上海民办协和双语学校八年级数学上册第五单元《分式》测试(包含答案解析)

一、选择题
1．若关于x 的分式方程
3
211m x x =---有非负实数解，且关于x 的不等式组102
x x m +≥⎧⎨+≤⎩有解，则满足条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9-
B ．8-
C ．7-
D ．6-
2．2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，重庆某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．设乙厂房每天生产x 箱口罩．根据题意可列方程为（ ）
A ．
60006000
52x x -= B ．60006000
52x x -= C ．60006000
52
x x -=+ D ．
60006000
52x x
-=+ 3．下列各分式中，最简分式是（ ）
A ．6()
8()
x y x y -+
B ．22y x x y --
C ．22
22x y x y xy ++
D ．22
2
()x y x y -+
4．若使分式2
x
x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠ B ．0x =
C ．1x ≠-
D ．2x =
5．计算2
33
22
2()m
n m n -⋅-的结果等于（ ）
A ．
2m
n
B ．
2n m
C ．
2mn
D ．72mn
6．如图，若x 为正整数，则表示321132
7121
(1)(1)543x x x x x x x x x
--++--÷++++的值的点落在（ ）．
A ．段①
B ．段②
C ．段③
D ．段④
7．为推进垃圾分类，推动绿色发展，宜宾天原化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用460万元购买甲型机器人比用580万元购买乙型机器人的台数少一台，两种型号机器人的单价和为140万元．若设乙型机器人每台x 万元，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A ．
4605801x 140x -=- B ．4605801140x x =-- C ．4605801x 140x =+- D ．460580
1140x x
-=- 8．若分式293
x x -+的值为0，则x 的值为（ ）
A ．4
B ．4-
C ．3或－3
D ．3
9．化简21
11313x x x x +⎫⎛-÷ ⎪---⎝⎭
的结果是（ ） A ．2
B ．
2
3
x - C ．
4
1
x x -- D ．
21
x - 10．下列分式中，最简分式是（ ）
A ．211x x +-
B ．2211
x x -+
C ．222
2x xy y x xy
-+- D ．21628
x x -+
11．2
a a
b b a ++-的结果是( )．
A ．2a
-
B ．4a
C ．2
b a b
--
D ．
b a
- 12．当1x 0-<<时， 1x -，0x ，2x 的大小顺序是（ ）
A ．102x x x -<<
B ．012x x x -<<
C ．021x x x -<<
D ．120x x x -<<
二、填空题
13．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}min ,a b 表示a ，b 中的较小的值，如{}min 2,42=．
（1）{}min 2,3--=__________________． （2）方程{}3min 2,322x x x
--=---的解为_________________． （3）方程131min ,2222
x x x x -⎧⎫=
-⎨
⎬---⎩⎭的解为_________________． 14．计算22
a b a b a b
-=-- _________．
15．已知关于x 的分式方程239
133
x mx x x ---=--无解，则m 的值为______． 16．若分式方程
13322a x x x
--=--有增根，则a 的值是________． 17．若32a b =，则
22a b
a
+=____． 18．观察给定的分式，探索规律：
（1）1x ，22x
，33
x ，44x ，…其中第6个分式是__________；
（2）2
x y ，43x y -，65x y ，87x y
-，…其中第6个分式是__________；
（3）2b a -，5
2b a ，83b a -，114b a
，…其中第n 个分式是__________（n 为正整数）．
19．计算211(
)(1)11
m m m -⨯--+的结果是______． 20．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米（0.0000000025千米）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．2.5微米用科学记数法表示为________千米．
三、解答题
21．计算：（1）2
2
22
21538x y y x
⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭． （2）222
232
4424x x x x x x x ⎛⎫-+-÷ ⎪-+--⎝⎭
． 22．解分式方程： （1）
13
x -＋2＝43x
x --；
（2）()
3211x x x x +---＝ 0 23．小红到离家2100米的学校参加艺术节联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，此时距联欢会开始还有45分钟，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校．已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍．
（1）小红步行的平均速度（单位：米/分）是多少？
（2）小红能否在联欢会开始前赶到学校？（通过计算说明你的理由） 24．先化简，再求值：
22
121124x x x x -+⎛
⎫+÷ ⎪--⎝⎭
，其中3x =． 25．分式计算与解方程：
（1）21211a a
a a
--
--； （2）
121221
x
x x +=-+． 26．鄂州市2020年被评为“全国文明城市”．创文期间，甲、乙两个工程队共同参与某段道路改造工程．如果甲工程队单独施工，恰好如期完成；如果甲、乙两工程队先共同施工10天，剩下的任务由乙工程队单独施工，也恰好能如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过15天才能完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需多少天？
（2）若甲工程队单独施工a 天，再由甲、乙两工程队合作______天（用含有a 的代数式表示）可完成此项工程．
（3）现在要求甲、乙两个工程队都必须参加这项工程．如果甲工程队每天的施工费用为2万元，乙工程队每天的施工费用为1.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，能使施工费用不超过61.5万元？
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
先根据方程3
211m x x =---有非负实数解，求得5m ≥-，由不等式组102x x m +≥⎧⎨+≤⎩
有解求
得3m ≤，得到m 的取值范围53m -≤≤，再根据10x -≠得3m ≠-，写出所有整数解计算其和即可． 【详解】 解：
3
211
m x x =--- 解得：5
2m x +=
， ∵方程有非负实数解， ∴0x ≥即
5
02
m +≥， 得5m ≥-；
∵不等式组10
2x x m +≥⎧⎨+≤⎩
有解，
∴12x m -≤≤-，
∴21m -≥-， 得3m ≤， ∴53m -≤≤， ∵10x -≠，即5
02
m +≠， ∴3m ≠-，
∴满足条件的所有整数m 为：-5，-4，-2，-1,0,1,2,3， 其和为：-6，
故选：D．
【点睛】
此题考查利用分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解的情况求参数，正确掌握方程及不等式组的解的情况确定m的取值范围是解题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
设乙厂房每天生产x箱口罩，则甲厂房每天生产2x箱口罩，根据两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天列分式方程．
【详解】
设乙厂房每天生产x箱口罩，则甲厂房每天生产2x箱口罩，
根据题意得：60006000
5
2
x x
-=，
故选：A．
【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系从而列出方程是解题的关键．3．C
解析：C
【分析】
分式的分子和分母没有公因式的分式即为最简分式，根据定义解答．
【详解】
A、6()
8()
x y
x y
-
+
=
3()
4()
x y
x y
-
+
，故该项不是最简分式；
B、
22
y x
x y
-
-
=-x-y，故该项不是最简分式；
C、
22
22
x y
x y xy
+
+
分子分母没有公因式，故该项是最简分式；
D、
22
2
()
x y
x y
-
+
=
x y
x y
-
+
，故该项不是最简分式；
故选：C．
【点睛】
此题考查最简分式定义，化简分式，掌握方法将分式的化简是解题的关键．4．A
解析：A
【分析】
根据分式有意义分母不为零即可得答案．
【详解】
∵分式
2x
x -有意义， ∴x-2≠0， 解得：x≠2． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
5．A
解析：A 【分析】
根据整数指数幂的运算法则进行运算即可． 【详解】
解：原式=4
3
43
1
222m m m n n m n n
---=⋅=⋅=
故选：A ． 【点睛】
本题考查了整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键
6．B
解析：B 【分析】
将原式分子分母因式分解，再利用分式的混合运算法则化简，最后根据题意求出化简后分式的取值范围，即可选择． 【详解】
原式2
2
1(1)
71211543(1)x x x x x x x
-++=-++++ 1(3)(4)11(1)(4)3x
x x x x
x x x x
-++=-++++ 1111x x x
-=
-++ 1
x x =
+ 又因为x 为正整数，
所以
1121x x ≤<+， 故选B ． 【点睛】
本题考查分式的化简及分式的混合运算，最后求出化简后的分式的取值范围是解答本题关键．
7．B
解析：B 【分析】
设乙型机器人每台x 万元，由两种型号机器人的单价和为140万元得甲型机器人每台
()140x -万元，根据用460万元购买甲型机器人比用580万元购买乙型机器人的台数少
一台列得方程. 【详解】
解：设乙型机器人每台x 万元，则甲型机器人每台()140x -万元，根据题意，可得
460580
1140x x
=--．
故选：B. 【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系，由此列得方程解决实际问题是解题的关键.
8．D
解析：D 【分析】
先根据分式的值为0可得29
0x ，再利用平方根解方程可得3x =±，然后根据分式
的分母不能为0即可得． 【详解】
由题意得：2903
x x -=+，
则2
9
0x ，即2
9x =，
由平方根解方程得：3x =±， 分式的分母不能为0， 30x ∴+≠，
解得3x ≠-， 则x 的值为3， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了分式的值、分式有意义的条件、利用平方根解方程，掌握理解分式的值是解题关键．
9．D
解析：D
【分析】
利用乘法分配律计算即可 【详解】 解：原式=11(3)(3)3(1)(1)x x x x x x +⋅--⋅--+-=1-31x x --=21
x -， 故选D ． 【点睛】
本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
10．B
解析：B 【分析】
最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分； 【详解】 A 、
()()21111111
x x x x x x ++==-+-- ； B 、2211x x -+ 的分子分母不能再进行约分，是最简分式；
C 、()()2
2222x y x xy y x y x xy x x y x
--+-==
-- ； D 、()()()244164
28242
x x x x x x +---==++ ； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题，在解题中一定要引起注意；．
11．C
解析：C 【分析】
根据分式的加减运算的法则计算即可． 【详解】
222
()()a a b a b a b a b b a a b a b a b
+-++=-=-
----. 故选：C 【点睛】
本题考查了分式加减运算的法则，熟记法则是解题的关键．
12．D
解析：D 【分析】
根据负整数指数幂的运算法则可得1
1
0x
x
-=
<，根据非零数的零次幂可得0x 1=，根据平方的结果可得20x 1<<，从而可得结果． 【详解】
解：∵1x 0-<<， ∴20x 1<<，0x 1=，1
1
x 0x
-=
<， ∴120x x x -<<． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了代数式的大小比较，需结合幂的运算法则进行求解．
二、填空题
13．-3【分析】（1）模仿题干可直接给出答案；（2）先将原式转化为分式方程求解即可；（3）根据题中的新定义化简求出分式方程的解检验即可【详解】解：（1）根据题意；（2）原方程为：去分母得解得：经检验是该
解析：-3 3
4
x = 0x = 【分析】
（1）模仿题干可直接给出答案；
（2）先将原式转化为分式方程，求解即可；
（3）根据题中的新定义化简，求出分式方程的解，检验即可． 【详解】
解：（1）根据题意，{}min 2,33--=-；
（2）原方程为：3322x x x
-=---， 去分母得33(2)x x +=--，
解得：34x =
，经检验3
4
x =是该方程的根， 故{}3min 2,322x
x x
--=---的解为：34x =；
（3）当
13
22x x <--时，x ＞2，方程变形得：11222
x x x -=---， 去分母得：1=x-1-2x+4， 解得：x=2，不符合题意；
当
1322x x >--时，即x ＜2，方程变形得：31
222x x x -=---， 解得：x=0，
经检验x=0是分式方程的解， 综上，所求方程的解为x=0．
故答案为：-3，3
4
x =，0x =． 【点睛】
本题考查新定义的实数运算，解分式方程．能将题目新定义的运算化为一般运算是解题关键．
14．【分析】根据分式运算的性质结合平方差公式计算即可得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了分式平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算平方差公式的性质从而完成求解 解析：+a b
【分析】
根据分式运算的性质，结合平方差公式计算，即可得到答案． 【详解】
22
a b a b a b ---()()22a b a b a b a b a b a b
+--===+-- 故答案为：+a b ． 【点睛】
本题考查了分式、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算、平方差公式的性质，从而完成求解．
15．1或4【分析】先去分母将原方程化为整式方程根据一元一次方程无解的条件得出一个m 值再根据分式方程无解的条件得出一个m 值即可【详解】解：去分母得：2x-3-mx+9=x-3整理得：（m-1）x=9∴当m
解析：1或4 【分析】
先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个m 值，再根据分式方程无解的条件得出一个m 值即可． 【详解】
解：去分母得：2x-3- mx+9 =x-3， 整理得：（m-1）x=9，
∴当m-1=0，即m=1时，方程无解；
当m-1≠0时，由分式方程无解，可得x-3=0，即x=3， 把x=3代入（m-1）x=9， 解得：m=4，
综上，m 的值为1或4．
故答案为：1或4．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键． 16．【分析】分式方程去分母转化为整式方程由分式方程有增根求出x 的值代入整式方程计算即可求出a 的值【详解】去分母得：1-3x+6＝-3a+x 由分式方程有增根得到x−2＝0即x ＝2把x ＝2代入得：1-6+6 解析：13
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x 的值，代入整式方程计算即可求出a 的值．
【详解】
去分母得：1-3x+6＝-3a+x ，
由分式方程有增根，得到x−2＝0，即x ＝2，
把x ＝2代入得：1-6+6＝-3a+2，
解得：a ＝13
， 故答案为：
13
． 【点睛】 此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
17．2【分析】将代入式子化简即可得到答案【详解】∴原式故答案为：2【点睛】此题考查分式的化简求值解题的关键是正确代入及掌握分式化简方法 解析：2
【分析】
将32a b =代入式子化简即可得到答案．
【详解】
23b a =，
∴原式34222a a a a a
+=
==． 故答案为：2．
【点睛】 此题考查分式的化简求值，解题的关键是正确代入及掌握分式化简方法．
18．【分析】（1）分子是连续正整数分母是以x 为底指数是连续正整数第六个分式的分子是6分母是x6（2）分子是以x 为底指数是连续偶数分母是以y 为底指数是连续奇数第奇数个分式符号是正第偶数个分式符号为负第六个
解析：66x 1211x y - 31(1)n n n b a
-- 【分析】
（1）分子是连续正整数，分母是以x 为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是 x 6
（2）分子是以x 为底，指数是连续偶数，分母是以y 为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x 12，分母是 y 11,
（3）分子是以b 为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n 个指数是3n-1；分母是以a 为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n 个分式的符号是（-1）n , 分子是b 3n-1，分母是 a n ,
【详解】
解：（1）分子是连续正整数，分母是以x 为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是6
6x ， （2）分子是以x 为底，指数是连续偶数，分母是以y 为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是12
11x y
-， （3）分子是以b 为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n 个指数是3n-1；分母是以a 为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n 个
符号为（-1）n ，所以，第六个分式是31(1)n n
n b a
-- 【点睛】 本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键
19．2【分析】利用乘法分配律展开括号再计算加减法【详解】故答案为：2
【点睛】此题考查分式的混合运算掌握乘法分配律计算法则是解题的关键 解析：2
【分析】
利用乘法分配律展开括号，再计算加减法．
【详解】
()211(
)(1)11211
m m m m m -⨯-=+--=-+． 故答案为：2．
【点睛】 此题考查分式的混合运算，掌握乘法分配律计算法则是解题的关键．
20．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式其中1≤|a|＜10n 为整数确定n 的值时要看把原数变成a 时小数点移动了多少位n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值＞1时n 是正数；当原数的绝对值＜
解析：92.510-⨯
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【详解】
2.5微米=92.510-⨯千米，
故答案为：92.510-⨯．
【点睛】
此题考查科学记数法，注意n 的值的确定方法，当原数小于1时，n 等于原数左数第一个非零数字前零的个数，按此方法即可正确求解．
三、解答题
21．（1）256y
；（2）3x - 【分析】
（1）先算乘方，再算乘法即可；
（2）根据分式混合运算的法则进行计算即可.
【详解】
（1）原式22
42
41598x y y x =⋅256y =； （2）()()()()22322222x x x x x x x ⎡⎤-+=-÷⎢⎥-+--⎢⎥⎣⎦ 31222x x x x ⎛⎫=-÷ ⎪---⎝⎭
()3232x x x x -=⨯-=-- 【点睛】
本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
22．（1）x ＝1；（2）无解
【分析】
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程无解；
【详解】
解：（1）去分母得：1＋2(x ﹣3)＝x ﹣4，
解得：x ＝1，
经检验x ＝1是分式方程的解；
（2）去分母，得
3x-(x+2)=0，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x 的值后不要忘记检验．
23．（1）70米/分；（2）能，见解析
【分析】
（1）设小红步行的平均速度为x 米/分，则骑自行车的平均速度为3x 米/分．由小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟为等量关系建立方程求出其解即可； （2）根据（1）求出的结论计算小红往返的时间之和与45分钟作比较就可以得出结论．
【详解】
（1）解：设小红步行的平均速度是x 米/分，则骑自行车的平均速度是3x 米/分． 根据题意，得
21002100203x x
-=， 方程两边同乘最简公分母3x ，得
6300210060x -=，
解得70x =．
检验：把70x =代入最简公分母3x ，得
33700x =⨯≠，
因此，70x =是原方程的根．
答：小红步行的平均速度是70米/分．
（2）由（1），得70x =，3210x =，
所以小红骑自行车的速度是210米/分，
于是，小红回家取道具共花时间：
2100210030104070210
+=+=（分）， 由于4045<，
因此，小红能在联欢会开始前赶到学校．
【点睛】
本题是一道行程问题的应用题，考查了列分式方程解实际问题，分式方程的解法，解答时小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟为等量关系建立方程是关键．
24．
21x x +-；52
【分析】 先计算括号内的运算，然后计算除法，把分式进行化简得到最简分式，再把3x =代入计
算，即可得到答案．
【详解】
解：原式=()()()
22212211x x x x x x x +--+⨯=---； 当3x =时，
原式=
52
2331=-+． 【点睛】 本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则进行计算． 25．（1）1a -；（2）13
x =
【分析】
（1）先对分式变形化成同分母的分式，然后利用同分母分式的运算法则运算即可； （2）利用分式的性质，将分式方程化成整式方程，然后再求解，最后验根得出结果．
【详解】 解：（1）21211a a a a ----21211a a a a -=+--2211a a a -+=-()211
a a -=-1a =-； （2）121221
x x x +=-+ 方程两边同乘()()221x x -+，得：
()()()()2122122x x x x x ++-+=- 解得：13
x =， 检验：当13x =
时，()()2210x x -+≠， 所以，原方程的解为13
x =
． 【点睛】 本题考查分式的加减运算及解分式方程，熟练掌握分式运算的法则及解分式方程的方法是解题的关键．
26．（1）甲工程队单独施工需30天完成，乙工程队单独施工需45天完成；（2）
3185
a -
；（3）15天 【分析】 （1）根据“甲乙两工程队合干10天的工程量+乙工程队单独做的工作量=总工作量1”列方程求解即可；
（2）算出剩下的工作量除以甲乙的工作效率之和即可；
（3）根据关系式：甲需要的工作费+乙需要的工作费≤61.5列出不等式求解即可．
【详解】
（1）设甲工程队单独施工需
x 天完成，则乙工程队需(15)x +天完成，依题意得：10115
x x x +=+ 去分母得：221015015x x x x ++=+
∴30x =
经检验，30x =是原方程的解．
∴1545x +=
答：甲工程队单独施工需30天完成，乙工程队单独施工需45天完成．
（2）11(1)()303045a -
÷+ =3185
a - 故答案为：3185
a - （3）设甲工程队先单独施工
m 天，依题意得：32 3.51861.55m m ⎛
⎫+-≤ ⎪⎝⎭ 解不等式得：15m ≥
∴甲工程队至少要先单独施工15天．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用：工程问题，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意应用前面得到的结论求解．。