灰色预测模型ppt课件
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第7章灰色预测方法课件-新版.doc
第7 章灰色预测方法预测就是借助于对过去的探讨去推测、了解未来。
灰色预测通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。
对于一个具体的问题，究竟选择什么样的预测模型应以充分的定性分析结论为依据。
模型的选择不是一成不变的。
一个模型要经过多种检验才能判定其是否合适，是否合格。
只有通过检验的模型才能用来进行预测。
本章将简要介绍灰数、灰色预测的概念，灰色预测模型的构造、检验、应用，最后对灾变预测的原理作了介绍。
7.1 灰数简介7.1.1 灰数灰色系统理论中的一个重要概念是灰数。
灰数是指未明确指定的数，即处在某一范围内的数，灰数是区间数的一种推广。
灰色系统用灰数、灰色方程、灰色矩阵等来描述，其中灰数是灰色系统的基本“单元”或“细胞”。
我们把只知道大概范围而不知其确切值的数称为灰数。
在应用中，灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数，通常用记号“”表示灰数。
灰数有以下几类：1．仅有下界的灰数有下界而无上界的灰数记为a, 或 a ，其中a为灰数的下确界，它是一个确定的数，我们称a, 为的取数域，简称的灰域。
一棵生长着的大树，其重量便是有下界的灰数，因为大树的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其准确的重量，若用表示大树的重量，便有0, 。
2．仅有上界的灰数有上界而无下界的灰数记为( ,a ] 或(a)，其中a为灰数的上确界，是一个确定的数。
一项投资工程，要有个最高投资限额，一件电器设备要有个承受电压或通过电流的最高临界值。
工程投资、电器设备的电压、电流容许值都是有上界的灰数。
3．区间灰数既有下界a又有上界a的灰数称为区间灰数，记为a, a 。
海豹的重量在20~25 公斤之间，某人的身高在 1.8~1.9 米之间，可分别记为21 20,25 ， 1. 8,1.94．连续灰数与离散灰数在某一区间内取有限个值或可数个值的灰数称为离散灰数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续灰数。
数学建模灰色预测法PPT课件
d. 计算小误差概率：
P P 0i 0 0.6745S1
令: 则：
ei 0i 0 ， S0 0.6745S1 P Pei S0
P >0.95 >0.80 >0.70 ≤0.70
C <0.35 <0.50 <0.65 ≥0.65
好 合格 勉强合格 不合格
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构造矩阵B与向量Y
B
1 ( X (1) (2) X (1) (1)), 2
1 ( X (1) (3) X (1) (2)), 2
1
1
... ...
1 2
(
X
(1)
(n)
X
(1)
(n
1)),
1
Y=(X(0)(2),X(0)(3),……，X(0)(n))’
min min Xˆ 0k X 0k 为两级最小差； max max Xˆ 0 k X 0 k 为两级最大差；
ρ称为分辨率，0<ρ<1, 若越小，关联系数间
差异越大，区分能力越强。一般取ρ=0.5； 对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数 前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。
（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累加
和累减两种。
➢累加 累加是将原始序列通过累加得到生成列。
第10页/共41页
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累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。
灰色预测原理及实例ppt课件
7
青岛理工大学 管理学院
数列累加
【例1】 设原始数据序列
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) ( N ) } {6, 3, 8, 10, 7}
对数据累加 ： x(1)(1) x(0)(1) 6，
x(1)(2) x(0)(1) x(0)(2) 6 3 9， x(1)(3) x(0) (1) x(0)(2) x(0)(3) 6 3+8 17， x(1)(4) x(0)(1) x(0)(2) x(0)(3) x(0)(4) 6 3+8+10 27， x(1) (5) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) x(0)(5)
ea(tt0 )
u a
.
对等间隔取样的离散值 (注意到 t0 1）则为
x(1) (k 1) [x(1) (1) u ]eak u .
a
a
(2.4)
灰色建模的途径是一次累加序列（2.2）通过最小二乘法来 估计常数a与u.
21
青岛理工大学 管理学院
2 灰色系统的模型
因x(1) (1) 留作初值用，故将 x(1) (2), x(1) (3),..., x(1) (N ) 分别代入方程(2.3),
（4）拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定 值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模 型预测该定值所发生的时点。
（5）系统预测. 通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰 色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
5
青岛理工大学 管理学院
生成列
为了弱化原始时间序列的随机性，强化规律 性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始 时间序列进行数据处理，经过数据处理后的 时间序列即称为生成列。
关于“灰色预测模型”讲解42页PPT
关于“灰色预测模型”讲解
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
ENDΒιβλιοθήκη
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
ENDΒιβλιοθήκη
《灰色预测》PPT课件
2 灰色模块预 测思想
3 累加生成建 模思想
4 五步建模思 想
图7.3 灰色预测模型的基本思想
12
•1 灰色预测模型的提出
• 来源于控制论，Ashby将内部信息未知的对象称为黑箱（Black Box）
信息
信息
•黑
• 信息未 知
• 黑色系 统
补充 信息
补充
灰色系统理论着重
• 灰 研究系统内部(结构 、参数、总体信特息征
②通过数据的序列生成弱化原始数据序列的 随机性(尤其是对非平稳数据序列随机性的弱化)；
③ 提出模块预测和累加生成的思想。
14
灰色预测基本模型——GM(1,1) 模型
• 定义7.1 设X (0) (x(0) (1), x(0) (2),, x(0) (n))
•称
X (1) (x(1) (1), x(1) (2),, x(1) (n))
X1表示;固定资产投资为资本投入,用变量X2表示,则有网络关系;
X2
W1
X1
•固定资产的投资对GDP的产出有一定的拉动效应;
29
•用适当的固定资产投资率作为国民经济系统扩大再生产的投资.此 时,GDP是前因,固定资产投资为结果,即可以将再生产的投资作为正 反馈项加入网络,综合可得系统的网络模型如下图
,因W此1(s网) 络s图0为0.4.0186995,2可
X2
0.4169/(s+0.08952)
X1
31
•第五步: 优化模型 •系统的发展变化过程是否令人满意,主要反映在闭环系统传递函数的结构 和参数上.根据以上网络图有
W1(s)(x11(s) x12 (s)) x11(s)
•所以整个闭环传递函数为
灰色预测法PPT
0i X 0i Xˆ 0i i 1,2,..., n
i
0i X 0i
100%
i 1,2,..., n
（2）关联度检验
根据前面所述关联度的计算方法算出 Xˆ 0i
与原始序列 X 0i 的关联系数，然后计算出关联
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便
10 灰色预测法
10.1 灰色预测理论 10.2 GM(1,1)模型 10.3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
10.1 灰 色 预 测 理 论
一、灰色预测的概念 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系
统进行预测的方法。
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统
• 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全充分的。
（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累
加和累减两种。
累加 累加是将原始序列通过累加得到生成列。
累加的规则:
将原始序列的第一个数据作为生成列 的第一个数据，将原始序列的第二个数据 加到原始序列的第一个数据上，其和作为 生成列的第二个数据，将原始序列的第三 个数据加到生成列的第二个数据上，其和 作为生成列的第三个数据，按此规则进行 下去，便可得1
a
e ak
a
k 0,1,2..., n
二、模型检验
灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后 验差检验。
（1）残差检验 按预测模型计算 Xˆ 1i, 并将 Xˆ 1i 累减生成 Xˆ 0i, 然后计算原始序列 X 0i 与 Xˆ 0i的绝对误差序列及相 对误差序列。
记原始时间序列为：
X 0 X 01, X 02, X 03,...X 0n
i
0i X 0i
100%
i 1,2,..., n
（2）关联度检验
根据前面所述关联度的计算方法算出 Xˆ 0i
与原始序列 X 0i 的关联系数，然后计算出关联
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便
10 灰色预测法
10.1 灰色预测理论 10.2 GM(1,1)模型 10.3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
10.1 灰 色 预 测 理 论
一、灰色预测的概念 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系
统进行预测的方法。
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统
• 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全充分的。
（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累
加和累减两种。
累加 累加是将原始序列通过累加得到生成列。
累加的规则:
将原始序列的第一个数据作为生成列 的第一个数据，将原始序列的第二个数据 加到原始序列的第一个数据上，其和作为 生成列的第二个数据，将原始序列的第三 个数据加到生成列的第二个数据上，其和 作为生成列的第三个数据，按此规则进行 下去，便可得1
a
e ak
a
k 0,1,2..., n
二、模型检验
灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后 验差检验。
（1）残差检验 按预测模型计算 Xˆ 1i, 并将 Xˆ 1i 累减生成 Xˆ 0i, 然后计算原始序列 X 0i 与 Xˆ 0i的绝对误差序列及相 对误差序列。
记原始时间序列为：
X 0 X 01, X 02, X 03,...X 0n
灰色预测模型ppt
灰色系统理论与概率论、模糊数学一起并称为研究不确定系统的三种常用方 法。它们的研究对象都具有不确定性，但研究对象在不确定上的区别派生出三种 各具特色的不确定学科。三者的主要区别如下表所示：
项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求 目标 特色 灰色系统 贫信息不确定 灰色朦胧集 信息覆盖 灰序列生成 任意分布 现实规律 概率论 随机不确定 康托集 概率分布 概率统计 典型分布 历史统计规律 模糊数学 认知不确定 模糊集 隶属度函数 边界取值 隶属度可知 认知表达 经验（数据）
=（10771,11204,11487,11778,12076,12382,12695,13016,13347,13684）
精度检验
通过计算得出：（1）平均相对误差为
0
（2）X (0) 与 X 的绝对关联度为 0.993 0.90 s （3）均方差比为 c 2 0.24 0.35
其中， x (1) (k )
x ( 0) (i ), k 1,2,, n
i 1
k
在灰色系统中，累加算子的逆算子就是累减算子，累减生成对累加生成起还原作 用。
3.灰色系统预测模型
灰色预测的概念
灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测的理 论步骤如下：
进行关联 分析，并 对原始数 据进行生 成处理
灰 色 系 统 系统内一部分信息已 知，一部分信息未知， 系统内各因素间具有 不确定的关系。
白 色 系 统
系统的内部特征是 完全已知的，即系 统信息是完全充分 的。
黑 系统内部信息对外 色 界来说是一无所知 系 的。 统
1.灰色系统理论
电力负荷预测第八章 灰色预测方法课件
2.28+2.98 =5.26
x0与x1的变化曲线
70
x0
60
x1
50
40
30
20
10
0
1
x0 2.28
x1 2.28
2 2.98 5.26
3 3.39 8.65
4
5
6
7
8
9
4.24 6.86 8.64 11.85 12.15 12.71
12.98 19.75 28.39 40.24 52.29 65.1
S1
1 n 1
n i 1
(
x0( i
)
x0
)2
③计算残差0( i ) 的均值 0 1 n 0( i )
n i1
④计算残差的均方差
S2
1 n 1
n i 1
( 0(i
) 0
)2
⑤计算方差比
C S2 S1
⑥计算小误差概率p
若记 P 0( i ) 0 0.6745S1 P ei S0
Step2:计算关联度
i
1 n
n
i ( k
k 1
)，i=1,m
——表示被比较数列与参考数列间的关联度； 为各关联系数的平均值。
●算例
已知：
参考序列 Y0 8,8.8,16,18,24,32
被比较数列 Y1 10,11.66,18.34,20,23.4,30
Y2 5,5.625,5.375,6.875,8.125,8.75
)
1
2
14.19 1 17.83 1
1 2
(15.97
19.69
)
1
Yn
x0( 2 )
x0
(2021)第章灰色预测方法正式版PPT资料
第7章
有一类灰数是在某个基本值附近变动的,这类灰数
白化比较容易,我们可以其基本值为主要白化值。以a为
=a+δa
δa为扰动灰元,此灰数的白化值为
~ ~(a(a)=)a∈。(-如, a今, +年),的其科中
研经费在5万元左右,
(50 000)=50000+δ,或
(50 000)∈(-, 50 000, +),它的白化值为50 000。
灰色系统介于二者之间,灰色系统的一部分信息是 已知的,一部分是未知的。
树的重量必大于0,但不可能用一般手段知道其准确的重
量,
, ∈［0, ∞)。
第7章
2．
∈(-∞, a］ 灰数的上确界,是一个确定的数。
(a),其中a为
一项投资工程要有一个最高投资限额,一件电器设备要有 一个承受电压或通过电流的最高临界值。工程投资以及电器 设备的电压、电流容许值都是有上界的灰数。
3．
∈［a, b］,我们将白化值
~ =αa+(1-α)b
α∈［0, 1］
定义7.1
~ =αa+(1-α)b,α∈［0, 1］的白化称
为等权白化。
第7章
定义7.2 在等权白化中,取α=1/2而得到的白化值称为等权 均值白化。
当区间灰数取值的分布信息缺乏时,常采用等权均值白化。
~ 1
定义7.3
=αa+(1-α)b,α∈［0,1］;
既有下界 a 又有上界 a 的灰数称为区间灰数, ［a, a ］。
∈
海豹的重量在20~25公斤之间,某人的身高在1.8~1.9米之 间,
1∈［20, 25］,
2∈［1.8, 1.9］
第7章
《灰色系统理论》课件
GM(1,1)模型适用于具有指数增长或衰减规律 的数据序列，能够有效地处理不完全信息，预 测精度较高。
Verhulst模型
Verhulst模型是灰色系统理论中的另一个重要模型，主要用于描述和预测系统中的阻滞、饱和机制，模拟系统的自我调节和限制因素对系统发 展的影响。
在社会领域中，灰色 系统预测模型可用于 人口预测、城市化进 程、社会治安等方面 的研究。
在环境领域中，灰色 系统预测模型可用于 预测污染物排放、生 态保护、气候变化等 方面的问题。
在工程领域中，灰色 系统预测模型可用于 机械故障诊断、交通 流量预测、能源消耗 等方面的研究。
04
灰色系统理论的实 际应用
交通规划
通过建立灰色预测模型，对城市交通 流量、拥堵状况等进行预测和管理， 为交通规划提供依据。
05
灰色系统理论的未 来发展
灰色系统与其他系统的融合
灰色系统与模糊系统融合
通过模糊数学的方法，将灰色系统中的灰色信息转化为模糊信息，提高信息处理的精度和准确性。
灰色系统与神经网络融合
利用神经网络的自学习、自组织和适应性，对灰色系统中的非线性、不确定性问题进行建模和分析。
灰色决策分析的步骤
确定决策问题、建立决策模型、求解决策问题、评估决策效果。
03
灰色系统建模方法
GM(1,1)模型
GM(1,1)模型是灰色系统理论中最为经典的模 型之一，用于对具有不完全信息系统的数学模 拟和预测。
它通过累加生成序列的方式，将原始数据转化 为具有指数规律的递增序列，然后利用最小二 乘法对参数进行估计，建立微分方程模型。
在经济领域的应用
金融市场预测
利用灰色系统理论对股票、期货 等金融市场数据进行处理和分析 ，预测市场走势，为投资决策提 供依据。
Verhulst模型
Verhulst模型是灰色系统理论中的另一个重要模型，主要用于描述和预测系统中的阻滞、饱和机制，模拟系统的自我调节和限制因素对系统发 展的影响。
在社会领域中，灰色 系统预测模型可用于 人口预测、城市化进 程、社会治安等方面 的研究。
在环境领域中，灰色 系统预测模型可用于 预测污染物排放、生 态保护、气候变化等 方面的问题。
在工程领域中，灰色 系统预测模型可用于 机械故障诊断、交通 流量预测、能源消耗 等方面的研究。
04
灰色系统理论的实 际应用
交通规划
通过建立灰色预测模型，对城市交通 流量、拥堵状况等进行预测和管理， 为交通规划提供依据。
05
灰色系统理论的未 来发展
灰色系统与其他系统的融合
灰色系统与模糊系统融合
通过模糊数学的方法，将灰色系统中的灰色信息转化为模糊信息，提高信息处理的精度和准确性。
灰色系统与神经网络融合
利用神经网络的自学习、自组织和适应性，对灰色系统中的非线性、不确定性问题进行建模和分析。
灰色决策分析的步骤
确定决策问题、建立决策模型、求解决策问题、评估决策效果。
03
灰色系统建模方法
GM(1,1)模型
GM(1,1)模型是灰色系统理论中最为经典的模 型之一，用于对具有不完全信息系统的数学模 拟和预测。
它通过累加生成序列的方式，将原始数据转化 为具有指数规律的递增序列，然后利用最小二 乘法对参数进行估计，建立微分方程模型。
在经济领域的应用
金融市场预测
利用灰色系统理论对股票、期货 等金融市场数据进行处理和分析 ，预测市场走势，为投资决策提 供依据。
灰色系统模型-课件
公理6：灰性不灭原理。“信息不完全” 是绝对的。
1.2.4灰色系统理论的主要内容
灰色系统理论经过10多年的发展，已基 本建立起了一门新兴学科的结构体系， 其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基 础的理论体系、以晦涩关联空间为依托 的分析体系、以晦涩序列生成为基础的 方法体系，以灰色模型（G，M）为核心 的模型体系。以系统分析、评估、建模、 预测、决策、控制、优化为主体的技术 体系。
此处加标题
灰色系统模型
眼镜小生制作
1.本节内容
（1）灰色系统理论的产生和发展动态.
（2）灰色系统的基本概念.
（3）灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别.
（4）灰色系统GM（1，1）模型，灰色系统模 型的检验，应用举例.(G表示gray（灰色）， m表示model（模型），Gm（1，1）表示1阶的、 1个变量的模型。)
色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索 我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系 统理论应用范围已拓展到工业、农业、社会、
经济、能源、地质、石油等众多科学领域，
成功地解决了生产、生活和科学研究中的大 量实际问题，取得了显著成果。
1.2灰色系统的基本原理 1.2.1灰色系统的基本概念
我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信 息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、 部分信息不明确的系统称为灰色系统。 系统信息不完全的情况有以下四种： （1）元素信息不完全。 （2）结构信息不完全。 （3）边界信息不完全。 （4）运行行为信息不完全。
例如，某地县级医院病床使用率最高为 90%，最低为60%，我们可以将90%转化10， 60%转化为1，其它可以通过内插法确定 其转化值．如80%转化为多少？可进行如 下计算：
1019060 x1 8060
1.2.4灰色系统理论的主要内容
灰色系统理论经过10多年的发展，已基 本建立起了一门新兴学科的结构体系， 其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基 础的理论体系、以晦涩关联空间为依托 的分析体系、以晦涩序列生成为基础的 方法体系，以灰色模型（G，M）为核心 的模型体系。以系统分析、评估、建模、 预测、决策、控制、优化为主体的技术 体系。
此处加标题
灰色系统模型
眼镜小生制作
1.本节内容
（1）灰色系统理论的产生和发展动态.
（2）灰色系统的基本概念.
（3）灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别.
（4）灰色系统GM（1，1）模型，灰色系统模 型的检验，应用举例.(G表示gray（灰色）， m表示model（模型），Gm（1，1）表示1阶的、 1个变量的模型。)
色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索 我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系 统理论应用范围已拓展到工业、农业、社会、
经济、能源、地质、石油等众多科学领域，
成功地解决了生产、生活和科学研究中的大 量实际问题，取得了显著成果。
1.2灰色系统的基本原理 1.2.1灰色系统的基本概念
我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信 息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、 部分信息不明确的系统称为灰色系统。 系统信息不完全的情况有以下四种： （1）元素信息不完全。 （2）结构信息不完全。 （3）边界信息不完全。 （4）运行行为信息不完全。
例如，某地县级医院病床使用率最高为 90%，最低为60%，我们可以将90%转化10， 60%转化为1，其它可以通过内插法确定 其转化值．如80%转化为多少？可进行如 下计算：
1019060 x1 8060
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.
灰色建模实例
北方某城市1986-1992年交通噪声平均声级数据
序号
1 2 3 4
年份
1986 1987 1988 1989
Leq 序号
年份
Leq
71.1 5
1990
71.4
72.4 6
1991
72.0
72.4 7
1992
71.6
72.1
表：某城市近年来交通噪声数据[dB(A)]
.
第一步：级比检验，建模可行性分析
.
4、灰生成技术
灰色序列生成 是一种通过对原始数据的挖掘、整理来寻求数据变化 的现实规律的途径，简称灰生成。
灰生成特点 在保持原序列形式的前提下，改变序列中数据的值与 性质。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，
显现其规律性。
灰生成的作用 1.统一序列的目标性质，为灰决策提供基础。 2.将摆动序列转换为单调增长序列，以利于灰建模。 3.揭示潜藏在序列中的递增势态，变不可比为可比序列。
(k2,3,L,7)，故可以用X ( 0 ) 作满意的GM(1, 1)
建模。
.
第二步： 用GM(1,1)建模
1. 对原始数据 X ( 0 )作一次累加：
k
x(1)(k) x(0)(m) (k1,2,L,7) m1
得：
X ( 1 ) x ( 1 )1 ,x ( 1 )2 ,L ,x ( 1 )7
.
例2 令原始序列X ( 0 )为
X ( 0 ) x ( 0 ) 1 ,x ( 0 ) 2 , x ( 0 ) 3 , x ( 0 ) 4 , x ( 0 ) 5
(1,1,1,1,1) A G O X (0 ) X (1 ) (1 ,2 ,3 ,4 ,5 )
I A G O X ( 1 ) 1 ,2 1 ,3 2 ,4 3 ,5 4
.
于是得到：
x (0) (2 ) 7 2 .4
z (1) (2) 1 107.3 1
x
(0
)
(
3
)
7
2
.4
z
(1
)
(
2
)
1
1
79.7
1
Y
x (0) (4 ) 7 2 .1
z(1 )4 1 2 x(1 )(3 )x(1 )(4 ) 2 5 1 .9 5
z(1 )51 2 x(1 )(4 )x(1 )(5 ) 3 2 3 .7
z(1 )61 2 x(1 )(5 )x(1 )(6 ) 3 9 5 .4 z(1 )71 2 x(1 )(6 )x(1 )(7 ) 4 6 7 .2
( 7 1 . 1 , 1 4 3 . 5 , 2 1 5 . 9 , 2 8 8 , 3 5 9 . 4 , 4 3 1 . 4 , 5 0 3 )
.
2. 构造数据矩阵B及数据向量Y ：
z(1 )21 2 x(1 )(1 )x(1 )(2) 107.3 z(1 )31 2 x(1 )(2 )x(1 )(3 ) 1 7 9 .3
定义 它是对AGO生成序列中相邻数据依次累 减，又称累减生成。令X ( 0 )为原序列
X ( 0 ) x ( 0 )1 ,x ( 0 )2 ,L ,x ( 0 )n
称Y 是 X ( 0 )的IAGO序列，并记为
当且仅当
YIAGOX(0)
Yy(1 ),y(2 ),L,y(n )
并y(k)Y 满足 y(k)x(0)(k)x(0)(k1)
.
注意
1. xˆ ( 0 ) ( k ) (k1,2,L,n)是原始数据序列 x ( 0 ) ( k ) (k1,2,L,n)的拟合值。
2. xˆ ( 0 ) ( k ) (k n)是原始数据序列预测值。
.
问题3 如何检验GM(1,1)模型的精度？
残差： q(k)x(0)(k)x ˆ(0)(k)
.
灰色预测模型
.
1、灰色系统介绍
■ 灰色系统是由华中科技大学的邓聚龙教授80 年代初所创立，在短短的三十年里已得到了长足 的发展。
■ 灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信息 未知”的“小样本，贫信息”不确定性问题，并 依据信息覆盖，通过序列算子的作用探索事物运 动的现实规律。其特点是“少数据建模”，着重 研究“外延明确，内涵不明确”的对象。
(2),(3),L(7)
( 0 . 9 8 2 0 , 1 . 0 0 0 0 , 1 . 0 0 4 2 , 1 . 0 0 9 8 , 0 . 9 9 1 7 , 1 . 0 0 5 9 )
.
3.
级比判断：(k)en21,
2 en1
由于所有的 ( k ) [ 0 . 7 7 8 8 0 0 7 8 3 ,1 . 2 8 4 0 2 5 4 1 7 ] ，
A G O X (0 ) X (1 ) (1 ,3 ,4 .5 ,7 .5 )
10
9
8
X (0)
7
6
5
4
3
2
1
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
10
9
8 7
X (1)
6
5
4
3
2
1
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
.
2. 逆累加生成算子（IAGO）
.
GM(1,1)的符号含义：
G
M
( 1,
1)
Grey 灰色
Model 模型
1阶方程
1个变量
.
定义1 设 X ( 0 ) x ( 0 )1 ,x ( 0 )2 ,L ,x ( 0 )n ，和 X ( 1 ) x ( 1 )1 ,x ( 1 )2 ,L ,x ( 1 )n ，则称
x(0)(k)ax(1)(k)b
称Z (1 ) 为X (1 ) 的MEAN序列，并记为
Z(1)M E A NX(1)
当且仅当
Z ( 1 ) z ( 1 )1 ,z ( 1 )2 ,L ,z ( 1 )n
并且每个z(1)(k)Z(1) 满足下述关系
.
z(1)k1 2 x(1)(k)x(1)(k1)
例3 对于X(1) (1,2,3,4,5)，有
.
注意：原始序列 X ( 0 ) x ( 0 )1 ,x ( 0 )2 ,L ,x ( 0 )n
必是非负的，其中x(0) (k) 0，k1,2,L,n。
若原始序列 X ( 0 )不是非负的，则需要对 X 中 ( 0 )
的元素做平移变换，即令 x+ (0)(k)x(0)(k)
其中 0 ，k1,2,L,n。
预测值
真实值
相对误差：
q(k)
x(0)(k)x ˆ(0)(k)
(k)x(0)(k) 100% x(0)(k) 100%
平均相对误差： (avg) 1
n
(k)
n1k2
精度： p01(avg)100%
.
建立灰色预测模型的一般步骤
第一步：级比检验，建模可行性分析。 第二步：数据变换处理。 第三步： 用GM(1,1)建模。 第四步：模型检验。
M E A N Z ( 1 ) z ( 1 ) ( 1 ) ,z ( 1 ) ( 2 ) ,z ( 1 ) ( 3 ) ,z ( 1 ) ( 4 )
0 . 5 ( 1 2 ) , 0 . 5 ( 2 3 ) , 0 . 5 ( 3 4 ) , 0 . 5 ( 4 5 ) 1.5,2.5,3.5,4.5
(白化方程)
x(1)(t)x(0)(1)baeak
b a
.
3、解得时间响应序列为：
xˆ(1)(k1)x(0)(1)b aˆˆeaˆk
bˆ aˆ
(k2,3,L,n)
4、 原始数据序列 X ( 0 )的预测值：
x ˆ(0)(k 1 )x ˆ(1 )(k 1 )x ˆ(1 )(k)1 ea ˆ x(0)(1 )b a ˆˆ e a ˆk
的级比满足
(k)(en21,
2
en1)
时，序列 X (1) 可做GM(1,1)建模。
.
5、GM（1，1）模型
灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据 是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。 灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。同时，灰 色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型。 因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM(1,1) 模型所得到的预测值的逆处理结果。
(1,1,1,1,1)
这表明
I A G O X ( 1 ) I A G O (A G O X (0 ))算子（MEAN）
定义 它是将AGO序列中前后相邻两数取平均数， 以获得生成序列。令X (1 )为X ( 0 )的AGO序列
X ( 1 ) x ( 1 )1 ,x ( 1 )2 ,L ,x ( 1 )n
.
4. 级比生成算子
定义 设序列X ( 0 ) x ( 0 )1 ,x ( 0 )2 ,L ,x ( 0 )n ，则称
(k)
x(0) (k 1) x(0) (k) ,
k2,3,L,n.
为序列 X (1 ) 的级比。
检验准则 设序列 X ( 0 ) x ( 0 )1 ,x ( 0 )2 ,L ,x ( 0 )n
显然，由此得到的累加生成序列 X (1) 和均 值生成序列 Z (1 ) 都是非负的。
.
问题1
关于GM(1,1)模型 x(0)(k)az(1)(k)b的参
数a和b如何确定？
若P (a, b)T为参数列，且
x (0)(2 )
Y
x
(0
)
(
3
)
M
x
(
0
)
(
n
)