 =60, f(1,2)= 6· 4 =36, f(0,3)= 4 =4,故选C.
4.(2016四川,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为 ( A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4
1 C 依题意,令5-2r=3,得r=1,∴(-a)1· 5 =30,a=-6,故选D.
8.(2015陕西,4,5分)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n= ( A.4 答案 -5舍). B.5 C.6 D.7
)
2 2 2 C2 Cn Cn C 因为(x+1)n的展开式中x2的系数为 n =15,亦即n -n=30,解得n=6(n= n ,所以 n =15,即
k
C3 的系数为(-1)3· 22×3-5 5 =-20,故选A.
浙江专版2018年高考数学二轮专题复习专题验收评估三数列与数学归纳法20180207498
专题验收评估(三) 数列与数学归纳法(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·江西赣江调研)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＝18－a5，则S8＝() A．18 B．36 C．54 D．72解析：选D∵数列{a n}为等差数列，a4＋a5＝18，∴由等差数列的性质得a4＋a5＝a1＋a8 a1＋a8 × 8 ＝18，∴S8＝＝72.22．(2017·昆明模拟)已知数列{a n}是等差数列，若a2，a4＋3，a6＋6构成公比为q的等比数列，则q＝()A．1 B．2 C．3 D．4解析：选A设等差数列{a n}的公差为d，则a2＝a4－2d，a6＋6＝a4＋2d＋6，所以(a4－2d)(a43 a4＋3 a2＋2d＋3＋2d＋6)＝(a4＋3)2，化简得(2d＋3)2＝0，解得d＝－，所以q＝＝＝1.2 a2 a23．(2017·郑州模拟)《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？()A．18 B．20 C．21 D．25解析：选C依题意得，该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n}，30 5＋a30其中a1＝5，前30项的和为390，于是有＝390，解得a30＝21，即该女最后一天2织21尺布，故选C.4．(2018届高三·福建六校联考)已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝()17 19A. B.2 2C．10 D．12解析：选B∵公差为1，8 × 8－1∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.21∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，21 19∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.故选B.2 2- 1 -5．(2017·沈阳调研)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开()A．(k＋3)3 B．(k＋2)3C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3解析：选A假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．6．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝12，a3a5＝4，则下列说法正确的是() A．{a n}是单调递减数列B．{S n}是单调递减数列C．{a2n}是单调递减数列D．{S2n}是单调递减数列解析：选C由于{a n}是等比数列，则a3a5＝a24＝4，又a2＝12，则a4>0，所以a4＝2，q2＝1 6 16，当q＝－时，{a n}和{S n}不具有单调性，选项A和B错误；a2n＝a2q2n－2＝12×n－16 (6 )6单调递减，选项C正确；当q＝－时，{S2n}不具有单调性，选项D错误．67．(2017·杭州模拟)在正项等比数列{a n}中，2 2为a4与a14的等比中项，则2a7＋a11的最小值为()A．16 B．8 C．6 D．4解析：选B因为{a n}是正项等比数列，且2 2为a4与a14的等比中项，所以a4a14＝8＝8 8a7a11，则2a7＋a11＝2a7＋≥22a7·＝8，当且仅当a7＝2时，等号成立，所以2a7＋a11的a7 a7最小值为8，故选B.5 8．(2017·江西吉安一中模拟)已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4＋，2a11成等比数列．若p－q＝10，则a p－a q＝()A．14 B．15 C．16 D．175 解析：选B设等差数列{a n}的公差为d，由题意分析知d>0，因为a3，a4＋，a11成等比25 7数列，所以( 2)2＝a3a11，即( ＋3d)2＝(1＋2d)·(1＋10d)，即44d2－36d－45＝0，所以d＝a4＋23 15 3n－1 3舍去)，所以a n＝，所以a p－a q＝(p－q)＝15.2(d＝－22 2 29．(2018届高三·豫南十校联考)设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的1x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)．若a1＝，a n＝f(n)(n∈N*)，则数列{a n}的前n项和S n2的取值范围是()- 2 -1 1A.[ ，2 )B.[ ，2 ]2 21 1C.[ ，1 )D.[ ，1 ]2 2解析：选C在f(x)·f(y)＝f(x＋y)中，令x＝n，y＝1，得f(n＋1)＝f(n)f(1)，又a1＝1 1 1，a n＝f(n)(n∈N*)，则a n＋1＝a n，所以数列{a n}是首项和公比都是的等比数列，其前n项2 2 21 1×(1－2n)2 1 1和S n＝＝1－2n∈[ ，1 )，故选C.1 21－212 22 n2 n n＋1[ 2 ]2，则对于10．(2017·湖南长沙一中月考)已知数列{a n}满足＋＋…＋a n＝a1 a2任意的正整数n，下列关系式不成立的是()a n＋1A．a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝a n1 1 1 1B. ＋＋…＋＝a1 a2 a n2a n a n＋1a1 a2 a n5C. ＋＋…＋<12 22 n2 4a1 a2 a nD. ＋＋…＋<11 2 n12 22 n2 n n＋1 12解析：选D在＋＋…＋a n＝[ 2 ]2中令n＝1，解得a1＝1，且当n≥2时，有a1 a2 a1 22 n－1 2 n n－1 1 1＋＋…＋a n－1 ＝[ 2 ]2，两式相减得＝n(n≥2)，故a n＝(n≥2)，当n＝1时，a2 a n n1 1 1此式也成立，故数列{a n}的通项公式为a n＝.因而，a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝＋n 1 × 2 2 × 31 1 1 1 1 1 n a n＋1 1 1＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝＝，选项A中的等式成立. ＋＋…n n＋1 2 2 3 n n＋1 n＋1 a n a1 a21 n n＋1 1 a1 a2 a n 1 1＋＝1＋2＋…＋n＝＝，选项B中的等式成立. ＋＋…＋＝＋＋…a n 2 2a n a n＋1 12 22 n2 13 231 1 1 1 1 1 1 1＋< ＋＋…＋＝1＋×＋＋…＋n3 13 1 × 2 × 3 n－1 n n＋1 2 1 × 2 2 × 3 n－1 n1 1 1 1 5 1 5－[＋＋…＋]＝1＋×＝－< ，选项C中的不等式成立．当n＝12 [ －n n＋1 ]2 2 4 2n n＋1 4a1 a2 a n时，＋＋…＋＝1，故选项D中的不等式不成立．故选D.1 2 n二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)- 3 -111．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1＝，S2＝a3，则d＝________，a2＝2________.1 解析：设{a n}的公差为d，由S2＝a3知，a1＋a2＝a3，即2a1＋d＝a1＋2d，又因为a1＝，2 1所以d＝，故a2＝a1＋d＝1.21答案： 1212．(2017·南通调研)在等差数列{a n}中，已知首项a1>0，公差d>0.若a1＋a2≤60，a2＋a3≤100，则5a1＋a5的最大值为________，取到最大值时d＝________，a1＝________.解析：由题意可得点(a1，d)满足Error!100(0，，B(20,20)，C(30，对应的平面区域是如图所示的以点A3 )0)，O(0,0)为顶点的四边形(不包含坐标轴上的点)，又5a1＋a5＝6a1＋4d，故经过B点，即a1＝d＝20时，5a1＋a5取得最大值200.答案：200202013．已知数列{a n}是等比数列，a1，a2，a3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又a1，a2，a3中任何两个都不在同一列，则q＝________，a n＝________(n∈N*).第一列第二列第三列第一行 1 10 2第二行 6 14 4第三行9 18 8解析：观察题中的表格可知a1，a2，a3分别为2,6,18，即{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n＝2·3n－1.答案：32·3n－114．(2017·台州模拟)已知数列{a n}的前m(m≥4)项是公差为2的等差数列，从第m－1项起，a m－1，a m，a m＋1，…成公比为2的等比数列．若a1＝－2，则m＝________，{a n}的前6项和S6＝________.a m 2m－4解析：由题意，得a m－1＝a1＋(m－2)d＝2m－6，a m＝2m－4，则由＝＝2，解得ma m－1 2m－6＝4，所以数列{a n}的前6项依次为－2,0,2,4,8,16，所以S6＝28.答案：42815．(2017·云南昆明质检)在平面直角坐标系上，有一点列：P1，P2，…，P n，…(n∈N*)，2设点P n的坐标为(n，a n)，其中a n＝(n∈N*)，过点P n，P n＋1的直线与两坐标轴所围成的三角n形的面积为b n，设S n表示数列{b n}的前n项和，则S5＝________.- 4 -2 2 2 y － － n n ＋1 n解析：由题意得，过点 P n ，P n ＋1的直线为 ＝ ，即 2x ＋n (n ＋1)y －2(2n ＋1)＝0.x －n n ＋1 －n2 2n ＋1 1 2 2n ＋1令 y ＝0，得 x ＝2n ＋1，令 x ＝0，得 y ＝ ，所以 b n ＝ ×(2n ＋1)× ＝4＋ n n ＋1 2 n n ＋1 11 1 1 1 1 1 1 125＝4＋ － ，所以 S 5＝4×5＋1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ .n n ＋1 n n ＋1 2 2 3 5 6 6125答案： 61 1 1 n 16．(2017·兰州模拟)已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且 ＋ ＋…＋ ＝ .设 b n ＝ S 1 S2 S n n ＋1 1116(2 ) (a n ，数列{b n }的前 n 项和为 T n ，若对一切 n ∈N *，均有 T n ∈3)，则实数 m，m 2－6m ＋ m的取值范围是________．1 1 1 n n －1 1 解析：当 n ＝1时， ＝ ，当 n ≥2 时， ＝ － ＝ ，当 n ＝1时也成立， S 1 2 S n n ＋1 n n n ＋1 所以 S n ＝n (n ＋1)，n ∈N *，则 a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n ，n ≥2，当 n ＝1时也成立，所以 a n ＝1 1 1× (1－4n) 1－ 114 4n2n ，n ∈N *.则 b n ＝(2)a n ＝ ，数列{b n }是等比数列，所以其前 n 项和 T n ＝＝4n1 31－41 1 ∈[，所以Error!解得 m <0或 m ≥5.，3)4答案：(－∞，0)∪[5，＋∞)17．在数列{a n }中，若 a 2n －a n －21＝p (n ≥2，n ∈N *，p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：①若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列； ②已知数列{a n }是等方差数列，则数列{a 2n }是等方差数列； ③{(－1)n }是等方差数列；④若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列． 其中正确的序号为________．解析：对于①，由等方差数列的定义可知，{a 2n }是公差为 p 的等差数列，故①正确；对于②， 取 a n ＝ n ，则数列{a n }是等方差数列，但数列{a 2n }不是等方差数列，故②错；对于③，因为 [(－1)n ]2－[(－1)n －1]2＝0(n ≥2，n ∈N *)为常数，所以{(－1)n }是等方差数列，故③正确；对于④，若a2n－a n－21＝p(n≥2，n∈N*)，则a k2n－a k n2－1 ＝(a k2n－a kn2－1)＋(a kn2－1－a kn2－2)＋…＋(a kn－2k＋1－a k n2－1 )＝kp为常数，故④正确．答案：①③④三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)- 5 -18．(本小题满分14分)设数列{a n} 满足：a1＝1，a n＋1＝3a n，n∈N*.(1)求{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)已知{b n}是等差数列，T n为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.解：(1)由题设知{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，1－3n 1所以a n＝3n－1，S n＝＝(3n－1)．1－3 2(2)设{b n}的公差为d，b1＝a2＝3，b3＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d，所以数列{b n}的公差d＝5，20 × 19故T20＝20×3＋×5＝1 010.2119．(本小题满分15分)(2017·台州调研)已知点( 3 )是函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)1，的图象上一点，等比数列{a n}的前n项和为f(n)－c，数列{b n}(b n>0)的首项为c，且前n项和S n满足：S n－S n－1＝S n＋S n－1(n≥2)．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；1(3 )n，求数列{c n}的前n项和R n.(2)若数列{c n}的通项c n＝b n·1 1(3 )x，解：(1)∵f(1)＝a＝3，∴f(x)＝1 a1＝f(1)－c＝－c，32a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－，92a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－.27又数列{a n}成等比数列，4a81 2 12∴a1＝＝＝－＝－c，∴c＝1.a3 2 3 3－27a2 1又公比q＝＝，a1 32 1 1∴a n＝－3×(3 )n－1＝－2×(3 )n(n∈N*)．∵S n－S n－1＝( S n－S n－1)( S n＋S n－1)＝S n＋S n－1(n≥2)，b n>0，S n>0，∴S n－S n－1＝1，∴数列{ S n}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，S n＝1＋(n－1)×1＝n，S n＝n2.当n≥2时，b n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又b1＝c＝2×1－1＝1满足b n＝2n－1，- 6 -∴b n＝2n－1(n∈N*)．1 1(3 )n＝(2n－1)·(3 )n，(2)∵c n＝b n·∴R n＝c1＋c2＋c3＋…＋c n1 1 1 1＝1×(3 )1＋3×(3 )2＋5×(3 )3＋…＋(2n－1)×(3 )n，①1 1 1 1 1 13 (3 ) (3 ) (3 ) (R n＝1×2＋3×3＋5×4＋…＋(2n－3)×3)n＋(2n－1)×(3 )n＋1.②2 1 1 1 1 1 由①－②得，R n＝＋2 －(2n－1)×n＋1，3 [(3 )2＋(3 )3＋(3 )4＋…n] (3 )31 1(3 )2[1－(3 )n－1]2 1 1 2 2 n＋1化简得，R n＝＋2×－(2n－1)×n＋1＝－×1－(3 )3 3 1 3 331(3 )n，n＋1∴R n＝1－.3n1 20．(本小题满分15分)设等差数列{a n}的前n项和为S n，a22－3a7＝2，且，，S3S2－3a2成等比数列，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；2(2)令b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，若对于任意的n∈N*，都有8T n<2λ2＋5λa n a n＋2成立，求实数λ的取值范围．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由Error!得Error!即Error!解得Error!或Error!2 2 17当a1＝－，d＝时，S2－3＝－没有意义，5 5 5∴a1＝2，d＝2，此时a n＝2＋2(n－1)＝2n.2 1 11 1 (2)b n＝＝＝4( .－n＋2)a n a n＋2 2n n＋2 n11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1T n＝b1＋b2＋b3＋…＋b n＝4( －3 )＋＋＋＋＋＋…4( －4 )4( 5 )4( 6 )4( 7 )4( 8 )－－－－1 2 3 4 5 61 1 1 11 1 1 3 1 1 1＋－＋－＝(1＋－－)＝－.4( n＋1) 4( n＋2) 4( n＋2)＋n－1 n 4 8 n＋1- 7 -∴8T n＝3－2( n＋2)<3，＋n＋11 为满足题意，必须2λ2＋5λ≥3，∴λ≥或λ≤－3.210 1021．(本小题满分15分)在数列{a n}中，a1＝1，a2＝，a n＋1－a n＋a n－1＝0(n≥2，且n∈3 3N*)．(1)若数列{a n＋1＋λa n}是等比数列，求实数λ；(2)求数列{a n}的通项公式；n1 3∑(3)设S n＝，求证：S n< .a i 2i＝1解：(1)设a n＋1＋λa n＝μ(a n＋λa n－1)(n≥2)，∴a n＋1＋(λ－μ)a n－λμa n－1＝0(n≥2)，1∴Error!∴λ＝－或λ＝－3.31(2)由(1)知当n≥2时，a n－a n－1＝3n－1，①31 a n－3a n－1＝，②3n－13 1由①②得a n＝3n－.8( 3n)3 1(3)证明：由(2)知a n＝3n－>0，8( 3n)1由a n－3a n－1＝(n≥2)，得a n>3a n－1，3n－11 1 1∴< ·(n≥2)，a n3 a n－11 1 1 1S n＝＋＋＋…＋<a1 a2 a3 a n1 1 1 1 1 1＋＋…＋a n－1)3( ＋＋a1 a1 a2 a31 1 1 1 1 1 1 1＝＋3( ＋－<＋a n)a 1 a 1 a 2 a 3 a n－13a n1 1 3 ＋ S n ，∴S n < . a 1 3 21 1 22．(本小题满分 15分)(2017·绍兴模拟)已知数列{a n }满足，a 1＝1，a n ＝ － . a n ＋12 2 (1)求证：a n ≥ ；3 1(2)求证：|a n ＋1－a n |≤ ；3- 8 -10(3)求证：|a2n－a n|≤.271证明：(1)由已知得a n＋1＝，又a1＝1，1a n＋22 6 14 2则a2＝，a3＝，a4＝，猜想≤a n≤1.3 7 19 3下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，命题显然成立；2②假设n＝k时，有≤a n≤1成立，31 1 则当n＝k＋1时，a k＋1＝≤<1，1 2 1a k＋＋2 3 21 1 2a k＋1＝≥＝，即当n＝k＋1时也成立，1 1 3a k＋1＋2 22 所以对任意n∈N*，都有≤a n≤1.31(2)当n＝1时，|a2－a1|＝；31 1 1 1 1 1 3 当n≥2时，∵( ＝2)·＝1＋≥1＋＝，a n＋2)(a n－1＋2) (a n＋a n2a n 2 21 1－∴|a n＋1－a n|＝| 1 1a n＋a n－1＋2|a n－a n－1|＝1 1( 2)(2)a n＋a n－1＋2 2≤|a n－a n－1|≤…≤3 )n－1|a2－a1|3 (1 2 1＝·3)n－1< .3 (31综上所述，|a n＋1－a n|≤.31 9 10 (3)当n＝1时，|a2－a1|＝＝< ；3 27 27当n≥2时，|a2n－a n|≤|a2n－a2n－1|＋|a2n－1－a2n－2|＋…＋|a n＋1－a n|1 2 2 2≤3[(3 )2n－2＋(3 )2n－3＋…＋(3 )n－1]2 2)n－1－(3 )2n－1＝(3- 9 -2210≤3－(3)3＝.27- 10 -。
2018版高考数学浙江版二轮专题复习配套课件：专题一 三角函数与平面向量 第3讲 精品
2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b⇔a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 3.平面向量的三个性质
(1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a· a＝ x2＋y2. → (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. (3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角， x1x2＋y1y2 a· b 则 cos θ ＝ ＝ 2 2 2 2. |a||b| x1＋y1 x2＋y2
1 答案 2
3.(2017· 全国Ⅰ卷)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1， 则|a＋2b|＝________.
解析 |a＋2b|2＝|a|2＋2|a|· |2b|· cos 60°＋(2|b|)2 1 2 ＝2 ＋2×2×2×2＋2 ＝4＋4＋4＝12，
2
∴|a＋2b|＝ 12＝2 3.
1→ 2→ → → → → λ－2 → → 则AD·AE＝ 3AB＋3AC ·(λAC－AB)＝ AB·AC－ 3 2λ 1 → 2 2λ → 2 λ－2 1 11 2 2 AB ＋ AC ＝ ×3－ ×3 ＋ ×2 ＝ λ－5＝ 3 3 3 3 3 3 3 －4，解得 λ＝11.
答案 3 11
考 点 整 合 1.平面向量的两个重要定理 (1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一 个实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共
线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实
数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.
2018版高考数学浙江专用文理通用大一轮复习课件：第六
2.若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为(
)
A.5或8
C.－1或－4
解析 分类讨论：
B.－1或5
D.－4或8
－3x－1－a，x<－1， －x＋1－a，－1≤x≤－a， 2 当 a≤2 时，f(x)＝ a 3x＋1＋a，x>－ ， 2 a a 显然， x＝－2时， f(x)min＝2＋1－a＝3， ∴a＝－4，
|x－b|≥a.
知识梳理 1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 |x|<a
|x|>a a>0 (－a，a) a＝0 ∅ a<0 ∅ R
_________________
(－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法 －c≤ax＋b≤c ； ①|ax＋b|≤c⇔____________________ ax＋b≥c或ax＋b≤－c ； ②|ax＋b|≥c⇔____________________________
(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立. 仅当_______________
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.( ) ) ) ) ) (2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.(
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.( (4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.( (5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
【精品】浙江专用2018年高考数学总复习教师用书：第9章 第8讲曲线与方程含解析
第8讲 曲线与方程最新考纲 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.知 识 梳 理1.曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上点的坐标与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解满足如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 2.求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y ). (3)列式——列出动点P 所满足的关系式.(4)代换——依条件式的特点，将其转化为x ，y 的方程式，并化简. (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 3.两曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎨⎧F 1（x ，y ）＝0，F 2（x ，y ）＝0的实数解.若此方程组无解，则两曲线无交点.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件.( ) (2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线.( ) (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.( )(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线.( )解析对于(2)，由方程得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y＝x是曲线x＝y2的一部分，错误.答案(1)√(2)×(3)×(4)×2.已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是( )A.满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上B.方程f(x，y)＝0是曲线C的方程C.方程f(x，y)＝0所表示的曲线不一定是曲线CD.以上说法都正确解析曲线C可能只是方程f(x，y)＝0所表示的曲线的一部分，因此答案C 正确.答案 C3.已知M(－1，0)，N(1，0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是( )A.双曲线B.双曲线左支C.一条射线D.双曲线右支解析由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线.答案 C4.已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________.解析连接OP，则|OP|＝2，∴P点轨迹是去掉M，N两点的圆，∴方程为x2＋y2＝4(x≠±2).答案x2＋y2＝4(x≠±2)5.(选修2－1P35例1改编)曲线C：xy＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为________.解析曲线xy＝2上任取一点(x0，y0)，则x0y0＝2，该点到两坐标轴的距离之积为|x0||y0|＝|x0y0|＝2.答案 26.(2017·宁波月考)设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋9a(a>0)，(1)当a＝3时，点P的轨迹是________；(2)当a≠3时，点P的轨迹是________.解析∵a＋9a≥2a·9a＝6(a>0).(1)当a＝3时，a＋9a＝6，此时|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，P点的轨迹为线段F1F2，(2)当a≠3，a>0时，|PF1|＋|PF2|>|F1F2|.由椭圆定义知P点的轨迹为椭圆.答案(1)线段F1F2(2)椭圆考点一直接法求轨迹方程【例1】(2017·义乌模拟)已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点.(1)解如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点.∴|O1M|＝x2＋42，又|O1A|＝（x－4）2＋y2，∴（x－4）2＋y2＝x2＋42，化简得y2＝8x(x≠0).当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.(2)证明由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0. 其中Δ＝－32kb＋64>0.由根与系数的关系得，x1＋x2＝8－2bkk2，①x 1x2＝b2k2，②因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以y1x1＋1＝－y2x2＋1，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0③将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ>0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1，0).规律方法利用直接法求轨迹方程(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简.(2)运用直接法应注意的问题①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.【训练1】在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－13，则动点P的轨迹方程为________.解析因为点B与点A(－1，1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1).设点P的坐标为(x，y)，由题意得y－1x＋1·y＋1x－1＝－13，化简得x2＋3y2＝4(x≠±1).故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1).答案x2＋3y2＝4(x≠±1)考点二定义法求轨迹方程【例2】已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.解由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2).规律方法(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程.(2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制. 【训练2】已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4，动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线.解如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系.由|O1O2|＝4，得O1(－2，0)，O2(2，0).设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.∴|MO 2|－|MO 1|＝3.∴点M 的轨迹是以O 1，O 2为焦点， 实轴长为3的双曲线的左支. ∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－ 4y 27＝1⎝⎛⎭⎪⎫x ≤－32. 考点三 相关点法(代入法)求轨迹方程【例3】 如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2，1＜t ＜3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点.点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点.求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程. 解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3，0)，A 2(3，0).设点A 的坐标为(x 0，y 0)；由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3).①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3).② 由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9).③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 209.④ 将④代入③得x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0).因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0).规律方法 “相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 0，y 0)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎨⎧x 0＝f （x ，y ），y 0＝g （x ，y ）；(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程.【训练3】 已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 为椭圆C上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( ) A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0) C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D.x 2＋4y 23＝1(y ≠0) 解析 依题意知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )，则由三角形重心坐标关系可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y 03即⎩⎨⎧ x 0＝3x ，y 0＝3y ，代入x 204＋y 203＝1，得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0).答案C[思想方法]求轨迹方程的常用方法1.直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x ，y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程.3.相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程. [易错防范]1.求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系.检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义.2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A.两条直线 B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线解析 原方程可化为⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线. 答案 D2.(2017·嘉兴一中质检)若方程x 2＋y 2a＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( )A.任意实数a 方程表示椭圆B.存在实数a 方程表示椭圆C.任意实数a 方程表示双曲线D.存在实数a 方程表示抛物线解析 当a >0且a ≠1时，方程表示椭圆，故选B. 答案 B3.(2017·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1，0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点.线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( ) A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1 C.4x 225－4y 221＝1D.4x 225＋4y 221＝1解析 ∵M 为AQ 的垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹是以定点C ，A 为焦点的椭圆.∴a ＝52，∴c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴M 的轨迹方程为4x 225＋4y 221＝1.答案 D4.设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则点P 的轨迹方程是( ) A.y 2＝2x B.(x －1)2＋y 2＝4 C.y 2＝－2xD.(x －1)2＋y 2＝2解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1，0)，连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1，又∵|PA |＝1， ∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2， 即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2. 答案 D5.平面直角坐标系中，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( ) A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线解析 设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)，即⎩⎨⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝ y ＋3x10，λ2＝3y －x 10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x 10＝1，即x ＋2y ＝5 ，所以点C 的轨迹为直线，故选A. 答案 A 二、填空题6.(2017·湖州月考)已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹方程是________；轨迹所包围的图形的面积为__________.解析 设P (x ，y )，由|PA |＝2|PB |， 得（x ＋2）2＋y 2＝2（x －1）2＋y 2， ∴3x 2＋3y 2－12x ＝0， 即x 2＋y 2－4x ＝0.∴P 的轨迹为以(2，0)为圆心，半径为2的圆. 即轨迹所包围的面积等于4π. 答案 x 2＋y 2－4x ＝0 4π7.已知点A (1，0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为________.解析设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x12＝1， y ＋y 12＝0，即⎩⎨⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y . ∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x . 答案 y ＝2x8.在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，则顶点A 的轨迹方程为________.解析 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E ，F 分别为两个切点.则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |.∴|AB |－|AC |＝22＜|BC |＝4，∴点A 的轨迹为以B ，C 的焦点的双曲线的右支(y ≠0)且a ＝2，c ＝2，∴b ＝2，∴轨迹方程为x 22－y 22＝1(x ＞2).答案x 22－y 22＝1(x ＞2) 三、解答题9.(2017·温州十校模拟)已知点C (1，0)，点A ，B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点.(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由.解 (1)连接CP ，OP ，由AC →·BC →＝0，知AC ⊥BC ， ∴|CP |＝|AP |＝|BP |＝12|AB |，由垂径定理知|OP |2＋|AP |2＝|OA |2， 即|OP |2＋|CP |2＝9，设点P (x ，y )，有(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9， 化简，得x 2－x ＋y 2＝4.(2)存在.根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1，0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，其中p2＝1.∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ， 由方程组⎩⎨⎧y 2＝4x ，x 2－x ＋y 2＝4得x 2＋3x －4＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－4，由x ≥0， 故取x ＝1，此时y ＝±2.故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1，2).10.如图所示，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0).点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O ).当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O ).解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14.因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是 y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－（1－2）22p ＝－3－222p .②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，x 1≠x 2.由N 为线段AB 的中点知x ＝x 1＋x 22，③ y ＝x 21＋x 228.④切线MA ，MB 的方程分别为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 24. 因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 的中点N 为点O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 的中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .能力提升题组 (建议用时：30分钟)11.已知△ABC 的顶点A (－5，0)，B (5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4)解析 如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6<10＝|AB |，根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(y ≠0)，方程为x 29－y 216＝1(x >3).答案 C12.已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( ) A.y 2＝8x B.y 2＝－8x C.y 2＝4xD.y 2＝－4x解析 MN →＝(4，0)，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y ).∴|MN →|＝4，|MP →|＝（x ＋2）2＋y 2，MN →·NP →＝4(x －2).根据已知条件得4（x ＋2）2＋y 2＝4(2－x ).整理得y 2＝－8x .∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x . 答案 B13.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________.解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.答案 x 24a 2＋y 24b 2＝114.设λ＞0，点A 的坐标为(1，1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q 满足BQ →＝λQA →，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM →＝λMP →，求点P 的轨迹方程. 解 由QM →＝λMP →知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)， 则x 2－y 0＝λ(y －x 2)，即y 0＝(1＋λ)x 2－λy .① 再设B (x 1，y 1)，由BQ →＝λQA →， 即(x －x 1，y 0－y 1)＝λ(1－x ，1－y 0)， 解得⎩⎨⎧x 1＝（1＋λ）x －λ，y 1＝（1＋λ）y 0－λ.②将①式代入②式，消去y 0，得⎩⎨⎧x 1＝（1＋λ）x －λ，y 1＝（1＋λ）2x 2－λ（1＋λ）y －λ.③ 又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21，再将③式代入y 1＝x 21，得(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2，(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2，2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0. 因λ＞0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0. 故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1.15.(2016·全国Ⅲ卷)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点. (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 解 由题设F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2.所以 AR ∥FQ .(2)设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)， 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去).设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ). 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合. 所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.。
创新设计浙江专用2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念与导数的计算课件
x）′ex－cos x（ex）′ sin x＋cos x ＝－ . ex （ex）2
π (3)∵y＝xsin2x＋ 2
π cos2x＋ 2
1 1 ＝2xsin(4x＋π )＝－2xsin 4x. 1 1 ∴y′＝－2sin 4x－2x·4cos 4x 1 ＝－2sin 4x－2xcos 4x. (4)令 u＝2x－5，y＝ln u. 1 2 2 则 y′＝(ln u)′u′＝ ·2＝ ，即 y′＝ . 2x－5 2x－5 2x－5
【训练 2】 若存在过点(1，0)的直线与曲线 y＝x3 和 y＝ax2 15 ＋ 4 x－9(a≠0)都相切，则 a 的值为( 25 A.－1 或－ 64 7 25 C.－4或－64
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.函数y＝xcos x－sin x的导数为( A.xsin x C.xcos x 解析
)
B.－xssin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝
－xsin x. 答案 B
π sin x 3.(选修 2－2P18A7 改编)曲线 y＝ x 在 x＝ 处的切线方程为 2 ( ) 2 B.y＝ π 4 D.y＝ 2 x π
5.复合函数的导数 复合函数y＝ f(g(x)) 的导数和函数 y ＝f(u) ，u＝ g(x) 的导数 y对u 的导 间的关系为yx′＝yu′· ux′，即y对x的导数等于________ 数与_________ u对x 的导数的乘积.
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( ) )
________.
解析
(完整word版)2018浙江高考数学知识点,推荐文档
2018高考数学知识点总结1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
女口：集合A x|y lg x ，B y|y Ig x ，C （x,y）|y Ig x ，A、B、C 中元素各表示什么?2. 2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
若B A，则实数a的值构成的集合为____________ 3. 注意下列性质：（1）集合a i, a2,……,a n的所有子集的个数是2n；的特殊情况。
如：集合A x|x 2x 3 0 , B x|ax 1(答：1, o,-)3非空子集个数是2n 1,真子集个数是2n1,非空真子集个数是2n 2 4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围。
(••• 3 M，二•^03 a 5a 1,59,25)••• 5 M ,•••豎口05 a5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”（），“且”（）和“非”（）.若p q为真，当且仅当p、q均为真若p q为真，当且仅当p、q至少有一个为真若p为真，当且仅当p为假6.命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。
）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f : A T B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，A中元素不可剩余，允许B中有元素剩余。
）8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？10. 如何求复合函数的定义域？女口：函数f(x)的定义域是a, b , b a 0,则函数F(x) f(x) f( x)的定义域是_ (答：a, a )11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？12. 反函数存在的条件是什么？(一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗？(①反解x;②互换x、y :③注明定义域) 女口：求函数1 xf(x) 2xx 0的反函数x 0〜 1 x 1x 1(答：f 1(x))v x x 013.反函数的性质有哪些？①互为反函数的图象关于直线y = x对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性;14. 如何用定义证明函数的单调性？(取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性?(y f(u), u (x)，则y f (x)(外层)(内层)二……)15. 如何利用导数判断函数的单调性？在区间a, b内，若总有f'(x) 0则f(x)为增函数。
2018高考数学浙江专版二轮复习与策略课件 专题13 圆锥曲线中的综合问题 精品
(2)设直线 AB 的方程为 y＝kx＋m，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)．
由xy2＝＝k4xy＋m， 得 x2－4kx－4m＝0.
8分
于是 Δ＝16k2＋16m＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，所以 AB 的中点 M 的坐 标为(2k,2k2＋m)．
由P→F＝3F→M，得(－x0,1－y0)＝3(2k,2k2＋m－1)，
核
心
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识
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聚
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突破点 13 圆锥曲线中的综合问题
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究
提炼1 解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握
(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关． (2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值． (3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并 令其系数为零，可以解出定点坐标.
7分
记直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2，且 k1，k2>0，k1≠k2.
由(1)知，|AP|＝2a21|k＋1| a21k＋12 k21，
|AQ|＝2a21|k＋2| a21k＋22 k22，
故2a21|k＋1| a21k＋12 k21＝2a21|k＋2| a21k＋22 k22，
9分
所以(k21－k22)[1＋k21＋k22＋a2(2－a2)k21k22]＝0. 由于 k1≠k2，k1，k2>0 得 1＋k21＋k22＋a2(2－a2)k21k22＝0， 因此k121＋1k122＋1＝1＋a2(a2－2)． 因为①式关于 k1，k2 的方程有解的充要条件是 1＋a2(a2－2)>1， 所以 a> 2.
浙江专版2018年高考数学二轮专题复习知能专练十九复数计数原理二项式定理20180207481
知能专练（十九） 复数、计数原理、二项式定理一、选择题1．(2017·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．3＋3i解析：选B (1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i.2．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2D ．i(1＋i)解析：选C A 项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数； B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数； C 项，(1＋i)2＝2i,2i 是纯虚数；D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数．故选C.3．(2017·云南模拟)在⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 10的二项展开式中，x 4的系数为( )A ．－120B ．－60C ．60D ．120解析：选A ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 10的展开式的通项T r ＋1＝C r 10x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 10x 10－2r，令10－2r ＝4，得r ＝3，所以该二项展开式中x 4的系数为－C 310＝－120.4．旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方案有( )A ．24种B ．18种C ．16种D ．10种解析：选D 若甲景区在最后一个体验，则有A 33种方案；若甲景区不在最后一个体验，则有A 12A 22种方案．所以小李旅游的方案共有A 33＋A 12A 22＝10(种)．5．(2017·全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35解析：选C (1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30.6．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有( )A ．288种B ．144种C ．72种D ．36种解析：选B 首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法有C 34种；其次将获得同一道题目的2位教师选出，选法有C 24种；最后将选出的3道题目分配给3组教师，分配方式有A 33种．由分步乘法计数原理，知满足题意的情况共有C 34C 24A 33＝144(种)．7．(2017·长沙调研)⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．20解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5展开式的通项T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r ·(－2y )r ＝C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r ·(－2)r ·x5－r·y r ，令r ＝3，得x 2y 3的系数为C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·(－2)3＝－20.8．学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3名同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有( )A ．70种B ．140种C ．840种D ．420种解析：选D 从9名同学中任选3名分别到A ，B ，C 三地进行社会调查有C 39A 33种安排方法，3名同学全是男生或全是女生有(C 35＋C 34)A 33种安排方法，故选出的同学中男女均有的不同安排方法有C 39A 33－(C 34＋C 35)A 33＝420(种)．9．(2017·合肥质检)已知(ax ＋b )6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与－18，则(ax ＋b )6的展开式中所有项系数之和为( )A ．－1B ．1C ．32D ．64解析：选D 由二项展开式的通项公式可知x 4项的系数为C 26a 4b 2，x 5项的系数为C 16a 5b ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧C 26a 4b 2＝135，C 16a 5b ＝－18，解得a ＋b ＝±2，令x ＝1，得(ax ＋b )6的展开式中所有项的系数之和为(a ＋b )6＝64，故选D.10．(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：选C 当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 35(2x )2(－y )3，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 25(2x )3(－y )2，所以x 3y 3的系数为C 25×23－C 35×22＝10×(8－4)＝40.二、填空题11．(2018届高三·金丽衢十二校联考)设a ∈R ，若复数z ＝a ＋i1＋i(i 为虚数单位)的实部和虚部相等，则a ＝________，|z －|＝________.解析：依题意，得a ＋i1＋i＝a ＋－2＝a ＋12＋1－a2i.则a ＋12＝1－a2，解得a ＝0.∴z ＝12＋12i ，z －＝12－12i. ∴|z －|＝14＋14＝22. 答案：02212．(2017·四川泸州模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 6(a >0)的展开式中常数项是60，则a 的值为________，各项的系数之和为________．解析：T r ＋1＝C r6(x )6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝a r C r 6x r 332-，令3－3r 2＝0，解得r ＝2，∴a 2C 26＝60，a >0，解得a ＝2.在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 6中，令x ＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 6＝729.所以展开式中各项的系数之和为729.答案：2 72913．(2017·河北唐山调研)在⎝⎛⎭⎪⎫2x 3－1x n的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是________，第五项是________．解析：依题意有2n＝128＝27，解得n ＝7.因为⎝⎛⎭⎪⎫2x 3－1x 7展开式的通项为T r ＋1＝C r 7(2x 3)7－r⎝⎛⎭⎫－x 12-r＝(－1)r 27－r C r 7x 21－3.5r ，令21－3.5r ＝0，解得r ＝6，故常数项为(－1)627－6C 67＝14，第五项是T 5＝(－1)427－4C 47x 21－3.5×4＝280x 7.答案：14 280x 714．(2017·河北张家口模拟)⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 6(x －2)的展开式中，常数项为________，x 2的系数为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 6(－2)r x 6－2r.令6－2r ＝2，解得r＝2；令6－2r ＝1，解得r ＝52，舍去；令6－2r ＝0，解得r ＝3；令6－2r ＝－1，解得r ＝72，舍去．∴⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 6(x －2)的展开式中，常数项为(－2)C 36(－2)3＝320，x 2的系数为(－2)C 26×(－2)2＝－120.答案：320 －12015．“污染治理”“延迟退休”“楼市新政”“共享单车”“中印对峙”成为现在社会关注的5个热点．小王想利用暑假时间调查一下社会公众对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“共享单车”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的调查顺序有________种．解析：先从“污染治理”“延迟退休”“楼市新政”“中印对峙”这4个热点中选出3个，有C 34种不同的选法，在调查时“共享单车”安排的顺序有A 13种可能情况，其余3个热点安排的顺序有A 33种可能情况，故有C 34A 13A 33＝72种不同的调查顺序．答案：7216．若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 5展开式中的常数项为－40，则a ＝________.解析：⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 5展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 525－r x 5－2r ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 5的展开式中的常数项为－40，所以ax C 3522x －1＋1xC 2523x ＝－40，即40a ＋80＝－40，解得a ＝－3.答案：－317.编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A 球不能放在4号，5号，B 球必须放在与A 球相邻的盒子中，则不同的放法的种数为________．解析：根据A 球所在的位置可分三类情况：①若A 球放在1号盒子内，则B 球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C ，D ，E 球，有A 33＝6种不同的放法；②若A 球放在3号盒子内，则B 球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C ，D ，E 球，有A 33＝6种不同的放法；③若A 球放在2号盒子内，则B 球可以放在1号，3号，4号中的任何一个盒子内，余下的三个盒子放C ，D ，E 球，有C 13·A 33＝18种不同的放法．综上可得不同的放法共有6＋6＋18＝30(种)．答案：30 [选做题]1．(2017·武昌调研)若⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x n的展开式中所有项系数的绝对值之和为1 024，则该展开式中的常数项为( )A ．－270B ．270C ．－90D ．90解析：选C ⎝⎛⎭⎪⎫3x －3x n 的展开式中所有项系数的绝对值之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3x n的展开式中所有项系数之和．令x ＝1，得4n＝1 024，∴n ＝5.则⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x 5，其通项T r ＋1＝C r5⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 5－r ·(－3x )r ＝C r 5·35－r ·(－1)r ·x -+r 5r23，令r －52＋r 3＝0，解得r ＝3，∴该展开式中的常数项为T 4＝C 35·32·(－1)3＝－90，故选C.2．(2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个解析：选C 由题意知：当m ＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a 1＝0，a 8＝1.不考虑限制条件“对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C 36＝20(种)，其中存在k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数少于1的个数的情况有：①若a 2＝a 3＝1，则有C 14＝4(种)；②若 a 2＝1，a 3＝0，则a 4＝1，a 5＝1，只有1种；③若a 2＝0，则a 3＝a 4＝a 5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C.3．福州大学的8名学生准备拼车去湘西凤凰古城旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名，分乘甲、乙两辆汽车．每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有________种．解析：可分两类：第一类，大一的孪生姐妹乘坐甲车，则可再分三步：第一步，从大二、大三、大四三个年级中任选两个年级，有C 23种不同的选法；第二步，从所选出的两个年级中各抽取一名同学，有C 12C 12种不同的选法；第三步，余下的4名同学乘乙车有C 44种不同的选法，根据分步乘法计数原理，可知有C 23C 12C 12C 44种不同的乘坐方式．第二类，大一的孪生姐妹乘坐乙车，则可再分三步：第一步，从大二、大三、大四三个年级中任选一个年级(此年级的2名同学乘甲车)，有C 13种不同的选法；第二步，余下的两个年级中各抽取一名同学，有C 12C 12种不同的选法；第三步，余下的2名同学乘乙车有C 22种不同的选法，根据分步乘法计数原理，可知有C 13C 12C 12C 22种不同的乘坐方式．根据分类加法计数原理，满足要求的乘坐方式种数为C 23C 12C 12C 44＋C 13C 12C 12C 22＝24.答案：24。
2018高考数学浙江专版二轮复习与策略课件 专题14 函数的图象和性质 精品
[变式训练 2] (1)(2016·浙江五校联考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，
fln 且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式
x－2 fln1x＜f(1)的解集为(
)
【导学号：58962059】
A.0，1e
B．(0，e)
C.1e，e
D．(e，＋∞)
回访 2 函数的图象 4．(2015·浙江高考)函数 f(x)＝x－1xcos x(－π≤x≤π 且 x≠0)的图象可能为
()
D [函数 f(x)＝x－1xcos x(－π≤x≤π 且 x≠0)为奇函数，排除选项 A，B； 当 x＝π 时，f(x)＝π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项 C，故选 D.]
5．(2014·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数 f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax 的图象可能是( )
D [法一：分 a>1,0<a<1 两种情形讨论． 当 a>1 时，y＝xa 与 y＝logax 均为增函数，但 y＝xa 递增较快，排除 C； 当 0<a<1 时，y＝xa 为增函数，y＝logax 为减函数，排除 A，由于 y＝xa 递增 较慢，所以选 D.
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专题六 函数与导数
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建知识网络 明内在联系
[高考点拨] 函数与导数专题是历年高考的“常青树”，在高考中常以“两 小一大”的形式呈现，其中两小题中的一小题难度偏低，另一小题与一大题常 在选择题与解答题的压轴题的位置呈现，命题角度多样，形式多变，能充分体 现学以致用的考查目的，深受命题人的喜爱．结合典型考题的研究，本专题将 从“函数的图象与性质”“函数与方程”“导数的应用”三大方面着手分析， 引领考生高效备考．
(浙江专用)2018年高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第8讲 函数与方程_函数
第8讲 函数与方程、函数的模型及其应用基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·赣中南五校联考)函数f (x )＝3x－x 2的零点所在区间是( ) A.(0，1)B.(1，2)C.(－2，－1)D.(－1，0)解析 由于f (－1)＝－23<0，f (0)＝30－0＝1>0，∴f (－1)·f (0)<0.则f (x )在(－1，0)内有零点. 答案 D2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B.－2，0C.12D.0解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解.综上函数f (x )的零点只有0.答案 D3.(2017·杭州调研)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，3)B.(1，2)C.(0，3)D.(0，2)解析 因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1，2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，所以0<a <3. 答案 C4.(2017·德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4 L ，则m 的值为( ) A.5B.8C.9D.10解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5. 答案 A5.(2017·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14B.18C.－78D.－38解析 令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案 C 二、填空题6.(2016·浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.解析 ∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1， ∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2) ＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2. 由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2. 答案 －2 17.(2017·湖州调研)设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系为y ＝c e kx，其中c ，k 为常量.已知某天的海平面的大气压为 1.01×105Pa ，1 000 m 高空的大气压为0.90×105Pa ，则c ＝________，k ＝________，600 m 高空的大气压强约为________Pa(保留3位有效数字).解析 将x ＝0时，y ＝1.01×105Pa 和x ＝1 000时，y ＝0.90×105Pa 分别代入y ＝c e kx，得⎩⎪⎨⎪⎧1.01×105＝c e 0，0.90×105＝c e 1 000k ，所以c ＝1.01×105，所以e1 000k＝0.90×1051.01×105＝0.901.01，所以k ＝11 000×ln 0.901.01，用计算器算得k ≈－1.153×10－4，所以y ＝1.01×105×e－1.153×10－4x，将x ＝600代入上述函数式，得y ≈9.42×104Pa ，即在600 m 高空的大气压强约为9.42×104Pa.答案 1.01×105－1.153×10－49.42×1048.(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________.解析 函数y ＝|x －a |－1的图象如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，故2a ＝－1，解得a ＝－12.答案 －12三、解答题9.已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围. 解 (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题. 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根.(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （0）<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪12<a <34.10.(2017·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a 、b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( ) A.[0，1)B.(－∞，1)C.(－∞，1]∪(2，＋∞)D.(－∞，0]∪(1，＋∞)解析 函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x >0的大致图象(图略). 观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m >1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点. 答案 D12.(2017·石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图3记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ) A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟D.4.25分钟解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟. 答案 B13.(2017·绍兴调研)已知f (x )＝1x ＋2－m |x |，若f (x )有两个零点，则实数m 的值为________；若f (x )有三个零点，则实数m 的取值范围是________.解析 函数f (x )的零点，即为方程1x ＋2－m |x |＝0即1m＝|x |(x ＋2)的实数根，令g (x )＝|x |(x ＋2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x >0，－x 2－2x ，x <0，其图象如图所示，当m ＝1时，g (x )图象与y ＝1m 有2个交点；当0<1m<1，即m >1时，有3个交点.答案 1 (1，＋∞)14.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0).(1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围. 解 (1)如图所示.(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f (x )在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数. 由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f (x )＝m 有两个不相等的正根. 15.已知函数f (x )＝1|x ＋2|＋kx ＋b ，其中k ，b 为实数且k ≠0. (1)当k >0时，根据定义证明f (x )在(－∞，－2)单调递增； (2)求集合M k ＝{b |函数f (x )有三个不同的零点}. (1)证明 当x ∈(－∞，－2)时，f (x )＝－1x ＋2＋kx ＋b . 任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，设x 2>x 1.f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋2＋kx 1＋b －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋2＋kx 2＋b ＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1（x 1＋2）（x 2＋2）＋k . 由所设得x 1－x 2<0，1（x 1＋2）（x 2＋2）>0，又k >0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )在(－∞，－2)单调递增.(2)解 函数f (x )有三个不同零点，即方程1|x ＋2|＋kx ＋b ＝0有三个不同的实根. 方程化为：⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，kx 2＋（b ＋2k ）x ＋（2b ＋1）＝0，与⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，kx 2＋（b ＋2k ）x ＋（2b －1）＝0. 记u (x )＝kx 2＋(b ＋2k )x ＋(2b ＋1)，v (x )＝kx 2＋(b ＋2k )x ＋(2b －1). ①当k >0时，u (x )，v (x )开口均向上.由v (－2)＝－1<0知v (x )在(－∞，－2)有唯一零点.为满足f (x )有三个零点，u (x )在(－2，＋∞)应有两个不同零点.∴⎩⎪⎨⎪⎧u （－2）>0，（b ＋2k ）2－4k （2b ＋1）>0，－b ＋2k 2k >－2，∴b <2k －2k .②当k <0时，u (x )，v (x )开口均向下.由u (－2)＝1>0知u (x )在(－2，＋∞)有唯一零点.为满足f (x )有三个零点，v (x )在(－∞，－2)应有两个不同零点.∴⎩⎪⎨⎪⎧v （－2）<0，（b ＋2k ）2－4k （2b －1）>0，－b ＋2k 2k <－2.∴b <2k －2－k .综合①②可得M k＝{b|b<2k－2|k|}.。
(浙江版)2018年高考数学一轮复习 专题6.4 数列求和(讲)
第04节 数列求和【考纲解读】【知识清单】一．数列求和1. 等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 2．等比数列前n 项和公式 一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q -=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）. 3. 数列前n 项和①重要公式：（1）1nk k ==∑123n ++++=2)1(+n n （2）1(21)nk k =-=∑()13521n ++++-=2n（3）31nk k ==∑2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n（4）21nk k ==∑)12)(1(613212222++=++++n n n n②等差数列中，m n m n S S S mnd +=++；③等比数列中，n mm n n m m n S S q S S q S +=+=+.对点练习：1.【2017课标1，理4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C2. 已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值（ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．35 【答案】B【解析】由题意得479+=4a a ，因此363911+=()6482q q q q ⇒=⇒=舍去负值，因此55116(1)231.112S -==-选B.【考点深度剖析】数列求和是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度中等或稍难，数列求和问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.考查等差数列的求和多于等比数列的求和，往往在此基础上考查“裂项相消法”、“错位相减法”.【重点难点突破】考点1 数列求和【1-1】已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根，则数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 . 【答案】1422n n n S ++=-【1-2】【2017届浙江嘉兴市高三上基础测试】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且12n n S ta =-，其中*n N ∈．（1）求实数t 的值和数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足32log n n b a =，求数列11{}n n b b +的前n 项和n T ． 【答案】（1）23=t ，13-=n n a ；（2）12121121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n ． 【解析】试题分析：（1）由n n a S =可得32t =，2n ≥时由1n n n a S S -=-得数列{}n a 为首项为1，公比为3的等比数列，可得通项公式；（2）化简21n b n =-，则11111()22121n n b b n n +=--+，用裂项相消求和，可得前项和．试题解析： （1）当1=n 时，21111-==ta S a ，得23=t ，从而 2123-=n n a S ,则 2≥n 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--2123212311n n n n n a a S S a 得 13-=n n a a又01≠a 得31=-n n a a，故数列{}n a 为等比数列，公比为3，首项为1．∴13-=n n a（2）由（1）得 1223-=n n a 得 12-=n b n ∴()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=-121121*********n n n n b b n n 得 ⎪⎭⎫⎝⎛+--++-+-=121121513131121n n T n12121121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n nn【领悟技法】1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2．倒序相加法：类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法，如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 若n n n a b c =∙，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++，则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++两式错位相减并整理即得.4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： （1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，特别地当1k =时，()11111n n n n =-++； （21k=，特别地当1k ==（3）()()221111212122121n n a n n n n ⎛⎫==+- ⎪-+-+⎝⎭（4）()()()()()1111122112n a n n n n n n n ⎛⎫==- ⎪ ⎪+++++⎝⎭（5）)()11(11q p qp p q pq <--= 5．分组转化求和法：有一类数列{}n n a b +，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列{},{}n n a b 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.6．并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解．例如，22222210099989721n S =-+-++-()()()100999897215050=++++++=.7. 在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．对于不能由等差数列、等比数列的前n 项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式．8. [易错提示] 利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面： (1)裂项过程中易忽视常数，如)211(21)2(1+-=+n n n n 容易误裂为112n n -+，漏掉前面的系数12； (2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误． 应用错位相减法求和时需注意：①给数列和S n 的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论； ②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n . 【触类旁通】【变式一】【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ 。
2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第4章 第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数 含解析
第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲 1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数【正弦、余弦、正切)的定义.知 识 梳 理1.角的概念的推广【1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.【2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.【3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式【1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 【2)公式3.任意角的三角函数1.判断正误【在括号内打“√”或“×”) 【1)小于90°的角是锐角.【 ) 【2)锐角是第一象限角，反之亦然.【 )【3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.【 ) 【4)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α＞α＞sin α.【 )【5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.【 ) 解析 【1)锐角的取值范围是【0°，90°). 【2)第一象限角不一定是锐角. 【3)顺时针旋转得到的角是负角. 【5)终边相同的角不一定相等.答案 【1)× 【2)× 【3)× 【4)√ 【5)× 2.角－870°的终边所在的象限是【 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 由－870°＝－3×360°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限. 答案 C3.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是【 ) A.2k π＋45°【k ∈Z ) B.k ·360°＋94π【k ∈Z ) C.k ·360°－315°【k ∈Z )D.k π＋5π4【k ∈Z )解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4【k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C 正确. 答案 C4.已知角α的终边经过点【－4，3)，则cos α＝【 ) A.45 B.35 C.－35D.－45解析 ∵角α的终边经过点【－4，3)， ∴x ＝－4，y ＝3，r ＝5. ∴cos α＝x r ＝－45，故选D. 答案 D5.【必修4P10A6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度. 答案 π36.【2017·绍兴调研)弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________.解析 135°＝135180＝3π4【弧度)，由α＝l r ，得r ＝l α＝3π3π4＝4，S 扇形＝12lr ＝12×4×3π＝6π. 答案 4 6π考点一 角的概念及其集合表示【例1】 【1)若角α是第二象限角，则α2是【 ) A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角【2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________. 解析 【1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角； 当k 为奇数时，α2是第三象限角.【2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－53π，－23π，π3，43π.答案 【1)C【2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－53π，－23π，π3，43π规律方法 【1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角.【2)确定kα，αk 【k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置.【训练1】 【1)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，那么【 )A.M ＝NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅【2)集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围【阴影部分)是【 )解析 【1)法一 由于M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B.法二 由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝【2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝【k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.【2)当k ＝2n 【n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1【n ∈Z )时，2n π＋5π4≤α≤2n π＋3π2，此时α表示的范围与5π4≤α≤3π2表示的范围一样，故选C. 答案 【1)B 【2)C 考点二 弧度制及其应用【例2】 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l . 【1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；【2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；【3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 【1)α＝60°＝π3 rad ，∴l ＝α·R ＝π3×10＝10π3【cm). 【2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋Rα＝10，12α·R 2＝4，解得⎩⎨⎧R ＝1，α＝8【舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，α＝12. 故扇形圆心角为12. 【3)由已知得，l ＋2R ＝20.所以S ＝12lR ＝12【20－2R )R ＝10R －R 2＝－【R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25， 此时l ＝10，α＝2.规律方法 应用弧度制解决问题的方法【1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.【2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.【3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【训练2】 已知一扇形的圆心角为α 【α>0)，所在圆的半径为R . 【1)若α＝90°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； 【2)若扇形的周长是一定值C 【C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 【1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则 α＝90°＝π2，R ＝10，l ＝π2×10＝5π【cm)， S 弓＝S 扇－S △＝12×5π×10－12×102＝25π－50【cm 2). 【2)扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ， ∴R ＝C 2＋α，∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 2α2·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216.当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216. 考点三 三角函数的概念【例3】 【1)【2017·东阳一中月考)已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 0，则cos 2α等于【 ) A.－12B.12C.－32D.1【2)【2016·兰州模拟)已知角α的终边过点P 【－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为【 ) A.－12B.12C.－32D.32【3)若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ的终边一定落在【 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 【1)根据题意可知，cos α＝12，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝2×14－1＝－12，故选A.【2)∵r ＝64m 2＋9， ∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45， ∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12，故选B.【3)由sin θ＜0知θ的终边在第三、四象限或y 轴负半轴上，由tan θ＜0知θ的终边在第二、四象限，故选D.答案 【1)A 【2)B 【3)D规律方法 【1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r . 【2)根据三角函数定义中x ，y 的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.【3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围.【训练3】 【1)【2017·青岛模拟)已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α＝【 ) A.－33B.±33C.－32D.±32【2)满足cos α≤－12的角α的集合为________. 解析 【1)由|OP |2＝14＋y 2＝1， 得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3， 此时，sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3， 此时，sin α·tan α＝－32.【2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域【图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .答案 【1)C【2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z[思想方法]1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|＝r一定是正值.2.三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.3.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.[易错防范]1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.2.角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.基础巩固题组【建议用时：30分钟)一、选择题1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有【)A.1个B.2个C.3个D.4个解析－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.答案 C2.已知点P【tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在的象限选【)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 由题意知tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角. 答案 B3.【2017·湖州模拟)已知角θ的终边经过点P 【4，m )，且sin θ＝35，则m 等于【 ) A.－3 B.3C.163D.±3解析 sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3.答案 B4.点P 从【1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为【 ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 解析 由三角函数定义可知Q 点的坐标【x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 答案 A5.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是【 )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，综上知θ2为第二象限角.答案 B6.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈【0，π)的弧度数为【 )A.π3B.π2C. 3D.2解析 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝α·r ，∴α＝ 3. 答案 C7.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是【 )A.1B.2C.3D.4解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确. 答案 A8.【2016·合肥模拟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝【 )A.－45B.－35C.35D.45解析 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ，将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1中可得cos 2θ＝15，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.答案 B二、填空题9.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内【不包括边界)，则角α用集合可表示为________.解析 在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π， 所以，所求角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π【k ∈Z ).答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π【k ∈Z ) 10.设P 是角α终边上一点，且|OP |＝1，若点P 关于原点的对称点为Q ，则Q 点的坐标是________.解析 由已知P 【cos α，sin α)，则Q 【－cos α，－sin α).答案 【－cos α，－sin α)11.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________.解析设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2. 答案 π312.【2017·衡水中学月考)已知角α的终边经过点【3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案 【－2，3]13.【2017·舟山调研)若θ是第二象限角，则sin 【cos θ)的符号为________，cos【sin θ)的符号为________.解析 ∵θ是第二象限角，∴－1<cos θ<0，0<sin θ<1，∴sin 【cos θ)<0，cos【sin θ)>0.答案 负 正能力提升题组【建议用时：15分钟)14.已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝【 )A.－1B.1C.－2D.2解析 圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.答案 B15.【2016·郑州一模)设α是第二象限角，P 【x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α等于【 )A.43B.34C.－34D.－43解析 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 答案 D16.函数y ＝2sin x －1的定义域为________.解析 ∵2sin x －1≥0，∴sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围【如图阴影所示).∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6【k ∈Z ) 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6【k ∈Z ) 17.【2017·宁波质测)某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离d 【单位：cm)表示成t 【单位：s)的函数，则d ＝________，【其中t ∈[0，60])；d 的最大值为________cm. 解析 根据题意，得∠AOB ＝t 60×2π＝πt 30，故d ＝2×5sin ∠AOB 2＝10sin πt 60【t ∈[0，60]).∵t ∈[0，60]，∴πt 60∈[0，π]，当t ＝30时，d 最大为10 cm.答案 10sin πt 60 1018.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在【0，1)，此时圆上一点P 的位置在【0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于【2，1)时，OP →的坐标为________.解析 如图，作CQ ∥x 轴，PQ ⊥CQ, Q 为垂足.根据题意得劣弧DP ︵＝2，故∠DCP ＝2，则在△PCQ 中，∠PCQ ＝2－π2，|CQ |＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2，|PQ |＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2， 所以P 点的横坐标为2－|CQ |＝2－sin 2，P 点的纵坐标为1＋|PQ |＝1－cos 2，所以P 点的坐标为【2－sin 2，1－cos 2)，故OP→＝【2－sin 2，1－cos 2). 答案 【2－sin 2，1－cos 2)。
2018届高考高三数学总复习全册学案精编(浙江版)
2018届高考高三数学总复习全册学案精编目录第一章集合常用逻辑用语 (1)第1讲集合 (1)第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件 (7)第二章函数概念与基本初等函数 (13)第1讲函数及其表示 (13)第2讲函数的单调性与最值 (21)第3讲函数的奇偶性与周期性 (29)第4讲幂函数与二次函数 (36)第5讲指数与指数函数 (44)第6讲对数与对数函数 (51)第7讲函数的图象 (59)第8讲函数与方程、函数的模型及其应用 (68)第三章导数及其应用 (77)第1讲导数的概念与导数的计算 (77)第2讲导数与函数的单调性 (85)第3讲导数与函数的极值、最值 (93)第四章三角函数、解三角形 (107)第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数 (107)第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式 (115)第3讲三角函数的图象与性质 (122)第4讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 (133)第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (144)第6讲正弦定理和余弦定理 (153)第7讲解三角形应用举例 (160)第五章平面向量、复数 (172)第1讲平面向量的概念及线性运算 (172)第2讲平面向量基本定理与坐标表示 (179)第3讲平面向量的数量积及其应用 (185)第4讲数系的扩充与复数的引入 (193)第六章不等式 (198)第1讲不等式的性质与一元二次不等式 (198)第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 (207)第3讲基本不等式：ab≤a＋b2 (215)第4讲绝对值不等式 (223)第七章数列、推理与证明 (230)第1讲数列的概念及简单表示法 (230)第2讲等差数列及其前n项和 (237)第3讲等比数列及其前n项和 (244)第4讲数列求和 (251)第5讲直接证明与间接证明 (258)第6讲数学归纳法 (264)第八章立体几何与空间向量 (279)第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图 (279)第2讲空间几何体的表面积与体积 (293)第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系 (301)第4讲直线、平面平行的判定及其性质 (308)第5讲直线、平面垂直的判定及其性质 (317)第6讲空间向量及其运算 (326)第7讲立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 (335)第8讲立体几何中的向量方法(二)——求空间角 (344)第九章平面解析几何 (363)第1讲直线的方程 (363)第2讲两直线的位置关系 (371)第3讲圆的方程 (379)第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系 (386)第5讲椭圆 (393)第6讲双曲线 (403)第7讲抛物线 (411)第8讲曲线与方程 (420)第9讲圆锥曲线的综合问题 (426)第十章计数原理概率 (454)第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (454)第2讲排列与组合 (460)第3讲二项式定理 (467)第4讲随机事件的概率 (474)第5讲古典概型 (481)第6讲离散型随机变量及其分布列 (487)第7讲二项分布及其应用 (494)第8讲离散型随机变量的均值与方差 (502)第一章集合常用逻辑用语第1讲集合最新考纲 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(4)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)任何集合都有两个子集.( )(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.( )(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )解析(1)错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的.(2)错误.集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集.因此A，B，C不相等.(3)错误.当x＝1，不满足互异性.(4)错误.当A＝∅时，B，C可为任意集合.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修1P7练习2改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( )A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A解析由题意知A＝{0，1，2，3}，由a＝22，知a∉A.答案 D3.(2016·全国Ⅰ卷)设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝( )A.{1，3}B.{3，5}C.{5，7}D.{1，7}解析因为A＝{1，3，5，7}，而3，5∈A且3，5∈B，所以A∩B＝{3，5}.答案 B4.(2017·杭州模拟)设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U(A∪B)等于( )A.{1，4}B.{1，5}C.{2，5}D.{2，4}解析由题意得A∪B＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U(A∪B)＝{2，4}.答案 D5.(2017·绍兴调研)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x<5}，则A∪B＝________，(∁U A)∩B＝________.解析∵A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x<5}，∴A∪B＝{x|x≥0}，(∁U A)∩B＝{x|0≤x<2}.答案{x|x≥0}{x|0≤x<2}6.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B 的元素个数为________.解析集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素.答案 2考点一 集合的基本概念【例1】 (1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A.1B.3C.5D.9 (2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A.92B.98C.0D.0或98解析 (1)当x ＝0，y ＝0，1，2时，x －y ＝0，－1，－2；当x ＝1，y ＝0，1，2时，x －y ＝1，0，－1；当x ＝2，y ＝0，1，2时，x －y ＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知，B 的元素为－2，－1，0，1，2，共5个.(2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.当a ＝0时，x ＝23，符合题意； 当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98， 所以a 的取值为0或98. 答案 (1)C (2)D规律方法 (1)第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A 中只有一个元素，要分a ＝0与a ≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a ＝0的情形.(2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合.【训练1】 (1)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________. (2)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________. 解析 (1)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0， 所以a ＋b ＝0，且b ＝1，所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2.(2)由A ＝∅知方程ax 2＋3x －2＝0无实根，当a ＝0时，x ＝23不合题意，舍去； 当a ≠0时，Δ＝9＋8a <0，∴a <－98.答案 (1)2 (2)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－98 考点二 集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( )A.A BB.B AC.A ⊆BD.B ＝A(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}.因此B A .(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图.则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4].答案 (1)B (2)(－∞，4]规律方法 (1)若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解.【训练2】 (1)(2017·镇海中学质检)若集合A ＝{x |x >0}，且B ⊆A ，则集合B 可能是( ) A.{1，2}B.{x |x ≤1}C.{－1，0，1}D.R(2)(2016·郑州调研)已知集合A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }，B ＝{1，m }，若A ⊆B ，则m 的值为( )A.2B.－1C.－1或2D.2或2解析 (1)因为A ＝{x |x ＞0}，且B ⊆A ，再根据选项A ，B ，C ，D 可知选项A 正确.(2)由x ＝x 2－2，得x ＝2，则A ＝{2}.因为B ＝{1，m }且A ⊆B ，所以m ＝2.答案(1)A (2)A考点三集合的基本运算【例3】(1)(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A.5B.4C.3D.2(2)(2016·浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝( )A.[2，3]B.(－2，3]C.[1，2)D.(－∞，－2)∪[1，＋∞)解析(1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.(2)易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}.∴∁R Q＝{x|－2<x<2}，又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪(∁R Q)＝{x|－2<x≤3}.答案(1)D (2)B规律方法(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化. (2)一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.【训练3】(1)(2017·石家庄模拟)设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x<6}，则下列结论正确的是( )A.N⊆MB.N∩M＝∅C.M⊆ND.M∩N＝R(2)(2016·山东卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∪B)＝( )A.{2，6}B.{3，6}C.{1，3，4，5}D.{1，2，4，6}解析(1)易知N＝(－2，3)，且M＝{－1，1}，∴M⊆N.(2)∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此∁U(A∪B)＝{2，6}.答案(1)C (2)A[思想方法]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.知识梳理1.命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( )(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( )(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()解析(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(选修2－1P6练习改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A.若α≠π4，则tan α≠1 B.若α＝π4，则tan α≠1 C.若tan α≠1，则α≠π4 D.若tan α≠1，则α＝π4解析 命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”，显然綈q ：tan α≠1，綈p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”.答案 C3.(2016·天津卷)设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 x >y x >|y |(如x ＝1，y ＝－2).但x >|y |时，能有x >y .∴“x >y ”是“x >|y |”的必要不充分条件.答案 C4.命题“若a >－3，则a >－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a >－6，则a >－3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题.答案 B5.(2017·舟山双基检测)已知函数f (x )的定义域为R ，则命题p ：“函数f (x )为偶函数”是命题q ：“∃x 0∈R ，f (x 0)＝f (－x 0)”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若f (x )为偶函数，则有f (x )＝f (－x )，所以p ⇒q ；若f (x )＝x ，当x ＝0时，f (0)＝f (－0)，而f (x )＝x 为奇函数，所以q p .∴“命题p ”是“命题q ”的充分不必要条件.答案 A6.(2017·温州调研)已知命题p ：“若a 2＝b 2，则a ＝b ”，则命题p 的否命题为________，该否命题是一个________命题(填“真”，“假”).解析 由否命题的定义可知命题p 的否命题为“若a 2≠b 2，则a ≠b ”.由于命题p 的逆命题“若a ＝b ，则a 2＝b 2”是一个真命题，∴否命题是一个真命题.答案“若a2≠b2，则a≠b”真考点一四种命题的关系及其真假判断【例1】 (1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )A.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题B.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题C.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题D.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A.真、假、真B.假、假、真C.真、真、假D.假、假、假解析(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题.(2)由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假.答案(1)C (2)B规律方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.【训练1】已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A.否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B.逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题解析由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题.答案 D考点二充分条件与必要条件的判定【例2】 (1)函数f(x)在x＝x0处导数存在.若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件D.p既不是q的充分要件，也不是q的必要条件(2)(2017·衡阳一模)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析(1)由极值的定义，q⇒p，但p⇒/q.例如f(x)＝x3，在x＝0处f′(0)＝0，f(x)＝x3是增函数，x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点.因此p是q的必要不充分条件.(2)直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直的充要条件为a(a＋2)＋1×(－3)＝0，解得a＝1或－3，故“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的充分不必要条件.答案(1)C (2)B规律方法充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件.【训练2】(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面. 因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.答案 A考点三充分条件、必要条件的应用(典例迁移)【例3】 (经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P 是x∈S的必要条件，求m的取值范围.解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}. ∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件， 则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合， ∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0，综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件.【迁移探究1】 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？ 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}. 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在.【迁移探究2】 本例条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P 是S 的充分不必要条件， ∴P ⇒S 且SP .∴[－2，10][1－m ，1＋m ].∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，则m 的取值范围是[9，＋∞).规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解； (2)要注意区间端点值的检验.【训练3】 ax 2＋2x ＋1＝0只有负实根的充要条件是________.解析 当a ＝0时，原方程为一元一次方程2x ＋1＝0，有一个负实根x ＝－12.当a ≠0时，原方程为一元二次方程， 又ax 2＋2x ＋1＝0只有负实根，所以有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a ≥0，－2a＜0，1a ＞0，即0＜a ≤1.综上，方程只有负根的充要条件是0≤a ≤1.答案 0≤a ≤1[思想方法]1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.2.充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假.(2)等价法：即利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ；B ⇒A 与綈A ⇒綈B ；A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}；若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p 是q 的充要条件. [易错防范]1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p ，则q ”的形式.3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言.第二章函数概念与基本初等函数第1讲函数及其表示最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).知识梳理1.函数与映射的概念函数映射两个集合A，B 设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法函数y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.( )(2)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.( ) (3)函数y ＝x 2＋1－1的值域是{y |y ≥1}.( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )解析 (1)函数y ＝1的定义域为R ，而y ＝x 0的定义域为{x |x ≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.(3)由于x 2＋1≥1，故y ＝x 2＋1－1≥0，故函数y ＝x 2＋1－1的值域是{y |y ≥0}. (4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修1P25B2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析 A 中函数定义域不是[－2，2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0，2]. 答案 B3.(2017·舟山一模)函数y ＝1－x22x 2－3x －2的定义域为( )A.(－∞，1]B.[－1，1]C.[1，2)∪(2，＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0.解之得－1≤x ≤1且x ≠－12.答案 D4.(2015·陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))等于( )A.－1B.14C.12D.32解析 因为－2<0，所以f (－2)＝2－2＝14>0，所以f (f (－2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12，故选C. 答案 C5.(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________. 解析 由题意知点(－1，4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2.答案 －26.(2017·丽水调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1 （x ≥1），log 2（1－x ） （x <1），设函数f (f (4))＝________.若f (a )＝－1，则a ＝________.解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1 （x ≥1），log 2（1－x ） （x <1），∴f (4)＝－2×42＋1＝－31，f (f (4))＝f (－31)＝log 232＝5；当a ≥1时，由f (a )＝－2a 2＋1＝－1，得a ＝1(a ＝－1舍去)；当a <1时，由f (a )＝log 2(1－a )＝－1，得1－a ＝12，即a ＝12.答案 5 1或12考点一 求函数的定义域【例1】 (1)(2017·杭州调研)函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为( ) A.(0，＋∞) B.(1，＋∞) C.(0，1)D.(0，1)∪(1，＋∞)(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[1，2 017]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是____________.解析 (1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，解得x >1，故函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为(1，＋∞).(2)∵y ＝f (x )的定义域为[1，2 017]，∴g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 017，x －1≠0.∴0≤x ≤2 016，且x ≠1.因此g (x )的定义域为{x |0≤x ≤2 016，且x ≠1}. 答案 (1)B (2){x |0≤x ≤2 016，且x ≠1} 规律方法 求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域.【训练1】 (1)(2015·湖北卷)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A.(2，3)B.(2，4]C.(2，3)∪(3，4]D.(－1，3)∪(3，6](2)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________. 解析 (1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤4，x －2>0且x ≠3，则2<x ≤4，且x ≠3. 所以f (x )的定义域为(2，3)∪(3，4].(2)因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，则x 2＋2ax －a ≥0恒成立.因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 答案 (1)C (2)[－1，0] 考点二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________；(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.解析 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1). (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，则2ax ＋a ＋b ＝x －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32. ∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1中，将x 换成1x ，则1x换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f （x ）·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13规律方法 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ).(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式.【训练2】 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x ).若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________. 解析 (1)令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1).(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1).(3)当x ∈(－1，1)时， 有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1).① 将x 换成－x ，则－x 换成x ， 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1).② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1，1).答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1)(3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1) 考点三 分段函数(多维探究) 命题角度一 求分段函数的函数值【例3－1】 (2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A.3B.6C.9D.12解析 根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1 ∴f (log 212)＝2(log 212－1)＝2log 26＝6， 因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 答案 C命题角度二 求参数的值或取值范围【例3－2】 (1)(2015·山东卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A.1B.78C.34D.12(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.解析 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32时， 则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4， 解之得b ＝78，不合题意舍去.若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b ＝4，解得b ＝12. (2)当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2，所以x <1.当x ≥1时，x 13≤2，解得x ≤8，所以1≤x ≤8. 综上可知x 的取值范围是(－∞，8]. 答案 (1)D (2)(－∞，8]规律方法 (1)根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A.－74B.－54C.－34D.－14(2)(2017南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－（x －1）2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________. 解析 (1)当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3，即2a －1＝－1，不成立，舍去；当a >1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3， 即log 2(a ＋1)＝3， 解得a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.故选A.(2)当x ≤0时，由题意得x2＋1≥－1，解之得－4≤x ≤0.当x >0时，由题意得－(x －1)2≥－1，解之得0<x ≤2， 综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}. 答案 (1)A (2){x |－4≤x ≤2}[思想方法]1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法.4.分段函数问题要用分类讨论思想分段求解.[易错防范]1.复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混.2.易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数.3.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.第2讲 函数的单调性与最值最新考纲 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知 识 梳 理1.函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数 减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象 描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； (4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数.( )(2)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( )(3)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数.( )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( ) 解析 (2)此单调区间不能用并集符号连接，取x 1＝－1，x 2＝1，则f (－1)＜f (1)，故应说成。
2018版高考数学浙江专用文理通用大一轮复习课件：第五
知识梳理
1.平面向量数量积的有关概念 → → (1)向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b，记OA＝a，OB＝b， 则∠AOB＝θ(0° ≤θ ≤180° )叫做向量 a 与 b 的夹角. (2)数量积的定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，
|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)， 则数量__________ 记作 a· b， 即 a· b |a||b|cos θ ，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0· ＝_________ a＝0.
第3讲
平面向量的数量积及其应用
最新考纲
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了
解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐
标表达式，会进行平面向量数量积的运算； 4. 能运用数量积 表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会 用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
2π 4.(2016· 石家庄模拟)已知平面向量 a， b 的夹角为 ， |a|＝2， 3 |b|＝1，则|a＋b|＝________.
解析 ∵|a＋b|2＝|a|2＋2a· b＋|b|2 2π ＝4＋2|a||b|cos ＋1＝4－2＋1＝3， 3 ∴|a＋b|＝ 3.
答案 3
5.(必修4P104例1改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝
) )
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.(
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的 运算结果是向量.( )
(4)若 a· b＞0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a· b＜0，则 a 和 b 的 夹角为钝角.( ) )
2018年高考数学真题试卷(浙江卷)含逐题详解
2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试卷卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页,选择题部分1至2页,非选择题部分3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1．答题前,请务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试卷卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试卷卷上的作答一律无效。
参考公式：若事件A ,B 互斥,则 若事件A ,B 相互独立,则 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率台体的体积公式其中分别表示台体的上,下底面积,表示台体的高柱体的体积公式其中表示柱体的底面积,表示柱体的高 锥体的体积公式其中表示锥体的底面积,表示锥体的高 球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径选择题部分（共40分）一,选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U ={1,2,3,4,5},A ={1,3},则A ．B ．{1,3}C ．{2,4,5}D ．{1,2,3,4,5}2．双曲线的焦点坐标是A ．,0)B ．(−2,0),(2,0)C ．)D ．(0,−2),(0,2)3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积（单位：cm 3）是()()()P A B P A P B +=+()()()P AB P A P B =()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=121()3V S S h =12,S S h V Sh =S h 13V Sh =S h 24S R =π343V R =πR =UA ∅221 3=x y -A ．2B ．4C ．6D ．84．复数(i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i5．函数y =sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．6．已知平面α,直线m ,n 满足m α,n α,则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设0<p <1,随机变量ξ的分布列是则当p 在（0,1）内增大时. A ．D （ξ）减小B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小 8．已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形,侧棱长均相等,E 是线段AB 上的点（不含端点）,设SE 与BC 所成的角为θ1,SE 与平面ABCD 所成的角为θ2,二面角S −AB −C 的平面角为θ3,则俯视图正视图21i-||2x ⊄⊂A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ19．已知a,b,e是平面向量,e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2−4e·b+3=0,则|a−b|的最小值是A1B+1 C．2 D．210．已知成等比数列,且．若,则A．B．C．D．非选择题部分（共110分）二,填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。
2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第9章 第9讲 圆锥曲线的综合问题 Word版含解析
第9讲 圆锥曲线的综合问题最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.知 识 梳 理1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程，即⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F （x ，y ）＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 相离.(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2²|y 1－y 2|诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“³”)(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是：直线l 与椭圆C 只有一个公共点.( ) (2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是：直线l 与双曲线C 只有一个公共点.( ) (3)直线l 与抛物线C 相切的充要条件是：直线l 与抛物线C 只有一个公共点.( )(4)如果直线x ＝ty ＋a 与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|.( )(5)若抛物线C 上存在关于直线l 对称的两点，则需满足直线l 与抛物线C 的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ＞0.( )解析 (2)因为直线l 与双曲线C 的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.(3)因为直线l 与抛物线C 的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.(5)应是以l 为垂直平分线的线段AB 所在的直线l ′与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式Δ＞0. 答案 (1)√ (2)³ (3)³ (4)√ (5)³2.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A.相交B.相切C.相离D.不确定解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交. 答案 A3.若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 解析 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23.答案 C4.过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A.1条B.2条C.3条D.4条解析 过(0，1)与抛物线y 2＝4x 相切的直线有2条，过(0，1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点.答案 C5.已知F 1，F 2是椭圆16x 2＋25y 2＝1 600的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为________. 解析 由题意可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝202－2|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝128，所以△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12³128＝64. 答案 646.(2017·嘉兴七校联考)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当m ＝________时，△F AB 的周长最大，此时△F AB 的面积是________. 解析 设椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点为F ′，则F (－1，0)，F ′(1，0).由椭圆的定义和性质易知，当直线x ＝m 过F ′(1，0)时△F AB 的周长最大，此时m ＝1，把x ＝1代入x 24＋y 23＝1得y 2＝94，y ＝±32，S △F AB ＝12|F 1F 2||AB |＝12³2³3＝3. 答案 1 3第1课时 直线与圆锥曲线考点一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P (0，1)在C 1上. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程. 解 (1)椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)，∴c ＝1， 又点P (0，1)在曲线C 1上，∴0a 2＋1b 2＝1，得b ＝1，则a 2＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m消去y ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎨⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎨⎧k ＝－22，m ＝－ 2.所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.规律方法 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x 2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.【训练1】 在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C . (1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1)，若直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，求实数k 的取值范围.解 (1)设点M (x ，y )，依题意|MF |＝|x |＋1， ∴（x －1）2＋y 2＝|x |＋1，化简得y 2＝2(|x |＋x )， 故轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎨⎧4x （x ≥0），0（x ＜0）.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x (x ≥0)；C 2：y ＝0(x ＜0). 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2).由方程组⎩⎨⎧y －1＝k （x ＋2），y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①①当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.②当k ≠0时，方程①的Δ＝－16(2k 2＋k －1)＝－16(2k －1)(k ＋1)，② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0，0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k .③ (ⅰ)若⎩⎨⎧Δ＜0，x 0＜0，由②③解得k ＜－1，或k ＞12.所以当k ＜－1或k ＞12时，直线l 与曲线C 1没有公共点，与曲线C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.(ⅱ)若⎩⎨⎧Δ＝0，x 0≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k 2＋k －1＝0，2k ＋1k＜0，解集为∅.综上可知，当k ＜－1或k ＞12或k ＝0时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点. 考点二 弦长问题【例2】 (2016·四川卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T .(1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |，并求λ的值. (1)解 由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2，1). (2)证明 由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3.所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3，1＋2m 3.|PT |2＝89m 2. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)， 由Δ>0，解得－322<m <322. 由②得x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|P A |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2.所以|P A |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 2＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m3（x 1＋x 2）＋x 1x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 3＋4m 2－123 ＝109m 2.故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |.规律方法 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.【训练2】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). (1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程.解 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5，由d ＜1，得|m |＜52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4（m 2－3）] ＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534，得4－m 25－4m2＝1，解得m ＝±33，满足(*).∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.考点三 中点弦问题【例3】 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1(2)已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________.解析 (1)因为直线AB 过点F (3，0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x－3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1，①x 22－y223＝1， ②x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1＋y 2＝2y 0， ④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)， 显然x 1≠x 2.∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3，∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，∴k MN ＝－1，∴y 0＝－3x 0.又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4，3m 4，代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4， 解得m ＝0或－8，经检验都符合. 答案 (1)D (2)0或－8规律方法 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.【训练3】 设抛物线过定点A (－1，0)，且以直线x ＝1为准线. (1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围. 解 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y ). 再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4， 所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设弦MN 的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点，可知⎩⎨⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4.两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0， 将x M ＋x N ＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0，y M －y N x M －x N＝－1k 代入上式得k ＝－y 02.又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－12k ＋m .所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0.由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在线段BB ′上(B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以y B ′＜y 0＜y B ，也即－3＜y 0＜ 3. 所以－334＜m ＜334，且m ≠0.[思想方法]1.有关弦的三个问题(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；(2)涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解. 2.求解与弦有关问题的两种方法(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x 或y )成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系.(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数. [易错防范]判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点.(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( ) A.有且只有一条 B.有且只有两条 C.有且只有三条D.有且只有四条解析 ∵通径2p ＝2，又|AB |＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝3＞2p ，故这样的直线有且只有两条. 答案 B2.直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的交点个数是( ) A.1B.2C.1或2D.0解析 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点. 答案 A3.经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，则OA →²OB →等于( ) A.－3B.－13C.－13或－3D.±13解析 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13. 答案 B4.抛物线y ＝x 2到直线x －y －2＝0的最短距离为( ) A. 2B.728C.2 2D.526解析 设抛物线上一点的坐标为(x ，y )，则d ＝|x －y －2|2＝|－x 2＋x －2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－742，∴x ＝12时， d min ＝728. 答案 B5.已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线P A ，PB 的斜率乘积k P A ²k PB ＝23，则该双曲线的离心率为( ) A.52B.62C. 2D.153解析 设A (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)根据对称性，得B 点坐标为 (－x 1，－y 1)，因为A ，P 在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减，得k P A k PB ＝b 2a 2＝23，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝53，故e ＝153.答案 D 二、填空题6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________.解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b 2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案 x 24＋y 22＝17.已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________.解析 由题设知p ＝12a ＝2，∴a ＝14.抛物线方程为y ＝14x 2，焦点为F (0，1)，准线为y ＝－1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝x ＋1，消去x ，整理得y 2－6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6，∵直线过焦点F ， ∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8. 答案 88.(2017·金华月考)过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________；此弦的长为________.解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0.又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34.∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3).即3x ＋4y －13＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －13＝0，x 216＋y 24＝1，消去y 整理得13x 2－78x ＋105＝0，x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝10513，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－342·62－4³10513＝53913.答案 3x ＋4y －13＝0 53913三、解答题9.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列. (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程. 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ， l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2（c 2－b 2）a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]，即43a＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c 3. 由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1. 10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值.解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2 ＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |²d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k2＝103，解得k ＝±1. 能力提升题组 (建议用时：30分钟)11.已知椭圆x 24＋y2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( ) A.1B. 2C.32D. 3解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2，由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a ＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3. 答案 D12.抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( ) A.316B.38C.233D.433解析 ∵双曲线C 2：x 23－y 2＝1，∴右焦点为F (2，0)，渐近线方程为y ＝±33x .抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)，焦点为F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.设M (x 0，y 0)，则y 0＝12p x 20. ∵k MF ′＝k FF ′，∴12p x 20－p 2x 0＝p2－2.①又∵y ′＝1p x ，∴y ′|x ＝x 0＝1p x 0＝33.② 由①②得p ＝433. 答案 D13.设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足.如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.解析 直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝－3x ＋23，x ＝－2，得y ＝43，所以P(6，43).由抛物线的性质可知|PF |＝6＋2＝8. 答案 814.(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由. 解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )， 或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋（a －b ）（x 1＋x 2）x 1x 2＝k （a ＋b ）a.当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.15.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |. (1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 解 (1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p . 所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p .由题设得p 2＋8p ＝54³8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0).代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1).又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3. 将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0. 设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ， y 3y 4＝－4(2m 2＋3).故MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ，|MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2.由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |， 从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2， 即4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4.化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.第2课时 定点、定值、范围、最值问题考点一 定点问题【例1】 (2017·枣庄模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →. (1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点.解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3.所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0，0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 设l 方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， ∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝my 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y2－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t （y －m ）得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)＞0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③将③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0， ∴(mt )2＝1.由题意mt ＜0，∴mt ＝－1，满足②，得l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1，0)，即Q 为定点. 规律方法 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【训练1】 (2017·杭州七校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点在x 轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程；(2)过点S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)∵椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b ＝c .又斜边长为2，即2c ＝2，故c ＝b ＝1，a ＝2，椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)当l 与x 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝169；当l 与y 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 由⎩⎨⎧x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝169，x 2＋y 2＝1，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，故若存在定点Q ，则Q 的坐标只可能为Q (0，1). 下面证明Q (0，1)为所求：若直线l 的斜率不存在，上述已经证明. 若直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx －13， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 2＋2y 2－2＝0，得(9＋18k 2)x 2－12kx －16＝0，Δ＝144k 2＋64(9＋18k 2)＞0， x 1＋x 2＝12k 18k 2＋9，x 1x 2＝－1618k 2＋9，QA →＝(x 1，y 1－1)，QB →＝(x 2，y 2－1)， QA →²QB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－4k 3(x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)·－169＋18k2－4k 3²12k 9＋18k 2＋169＝0， ∴QA →⊥QB →，即以线段AB 为直径的圆恒过点Q (0，1).考点二 定值问题【例2】 (2016·山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′k 为定值. ②求直线AB 的斜率的最小值. (1)解 设椭圆的半焦距为c .由题意知2a ＝4，2c ＝2 2.所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0). 由M (0，m )，可得P (x 0，2m )，Q (x 0，－2m ). 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝m x 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0.此时k ′k ＝－3.所以k ′k 为定值－3. ②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由①知直线P A 的方程为y ＝kx ＋m .则直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0＋m .同理x 2＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0，y 2＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m .所以x 2－x 1＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0－2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0＝－32k 2（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， y 2－y 1＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m －2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0－m＝－8k （6k 2＋1）（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫6k ＋1k ， 由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”. 故此时2m －m 4－8m 2－0＝66，即m ＝147，符合题意. 所以直线AB 的斜率的最小值为62. 规律方法 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.【训练2】 (2016·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值. (1)解 由已知c a ＝32，12ab ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. 所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由(1)知，A (2，0)，B (0，1). 设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1. 当x 0≠0时，直线P A 方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)， 令x ＝0得y M ＝－2y 0x 0－2.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2.直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1.∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1. ∴|AN |²|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1²⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2²⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4. 当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2，所以|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值. 考点三 范围问题【例3】 (2016·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围.解 (1)设F (c ，0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |， 即1c ＋1a ＝3c a （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2.又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2).设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知F (1，0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H)，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3. 由BF ⊥HF ，得BF→²FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因为直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k .设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）.在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋912（k 2＋1）≥1，解得k ≤－64或k ≥64.所以直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－64或⎣⎢⎡⎭⎪⎫64，＋∞.规律方法 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【训练3】 (2017·威海模拟)已知圆x 2＋y 2＝1过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A ，B 两点.记λ＝OA→²OB →，且23≤λ≤34. (1)求椭圆的方程； (2)求k 的取值范围；(3)求△OAB 的面积S 的取值范围. 解 (1)由题意知2c ＝2，所以c ＝1. 因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b ＝1，故a ＝2，所以所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)因为直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，所以原点O 到直线l 的距离为|m |12＋k 2＝1， 即m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.λ＝OA →²OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2＋11＋2k 2，由23≤λ≤34，得12≤k 2≤1，即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－22∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1.(3)|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2－2（2k 2＋1）2，由12≤k 2≤1，得62≤|AB |≤43. 设△OAB 的AB 边上的高为d ， 则S ＝12|AB |d ＝12|AB |，所以64≤S ≤23. 即△OAB 的面积S 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤64，23.考点四 最值问题【例4】 (2015·浙江卷)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称. (1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为 y ＝－1m x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2②由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1²－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12.且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )， 所以S (t )＝12|AB |²d ＝12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立. 故△AOB 面积的最大值为22.规律方法 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 【训练4】 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点.若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值.解 (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1. 所以a 2＝4，b 2＝2， 从而c 2＝a 2－b 2＝2.因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →²OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝(x 0＋2y 0x 0)2＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4 ＝x 20＋4－x 202＋2（4－x 20）x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0＜x 20≤4). 因为x 202＋8x 20≥4(0＜x 20≤4)，当且仅当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.[思想方法]1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 3.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围. 4.圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解. [易错防范]1.求范围问题要注意变量自身的范围.2.利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意特殊关系，特殊位置的应用.3.在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.4.解决定值、定点问题，不要忘记特值法.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B.[－2，2] C.[－1，1]D.[－4，4]解析 Q (－2，0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1. 答案 C2.(2017·石家庄模拟)已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM→|＝1，且OM →²PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95B.125C.4D.5解析 由OM→·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝125，故选B. 答案 B3.已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( ) A.2B.2 2C.8D.2 3解析 根据已知条件得c ＝16－m 2，则点(16－m 2，2216－m 2)在椭圆x 216＋y2m 2＝1(m ＞0)上，∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝2 2. 答案 B4.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(3，＋∞) C.(1，3]D.(1，3)解析 依题意可知双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，与抛物线方程联立消去y 得x2±bax ＋2＝0. ∵渐近线与抛物线有交点， ∴Δ＝b 2a 2－8≥0，求得b 2≥8a 2， ∴c ＝a 2＋b 2≥3a ，∴e ＝ca ≥3. 答案 A5.(2017·丽水调研)斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A.2B.455C.4105D.8105解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4（t 2－1）5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4³4（t 2－1）5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 答案 C 二、填空题6.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________. 解析 由条件知双曲线的焦点为(4，0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝16，b a ＝3，解得a ＝2，b ＝23，故双曲线方程为x 24－y 212＝1. 答案 x 24－y 212＝17.已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →²AM→＝0，则|PM →|的最小值是________. 解析 ∵PM→·AM →＝0，∴AM →⊥PM →.∴|PM→|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1， ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小， 故|AP →|min ＝2，∴|PM →|min ＝ 3. 答案38.(2017·杭州调研)若双曲线x 2－y2b 2＝1(b ＞0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________；与圆相切时渐近线的方程为________.解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则有|0－2|1＋b2≥1，解得b 2≤3，则e 2＝1＋b 2≤4，∵e ＞1，∴1＜e ≤2.当渐近线与圆相切时，b 2＝3，a 2＝1，∴渐近线方程为y ＝±3x .答案 (1，2] y ＝±3x 三、解答题9.如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →²PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使得OA →²OB →＋λP A →²PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b ). 又点P 的坐标为(0，1)，且PC→²PD →＝－1， 于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2.解得a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 方程为x 24＋y 22＝1.。
浙江版)2018年高考数学复习。专题7
浙江版)2018年高考数学复习。
专题7.2绝对值不等式(讲)第02节绝对值不等式考点：绝对值不等式的解法、绝对值与分段函数、绝对值不等式的应用。
1.绝对值不等式的解法1) 形如|ax+b|≥|cx+d| 的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解。
2) 形如|ax+b|≤c(c>0) 和|ax+b|≥c(c>0) 型不等式绝对值不等式 |x|>a 与 |x|<a 的解集。
ax+b|≤c ⇔ -c≤ax+b≤c(c>0)，|ax+b|≥c ⇔ ax+b≥c 或ax+b≤-c(c>0)。
2.绝对值不等式的应用如果 a，b 是实数，那么|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0 时，等号成立。
例题：已知函数 f(x)=|x-2|-|x+1|。
1) 解不等式 f(x)>1；2) 当 x>0 时，函数 g(x)=(ax^2-x+1)/x (a>0) 的最小值总大于函数 f(x)，试求实数 a 的取值范围。
解答：1) 当x>2 时，原不等式可化为x-2-(x+1)>1，此时不成立；当 -1≤x≤2 时，原不等式可化为 2-x-(x+1)>1，即 -1≤x1，即 x<-1.综上，原不等式的解集是 {x|x<0}。
2) 因为当 x>0 时，g(x)=(ax+1)/x-1/x-x(a+2)-(-a+1)，化简得a≥1.2x+1- [x]-2 ≤ 解集为()A。
{x|-1≤x≤1} B。
{x|-1≤x<1} ∪ {1}C。
{x|-1≤x≤1} ∪ {2} D。
{x|-1≤x≤1}答案】C变式二】【2017·贵阳模拟】已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|.1)求不等式f(x)≤6的解集；2)若关于x的不等式f(x)<|a-1|的解集非空，求实数a的取值范围。
答案】(1)[-1,2]。
(2)(-∞,-3)∪(5,+∞)。
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一、选择题
1．直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )
A ．x ＋2y －1＝0
B ．2x ＋y －1＝0
C ．2x ＋y －5＝0
D ．x ＋2y －5＝0 2．经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝
22x －2的斜率的2倍的直线方程是( ) A ．x ＝－1
B ．y ＝1
C ．y －1＝2(x ＋1)
D ．y －1＝22(x ＋1) 3．光线沿直线y ＝2x ＋1的方向射到直线y ＝x 上被反射后光线所在的直线方程是( )
A ．y ＝x 2－12
B ．y ＝2x ＋12
C ．y ＝x 2＋12
D ．y ＝x 2
＋1 4．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若l 过原点和第二、四象限，则( )
A ．C ＝0，且
B ＞0
B ．
C ＝0，B ＞0，A ＞0 C ．C ＝0，AB ＜0
D ．C ＝0，AB ＞0
5．已知点P (a ，b )，Q (b ，a )(a ，b ∈R )关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )
A ．x －y ＝0
B ．x ＋y ＝0
C ．x －y ＋(a ＋b )＝0
D ．x ＋y ＋(a ＋b )＝0 6．(2016·合肥模拟)将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为( )
A ．y ＝－13x ＋13
B ．y ＝－13
x ＋1
C ．y ＝3x －3
D ．y ＝13
x ＋1 7．直线ax ＋by －1＝0(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为( )
A.12ab
B.12|ab |
C.12ab
D.12|ab |
8．(2016·福州模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
二、填空题
9．(2016·苏州模拟)已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是________．
10．在直线方程y ＝kx ＋b 中，当x ∈[－3,4]时，恰好y ∈[－8,13]，则此直线方程为________．
11．设直线l 经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为______________．
12．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．
(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为__________________________．
(2)若a ＞－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，则△OMN 的面积取最小值时，直线l 对应的方程为________________．
答案解析
1．C [由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数．直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.]
2．C [由方程知，已知直线的斜率为
22
，所以所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y －1＝2(x ＋1)，故选C.]
3．A [在直线y ＝2x ＋1上取点(0,1)，(1,3)，关于直线y ＝x 的对称点(1,0)，(3,1)，过这两点
的直线为y －01－0＝x －13－1
，即y ＝x 2－12.故选A.] 4．D [直线过原点，则C ＝0，又过第二、四象限，∴斜率为负值，即k ＝－A B
＜0， ∴AB ＞0，故选D.]
5．A [由题意知，k PQ ＝－1，故直线l 的斜率k ＝1，又直线l 过线段PQ 的中点M (a ＋b 2，a ＋b 2
)，故直线l 的方程为y －a ＋b 2＝x －a ＋b 2
，即x －y ＝0.] 6．A [将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13
x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13
.] 7．D [令x ＝0，得y ＝1b
， 令y ＝0，得x ＝1a
， S Δ＝12|1a ||1b |＝12|ab |
.] 8．C [∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，
∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b
＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b
＝2＋b a ＋a b
≥2＋2 b a ·a b
＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．
∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.]
9．2x ＋y ＋1＝0
解析 ∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上， ∴2a 1＋b 1＋1＝0.
由此可知，点P 1(a 1，b 1)的坐标满足2x ＋y ＋1＝0. ∵点A (2,1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，
∴2a 2＋b 2＋1＝0.
由此可知，点P 2(a 2，b 2)的坐标也满足2x ＋y ＋1＝0. ∴过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0.
10．y ＝3x ＋1或y ＝－3x ＋4
解析 方程y ＝kx ＋b ，即一次函数y ＝kx ＋b ， 由一次函数单调性可知：
当k ＞0时，函数为增函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －3k ＋b ＝－8，4k ＋b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝3，
b ＝1.
当k ＜0时，函数为减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4k ＋b ＝－8，
－3k ＋b ＝13，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
k ＝－3，b ＝4. 11．3x －2y ＋5＝0
解析 由题意可知，当经过点(－1,1)与(2，－1)的直线与直线l 垂直时，点(2，－1)到直线l
的距离最远，因为k ＝1＋1－1－2
＝－23，所以k l ＝32，又因为直线l 经过点(－1,1)，所以y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0.
12．(1)x －y ＝0或x ＋y －2＝0
(2)x ＋y －2＝0
解析 (1)当直线l 经过坐标原点时，
由该直线在两坐标轴上的截距相等可得a ＋2＝0， 解得a ＝－2.
此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；
当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，
由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋a a ＋1
＝2＋a ， 解得a ＝0，
此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.
所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.
(2)由直线方程可得M (2＋a a ＋1
，0)，N (0,2＋a )， 因为a ＞－1，
所以S △OMN ＝12×2＋a a ＋1
×(2＋a ) ＝12×[(a ＋1)＋1]2a ＋1
＝12[(a ＋1)＋1a ＋1
＋2]≥ 12[2 (a ＋1)·1a ＋1＋2]＝2.。