高中数学必备知识点正弦与余弦定理和公式
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∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ Rt ΔABC≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°,∠ BCP = 90°, BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为 a 的正方形 . 同理, HPFG是一个边长为 b 的正方形 . 设多边形 GHCBE的面积为 S,则 , ∴ BDPC的面积也为 S, HPFG的面积也为 S由此可推出: a^2+b^2=c^2 方法二 作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为 a、b(b>a) ,斜边 长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形 . 把它们拼成如图所示的多边形 . 分别以 CF, AE为边长做正方形 FCJI 和 AEIG, ∵ EF=DF-DE=b-a, EI=b , ∴ FI=a , ∴G,I,J 在同一直线上, ∵CJ=CF=,a CB=CD=,c ∠CJB = ∠CFD = 90°, ∴RtΔCJB ≌ Rt ΔCFD, 同理, RtΔABG≌ Rt ΔADE,
应当说我们后面六个大题基本上是围绕着这样六个板块来进行。这六个板块肯定是我 们的核心内容之一。再比如说现在我们高考当中要体现对数学思想方法的考察,数学思想 方法以前考察四个方面,函数和方程思想,数形结合思想,分类讨论,等价转换,现在又 增加了三个,原来这四个方面当中有两类做了改造。函数和方程思想,数形结合思想,分 类讨论改成了分类讨论与整合,等价转换转为划归与转化。有限和无限思想,特殊和一般 的思想。很多同学说没有时间做后面的大题,为什么没有时间做大题呢?前面耗的时间太 长了,数学思想能力的欠缺还是非常重要的一个方面。
高考中,关注核心考点非常重要,核心考点一个是九大核心的知识点:函数、三角函 数,平面向量,不等式,数列,立体几何,解析几何,概率与统计,导数。当然每章当中 还有侧重,比如说拿函数来讲,函数概念必须清楚,函数图象变换是非常重要的一个核心 内容。此外就是函数的一种性质问题,单调性、周期性,包括后面我们还谈到连续性问 题,像这些性质问题是非常重要的。连同最值也是在函数当中重点考察的一些知识点,再 比如说像解析几何直线和圆这些内容,不管理科还是文科,肯定是非常重要的一个内容。
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( 5) a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a
正弦、余弦典型例题
1.在 △ABC中, ∠C=90° , a=1,c=4,则 sinA 的值为
2.已知 α 为锐角,且,则 α 的度数是(
) A . 30° B .45°
C.60° D . 90°
3.在 △ABC中,若, ∠A,∠B为锐角,则 ∠C的度数是( ) A .75°
6. 掌握区间若只有一个零点 , 则端点函数值符号相反 . 若有两个零点 , 则端点值同
号 , 且极值在区间内 .
勾股定理在高中有一个口诀叫“勾三股四弦五”。什么意思呢?也就是说勾股 定理的学习按着 3:4:5 这个比例计算的。勾指的是直角三角形直角边中短的那 条,股市直角边稍微长的那条,弦就不说了,那就是斜边了。这个定义具体该 怎么用呢? 一、经典证明方法细讲 方法一: 作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为 a、b ,斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使 D、E、F 在一条直线上 . 过 C 作 AC的延 长线交 DF于点 P.
间图形的变化,空间平面化,平面空间化,考虑角和距离,考虑表面积和体积,基本上类 型几乎大家都非常熟悉。
像这种知识内容都是我们容易得分的一些知识点。如果说我们在后面这一阶段里边, 把这种知识点牢牢把握好的话,我想这是我们提高得分的一个前提。当然从题型角度考 虑,那也有。因为填空题和选择题,一般说来还是考察基本知识比较多。可能选择题最后 一道题稍微麻烦,填空题最后可能有点麻烦,毕竟前面的这些填空选择还是比较基础的。 因为填空题、选择题,按照命题要求是考察双基为主,当然也有一些中等题,但整体看, 考察双基的这些问题,我们肯定是容易得分的。后面的六个大题,一般说来前三个大题还 是比较容易的,甚至前四道大题还是可以的,我们基本上都是拿分。稍微丢一点,可能是 第四道大题,但是前面三道题几乎能够保证拿满分,甚至第四道大题也可以拿满分。最后 一道大题可能有一些难,高考是一种选拔性考试,要考一些综合性试题。综合性试题在大 题当中有体现,尤其是后面两道大题肯定是这样的。这两道大题里面第一问尽量拿下来, 从这个意义上来讲,把握好相关题型,这也是我们提高得分率的一个特别重要的方面和前 提。
1. 结合图形的来理解 . 就是一条抛物线 .
2. 掌握对称轴 , 顶点 , 开口方向这几个概念
3. 根据曲线掌握最大最小值 , 单调性 . 离对称轴越近则函数值越大 ( 或越小 ).
4. 根据代数式掌握配方法 , 以及由此得到的顶点 , 极值 , 单调性质 .
5. 掌握零点的性质 , 根与系数的关系 , 零点关于对称轴对称 . 判别式的实质 .
其次,余弦的应用领域
余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知
三角形两边及夹角求 x 边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变
形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。
正弦定理的变形公式
(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;
则称 y 为 x 的二次函数
二、表达式 一般式: y=ax^2+bx+c(a,b,c 为常数, a≠0)
顶点式: y=a(x-h)^2+k [ 抛物线的顶点 P(h,k) ]
交点式: y=a(x-x?)(x-x ?) [ 仅限于与 x 轴有交点 A(x? , 0)和
B
( x?,0)的抛物线 ]
三、学习方法
三角函数正弦与余弦的学习,在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试正 弦和余弦的相关题目一般不会很难,是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好 题目。但对于有些同学来说还是很难拿分,那是为什么呢? 首先,我们要了解下正弦定理的应用领域
在解三角形中,有以下的应用领域: ( 1)已知三角形的两角与一边,解三角形
在一个三角形中,各边与其
所对角的正弦的比相等,且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是
确定的,利用正弦定理解三角形时,其解是唯一的;已知三角形的两边和其中
一边的对角,由于该三角形具有不稳定性,所以其解不确定,可结合平面几何 作图的方法及 “ 大边对大角,大角对大边 ”定理和三角形内角和定理去考虑解 决问题 (3) 相关结论: a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R (R为外接圆半径)
∴RtΔCJB ≌ Rt ΔCFD≌ Rt ΔABG≌ Rt ΔADE
高考试卷后面有六个大题,一般是侧重于六个重要的板块,必须把最重要的知识板块 拿出来,比如说数列与函数以及不等式,这肯定是重要板块。再比如说三角函数和平面向 量应该是一个,解析几何和平面几何和平面向量肯定又是一个。再比如像立体几何当中的 空间图形和平面图形,这肯定是重要板块。再后面是概率统计,在解决概率统计问题当中 一般和计数原理综合在一起,最后还有一个板块是导数、函数、方程和不等式,四部分内 容综合在一起。
还有一个重要的知识内容就是我们考试大纲里边提到的五大能力,两个意思。这说的 是课程里面的提法,五个能力,两个意思。我们碰到这样说的抽象概括能力,推理论证能 力,空间想象能力,运算求解能力,数据处理能力。我们在大纲里不一样,大纲版里边讲 了四个能力一个意思。思维能力,运算能力,空间想象能力,实践能力,应用能力。其实 这些方面基本上差不多的。我们大纲版里面的思维能力分解开,分解成两部分,一个叫做 抽象概括能力,还有一个叫做推理论证能力。这两方面合在一起其实就构成一种思维能 力。当然我们在课标版里面新增加了数据处理能力,这方面新增加了,别的应该和大纲版 差不多了,为什么把数据处理能力放进去呢?因为我们在新的课程标准背景底下,我们对 统计要求非常高。统计当中同学们可以看到很多内容都是和数据有关系,你采集了大量数 据,这些数据可能有些有用,有些没用,那在解题过程当中怎么样把有效数据拿出来,需 要你进行加工,进行整理。这个过程当然体现了数据处理能力了。
∵ D、 E、F 在一条直线上 , 且 RtΔGEF≌ Rt Δ EBD,
∴ ∠EGF = ∠BED,
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,
∴ ∠BEG =180°― 90°= 90 °
又∵ AB = BE = EG = GA = c ,
∴ ABEG是一个边长为 c 的正方形 .
B.90° C . 105° D .x0°
4.若 ∠A为锐角,且,则 A=( ) A .15° B .30° C .45° D . 60°
5. 在△ABC中, AB= AC=2,AD⊥BC,垂足为 D,且 AD= ,E 是 AC中点,
EF⊥BC,垂足为 F,求 sin ∠EBF的值。
正弦、余弦解题诀窍 1、已知两角及一边,或两边及一边的对角(对三角形是否存在要讨论)用正弦 定理 2、已知三边,或两边及其夹角用余弦定理 3、余弦定理对于确定三角形形状非常有用,只需要知道最大角的余弦值为正, 为负,还是为零,就可以确定是钝角。直角还是锐角。
(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形 ( 3)运用 a:b:c=sinA : sinB : sinC 解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦
正弦定理 在 △ ABC中,角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c,则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (其中 R 为三角形外接圆的半径)
( 4)设 R 为三角外接圆半径,公式可扩展为: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R, 即当
一内角为 90 °时,所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理,还需要知道
它的几个变形
sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA
“二次函数”在数学中运用的非常广泛。是数学这棵大树中,最主要的枝 干。学好“二次函数”很关键,当然不应盲目学习,要讲究方法。
“二次函数”主要知识点归纳如下,希望对你有所帮助。 一、定义
一般地,自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c
( a, b, c 为常数, a≠0,且 a 决定函数的开口方向, a>0 时,开口方向向上, a<0 时,开口方向向下 ,IaI 还可以决定开口大小 ,IaI 越大开口就越小 ,IaI 越小 开口就越大 . )
每位同学可能都有这种愿望,希望自己多拿分,少丢分,得高分,争取得满分。得满 分的可能性不是很大,因为这方面确实是个别极少数同学能够拿满分。为了实现这个目 标,首先要瞄准得分点,我觉得瞄准得分点是我们提高得分的一种前提。
你希望得分,考什么东西你也不知道,所以首先应该弄清楚,高考究竟应该考哪些知 识点。在这里,我想最主要应该弄明白,哪些知识内容是容易得分的,从目前来看,看看 历年的高考试题:几何,一个小题 5 分题,你稍微注意一下,这 5 分题就弄上了;复数也 是小题,几乎控制在复数的代数形式的运算上,这个也是容易得分的;三角函数在高考当 中,最多考中档题,它几乎没有难题或者是较难题,这种知识内容也是我们容易得分的一 种好题;平面向量基本上不独立考察大题,几乎都是选择题或者是填空题或者是大题当中 某一步或者是某几步需要运用到平面向量,基本上也是容易得分的一些知识点;概率统计 基本上也是控制在中等题,它几乎不是较难题或者是难题,从这个角度来看肯定也是容易 得分的;课标部分增加了解析几何的延伸内容,参数方程,这部分内容也是比较容易拿分 的;尽管立体几何每年有一个大题,但是立体几何的考法基本上都成型了,无非围绕着空