第九章 欧氏空间

= ( , ) + ( , ) .
3 ) ( , 0 ) = (0 , ) = 0；
4) ( ki i , l j j ) ki l j ( i , j );
i 1 j 1 i 1 j 1
s
n
s
n
5 ) | ( , ) | | | | |，当且仅当 , 线性相
关时，等号才成立.
2 长度、夹角与正交
(1) 设V是欧氏空间，对任意V，非负实数 ( , ) 称为向量 的长度，记为 | |. 即| | 度为1的向量称为单位向量. 如果≠0，则
( , ) ，长
1 | |
是单位
向量，称为将单位化.
(2) 非零向量 , 的夹角 < , > 规定为
为 V1 . 如果V1 V2 ，且V=V1 + V2 ，则称V2为V1的
正交补，记为V1.
(2) 正交子空间有下列结果： 1) 设V是欧氏空间， , i , j V，则
L(1 , 2 , … , t) 等价于 j (j=1, 2, ..., t);
L(1 , 2 , … , s) L(1 , 2 , … , t)等价于i j
第九章
欧氏空间
内 容 摘 要
1 内积和欧几里得空间
(1) 设 V 是实数域 R 上一个线性空间，如果对V中 任意两个元素 , 有一个确定的实数( , )与它们对应， 且满足：
1) ( , ) = ( , )；
2) (k , ) = k( , )；
3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 4) ( , ) 0，当且仅当 = 0 时 ( , ) = 0 .
的特征向量. 设1, 2, ..., s是A的全部互异特征值，其 重数分别为r1, r2, ..., rs，且r1+r2+...+rs=n. 又设对应特征 值i的ri个线性无关的特征向量为
pi1, pi 2 ,, piri (i 1,2,, s).
第二步 如果ri>1，将对应i的特征向量 pi1 , pi 2 ,, pir
(i=1, 2, ..., s; j=1, 2, ..., t). 2) 如果欧氏空间V的子空间 V1 , V2 , … , Vs 两两正 交，则V1 + V2 + … + Vs 是直和.
3) n 维欧氏空间 V 的每一个子空间 V1都有唯一的
正交补. 且V1 恰由所有与 V1 正交的向量组成.
3) 设 1 , 2 , … , n 是欧氏空间 V 的另外一组基，而 由 1 , 2 , … , n 到 1 , 2 , … , n 的过渡矩阵为 C, 即 ( 1 , 2 , … , n ) = ( 1 , 2 , … , n ) C .
则基1 , 2 , … , n的度量矩阵A和基 1 , 2 , … , n 的度
则称( , ) 为与的内积，定义了内积的实线性空
间称为欧几里得空间，简称为欧氏空间.
(2) 一些常见的欧氏空间：
1) Rn——对于实向量 = (a1 , a2 , … , an ) , = (b1 ,
b2 , … , bn ) ,内积为 ( , ) = a1 b1 + a2 b2 + … + an bn= T. 2) R s×n——对于实矩阵A=(aij)s×n, B=(bij)s×n,内积为
1 1；
( 2 , 1 ) 2 2 1 ; ( 1 , 1 ) ( n , 1 ) ( n , 2 ) ( n , n 1 ) n n 1 2 n 1. ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( n 1 , n 1 )
( , ) , arccos , 0 , π . | || |
(3) 如果向量 , 的内积为零，即( , ) = 0，那么
, 称为正交或互相垂直，记为 .
(4) 长度具有如下性质(设V是欧氏空间， , V ; kR)：
( A, B) aijbij
i 1 j 1
n
n
3) P[x]——对于实系数多项式f(x), g(x),内积为
( f ( x), g ( x)) f ( x) g ( x)dx .
a
b
(3) 内积具有如下性质： 设V是欧氏空间， , , , i , j V ; k, ki, liR,则 1 ) ( , k ) = (k , ) = k( , ) = k( , )； 2 ) ( , + ) = ( + , ) = ( , ) + ( , )
10Байду номын сангаас对称变换
(1) 设V是欧氏空间，/A为V的线性变换，如果对任 意 , V，有(/A , ) = ( , /A )，则称/A为V的对
称变换.
(2) 对称变换具有如下性质： 1) 对称变换的特征值都是实数，属于不同的特征值 的特征向量正交;
为基1 , 2 , … , n的度量矩阵.
(2) 度量矩阵有如下的性质： 1) 设 , V在基1 , 2 , … , n下的坐标分别为 x=(x1, x2, …, xn)T，y=(y1, y2, …, yn)T，则( , ) = xTAy ，其中A是基1 , 2 , … , n的度量矩阵，这表明 任意两个向量的内积可以通过坐标和度量矩阵的乘 积表示出来，即度量矩阵完全确定了内积； 2) 基的度量矩阵是对称正定的；
(2) 同构欧氏空间的有关结论如下：
1) 同构的欧氏空间具有反身性、对称性与传递性; 2) 任一个 n 维欧氏空间都与 Rn 同构;
3) 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件
是它们有相同的维数.
7 正交变换
(1) 欧氏空间 V 的线性变换 /A 称为正交变换，如果
它保持向量的内积不变，即对于任意的 , V，都有
如果再把每个i单位化，即得到V的一组标准正交基.
(3) 标准正交基的有关结果如下：设 V 是 n 维欧氏
空间， 1 , 2 , … , n是 V 的一组标准正交基，则
1) 标准正交基的度量矩阵是单位矩阵；
2) 设 , V，且 , 在基1 , 2 , … , n下的坐标分 别为x=(x1, x2, …, xn)T，y=(y1, y2, …, yn)T，则( , ) =x1y1+ x2 y2+ …+ xn yn=xTy
5 正交矩阵
(1) 如果n级实矩阵A满足ATA=E ( 或
A-1A=E), 则称A为正交矩阵.
AAT=E, 或
(2) 正交矩阵具有如下性质：
1) 如果A是正交矩阵，则|A|=±1； 2) 如果A是正交矩阵，则AT，A-1，A*，Ak均是正
交矩阵；而lA是正交矩阵的充要条件是l=±1；
3) 如果A, B是n级正交矩阵，则AB也是正交矩阵； 4) n级实矩阵A是正交矩阵的充要条件是A的n个列( 或行)向量是两两正交的单位向量.
4) 在n 维欧氏空间V的子空间W中取一组正交基(或 标准正交基)1 , 2 , … , r(0<r<n)，将其扩充成V的正交 基(或标准正交基)1 , 2 , … , r, r+1 , … , n，则 W=L(r+1 , … , n) . 5) 设W是欧氏空间V的子空间，则维(V)=维(W)+维 (W).
9 实对称矩阵的标准形
(1) 实对称矩阵的特征值都是实数. (2) 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正 交.
(3) 对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n
级正交矩阵T，使得T'AT=T-1AT为对角矩阵.
(4) 实对称矩阵正交相似于对角矩阵的计算：
第一步 求实对称矩阵A的特征值和对应的线性无关
8 正交子空间与正交补
(1) 设 V1 , V2 是欧氏空间 V 中两个子空间，如果对于
任意的 V1 ， V2 ， 恒有( , ) = 0 . 则称 V1 , V2
为正交的，记为 V1 V2 . 一个向量 ，如果对于任意的
V1 ，恒有 ( , ) = 0 . 则称 与子空间 V1 正交，记
(/A , /A ) = ( , ) .
(2) 设 /A 是 n 维欧氏空间 V 的一个线性变换，于 是下面四个命题是相互等价的：
1) /A 是正交变换；
2) /A 保持向量的长度不变，即对于 V，
| /A | = | |；
3) 如果 1 , 2 , … , n 是标准正交基，那么/A 1 , /A 2 , … , /A n 也是标准正交基; 4) /A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
3) V中任一向量在基1 , 2 , … , n下的坐标为(( ,
1 ), ( , 2 ), …, ( , n ))T.
4) 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩
阵(即满足ATA=E的n级实矩阵). 又若两组基之间的过渡
矩阵是正交矩阵，且其中一组基是标准正交基，则另一
组基也是标准正交基.
i
用施密特正交化过程正交化，再单位化得 qi1 , qi 2 ,, qir ;
i
如果ri=1，直接将pi1单位化得qi1.
第三步 构造正交矩阵
T (q11 , q12 ,, q1r1，q21 , q22 ,, q2r2， ，qs1, qs 2 ,, qsrs )
则有：
1 Er1 2 Er2 ' 1 Q AQ Q AQ E s rs
1) (非负性)||≥0，当且仅当=0时||=0；
2) (齐次性)| k | = | k | | |； 3) (三角不等式)| + | | | + | |.
(5) 正交向量组的性质(设V是欧氏空间， , ,
iV )：
1) 当 时, |+ |2=| |2+| |2； 2) 如果1 , 2 , …, s 两两正交,则| 1 + 2 + …+ s |2 = | 1 |2 + | 2 |2 + … + | s |2 ；
6 欧氏空间的同构 (1) 设V 与 V 是两个欧氏空间，如果存在由 V 到
V 有一个双射 , 且对任意 , V ; kR有
1) ( + ) = ( ) + ( ) ； 2) (k ) = k ( ) , 3) ((), ( )) = (, ) . 则称是 V 到 V 的同构映射，此时称V与V 同构.
3) 两两正交的非零向量组是线性无关的.
3 度量矩阵
(1) 设 V 是 n 维欧氏空间， 1 , 2 , … , n是 V 的 一组基，称矩阵
( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( , ) ( , ) n 2 n 1 ( 1 , n ) ( 2 , n ) ( n , n )
量矩阵B满足B= CTAC，即不同基的度量矩阵是合同的
，且合同变换矩阵是两组基之间的过渡矩阵.
4 标准正交基
(1) 设 1 , 2 , … , n是 n 维欧氏空间V 的一组基，如 果它们两两正交，则称之为V的正交基；由单位向量组 组成的正交基称为标准正交基. (2) n 维欧氏空间V必存在正交基与标准正交基. 对n 维欧氏空间V的任一组基 1 , 2 , … , n都可以用施密特 (Schmidt)正交化过程化为正交基1 , 2 , … , n. 施密特 正交化过程如下：