关于常系数齐次线性微分方程组的解法研究

＝ ． Ｙ茸 ＝ Ｉ
ｔ‘一 ｅ ｅ ＋ １
Ｙ （ Ｄ（ 一 １ ２ … ， 一 １ ， ｋ＋ ｊ ＇， ）
ａ ２一 — —广
’
ｄ ｙｅ， ．
＝ ＾ ．
代 入 的表达式 得 ：
１ 一 ￡ ２ｅ ｅ＋ 一 ２ ｔ 一 ｅ ＋ １ ｅ
ｅＡ ＝ ｔ
ｌ ｌ
。
．
Ｙｋ ｌ Ｙｋ ２
【 ａ ， ・ ｅ 。 ０
解 之 得
“ ０
。ｌ 一
ｄ
●＿＿一
ｚ
● Leabharlann 出 ： １
●
：
ｅ ＝ １， 。
＾
＾
丑 对 每 一 个 ｋ一 １ ２ … ， 有 ｐ ， ， ５郡
一 ｅ ＋ ２ ‘ ２ ‘ ｅ一
— — — 一 ’
●＿一
岁１ ｄ 岁 １
ｄ ｔ
：
●
ｌ
１
于是 有
ｅ ｒ— ｒ ￡ ， ｅ （） ｒ＝ ／（ ） ｅ ￡ ， 。一 ｒ Ｏ ， （ ）
：
●
ｓ
即得 方程组
ｒｆ ｅ ａｔ ２ 。＋ “ｌ ｔ＋ ａｏ， ｅ 一 ２ ２ ＋ ａ１ ａｔ ，
于是
ｙｋ ｌ
由此解 出
—
０ Ｏ
一 ￡‘ ｅ ｅ ＋ ‘ — ｔ ｅ
ｔ ｅ ｔ ＋ ｅ ｅ
ｔ
Ｃｂ ｔ ｎ
，
Ｙ（ １ ｋ ）一 （ ‘ ｌ＋ ＾ ） ， Ｇ ｕ】 ｔｅ
以下说 明如 何利 用循 环公 式求 方程 组 的通解 ．
先 来 推 导 循 环 公 式 Ⅲ ． 于 方 程 对
于是 其 中
１
Ｈ 一 （ ｌ ｌ ，… ，ｈ ） ，Ｊ ２ 女 ，
．
ｌ
ｌ ‘
。
ｌ
．
—
Ｔ 一 （ ｌ Ｈ２ … ， ） ｙ Ｈ ， ， Ｈ
一
Ｊ 一
：
●
∑Ｈ 一
再 由 定 理 １即 可 证 ｅ 一 ｒ２） （ ．
一
，
定理 １ 若 Ａ是 阶 方阵 ， 则
ｔ 一
ｄ ２
）
，
ｅ 一 ａ Ａ一 ＋ … ＋ ｌ ｔ Ａｔ＋ ａ Ｉ， ｏ
其 中 ＆ ， … ，， 。口 ， 口 是 与 Ａ相对 应 的关 于 ｔ的函数 ． ｒ 证 明 因为 是 阶方 阵 ， ２ 由引理 ｌ有
在一 般 的微 分方程 教 材 ［ ］中 ， 于 常 系数 齐 次 １ 关 线性 微分 方程 组 的通解 求 法通 常 有两 种 方法 ： 一种 是 直接 计算 矩阵 指数 函 数 ｅ 另 一 种 是 从 矩 阵 的 特 征 ；
方程 人手 ， 其 特征 值 和 对 应 的特 征 向量 ， 据特 征 求 根
事应用数学研究 ， Ｅｍａｌｎ ｙ ｑ １ ６ ｔ ｍ ｉ： ｍｇ ｃ ＠ ２ ． ｏ
１ —２２ 一日ｔ ３２ ＋２ ｌ＋口 ｌ ０ ａｚ １ ａｔ 。 ａｔ ０
２ ２
高 等数 学 研 究
２１ ００年 ５月
而 的特征 值 为
｜ｌ一 ０， ： ｌ ２ 一 ３ 一 ｔ ．
Ｖ ｏ ． ３， ．３ １ 】 Ｎｏ Ｍａ ｙ，２ ０ ０１
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤ１ Ｎ ＯＬＩＥ ＡＴＨ Ｅ ＡＴＩ Ｓ ＥＳ Ｉ Ｃ ＧＥ Ｍ Ｍ Ｃ ２ １
关 于 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 组 的 解 法 研 究
杨 彩 琴
（ 蒙古 农 业 大 学 理 学 院 ， 和 浩特 ， １ ０ ８ 内 呼 ００ １）
ｂＡ ～ ＋ … ＋ ｂ Ａｔ ｂ Ｉ 一 ０， ， ｔ ｌ ＋ 。
一
筹 ． ，
所 以
Ａ什 什 一 Ａ … ・Ａ ｚ ｔ ｔ 一
（
＋． ．＋ ．
Ｊ ）一 Ａ
Ａ 一
（
ｏ
＋． Ａ＋ ） ． ． ＋ ｔ ＋
＋ ．・ ．＋
．
。 １ ．
口 ２‘ １
ｂ． １
Ｈ
ｂ ｚ—
一
二
Ａｒ ｔ ＋ … ＋ ， － ｔ １
ｆ０ 口
ｎ １
Ｉ ｌ 一ａ￡＋口 ０ ２ 。 ０
２２ ＋ｎｚ ｌ ａ ｌ Ｉ ￡ ，
收稿 日期 ：０ ９— １ ２０ ０— ２ ； 改 日期 ：０ ０～ ０ ７修 ２１ ３— ２ ． ４ 作者 简 介 ： 彩 琴 （９ ４－） 女 ， 蒙 古 鄂 尔 多 斯 市 人 ， 士 ， 师 ， 杨 １７ － 。 内 硕 讲 从
ｅ 一 ∑ Ａ ￡． ”
上 式对所 有 的方 阵 Ａ都 有 意义 ． 引 理 １凯 莱 一 密顿 定理 ） （ 哈 所 有 方 阵 Ａ都 满
足它 的特 征方 程． 即如 果 Ｉ 址 一Ａ）Ｉ ｂ ＋ … ＋ ｂ （ — ， Ａ １ ｂ， ＋ 。 则
ｂＡ ＋ … ＋ ｂ Ａ ＋ ｂ Ｉ 一 ０， ， ｌ ｏ
ｂ ：
… ＋ ｂ Ｊ ‘ 一 ： ，
值 重数 的不 同求 其通 解 ． 文就 以上两 种方 法给 出不 本 同的解 法 ， 计算 简 单 明 了 ， 易 出错． 使 不 首 先说 明如 何利 用 凯莱 一哈 密顿定 理 直接计 算 ．
矩 阵指 数 函数 ｅ 的定义 ：
摘
要 利 用 凯 莱 一哈 密 顿 定 理 给 出矩 阵 指数 函 数 ｅ 的 简 洁 计 算 方 法 ； 同时 利 用 约 当 标 准 形 推 导 出求 常 系
数 齐 次线 性 微 分 方 程 组 通 解 的循 环 公 式 ． 关 键 词 常 系 数 齐 次线 性 微 分 方 程 组 ； 阵 指 数 函数 ； 当 标 准 形 ； 环 公式 ． 矩 约 循 中 图 分 类 号 Ｏ１５ １ ７．
ｄ ｘ
Ｔ Ｑｔ
一
ｌ＝ （
＋
＋ … 十
ｆ 一
，
—
Ａｘ ，
记
Ｔ （ Ｈ・， Ｈ２， ， ）， … Ｈ
般 地 ， 必相似 于 一 个 约 当形 矩 阵 ， Ａ 即必 存 在 可逆
Ｔ－ＡＴ ＝ ｄ ａ （ ， ２ … ， ， ｉ ｇ Ｊｌ Ｊ ， Ｊ ）
矩 阵 Ｔ 使得 ，