最短路径问题教案

课题学习：最短路径问题

教学目标：

1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。

2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。

3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。

教学重点：

将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。

教学难点：

探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及原理。

导学过程：

一、创设情景，引入新知。

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究实际生活中的最短路径问题。

二、自主学习，探究新知。

茅厕

问题1 话说灰太狼从羊村落魄回来途中，不小心掉进茅厕坑，为了不让老婆看到自己落魄不堪的样子，于是决定去河边先洗个澡，冲洗掉身上的脏物，然后再回家，如图所示，请你设计一种路线，教教可怜的灰太狼，告诉他走那条路线回家最近吗？

河边

你能将这个问题抽象为数学问题吗？

追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？

将A ，B 两地抽象为两个点，将河ｌ 抽象为一条直线．

追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？

（1）从A 地出发，到河边ｌ洗澡，然后到B 地；

（2）在河边洗澡的地点有无穷多处，把这些地点与A ，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到洗澡地点，再回到B 地的路程之和；

（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线ｌ上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在ｌ 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．

问题2 如图，点A ，B 在直线ｌ 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在ｌ 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？

我们不妨先考略这个问题:

如图，点A ，B 在直线ｌ的异侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在ｌ的什么位置时，AC 与CB 的和最小？

· A

·B

追问1 对于问题2，如何将点B“移”到ｌ的另一侧B′处，满足直线ｌ上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？

追问2 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？

作法：

（1）作点B 关于直线ｌ的对称点B′；

（2）连接AB′，与直线ｌ相交于点C．

则点C 即为所求．

问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？

证明：如图，在直线ｌ上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，

BC =B′C，BC′=B′C′．

∴AC +BC= AC +B′C = AB′，

AC′+BC′= AC′+B′C′．

在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，

∴AC +BC＜AC′+BC′．

即AC +BC 最短．

追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？

三、课堂小结

（1）本节课你有什么收获？

（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？

四、课堂练习：

1.如图：点A和点B分别在直线ｌ的异侧，在直线ｌ上求作一点C使AC+BC最小.

A·

ｌ

B·

2.如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短.

3.如下图，牧马营地在点p处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短.

4.如图，

A

· P

O

·Q

B

五．布置作业

教科书复习题13第15题．

六．板书设计

1.最短路径问题

2.问题1

3.问题2

4.证明问题2

5.归纳小结