弹性力学第三章习题
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代入公式（g），(h)得应力分量
9.设图3-13中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为 ，试用纯三次式的应力函数求解。
【解答】采用半逆解法求解
(1)检验应力函数是否满足相容方程（2-25）
设应力函数 ，不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25）
(2)由式（2-24）求应力分量
1.设有矩形截面的竖柱，其密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q，如图1，试求应力分量。
解：采用半逆解法，设 。
导出 使其满足双调和方程：
（1）
含待定常数的应力分量为：
（2）
（3）
（4）
（5）
2．如图2（a），三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。
2.用边界条件确定常数，进而求出应力解答：
（c）
在区域内应力函数必须满足相容方程，（c）式为y的一次方程，相容方程要求它有无数多个根（全竖柱内的y值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即
两个方程要求
（d）
中的常数项， 中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在 的表达式中成为y的一次项及常数项，不影响应力分量。将（d）式代入（b）式，得应力函数
⑶考察边界条件
上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.
左右边界上；
当a>0时，考察 分布情况，注意到 ，故y向无面力
左端:
右端:
应力分布如图所示，当 时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩
主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。
偏心距e：
因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：
（f）
将式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f），可解得
（g）
将式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c），得应力分量表达式：
10.设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计，l>>h，图3-5，试用应力函数Φ=Axy+By2+Cy3+Dxy3求解应力分量。
解：本题是较典型的例题，已经给出了应力函数Φ，可按下列步骤求解。
由体力分量 ，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量：
（a）
（b）
（c）
（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。
①对于主要边界 ，其应力边界条件为：
， （d）Hale Waihona Puke Baidu
将式（d）代入式（b），（c），可得
（e）
②对于主要边界 （斜面上），应力边界条件：
在斜面上没有面力作用，即 ，该斜面外法线方向余弦为， ， .由公式（2-15），得应力边界条件
1．将Φ代入相容方程，显然是满足的。
2．将Φ代入式（2-24），求出应力分量
3．考虑边界条件：主要边界y=±h/2上，应精确满足式（2-15），
在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上σx,和τxy的正方向，由此得
同理可知，当 <0时，可以解决偏心压缩问题。
7.试考察应力函数 ，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。
【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）
，显然满足
（2）将 代入式（2-24），得应力分量表达式
由式(a)，（b）解出
最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必须满足的，故不必再校核。
代入应力公式，得
11.挡水墙的密度为ρ1，厚度为b，图3-6，水的密度为ρ2，试求应力分量。
解：用半逆解法求解
1．假设应力分量的函数形式，因为在y=-b/2边界上，σy=0；y=b/2边界上，σy=-ρ2gx，所以可假设在区域内σy为
根据材料力学，弯曲应力 主要与截面的弯矩有关，剪应力 主要与截面的剪力有关，而挤压应力 主要与横向荷载有关，本题横向荷载为零，则
(2)推求应力函数的形式
将 ，体力 ，代入公式（2-24）有
对y积分，得
（a）
（b）
其中 都是x的待定函数。
（3）由相容方程求解应力函数。
将（b）式代入相容方程（2-25），得
上边界：
斜边：
解得：
解：将代入相容条件，得：
ϕ1
解：由满足相容方程确定系数A与B的关系：
含待定系数的应力分量为
由边界条件确定待定系数：
、
由以上式子可求得：
由此可解得：
应力分量为
5.如图所示，右端固定悬臂梁，长为l，高为h，在左端面上受分布力作用（其合力为P）。不计体力，试求梁的应力分量。
解：用凑和幂次不同的双调和多项式函数的半逆解法来求解。显然，应力函数 所对应的面力，在梁两端与本题相一致，只是该函数在上、下边界面上多出了一个大小为 的剪应力，为了抵消它，在应力函数 上再添加一个与纯剪应力对应的应力函数 ：
由平衡条件得含有待定系数的应力表达式为：
利用边界条件确定，并求出应力分量：
上、下边界：
左端部：
解得：
6.试考察应力函数 在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?
【解答】⑴相容条件:
不论系数a取何值，应力函数 总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).
⑵求应力分量
当体力不计时，将应力函数 代入公式(2-24)，得
（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力：
①在主要边界上（上下边界）上， ，应精确满足应力边界条件式（2-15），应力
因此，在主要边界 上，无任何面力，即
②在x=0，x=l的次要边界上，面力分别为：
因此，各边界上的面力分布如图所示：
③在x=0，x=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：
x=0上x=l上
（e）
（4）由应力函数求应力分量
（f）
(g)
(h)
(5)考察边界条件
利用边界条件确定待定系数A、B、C、D、E。
主要边界 上（左）：
将（f），（h）代入
，自然满足
（i）
主要边界 上，
，自然满足
，将（h）式代入，得
（j）
在次要边界 上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：
（k）
（l）
（m）
由式（i），(j)，（k），（l），（m）联立求得
因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：
(a) (b)
因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。
8.设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q（图3-10），试求应力分量。
【解答】采用半逆法求解。
由材料力学解答假设应力分量的函数形式。
(1)假定应力分量的函数形式。
9.设图3-13中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为 ，试用纯三次式的应力函数求解。
【解答】采用半逆解法求解
(1)检验应力函数是否满足相容方程（2-25）
设应力函数 ，不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25）
(2)由式（2-24）求应力分量
1.设有矩形截面的竖柱，其密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q，如图1，试求应力分量。
解：采用半逆解法，设 。
导出 使其满足双调和方程：
（1）
含待定常数的应力分量为：
（2）
（3）
（4）
（5）
2．如图2（a），三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。
2.用边界条件确定常数，进而求出应力解答：
（c）
在区域内应力函数必须满足相容方程，（c）式为y的一次方程，相容方程要求它有无数多个根（全竖柱内的y值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即
两个方程要求
（d）
中的常数项， 中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在 的表达式中成为y的一次项及常数项，不影响应力分量。将（d）式代入（b）式，得应力函数
⑶考察边界条件
上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.
左右边界上；
当a>0时，考察 分布情况，注意到 ，故y向无面力
左端:
右端:
应力分布如图所示，当 时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩
主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。
偏心距e：
因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：
（f）
将式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f），可解得
（g）
将式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c），得应力分量表达式：
10.设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计，l>>h，图3-5，试用应力函数Φ=Axy+By2+Cy3+Dxy3求解应力分量。
解：本题是较典型的例题，已经给出了应力函数Φ，可按下列步骤求解。
由体力分量 ，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量：
（a）
（b）
（c）
（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。
①对于主要边界 ，其应力边界条件为：
， （d）Hale Waihona Puke Baidu
将式（d）代入式（b），（c），可得
（e）
②对于主要边界 （斜面上），应力边界条件：
在斜面上没有面力作用，即 ，该斜面外法线方向余弦为， ， .由公式（2-15），得应力边界条件
1．将Φ代入相容方程，显然是满足的。
2．将Φ代入式（2-24），求出应力分量
3．考虑边界条件：主要边界y=±h/2上，应精确满足式（2-15），
在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上σx,和τxy的正方向，由此得
同理可知，当 <0时，可以解决偏心压缩问题。
7.试考察应力函数 ，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。
【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）
，显然满足
（2）将 代入式（2-24），得应力分量表达式
由式(a)，（b）解出
最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必须满足的，故不必再校核。
代入应力公式，得
11.挡水墙的密度为ρ1，厚度为b，图3-6，水的密度为ρ2，试求应力分量。
解：用半逆解法求解
1．假设应力分量的函数形式，因为在y=-b/2边界上，σy=0；y=b/2边界上，σy=-ρ2gx，所以可假设在区域内σy为
根据材料力学，弯曲应力 主要与截面的弯矩有关，剪应力 主要与截面的剪力有关，而挤压应力 主要与横向荷载有关，本题横向荷载为零，则
(2)推求应力函数的形式
将 ，体力 ，代入公式（2-24）有
对y积分，得
（a）
（b）
其中 都是x的待定函数。
（3）由相容方程求解应力函数。
将（b）式代入相容方程（2-25），得
上边界：
斜边：
解得：
解：将代入相容条件，得：
ϕ1
解：由满足相容方程确定系数A与B的关系：
含待定系数的应力分量为
由边界条件确定待定系数：
、
由以上式子可求得：
由此可解得：
应力分量为
5.如图所示，右端固定悬臂梁，长为l，高为h，在左端面上受分布力作用（其合力为P）。不计体力，试求梁的应力分量。
解：用凑和幂次不同的双调和多项式函数的半逆解法来求解。显然，应力函数 所对应的面力，在梁两端与本题相一致，只是该函数在上、下边界面上多出了一个大小为 的剪应力，为了抵消它，在应力函数 上再添加一个与纯剪应力对应的应力函数 ：
由平衡条件得含有待定系数的应力表达式为：
利用边界条件确定，并求出应力分量：
上、下边界：
左端部：
解得：
6.试考察应力函数 在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?
【解答】⑴相容条件:
不论系数a取何值，应力函数 总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).
⑵求应力分量
当体力不计时，将应力函数 代入公式(2-24)，得
（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力：
①在主要边界上（上下边界）上， ，应精确满足应力边界条件式（2-15），应力
因此，在主要边界 上，无任何面力，即
②在x=0，x=l的次要边界上，面力分别为：
因此，各边界上的面力分布如图所示：
③在x=0，x=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：
x=0上x=l上
（e）
（4）由应力函数求应力分量
（f）
(g)
(h)
(5)考察边界条件
利用边界条件确定待定系数A、B、C、D、E。
主要边界 上（左）：
将（f），（h）代入
，自然满足
（i）
主要边界 上，
，自然满足
，将（h）式代入，得
（j）
在次要边界 上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：
（k）
（l）
（m）
由式（i），(j)，（k），（l），（m）联立求得
因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：
(a) (b)
因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。
8.设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q（图3-10），试求应力分量。
【解答】采用半逆法求解。
由材料力学解答假设应力分量的函数形式。
(1)假定应力分量的函数形式。