勾股定理、实数复习

第一讲勾股定理、实数复习

(4) 应用勾股定理解决梯子问题

例4、长为4m 的梯子搭在墙上与地面成 45°角，作业时调整为 60°

角，如图所示，则梯子的顶端沿墙面升高了 __________ m.

(5) 应用勾股定理解决勾股树问题 例5、如图所示，是一株美丽的勾股树，其中所

有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形.若正方形 A B 、C D 的边长分别是3、5、2、3,则最

大正方形 E 的面 积是()

A. 13 B . 26 C . 47 D . 94

(6) 应用勾股定理解决阴影面积问题

例6、已知：如图7所示，以Rt △ ABC 勺三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边 AB = 3,则图中阴影部分的面积为 _______ .

(7) 直角三角形扩展为等腰三角形问题

一、勾股定理

1、熟练掌握勾股定理的各种表达形式 勾股定理：直角三角形两直

角边的平方和等于斜边的平方。

符号表达：如图，在R t △ ABC 中，/C= 9 0

, /A 、/B 、

/C 的对边分别为 a,b,c ，贝U

C

2

a 2

b 2, a 2

c 2 -b 2, b 2

c 2 -a 2

练：1、某直角三角形的勾与股分别是另一直角三角形勾与股 的n 倍，则这个三角形与另一直角三角形的弦之比是(

A. n:1

B.1:n

C.1:n 2

D.n 2、 由四根木棒，长度分别为 3, 4, 5, 6若取其中三根木棒组成三角形, 法，其中，能构成直角三角形的是 _____________________

2、 勾股定理的应用：(1)已知直角三角形的两边求第三边

(2) 已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 (3) 利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

3、 勾股定理的逆定理 如果三角形

)

:1 有()种取

ABC 的三边长分别是 a,b,c ，且满足a 2 + b 2= C 2

,那么△ ABC 是直角三角形。

步骤：(1) 先确定最大边(如 C )

(2)验证c 2与a 2 b 2

是否具有相等关系

(3)若 c 2

D

C

例8、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m,8m现在要将绿地扩充成等

腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周

长.

例9、如图10所示，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航号”和“海天号”两艘轮船同时从港口离开，各自沿着一个固定的方向航行。“远航号”每小时航行16海里，“海天号”每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后，两船相距30海里，如果知道“远航号”的航行方向是东北方向，你能知道“海天号”是沿着哪个方向航行

练习：1、Rt △一直角边的长为 9，另两边为连续自然数，则 Rt △的周长为（ ）

A 121

B 120

C 90

D 不能确定

2、等腰三角形底边上的高为 6,周长为36,则三角形的面积为（ ）

A 、56

B 48

C 40

D 32

3、已知1号、4号两个正方形面积和为 7， 2号、3号两个正方形面积和为 4，则三个 正方形 a,b,c 面积和为 （

） A .11

B.15

C.10

D.22

4、已知x —12 + x + y —25与z 2

—10z+25互为相反数，则以x 、y 、z 为三边的三角

形是 ______ ___ 三角形.

5、 A ABC 中，AB = 15 , AC = 13，高 AD = 12，则△ ABC 的周长为 ________________ .

6、 如图，已知：点 E 是正方形ABCD 勺BC 边上的点，现将△ DCE&折痕DE 向上翻折，使 DC 落

在对角线 DB 上，贝U EB ： CE= __________ .

如图，AD >^ ABC 的中线，/ ADC= 45。，把△ ADC 沿 AD 对折，点 C 落在C 的位置,

试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等.

已知： C =90 , AM 二 CM , MP _ AB 于 P.求证：BP

2

= AP 2 BC 2

.

7、 BC= 2, 则

BC

■ ACB =90 ,分别以此直角三角形的三边为直径画半圆

,

A

题6图

如图，已知：在 ABC 中,

9、如图,

、实数、平方根 （一）知识梳理:

1、 无理数： __________________________ 叫做无理数。

2、 无理数的 —①无限不循环小数—些是有规律但不循环）如

②含n 的数，如 _________________ 等；③开方开不尽的数的方根， 如 3、 实数的定义： _____________________________ 统称为实数。 4、 实数的分类：

5、 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反之，数轴上的每一个点表示一个实数，

实数与数轴上 _______ 是 对应的。

6、 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同。

2

7、 如果x =a ,那么x 叫做a 的 ___________ ，也称 _______ 方根。

8、 一个正数有 _____ 个平方根，它们互为 _______ ； _____ 只有一个平方根，是

____________________ ； ______ 没有平方根。

9、 _________________________ 叫做a 的算术平方根，零的算术平方根是 _________ 。正数a

的算术平方根用 _____ 表示，则正数a 的平方根可用 _______ 表示。 _______ 和 ____________ 的算术平方根只有一个。

10、 __________________________________ 已知正数 a ，则符号a 表示 ，符号 —■.■■■a 表示 __________ ，符号二a 表示 ________

11、 __________ 当 ________________________ 时，、、a 有意义；当 时，,a 没有意义。

3

12、 如果x =a ，那么x 叫做a 的 ________ ，也称 _______ 方根。立方根的性质：每个实数 13、 求一个数a 的 ________ 的运算，叫做开平方。开平方与 _________ 互为逆运算。 14、

算术平方根的双重非负性：①： _____________________

，②

15、 两个公式：（...a ）2

= _______________ ， ,a 2

-

.

（二）专题精讲：类型之一：求平方根、算术平方根与立方根

1填空:

（1） 81的平方根是 ____ ，算术平方根是 _______ ，4 81的平方根是 ______ 。

等; 等。