挑战中考数学压轴题_强化训练
挑战压轴题解答题(真题汇编压轴特训)-2024年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编(广州卷)(原卷版)
04 挑战压轴题（解答题二）3．（2021·广东广州·统考中考真题）已知抛物线()2123y x m x m =-+++（1）当0m =时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点()1,1E --、()3,7F ，若该抛物线与线段EF 只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．1．已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD BC <，5AD =，2AB DC ==．⑴如图，P 为AD 上的一点，满足∠BPC=∠A ，求AP 的长；⑵如果点P 在AD 边上移动（点P 与点D 不重合），且满足∠BPE=∠A ，BC 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ．①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设CQ y =，CQ=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；②写CE=1时，写出AP 的长（不必写解答过程）5．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）平面直角坐标系xOy 中，对于任意的三个点A 、B 、C ，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的“三点矩形”．在点A ，B ，C 的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A ，B ，C 的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG ，矩形IJCH 都是点A ，B ，C 的“三点矩形”，矩形IJCH 是点A ，B ，C 的“最佳三点矩形”．如图2，已知()41M ，，()23，N -，点()P m n ，．(1)①若2m =，4n =，则点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_________；②若2m =，点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”的面积为24，求n 的值；(2)若点P 在直线25y x =-+上．①求点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m 的取值范围；②当点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P 的坐标；(3)若点()P m n ，在抛物线2y ax bx c =++上，当且仅当点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”面积为18时，21m -≤≤-或13m ≤≤，直接写出抛物线的解析式．6．如图，一条抛物线经过原点和点C （8，0），A 、B 是该抛物线上的两点，AB ∥x 轴，点A 坐标为（3，4），点E 在线段OC 上，点F 在线段BC 上，且满足∠BEF =∠AOC .（1）求抛物线的解析式；（2）若四边形OABE 的面积为14，求S △ECF ；（3）是否存在点E ，使得△BEF 为等腰三角形？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由.7．（2020下·天津和平·九年级统考阶段练习）已知点()4,8A -和点()2,B n 在抛物线2y ax =上．（Ⅰ）求该抛物线的解析式和顶点坐标，并求出n 的值；（Ⅱ）求点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ QB +最短，求此时点Q 的坐标；（Ⅲ）平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A '，点B 的对应点为B '，点()2,0C -是x 轴上的定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A C CB ''+最短，求此时抛物线的解析式；②()4,0D -是x 轴上的定点，当抛物线向左平移到某个位置时，四边形A B CD ''的周长最短，求此时抛物线的解析式（直接写出结果即可）8．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）问题探究（1）请在图1中过点A 画一条直线，将ABC V 分成面积相等的两部分；（2）如图2，在ABCD Y 中，3AB =，4=AD ，点E 在AD 的延长线上，且2DE =，过点E 作直线l 分别交边CD ，AB 于点M ，N ．若直线l 将ABCD Y 的面积平分，则请求出CM 的长度；问题解决（3）某市为保护生态环境，方便市民观光游览，准备在秦岭北麓兴建一处“和谐观光园”，其形状为四边形ABCD ，如图3所示．在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，实际长度5AD =公里，9AB =公里，13BC =公里，15CD =公里，点P 在CD 上且5PD =公里，根据用地需求，需在BC 上确定点E ，将五边形ABEPD 作为特色植物繁育展示区，使其面积为四边形ABCD 总面积的一半，并在AB 上确定点F ，在PEF !中修建游客休息区，剩余部分作为花卉展示区，为方便游客游览，要求修建PE 、PF 、EF 三条观光道路的总长度最小．请问这样的PEF !是否存在？若存在，请求出点E 到点B 的距离及PEF !周长的最小值；若不存在，请说明理由．(1)求点B 的坐标；(2)如果抛物线212y x bx c =-++经过点(1)求证：2AG OE =；(2)若tan 21CAE AE ∠==，，求AG 的长；(3)如图2，若1AE =，设tan CAE ∠=①用含有x 的代数式表示OB 的长；②求y 关于x 的函数关系式．11．（2021上·安徽六安·九年级校考阶段练习）南浔区某校增设拓展课程之“开心农场”，如图，准备利用现成的一堵“L ”字形的墙面（粗线ABC 表示墙面，已知AB ⊥BC ，AB ＝3米，BC ＝1米）和总长为11米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF （细线表示篱笆，小型农场中间GH 也是用篱笆隔开），点D 可能在线段AB 上（如图1），也可能在线段BA 的延长线上（如图2），点E 在线段BC 的延长线上．(1)当点D 在线段AB 上时，①设DF 的长为x 米，请用含x 的代数式表示EF 的长；②若要求所围成的小型农场DBEF 的面积为9平方米，求DF 的长；(2)DF 的长为多少米时，小型农场DBEF 的面积最大？最大面积为多少平方米？12．（2022·陕西西安·西安市第三中学校考模拟预测）问题提出：(1)如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，P 是对角线AC 上的一点，连接PD ，将PD 绕点P 逆时针旋转90︒得到PM ，过点M 作MN AC ⊥于N ，求PN 的长．问题解决：(2)2022年3月我省局部发生疫情，为落实“科学防治、精准施策、分级管理”，我省某小区设计防疫区域，在道路CD 边固定柱子(点)Q ，道路AB 边确定一点P ，以PQ 为边，搭建正方形防疫区域PMNQ ，内部道路CD 上设点E 作为记录处，EPQ V 、EPM V 、EMN V 、ENQ V 分别为不同的防疫物资放置区域，设计图简化如图2所示，已知道路两边AB CD ∥，道路宽为6m ，Q 为CD 上一定点，P 为AB 上一动点，PE CD ⊥于E ．请问是否存在符合设计要求且面积最小的EMN V ？若存在，请求出面积最小值及此时QE 的长；若不存在，请说明理由．13．（2022·四川巴中·统考模拟预测）为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，某小区决定用总长27m的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知房屋外墙长9m．(1)当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积为242m(2)当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是多少？14．（2021·江苏常州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数()0=≠和二次函数y kx k（2）如图②，四边形ABCD 内接于O e ，AC 为直径，点B 是半圆AC 的三等分点（弧AB <弧BC ），连接BD ，若BD 平分ABC ∠，且8BD =，求四边形ABCD 的面积．（3）如图③，为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会很多公园都在进行花卉装扮，其中一块圆形场地圆O ，设计人员准备在内接四边形ABCD 区域内进行花卉图案设计，其余部分方便游客参观，按照设计要求，四边形ABCD 满足∠ABC=60°，AB=AD ，且AD+DC=10（其中24DC ≤≤ ），为让游客有更好的观体验，四边形ABCD 花卉的区域面积越大越好，那么是否存在面积最大的四边形ABCD ？若存在，求出这个最大值，不存在请说明理由．16．（2021·上海宝山·统考一模）已知抛物线()20y ax bx a =+≠经过 ()4,0A ，()1,3B -两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，点 D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，联结BC 、BD ．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E 在线段BC 上，当CED OBD =∠∠时，求点 E 的坐标；（3）点M 在对称轴上，点N 在抛物线上，当以点O 、A 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．17．（2022上·河北沧州·九年级校考阶段练习）一名身高为1.8m 的篮球运动员甲在距篮筐（点B ）水平距离4m 处跳起投篮，篮球准确落入篮筐，已知篮球的运动路线是抛物线，篮球在运动员甲头顶上方0.25m 处（点A ）出手，篮球在距离篮筐水平距离为1.5m 处达到最大高度3.5m ，以水平地面为x 轴，篮球达到最大高度时的铅直方向为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求篮球运动路线（抛物线）的函数解析式；(2)求篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度是多少米？(3)已知运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3运动员乙在运动员甲与篮筐之间的什么范围内能在空中截住球？18．（2023下·浙江·八年级专题练习）在矩形ABCD 中，6cm AB =，12cm BC =，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm /秒的速度移动，同时，点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm /秒的速度移动．如果P 、Q 两点在分别到达B 、C 两点后就停止移动，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时，PBQ V 的面积等于28cm ？(2)设运动开始后第t 秒时，五边形APQCD 的面积为范围；写出t 为何值时，S 的值最小．(3)当t =32时，试判断DPQ V 的形状．(4)计算四边形DPBQ 的面积，并探索一个与计算结果有关的结论．(1)BD = ；(2)如图2，在运动过程中，连接OD ，将ODC V 沿OD 折叠，得到ODP V ，连接为 ，此时，AP 的值为 ；(3)如图3，在运动过程中，以O 为圆心，OC 的长为半径作半圆，交射线CB 于。
挑战中考数学压轴题3-4
1.3 因动点产生的直角三角形问题1、如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限． ①当线段34PQ AB =时，求tan ∠CED 的值； ②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图12、设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．3、如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究：△ABC 的最大面积？图14、如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图15、已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．（1）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图1，求证：222BN AM MN +=； 思路点拨：考虑222BN AM MN +=符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，只需证BN DN =，︒=∠90MDN 就可以了．请你完成证明过程．（2）当扇形CEF 绕点C 旋转至图2的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．图1 图21.4 因动点产生的平行四边形问题 1、已知平面直角坐标系xOy （如图1），一次函数334y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图像上，且MO ＝MA ．二次函数 y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C在上述二次函数的图像上，点D 在一次函数334y x =+的图像上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．图12、将抛物线cy=x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．1：2（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图13、如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．图1 图24、在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图25、如图1，等边△ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE＝EB．设EC＝x（0＜x≤2）．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ 的面积（用含x的代数式表示）；（3）当（2）中的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．图16、如图1，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．图17、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与334y x =-+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点．（1）求点A 、B 、C 的坐标．（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标．（3）在直线AB 上是否存在点E ，使得以点E 、D 、O 、A 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出BE CD的值；如果不存在，请说明理由．图1。
挑战压轴题解答题(真题汇编压轴特训)-2024年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编(广州卷)(原卷版)
03挑战压轴题（解答题一）(1)尺规作图：将法）；(2)在（1）所作的图中，连接V①求证：ABD②若tan BAC∠2．（2022·广东广州·统考中考真题）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD = 1.6m，BC =5CD．(1)求BC的长；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．条件①：CE = 1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°．注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）设PAO V 的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式：并写出x 的取值范围；（3）作PAO V 的外接圆C e ，延长PC 交C e 于点Q ，当POQ △的面积最小时，求C e 的半径．(1)沿AC BC 、剪下ABC V ，则ABC V 是_______三角形（填“锐角______．(2)分别取半圆弧上的点E 、F 和直径AB 上的点G 、H ．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm 的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；2．（2022上·陕西西安·九年级校考期中）如图，在等边ABC V 中，点D 是AB 边上的一个动点（不与点A ，B 重合），以CD 为边作等边EDC △，AC 与DE 交于点F ，连接AE ．(1)求证：ADF BCD △∽△；(2)若:5:2AB BD =，且20AB =，求ADF △的面积．3．（2022·安徽合肥·统考一模）如图，在正方形ABCD 中，9AB =，E 为AC 上一点，以AE 为直角边构造等腰直角AEF △（点F 在AB 左侧），分别延长FB ，DE 交于点H ，DH 交线段BC 于点M ，AB 与EF 交于点G ，连结BE ．(1)求证：AFB AED≅V V (2)当62AE =时，求sin MBH ∠的值．(3)若BEH △与DEC V 的面积相等，记△(1)当点D 与圆心O 重合时，如图2所示，求DE 的长．(2)当CEF △与ABC V 相似时，求cos BDE ∠的值．6．（2023下·安徽蚌埠·九年级校考开学考试）如图，矩形ABCD 中，8AB =厘米，12BC =厘米，P 、Q 分别是AB 、BC 上运动的两点，若点P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度沿AB 方向运动，同时，点Q 从点B 出发以2厘米/秒的速度沿BC 方向运动，设点P ，Q 运动的时间为x 秒．(1)设PBQ V 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2)当x 为何值时，以P ，B ，Q 为顶点的三角形与BDC V 相似？7．（2021下·湖北随州·七年级统考期末）阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程0x y -=的一个解11x y =⎧⎨=⎩可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程0x y -=的解为坐标的点的全体叫作方程0x y -=的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程0x y -=的图象称为直线0x y -=．直线x －y ＝0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M （x 0，y 0）的坐标满足不等式x －y ≤0，那么点M （x 0，y 0）就在直线x －y ＝0的上方区域内。
挑战中考数学压轴题(学生版)
第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1例2 如图1，已知抛物线的方程C1：1(2)()y x x m=-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，m与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．图1例3 直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1例4 Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图象与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2． （1）求m 与n 的数量关系； （2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1例5如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2例6 如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22=++上．y mx mx n （1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．图1例7 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,例8 如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cos A＝3．D为射线BA上的点（点D不与点10B重合），作DE//BC交射线CA于点E.．(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图1.2因动点产生的等腰三角形问题例1 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1例2 如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1例3 如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2例4 如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标； （2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1例5 如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N 以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1例6 如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC 上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1例7 已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连结DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图11.3 因动点产生的直角三角形问题例1如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1例2在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k 的值．例3 如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段34PQ AB时，求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1例4 设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．图1例5 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m my x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1例6 如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？图1例 7 如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图11.4 因动点产生的平行四边形问题例 1 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．图1 图2例 2 如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．图1例 3 已知平面直角坐标系xOy （如图1），一次函数334y x =+的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图象上，且MO ＝MA ．二次函数 y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数334y x =+的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．图1例4将抛物线c1：2y=x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x 轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图1例5 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．图1 图2例6 在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2例 7 如图1，等边△ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE＝EB．设EC＝x（0＜x≤2）．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ 的面积（用含x的代数式表示）；（3）当（2）中的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．图1例8 如图1，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．图11.5 因动点产生的梯形问题例1已知直线y ＝3x －3分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A ，B ．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，点B 关于直线l 的对称点为C ，若点D 在y 轴的正半轴上，且四边形ABCD 为梯形．①求点D 的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P ，其对称轴与直线y ＝3x －3交于点E ，若73t a n =∠D P E ，求四边形BDEP 的面积．图1例2 如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．图1例3 已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－(a＋1)x与直线y＝kx的一个公共点为A(4，8)．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积．备用图例 4 已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN 对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．图1 图2例5 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝2114x ，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上．(1) 写出点M 的坐标；(2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时． ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围；② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1∶2时，求t 的值．图1例 6 已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C的坐标为)20(-，，直线x y 32-=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标；(2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图1例7 如图1，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，－1），△ABC 的面积为45． （1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．图11.6 因动点产生的面积问题例 1 如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1例 2 如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ． （1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值； （2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．图1例 3 如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线myx=(x＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)P p p-(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线myx=(x＞0)和myx=-(x＜0)于M、N两点．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．图1例4 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD ＝3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点B和点E．①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．图1例5 如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图1例 6 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E 在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．图1 备用图例7 如图1，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．图1 图21.7 因动点产生的相切问题例1 如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．图1例2如图1，菱形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P从A出发，米的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P到达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？图一1.8 因动点产生的线段和差问题例1 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点．（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．图1例2 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P 的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．图1第二部分 函数图象中点的存在性问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系； （2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3例2 如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．图1。
中考数学总复习《几何压轴题》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《几何压轴题》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________专题02三角形之直角、等腰问题 题型训练训练题01【2023·内蒙古·中考真题】如图，在Rt ABC △中90,3,1ACB AC BC ∠=︒==，将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒，得到AB C ''△．连接BB '，交AC 于点D ，则AD DC 的值为 ．训练题02【2023·山东菏泽·中考真题】无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度BC ，无人机在空中点P 处，测得点P 距地面上A 点80米，点A 处俯角为60︒，楼顶C 点处的俯角为30︒，已知点A 与大楼的距离AB 为70米（点A ，B ，C ，P 在同一平面内），求大楼的高度BC （结果保留根号）训练题03【2023·广东·中考真题】2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂10m AC BC ==，两臂夹角100ACB ∠=︒时，求A ，B 两点间的距离．(结果精确到0.1m ，参考数据sin500.766︒≈ cos500.643︒≈ tan50 1.192︒≈)训练题04【2023·湖北黄冈·中考真题】综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD 的中点A 处竖直上升30米到达B 处，测得博雅楼顶部E 的俯角为45︒，尚美楼顶部F 的俯角为30︒，已知博雅楼高度CE 为15米，则尚美楼高度DF 为 米．（结果保留根号）训练题05【2023·河北沧州·模拟预测】如图1，嘉淇在量角器的圆心O 处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M ．(1)在图1中，过点A 画出水平线，并标记观测M 的仰角α．若铅垂线在量角器上的读数为53︒，求α的值；(2)如图2，已知嘉淇眼睛离地1.5米，站在B 处观测M 的仰角为（1）中的α，向前走1.25米到达D 处，此时观测点M 的仰角为45︒，求树MN 的高度．（注：3tan 374︒≈ 3sin 375︒≈ 4cos375≈︒） 训练题06【2023·四川成都·八年级期末联考】如图 在等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF == DG EF ⊥于点G 点M N 分别是DE DG 上的动点 且DN EM = 则FM FN +的最小值为 ．训练题07【2022·陕西西安·滨河期末】如图 直线y ＝x ﹣3分别交x 轴 y 轴于B A 两点 点C （0 1）在y 轴上 点P 在x 轴上运动 则2PC ＋PB 的最小值为 ．训练题08【2021·四川甘孜·中考真题】如图 腰长为22+2的等腰ABC 中 顶角∠A ＝45° D 为腰AB 上的一个动点将ACD 沿CD 折叠 点A 落在点E 处 当CE 与ABC 的某一条腰垂直时 BD 的长为 ．训练题09【2022·福建泉州·九年级联考】如图 ABC 和AGF 是等腰直角三角形 90BAC G ∠=∠=︒ AGF 的边AF AG 交边BC 于点D E ．若4=AD 3AE = 则BEDC 的值是 ．训练题10【2021·宁夏固元·联考一模】如图在直角△BAD中延长斜边BD到点C 使得BD=2DC 连接AC 如果则的值是（）A．B．C．D．答案&解析5 tanB3=tan CAD∠3 3351315训练题01【2023·内蒙古·中考真题】【答案】5【简证】因为tan 311tan 4522ABC CD ABD α∠=⎧⇒=⇒=⎨∠=︒⎩ 故5AD DC =【常规法】解：过点D 作DF AB ⊥于点F∵90ACB ∠=︒ 3AC = 1BC =∴223110AB =+=∵将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AB C ''△∴==10AB AB ' 90BAB '∠=︒∴ABB '是等腰直角三角形∴45ABB '∠=︒又∵DF AB ⊥∴45FDB ∠=︒∴DFB △是等腰直角三角形∴DF BF =∵1122ADB S BC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯ 即=10AD DF ∵ 90C AFD ∠=∠=︒ CAB FAD ∠=∠∴AFDACB ∴DF AF BC AC= 即3AF DF = 又∵=10AF DF -45°α∴10=4 DF∴105=10=42AD⨯51=3=22CD-∴52==512ADCD故答案为：5．训练题02【2023·山东菏泽·中考真题】【答案】大楼的高度BC 为303m ．【分析】如图 过P 作PH AB ⊥于H 过C 作CQ PH ⊥于Q 而CB AB ⊥ 则四边形CQHB 是矩形 可得QH BC = BH CQ = 求解3sin 60804032PH AP =︒=⨯= cos6040AH AP =︒= 可得704030CQ BH ==-= tan 30103PQ CQ =︒= 可得403103303BC QH ==-=．【详解】解：如图 过P 作PH AB ⊥于H 过C 作CQ PH ⊥于Q 而CB AB ⊥则四边形CQHB 是矩形 ∴QH BC = BH CQ =由题意可得：80AP = 60PAH ∠=︒ 30PCQ ∠=︒ 70AB = ∴3sin 60804032PH AP =︒=⨯= cos6040AH AP =︒= ∴704030CQ BH ==-= ∴tan 30103PQ CQ =︒=∴403103303BC QH ==-= ∴大楼的高度BC 为303m ．训练题03【2023·广东·中考真题】【答案】15.3m【分析】连接AB 作作CD AB ⊥于D 由等腰三角形“三线合一”性质可知2AB AD = 1502ACD ACB ∠=∠=︒ 在Rt ACD △中利用sin AD ACD AC∠=求出AD 继而求出AB 即可．【详解】解：连接AB 作CD AB ⊥于D∵AC BC = CD AB ⊥∴CD 是边AB 边上的中线 也是ACB ∠的角平分线∴2AB AD = 1502ACD ACB ∠=∠=︒ 在Rt ACD △中 10m AC = 50ACD ∠=︒ sin AD ACD AC ∠= ∴sin 5010AD ︒= ∴10sin50100.7667.66AD =︒≈⨯=∴()227.6615.3215.3m AB AD =≈⨯=≈答：A B 两点间的距离为15.3m ．训练题04【2023·湖北黄冈·中考真题】【答案】3053-/5330-+【分析】过点E 作EM AB ⊥于点M 过点F 作FN AB ⊥于点N 首先证明出四边形ECAM 是矩形 得到15AM CE == 然后根据等腰直角三角形的性质得到15AC EM BM === 进而得到15==AD AC 然后利用30︒角直角三角形的性质和勾股定理求出53BN = 即可求解．【详解】如图所示 过点E 作EM AB ⊥于点M 过点F 作FN AB ⊥于点N由题意可得 四边形ECAM 是矩形 ∴15AM CE == ∵30AB = ∴15BM AB AM =-= ∵博雅楼顶部E 的俯角为45︒ ∴45EBM ∠=︒ ∴45BEM ∠=︒ ∴15AC EM BM ===∵点A 是CD 的中点 ∴15==AD AC 由题意可得四边形AMFN 是矩形 ∴15NF AD == ∵尚美楼顶部F 的俯角为30︒ ∴60NBF ∠=︒ ∴30BFN ∠=︒ ∴2BF BN =∴在Rt BNF △中 222BNNF BF += ∴()222152BN BN +=∴解得53BN =∴3053FD AN AB BN ==-=-．故答案为：3053-．训练题05【2023·河北沧州·模拟预测】【答案】(1)37︒(2)树MN 的高度为5.25米【分析】(1)根据互余的性质计算即可．(2) 过点A 作AP MN ⊥ 垂足为P 则 1.5PN AB ==米．设MN x =米．解直角三角形求解即可．【详解】（1）如图1；905337α=︒-︒=︒；（2）如图 过点A 作AP MN ⊥ 垂足为P 则 1.5PN AB ==米．设MN x =米． 在Rt APM △中 4( 1.5)tan 373MP AP x ==-︒（米） 在Rt MCP 中 1.5CP MP x ==-（米） 4( 1.5)( 1.5) 1.253AC AP CP x x ∴=-=---=（米） 解得 5.25x =． 答：树MN 的高度为5.25米．训练题06【2023·四川成都·八年级期末联考】【答案】23【分析】过点E 作AE EF ⊥ 使得2AE DF == 证得AEM FDN ≅ 利用全等三角形的性质证得FN AM = 求FM FN +的最小值即求FM AM +的最小值 此时只有A M F 在一条直线上时 FM AM +的最小 即为AF 的长 在Rt AEF 中利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点E 作AE EF ⊥ 使得2AE DF == 如图所示∵等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF ==∴45DEF ∠=︒ 222222EF =+=∴9045AEM DEF ∠=︒-∠=︒∵等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF == DG EF ⊥∴45FDN ∠=︒∴FDN AEM ∠=∠在AEM △和FDN 中AE DF AEM FDN EM DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEM FDN≅()SAS ∴FN AM =∴求FM FN +的最小值即求FM AM +的最小值 此时只有A M F 在一条直线上时 FM AM +的最小 即为AF 的长∴在Rt AEF 中()222222223AF AE EF =+=+=的最小值为23即FM FN故答案为：23训练题07【2022·陕西西安·滨河期末】【答案】4【分析】过P作PD⊥AB于D依据△AOB是等腰直角三角形可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD进而得到△BDP是等腰直角三角形故PD22=PB当C P D在同一直线上时CD⊥AB PC+PD的最小值等于垂线段CD的长求得CD的长即可得出结论．【详解】如图所示过P作PD⊥AB于D∵直线y＝x﹣3分别交x轴y轴于B A两点令x＝0 则y＝﹣3；令y＝0 则x＝3∴A（0 ﹣3）B（3 0）∴AO＝BO＝3又∵∠AOB＝90°∴△AOB是等腰直角三角形∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD∴△BDP是等腰直角三角形∴PD22=PB∴2PC+PB2=（PC22+PB）2=（PC+PD）当C P D在同一直线上即CD⊥AB时PC+PD的值最小最小值等于垂线段CD 的长此时△ACD是等腰直角三角形又∵点C（0 1）在y轴上∴AC＝1+3＝4∴CD22=AC＝22即PC+PD的最小值为22∴2PC+PB的最小值为222⨯=4 故答案为：4．训练题08【2021·四川甘孜·中考真题】【答案】2或22【分析】分两种情况：当CE ⊥AB 时 设垂足为M 在Rt △AMC 中 ∠A ＝45° 由折叠得：∠ACD ＝∠DCE ＝22.5° 证明△BCM ≌△DCM 得到BM ＝DM 证明△MDE 是等腰直角三角形 即可得解；当CE ⊥AC 时 根据折叠的性质 等腰直角三角形的判定与性质计算即可；【详解】当CE ⊥AB 时 如图设垂足为M 在Rt △AMC 中 ∠A ＝45°由折叠得：∠ACD ＝∠DCE ＝22.5°∵等腰△ABC 中 顶角∠A ＝45°∴∠B ＝∠ACB ＝67.5°∴∠BCM ＝22.5°∴∠BCM ＝∠DCM在△BCM 和△DCM 中90BMC DMC CM CM BCM DCM ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BCM ≌△DCM （ASA ）∴BM ＝DM由折叠得：∠E ＝∠A ＝45° AD ＝DE∴△MDE 是等腰直角三角形∴DM ＝EM设DM ＝x 则BM ＝x DE 2=x∴AD 2=x ．∵AB＝22+2∴2x2x＝22+2 解得：x2=∴BD＝2x＝22；当CE⊥AC时如图∴∠ACE＝90°由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°∵等腰△ABC中顶角∠A＝45°∴∠E＝∠A＝45°AD＝DE∴∠ADC＝∠EDC＝90°即点D E都在直线AB上且△ADC△DEC△ACE都是等腰直角三角形∵AB＝AC＝＝22+2∴AD22=AC＝22BD＝AB﹣AD＝（22+2）﹣（22）2=综上BD的长为2或22．故答案为：2或22．训练题09【2022·福建泉州·九年级联考】【答案】916【分析】利用等腰直角三角形的性质先证明AED BEA ∽ 可得34BE AE AB AD ==,设3BE x = 则4AB x AC ==,再证明ADE CDA △∽△ 可得34AC AE CD AD == 可得163CD x = 从而可得结论． 【详解】解：∵ABC 和AGF 是等腰直角三角形 ∴45,B F FAG AB AC ∠=∠=∠=︒=∵AEB AED ∠=∠∴AED BEA ∽∴AD AE DE AB BE AE ==,而4=AD 3AE = ∴34BE AE AB AD == 设3BE x = 则4AB x AC ==同理可得：ADE CDA △∽△∴AD AE DE CD AC AD == ∴34AC AE CD AD == ∴BE AC AB CD = ∴344x x x CD =,即163CD x = ∴3916163BE x CD x ==.训练题10【2021·宁夏固元·联考一模】【答案】D【详解】解：如图 延长AD 过点C 作CE ⊥AD 垂足为E∵ 即∴设AD ＝5x 则AB ＝3x∵∠CDE ＝∠BDA ∠CED ＝∠BAD∴△CDE ∽△BDA∴∴CE ＝ DE ＝∴AE ＝ ∴tan ∠CAD ＝．5tanB 3=53AD AB =12CE DE CD AB AD BD ===32x 52x 152x 15CE AE =。
挑战历届中考数学压轴题强化训练试题
挑战压轴题中考数学强化训练第一部分压轴题强化训练题专题训练一等腰三角形的存在性问题针对训练1、如图在平面直角坐标系x（）中，已知点D的坐标为（3,4），点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标2、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时停止运动在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求时间t3、如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标4、如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，DE=4.动线段DE（端点D从点B开始）沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止过点E作EF∥AC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），连结DF，设运动的时间为t秒（t≥0）（1）直接写出线段BE、EF的长（用含t的代数式表示）（2）在整个运动过程中，△DEF 能否为等腰三角形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由5、如图，已知四边形ABCD 是矩形，AB=16，BC=12.点E 在射线BC 上，点F 在线段BD 上且∠DEF=∠ADB.设EE=x ，当△DEF 为等腰三角形时，求x 的值6、如图，在等腰直角三角形BCE 中，斜边BC=4②.P 是BE 延长线上一点，连结PC ，以FC 为直角边向下方作等腰直角三角形PCD ，（D 交线段BE 于点F.若PE=x ，当△BDF 为等腰三角形时，求x 的值真题演练7、（19攀枝花24）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A （0,2），动点P 在y=32x 的图象上运动（不与O 重合），连结AP.过点P 作RQ⊥AP，交x 轴于点Q ，连结AQ（1）求线段AP 长度的取值范围（2）试问：点P 运动的过程中，∠QAP 是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由（3）当△OPQ 为等腰三角形时，求点Q 的坐标作图区爾区8、（18重庆卷2）抛物线y=2623663y x x =--+与x 轴交于点A 、B 点A 在点B 的左边与y 轴交于点C ，点D 是该拋物线的顶点（1）如图1，连结CD 求线段CD 的长（2）如图2，点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF⊥x 轴于点F,PF 与线段AC 交于点E将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+12EC的值最大时，求四边形POB1C的周长的最小值，并求出对应的点O的坐标（3）如图3，点H是线段AB的中点，连结CH，将△OBC沿直线CH翻折至△OB2C的位置，再将△OBC绕点B2旋转一周，在旋转的过程中，点O、C的对应点分别是点O、C，直线C1分别与直线AC、x轴交于点M、N.那么，在△OB2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直按写出所有符合条件的线段OM的长；若不存在，请说明理由9、（19湖州23）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l分别交x轴和y轴于点A（-3,0）B(0,3)（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长（2）如图2，已知直线l1：y=3x-3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q 是直线l2上的个动点，以Q为圆心，22为半径画圆①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；②设⊙Q与直线l1相交于M、N两点，连结QM、QN.问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由10、（17广东25）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO 是矩形，点A、C的坐标分别是A（0,2）和C（23,0），点D是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连结BD.作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF（1）填空：点B的坐标为（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由（3）①求证：33 DEDB②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求的最小值模拟训练11、（2018年陕西省中考模拟第24题）如图所示，抛物线C1：y=x2+bx+c 经过原点，与x轴的另一个交点为（2,0），将抛物线C1向右平移m（m>0）个单位得到抛物线C2,C2交x轴于A B两点（点A在点B的左侧）交y轴于点C （1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标；（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时。
04挑战压轴题(解答题二)(解析版)
（挑战压轴题）-2023年中考数学【三轮冲刺】专题汇编（安徽专用）—04挑战压轴题（解答题二）(1)求此抛物线对应的函数表达式；“”“”“”“”“”（3）令x2―2x+1=m∵BP =PQ ，PC ⊥BQ ，∴BC =12BQ =12m 2，∠BPC =12∠BPQ ∴tan ∠BPC = tan 60°=BC PC =12m 2|m |=解得：m =±23（舍去负数），∴n =12m 2―3=3，故P 的坐标为（23，3）.（2）①把2x=代入y=―x2+2x+3得：y=∴D(2,3)．y=，又当x=0，3∴C(0,3)，②设D(m,―m2+2m+3)(1<m<3)，直线AD:y=k1x+b1，BD:y=k2x+b2，因此可得：0=―k1+b1―m2+2m+3=k1m+b1或0=3―m2+2m+解得：k1=3―mb1=3―m或k2=―1―mb2=3m+3，∴直线AD:y=(3―m)x+(3―m)，BD:y=―(m+1)x+3(m+1)．令x=1得y M=6―2m，y N=2m+2，（1）填空：b =________；（2）点P 是抛物线上一点，点的横坐标大于1，直线PC 交直线BD 的坐标；（3）点E 在直线AC 上，点E 关于直线BD 对称的点为F ，点F 关于直线在x 轴上时，直接写出AG 的长．【答案】（1）-4；（2）（3，0）或（53，―89）；（3）10【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）分点Q 在CD 上方和点Q CD 下方时，两种情况，结合三角函数，勾股定理等知识求解；C′，BD 中点为点R ，直线AC 与直线∴tan∠ACH= tan∠OAC=13，根据勾股定理可得BC=32，CD=2，BD=∴BD=BC2+CD2，∴∠BCD=90°，∴tan∠CBD=13，∴∠ACH=∠CBM，（3）设点C关于BD的对称点为C′，BD中点为点∴R（3，1），设C′（p，q），由题意可求得：直线AC表达式为：y=-3x+3，【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数解析式，一次函数，三角函数，面积法，对称的性质，当3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，【答案】（1）y=―1x2+x+8，C（8,0）；（2）25；（3）设直线MD的解析式为：∵CD∥x轴，C(0,3)，设点P(x,―x2+2x+∴PQ=(―x2+2x+∵PQ∥y轴，∴△OCE∽△PQE，∴PEOE =PQOC，∴PEOE =x23x3=―13(1)写出平移后的新抛物线(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点，连接那么是否存在点P，使四边形(3)当点P运动到什么位置时，△【答案】(1)y=2x-x-2对于y=2x-x-2，令x=0，则故点C的坐标为(0，-2)，即当四边形PO P′C为菱形，则点×OC=-1则点P的纵坐标为-12当y=-1时，即y=2x-x-2=-1设P(x，2x-x-2)，∵点P是直线BC下方的抛物线上一动点，∴PD=-2x+x+2，对于抛物线y=2x-x-2，当y=0时，2x-x-2=0，(1)求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式；(2)身高为1.67m的小颖站在距离喷水管4m的地方，她会被水喷到吗？(3)现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离证利润W最大？(3)由于质量上乘，前两批跳绳很快售完，店主第三批购进甲、乙两种跳绳若干，当甲、乙两种跳绳保持原有利润时，甲、乙两种跳绳每天分别可以卖出120根和105根，后来店主决定将甲、乙两种跳绳的售价同时提高相同的售价，已知甲、乙两种跳绳每提高1元均少卖出5根，为了每天获取更多利润，请问店主将两种跳绳同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？【答案】(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是15元和17元；(2)当购进甲种跳绳10根，购进乙种跳绳50根，利润W最大；(3)当店主将两种跳绳同时提高9元时，才能使日销售利润达到最大．【分析】（1）设甲、乙两种跳绳的单价各是x元和y元，根据题意列出方程即可解决问题；（2）设第二批购进甲种跳绳a根，乙种跳绳(60―a)根，列出函数关系式和不等式即可解决问题．（3）设店主将两种跳绳同时提高m元时，才能使日销售利润n达到最大，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．【详解】（1）解∶设甲、乙两种跳绳的单价分别是x元和y元，根据题意得，x+y=3225x+30y=885，解得∶x=15 y=17，答∶甲、乙两种跳绳的单价分别是15元和17元；（2）解：设第二批购进甲种跳绳a根，乙种跳绳(60―a)根，由题意得，W=4a+5(60―a)=―a+300，∵―1<0，∴W随a的增大而减小，∵费用不超过1000元，∴15a+17(60―a)≤1000，解得∶a≥10，∴60―a=50（根），∴当购进甲种跳绳10根，购进乙种跳绳50根，利润W最大；（3）解：设店主将两种跳绳同时提高m元时，才能使日销售利润n达到最大，由题意得，n=(4+m)(120―5m)+(5+m)(105―5m)=―10m2+180m+1005=―10(m―9)2+1815，∴当店主将两种跳绳同时提高9元时，才能使日销售利润达到最大．【点睛】本题考查二次函数的性质、二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数等知识，解题的关键是学会设未知数构建方程或不等式或二次函数解决问题，属于中考常考题型．11．（2023·安徽·模拟预测）小明同学利用寒假30天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为10元/千克，在第x天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）当30x=时，y=―10×30+b=200，∴b=500，即：y=―10x+500，∵在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%∴20≤x≤20+20×60%，即20≤x≤32则小明每月获得利润为：w=(x―20)⋅y=(x―20)(―10x+500)=―10x2+700x―10000即：每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为w=―10x2+700x―10000(20≤x≤32)；（2）由（1）知w=―10x2+700x―10000=―10(x―35)2+2250(20≤x≤32)又∵a=―10<0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，w随着x的增大而增大，∴当x=32时，w=2160答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．（3）取w=2000得，―10x2+700x―10000=2000解这个方程得：x1=30，x2=40．∵a=―10<0，抛物线开口向下．∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵20≤x≤32∴当30≤x≤32时，w≥2000．设每月的成本为P（元），由题意，得：P=20(―10x+500)=―200x+10000∵k=―200<0，∴P随x的增大而减小．∴当x=32时，P的值最小，P最小值=3600．答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．【点睛】此题考查二次函数和一次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．13．（2023·安徽·模拟预测）戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒．(1)若每盒售价降低x元，则日销量可表示为___________盒，每盒口罩的利润为___________元．(2)若商家要使日利润达400元，又想尽快销售完该款口罩，问每盒售价应定为多少元？(3)当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润．【答案】(1)(20+2x)，(20―x)(2)60(3)当每盒售价定为65元时，商家可以获得最大日利润，最大日利润为450元【分析】（1）利用日销售量=20+2×降低的价格，每盒口罩的利润=售价-进价，即可求出结论；(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线上位于直线线交直线AB于点D，以PQ(3)若点N 是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点平行四边形，若存在，请直接写出点【答案】(1)24y x x =-++(2)矩形PDEQ 周长的最大值(3)在抛物线上存在一点M (3,16)--，(7,16)-【分析】（1）把点B (5,0)代入抛物线(1)求抛物线的顶点纵坐标的最小值；(2)若k=2，点P为抛物线上一点，且在A、B，若存在，求出点①是否存在点Р使得S△PAB=152②如图2，连接AP，BC相交于点M，当S△PMB【答案】(1)9415当k=2，则y=―x2设点P的坐标为(a,―∵抛物线y=―x2+2∴y=0时，即―x2+2解得：x1=3，x2=―∴点B的坐标为(3,0)，点∵抛物线y=―x2+2当x=0时，y=0+2∴点C的坐标为(0,3)由①可知，点B的坐标为∴OA=1，OB=3，AB(1)求A，B两点的坐标；(2)求线段EF的最大值；(3)如图2，是否存在以点C，E，F为顶点的三角形与△ABC 明理由．【答案】(1)A(―1,0)，B(3,0)(2)EF最大值为94由（1）可得：3,4,OB OC AB===∴∠ABC=∠BCO=∠MFB=∠CFE ∴△CFG是等腰直角三角形，∴CF=2m．∴当以点C，E，F为顶点的三角形与①当△ABC∽△CFE时，AB BC CF FE=即42m =32m23m，(1)求该二次函数的解析式；(2)若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=―x2+3x+4(2)存在，K点的坐标为―6，―2或6，2【分析】（1）将A―1，0、B4，0代入y=ax2+bx+4，联立方程组，求出a、b的值，即可得出该二次函数的解析式；（2）设Q m，―m2+3m+4，当m>0时，过点Q作QH⊥y轴交H点，过K作KG⊥x轴交G点，证明△CHQ ≌△BGK(AAS)，得到m=―m2+3m+4―4，则HQ=2，所以K6，2；当m<0时，设KC与x轴的交点为F，BQ与y轴的交点为H，过点Q作QG⊥y轴交G点，过K作KE⊥x轴交E点，证明△QHG≌△KFE(AAS)，则有―m=―4―(―m2+3m+4)，求得m=―2，则GQ=2，可求K―6，―2，综合即可得出K点的坐标．【详解】（1）解：把A―1，0、B4，0代入y=ax2+bx+4，可得：a―b+4=016a+4b+4=0，解得：a=―1 b=3，∴该二次函数的表达式为y=―x2+3x+4．（2）解：存在，理由如下：设Q m，―m2+3m+4，当m>0时，如图1，∵矩形是以BC为边，∴QK∥BC，CQ⊥BC，KB⊥BC，过点Q作QH⊥y轴交H点，过K作KG⊥x轴交G点，∵CQ=BK，OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠HCQ=∠GBK=45°，∴△CHQ≌△BGK(AAS)，∴HC=HQ=BG=GK，∴m=―m2+3m+4―4，∴m=2或0m=（舍去），∴HQ=2，∴K6，2；当m<0时，如图2，∵矩形是以BC为边，∴QK∥BC，KC⊥BC，BQ⊥BC，设KC与x轴的交点为F，BQ与y轴的交点为H，过点Q作QG⊥y轴交G点，过K作KE⊥x轴交E点，∵∠OCB=∠OBC=45°，∴∠OBH=∠OHB=45°，∠FCO=∠CFO=45°，∴OF=OC=OB=OH=4，∠HQG=∠EFK=45°，∵KC=BQ，CF=HB，∴FK=QH，∴△QHG≌△KFE(AAS)，∴QG=HG=EF=EK，∴―m=―4―(―m2+3m+4)，m（舍去），∴m=―2或=4∴GQ=2，∴K―6，―2；综上所述，K点的坐标为K―6，―2或K6，2．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用矩形和等腰直角三角形的性质是解本题的关键．3．（2023·安徽池州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x＋bx＋c的图象与坐标轴相交(1)求b、c的值；(2)在P、Q运动的过程中，当【答案】(1)b=2 c=3(2)t=2时；最小值为4∴AH=PH=2t2=t，即H(1)求抛物线和直线l的解析式；∵四边形PEDF 是平行四边形，由题意可得：S △BCF =12×PF PF =t ―1―(t 2+2t ―3)=∴S △BCF =―32t 2―32t +3，(1)求抛物线的解析式；(2)求证：BE=2CE；(3)若点P是第四象限内抛物线上的一动点，设点S，求S关于x的函数关系式，并求【答案】(1)y=x2―2x―3(2)见解析(3)S=―x2+3x；9设点P x，x2―2x―3(0<x 则BEP△的面积为：S=S梯形BOFP―S梯形BOGE―S=12×(x+3)(―=―x―322+94，(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接AP、CP，求四边形AOCP面积的最大值；(3)是否存在这样的点P，使得点P到AB和AC两边的距离相等，若存在，请求出点说明理由．【答案】(1)y=x2+143x―8(2)33(3)存在这样的点P56,―4112，使得点P到AB和AC两边的距离相等（3）解：如图所示，取点∵A―6，0，C0，―∴AE=10，AC=OA∴AC=AE，∵F是CE的中点，∴AF平分∠CAE，【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，一次函数与几何综合，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．7．（2023·安徽滁州·校考一模）直线点．(1)求直线l及抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一个动点，点写出直线l′与y轴的交点的纵坐标为。
几何最值问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(解析版)
12023年中考数学压轴题专项训练1.几何最值问题一、压轴题速练1一、单选题1(2023·山东烟台·模拟预测)如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，点E 是矩形ABCD 内部一动点，且∠BEC =90°，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD +PE 的最小值为()A.8 B.45 C.10 D.45-2【答案】A【分析】根据∠BEC =90°得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化即可求解．【详解】解：如图，设点O 为BC 的中点，由题意可知，点E 在以BC 为直径的半圆O 上运动，作半圆O 关于AB 的对称图形(半圆O ')，点E 的对称点为E 1，连接O 'E 1,则PE =PE 1，∴当点D 、P 、E 1、O '共线时，PD +PE 的值最小，最小值为DE 1的长，如图所示，在Rt △DCO '中，CD =8，CO '=6，∴DO '=82+62=10，又∵O 'E 1=2，∴DE 1=DO '-O 'E 1=8，即PD +PE 的最小值为8，故选：A ．【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化时解题的关键．2(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =32x 2-32x -3的图象与x 轴交于点A ，C 两点，与y 轴交于点B ，对称轴与x 轴交于点D ，若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则12PB +PD 的最小值为()2A.334B.32C.3D.543【答案】A【分析】作射线BA ，作PE ⊥BA 于E ，作DF ⊥BA 于F ，交y 轴于P ，可求得∠ABO =30°，从而得出PE =12PB ，进而得出PD +12PB =PD +EP ，进一步得出结果．【详解】解：如图，作射线BA ，作PE ⊥BA 于E ，作DF ⊥BA 于F ，交y 轴于P ，抛物线的对称轴为直线x =--322×32=12，∴OD =12，当x =0时，y =-3，∴OB =3，当y =0时，32x 2-32x -3=0，∴x 1=-1，x 2=2，∴A (-1,0)，∴OA =1，∵tan ∠ABO =OA OB =13=33，∴∠ABO =30°，∴PE =12PB ，∴12PB +PD =PD +PE ≥DF ，当点P 在P 时，PD +PE 最小，最大值等于DF ，在Rt △ADF 中，∠DAF =90°-∠ABO =60°，AD =OD +PA =12+1=32，∴DF =AD ⋅sin ∠DAE =32×32-334，∴12PB +PD 最小=DF =334，故选：A ．【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造12PB ．3(2023秋·浙江金华·九年级统考期末)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且∠EAB =∠EBC ．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD +PE 的最小值为()3A.213-2B.45-2C.43-2D.215-2【答案】A【分析】先证明∠AEB =90°，即可得点E 在以AB 为直径的半圆上移动，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD =PF ，则有：PE +PD =PE +PF ，则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值，问题随之得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =90°，∴∠ABE +∠EBC =90°，∵∠EAB =∠EBC ，∴∠EAB +∠EBA =90°，∴∠AEB =90°，∴点E 在以AB 为直径的半圆上移动，如图，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD =PF ，则有：PE +PD =PE +PF ，则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值，E∵∠G =90°，FG =BG =AB =4，∴OG =6，OA =OB =OE =2，∴OF =FG 2+OG 2=213，∴EF =OF -OE =213-2，故PE +PD 的长度最小值为213-2，故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E 的运动路线是解题的关键．4(2022秋·安徽池州·九年级统考期末)如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点P 为AC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，则PB +PD 的最小值为()4 A.154 B.245 C.5 D.203【答案】B【分析】作点B 关于AC 的对称点B ，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，交AC 于点P ，点P 即为所求作的点，此时PB +PD 有最小值，连接AB ，根据对称性的性质，可知：BP =B P ，△ABC ≅△AB C ，根据S △ABB =S △ABC +S △AB C =2S △ABC ，即可求出PB +PD 的最小值．【详解】解：如下图，作点B 关于AC 的对称点B ，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，交AC 于点P ，连接AB ，点P 即为所求作的点，此时PB +PD 有最小值，根据对称性的性质，可知：BP =B P ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =4,BC =3，∴AB =AC 2+BC 2=5，根据对称性的性质，可知：△ABC ≅△AB C ，∴S △ABB =S △ABC +S △ABC =2S △ABC ，即12×AB ⋅B D =2×12BC ⋅AC ，∴5B D =24，∴B D =245，故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质．5(2023秋·甘肃定西·八年级校考期末)如图所示，在△ABC 中，∠ABC =68°，BD 平分∠ABC ，P 为线段BD 上一动点，Q 为 边AB 上一动点，当AP +PQ 的值最小时，∠APB 的度数是()A.118°B.125°C.136°D.124°【答案】D【分析】先在BC 上截取BE =BQ ，连接PE ，证明△PBQ ≌△PBE SAS ，得出PE =PQ ，说明AP +PQ =AP +PE ，找出当A 、P 、E 在同一直线上，且AE ⊥BC 时，AP +PE 最小，即AP +PQ 最小，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点P ，根据三角形外角的性质可得答案．【详解】解：在BC 上截取BE =BQ ，连接PE ，如图：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC =68°，∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =34°，∵BP =BP ，∴△PBQ ≌△PBE SAS ，∴PE =PQ ，∴AP +PQ =AP +PE ，∴当A 、P 、E 在同一直线上，且AE ⊥BC 时，AP +PE 最小，即AP +PQ最小，过点A作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点P ，如图：∵∠AEB =90°，∠CBD =34°，∴∠APB =∠AEB +∠CBD =124°．故选：D ．5【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使AP +PQ 最小时点P 的位置．6(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末)如图，E 为正方形ABCD 边AD 上一点，AE =1，DE =3，P 为对角线BD 上一个动点，则PA +PE 的最小值为()A.5B.42C.210D.10【答案】A【分析】连接EC 交BD 于P 点，根据“两点之间线段最短”，可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长，求出EC 的长即可.【详解】连接EC ，交BD 于P 点∵四边形ABCD 为正方形∴A 点和C 点关于BD 对称∴PA =PC∴PA +PE =PC +PE =EC根据“两点之间线段最短”，可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长.∵AE =1，DE =3∴AD =4∴DC =4∴CE =DE 2+CD 2=32+42=5∴PA +PE 的最小值为5故选：A【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.7(2023春·湖南张家界·八年级统考期中)如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为()A.4B.42C.25D.5【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B 与D 关于直线AC 对称，连接BM 交AC 于N ′，N ′即为所求在Rt △BCM 中利用勾股定理即可求出BM 的长即可．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于直线AC 对称，6连接BD ，BM 交AC 于N ′，连接DN ′，∴当B 、N 、M 共线时，DN +MN 有最小值，则BM 的长即为DN +MN 的最小值，∴AC 是线段BD 的垂直平分线，又∵CD =4，DM =1∴CM =CD -DM =4-1=3，在Rt △BCM 中，BM =CM 2+BC 2=32+42=5故DN +MN 的最小值是5．故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D 关于直线AC 的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D 的对称点是点B 是解答此题的关键．8(2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于A 、C 两点，与x 轴交于点C (3,0)，若P 是x 轴上一动点，点D 的坐标为(0,-1)，连接PD ，则2PD +PC 的最小值是()A.4B.2+22C.22D.32+232【答案】A【分析】过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ，根据2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ，求出DP +PJ 的最小值即可解决问题．【详解】解：连接BC ，过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ．∵二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于点C (3,0)，∴b =2，∴二次函数的解析式为y =-x 2+2x +3，令y =0，-x 2+2x +3=0，解得x =-1或3，∴A (-1，0)，令x =0，y =3，∴B (0，3)，∴OB =OC =3，∵∠BOC =90°，∴∠OBC =∠OCB =45°，∵D(0，-1)，∴OD =1，BD =4，∵DH ⊥BC ，∴∠DHB =90°，设DH =x ，则BH =x ,∵DH 2+BH 2=BD 2，7∴x =22，∴DH =22，∵PJ ⊥CB ，∴∠PJC =90°，∴PJ =22PC ，∴2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ，∵DP +PJ ≥DH ，∴DP +PJ ≥22，∴DP +PJ 的最小值为22，∴2PD +PC 的最小值为4．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC =∠OCB =45°，PJ =22PC 是解题的关键．9(2022·山东泰安·统考中考真题)如图，四边形ABCD 为矩形，AB =3，BC =4．点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点．∠ADM =∠BAP ，则BM 的最小值为()A.52 B.125 C.13-32 D.13-2【答案】D【分析】证明∠AMD =90°，得出点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的圆上，从而计算出答案．【详解】设AD 的中点为O ，以O 点为圆心，AO 为半径画圆∵四边形ABCD 为矩形∴∠BAP +∠MAD =90°∵∠ADM =∠BAP∴∠MAD +∠ADM =90°∴∠AMD =90°∴点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的圆上连接OB 交圆O 与点N∵点B 为圆O 外一点∴当直线BM 过圆心O 时，BM 最短∵BO 2=AB 2+AO 2，AO =12AD =2∴BO 2=9+4=13∴BO =13∵BN =BO -AO =13-2故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．810(2022·河南·校联考三模)如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上的一个动点，设AP =x ，PB +PE =y ，当点P 从A 向点C 运动时，y 与x 的函数关系如图2所示，其中点M 是函数图象的最低点，则点M 的坐标是()A.42，35B.22,35C.35,22D.35,42【答案】A【分析】根据图像，当P 与C 重合时，PB +PE =9即CB +CE =9，从而确定正方形的边长为6，根据将军饮马河原理，连接DE 交AC 于点G ，当点P 与点G 重合时，PE +PB 最小，且为DE 的长即点M 的纵坐标，利用相似三角形，计算AG 的长即为横坐标．【详解】如图，根据图像，当P 与C 重合时，PB +PE =9即CB +CE =9，∵点E 是BC 的中点，∴BC =6，连接DE 交AC 于点G ，当点P 与点G 重合时，PE +PB 最小，且为DE 的长即点M 的纵坐标，∵四边形ABCD 是正方形，AB =6，∴CE ∥AD ，AC =62+62=62，DE =62+32=35，∴△CGE ∽△AGD ，∴CG AG =CE AD =12，∴AC AG=32，∴AG =42，故点M 的坐标为(42，35)，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，函数图像信息的获取，将军饮马河原理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形相似，构造将军饮马河模型求解是解题的关键．2二、填空题11(2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习)如图，矩形ABCD ，AB =4，BC =8，E 为AB 中点，F 为直线BC 上动点，B 、G 关于EF 对称，连接AG ，点P 为平面上的动点，满足∠APB =12∠AGB ，则DP 的最小值．【答案】210-22【分析】由题意可知，∠AGB =90°，可得∠APB =12∠AGB =45°，可知点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的9圆上，(要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点D ，即点P 在AB 的右侧)，设圆心为O ，连接OA ，OB ，OE ，OP ，OD ，过点O 作OQ ⊥AD ，可知△AOB 为等腰直角三角形，求得OA =22AB =22=OP ，AQ =OQ =22OA =2，QD =AD -AQ =6，OD =OQ 2+QD 2=210，再由三角形三边关系可得：DP ≥OD -OP =210-22，当点P 在线段OD 上时去等号，即可求得DP 的最小值．【详解】解：∵B 、G 关于EF 对称，∴BH =GH ，且EF ⊥BG∵E 为AB 中点，则EH 为△ABG 的中位线，∴EH ∥AG ，∴∠AGB =90°，∵∠APB =12∠AGB ，即∠APB =12∠AGB =45°，∴点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的圆上，(要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点D ，即点P 在AB 的右侧)设圆心为O ，连接OA ，OB ，OE ，OP ，OD ，过点O 作OQ ⊥AD ，则OA =OB =OP ，∵∠APB =45°，∴∠AOB =90°，则△AOB 为等腰直角三角形，∴OA =22AB =22=OP ，又∵E 为AB 中点，∴OE ⊥AB ，OE =12AB =AE =BE ，又∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD =90°，AD =BC =8，∴四边形AEOQ 是正方形，∴AQ =OQ =22OA =2，QD =AD -AQ =6，∴OD =OQ 2+QD 2=210，由三角形三边关系可得：DP ≥OD-OP =210-22，当点P 在线段OD 上时去等号，∴DP 的最小值为210-22，故答案为：210-22．【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据∠APB =12∠AGB =45°得知点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的圆上是解决问题的关键．12(2023春·江苏连云港·八年级期中)如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点G 是BC 边的中点，E 、F 分别是AD 和CD 边上的点，则四边形BEFG 周长的最小值为．【答案】2410【分析】作点G 关于CD 的对称点G ，作点B 关于AD 的对称点B ，连接B G ，根据两点之间线段最短即可解决问题．【详解】作点G 关于CD 的对称点G ，作点B 关于AD 的对称点B ，连接B G∵EB =EB ,FG =FG ，∴BE +EF +FG +BG =B E +EF +FG +BG ，∵EB +EF +FG ≥B G ，∴四边形BEFG 的周长的最小值=BG +B G ，∵正方形ABCD 的边长为8∴BG =4，BB =16，BG =12，∴B G =162+122=20，∴四边形BEFG 的周长的最小值为=4+20=24．故答案为：24．【点睛】本题考查轴对称求线段和的最短问题，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．13(2022·湖南湘潭·校考模拟预测)如图，菱形草地ABCD 中，沿对角线修建60米和80米两条道路AC <BD ，M 、N 分别是草地边BC 、CD 的中点，在线段BD 上有一个流动饮水点P ，若要使PM +PN 的距离最短，则最短距离是米．【答案】50【分析】作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，当P 点与P 重合时，MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小，根据菱形的性质和勾股定理求出BC 长，即可得出答案．【详解】解：作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，当P 点与P 重合时，MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∠QBP =∠MBP ，即Q 在AB 上，∵MQ ⊥BD ，∴AC ∥MQ ，∴M 为BC 中点，∴Q 为AB 中点，∵N 为CD 中点，四边形ABCD 是菱形，∴BQ ∥CD ，BQ =CN ，∴四边形BQNC 是平行四边形，∴NQ =BC ，设AC 与BD 的交点为点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD，OC =12AC =30米，OB =12BD =40米，∴BC =OB 2+OC 2=50米，∴PM +PN 的最小值是50米．故答案为：50．11【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P 的位置．14(2023春·江苏·九年级校考阶段练习)如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则2PC -PD 的最大值是．【答案】2【分析】解法1，如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，连接PM 、DM ，推得2PC -PD=2PC -22PD =2PC -PM ，因为PC -PM ≤MC ，求出MC 即可求出答案．解法2：如图：连接BD 、BP 、PC ，在BD 上做点M ，使BM BP =24，连接MP ，证明△BMP ∼△BPD ，在BC 上做点N ，使BN BP=12，连接NP ，证明△BNP ∼△BPC ，接着推导出2PC -PD =22MN ，最后证明△BMN ∼△BCD ，即可求解．【详解】解法1如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，∴∠PDM =45，DM =PM =22PD ，∵四边形ABCD 正方形∴∠BDC =45°，DB DC=2又∵∠PDM =∠PDB +MDB ，∠BDC =∠MDB +MDC∴∠PDB =∠MDC在△BPD 与△MPC 中∠PDB =∠MDC ，DB DC=DP DM =2∴△BPD ∼△MPC∴PB MC=2∵BP =2∴MC =2∵2PC -PD =2PC-22PD =2PC -PM ∵PC -PM ≤MC ∴2PC -PD =2PC -PM ≤2MC =2故答案为：2．解法2如图：连接BD 、BP 、PC根据题意正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2∴BP =2，BD =BC 2+CD 2=42+42=42∵BP BD =242=2412在BD 上做点M ，使BM BP=24，则BM =22，连接MP 在△BMP 与△BPD 中∠MBP =∠PBD ，BP BD =BM BP∴△BMP ∼△BPD∴PM PD =24，则PD =22PM ∵BP BC =24=12在BC 上做点N ，使BN BP=12，则BN =1，连接NP 在△BNP 与△BPC 中∠NBP =∠PBC ，BN BP =BP PC∴△BNP ∼△BPC∴PN PC=12，则PC =2PN ∴如图所示连接NM ∴2PC -PD =2×2PN -22PM =22PN -PM ∵PN -PM ≤NM ∴2PC -PD =22PN -PM ≤22NM在△BMN 与△BCD 中∠NBM=∠DBC ，BM BC =224=28，BN BD =142=28∴BM BC=BN BD ∴△BMN ∼△BCD∴MN CD=28∵CD =4∴MN =22∴22MN =22×22=2∴2PC -PD ≤22NM =2故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．15(2023秋·广东广州·九年级统考期末)如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，∠DAB =60°，AD =CD =4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD =90°，则△MBC 面积的最小值为．【答案】63-4【分析】取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM +ME ≥OF ，通过计算得出当O ,M ,E 三点共线时，ME 有最小值，求出最小值即可．【详解】解：如图，取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则13OM +ME ≥OF ，∵AB ∥CD ，∠DAB =60°，AD =CD =4，∴∠ADC =120°，∵AD =CD ，∴∠DAC =30°，∴∠CAB =30°，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB =90°∴∠B =90°-30°=60°，∴∠B =∠DAB ，∴四边形ABCD 为等腰梯形，∴BC =AD =4，∵∠AMD =90°，AD =4，OA =OD ，∴OM =12AD =2，∴点M 在以点O 为圆心，2为半径的圆上，∵AB ∥CD ，∴∠GCF =∠B =60°，∴∠DGO =∠CGF =30°，∵OF ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴∠DOG =∠DAC =30°=∠DGO ，∴DG =DO =2，∴OG =2OD ⋅cos30°=23，GF =3，OF =33，∴ME ≥OF -OM =33-2，∴当O ,M ,E 三点共线时，ME 有最小值33-2，∴△MBC 面积的最小值为=12×4×33-2 =63-4．【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点M 位置的确定是解题关键．16(2023春·全国·八年级专题练习)如图，在等边△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，AD =3cm ．点P ,Q 分别为AB,AD 上的两个定点且BP =AQ =1cm ，点M 为线段BD 上一动点，连接PM ,QM ，则PM +QM 的最小值为cm ．【答案】5【分析】如图所示，作点P 关于BD 的对称点P ，且点P 在BC 上，则PM +QM =P M+QM ，当P ,M ,Q 在同一条直线上时，有最小值，证明四边形PP QA 是平行四边形，P Q =AP =AB -BP ，由此即可求解．【详解】解：如图所示，作点P 关于BD 的对称点P ，∵△ABC 是等边三角形，BD ⊥AC ，∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =12×60°=30°，14∴点P 在BC 上，∴P M =PM ，则PM +QM =P M +QM ，当P ,M ,Q 在同一条直线上时，有最小值，∵点P 关于BD 的对称点P ，∠ABD =∠DBC =30°，∴PP ⊥BM ，BP =BP =1cm ，∴∠BP P =60°，∴△BPP 是等边三角形，即∠BP P =∠C =60°，∴PP ∥AC ，且PP =AQ =1cm ，∴四边形PP QA 是平行四边形，∴P Q =AP =AB -BP ，在Rt △ABD 中，∠ABD =30°，AD =3，∴AB =2AD =2×3=6，∴AP =P Q =P M +QM =PM +QM =AB -BP =6-1=5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称-最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌握等边三角形得性质，对称-最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键．17(2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习)如图，在周长为12的菱形ABCD 中，DE =1，DF =2，若P 为对角线AC 上一动点，则EP +FP 的最小值为．【答案】3【分析】作F 点关于BD 的对称点F ，连接EF 交BD 于点P ，则PF =PF ，由两点之间线段最短可知当E 、P 、F 在一条直线上时，EP +FP 有最小值，然后求得EF 的长度即可．【详解】解：作F 点关于BD 的对称点F ，则PF =PF ，连接EF '交BD 于点P ．∴EP +FP =EP +F P ．由两点之间线段最短可知：当E 、P 、F '在一条直线上时，EP +FP 的值最小，此时EP +FP =EP +F P =EF ．∵四边形ABCD 为菱形，周长为12，∴AB =BC =CD =DA =3，AB ∥CD ，∵AF =2，AE =1，∴DF =AE =1，∴四边形AEF D 是平行四边形，∴EF =AD =3．∴EP +FP 的最小值为3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称--路径最短问题，明确当E 、P 、F 在一条直线上时EP +FP 有最小值是解题的关键．18(2023春·上海·八年级专题练习)如图，直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A和B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，P 为OA 上一动点，当PC +PD 的值最小时，点P 的坐标为．15【答案】(-1,0)【分析】直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，可求出点A ，B 的坐标，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，可求出点C 、D 的坐标，作点C 关于x 轴的对称点C ，连接C D 与x 轴的交点就是所求点P 的坐标．【详解】解：直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，∴当y =0，x =-4，即A (-4,0)；当x =0，y =4，即B (0,4)，∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴C (-2,2)，D (0,2)，如图所示，过点C 关于x 轴的对称点C，∴C (-2,-2)，∴直线C D 的解析式为：y =2x +2，当y =0，x =-1，即P (-1,0)，故答案为：(-1,0)．【点睛】本题主要考查一次函数与最短线段的综合，掌握对称中最短线段的解题方法是解题的关键．19(2023秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末)如图，抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA ,MC ,AC ，则△MAC 周长的最小值是．【答案】32+10【分析】根据“将军饮马”模型，先求出A 1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ，由二次函数对称性，A ,B 关于对称轴对称，从而C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ，AC =OA 2+OC 2=10，则△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长，从而得到CB =OC 2+OB 2=32，即可得到答案．【详解】解：∵抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，16∴当y =0时，0=x 2-4x +3解得x =1或x =3，即A 1,0 ,B 3,0 ；当x =0时，y =3，即C 0,3 ，由二次函数对称性，A ,B 关于对称轴对称，即MA =MB ，∴C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ，∵AC =OA 2+OC 2=10，∴△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长，∵CB =OC 2+OB 2=32，∴△MAC 周长的最小值为CA +CB =32+10，故答案为：32+10．【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．20(2023秋·浙江温州·九年级校考期末)如图所示，∠ACB =60°，半径为2的圆O 内切于∠ACB．P 为圆O 上一动点，过点P 作PM 、PN 分别垂直于∠ACB 的两边，垂足为M 、N ，则PM +2PN 的取值范围为．【答案】6-23≤PM +2PN ≤6+23【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作MH ⊥NP 于H ，作MF ⊥BC 于F ，如图所示，通过代换，将PM +2PN 转化为PN +12PM =PN +HP =NH ，得到当MP 与⊙O 相切时，MF 取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围．【详解】解：作MH ⊥NP 于H ，作MF ⊥BC 于F ，如图所示：∵PM ⊥AC ，PN ⊥CB ，∴∠PMC =∠PNC =90°，∴∠MPN =360°-∠PMC -∠PNC -∠C =120°，∴∠MPH =180°-∠MPN =60°，∴HP =PM ⋅cos ∠MPH =PM ⋅cos60°=12PM ，∴PN +12PM =PN +HP =NH ，∵MF =NH ，∴当MP 与⊙O 相切时，MF 取得最大和最小，①连接OP ，OG ，OC ，如图1所示：可得：四边形OPMG 是正方形，∴MG =OP =2，在Rt △COG 中，CG =OG ⋅tan60°=23，∴CM =CG +GM =2+23，在Rt △CMF 中，MF =CM ⋅sin60°=3+3，∴HN =MF =3+3，即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6+23；②连接OP ，OG ，OC ，如图2所示：可得：四边形OPMG 是正方形，17∴MG =OP =2，由上同理可知：在Rt △COG 中，CG =OG ⋅tan60°=23，∴CM =CG -GM =23-2，在Rt △CMF 中，MF =CM ⋅sin60°=3-3，∴HN =MF =3-3，即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6-23，∴6-23≤PM +2PN ≤6+23．故答案为：6-23≤PM +2PN ≤6+23．【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．3三、解答题21(2022春·江苏·九年级专题练习)综合与探究如图，已知抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ，B 4,0 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式，连接BC ，并求出直线BC 的解析式；(2)请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP +PC 的值最小，此时点P 的坐标是；(3)点Q 在第一象限的抛物线上，连接CQ ，BQ ，求出△BCQ 面积的最大值．【答案】(1)y =-x 2+3x +4；y =-x +4(2)32,52(3)8【分析】(1)将A -1,0 ，B 4,0 两点，代入抛物线解析式，可得到抛物线解析式，从而得到C 0,4 ，再设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B 、C 的坐标代入，即可求解；(2)连接BC ，PB ，根据题意可得A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，从而得到当P 在直线AB 上三点共线时，AP +CP 的值最小，把x =32代入直线BC 的解析式，即可求解；(3)过Q 作QD ⊥x 轴，交BC 于D ，设Q d ,-d 2+3d +4 ，其中0≤d ≤4，则D d ,-d +4 ，可得QD =-d 2+4d ，从而得到S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d -2 2+8，即可求解；【详解】(1)解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ，B 4,0 两点，∴a -b +4=016a +4b +4=0，解得：a =-1b =3 ，18∴抛物线的解析式为y =-x 2+3x +4；∵抛物线与y 轴的交点为C ，∴C 0,4 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B 、C 的坐标代入得：4k +b =0b =4 ，解得：k =-1b =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +4；(2)如图，连接BC ，PB ，∵y =-x 2+3x +4=-x -32 2+74，∴抛物线的对称轴为直线x =32，根据题意得：A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，∴AP =BP ，∴AP +CP =BP +CP ≥BC ，即当P 在直线AB 上时，AP +CP 的值最小，∴当x =32时，y =-32+4=52，∴P 32,52 ，故答案是：32,52 ；(3)过Q 作QD ⊥x 轴，交BC 于D ，设Q d ,-d 2+3d +4 ，其中0≤d ≤4，则D d ,-d +4 ，∴QD =-d 2+3d +4 --d +4 =-d 2+4d ，∵B 4,0 ，∴OB =4，∴S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d 2+8d =-2d -2 2+8，当d =2时，S ΔBCQ 取最大值，最大值为8，∴△BCQ 的最大面积为8；【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．22(2023秋·江苏淮安·八年级统考期末)如图1，直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于点C -3,0 ．(1)请直接写出直线BC 的关系式：(2)在直线BC 上是否存在点D，使得S △ABD =S △AOD 若存在，求出点D 坐标：若不存请说明理由；(3)如图2，D 11,0 ，P 为x 轴正半轴上的一动点，以P 为直角顶点、BP 为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ ，连接QA ,QD ．请直接写出QB -QD 的最大值：．19【答案】(1)y =2x +6(2)当D 185,665 或D -185,-65时，S △ABD =S △AOD (3)37【分析】(1)根据直线AB 与y 轴的交点，可求出点B 的坐标，再用待定系数法即可求解；(2)设D (a ,2a +6)，分别用含a 的式子表示出出S △AOD ,S △ABD ，由此即可求解；(3)△BPQ 是等腰直角三角形，设P (m ,0)(m >0)，可表示出QB ，再证Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS )，如图所示，当点B ,R ,Q 在一条直线上时，QB -QD 的值最大，最大值为BR 的值，可求得点R 的坐标，根据勾股定理即可求解．【详解】(1)解：∵直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点，令x =0，则y =6，∴B (0,6)，且C -3,0 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴b =6-3k +b =0，解得，k =2b =6 ，∴直线BC 的解析式为y =2x +6，故答案为：y =2x +6．(2)解：由(1)可知直线BC 的解析式为y =2x +6，直线AB 的解析式为y =-x +6，∴A (6,0),B (0,6),C (-3,0)，∴OA =6,BO =6,OC =3，如图所示，点D 在直线BC 上，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，∴设D (a ,2a +6)，E (a ,0)，∴S △ABC =12AC ·OB =12×(6+3)×6=27，S △ADC =12AC ·DE =12×(6+3)×a =92a ，S △AOD =12OA ·DE =12×6×a =3a ，∴S △ABD =S △ABC -S △ADC =27-92a ，若S △ABD =S △AOD ，则27-92a =3a ，当a >0时，27-92a =3a ，解得，a =185，即D 185,665 ；当a <0时，27+92a =-3a ，解得，a =-185，即D -185,-65 ；综上所述，当D 185,665 或D -185,-65时，S △ABD =S △AOD ．(3)解：已知A (6,0),B (0,6),D (11,0)，设P (m ,0)(m >0)，∴在Rt △BOP 中，OB =6,OP =m ，∵△BPQ 是等腰直角三角形，∠BPQ =90°，∴BP =QP ；如图所示，过点Q 作QT ⊥x 轴于T ，20在Rt △BOP ,Rt △PTQ 中，∠BOP =∠PTQ =90°，∠BPO +∠QPA =∠QPA +∠PQT =90°，∴∠BPO =∠PQT ，∴∠BPO =∠PQT∠BOP =∠PTQ BP =QP，∴Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS )，∴OP =TQ =m ，OB =PT =6，∴AT =OP +PT -OA =m +6-6=m ，∴AT =QT ，且QT ⊥x 轴，∴△ATQ 是等腰直角三角形，∠QAT =45°，则点Q 的轨迹在射线AQ 上，如图所示，作点D 关于直线AQ 的对称点R，连接QR ,BR ,AR ，A (6,0)，B (0,6)，D (11,0)，∵△ATQ 是等腰直角三角形，即∠QAT =45°，根据对称性质，∴∠QAR =45°，∴RA ⊥x 轴，且△DQA ≌△RQA ，∴AR =AD =11-6=5，则R (6,5)，如图所示，当点B ,R ,Q 在一条直线上时，QB -QD 的值最大，最大值为BR 的值；∴由勾股定理得：BR =62+(6-5)2=37，故答案为：37．【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．23(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习)△ABC 中，∠B =60°．(1)如图1，若AC >BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，且AD =3BD ．证明：∠A =30°；(2)如图2，若AC <BC ，取AC 中点E ，将CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，连接BF 并延长至G ，使BF =FG ，猜想线段AB 、BC 、CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若AC =BC ，P 为平面内一点，将△ABP 沿直线AB 翻折至△ABQ ，当3AQ +2BQ +13CQ 取得最小值时，直接写出BPCQ的值．【答案】(1)见解析(2)BC =AB +CG ，理由见解析(3)213+33913【分析】(1)过点D 分别作BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，易得DE =DF ，由∠B =60°，可得DE =DF =32BD ，由AD =3BD ，求得sin A =DE AD=12，可证得∠A =30°；(2)延长BA ，使得BH =BC ，连接EH ，CH ，易证△BCH 为等边三角形，进而可证△BCF ≌△HCE SAS ，可得BF =HE ，∠BFC =∠HEC ，可知∠AEH =∠CFG ，易证得△AEH ≌△CFG SAS ，可得AH =CG ，由BC =BH =AB +AH =AB +CG 可得结论；(3)由题意可知△ABC 是等边三角形，如图，作CM ⊥CA ，且CM =32CA ，作CN ⊥CQ ，且CN =32CQ ，可得CM CA=CN CQ =32，QN =CQ 2+CN 2=132CQ ，可知△ACQ ∽△MCN ，可得MN =32AQ ，由3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM 可知点Q ，N 都在线段BM 上时，3AQ +2BQ+13CQ 有最小值，过点C 作CR ⊥BM ，过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ，可得CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ，QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ，可证△CBR ∽△MBT ，得BR CR =BT MT ，设BC =a 由等边三角形的性质，可得CM =32a ，进而可得CT =CM ⋅cos30°=334a ，MT =CM ⋅sin30°=34a ，结合BR CR=BTMT 可得：BQ +213CQ 313CQ =a +334a 34a ，可得BQ CQ =213+33913，由翻折可知，BP =BQ ，可求得BP CQ的值．【详解】(1)证明：过点D 分别作BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴DE =DF ，又∵∠B =60°，∴DE =BD ⋅sin60°=32BD ，则DE =DF =32BD ，又∵AD =3BD ，∴sin A =DE AD =32BD3BD=12，∴∠A =30°；(2)BC =AB +CG ，理由如下：延长BA ，使得BH =BC ，连接EH ，CH ，∵∠ABC =60°，BH =BC ，∴△BCH 为等边三角形，∴CB =CH ，∠BCH =60°，∵CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，∴CE =CF ，∠ECF =60°，则∠BCH -∠ACB =∠ECF -∠ACB ，∴∠ECH =∠FCB ，∴△BCF ≌△HCE SAS ，∴BF =HE ，∠BFC =∠HEC ，则∠AEH =∠CFG ，∵BF =FG ，∴BF =HE =FG ，又∵E 为AC 中点，∴AE =CE =CF ，∴△AEH ≌△CFG SAS ，∴AH =CG ，∴BC =BH =AB +AH =AB +CG ；(3)∵∠ABC =60°，AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，如图，作CM ⊥CA ，且CM =32CA ，作CN ⊥CQ ，且CN =32CQ ，则CM CA=CN CQ =32，QN =CQ 2+CN 2=132CQ ，∴sin ∠CQN =CN QN =313，cos ∠CQN =CQ QN =213，则∠ACM =∠QCN =90°，∴∠ACM -∠ACN =∠QCN -∠ACN ，则∠ACQ =∠MCN∴△ACQ ∽△MCN ，∴MN AQ =CM CA=32，即：MN =32AQ ，∴3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM即：点Q ，N 都在线段BM 上时，3AQ +2BQ +13CQ 有最小值，如下图，过点C 作CR ⊥BM ，过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ，则∠BRC =∠BTM =90°，CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ，QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ，又∵∠CBR =∠MBT ，∴△CBR ∽△MBT ，∴BR CR=BT MT ，∵△ABC 是等边三角形，设BC =a ∴∠ACB =60°，AC =BC =a ，则CM =32a ，∵∠ACM =90°，∴∠MCT =30°，则CT =CM ⋅cos30°=334a ，MT =CM ⋅sin30°=34a ，则由BR CR=BT MT 可得：BQ +213CQ 313CQ =a +334a34a ，整理得：133BQ CQ +23=4+333，得BQ CQ=213+33913，由翻折可知，BP =BQ ，∴BP CQ =BQ CQ=213+33913．【点睛】本题属于几何综合，考查了解直角三角形，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，旋转的性质以及费马点问题，掌握费马点问题的解决方法，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解决问题的关键．24(2023春·江苏·八年级专题练习)定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD =AE ，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN 填(“是”或“不是”)“等垂线段”．(2)△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若DE =2，BC =4，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．。
挑战中考数学压轴题(全套)
么BM＝PM＝5－m．在Rt△BEF中，BE＝2，∠B＝60°，所以BF＝4．在Rt△OFM中，
FM＝BF－BM＝4－(5－m)＝m－1，∠OFM＝30°，所以OM＝
3(m
1)．
3
所以OB2＝BM2＋OM2＝(5
m)21(m
由直线AC：y＝－2x－6，可得H(x,－2x－6)．又因为P(x,2x2＋4x－6)，所以HP＝－2x2－6x．因为△PAH与△PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离3，所以
2
挑战中考系列(数学)
S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH＝3
(－2x2－6x)＝3(x
3
)2
27．
2
2
4
例2
P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．
思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．
2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心
O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分
线上，同时又在不确定的
BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以
AP为
自变量，求S的函数关系式．图文解析
问题1，为什么设
AP＝2m呢？这是因为线段A以减少一些分数运算．这不影响求
S的最小值．
问题2，如果圆心O在线段EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？
如图6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是
FM＝BM－BF＝(5－m)－4＝1－m．
x的值；若不
存在，请说明理由；图1
（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为
S1、S2，若S＝S1＋
中考初三数学整合压轴题100题附答案
中考初三数学整合压轴题100题附答案一、中考压轴题1．用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，求代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值．【分析】本题主要是利用韦达定理来计算．已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，有四个等式可供使用：m+n＝2﹣p①，mn＝1②，m2+（p﹣2）m+1＝0③，n2+（p﹣2）n+1＝0④．通过变形方法，合理地选择解题方法．【解答】解：∵m、n是x2+（p﹣2）x+1＝0的根，∴m+n＝2﹣p，mn＝1．方法一：m2+（p﹣2）m+1＝0，n2+（p﹣2）n+1＝0．即m2+pm+1＝2m，n2+pn+1＝2n．原式＝2m×2n＝4mn＝4．方法二：（m2+mp+1）（n2+np+1）＝（m2+mp）（n2+np）+m2+mp+n2+np+1＝m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1＝1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1＝2+p2+m2+n2+2（m+n）p＝2+p2+m2+n2+2（2﹣p）p＝2+p2+m2+n2+4p﹣2p2＝2+（m+n）2﹣2mn+4p﹣2p2+p2＝2+（2﹣p）2﹣2+4p﹣2p2+p2＝4﹣4p+p2+4p﹣p2＝4．【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值．注意把所求的代数式转化成m+n＝2﹣p，mn＝1的形式，正确对所求式子进行变形是解题的关键．2．已知：y关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．【分析】（1）分两种情况讨论，当k＝1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k 的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．【解答】解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0．△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1，函数图象与x轴两个交点，∴k＜2，且k≠1．由题意得（k﹣1）x12+（k+2）＝2kx1①，将①代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2中得：2k（x1+x2）＝4x1x2．又∵x1+x2＝，x1x2＝，∴2k•＝4•．解得：k1＝﹣1，k2＝2（不合题意，舍去）．∴所求k值为﹣1．②如图，∵k1＝﹣1，y＝﹣2x2+2x+1＝﹣2（x﹣）2+．且﹣1≤x≤1．由图象知：当x＝﹣1时，y最小＝﹣3；当x＝时，y最大＝．∴y的最大值为，最小值为﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键．3．如图①，有四张编号为1、2、3、4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）所求概率为；（2）方法①（树状图法）共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，∴贴法正确的概率为，方法②（列表法）1 2 3 4第一次抽取第二次抽取1（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，∴贴法正确的概率为．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．4．如图，反比例函数的图象经过点A（4，b），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB 的面积为2．（1）求k和b的值；（2）若一次函数y＝ax﹣3的图象经过点A，求这个一次函数的解析式．【分析】（1）由△AOB的面积为2，根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知k的值，得出反比例函数的解析式，然后把x＝4代入，即可求出b的值；（2）把点A的坐标代入y＝ax﹣3，即可求出这个一次函数的解析式．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，A（4，b），∴OB×AB＝2，×4×b＝2，∴AB＝b＝1，∴A（4，1），∴k＝xy＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，即k＝4，b＝1．（2）∵A（4，1）在一次函数y＝ax﹣3的图象上，∴1＝4a﹣3，∴a＝1．∴这个一次函数的解析式为y＝x﹣3．【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．5．我国年人均用纸量约为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．（1）若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？（2）我市从2000年初开始实施天然林保护工程，大力倡导废纸回收再生，如今成效显著，森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩．假设我市年用纸量的20%可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变，请你按全市总人口约为1000万计算：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的百分之几？（精确到1%）【分析】（1）因为每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸，用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树，所以有40000×10÷1000×18÷80，计算出即可求出答案；（2）森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩，可先求出森林面积年均增长率，进而求出2005到2006年新增加的森林面积，而因回收废纸所能保护的最大森林面积＝1000×10000×28×20%÷1000×18÷50，然后进行简单的计算即可求出答案．【解答】解：（1）4×104×10÷1000×18÷80＝90（亩）．答：若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使90亩森林免遭砍伐．（2）设我市森林面积年平均增长率为x，依题意列方程得50（1+x）2＝60.5，解得x1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），1000×104×28×20%÷1000×18÷50＝20160，20160÷（605000×10%）≈33%．答：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的33%．【点评】本题以保护环境为主题，考查了增长率问题，阅读理解题意，并从题目中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能力；解答时需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．6．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则6000（1﹣x）2＝4860，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），故平均每次下调的百分率为10%；（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720（元）；方案②可优惠：80×100＝8000（元）．故选择方案①更优惠．【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．7．如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点Q，且tan∠AOQ＝．（1）求k的值；（2）连接OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形．【分析】（1）由一次函数解析式确定A点坐标，进而确定C，Q的坐标，将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值．（2）由（1）可分别确定QC＝CP，AC＝OC，且QP垂直平分AO，故可证明四边形APOQ是菱形．【解答】（1）解：∵y＝﹣x﹣2令y＝0，得x＝﹣4，即A（﹣4，0）由P为AB的中点，PC⊥x轴可知C点坐标为（﹣2，0）又∵tan∠AOQ＝可知QC＝1∴Q点坐标为（﹣2，1）将Q点坐标代入反比例函数得：1＝，∴可得k＝﹣2；（2）证明：由（1）可知QC＝PC＝1，AC＝CO＝2，且A0⊥PQ∴四边形APOQ是菱形．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，又结合了几何图形进行考查，属于综合性比较强的题目，有一定难度．8．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）．①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．【分析】（1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式；（2）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w＝销售总收入﹣经营总成本＝w A+w B﹣3×20；②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数量；（3）本问是方案设计问题，总投入为132万元，这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本．共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．【解答】解：（1）①当2≤x＜8时，如图，设直线AB解析式为：y＝kx+b，将A（2，12）、B（8，6）代入得：，解得，∴y＝﹣x+14；②当x≥8时，y＝6．所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：y＝；（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x2+7x+48；当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（5x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x+48．∴w关于x的函数关系式为：w＝．②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48＝30，解得x1＝9，x2＝﹣2，均不合题意；当x≥8时，﹣x+48＝30，解得x＝18．∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，∴3m+x+[12+3（m﹣x）]＝132，化简得：x＝3m﹣60．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x2+7x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝﹣x2+8x+48＝﹣（x﹣4）2+64∴当x＝4时，有最大毛利润64万元，此时m＝，m﹣x＝；②当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝48∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．【点评】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．9．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88，当x＝100时，v＝﹣×100+88＝48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120．∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当0≤x≤20时y＝80x，∴k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝20时，y最大＝1600；当20≤x≤220时y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，y最大＝4840．∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．【点评】本题考查了车流量＝车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．10．⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明理由．（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．【分析】（1）作⊙O2的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α，再利用解直角三角形的知识求解；（2）连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′＝∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′＝∠E，∠EAP′＝90°，从而证明∠AP′E+∠C′＝90°，则CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【解答】解：（1）连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．∵CE是直径，∴∠CDE＝90°．∴CD＝CE•sin E＝2R sinα；（2）CD与PO1的位置关系是互相垂直．理由如下：连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，∴∠ABP′＝∠C′．∵P′E是直径，∴∠EAP′＝90°，∴∠AP′E+∠E＝90°．又∠ABP′＝∠E，∴∠AP′E+∠C′＝90°，即CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．11．如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC 并延长PC交y轴于点D（0，3）．（1）求证：△POD≌△ABO；（2）若直线l：y＝kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式．【分析】（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，可求得∠APB＝∠DPO＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，即可得△P AB是等边三角形，可得AB＝OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO；（2）易求得∠PDO＝30°，由OP＝OD•tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式．【解答】（1）证明：连接PB，∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，∴∠APB＝∠DPO＝×180°＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，∵P A＝PB，∴△P AB是等边三角形，∴AB＝P A，∠BAO＝60°，∴AB＝OP，∠BAO＝∠OPD，在△POD和△ABO中，∴△POD≌△ABO（ASA）；（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO＝∠AOB，∵∠AOB＝∠APB＝×60°＝30°，∴∠PDO＝30°，∴OP＝OD•tan30°＝3×＝，∴点P的坐标为：（﹣，0）∴，解得：，∴直线l的解析式为：y＝x+3．【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．此题综合性较强，难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．12．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．【分析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．【解答】解：（1）当BD＝AC＝4时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形．∵P是优弧BAC的中点，∴＝．∴PB＝PC．又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．∴P A＝PD，即△P AD是以AD为底边的等腰三角形．（2）过点P作PE⊥AD于E，由（1）可知，当BD＝4时，PD＝P A，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，则AE＝AD＝1．∵∠PCB＝∠P AD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴cos∠P AD＝cos∠PCB＝，∴P A＝．【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．13．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？【分析】（1）连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；（3）根据已知得出∠B＝∠EO1C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO1C＝∠E，得出CO1∥ED，即可求出．【解答】（1）证明：连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C＝90°即CO1⊥AD，∵AO1＝DO1∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵四边形AEDB内接于⊙O1，∴∠E+∠ABD＝180°，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠ABC＝∠E，又∵＝，∴∠ABC＝∠AO1C，∴∠E＝∠AO1C，∴CO1∥ED，又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，∴O1C⊥AD，（3）（2）中的结论仍然成立．证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵∠B+∠AO1C＝180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，∴∠B＝∠EO1C，又∵∠E＝∠B，∴∠EO1C＝∠E，∴CO1∥ED，又ED⊥AD，∴CO1⊥AD．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．14．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．点D为圆上一点，且＝，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．（1）判断OB和BP的数量关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．【分析】（1）首先连接OC，由PC切⊙O于点C，可得∠OCP＝90°，又由∠BAC＝30°，即可求得∠COP＝60°，∠P＝30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，证得OB＝BP；（2）由（1）可得OB＝OP，即可求得AP的长，又由＝，即可得∠CAD＝∠BAC＝30°，继而求得∠E＝90°，继而在Rt△AEP中求得答案．【解答】解：（1）OB＝BP．理由：连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP＝90°，∵OA＝OC，∠OAC＝30°，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴∠COP＝60°，∴∠P＝30°，在Rt△OCP中，OC＝OP＝OB＝BP；（2）由（1）得OB＝OP，∵⊙O的半径是2，∴AP＝3OB＝3×2＝6，∵＝，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝60°，∵∠P＝30°，∴∠E＝90°，在Rt△AEP中，AE＝AP＝×6＝3．【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．15．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于40；②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；（2）不合理，举例进行说明．【解答】解：（1）①∵内角为70°，∴与它相邻内角的度数为110°．∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．合理定义方法不唯一．如定义为，越接近1，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．16．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．【分析】（1）将三角形的各顶点，向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接；（2）将三角形的各顶点，绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得△A2B2C2；（3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线；（4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心．【解答】解：如下图所示：（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴．（4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）．【点评】本题综合考查了图形的变换，在图形的变换中，关键是找到图形的对应点．17．图（1）是一个10×10格点正方形组成的网格．△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面的两个问题：（1）在图（1）中画出与△ABC相似的格点△A1B1C1和△A2B2C2，且△A1B1C1与△ABC的相似比是2，△A2B2C2与△ABC的相似比是；（2）在图（2）中用与△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2全等的格点三角形（每个三角形至少使用一次），拼出一个你熟悉的图案，并为你设计的图案配一句贴切的解说词．【分析】（1）△A1B1C1与△ABC的相似比是2，则让△ABC的各边都扩大2倍就可．△A2B2C2与△ABC的相似比是；△ABC的直角边是2，所以△A2B2C2与的直角边是即一个对角线的长度．斜边为2．依此画图即可；（2）拼图有审美意义即可，答案不唯一．【解答】解：【点评】本题主要考查了相似图形的画法，做这类题时根据的是相似图形的性质，即相似比相等．对应角相等．18．如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，（1）求的长；（2）若，直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，∠DMN＝60°，将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1≤d≤4，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．【分析】（1）连接OE、OF，利用相切证明四边形AFOE是正方形，再根据弧长公式求弧长；（2）先求出直线M1N1与圆相切时d的值，结合1≤d≤4，划分d的范围，分类讨论．【解答】解：（1）连接OE、OF，∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，∴∠A＝90°，∠OEA＝∠OF A＝90°∴四边形AFOE是正方形∴∠EOF＝90°，OE＝AE＝∴的长＝＝π．（2）如图，将直线MN沿射线DA方向平移，当其与⊙O相切时，记为M1N1，切点为R，交AD于M1，交BC于N1，连接OM1、OR，∵M1N1∥MN∴∠DM1N1＝∠DMN＝60°∴∠EM1N1＝120°∵MA、M1N1切⊙O于点E、R∴∠EM1O＝∠EM1N1＝60°在Rt△EM1O中，EM1＝＝＝1∴DM1＝AD﹣AE﹣EM1＝+5﹣﹣1＝4．过点D作DK⊥M1N1于K在Rt△DM1K中DK＝DM1×sin∠DM1K＝4×sin∠60°＝2即d＝2，∴当d＝2时，直线MN与⊙O相切，当1≤d＜2时，直线MN与⊙O相离，当直线MN平移到过圆心O时，记为M2N2，点D到M2N2的距离d＝DK+OR＝2+＝3＞4，∴当2＜d≤4时，MN直线与⊙O相交．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．19．如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；（2）如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．【分析】（1）可通过连接AD，AD就是等腰三角形ABC底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出∠CAD＝∠BAD，根据圆周角定理即可得出∠DEB＝∠DBE，便可证得DE＝DB．（2）本题中由于BE⊥AC，那么BE就是三角形ABC中AC边上的高，可用面积的不同表示方法得出AC•BE＝CB•AD．进而求出BE的长．【解答】解：（1）DE＝BD证明：连接AD，则AD⊥BC，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD（等腰三角形三线合一），∴＝，∴DE＝BD；（2）∵AB＝5，BD＝BC＝3，∴AD＝4，∵AB＝AC＝5，∴S△ABC＝•AC•BE＝•CB•AD，∴BE＝4.8．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的运用，用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等是解题的关键．20．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x＝288．解这个方程，得x1＝﹣12（不合题意，舍去），x2＝12所以温室的长为2×12+3+1＝28（m），宽为12+1+1＝14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，然后由题意得，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得，即，然后利用比例的性质，即可求得答案．【解答】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：设温室的宽为xm，则长为2xm．则矩形蔬菜种植区域的宽为（x﹣1﹣1）m，长为（2x﹣3﹣1）m．∵，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，即，即2AB﹣2（b+d）＝2AB﹣（a+c），∴a+c＝2（b+d），即．【点评】此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．21．二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分如图所示，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．。
中考数学最难压轴题
中考数学最难压轴题中考数学最难压轴题：一、联立方程1、将给定方程联立，求解x和y的值：（1）2x + 3y = 10（2）4x - y = 9解：（1）把2x + 3y = 10两边同乘2，得到：4x + 6y = 20；（2）把4x - y = 9两边同加y，得到：4x = 9 + y；结合（1），（2）式子，把“y”用（2）式替换，得到：4x + 6（9+y）= 20；把y提到一边，得到：4x+ 54 = 20；减去54两边，得到：4x = -34；除以4两边，得到：x = -8.5；再把x= -8.5带入（2）式，得到：-8.5 - y = 9；加上y两边，得到：y = -8.5 + 9；因此，x=-8.5，y=0.5是此方程的解。
二、多项式1、求x3-2x2-5x+6的因式分解。
解：令x3-2x2-5x+6 = (x - a)(x2 + bx + c)，联立x3-2x2-5x+6=0，a=2，两边同加2，x3=2x2+5x+6.再令二次项系数=b，得到：2x2+5x+bx+6=2x2+6x+6；减去2x2两边，得到：bx+5x+6=6x；减去5x两边，得到：bx+6=6x；减去6x两边，得到：b=-6；再令常数项系数=c，两边同加6，得到：2x2+5x-6x+12=2x2+6x+6；减去2x2两边，得到：5x-6x+12=6x；减去5x两边，得到：-6x+12=6x；减去6x两边，得到：c=12。
综上，x3-2x2-5x+6=(x - 2)(x2 - 6x + 12)=x2(x - 2)-6(x - 2)=(x - 2)(x2 - 6x + 12)，即x3-2x2-5x+6的因式分解式子为：(x - 2)(x2 - 6x + 12)。
三、等比数列1、已知等比数列{an}的前7项为24，8，4，2，1，0.5，0.25，求a8的值。
解：由等比数列的性质知，{an}由公比q构成，即a7/a6=q，a6/a5=q，…，a2/a1=q。
挑战2023年中考数学压轴题专题11 二次函数与单线段最值问题(含答案解析)
专题11二次函数与单线段最值问题【例1】（2022•襄阳）在平面直角坐标系中,直线y＝mx﹣2m与x轴,y轴分别交于A,B两点,顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．（1）如图,当m＝2时,点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A,B,C,D四点的坐标；②当△P AB面积最大时,求点P的坐标；（2）在y轴上有一点M（0,m）,当点C在线段MB上时,①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．【例2】（2022•湖州）如图1,已知在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是边长为3的正方形,其中顶点A,C 分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A,C两点,与x轴交于另一个点D．（1）①求点A,B,C的坐标；②求b,c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点,连结AP,过点P作PM⊥AP,交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC 上运动时,点M也随之运动．设BP＝m,CM＝n,试用含m的代数式表示n,并求出n的最大值．【例3】（2021•青海）如图,在平面直角坐标系中,直线y＝x+2与坐标轴交于A,B两点,点A在x轴上,点B在y轴上,C点的坐标为（1,0）,抛物线y＝ax2+bx+c经过点A,B,C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集；（3）点P是抛物线上的一动点,过点P作直线AB的垂线段,垂足为Q点．当PQ＝时,求P点的坐标．【例4】（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1,0）,B（3,0）,且与y轴交于点C（0,﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E,使△ACE为Rt△,若存在,试求点E的坐标,若不存在,请说明理由；（3）在平面直角坐标系中,存在点P,满足P A⊥PD,求线段PB的最小值．1．（2020•河北模拟）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0,c＜0）的对称轴为x＝4,C为顶点,且A（2,0）,C（4,﹣2）【问题背景】求出抛物线C的解析式．【尝试探索】如图2,作点C关于x轴的对称点C′,连接BC′,作直线x＝k交BC′于点M,交抛物线C于点N．①连接ND,若四边形MNDC′是平行四边形,求出k的值．②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时,请直接写出线段MN的长度的最大值．【拓展延伸】如图4,作矩形HGOE,且E（﹣3,0）,H（﹣3,4）,现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移,设运动时间为t,得到矩形H′G′O′E′,连接AC′,若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分,请求出t的取值范围．2．（2018秋•宁城县期末）已知,如图,抛物线与x轴交点坐标为A（1,0）,C（﹣3,0）,（1）如图1,已知顶点坐标D为（﹣1,4）或B点（0,3）,选择适当方法求抛物线的解析式；（2）如图2,在抛物线的对称轴DH上求作一点M,使△ABM的周长最小,并求出点M的坐标；（3）如图3,将图2中的对称轴向左移动,交x轴于点P（m,0）（﹣3＜m＜﹣1）,与抛物线,线段BC的交点分别为点E、F,用含m的代数式表示线段EF的长度,并求出当m为何值时,线段EF最长．3．（2021•桥西区模拟）如图1,抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1,0）,B两点,与y轴交于点C,且CO＝BO,连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2,抛物线的顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E,求线段DE的长度；（3）如图3,垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F,连接CP,CD,抛物线上是否存在点P,使△CDE∽△PCF,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由．4．（2022•和平区二模）如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线顶点A的坐标为（﹣2,4）,且经过坐标原点,与x轴负半轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标；（2）过点A作AC⊥x轴于点C,若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点（点D与点A不重合）,过点D作DE⊥x轴于点E,连接AO,DO,当以A,O,C为顶点的三角形与以D,O,E为顶点的三角形相似时,求点D的坐标；（3）在（2）的条件下,当点D在第二象限时,在平面内存在一条直线,这条直线与抛物线在第二象限交于点F,在第三象限交于点G,且点A,点B,点D,到直线FG的距离都相等,请直接写出线段FG的长．5．（2022•鹿城区校级二模）如图,抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1,0）,B（5,0）,与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标．（2）连结AD,点E是对称轴与x轴的交点,过E作EF∥AD交抛物线于点F（F在E的右侧）,过点F作FG ∥x轴交ED于点H,交AD于点G,求HF的长．6．（2021•南岗区模拟）如图,抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3,0）,B（4,0）,交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点,过点P作x轴的平行线,与抛物线的另一个交点为点G,连接CG交x轴于点N,设点P的横坐标为t,ON的长为d,求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下,连接PB,将线段PB绕着点P顺时针旋转90°得到线段PD,点D恰好落在y轴上,点E在线段OB上,连接PE,点Q在EB的延长线上,且EQ＝PE,连接DQ交PE于点F,若PE＝3PF,求QN的长．7．（2021•凉山州模拟）如图1,在平面直角坐标系中,已知B点坐标为（1,0）,且OA＝OC＝3OB,抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A,B,C三点,其中D点是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；（3）如图2,点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点,过P点作PE⊥AC于E点,当PE的值最大时,求此时P点的坐标及PE的最大值．8．（2022•无锡二模）已知抛物线y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,且OB＝3OA．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点,且△BCN的面积总小于△BCM的面积,求点M的坐标；（3）若D为抛物线的顶点,P为第二象限的抛物线上的一点,连接BP、DP,分别交y轴于点E、F,若EF＝OC,求点P的坐标．9．（2021•乳源县三模）如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5,0）,B（﹣1,0）两点,与y轴交于点C（0,）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线的顶点,连接AM,CM,求△AMC的面积；（3）若点P是抛物线上的一个动点,过点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线,垂足为点F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标．10．（2021•河池）在平面直角坐标系中,抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4与x轴交于A,B两点（A在B的右侧）,与y轴交于点C．（1）求直线CA的解析式；（2）如图,直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D,交CA于点E,交x轴于点F,DG⊥CA于点G,若E为GA 的中点,求m的值．（3）直线y＝nx+n与抛物线交于M（x1,y1）,N（x2,y2）两点,其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0,结合函数图象,探究n的取值范围．11．（2021•桂林）如图,已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1,5）和点B（﹣5,m）,与x轴的正半轴交于点C．（1）求a,m的值和点C的坐标；（2）若点P是x轴上的点,连接PB,P A,当＝时,求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点M,使A,B两点到直线MC的距离相等？若存在,求出满足条件的点M的横坐标；若不存在,请说明理由．12．（2021•吉林）如图,在平面直角坐标系中,二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0,﹣）,点B（1,）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当﹣2≤x≤2时,求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点,其横坐标为m,过点P作PQ∥x轴,点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P 与点Q不重合,且线段PQ的长度随m的增大而减小．①求m的取值范围；②当PQ≤7时,直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．13．（2020•武汉模拟）已知：在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点（点A在点B的左边）,交y轴负半轴于点C．（1）则点A的坐标为,点B的坐标为．（2）如图1,过点A的直线y＝ax+a交y轴正半轴于点F,交抛物线于点D,过点B作BE∥y轴交AD于E,求证：AF＝DE．（3）如图2,直线DE：y＝kx+b与抛物线只有一个交点D,与对称轴交于点E,对称轴上存在点F,满足DF＝FE．若a＝1,求点F坐标．14．（2020•哈尔滨模拟）如图,抛物线y＝ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点,连接AC,tan C＝,5OA＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t,连接BQ交y轴于点E,连接CQ、CB,△BCQ的面积为S,求S 与t的函数解析式；（3）已知点D是抛物线的顶点,连接CQ,DH所在直线是抛物线的对称轴,连接QH,若∠BQC＝45°,HR∥x 轴交抛物线于点R,HQ＝HR,求点R的坐标．15．（2019•衡阳）如图,二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1,0）和点B（3,0）,与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时,线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在,求出此时点M的坐标；若不存在,请说明理由．16．（2020•天津）已知点A（1,0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a,b,m为常数,a≠0,m＜0）与x轴的一个交点．（Ⅰ）当a＝1,m＝﹣3时,求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m,0）,与y轴的交点为C,过点C作直线l平行于x轴,E是直线l 上的动点,F是y轴上的动点,EF＝2．①当点E落在抛物线上（不与点C重合）,且AE＝EF时,求点F的坐标；②取EF的中点N,当m为何值时,MN的最小值是？17．（2020•凉山州）如图,二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0,0）、A（1,0）、B（,）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C,与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D,求直线CD 的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P,过点P作PQ⊥x轴,交直线CD于Q,当线段PQ的长最大时,求点P的坐标．18．（2020•滨州）如图,抛物线的顶点为A（h,﹣1）,与y轴交于点B（0,﹣）,点F（2,1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C（0,﹣3）且垂直于y轴的定直线,若抛物线上的任意一点P（m,n）到直线l的距离为d,求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D（4,3）,请在抛物线上找一点Q,使△DFQ的周长最小,并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．19．（2016•巴彦淖尔）如图所示,抛物线y＝ax2﹣x+c经过原点O与点A（6,0）两点,过点A作AC⊥x轴,交直线y＝2x﹣2于点C,且直线y＝2x﹣2与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式,并求出点C和点D的坐标；（2）求点A关于直线y＝2x﹣2的对称点A′的坐标,并判断点A′是否在抛物线上,并说明理由；（3）点P（x,y）是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段CA′于点Q,设线段PQ的长为l,求l与x的函数关系式及l的最大值．20．（2018•葫芦岛）如图,抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）经过点A（﹣1,0）,点E（4,5）,与y轴交于点B,连接AB．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABO绕点O旋转,点B的对应点为点F．①当点F落在直线AE上时,求点F的坐标和△ABF的面积；②当点F到直线AE的距离为时,过点F作直线AE的平行线与抛物线相交,请直接写出交点的坐标．【例1】（2022•襄阳）在平面直角坐标系中,直线y＝mx﹣2m与x轴,y轴分别交于A,B两点,顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．（1）如图,当m＝2时,点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A,B,C,D四点的坐标；②当△P AB面积最大时,求点P的坐标；（2）在y轴上有一点M（0,m）,当点C在线段MB上时,①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．【分析】（1）根据函数上点的坐标特点可分别得出A,B,C,D的坐标；①当m＝2时,代入上述坐标即可得出结论；②过点P作PE∥y轴交直线AB于点E,设点P的横坐标为t,所以P（t,﹣t2+4t﹣2）,E（t,2t﹣4）．根据三角形的面积公式可得△P AB的面积,再利用二次函数的性质可得出结论；（2）由（1）可知,B（0,﹣2m）,C（0,﹣m2+2）,①y轴上有一点M（0,m）,点C在线段MB上,需要分两种情况：当点M的坐标大于点B的坐标时；当点M的坐标小于点B的坐标时,分别得出m 的取值范围即可；②根据①中的条件可知,分两种情况,分别得出BC的长度,利用二次函数的性质可得出结论．【解答】解：（1）∵直线y＝mx﹣2m与x轴,y轴分别交于A,B两点,∴A（2,0）,B（0,﹣2m）；∵y＝﹣（x﹣m）2+2,∴抛物线的顶点为D（m,2）,令x＝0,则y＝﹣m2+2,∴C（0,﹣m2+2）．①当m＝2时,﹣2m＝﹣4,﹣m2+2＝﹣2,∴B（0,﹣4）,C（0,﹣2）,D（2,2）．②由上可知,直线AB的解析式为：y＝2x﹣4,抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣2．如图,过点P作PE∥y轴交直线AB于点E,设点P的横坐标为t,∴P（t,﹣t2+4t﹣2）,E（t,2t﹣4）．∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2,∴△P AB的面积为：×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3,∵﹣1＜0,∴当t＝1时,△P AB的面积的最大值为3．此时P（1,1）．（2）由（1）可知,B（0,﹣2m）,C（0,﹣m2+2）,①∵y轴上有一点M（0,m）,点C在线段MB上,∴需要分两种情况：当m≥﹣m2+2≥﹣2m时,可得≤m≤1+,当m≤﹣m2+2≤﹣2m时,可得﹣3≤m≤1﹣,∴m的取值范围为：≤m≤1+或﹣3≤m≤1﹣．②当≤m≤1+时,∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3,∴当m＝1时,BC的最大值为3；当m≤﹣m2+2≤﹣2m时,即﹣3≤m≤1﹣,∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3,当m＝﹣3时,点M与点C重合,BC的最大值为13．∴当m＝1时,BC的最大值为3；当m＝﹣3时,BC的最大值为13．【例2】（2022•湖州）如图1,已知在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是边长为3的正方形,其中顶点A,C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A,C两点,与x轴交于另一个点D．（1）①求点A,B,C的坐标；②求b,c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点,连结AP,过点P作PM⊥AP,交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时,点M也随之运动．设BP＝m,CM＝n,试用含m的代数式表示n,并求出n的最大值．【分析】（1）①根据正方形的性质得出点A,B,C的坐标；②利用待定系数法求函数解析式解答；（2）根据两角相等证明△MCP∽△PBA,列比例式可得n与m的关系式,配方后可得结论．【解答】解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形,∴A（3,0）,B（3,3）,C（0,3）；②把A（3,0）,C（0,3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：,解得：；（2）∵AP⊥PM,∴∠APM＝90°,∴∠APB+∠CPM＝90°,∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°,∴∠BAP＝∠CPM,∵∠B＝∠PCM＝90°,∴△MCP∽△PBA,∴＝,即＝,∴3n＝m（3﹣m）,∴n＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0≤m≤3）,∵﹣＜0,∴当m＝时,n的值最大,最大值是．【例3】（2021•青海）如图,在平面直角坐标系中,直线y＝x+2与坐标轴交于A,B两点,点A在x轴上,点B在y轴上,C点的坐标为（1,0）,抛物线y＝ax2+bx+c经过点A,B,C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集；（3）点P是抛物线上的一动点,过点P作直线AB的垂线段,垂足为Q点．当PQ＝时,求P点的坐标．【分析】（1）根据题意得出A、B点的坐标,然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）根据（1）的解析式由图象判断即可；（3）作PE⊥x轴于点E,交AB于点D,根据函数图象点P的位置分三种情况分别计算出P点的坐标即可．【解答】解：（1）当x＝0,y＝0+2＝2,当y＝0时,x+2＝0,解得x＝﹣2,∴A（﹣2,0）,B（0,2）,把A（﹣2,0）,C（1,0）,B（0,2）代入抛物线解析式,得,解得,∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）方法一：ax2+（b﹣1 ）x+c＞2,即﹣x2﹣2x+2＞2,当函数y＝﹣x2﹣2x+2＝2时,解得x＝0或x＝﹣2,由图象知,当﹣2＜x＜0时函数值大于2,∴不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；方法二：ax2+（b﹣1 ）x+c＞2,即﹣x2﹣x+2＞x+2,观察函数图象可知当﹣2＜x＜0时y＝﹣x2﹣x+2的函数值大于y＝x+2的函数值,∴不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；（3）作PE⊥x轴于点E,交AB于点D,作PQ⊥AB于Q,①如图1,当P在AB上方时,在Rt△OAB中,∵OA＝OB＝2,∴∠OAB＝45°,∴∠PDQ＝∠ADE＝45°,在Rt△PDQ中,∠DPQ＝∠PDQ＝45°,∴PQ＝DQ＝,∴PD＝＝1,设点P（x,﹣x2﹣x+2）,则点D（x,x+2）,∴PD＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x,即﹣x2﹣2x＝1,解得x＝﹣1,∴此时P点的坐标为（﹣1,2）,②如图2,当P点在A点左侧时,同理①可得PD＝1,设点P（x,﹣x2﹣x+2）,则点D（x,x+2）,∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x,即x2+2x＝1,解得x＝±﹣1,由图象知此时P点在第三象限,∴x＝﹣﹣1,∴此时P点的坐标为（﹣﹣1,﹣）,③如图3,当P点在B点右侧时,在Rt△OAB中,∵OA＝OB＝2,∴∠OAB＝45°,∴∠PDQ＝∠DPQ＝45°,在Rt△PDQ中,∠DPQ＝∠PDQ＝45°,∴PQ＝DQ＝,∴PD＝＝1,设点P（x,﹣x2﹣x+2）,则点D（x,x+2）,∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x,即x2+2x＝1,解得x＝±﹣1,由图象知此时P点在第一象限,∴x＝﹣1,∴此时P点的坐标为（﹣1,）,综上,P点的坐标为（﹣1,2）或（﹣﹣1,﹣）或（﹣1,）．【例4】（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1,0）,B（3,0）,且与y轴交于点C（0,﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E,使△ACE为Rt△,若存在,试求点E的坐标,若不存在,请说明理由；（3）在平面直角坐标系中,存在点P,满足P A⊥PD,求线段PB的最小值．【分析】（1）设二次函数的表达式为交点式,将点C坐标代入,进而求得结果；（2）先把AC,CE,AE的平方求出或表示出来,然后分为∠CAE＝90°,∠ACE＝90°及∠AEC＝90°,然后根据勾股定理逆定理列出方程,解方程,进而求得结果；（3）根据∠APD＝90°确定点P在以AD的中点为圆心,为半径的圆上,进一步求得结果．【解答】解：（1）由题意设二次函数表达式为：y＝a（x+1）•（x﹣3）,∴a•（﹣3）＝﹣3,∴a＝1,∴y＝（x+1）•（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4,∴D（1,﹣4）；（2）存在点E,使△ACE是直角三角形,过程如下：设点E（1,m）,∵A（﹣1,0）,C（0,﹣3）,∴AC2＝10,AE2＝4+m2,CE2＝1+（m+3）2,当∠EAC＝90°时,AE2+AC2＝CE2,∴14+m2＝1+（m+3）2,∴m＝,∴E1（1,）,当∠ACE＝90°时,AC2+CE2＝AE2,∴11+（m+3）2＝4+m2,∴m＝﹣,∴E2（1,﹣）,当∠AEC＝90°时,AE2+CE2＝AC2,∴5+m2+（m+3）2＝10,∴m＝﹣1或﹣2,∴E3（1,﹣1）,E4（1,﹣2）,综上所述：点E（1,）或（1,﹣）或（1,﹣1）或（1,﹣2）；（3）设AD的中点为I,∵A（﹣1,0）,D（1,﹣4）,∴AD＝＝2,I（0,﹣2）,∴P A⊥PD,∴∠ADP＝90°,∴点P在以AD的中点I为圆心,为半径的圆上,∵BI＝＝,∴PB最小＝﹣．1．（2020•河北模拟）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0,c＜0）的对称轴为x＝4,C为顶点,且A（2,0）,C （4,﹣2）【问题背景】求出抛物线C的解析式．【尝试探索】如图2,作点C关于x轴的对称点C′,连接BC′,作直线x＝k交BC′于点M,交抛物线C于点N．①连接ND,若四边形MNDC′是平行四边形,求出k的值．②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时,请直接写出线段MN的长度的最大值．【拓展延伸】如图4,作矩形HGOE,且E（﹣3,0）,H（﹣3,4）,现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移,设运动时间为t,得到矩形H′G′O′E′,连接AC′,若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分,请求出t的取值范围．【分析】【问题背景】A（2,0）,对称轴为x＝4,则点B（6,0）,则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x ﹣6）,将点C的坐标代入上式即可求解；【尝试探索】①四边形MNDC′是平行四边形,则MN＝DC′＝2,即|k2﹣4k+6﹣（﹣k+6）|＝2,解得：k＝3或3,②MN＝（﹣k+6）﹣（k2﹣4k+6）＝﹣k2+3k,即可求解；【拓展延伸】（Ⅰ）当t＝2时,矩形过点A,此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分；（Ⅱ）当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时,此时y＝H′E′＝4,即x2﹣4x+6＝4,解得：x＝4（舍去4﹣2）,即可求解．【解答】解：【问题背景】A（2,0）,对称轴为x＝4,则点B（6,0）,则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x﹣6）,将点C的坐标代入上式得：﹣2＝a（4﹣2）•（4﹣6）,解得：a＝,故抛物线的表达式为：…①；【尝试探索】①点C′（4,2）,由点B、C′的坐标可得,直线BC′的表达式为：y＝﹣x+6…②,四边形MNDC′是平行四边形,则MN＝DC′＝2,设点N的坐标为：（x,k2﹣4k+6）,则点M（k,﹣k+6）,即|k2﹣4k+6﹣（﹣k+6）|＝2,解得：k＝3或3,故k的值为：；②联立①②并解得：x＝0或6,故抛物线C与直线BC′围成的封闭图形对应的k值取值范围为：0≤k≤6,MN＝（﹣k+6）﹣（k2﹣4k+6）＝﹣k2+3k,∵0,故MN有最大值,最大值为；【拓展延伸】由点A、C′的坐标得,直线AC′表达式为：y＝x﹣2…③,联立①③并解得：x＝2或8,即封闭区间对应的x取值范围为：2≤x≤8,（Ⅰ）当t＝2时,矩形过点A,此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分,（Ⅱ）当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时,此时y＝H′E′＝4,即x2﹣4x+6＝4,解得：x＝4（舍去4﹣2）,即x＝4+2,则t＝3+4+2＝7+2,故t的取值范围为：2≤t≤．2．（2018秋•宁城县期末）已知,如图,抛物线与x轴交点坐标为A（1,0）,C（﹣3,0）,（1）如图1,已知顶点坐标D为（﹣1,4）或B点（0,3）,选择适当方法求抛物线的解析式；（2）如图2,在抛物线的对称轴DH上求作一点M,使△ABM的周长最小,并求出点M的坐标；（3）如图3,将图2中的对称轴向左移动,交x轴于点P（m,0）（﹣3＜m＜﹣1）,与抛物线,线段BC 的交点分别为点E、F,用含m的代数式表示线段EF的长度,并求出当m为何值时,线段EF最长．【分析】（1）根据顶点D坐标设其顶点式,再将点C（2）连接BC,交DH于点M,使△ABM周长最小,即AM+BM最小,先求出BC直线解析式,再令x＝﹣1,求得M（﹣1,2）；（3）由题意得出E（m,﹣m2﹣2m+3）,F（m,m+3）,据此可知EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）,再根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）由抛物线的顶点D的坐标（﹣1,4）可设其解析式为y＝a（x+1）2+4,将点C（﹣3,0）代入,得：4a+4＝0,解得a＝﹣1,则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）连接BC,交DH于点M,此时△ABM的周长最小,当y＝0时,﹣（x+1）2+4＝0,解得x＝﹣3或x＝1,则A（1,0）,C（﹣3,0）,当x＝0时,y＝3,则B（0,3）,设直线BC的解析式为y＝kx+b,将B（0,3）,C（﹣3,0）代入得,解得：,∴直线BC解析式为y＝x+3,当x＝﹣1时,y＝﹣1+3＝2,所以点M坐标为（﹣1,2）；（3）由题意知E（m,﹣m2﹣2m+3）,F（m,m+3）,则EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+,∴当m＝﹣时,线段EF最长．3．（2021•桥西区模拟）如图1,抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1,0）,B两点,与y轴交于点C,且CO＝BO,连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2,抛物线的顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E,求线段DE的长度；（3）如图3,垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F,连接CP,CD,抛物线上是否存在点P,使△CDE∽△PCF,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由．【分析】（1）根据题意可求得点C,B的坐标,将A,B坐标代入抛物线解析式求出a,b的值,即可得到抛物线解析式；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b,将点C,B的坐标代入求得k,b的值,即可求得直线BC的解析式,再求DE即可；（3）根据△CDE∽△PCF,DE∥PF,可得：＝,设点P坐标为（t,﹣t2+2t+3）,点F坐标为（t,﹣t+3）,建立关于t的方程求解即可．【解答】解：（1）在抛物线y＝ax2+bx+3中,令x＝0,得y＝3,∴C（0,3）,∴CO＝3,∵CO＝BO,∴BO＝3,∴B（3,0）,∵A（﹣1,0）,∴,解得：,∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b,∵B（3,0）,C（0,3）,∴,解得：,∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3,∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点D坐标为（1,4）,∴当x＝1时,y＝﹣1+3＝2,∴E（1,2）,∴DE＝2；（3）∵PF∥DE,∴∠CED＝∠CFP,当＝时,△PCF∽△CDE,由D（1,4）,C（0,3）,E（1,2）,利用勾股定理,可得CE＝＝,DE＝4﹣2＝2,设点P坐标为（t,﹣t2+2t+3）,点F坐标为（t,﹣t+3）,∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t,CF＝＝t,∴＝,∵t≠0,∴t＝2,当t＝2时,﹣t2+2t+3＝﹣22+2×2+3＝3,∴点P坐标为（2,3）．4．（2022•和平区二模）如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线顶点A的坐标为（﹣2,4）,且经过坐标原点,与x轴负半轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标；（2）过点A作AC⊥x轴于点C,若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点（点D与点A不重合）,过点D作DE⊥x轴于点E,连接AO,DO,当以A,O,C为顶点的三角形与以D,O,E为顶点的三角形相似时,求点D的坐标；（3）在（2）的条件下,当点D在第二象限时,在平面内存在一条直线,这条直线与抛物线在第二象限交于点F,在第三象限交于点G,且点A,点B,点D,到直线FG的距离都相等,请直接写出线段FG的长．【分析】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x+2）2+4（a≠0）,把点（0,0）代入,即可求解；（2）根据题意得OC＝2,AC＝4,设点D（x,﹣x2﹣4x）,则DE＝|﹣x2﹣4x|,OE＝﹣x,根据∠ACO＝∠DEO＝90°,可得当以A,O,C为顶点的三角形与以D,O,E为顶点的三角形相似时,∠AOC＝∠ODE或∠AOC＝∠DOE,分两种讨论,即可求解；（3）求出直线BD的解析式y＝x+14,直线BD与y轴交于（0,14）,可得过点A平行于BD的直线AM的解析式为y＝x+11,交y轴于（0,11）,可得直线FG的的解析式为y＝x+,联立方程组,得到点F．G的坐标,即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线顶点的坐标为（﹣2,4）,∴设抛物线解析式为y＝a（x+2）2+4（a≠0）,把点（0,0）代入得：0＝a（x+2）2+4．解得：a＝﹣1,∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2+4＝﹣x2﹣4x．令y﹣0,则﹣x2﹣4x＝0,解得：x1＝﹣4,x2＝0,∴点B（﹣4,0）,∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x．点B（﹣4,0）；（2）∵AC⊥x轴,点A（﹣2,4）,∴点C（﹣2,0）,∴OC＝2,AC＝4,∵∠ACO＝∠DEO＝90°,∴当以A,O,C为顶点的三角形与以D,O,E为顶点的三角形相似时,∠AOC＝∠ODE或∠AOC＝∠DOE,设D（x,﹣x2﹣4x）,①当∠AOC＝∠ODE时,△AOC∽△ODE,如图：∵∠AOC＝∠ODE,∴tan∠AOC＝tan∠ODE,∴＝＝2,∴＝2,∴﹣x＝2（x2+4x）或﹣x＝﹣2（x2+4x）,∴x1＝0（舍去）,x2＝﹣或x3＝0（舍去）,x4＝﹣,∴点D的坐标为（﹣,﹣）或（﹣,）；②当∠AOC＝∠DOE时,△AOC∽△DOE,如图：∵∠AOC＝∠DOE,∴tan∠AOC＝tan∠DOE,∴＝＝2,∴＝2,∴﹣2x＝x2+4x或2x＝x2+4x,∴x1＝0（舍去）,x2＝﹣6或x3＝0（舍去）,x4＝﹣2（舍去）,∴点D的坐标为（﹣6,﹣12）；点D（﹣6,﹣12）；综上所述,当以A,O,C为顶点的三角形与以D,O,E为顶点的三角形相似时,点D的坐标为（﹣6,﹣12）或（﹣,﹣）或（﹣,）；（3）∵在（2）的条件下,点D在第二象限,∴点D的坐标为（﹣,）,直线BD的解析式y＝kx+m,∴,解得,∴直线BD的解析式y＝x+14,直线BD与y轴交于（0,14）,∴过点A平行于BD的直线AM的解析式为y＝x+11,交y轴于（0,11）,∵点A,点B,点D,到直线FG的距离都相等,∴直线FG的的解析式为y＝x+,联立得,解得,,∴F（﹣,）,G（﹣5,﹣5）,∴FG＝＝．5．（2022•鹿城区校级二模）如图,抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1,0）,B（5,0）,与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标．（2）连结AD,点E是对称轴与x轴的交点,过E作EF∥AD交抛物线于点F（F在E的右侧）,过点F作FG∥x轴交ED于点H,交AD于点G,求HF的长．【分析】（1）把点A（﹣1,0）,B（5,0）代入抛物线解析式即可求解；（2）延长FG交y轴于点I,根据A,E,D坐标求出AE＝3,DE＝9,在Rt△EAD中,tan∠EAD＝3,再根据四边形AGFE是平行四边形,得出tan∠EFH＝tan∠EAD＝3,设HF＝m,EH＝3m,易证四边形OIHE是矩形,把点F（m+2,﹣3m）代入y＝x2﹣4x﹣5,求出m即可．【解答】解：（1）把点A（﹣1,0）,B（5,0）代入抛物线解析式,得：,解得：,∴y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9,∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5,顶点D坐标为（2,﹣9）；（2）延长FG交y轴于点I,∵A（﹣1,0）,E（2,0）,D（2,﹣9）,∴AE＝3,DE＝9,∴在Rt△EAD中,,∵EF∥AD,FG∥x轴,∴四边形AGFE是平行四边形,∴tan∠EFH＝tan∠EAD＝3,∴在Rt△EHF中,EH＝3HF,设HF＝m,EH＝3m,易证四边形OIHE是矩形,把点F（m+2,﹣3m）代入y＝x2﹣4x﹣5,得,﹣3m＝（m+2）2﹣4（m+2）﹣5,解得：或m＝（舍去）,∴．6．（2021•南岗区模拟）如图,抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3,0）,B（4,0）,交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点,过点P作x轴的平行线,与抛物线的另一个交点为点G,连接CG 交x轴于点N,设点P的横坐标为t,ON的长为d,求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下,连接PB,将线段PB绕着点P顺时针旋转90°得到线段PD,点D恰好落在y 轴上,点E在线段OB上,连接PE,点Q在EB的延长线上,且EQ＝PE,连接DQ交PE于点F,若PE＝3PF,求QN的长．【分析】（1）运用待定系数法即可得出答案；（2）设P（t,t2﹣t﹣4）,则G（1﹣t,t2﹣t﹣4）,利用tan∠GCH＝＝,求出CN,即可得出答案；（3）过点P作PT⊥x轴于点T,可证得△PDH≌△PBT（AAS）,过点F作x轴的垂线,垂足为K,过点D作KF的垂线,垂足为R,KR与PH交于点M,再证得△DRF≌△QKF（ASA）,过点Q作QW∥PD,可证得△DPF≌△QWF（AAS）,过点Q作QZ⊥PE于点Z,再证明△EQZ≌△EPT（AAS）,再利用HL证明Rt△QWZ≌Rt△PBT,设EB＝m,运用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3,0）,B（4,0）,∴,解得：,∴抛物线的解析式为；（2）如图1,设P（t,t2﹣t﹣4）,∵抛物线的对称轴为直线,PG∥x轴,∴点G与点P是抛物线上的一对对称点,∴G（1﹣t,t2﹣t﹣4）,设PG与y轴交于点H,则H（0,t2﹣t﹣4）,在抛物线中,令x＝0,得y＝﹣4,∴C（0,﹣4）,∴OC＝4,又CH＝t2﹣t﹣4﹣（﹣4）＝t2﹣t,GH＝t﹣1,∵tan∠GCH＝＝,∴,解得：,∴d与t之间的函数解析式为d＝；（3）如图2,过点P作PT⊥x轴于点T,∵∠DPB＝∠PHO＝∠HOB＝∠PTO＝∠PHD＝90°,∴四边形PHOT为矩形,∴∠HPT＝90°,∴∠DPH＝∠BPT,∵PD＝PB,∴△PDH≌△PBT（AAS）,∴DH＝BT,PH＝PT,∴,解得：t1＝6,t2＝﹣2（舍）,∴P（6,6）,∴DH＝BT＝2,ON＝d＝2,过点F作x轴的垂线,垂足为K,过点D作KF的垂线,垂足为R,KR与PH交于点M,∵PE＝3PF,∴EF＝2PF,∵cos∠PFM＝cos∠EFK,∴,∴FK＝2FM,∵∠MPT＝∠PTK＝∠TKM＝90°,∴四边形PMKT为矩形,∴MK＝PT＝6,∴FM＝2,FK＝4,同理四边形DHMR为矩形,∴DH＝RM＝2,RF＝FK＝4,∠R＝∠FKQ＝90°,∵∠DFR＝∠KFQ,∴△DRF≌△QKF（ASA）,∴DF＝QF,过点Q作QW∥PD,∴∠DPF＝∠QWF∵∠DFP＝∠WFQ,DF＝FQ,∴△DPF≌△QWF（AAS）,∴DP＝QW＝PB,PF＝WF,∴,过点Q作QZ⊥PE于点Z,∴∠EZQ＝∠PTE＝90°,∵∠PET＝∠QEZ,EP＝EQ,∴△EQZ≌△EPT（AAS）,∴PT＝QZ,EZ＝ET,∵QW＝PB,∴Rt△QWZ≌Rt△PBT（HL）,∴EW＝EB．设EB＝m,则EW＝WF＝FP＝m,∴EP＝3m,∵BT＝2,∴ET＝m+2,PT＝6,在Rt△EPT中,∵PE2＝ET2+PT2,∴（3m）2＝（m+2）2+62,解得：,m2＝﹣2（舍）,∴,∴BQ＝2BE＝5,∵OB＝4,∴OQ＝9,∵ON＝2,∴QN＝OQ+ON＝11．7．（2021•凉山州模拟）如图1,在平面直角坐标系中,已知B点坐标为（1,0）,且OA＝OC＝3OB,抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A,B,C三点,其中D点是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；（3）如图2,点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点,过P点作PE⊥AC于E点,当PE的值最大时,求此时P点的坐标及PE的最大值．【分析】（1）根据B点坐标为（1,0）,且OA＝OC＝3OB,得出B,C点的坐标,用待定系数法求解析式即可；（2）根据坐标求出三角形各边的长,利用勾股定理判断其为直角三角形,再用三角形面积公式求面积即可；（3）求出直线AC的解析式,过点P作PH∥y轴交AC于H,设出P点和H点坐标,用含x的代数式求出PE的值,根据二次函数性质求最值即可．【解答】解：（1）∵B点坐标为（1,0）,∴OB＝1,又∵OA＝OC＝3OB,∴OA＝OC＝3,∴A（﹣3,0）,C（0,﹣3）,将A,B,C三点代入解析式得,,解得,∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）由（1）知抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3,∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1,当x＝﹣1时,y＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝﹣4,∴D点的坐标为（﹣1,﹣4）,∴|AD|＝＝2,|AC|＝＝3,|CD|＝＝,∵|AD|2＝|AC|2+|CD|2,∴△ACD是直角三角形,S△ABC＝|AC|•|CD|＝×＝3；（3）设直线AC的解析式为y＝sx+t,代入A,C点坐标,得,解得,∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3,如右图,过点P作y轴的平行线交AC于点H,∵OA＝OC,∴∠OAC＝∠OCA＝45°,∵PH∥y轴,∴∠PHE＝∠OCA＝45°,设点P（x,x2+2x﹣3）,则点H（x,﹣x﹣3）,∴PH＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x,∴PE＝PH•sin∠PHE＝（﹣x2﹣3x）×＝﹣（x+）2+,∴当x＝﹣时,PE有最大值为,此时P点的坐标为（﹣,﹣）．8．（2022•无锡二模）已知抛物线y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,且OB＝3OA．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点,且△BCN的面积总小于△BCM的面积,求点M的坐标；（3）若D为抛物线的顶点,P为第二象限的抛物线上的一点,连接BP、DP,分别交y轴于点E、F,若EF＝OC,求点P的坐标．【分析】（1）设A（x1,0）,B（x2,0）,因为OB＝3OA,所以x2＝﹣3x1,又由于x1,x2是方程mx2﹣2mx+3＝0的两根,所以x1+x2＝2,从而求出x1的值,得到A点坐标,代入到解析式中,求出m,即可解决问题；（2）由题意可得,只要求得第一象限内M点,使△BCM面积最大,过M作y轴平行线交BC于G点,设M（a,﹣a2+2a+3）,先求出直线BC的解析式,可以得到G（a,﹣a+3）,从而得的MG＝﹣a2+3a,利用S△MBC＝S△MGC+S△MGB,得到S△MBC＝,当a＝时,△MBC面积最大,从而求得M点坐标；（3）由EF＝得EF＝1,过D作DQ∥y轴交BP于Q点,设出P点坐标,求出D点坐标和直线BP解析式,从而表示出DQ的长度,由△PEF∽△PQD,利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比,。
中考数学压轴题含答案
中考数学压轴题含答案一、选择题1、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.菱形B.平行四边形C.矩形（答案：C）2、如果一个三角形的三条边的平方相等，那么这个三角形一定是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形（答案：A）3、下列说法正确的是（）A.所有的质数都是奇数B.所有的偶数都是合数C.一个数的因数一定比它的倍数小D.自然数一定是正数（答案：A）二、填空题1、若a-b=2，a+b=7，则a²-b²=（答案：14）2、我们学过的数有整数和分数，整数的运算律在分数运算中（答案：同样适用）。
3、一个长方形的周长是20cm，长和宽的比是3:2，则长方形的面积是（答案：60平方厘米）。
三、解答题1、一个圆柱体底面半径为r，高为h，它的体积是多少？（答案：πr²h）2、有一块三角形的土地，底边长为120米，高为90米，这块土地的面积是多少？（答案：5400平方米）3、对于一个给定的整数n，如果它是3的倍数，那么我们就称它为“三的倍数”，否则我们就称它为“非三的倍数”。
现在有一个整数n，它是“三的倍数”，我们可以得出哪些结论？（答案：n+1、n+2、n+3、...、2n都是“三的倍数”，因为它们都可以被3整除。
）中考数学压轴题100题及答案在中考数学考试中，压轴题往往是最具挑战性和最能检验考生数学能力的题目。
为了帮助同学们更好地理解和掌握中考数学的压轴题，本文将分享100道经典的中考数学压轴题及其答案。
一、选择题1、在一个等边三角形中，边长为6，下列哪个选项的面积最接近这个等边三角形的面积？A. 20B. 25C. 30D. 35答案：B解析：等边三角形的面积可以通过计算得出，边长为6的等边三角形的面积为：436293约为28.2，因此选项B最接近。
2、如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形的边数是多少？A. 4B. 6C. 8D. 10答案：C解析：根据多边形的内角和公式和外角和为360度，可列出方程求解。
挑战中考数学压轴题100题
挑战中考压轴100题第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．图1思路点拨1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．2．求△ABC的面积，一般用割补法．3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．满分解答（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．将点A(2, 4)代入kyx=，得k＝8．（2）将点B(n, 2)，代入8yx=，得n＝4．所以点B的坐标为(4, 2)．设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．所以点C的坐标为(0,－2)．由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝22，BC＝42，∠ABC=90°．图2所以S△ABC＝12BA BC⋅＝122422⨯⨯＝8．（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝22，AC＝210．由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：①如图3，当CE ADCA AC=时，CE＝AD＝22．此时△ACD≌△CAE，相似比为1．②如图4，当CE ACCA AD=时，21021022CE=．解得CE＝102．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．图3 图4考点伸展第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形．一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．图5例2如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．图1 图2思路点拨1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．满分解答（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．△BPQ与△ABC相似，存在两种情况：①如果BP BABQ BC=，那么510848tt=-．解得t＝1．②如果BP BCBQ BA=，那么588410tt=-．解得3241t=．图3 图4（2）作PD⊥BC，垂足为D．在Rt△BPD中，BP＝5t，cos B＝45，所以BD＝BP cos B＝4t，PD＝3t．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．所以AC CDQC PD=，即68443tt t-=．解得78t=．图5 图6（3）如图4，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E．由于H 是PQ 的中点，HF //PD ，所以F 是QD 的中点． 又因为BD ＝CQ ＝4t ，所以BF ＝CF ． 因此F 是BC 的中点，E 是AB 的中点．所以PQ 的中点H 在△ABC 的中位线EF 上．考点伸展本题情景下，如果以PQ 为直径的⊙H 与△ABC 的边相切，求t 的值．如图7，当⊙H 与AB 相切时，QP ⊥AB ，就是BP BC BQ BA =，3241t =． 如图8，当⊙H 与BC 相切时，PQ ⊥BC ，就是BP BABQ BC =，t ＝1． 如图9，当⊙H 与AC 相切时，直径2222(3)(88)PQ PD QD t t =+=+-， 半径等于FC ＝4．所以22(3)(88)8t t +-=．解得12873t =，或t ＝0（如图10，但是与已知0＜t ＜2矛盾）．图7 图 8 图9 图10例3如图1，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．满分解答（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,4b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3 （3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ． 当BA QA QA OA =，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ． 所以2()14bb =-．解得843b =±．所以符合题意的点Q 为(1,23+)．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。
挑战2023年中考数学压轴题专题04 二次函数与相似问题-(含答案解析)
专题4二次函数与相似问题函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径①求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边和角的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。
相似三角形常见的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型,如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．判定定理“两边及其夹角法”是常用的解题依据,一般分三步：寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验．如果已知∠A＝∠D,探求△ABC与△DEF相似,只要把夹∠A和∠D的两边表示出来,按照对应边成比例,分和两种情况列方程．应用判定定理“两角法”解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理“三边法”解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况,讨论两个直角三角形相似,如果一组锐角相等,其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的,那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．【例1】（2022•贵港）如图,已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0,3）和B（,﹣）两点,直线AB与x轴相交于点C,P是直线AB上方的抛物线上的一个动点,PD⊥x轴交AB于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若PE∥x轴交AB于点E,求PD+PE的最大值；（3）若以A,P,D为顶点的三角形与△AOC相似,请直接写出所有满足条件的点P,点D的坐标．【例2】．（2022•衡阳）如图,已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点,将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折,其余部分不变,得到的新图象记为“图象W”,图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点,请结合图象,直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点,过点P作PM∥y轴交直线BC于点M,交图象W于点N,是否存在这样的点P,使△CMN与△OBC相似？若存在,求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．【例3】．（2022•桂林）如图,抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A,B两点（点A位于点B的左侧）,与y轴交于C点,抛物线的对称轴l与x轴交于点N,长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A,B,C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）过点P作PM⊥y轴于点M,当△CPM和△QBN相似时,求点Q的坐标．【例4】（2022•玉林）如图,已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A,B（2,0）（A在B的左侧）,与y轴交于点C,对称轴是直线x＝,P是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段OC的中点,则△POD能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M,垂足为点H,若以P,M,C为顶点的三角形与△BMH相似,求点P的坐标．1．（2020秋•兴城市期末）如图,抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4,0）,B（﹣1,0）两点,与y轴交于点C,D为第一象限抛物线上的动点,连接AC,BC,DA,DB,DB与AC相交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1,设△ADE的面积为S1,△BCE的面积为S2,当S1＝S2+5时,求点D的坐标；（3）如图2,过点C作CF∥x轴,点M是直线CF上的一点,MN⊥CF交抛物线于点N,是否存在以C,M,N为顶点的三角形与△BCO相似？若存在,请直接写出点M的坐标,若不存在,请说明理由．2．（2020秋•郴州期末）已知抛物线y＝x2﹣3x+与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边）．（1）求A,B两点的坐标；（2）如图1,若点D是抛物线上在第四象限的点,连接DA并延长,交y轴于点P,过点D作DE⊥x轴于点E．当△APO与△ADE的面积比为＝时．求点D的坐标；（3）如图2,抛物线与y轴相交于点F．若点Q是线段OF上的动点,过点Q作与x轴平行的直线交抛物线于M,N两点（点M在点N的左边）．请问是否存在以Q,A,M为顶点的三角形与△QNA相似？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由．3．（2020秋•长垣市期末）如图1,抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴分别交于点B（6,0）和点C（0,﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点,其横坐标为m,连接PB、PC,当△PBC的面积为时,求m值；（3）如图2,点M是线段OB上的一个动点,过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D,E两点,是否存在以C,D,E为顶点的三角形与△BDM相似,若存在,请直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由．4．（2021秋•邹城市期末）如图,已知抛物线y＝x2+2x的顶点为A,直线y＝x+2与抛物线交于B,C两点．（1）求A,B,C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D,求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,则是否还存在除C点外的其他位置的点,使以O,P,M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在,请求出这样的P点坐标；若不存在,请说明理由．5．（2021秋•攸县期末）如图,已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N．①求点M和点N的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点Q,使|AQ﹣BQ|的值最大,请直接写出点Q的坐标；③是否存在点P,使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在,求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在,请说明理由．6．（2022•禹城市模拟）如图,抛物线经过A（4,0）,B（1,0）,C（0,﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限上的一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由；（3）若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得S△DCA＝S△ABC,直接写出点D 的坐标．7．（2022•祥云县模拟）如图,已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1,0）,B（3,0）,交y轴于点C（0,3）,点M 是该抛物线上第一象限内的一个动点,ME垂直x轴于点E,交线段BC于点D,MN∥x轴,交y轴于点N．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的表达式；（2）若四边形MNOE是正方形,求该正方形的边长；（3）连结OD,AC,抛物线上是否存在点M,使得以C,O,D为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,请求出点M 的坐标,若不存在,请说明理由．8．（2022•松江区校级模拟）如图,抛物线y＝x2﹣bx+c过点B（3,0）,C（0,﹣3）,D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）连接BC,CD,DB,求∠CBD的正切值；（3）点C关于抛物线y＝x2﹣bx+c对称轴的对称点为E点,连接BE,直线BE与对称轴交于点M,在（2）的条件下,点P是抛物线对称轴上的一点,是否存在点P使△CDB和△BMP相似,若存在,求点P坐标,若不存在,请说明理由．9．（2022•平江县一模）如图,抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣2,0）和点B（8,0）,与y轴交于点C,顶点为D,连接AC,BC,BC与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点,连接PB,PC,设四边形PBOC和△AOC的面积分别为S四边形PBOC和S△AOC,记S＝S四边形PBOC﹣S△AOC,求S最大值点P的坐标及S的最大值；（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点,在射线ED上是否存在点M,使得以点M,N,E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在,求点M的坐标；若不存在,请说明理由．10．（2022•莱州市一模）如图①,在平面直角坐标系中,抛物线y＝x2+c经过点A（4,3）,顶点为点B,点P 为抛物线上的一个动点,l是过点（0,﹣2）且垂直于y轴的直线,连接PO．（1）求抛物线的表达式,并求出顶点B的坐标；（2）试证明：经过点O的⊙P与直线l相切；（3）如图②,已知点C的坐标为（1,2）,是否存在点P,使得以点P,O及（2）中的切点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在,求出P点的坐标；若不存在,请说明理由．11．（2022•巩义市模拟）已知,二次函数y＝ax2+bx﹣3 的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边）,与y轴交于C点,点A的坐标为（﹣1,0）,且OB＝OC．（1）求二次函数的解析式；（2）当0≤x≤4 时,求二次函数的最大值和最小值分别为多少？（3）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P,使△PCC'与△POB相似,且PC与PO是对应边？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．12．（2022•澄迈县模拟）在平面直角坐标系中,抛物线经过点A（﹣2,0）,B（﹣3,3）及原点O,顶点为C．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；（2）设该抛物线上一动点P的横坐标为t．①在图1中,当﹣3＜t＜0时,求△PBO的面积S与t的函数关系式,并求S的最大值；②在图2中,若点P在该抛物线上,点E在该抛物线的对称轴上,且以A,O,P,E为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标；③在图3中,若P是y轴左侧该抛物线上的动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P使得以点P,M,A 为顶点的三角形与△BOC相似？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．13．（2022•丰南区二模）如图①、②,在平面直角坐标系中,一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合,现将三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点）,按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置．（1）直接写出C′的坐标,并求经过O、A、C′三点的抛物线的解析式；（2）点P在第四象限的抛物线上,求△C′OP的最大面积；（3）如图③,⊙G是以AB为直径的圆,过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F,抛物线上是否存在一点M,使得△BOF与△AOM相似？若存在,请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．14．（2022•莱芜区三模）如图,在平面直角坐标系中,一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A和点C（0,﹣3）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1,平移线段AC,点A的对应点D落在二次函数在第一象限的图象上,点C的对应点E落在直线AB 上,直接写出四边形ACED的形状,并求出此时点D的坐标；（3）如图2,在（2）的条件下,连接CD,交x轴于点M,点P为直线CD下方抛物线上一个动点,过点P作PF ⊥x轴,交CD于点F,连接PC,是否存在点P,使得以点P,C,F为顶点的三角形与△COM相似？若存在,求出线段FP的长度；若不存在,请说明理由．15．（2022•临清市三模）如图,抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点D坐标为（1,4）,且与x轴相交于A,B两点（点A 在点B的左侧,与y轴相交于点C,点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动,点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称,作矩形EFGH,其中点G,H都在x轴上．（1）求抛物线解析式；（2）设点F横坐标为m,①用含有m的代数式表示点E的横坐标为（直接填空）；②当矩形EFGH为正方形时,求点G的坐标；③连接AD,当EG与AD垂直时,求点G的坐标；（3）过顶点D作DM⊥x轴于点M,过点F作FP⊥AD于点P,直接写出△DFP与△DAM相似时,点F的坐标．16．（2022•成都模拟）如图①,已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+k交x轴于A,B两点,交y轴于点C,P是抛物线上的动点,且满足OB＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限,直线y＝x+b经过点P且与直线BC交于点E,设点P的横坐标为t,当线段PE的长度随着t的增大而减小时,求t的取值范围；（3）如图②,过点A作BC的平行线m,与抛物线交于另一点D．点P在直线m上方,点Q在线段AD上,若△CPQ与△AOC相似,且点P与点O是对应点,求点P的坐标．17．（2022•东莞市校级一模）在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y＝﹣x2+2kx+2k2+1与x轴的左交点为A,右交点为B,与y轴的交点为C,对称轴为直线l,对于抛物线上的两点（x1,y1）,（x2,y2）（x1＜k＜x2）,当x1+x2＝2时,y1﹣y2＝0恒成立．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是第二象限内直线AC上方的抛物线上的一点,过点M作MN⊥AC于点N,求线段MN的最大值,并求出此时点M的坐标；（3）点P是直线l右侧抛物线上的一点,PQ⊥l于点Q,AP交直线l于点F,是否存在这样的点P,使△PQF与△ACO相似？若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由．18．（2022•碑林区校级模拟）如图,Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AB＝8,AC＝4,以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,若C（0,2）．（1）请直接写出A、B的坐标；（2）求经过A、B、C三点的抛物线表达式；（3）l为抛物线对称轴,P是直线l右侧抛物线上的点,过点P作l的垂线,垂足为D,E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△ABC全等,求满足条件的点P,点E的坐标．【例1】（2022•贵港）如图,已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0,3）和B（,﹣）两点,直线AB 与x轴相交于点C,P是直线AB上方的抛物线上的一个动点,PD⊥x轴交AB于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若PE∥x轴交AB于点E,求PD+PE的最大值；（3）若以A,P,D为顶点的三角形与△AOC相似,请直接写出所有满足条件的点P,点D的坐标．【分析】（1）直接利用待定系数法,即可求出解析式；（2）先求出点C的坐标,然后证明Rt△DPE∽Rt△AOC,再由二次函数的最值性质,求出答案；（3）根据题意,可分为两种情况进行分析：当△AOC∽△APD时；当△AOC∽△DAP时；分别求出两种情况的点的坐标,即可得到答案．【解析】（1）将A（0,3）和B（,﹣）代入y＝﹣x2+bx+c,,解得,∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n,把A（0,3）和B（,﹣）代入, ,解得,∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3,当y＝0时,﹣x+3＝0,解得：x＝2,∴C点坐标为（2,0）,∵PD⊥x轴,PE∥x轴,∴∠ACO＝∠DEP,∴Rt△DPE∽Rt△AOC,∴,∴PE＝PD,∴PD+PE＝PD,设点P的坐标为（a,﹣a2+2a+3）,则D点坐标为（a,﹣a+3）,∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣（a﹣）2+,∴PD+PE＝﹣（a﹣）2+,∵﹣＜0,∴当a＝时,PD+PE有最大值为；（3）①当△AOC∽△APD时,∵PD⊥x轴,∠DP A＝90°,∴点P纵坐标是3,横坐标x＞0,即﹣x2+2x+3＝3,解得x＝2,∴点D的坐标为（2,0）；∵PD⊥x轴,∴点P的横坐标为2,∴点P的纵坐标为：y＝﹣22+2×2+3＝3,∴点P的坐标为（2,3）,点D的坐标为（2,0）；②当△AOC∽△DAP时,此时∠APG＝∠ACO,过点A作AG⊥PD于点G,∴△APG∽△ACO,∴,设点P的坐标为（m,﹣m2+2m+3）,则D点坐标为（m,﹣m+3）,则,解得：m＝,∴D点坐标为（,1）,P点坐标为（,）,综上,点P的坐标为（2,3）,点D的坐标为（2,0）或P点坐标为（,）,D点坐标为（,1）．【例2】（2022•衡阳）如图,已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点,将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折,其余部分不变,得到的新图象记为“图象W”,图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点,请结合图象,直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点,过点P作PM∥y轴交直线BC于点M,交图象W于点N,是否存在这样的点P,使△CMN与△OBC相似？若存在,求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】（1）令x＝0和翻折的性质可得C（0,2）,令y＝0可得点A、B的坐标,利用待定系数法即可求出图象W的解析式；（2）利用数形结合找出当y＝﹣x+b经过点C或者y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时,直线y＝﹣x+b 与新图象恰好有三个不同的交点,①当直线y＝﹣x+b经过点C（0,2）时,利用一次函数图象上点的坐标特征,即可求出b值；②当y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时,联立一次函数解析式和抛物线解析式,利用根的判别式Δ＝0,即可求出b值．综上即可得出结论；（3）先确定△BOC是等腰直角三角形,分三种情况：∠CNM＝90°或∠MCN＝90°,分别画图可得结论．【解析】（1）当x＝0时,y＝﹣2,∴C（0,2）,当y＝0时,x2﹣x﹣2＝0,（x﹣2）（x+1）＝0,∴x1＝2,x2＝﹣1,∴A（﹣1,0）,B（2,0）,设图象W的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2）,把C（0,2）代入得：﹣2a＝2,∴a＝﹣1,∴y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2,∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y＝﹣x2+x+2（﹣1＜x＜2）；（2）由图象得直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点时,存在两种情况：①当直线y＝﹣x+b过点C时,与图象W有三个交点,此时b＝2；②当直线y＝﹣x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时,如图1,﹣x+b＝﹣x2+x+2,x2﹣2x+b﹣2＝0,Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（b﹣2）＝0,∴b＝3,综上,b的值是2或3；（3）∵OB＝OC＝2,∠BOC＝90°,∴△BOC是等腰直角三角形,如图2,CN∥OB,△CNM∽△BOC,∵PN∥y轴,∴P（1,0）；如图3,CN∥OB,△CNM∽△BOC,当y＝2时,x2﹣x﹣2＝2,x2﹣x﹣4＝0,∴x1＝,x2＝,∴P（,0）；如图4,当∠MCN＝90°时,△OBC∽△CMN,∴CN的解析式为：y＝x+2,∴x+2＝x2﹣x﹣2,∴x1＝1+,x2＝1﹣（舍）,∴P（1+,0）,综上,点P的坐标为（1,0）或（,0）或（1+,0）．【例3】（2022•桂林）如图,抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A,B两点（点A位于点B的左侧）,与y轴交于C点,抛物线的对称轴l与x轴交于点N,长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A,B,C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）过点P作PM⊥y轴于点M,当△CPM和△QBN相似时,求点Q的坐标．【分析】（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1,0）,B（4,0）,C（0,4）；（2）将C（0,4）向下平移至C',使CC'＝PQ,连接BC'交抛物线的对称轴l于Q,可知四边形CC'QP 是平行四边形,及得CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ,而B,Q,C'共线,故此时CP+PQ+BQ最小,最小值为BC'+PQ的值,由勾股定理可得BC'＝5,即得CP+PQ+BQ最小值为6；（3）由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝,设Q（,t）,则P（,t+1）,M（0,t+1）,N （,0）,知BN＝,QN＝t,PM＝,CM＝|t﹣3|,①当＝时,＝,可解得Q（,）或（,）；②当＝时,＝,得Q（,）．【解析】（1）在y＝﹣x2+3x+4中,令x＝0得y＝4,令y＝0得x＝﹣1或x＝4,∴A（﹣1,0）,B（4,0）,C（0,4）；（2）将C（0,4）向下平移至C',使CC'＝PQ,连接BC'交抛物线的对称轴l于Q,如图：∵CC'＝PQ,CC'∥PQ,∴四边形CC'QP是平行四边形,∴CP＝C'Q,∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ,∵B,Q,C'共线,∴此时CP+PQ+BQ最小,最小值为BC'+PQ的值,∵C（0,4）,CC'＝PQ＝1,∴C'（0,3）,∵B（4,0）,∴BC'＝＝5,∴BC'+PQ＝5+1＝6,∴CP+PQ+BQ最小值为6；（3）如图：由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝,设Q（,t）,则P（,t+1）,M（0,t+1）,N（,0）,∵B（4,0）,C（0,4）；∴BN＝,QN＝t,PM＝,CM＝|t﹣3|,∵∠CMP＝∠QNB＝90°,∴△CPM和△QBN相似,只需＝或＝,①当＝时,＝,解得t＝或t＝,∴Q（,）或（,）；②当＝时,＝,解得t＝或t＝（舍去）,∴Q（,）,综上所述,Q的坐标是（,）或（,）或（,）．【例4】（2022•玉林）如图,已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A,B（2,0）（A在B的左侧）,与y轴交于点C,对称轴是直线x＝,P是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段OC的中点,则△POD能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M,垂足为点H,若以P,M,C为顶点的三角形与△BMH 相似,求点P的坐标．【分析】（1）把点B（2,0）代入y＝﹣2x2+bx+c中,再由对称轴是直线x＝列方程,两个方程组成方程组可解答；（2）当△POD是等边三角形时,点P在OD的垂直平分线上,所以作OD的垂直平分线与抛物线的交点即为点P,计算OD≠PD,可知△POD不可能是等边三角形；（3）分种情况：①当PC∥x轴时,△CPM∽△BHM时,根据PH的长列方程可解答；②②如图3,△PCM∽△BHM,过点P作PE⊥y轴于E,证明△PEC∽△COB,可得结论．【解析】（1）由题意得：,解得：,∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；（2）△POD不可能是等边三角形,理由如下：如图1,取OD的中点E,过点E作EP∥x轴,交抛物线于点P,连接PD,PO,∵C（0,4）,D是OD的中点,∴E（0,1）,当y＝1时,﹣2x2+2x+4＝1,2x2﹣2x﹣3＝0,解得：x1＝,x2＝（舍）,∴P（,1）,∴OD≠PD,∴△POD不可能是等边三角形；（3）设点P的坐标为（t,﹣2t2+2t+4）,则OH＝t,BH＝2﹣t,分两种情况：①如图2,△CMP∽△BMH,∴∠PCM＝∠OBC,∠BHM＝∠CPM＝90°,∴tan∠OBC＝tan∠PCM,∴＝＝＝＝2,∴PM＝2PC＝2t,MH＝2BH＝2（2﹣t）,∵PH＝PM+MH,∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4,解得：t1＝0,t2＝1,∴P（1,4）；②如图3,△PCM∽△BHM,则∠PCM＝∠BHM＝90°,过点P作PE⊥y轴于E,∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°,∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°,∴∠BCO＝∠EPC,∴△PEC∽△COB,∴＝,∴＝,解得：t1＝0（舍）,t2＝,∴P（,）；综上,点P的坐标为（1,4）或（,）．1．（2020秋•兴城市期末）如图,抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4,0）,B（﹣1,0）两点,与y轴交于点C,D为第一象限抛物线上的动点,连接AC,BC,DA,DB,DB与AC相交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1,设△ADE的面积为S1,△BCE的面积为S2,当S1＝S2+5时,求点D的坐标；（3）如图2,过点C作CF∥x轴,点M是直线CF上的一点,MN⊥CF交抛物线于点N,是否存在以C,M,N 为顶点的三角形与△BCO相似？若存在,请直接写出点M的坐标,若不存在,请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法将A（4,0）,B（﹣1,0）代入y＝ax2+bx+4,解方程组即可求得答案；（2）根据题意,当S1＝S2+5,即S△ABD＝S△ABC+5,设D（x,y）,表示出△ABD和△ABC的面积,列方程求解即可；（3）分情况讨论,列出三角形相似的三种情况,画出相应图形,设M（m,4）,则N（m,﹣m2+3m+4）,运用相似三角形性质,建立方程求解即可．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4,0）,B（﹣1,0）两点,∴,解得：,∴y＝﹣x2+3x+4；（2）∵抛物线y＝﹣x2+3x+4与y轴交于点C,令x＝0,则y＝4,∴C（0,4）,∵S1＝S2+5,∴S1+S△AEB＝S2+S△AEB+5,即S△ABD＝S△ABC+5,∵A（4,0）,B（﹣1,0）,∴AB＝5,设D（x,y）,∴×5×y＝×5×4+5,∴y＝6,∴﹣x2+3x+4＝6,解得：x1＝1,x2＝2,∴D1（1,6）,D2（2,6）；（3）设M（m,4）,则N（m,﹣m2+3m+4）,①如图2,△BOC∽△NMC,则＝,∴＝,解得：m＝0（舍去）,m＝,经检验,m＝是原方程的解,∴M（,4）；②如图3,△BOC∽△CMN,则＝,∴＝,解得：m＝0（舍去）,m＝﹣1,经检验,m＝﹣1是原方程的解,∴M（﹣1,4）；③如图4,△BOC∽△NMC,则＝,∴＝,解得：m＝0（舍去）,m＝,经检验,m＝是原方程的解,∴M（,4）；④如图5,△BOC∽△CMN,则＝,∴＝,解得：m＝0（舍去）,m＝7,经检验,m＝7是原方程的解,∴M（7,4）；综上所述,点M的坐标为（,4）或（﹣1,4）或（,4）或（7,4）．2．（2020秋•郴州期末）已知抛物线y＝x2﹣3x+与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边）．（1）求A,B两点的坐标；（2）如图1,若点D是抛物线上在第四象限的点,连接DA并延长,交y轴于点P,过点D作DE⊥x轴于点E．当△APO与△ADE的面积比为＝时．求点D的坐标；（3）如图2,抛物线与y轴相交于点F．若点Q是线段OF上的动点,过点Q作与x轴平行的直线交抛物线于M,N两点（点M在点N的左边）．请问是否存在以Q,A,M为顶点的三角形与△QNA相似？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】（1）在抛物线解析式中,令y＝0则可求得A、B的坐标；（2）证明△AOP∽△AED,根据相似三角形面积的比等于对应边的比的平方列比例式可得AE＝2,从而得点D的横坐标为3,代入抛物线的解析式可得点D的坐标；（3）如图2所示,若以Q,A,M为顶点的三角形与△QNA相似,有两种情况,但是∠QAM与∠QAN不可能相等,所以最后只存在一种情况：△AQM∽△NQA,列比例式可得结论．【解析】（1）当y＝0时,x2﹣3x+＝0,解得：x1＝1,x2＝5,∴A（1,0）,B（5,0）；（2）∵DE⊥x轴,∴∠AED＝90°,∴∠AOP＝∠AED＝90°,∵∠OAP＝∠DAE,∴△AOP∽△AED,∴＝＝,∴＝,∵OA＝1,∴AE＝2,∴OE＝3,当x＝3时,y＝﹣3×3+＝﹣2,∴D（3,﹣2）；（3）如图2,设Q（0,m）,当x＝0时,y＝,∴F（0,）,∵点Q是线段OF上的动点,∴0≤m≤,当y＝m时,x2﹣3x+＝m,x2﹣6x+5﹣2m＝0,x＝3,∴x1＝3+,x2＝3﹣,∴QM＝3﹣,QN＝3+,在Rt△AOQ中,由勾股定理得：AQ＝,∵∠AQM＝∠AQN,∴当△AQM和△AQN相似只存在一种情况：△AQM∽△NQA,∴,∴AQ2＝NQ•QM,即1+m2＝（3+）（3﹣）,解得：m1＝﹣1+,m2＝﹣1﹣（舍）,∴Q（0,﹣1+）．3．（2020秋•长垣市期末）如图1,抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴分别交于点B（6,0）和点C（0,﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点,其横坐标为m,连接PB、PC,当△PBC的面积为时,求m值；（3）如图2,点M是线段OB上的一个动点,过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D,E 两点,是否存在以C,D,E为顶点的三角形与△BDM相似,若存在,请直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】（1）根据点A、B的坐标,利用待定系数法即可求出该抛物线的函数关系式；（2）根据点P是直线BC下方抛物线上一动点,其横坐标为m,表示PH的长,根据三角形的面积列方程解出即可得出结论；（3）先根据两三角形相似判断出∠CED＝∠BMD＝90°或∠DCE＝∠DMB＝90°,进而分两种情况讨论即可得出结论．【解析】（1）把点B（6,0）和点C（0,﹣3）代入得：,解得：,∴抛物线的解析式为；（2）设直线BC的解析式为：y＝ax+n,由点B（6,0）和C（0,﹣3）得：,解得：,∴直线BC的解析式为,如图1,过点P作y轴的平行线交BC于点H,∵点P的坐标为（m,）,PH∥y轴,∴点H的坐标为（m,）,∴PH＝y H﹣y P＝﹣（）＝﹣,x B﹣x C＝6﹣0＝6,∵S△PBC＝PH×6＝（﹣）×6＝﹣＝,解得：m1＝1,m2＝5,∴m值为1或5；（3）如图2,∵∠CDE＝∠BDM,△CDE与△BDM相似,∴∠CED＝∠BMD＝90°或∠DCE＝∠DMB＝90°,设M（x,0）,①当∠CED＝∠BDM＝90°,∴CE∥AB,∵C（0,﹣3）,∴点E的纵坐标为﹣3,∵点E在抛物线上,∴x2﹣x﹣3＝﹣3．∴x＝0（舍）或x＝5,∴M（5,0）；②当∠DCE＝∠DMB＝90°,∵OB＝6,OC＝3,∴BC＝＝3,由（2）知直线BC的关系式为y＝x﹣3,∴OM＝x,BM＝6﹣x,DM＝3﹣x,由（2）同理得ED＝﹣+3x,∵DM∥OC,∴,即,∴CD＝,∴BD＝BC﹣CD＝﹣x,∵△ECD∽△BMD,∴,即＝,∴＝x（3﹣x）2,x（6﹣x）（1﹣x）＝0,x1＝0（舍）,x2＝6（舍）,x3＝1,∴M（1,0）；综上所述：点M的坐标为（5,0）或（1,0）．4．（2021秋•邹城市期末）如图,已知抛物线y＝x2+2x的顶点为A,直线y＝x+2与抛物线交于B,C两点．（1）求A,B,C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D,求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,则是否还存在除C点外的其他位置的点,使以O,P,M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在,请求出这样的P点坐标；若不存在,请说明理由．【分析】（1）将抛物线配方后可得顶点A的坐标,将抛物线和一次函数的解析式联立方程组,解出可得B和C的坐标；（2）先根据两点的距离计算AB、BC、AC的长,根据勾股定理的逆定理可得：∠ABC＝90°,最后根据两边的比相等且夹角为90度得两三角形相似；（3）存在,设M（x,0）,则P（x,x2+2x）,表示OM＝|x|,PM＝|x2+2x|,分两种情况：有＝或＝,根据比例式代入可得对应x的值,计算点P的坐标即可．【解答】（1）解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1,∴顶点A（﹣1,﹣1）；由,解得：或∴B（﹣2,0）,C（1,3）；（2）证明：∵A（﹣1,﹣1）,B（﹣2,0）,C（1,3）,∴AB＝＝,BC＝＝3,AC＝＝2,∴AB2+BC2＝AC2,＝＝,∴∠ABC＝90°,∵OD＝1,CD＝3,∴＝,∴,∠ABC＝∠ODC＝90°,∴△ODC∽△ABC；（3）存在这样的P点,设M（x,0）,则P（x,x2+2x）,∴OM＝|x|,PM＝|x2+2x|,当以O,P,M为顶点的三角形与△ABC相似时,有＝或＝,由（2）知：AB＝,CB＝3,①当＝时,则＝,当P在第二象限时,x＜0,x2+2x＞0,∴,解得：x1＝0（舍）,x2＝﹣,当P在第三象限时,x＜0,x2+2x＜0,∴＝,解得：x1＝0（舍）,x2＝﹣,②当＝时,则＝3,同理代入可得：x＝﹣5或x＝1（舍）,综上所述,存在这样的点P,坐标为（﹣,﹣）或（﹣,）或（﹣5,15）．5．（2021秋•攸县期末）如图,已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N．①求点M和点N的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点Q,使|AQ﹣BQ|的值最大,请直接写出点Q的坐标；③是否存在点P,使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在,求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在,请说明理由．【分析】（1）①函数的对称轴为：x＝﹣＝,故点M（,）,即可求解；②设抛物线与x轴左侧的交点为R（﹣1,0）,则点A与R关于抛物线的对称轴对称,连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q,则点Q为所求,即可求解；③四边形MNPD为菱形,首先PD＝MN,即（﹣2x2+2x+4）﹣（﹣2x+4）＝,解得：x＝或（舍去）,故点P（,1）,而PN＝＝≠MN,即可求解；（2）分∠DBP为直角、∠BDP为直角两种情况,分别求解即可．【解析】（1）①函数的对称轴为：x＝﹣＝,故点M（,）,当x＝时,y＝﹣2x+4＝3,故点N（,3）；②设抛物线与x轴左侧的交点为R（﹣1,0）,则点A与R关于抛物线的对称轴对称,连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q,则点Q为所求,将R、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线RB的表达式为：y＝4x+4,当x＝时,y＝6,故点Q（,6）；③不存在,理由：设点P（x,﹣2x+4）,则点D（x,﹣2x2+2x+4）,MN＝﹣3＝,四边形MNPD为菱形,首先PD＝MN,即（﹣2x2+2x+4）﹣（﹣2x+4）＝,解得：x＝或（舍去）,故点P（,1）,而PN＝＝≠MN,故不存在点P,使四边形MNPD为菱形；（2）当点P的横坐标为1时,则其坐标为：（1,2）,此时点A、B的坐标分别为：（2,0）、（0,4）,①当∠DBP为直角时,以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似,则∠BAO＝∠BDP＝α,tan∠BAO＝＝2＝tanα,则sinα＝,P A＝,PB＝AB﹣P A＝2﹣＝,则PD＝＝,故点D（1,）；②当∠BDP为直角时,以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似,则BD∥x轴,则点B、D关于抛物线的对称轴对称,故点D（1,4）,综上,点D的坐标为：（1,4）或（1,）,将点A、B、D的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+bx+c并解得：y＝﹣2x2+2x+4或y＝﹣x2+3x+4．6．（2022•禹城市模拟）如图,抛物线经过A（4,0）,B（1,0）,C（0,﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限上的一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由；（3）若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得S△DCA＝S△ABC,直接写出点D的坐标．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）设P（t,﹣t2+t﹣2）,则M（t,0）,1＜t＜4,分两种情况讨论：①当∠P AM＝∠OAC时,tan。
中考数学压轴题专项训练十套(含答案)
做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A(1，1)，B(3，1)．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过点P作PQ⊥OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0<t<4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟 日 期：_____月_____日三、解答题23. （11分）如图，抛物线22++=bx ax y 与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ，点P 是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标．（2）点E 在x 轴上，若以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标．（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ．若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q ′，是否存在点P ，使点Q ′恰好在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．备用图做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图，已知直线112y x=-+与坐标轴交于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E．（1）请直接写出C，D两点的坐标，并求出抛物线的解析式；（2个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止，设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．备用图做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(-3，0)，点B(1，0)，交y轴于点E(0，-3)．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=-x+m过点C，交y轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线，交直线CD于点H，交抛物线于点G，求线段HG长度的最大值；（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．备用图做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟 日 期：_____月_____日三、解答题23. （11分）如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x =-与抛物线214y x bx c =-++交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A ，B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ． ①设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值．②连接PA ，以PA 为边作图示一侧的正方形APFG ．随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F 或G 恰好落在y 轴上时，直接写出对应的点P 的坐标．备用图做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟 日 期：_____月_____日三、解答题23. （11分）如图1，点A 为抛物线C 1：2122y x =-的顶点，点B 的坐标为(1，0)，直线AB 交抛物线C 1于另一点C ．（1）求点C 的坐标；（2）如图1，平行于y 轴的直线x =3交直线AB 于点D ，交抛物线C 1于点E ，平行于y 轴的直线x =a 交直线AB 于点F ，交抛物线C 1于点G ，若FG :DE =4:3，求a 的值；（3）如图2，将抛物线C 1向下平移m （m >0）个单位得到抛物线C 2，且抛物线C 2的顶点为P ，交x 轴负半轴于点M ，交射线AB 于点N ，NQ ⊥x 轴于点Q ，当NP 平分∠MNQ 时，求m 的值．图1 图2做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(0，，点B在x轴正半轴上，且∠ABO=30°．动点P在线段AB上，从点A向点B个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边三角形PMN．（1）求直线AB的解析式；（2）求等边三角形PMN的边长（用含有t的代数式表示），并求出当等边三角形PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边三角形PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．图2图1做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为( 2，2)，点B的坐标为(6，6)，抛物线经过A，O，B三点．连接OA，OB，AB，线段AB交y 轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O，B重合），直线EF与抛物线交于M，N两点（点N在y轴右侧），连接ON，BN，当点F在线段OB 上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；（4）连接AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN 相似（点B，O，P分别与点O，A，N对应）的点P的坐标．做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为( 1，0)，(5，0)，(0，2)．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式．（2）点P从点A出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向点B移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．设点P运动的时间为t（0≤t≤6）秒，△PBF的面积为S．①求S与t的函数关系式；②当t为何值时，△PBF的面积最大？最大面积是多少？（3）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．备用图做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(-4，0)，点B的坐标是(0，b)（b>0）．P是直线AB上的一个动点，作PC ⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为a．（1）当b=3时，①求直线AB的解析式；②若点P′的坐标是(-1，m)，求m的值．（2）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当P′D:DC=1:3时，求a的值．（3）是否同时存在a，b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．23．（1）21433y x x =-+； （2）22102412311143422tt S t t t t t ⎧<⎪⎪=-<⎨⎪⎪-+-<<⎩≤≤（）（）（）； （3）存在，t =1或2．中考数学压轴题专项训练（二）参考答案23．（1）213222y x x =-++，(3 2)，D ； （2）123(0 2) 2) 2)，，，P P P --； （3）存在，点P的坐标为 (或．中考数学压轴题专项训练（三）参考答案中考数学压轴题专项训练（四）参考答案中考数学压轴题专项训练（六）参考答案中考数学压轴题专项训练（七）参考答案中考数学压轴题专项训练（八）参考答案中考数学压轴题专项训练（十）参考答案。
2020挑战压轴题中考数学强化训练第二部分_一、图形的平移
第二部分填空题、选择题中的动态图形训练题一、图形的平移1、在平面直角坐标系中，点A向右平移4个单位得到点B，点B向下平移3个单位得到点C·那么△ABC 的面积为2、直线y=2x-1向上平移3个单位后得到的直线不经过第象限3、抛物线y=-x2+2x+1向下平移4个单位后得到的抛物线的解析式是4、将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到新抛物线的表达式为5、平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别是A（m,n）、B（2，-1）、C（-m，-n），则点D的坐标是（）6、如图，△ABC中，BC=5cm，将△ABC沿BC方向平移至△A'B‘C'的位置时，A'B恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为7、如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，如果一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC’=8、如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为9、如图，△ABC中，AB=AC,BC=12cm，点D在AC上，DC=4m，将线段DC沿CB方向平移7cm得到线段EF，点E、F分别落在边AB、BC上，则△BF的周长为10、如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1,0）、（4,0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x-6上时，线段BC扫过的面积为11、小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形如图所示，现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形的顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有（）A、3个（B）4个（C）5个（D）无数12、如图，在平面直角坐标系中，点A、C在x轴上，点C的坐标为（-1,0），AC=2.将Rt△ABC先绕点C 顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标是（）（A）（2,2）（B）（1,2）（C）（-1,2）（D）（2，-1）13、在平面直角坐标系中，将点A（-1，-2）向右平移3个单位得到点B，则点B关于x轴的对称点B的坐标为（）（A）（-3，-2）（B）（2,2）C（-2,2）D（2，-2）14、已知抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m>0）个单位，平移后的抛物线与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），若B、C是线段AD的三等分点，则m的值为15、将直线y=2x-3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为16、如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A2），B（1,1）。
挑战中考压轴题_圆压轴100题
第100题(2010.广东省深圳市中考模拟)如图是一圆形纸片，AB 是直径，BC 是弦，将纸片沿弦BC 折叠后，劣弧BC 与AB 交于点D ，得到BDC ．（1）若BD ︵＝CD ︵，求证：BDC 必经过圆心O ； （2）若AB ＝8，BD ︵＝2CD ︵，求BC 的长．如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y=14x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．（1）求B点坐标；（2）求证：ME是⊙P的切线；如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=12 BC．（1）求∠BAC的度数；（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形；（3）若BD=6，CD=4，求AD的长．已知：如图，抛物线y=13x2-233x+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB=90°，（1）求m的值及抛物线顶点坐标；（2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连接DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；（3）在条件（2）下，设P为CBD上的动点（P不与C、D重合），连接PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足: AH•AP=k？如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．如图1所示，以点M（-1，O）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A，B，C，D，直线y=3-3x-533与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（2）如图2所示，弦HQ交x轴于点P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值；（3）如图3所示，点K为线段EC上一动点（不与E，C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN•MK=a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．第095题(自选)如图，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧BC上一个动点，且A（-1，0），E（1，0）．（1）求点C的坐标；（2）连接PA，PC．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段AQ的长度是否发生变化；若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；（3）连接PD，当P点在运动时（不与B、C两点重合），求证：PC PDPA的值不变如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，以HF为直径的圆与AB、BC、CD、DA相切，切点分别是E、F、G、H．其中H 为AD的中点，F为BC的中点．连接HG、GF．（1）若HG和GF的长是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根，求⊙O的直径HF（用含k的代数式表示），并求出k的取值范围．（2）如图，连接EG、DF. EG与HF交于点M，与DF交于点N，求GNNE的值．直线y=-x+m与直线y=3-3x+2相交于y轴上的点C，与x轴分别交于点A、B．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）经过上述A、B、C三点作⊙E，求∠ABC的度数，点E的坐标和⊙E的半径；（3）若点P是第一象限内的一动点，且点P与圆心E在直线AC的同一侧，直线PA、PC分别交⊙E于点M、N，设∠APC=θ，试求点M、N的距离．（可用含θ的三角函数式表示）AB是⊙O的直径，点E是半圆上一动点（点E与点A、B都不重合），点C是BE延长线上的一点，且CD⊥AB，垂足为D，CD与AE交于点H，点H与点A不重合．（1）求证：△AHD∽△CBD；（2）连HO，若CD=AB=2，求HD+HO的值．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-2x-8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．（1）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形．在平面直角坐标系xoy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（-2，0），AE=8．（1）求点C的坐标；（2）连接MG、BC，求证：MG∥BC；（3）过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M的圆周上运动时，OFPF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．（1）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN= 2OM；（2）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1= 2OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）当0B=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若tan∠CED=12，⊙O的半径为3，求OA的长．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连接AD、BD．（1）求证：∠ADB=∠E；（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由．（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．第085题(2009.北京市房山区九上期末)如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB为等边三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．（1）判断点C是否为弧OB的中点？并说明理由；（2）求B、C两点的坐标及直线CD的函数解析式；（3）点P在线段OB上，且满足四边形OPCD是等腰梯形，求点P坐标．第084题(自选)如图，直角坐标系中，已知两点O（0，0），A（2，0），点B在第一象限且△OAB为正三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．（1）求B，C两点的坐标；（2）求直线CD的函数解析式；（3）设E，F分别是线段AB，AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．试探究：△AEF的最大面积．在Rt△ABC中，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D，DE⊥DB交AB于点E．（1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径；（3）设⊙O交BC于点F，连接EF，求EFAC的值．如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．（1）求证：AB=AC；（2）当ABBC=54时，①求tan∠ABE的值；②如果AE=2011，求AC的值．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2-2），求⊙O的面积．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P．（1）若PC=PF，求证：AB⊥ED；（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2=AF•AC，cos∠ABD=35，AD=12．（1）求证：△ANM≌△ENM；（2）求证：FB是⊙O的切线；（3）证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．（1）如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的1 3（2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的1 3第076题(2010.辽宁省铁岭市)如图，已知矩形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O直径，将△BCD沿BD所在的直线翻折后，得到点C的对应点N仍在⊙O上，BN交AD与点M．若∠AMB=60°，⊙O的半径是3cm．（1）求点O到线段ND的距离；（2）过点A作BN的平行线EF，判断直线EF与⊙O的位置关系并说明理由．如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE，CD=3，∠ACB=30°．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）分别求AB，OE的长；（3）如果以点E为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1，则求r的取值范围.如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF=4，DE=3，求AD的长．如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=12AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．（1）如图1，求证：△PCD∽△ABC；（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由；（3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．第072题(2006.山东省莱芜市)半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知43BCCA，点P在AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；（2）当点P运动到AB的中点时，求CQ的长；（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．第071题(2010.湖北省荆门市中考)如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知43BCCA，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（1）求证：AC•CD=PC•BC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．第070题(2006.山东省烟台市中考)如图，已知点C在⊙O上，延长直径AB到点P，连接PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AC=PC，且PB=3，M是⊙O下半圆弧上一动点，当M点运动到使△ABM的面积最大时，CM交AB于点N，求MN•MC的值．第069题(2011.江苏省镇江市实验学校中考数学二模)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求∠P的度数；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，AB=4，求线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积．第068题(2011.北京市昌平区中考数学二模试卷)如图，已知点C在⊙O上，延长直径AB到点P，连接PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AC=PC，且PB=3，M是⊙O下半圆弧的中点，求MA的长．第067题(自选)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，求∠CNA的度数．第066题(2010.内蒙古包头市中考)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=12 AB；（3）点M是AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值．第065题(2012.江苏省南京市江宁区中考数学一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，斜边AC的垂直平分线交BC于D点，交AC于E点，连接BE．（1）直线BE是否与△DEC的外接圆⊙O相切？为什么？（2）当AB=3时，求图中阴影部分的面积．第064题(2010.陕西省中考)如图，在Rt△ABC中∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC与D点，交AC与E点，连接BE．（1）若BE是△DEC的外接圆的切线，求∠C的大小；（2）当AB=1，BC=2时，求△DEC外接圆的半径．第063题(2011.江苏省无锡市锡中实验学校九上期中考试)四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上任意一点，且CD切⊙O于点D．（1）试求∠AED的度数．（2）若⊙O的半径为32cm，试求：△ADE面积的最大值．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点，交AD于点G，交AB于点F．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若AB=5，BC=8，求⊙O的半径．（3）若∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．如图，△ABC内接于⊙O，且∠B=60°．过点C作圆的切线l与直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G．（1）求证：△ACF≌△ACG；（2）若AF=43，求图中阴影部分的面积．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC．（1）求证：FB=FC；（2）求证：FB2=FA•FD；（3）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧AB上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．（1）求证：PM=PN；（2）若BD=4，PA=32AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，点D是BC的中点．BC，AB边上的高AE，CF相交于点H．试证明：（1）∠FAH=∠CAO；（2）四边形AHDO是菱形．第055题(2008.陕西省中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的∠ACB的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB 交于点E，连接DE．（1）求证：AC=AE；（2）求AD的长．第054题(2008.山东省枣庄市中考)已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=15．（1）求证：AM•MB=EM•MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值．第053题(2012.四川省成都市金牛区重点学校中考二模)已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=15．（1）求证：AM•MB=EM•MC；（2）求sin∠EOB的值；（3）若P是直径AB延长线上的点，且BP=12，求证：直线PE是⊙O的切线．如图，AB为⊙O的直径，OE交弦AC于点P，交AM于点M，且AM=CM．（1）求证：OP=12 BC；（2）如果AE2=EP•EO，且AE=65，BC=6，求⊙O的半径．如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．（1）求证：AE•FD=AF•EC；（2）求证：FC=FB；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径R的长．。
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目录第一部分压轴题强化训练题专题训练一等腰三角形的存在性问题专题训练二相似三角形的存在性问题专题训练三直角三角形的存在性问题专题训练四平行四边形的存在性问题专题训练五梯形的存在性问题专题训练六面积的存在性问题专题训练七相切的存在性问题专题训练八线段和差最值的存在性问题专题训练九由比例线段产生的函数关系问题专题训练十由面积产生的函数关系问题专题训练十一代数计算及通过代数计算进行说理问题专题训练十二几何证明及通过几何计算进行说理问题第二部分填空题选择题中的动态图形训练题一、图形的平移二、图形的翻折三、图形的旋转四、三角形五、四边形六、圆七、函数的图象及性质参考答案专题训练一等腰三角形的存在性问题典藏回顾我们收集、解读近5年全国各地的中考数学压轴题，以全省（市）统一考试的北京、上海、重庆、山西、陕西、河南、河北、江西、安徽、海南和以市为单位统一考试的江苏、浙江、广东、山东、湖北、湖南、福建、四川、辽宁等地的试题为样本，分析各地考试压轴题的常见类型。
等腰三角形的存在性问题是中考数学的热点问题，近五年上海、重庆和江苏、浙江、广东、湖北等省份的部分市考到过这个问题，也是上海各区模拟考试的热点．专题攻略如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．针对训练1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．（09上海24）2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．（08南汇25）3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标．三年真题4．（12临沂26）如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．（11湖州24）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图26．（10南通27）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE =x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ （3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？两年模拟7．（2012年福州市初中毕业班质量检查第21题）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，DE ＝4．动线段DE （端点D 从点B 开始）沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当端点E 到达点C 时运动停止．过点E 作EF //AC 交AB 于点F （当点E 与点C 重合时，EF 与CA 重合），联结DF ，设运动的时间为t 秒（t ≥0）．（1）直接写出用含t 的代数式表示线段BE 、EF 的长；（2）在这个运动过程中，△DEF 能否为等腰三角形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由；（3）设M 、N 分别是DF 、EF 的中点，求整个运动过程中，MN 所扫过的面积．8．（宁波七中2012届保送生推荐考试第26题）如图，在平面直角坐标系xoy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，且AB ＝3，BC ＝32，直线y ＝323-x 经过点C ，交y 轴于点G ．（1）点C 、D 的坐标分别是C （ ），D （ ）； （2）求顶点在直线y ＝323-x 上且经过点C 、D 的抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线沿直线y ＝323-x 平移，平移后的抛物线交y 轴于点F ，顶点为点E （顶点在y 轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG 为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．自编原创9．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC 边上，∠ADE＝∠B．设BD的长为x，CE的长为y．（1）当D为BC的中点时，求CE的长；（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△ADE为等腰三角形，求x的值．备用图备用图参考答案:1．因为D（3，4），所以OD＝5，3 cos5DOP∠=．①如图1，当PD＝PO时，作PE⊥OD于E．在Rt△OPE中，3cos5OEDOPOP∠==，52OE=，所以256OO=．此时点P的坐标为25(,0) 6．②如图2，当OP＝OD＝5时，点P的坐标为(5，0)．③如图3，当DO＝DP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为(6，0)．第1题图1 第1题图2 第1题图32．在Rt △ABC 中，10862222=+=+=BC AB AC .因此4cos 5ACB∠=. 在△PQC 中，CQ ＝t ，CP ＝10－2t .第2题图1 第2题图2 第2题图3 ①如图1，当CP CQ =时，102t t =-，解得103t =(秒). ②如图2，当QP QC =时，过点Q 作QM ⊥AC 于M ，则CM ＝152PC t ==-. 在Rt △QMC 中，45cos 5CM t QCM CQ t -∠===，解得259t =(秒). ③如图3，当PC PQ =时，过点P 作PN ⊥BC 于N ，则CN ＝1122QC t ==. 在Rt △PNC 中，142cos 5102tCNPCN CP t∠===-，解得8021t =(秒). 综上所述，当t 为秒秒、秒、2180925310时，△PQC 为等腰三角形.3．由y ＝2x ＋2得，A (－1，0)，B (0，2)．所以OA ＝1，OB ＝2． 如图，由△AOB ∽△QOP 得，OP ∶OQ ＝OB ∶OA ＝2∶1． 设点Q 的坐标为(0，m )，那么点P 的坐标为(2m ，0)．因此AP 2＝(2m ＋1)2，AQ 2＝m 2＋1，PQ 2＝m 2＋(2m )2＝5m 2．①当AP ＝AQ 时，AP 2＝AQ 2，解方程(2m ＋1)2＝m 2＋1，得0m =或43m =-．所以符合条件的点P 不存在．②当P A ＝PQ 时，P A 2＝PQ 2，解方程(2m ＋1)2＝5m 2，得25m =±．所以(425,0)P +． ③当QA ＝QP 时，QA 2＝QP 2，解方程m 2＋1＝5m 2，得12m =±．所以(1,0)P ．第3题图4．（12临沂26）（1）如图，过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ．在Rt △OBC 中，∠BOC ＝30°，OB ＝4，所以BC ＝2，23OC =． 所以点B 的坐标为(2,23)--．（2）因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)，代入点B (2,23)--，232(6)a -=-⨯-．解得3a =-． 所以抛物线的解析式为23323(4)y x x x x =--=-+．（3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得23y =±． 当P 在(2,23)时，B 、O 、P 三点共线．②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==-． ③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-． 综合①、②、③，点P 的坐标为(2,23)-．第4题图5．（11湖州24）（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MCBD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图1）． ②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-． 解得43m =（如图2）或4m =（不合题意，舍去）． ③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图3）或2m =（不合题意，舍去）． 综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．第5题图1 第5题图2 第5题图3[另解]第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图1，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ． 所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32m =． ②如图2，当P A ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上． 所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43m =． （3）点H 所经过的路径长为5π．思路是这样的： 如图4，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图5，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．第5题图4 第5题图6．（10南通27）(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ． 又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ． 因此DC EBCE BF=，即8m x x y -=． 整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m=-+．(2)如图1，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+． 因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．(3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=． 解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况． 因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m=，得m ＝6（如图2）； 将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图3）．第6题图1 第6题图2 第6题图37．（1）4BE t =+，5(4)8EF t =+．（2）△DEF 中，∠DEF ＝∠C 是确定的．①如图1，当DE ＝DF 时，DE EFAB BC =，即5(4)481016t +=．解得15625t =． ②如图2，当ED ＝EF 时，54(4)8t =+．解得125t =．③如图3，当FD ＝FE 时，FE AC DE BC=，即5(4)108416t +=．解得0t =，即D 与B 重合．第7题图1 第7题图2 第7题图3（3）MN 是△FDE 的中位线，MN //DE ，MN ＝2，MN 扫过的形状是平行四边形． 如图4，运动结束，N 在AC 的中点，N 到BC 的距离为3； 如图5，运动开始，D 与B 重合，M 到BC 的距离为34．所以平行四边形的高为39344-=，面积为99242⨯=．第7题图4 第7题图58．（1）(4,23)C ，(1,23)D ．（2）顶点E 在AB 的垂直平分线上，横坐标为52，代入直线y ＝323-x ，得3y设抛物线的解析式为253()2y a x =-(4,23)C ，可得23a =．所以物线的解析式为22353)2y x -．（3）由顶点E 在直线y ＝323-x 上， 可知点G 的坐标为(0,23)-，直线与y 轴正半轴的夹角为30°， 即∠EGF ＝30°．设点E 的坐标为(323)m m -，那么EG ＝2m ，平移后的抛物线为223)323y x m m --F 的坐标为223323)m -． ①如图1，当GE ＝GF 时，y F －y G ＝GE ＝2m 22332m m =． 解得m ＝0332．m ＝0时顶点E 在y 轴上，不符合题意．此时抛物线的解析式为2233733)32y x =+②如图2，当EF ＝EG 时，FG ＝23E x 223323m m =．解得m ＝0或32．此时抛物线的解析式为22333()322y x =--．③当顶点E 在y 轴右侧时，∠FEG 为钝角，因此不存在FE ＝FG 的情况．第8题图1 第8题图29．（1）当D 为BC 的中点时，AD ⊥BC ，DE ⊥AC ，CE 83=． （2）如图1，由于∠ADC ＝∠ADE ＋∠1，∠ADC ＝∠B ＋∠2，∠ADE ＝∠B ， 所以∠1＝∠2．又因为AB ＝AC ，所以∠C ＝∠B ．所以△DCE ∽△ABD ．因此DC CE AB BD =，即86x yx-=．整理，得21463y x x =-+．x 的取值范围是0≤x ≤8．（3）①如图1，当DA ＝DE 时，△DCE ≌△ABD ．因此DC ＝AB ，8－x ＝6．解得x ＝2． ②如图2，当AD ＝AE 时，D 与B 重合，E 与C 重合，此时x ＝0．③如图3，当EA ＝ED 时，∠DAE ＝∠ADE ＝∠B ＝∠C ，所以△DAC ∽△ABC ．因此8668x -=．解得72x =．第9题图1 第9题图2 第9题图3专题训练四平行四边形的存在性问题典藏回顾平行四边形的存在性问题是中考数学的热点问题，近五年上海、山西、河南、江西和以市为单位统一考试的江苏、浙江、山东、湖北、福建、四川等省份的部分市考到过这个问题，也是上海各区模拟考试的热点．专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便．针对训练1．如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P．若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．(11金山24)2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．（11普陀24）3．将抛物线c 1：233y x =-+沿x 轴翻折，得到抛物线c 2，如图所示．现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．(11江西24)三年真题4．（11上海24）已知平面直角坐标系xOy （如图），一次函数334y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图像上，且MO ＝MA ．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ． （1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图像上，点D 在一次函数334y x =+的图像上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．5．（12福州21）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．图1 图26．（11成都28）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|∶|OB|＝1∶5，|OB|＝|OC|，△ABC的面积S△ABC＝15，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A、B、C三点．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为72？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．两年模拟7．（2012年从化市初三综合测试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3a经过A(－1,0)、B(0,3)两点，与x轴交于另一点C，顶点为D．（1）求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；（2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；（3）如图2，P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ 的最大面积和此时Q点的坐标．图1 图28．（2012年高安市九年级模拟考试）已知抛物线2(2)y a x b=-+(0)ab<的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B在点C的左侧）．（1)直接写出抛物线对称轴方程；（2）若抛物线经过原点，且△ABC为直角三角形，求a，b的值；（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A、B、C、D为顶点的四边形能否为正方形？若能，请求出a，b满足的关系式；若不能，说明理由．自编原创9．如图，已知双曲线6yx=与直线AB交于A、B两点，与直线CD交于C、D两点．（1）求证四边形ACBD是平行四边形；（2）四边形ACBD可能是矩形吗？可能是正方形吗？（3）如果点A的横坐标为3，点C的横坐标为m(m＞0)，四边形ACBD的面积为S，求S 与m的之间的关系式．参考答案:1．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)＝－(x＋1)2＋4，得A（－3，0），B（1，0），C（0，3），P（－1，4）．如图，过△P AC的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点M．①因为AM1//PC，AM1＝PC，那么沿PC方向平移点A可以得到点M1．因为点P(－1，4)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位可以与点C(0，3)重合，所以点A(－3，0)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位就得到点M1(－2，－1)．②因为AM2//CP，AM2＝CP，那么沿CP方向平移点A可以得到点M2．因为点C(0，3)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以与点P(－1，4)重合，所以点A(－3，0)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位就得到点M2(－4，1)．③因为PM3//AC，PM3＝AC，那么沿AC方向平移点P可以得到点M3．因为点A(－3，0)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位可以与点C(0，3)重合，所以点P(－1，4)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位就得到点M3(2，7)．第1题图2．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图1，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P关于AB 的中点（1，0）对称，所以点M的横坐标为2．当x＝2时，y =－x2+2x＋3＝3．此时点M的坐标为(2，3)．②如图2，图3，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．如图2，当x＝4时，y =－x2+2x＋3＝－5．此时点M的坐标为(4，－5)．如图3，当x＝－4时，y =－x2+2x＋3＝－21．此时点M的坐标为(－4，－21)．第2题图1 第2题图2 第2题图33． 抛物线c 1：233y x =-+与x 轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为(0,3)． 抛物线c 1向左平移m 个单位长度后，顶点M 的坐标为(,3)m -，与x 轴的两个交点为(1,0)A m --、(1,0)B m -，AB ＝2．抛物线c 2在平移的过程中，与抛物线c 1关于原点对称．所以四边形AMEN 是平行四边形．如果以点四边形AMEN 是矩形，那么AE ＝MN ．所以OA ＝OM ．而OM 2＝m 2＋3，所以(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1（如图）．第3题图[另解]探求矩形ANEM ，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形ABM 中，因为AB ＝2，AB 3ABM 是等边三角形． 同理△DEN 是等边三角形．当四边形ANEM 是矩形时，B 、D 两点重合． 因为起始位置时BD ＝2，所以平移的距离m ＝1．4．（1）当x ＝0时，3334y x =+=，所以点A的坐标为(0，3)，OA ＝3． 如图1，因为MO ＝MA ，所以点M 在OA 的垂直平分线上，点M 的纵坐标为32． 将32y =代入32y x =，得x ＝1．所以点M 的坐标为3(1,)2．因此13AM =． （2）因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (0，3)、M 3(1,)2，所以3,31.2c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩解得52b =-，3c =．所以二次函数的解析式为2532y x x =-+．（3）如图2，设四边形ABCD 为菱形，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ． 在Rt △ADE 中，设AE ＝4m ，DE ＝3m ，那么AD ＝5m ． 因此点C 的坐标可以表示为(4m ，3－2m )．将点C(4m ，3－2m )代入2532y x x =-+，得23216103m m m -=-+． 解得12m =或者m ＝0（舍去）． 因此点C 的坐标为（2，2）．第4题图1 第4题图25．（1）QB＝8－2t，PD＝43t．（2）当点Q的速度为每秒2个单位长度时，四边形PDBQ不可能为菱形．说理如下：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．已知PD//BC，当PQ//AB时，四边形PDBQ为平行四边形．所以CQ CPCB CA=，即2686t t-=．解得125t=．此时在Rt△CPQ中，245CQ=，2456sin54CQPQCPQ==⨯=∠．所以2416855BQ CB CQ=-=-=，6BD PQ==．因此BQ≠BD．所以四边形PDBQ不是菱形．如图1，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ 是菱形．过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．在Rt△APE中，23cos5AEAAP t===，所以103t=．当PQ//AB时，CQ CPCB CA=，即106386CQ-=．解得329CQ=．所以点Q的运动速度为3210169315÷=．第5题图1（3）以C为原点建立直角坐标系．如图2，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．如图3，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．直线EF的解析式是y＝－2x＋6．如图4，PQ的中点M的坐标可以表示为（62t-，t）．经验证，点M（62t-，t）在直线EF上．所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝25．第5题图2 第5题图3 第5题图4 [另解]第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得930,4,42 2.a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得a＝0，b＝－2，c＝6．所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．6．（1）设OA的长为m，那么OB＝OC＝5m．由△ABC的面积S△ABC＝15，得m＝5．所以点A、B、C的坐标分别为(－1，0)、(5，0)、(0，－5)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋1) (x－5)，代入点C(0，－5)，得a＝1．所以抛物线的解析式为y＝(x＋1) (x－5)＝x2－4 x－5．（2）抛物线的对称轴为直线x＝2，设点E在对称轴右侧，坐标为(x，x2－4 x－5)．①如图1，当E在x轴上方时，EF＝2(x－2)，EH＝x2－4 x－5．解方程2(x－2)＝x2－4 x－5，得310x=+或310x=-（舍去）．此时正方形的边长为2210+．②如图2，当E在x轴下方时，EF＝2(x－2)，EH＝－(x2－4 x－5)．解方程2(x－2)＝－(x2－4 x－5)，得110x=+或110x=-（舍去）．此时正方形的边长为210．第6题图1 第6题图2 第6题图3 （3）如图3，因为点B、C的坐标分别为(5，0)、(0，－5)，所以BC与x轴正半轴的夹角为45°．过点B作BM⊥BC，且使得BM＝72过点M作x轴的垂线，垂足为N，那么△BMN是等腰直角三角形．在Rt△BMN中，斜边BM＝72BN＝MN＝7．因此点M的坐标为(－2，7)或(12，－7)．经检验，点(－2，7)在抛物线y＝(x＋1) (x－5)上；点(12，－7)不在这条抛物线上．所以点M的坐标是(－2，7)．[另解]第（3）题也可以这样思考：设抛物线上存在点M，设点M的坐标为(x，x2－4 x－5)．由于△BMN是等腰直角三角形，BN＝MN，所以5－x＝x2－4 x－5．解得x＝－2或x＝5（与点B重合，舍去）．所以点M的坐标是(－2，7)．这种解法不需要分情况讨论点M的位置，这是因为：当M在点B的右侧时，方程为x－5＝－(x2－4x－5)，这个方程和点M在点B的左侧时的方程是同一个方程．7．（1）抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，C (3,0)，顶点D (1,4)．（2）如图1，直线BD 为y ＝x ＋3，E (－3,0)．过△ABE 的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交，得到三个点F ．① 点E (－3,0)向左平移2个单位得到点A (－1,0)，那么点B (0,3) 向左平移2个单位得到点F 1(2,3)．经验证，F 1(2,3)在抛物线上．② F 2不在抛物线上．③由B (0,3)先向下平移3个单位，再向左平移3个单位得到点E (－3,0)，那么点A (－1,0) 先向下平移3个单位，再向左平移3个单位得到点F 3(－4,－3)．经验证，F 3(－4,－3)不在抛物线上．（3）如图2，直线AP 的解析式为y ＝x ＋1．过点Q 作y 轴的平行线交AP 于H ．设Q (x , －x 2＋2x ＋3)，那么H (x , x ＋1)．因此S △APQ ＝S △AQH ＋S △PQH ＝211()(2)322P A QH x x x x -=-++⨯23127()228x =--+． 所以当12x =时，△APQ 的最大面积为827．此时Q )415,21(．第7题图1 第7题图28．（1）抛物线对称轴是直线x ＝2． （2）点B (0,0)关于对称轴x ＝2对称的点C 为(4,0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)．当△ABC 为直角三角形时，△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°． 所以点A 的坐标为(2,2)或(2,－2)．①将A (2,2)代入y ＝ax (x －4)，得12a =-．于是211(4)222y x x x x =--=-+．因此2b =． ②当A (2,－2)代入y ＝ax (x －4)，得12a =．于是211(4)222y x x x x =-=-．因此2b =-． （3）如果四边形ABDC 是正方形，那么A 、D 关于BC （x 轴）对称且△ABC 为等腰直角三角形．由A (2,b )，得B(2＋b ,0)、C(2－b ,0)．于是可得抛物线的解析式为y ＝a (x －2－b )(x －2＋b )．代入A (2,b )，得b ＝－ab 2．所以1ab =-．9．（1）因为A、B关于原点O对称，C、D关于原点O对称，所以OA＝OB，OC＝OD．所以四边形ACBD是平行四边形．（2）如图1，当直线AB与直线CD关于直线y＝x对称时，OA＝OB＝OC＝OD，所以四边形ACBD可以成为矩形．因为x≠0，y≠0，所以点A、B、C、D不可能落在坐标轴上，因此直线AB与CD不可能垂直，即平行四边形ACBD的对角线不可能互相垂直，所以四边形ACBD不可能成为正方形．（3）如图2，作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，那么S△AOE＝S△COF．①如图2，当点C在点A上方时，设OA与CF交于点M，那么S四边形AEFM＝S△COM．因此S△AOC＝S梯形AEFC＝169(2)(3)2m mm m+-=-．所以S＝S平行四边形ACBD＝4S△AOC364m m=-．②如图3，当点C在点A下方时，S△AOC＝S梯形AEFC＝169 (2)(3)2m mm m+-=-．所以S＝S平行四边形ACBD＝4S△AOC364mm=-．第9题图1 第9题图2 第9题图3。