(新整理)最新北师大版九年级上相似三角形

知识点8 、相似三角形常见的图形

1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：

如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）

(2)、如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A 共角型”、 “反A 共角共边型”、 “蝶型”）

如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）

(4)、如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似

三角形。

B E

A C D

1

2A

B

C

D E

12A

A

B

B

C

C D

D

E

E

124

1

2

E

C A

B

D E

A

B

C (

D )

E

A

D

C

B

(1)

E A

B

C

D

(3)

D

B

C

A

E (2)

C

D

E

A

B

③、内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5）、在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向

位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),

相似三角形经典例题透析

类型一、相似三角形的概念

1、判断对错：

(1)、两个直角三角形一定相似吗？为什么？

(2)、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？

(3)、两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？

(4)、两个等边三角形一定相似吗？为什么？

(5)、两个全等三角形一定相似吗？为什么？

思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件.

解：(1)、不一定相似.反例

直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.

(2)、不一定相似.反例

等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似.

(3)、一定相似.

在直角三角形ABC与直角三角形A′B′C′中

(4)、一定相似.

因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似.

(5)、一定相似.

全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为1，所以全等三角形一定相似，且相似比为1.

【变式2】下列能够相似的一组三角形为( )

A、所有的直角三角形

B、所有的等腰三角形

C、所有的等腰直角三角形

D、所有的一边和这边上的高相等的三角形

类型二、相似三角形的判定

1、如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图

中各对相似三角形，并求出相应的相似比.

2、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则

△ABC和△EDF相似吗？为什么？

举一反三

【变式1】、已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．

.

【变式3】、已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．

求证：△DFE∽△ABC．

类型三、相似三角形的性质

1、△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能

求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.

2、如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形

相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.

举一反三

【变式1】△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求.

类型四、相似三角形的应用

举一反三

【变式1】、如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．

【变式2】、已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？

类型五、相似三角形的周长与面积

1、已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交

AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．

【变式2】、如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．

(1)、当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；

(2)、当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；

类型六、综合探究

1、如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P为

垂足，PE交DC于点E，

(1)、设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；

(2)、请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如

果不能，请说明理由.