探索用平面截正方体所得截面形状
高一下学期数学人教A版2019必修第二册8.1.3多面体的截面作法与正方体的截面形状课件.pptx
探究与讨论Βιβλιοθήκη 现在用一个平面来截正方体，
D1
截面怎么作图，可能有哪些形状？
A1
G
例1如图，正方体ABCD―A1B1C1D1中， E、F、G分别在AB、BC、DD1上， 求作过E、F、G三点的截面．
D
A
E
C1
B1
C F B
方法(交线法)：
该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面．
请数学课代表和6个小组长组织大家组内合作， 将大家能找出的截面草图画出来，然后我会随机 点一位组员分享每个组的学习成果！
注意：每组只有4分钟的时间交流，1-2分钟的时间分享！
各数学学习小组 分享结果汇总ing
第一种情况：截面为三角形
第二种情况：截面为四边形
第三种情况：截面为五边形
第四种情况：截面为六边形
作法： (1)在底面AC内，过E、F作直线EF分别 与DA、DC的延长线交于L、M．
D1
G A1
(2)在侧面A1D内，连结LG交AA1于K．
(3)在侧面D1C内，连结GM交CC1于H．
K
D
(4)连结KE、FH．则五边形EFHFK即为所求的截面． L A
E
C1
B1 H CM
F B
合作与交流
例1告诉咱们正方体的截面可以是五边形， 那么还有哪些形状呢？
教师评价与归纳
课堂小结：
作业布置：
• 做完课时作业中关于截面的习题； • 回家找现有的水箱、水桶、纸箱、大碗等适量盛水移动部分顶点， 观察水面图形的变化；
感谢聆听！
观察与思考
1、将一个西瓜或橘子切成两半，你能想象切面大致是什么形状吗？
《截一个几何体》(教案 (公开课)2022年设计)2
截一个几何体教材分析:“截一个几何体〞是七年级?数学?〔上〕中继“生活中的立体图形〞和“展开与折叠〞之后的一个学习内容。
在本章教材的编排顺序中起着承上启下的作用，截一个几何体是让学生经历切截几何体的活动过程，探索几何体在切截过程中会有怎样的变化，体验以运动的眼光观察事物的过程，丰富几何直觉和数学活动经验，增强动手实践能力和空间想象能力。
教学目标:通过经历对几何体切截的实践过程，让学生体验面与体之间的转换，探索截面形状与切截方向之间的联系，从而丰富学生的几何直觉和数学活动经验，开展学生的空间观念和创造性思维能力，在下载学习工具的过程中学感受学习信息技术的重要性，同时培养学生的数学语言表达能力。
初步形成主动与他人合作交流的意识。
教学重点:经过切截正方体的活动过程，体会正方体截面的变化。
教学难点:正确判断用一个平面去截一个正方体得到的截面形状。
学生分析:七年级学生好奇心强，喜欢探索、解剖身边的事物，通过在网上下载，利用教学软件在运行平台上对正方体进行截割，加工的热情势必较高，如果创设一系列合理的问题情景，组织学生进行一些生动有趣的数学活动，本节课会极大地调动学生参与的积极性。
课前准备:1.在“Z+Z〞教育平台网站上下载“立体几何〞运行程序，并装在“网络教室〞的学生机及教师机上。
2.在“Z+Z〞教育平台网站上下载教学资源：1-3正方体的截面、1-3正方体的截面〔1〕、1-3正方体的截面〔2〕，共三个内容，并放在学校网站上。
3.用PowerPoint把下载的flash课件链接起来，贯穿全部教学内容。
课后反思：本堂课的教学模式设计理念较为先进，整个教学推进涉及三个维度，〔见以以下图〕彼此环环相扣，由浅入深，学生通过自己的实验操作感受并获取知识，圆满地完成了教学任务。
但在具体的操作过程中，耗时较多，这主要是学生的信息素养差，对下载和安装不熟悉，再就是运用鼠标的能力差，在托动中完不成自己的设想，故今后要加强学生的信息素养的培养。
2014年XXX版七年级数学上册第一章《丰富的图形世界》导学案
2014年XXX版七年级数学上册第一章《丰富的图形世界》导学案第一章丰富的图形世界第一节生活中的立体图形研究目标】1.通过从现实世界中抽象出形象的过程，感受图形世界的丰富多彩。
2.在具体情境中，认识圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球，并能用自己的语言描述它们的某些特征。
3.通过丰富的实例，进一步认识点、线、面，初步感受点、线、面之间的关系。
4.在对图形进行观察、操作等活动中，积累处理图形的经验，发展空间观念。
研究方法】自主探究与合作交流相结合研究重难点】重点：认识常见的几何体的基本元素，了解棱柱的一些基本概念及其某些特性。
难点：用语言描述常见几何体的某些特征及对几何体的分类。
研究过程】模块一预反馈一、研究准备1.在小学研究过的立体图形有哪些？2.长方体有几个面？每一个面都是什么形状？正方体有几个面？每一个面都是什么形状？长方体的表面积和体积分别是多少？正方体的表面积和体积分别是多少？3.阅读教材：p2—p6第1节《生活中的立体图形》，并完成随堂练和题。
二、教材精读4.写出以下几何体的名称：（1）长方体；（2）正方体；（3）圆锥；（4）圆柱；（5）棱柱；（6）球。
5.棱柱的有关概念及其重要特点：1）棱柱的有关概念：在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做棱棱。
2）棱柱的三个特征：一是棱柱的所有侧棱长都相等；二是棱柱的上下底面的形状都是相同的多边形；三是侧面都是相同的形状。
3）棱柱的分类：根据底面多边形的边数将棱柱分为三角柱、四边形柱、五边形柱、六边形柱等等；它们的底面分别是三角形、四边形、五边形、六边形等等。
4）棱柱中的元素之间的关系：底面多边形的边数n，可确定该棱柱有n个顶点、n条棱、其中有n-2条侧棱，有2个面，n个侧面。
实践练：请你按适当的标准对下列几何体进行分类。
引导：1）按柱体、锥体、球体分（最常见的分法）。
2）按组成几何体的面的平曲分。
3）按有没有顶点分。
归纳：圆柱和棱柱的异同：相同点：圆柱和棱柱都有个底面，且底面的形状和大小完全相同。
平面截正方体典例解析
正方体截面问题
用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况.下面让我们来探索用平面截正方体所得截面的形状.
我们知道正方体有六个面，用一个平面去解正方体至少要经过三个面，最多经过六个面.所以出现的截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形.
一、截面是三角形
用一平面截正方体，当平面经过正方体的三个面时，所得的截面的形状为三角形.所得的三角形可能是锐角三角形（如图1）；等腰三角形（如图2）；等边三角形（如图3）.其中等边三角形三个顶点是正方形的顶点.
图1 图2 图3
二、截面是四边形
用一个平面截正方体，当平面经过正方体的四个面时，所得截面可能是正方形、长方形、梯形.
①用平行于底面的一个平面去截正方体时，按图4方式得到的截面是正方形.
图4
②按图5或图6或图7的方式切截，得到的截面是长方形
图5 图6 图7
③按图8的方式所得截面为梯形.
图8
三、截面是五边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的五个面时，所得截面是五边形.如图9.
图9
四、截面是六边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的六个面时，所得截面是六
边形，如图10.
图10
总结：用一个平面截正方体，截面可以是三角形，四边形，五边形，六边形。
但是由于正方体共有六个面，所以截面不可能是七边形.。
北师大版数学七年级上册第一章丰富的图形世界截一个几何体
图形编号
①
②
③
截面形状
图形编号
⑤
⑥
⑦
截面形状
答案 ①圆 ②三角形(等腰三角形) ③圆 ④长方形 ⑤三角形 ⑥梯形 ⑦三角形 ⑧长方形
栏目索引 ④ ⑧
3 截一个几何体
栏目索引
1.用一个平面去截①圆锥;②圆柱;③球;④五棱柱,能得到截面是圆面的 是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
答案 D 几何体共有几个面,截面最多是几边形.四棱柱共六个面,五 棱柱共七个面,圆柱共三个面,它们都截不出八边形,七棱柱共九个面,能 截出八边形.
3 截一个几何体
栏目索引
4.如图1-3-3,观察下列几何体,用平面分别截这些几何体,请在表中填写 各图形截面(阴影部分)的形状.
图1-3-3
3 截一个几何体
答案 B 经过圆锥顶点且垂直于底面的截面是等腰三角形.
3 截一个几何体
栏目索引
2.用一个平面去截一个几何体,截面形 状为三角形,则这个几何体可能为 ①正方体;②圆柱;③圆锥;④正三棱柱.
.(写出所有正确结果的序号)
答案 ①③④
解析 ①截去一角,截面形状为三角形;②用任何平面截圆柱都不能截 出三角形;③沿竖截面截,截面形状为三角形;④用与底面平行的面截,截 面形状为三角形.
3 截一个几何体
栏目索引
图1-3-4①是一个正六面体,把它按图1-3-4②中所示方法切割,可以得 到一个正六边形的截面,则下列展开图中正确画出所有的切割线的是 ()
图1-3-4
3 截一个几何体
栏目索引
答案 C 截面没有过立方体的任何一个顶点,只有C选项符合.故选C.
3 截一个几何体
栏目索引
常见几何体的截面形状初探——“几何体的截面形状”研究性学习论文汇总
“几何体的截面形状”研究性学习论文---- 常见几何体的截面形状初探【摘要】：正用平面去截一个几何体,所截出的面,就叫截面(section),我们可以想象,类似于用刀去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀在几何体上留下的痕迹就是截面的形状,截面是一个平面图形。
【关键词】：截面形状几何体正方体平面图形等边三角形锐角三角形分类四边形正五边形梯形【正文内容】：按《全国普通高中课程标准》要求，在高中阶段至少要有一次小组合作或独立数学探究活动和数学建模活动，而活动的开展是要有一个渐进的过程的，学生需要一个逐步适应、了解和认识自主探究、合作学习的过程，所以在北师大版高中数学必修二第一章结尾教材编写者设计了《正方体的截面形状》研究性课题，是为实施更为完整的数学探究、数学建模活动做准备。
众所周知，帮助学生认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力是高中数学教师义不容辞的责任和义务；教师要通过课题研究给学生提供一个施展所学的舞台，促进学生对所学知识的应用和反思，加深对空间图形的认识和理解。
此外，该课题的学习有助于发展学生自主学习的能力，体验数学研究的过程，认识数学研究中直观和严谨、感性猜测和理性推理的关系，鼓励学生发挥自己的想象力和创造力。
因此，要培养全面、专业的优秀人才离不开研究性的探究和学习，高中一年级的学生对《正方体的截面形状》研究性课题的深入探究和学习就显得格外重要，很有必要。
用平面去截一个几何体，所截出的面,就叫截面(section),截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况。
用平面去截一个几何体,我们可以想象,类似于用刀去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀在几何体上留下的痕迹就是截面的形状,截面是一个平面图形。
在医学诊断上,有一种与“截几何体”类似的仪器和方法,它是通过X射线扫过人体的患病器官,然后通过计算机处理相关测量数据,重建人体断层图象,并作出诊断,这就是是“CT影像诊断技术”――在医学史上具有划时代意义。
北师大版-数学-七年级上册-《截一个几何体》知识全解
1.3截一个几何体新知概览：知识要点课标要求中考考点用平面去截几何体所得截面的形状探索并理解几何体的截面形状。
截面的定义（掌握）几种常见几何体的截面掌握几种常见几何体的截面。
判断一个几何体的截面(应用)本节重、难点1.重点：截面的定义和形状．2.难点：利用截面解决实际问题．知识全解知识点1截面（1）截面的概念：用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面．（2）正方体的截面：根据面与面相交可以得到线可知用一个平面去截正方体的三个面，得到的截面是三角形.如果用一个平面去截正方体的四个面，就能得到四边形，除能得到正方形、长方形这样的四边形外，还能得到其他的四边形，如梯形、平行四边形等.知识警示：（1）正方体总共有六个面，用一个平面去截最多只能得到六条交线，从而截面的边数最多只能是六，还可以得到五，但不可能截得七边形.（2）一般地，截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形.因此，若一个几何体有n个面，则截面最多的边数是n．知识拓展正方体的截面主要有三角形、四边形、五边形和六边形，如图1-3-1所示.【试练例题1 】如图1-3-2所示的一块长方体木头，想象沿虚线所示位置截下去所得到的截面图形是（）思路导引：首先根据两组对边平行，可确定为平行四边形；又有一角为直角，故截面图形是长方形．答案：B.长方体的截面，经过长方体四个侧面，长方体中，对边平行，故可确定为平行四边形，交点垂直于底边，故为长方形．知识方法：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．知识点2几种常见几何体的截面（1）如图1-3-3所示，用平面截圆柱体，可能出现以下的几种情况．（2）如图1-3-4所示，用平面去截一个圆锥，能截出圆和三角形两种截面．图1-3-1A图1-3-2B C D（3）如图1-3-5所示,用平面去截球体，只能出现一种形状的截面---圆.知识警示： (1) 用一个平面去截一个圆柱所得到的截面有圆、长方形、椭圆、拱形形状和梯形.(2) 用一个平面去截圆锥，可得到圆、三角形、拱形形状和椭圆.【试练例题2】如图1-3-6中几何体的斜截面形状是（ ）思路导引：几何体是一个圆柱体，用一个平面斜截它，得到的截面应该是类似拱形的图形．答案C 用一个平面去截一个圆柱体，过平行于上下底面的面去截可得到圆；圆柱体的轴截面是矩形；过侧面且不平行于上下底面的面去截可得到椭圆；过一底面不平行于另一底面的面去截可得到类似拱形的截面．方法：平面与平面相交得直线，平面与曲面相交可能得到直线，也可能得到曲线．图1-3-5图1-3-4 图1-3-6。
《截一个几何体》示范教学方案
第一章丰富的图形世界1.3截一个几何体一、教学目标1．通过经历用一个平面去截一个几何体的切截活动，理解截面的意义，识别一些几何体截面的形状.2.培养空间想象能力，丰富数学活动经验，发展空间观念．二、教学重点及难点重点：引导学生参与用一个平面截一个正方体的数学活动，体会截面和几何体的关系. 难点：同一几何体不同角度切截所得截面的不同形状的想象与截法，从切截活动中发现规律三、教学准备三角尺、正方体模型、立方体、圆柱体、球体实物模型、胶泥四、相关资源动画《用平面截正方体》五、教学过程【复习回顾】复习回顾，引出新课此图片是动画缩略图，本动画资源探究了用平面截正方体的过程，适用于截一个几何体的教学.若需使用，请插入【数学探究】用平面截正方体.板书：3.截一个几何体【新知讲解】（一）定义：截面师生活动：用小刀切几何体（胶泥）．展示图片，理解截面的定义用一个平面去截取一个几何体，截出的面叫做截面；变换一个角度，截面的形状可能就有所不同．设计意图：教师借助学生在生活中切菜和削水果的体验，引导学生进入本节的学习，使学生感受到数学知识与实际生活是紧密联系的．（二）平面截几何体，截面形状的探究探究一：用一个平面去截正方体，所得到的截面形状师生活动：老师巡视，鼓励学生从切截活动中验证自己的猜想．此处注意学生空间认知的差异，引导学生相互交流，突出生生之间的交流和评价．截出等腰三角形、等边三角形、等腰梯形等图形给予肯定．对于先截出五边形或是六边形的小组给予肯定，并且引导其他没有截出五边形或是六边形的小组合作尝试．在师生交流中注意发现学生表述中的闪光点，为下一环节做好准备．归纳总结：三角形截面：正方形截面：长方形截面：梯形截面：五边形截面：六边形截面：总结分析后，引导学生认识到：平面与正方体的几个面相交，就能得到几条线，所得的截面就是几边形，而正方体只有六个面，所以平面最多与正方体的六个面都相交，所得的截面最多有六条边.刚才截一个正方体就得多个不同的截面，那么如果截一个圆柱体呢？或是截一个其他棱柱体呢？你又会得到一些什么样的截面？探究二：平面截圆柱，所得到的截面图形状师生活动：帮助学生完成由实际体验到空间想象的过渡，提高想象能力．并总结各种截面是如何截出来的，它们有什么规律．从圆柱的中间横截得的图形是圆．从圆柱的中间斜截得的图形是椭圆（如图）．从圆柱的中间竖截得的图形是长方形（如图）等．探究三：归纳总结：1.用平面截几何体所得截面的形状有哪些？截面的形状多为圆和多边形，也可能是不规则图形，一般与下面两点有关：①几何体的形状；②切面的方向和角度．一般地，截面与几何体的几个面相交，就得到几条交线，截面与几个平面相交就得到几边形，截面与曲面相交，得到曲线，截面是圆或不规则图形．2.几种常见几何体的截面：正方体的截面有：三角形，等腰三角形，等边三角形；正方形，长方形，平行四边形，菱形，梯形，五边形，六边形；圆柱的截面：圆，椭圆，长方形，不规则图形；圆锥的截面：圆，椭圆，等腰三角形，不规则图形．【典型例题】1．图中的截面分别是什么形状？解：图中的截面分别是：（1）长方形；（2）六边形；（3）三角形：（4）圆形．2．分别指出图中几何体截面形状的标号．解：（1）是B；（2）是C．3．用平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方体，你能想象出原来的几何体可能是什么吗？解：可能是正方体、圆柱、长方体、棱柱等．设计意图：进一步发展学生空间想象能力，并且通过题型训练形成初步技能．同时引导学生进行分析，了解圆柱、圆锥、棱柱、球的截面，提高学生对几何体的截面的认识．4．有下列几何体：（1）圆柱；（2）正方体；（3）棱柱；（4）球；（5）圆锥；（6）长方体．则这些几何体中截面可能是圆的有（）．A．2种B．3种C．4种D．5种5．下列说法中，正确的是（）．A．用一个平面去截一个圆锥，可以是椭圆B．棱柱的所有侧棱长都相等C．用一个平面去截一个圆柱体，截面可以是梯形D．用一个平面去截一个长方体截面不能是正方形6．正方体被一个平面所截，所得边数最多的多边形是（）．A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形答案：4．B．5．B．6．C．【随堂练习】2．用平面去截一个三棱柱，截面可能是什么形状？先想一想，再做一做．3．用平面去截一个几何体，如果截面形状是圆，你能想象出原来的几何体可能是多么吗？如果截面是三角形呢？参考答案：1．解：（1）三角形；（2）圆；（3）五边形；（4）长方形．2．可能是三角形、四边形、五边形．3．解：（1）截面是圆的几何体可能是圆柱、圆锥、球等或其中某些几何体的组合体．（2）截面是三角形的几何体可能是正方体、棱锥、棱柱、圆锥等或其中某些几何体的组合体．六、课堂小结：谈谈本节课你有什么收获？1.师生共同回顾正方体的截面形状和一些常见几何体的截面形状.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？截一个几何体所得平面图形的边数不会超过它的面数【教学说明】学生大胆发言，回顾本节课所学新知，加深印象.。
七上第一章1.3截一个几何体
用一个平面去截下列各几何体，所得 截面与其它三个不同的是 ( D )
A
B
C
D
4、用平面截正方体得到五边形，需要经 过正方体的几个面？（ C ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5、从任意方向截几何体，球 的截面一定 是圆． 6、 一立体图形，用水平截面去截，所 得的截面是圆；用竖直的截面去截，所得 截面是矩形，这个几何体可能是 圆柱体 ．
形状 三角形 四边形
平 行 四 边 形
特殊情形
等 腰 三 角 形 长 方 形 等 边 三 角 形 正 方 形 梯 形
五边形
六边形
用平面去截正方体，能截出七边 形截面吗？
点拨：
由前面的知识我们知道“面与面 相交得到线”，而用平面去截几何体， 所得的截面就是这个平面与几何体每 个面相交的线所围成的图形．正方体 只有六个面，所以截面最多有六条边， 即截面边数最多的图形是六边形．
1、截面的定义：用一个平面去截一 个几何体，截出的面叫截面 ； 2、正方体的截面可以是三角形、四 边形、五边形、六边形. 3、通过截面形状来猜想原几何体。
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
（2）பைடு நூலகம்
（3）
（4）
（1）
（2）
（3）
（4）
1、用平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形， 则原来的几何体不可能是（ D ） A、正方体 B、棱柱体 C、圆柱 D、圆锥 2、用平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（ D ） A、四边形 B、五边形 C、六边形 D、七边形 3、下列说法上正确的是（ D ） A、长方体的截面一定是长方形 B正方体的截面一定是正方形； C、圆锥的截面一定是三角形 D、球体的截面一定是圆 4、用一个平面去截五棱柱，边数最多的截面 七 是_______边形．
【数学】立体几何中的截面问题(六大题型) 2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第二册
【答案】 3
【解析】设正方体 − 1 1 1 1 的棱长为 2 ，体积为 ，
则 = 2 × 2 × 2 = 8 3 ，
因为 E 是棱 1 1 的中点，所以 1 = ，
（ 2 ） 过 M ， N ， P 三 点作 正方 体的 截面 为 ， 如图 所示 ：
则 截 面 的 周 长 为： + + + + = + + ，
因 为 正 方 体 棱 长为 1 ， 则
= =
=
故选：ACD．
3
2
3
2
(2 − )2，ℎ2 =
( 2)2 − [
2 = − 3 2 + 2 3 + 2 3
2 ( 2 − ) − 2 2 2
]
2
=
3 2 ，
2
题型二：截面周长
【例 2 】（ 2024·高三 ·四川成都 ·开学考试）如图，正方体 − 1 1 1 1 的棱长为 4 ， E 是侧棱 1 的中
A．1∶ 2
B．1∶4
C．1∶（ 2+1）
D．1∶（ 2﹣1）
【答案】 D
【解析】设截后棱锥的高为 h ，原棱锥的高为 H ，
由于截面与底面相似，一个正棱锥被平行于底面的平面所截，
若截得的截面面积与底面面积的比为 1 ∶ 2 ， ℎ =
则此正棱锥的高被分成的两段之比：
故选：D
ℎ
−ℎ
=
1
.
2−1
设 1 = ， 则 0 ≤ ≤ 1，
《数学探究活动(一)：正方体截面探究》
教师给出截面的概念,学生理解截面的边是平面和几何体各面的交线.
教师继续提出问题：正方体是立体几何中的一个重要模型,它是一种非常对称的几何体.
如果我们拿一个平面去截一个正方体,那么会得到什么形状的截面图呢？
学生分组,利用手中的橡皮泥（或萝卜）及小刀做实验,先用橡皮泥捏一个正方体（或用
萝卜切块）,再用小刀截手中的正方体,得到一个截面并观察,完成6个探究任务,得出答案.
北师大版同步教材精品课件
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
《数学探究活动（一）： 正方体截面探究》
学而优 · 教有方
情景引入
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
教学内容
按照习惯,我们是不吃西瓜皮,只吃西瓜瓤的.现在有一个外皮已经洗净的西瓜,设想一下,你 一般是如何吃到里面的瓢的呢？
师生互动
教师拿出一个西瓜,让学生抽象出它是哪一种空间图形. 学生回答,一致认为它应该是球体. 教师进一步提出左边的问题让学生抢答,并进一步要求学生思考：刀经过的面是一个什么 形状的图形呢？ 学生回答后,教师再请学生上台演示切西瓜,验证答案.
2.正方体截面
（1）锐角三角形、等边三角形、等腰三角形
（2）正方形、矩形、非矩形的平行四边形、菱形、梯形、等腰梯形 （3）五边形、六边形、正六边形 3.例 4.小结与作业
学而优 · 教有方
教学研讨
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
教学设计中设计了一系列跨度很大的探究问题串,探究的难点是分类找出所有可能的截 面,并证明哪些形状的截面一定存在或者一定不存在.经历通过动手操作试验、猜想、验证 答案等活动,逐渐深入地探究观察,有利于培养学生发现问题、分类讨论、作图表达、推理 论证等能力.
探究5：能否截出正五边形？为什么？
(常考题)人教版初中数学七年级数学上册第四单元《几何图形初步》测试卷(答案解析)(2)
一、选择题1．如图所示的四个几何体中，从正面、上面、左面看得到的平面图形都相同的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段CB 上任意一点，则下列表示线段关系的式子不正确的是（ ）A ．AB=2ACB ．AC+CD+DB=ABC ．CD=AD-12AB D ．AD=12（CD+AB ） 3．如图，O 是直线AC 上一点，OB 是一条射线，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内，且∠DOE ＝60°，∠BOE ＝13∠EOC ，则下列四个结论正确的个数有（ ） ①∠BOD ＝30°；②射线OE 平分∠AOC ；③图中与∠BOE 互余的角有2个；④图中互补的角有6对．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，点O 在直线AB 上，射线OC ，OD 在直线AB 的同侧，∠AOD ＝40°，∠BOC ＝50°，OM ，ON 分别平分∠BOC 和∠AOD ，则∠MON 的度数为( )A ．135°B ．140°C ．152°D ．45°5．如图．已知//AB CD ．直线EF 分别交,AB CD 于点,,E F EG 平分BEF ∠．若1 50∠=︒．则2∠的度数为（ ）A．50︒B．65︒C．60︒D．70︒6．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱D．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱7．如果∠1的余角是∠2，并且∠1＝2∠2，则∠1的补角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°8．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（）A．85°B．105°C．125°D．160°9．若∠A=20°18′，∠B=20°15″，∠C=20.25°，则有（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B 10．对于线段的中点，有以下几种说法：①若AM=MB，则M是AB的中点；②若AM=MB=12AB，则M是AB的中点；③若AM=12AB，则M是AB的中点；④若A，M，B在一条直线上，且AM=MB，则M是AB的中点．其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②④D．①②③④11．用一个平面去截一个圆锥，截面的形状不可能是（）A．B．C．D．12．用一个平面去截正方体，所得截面是三角形，留下较大的几何体一定有（）A．7个面B．15条棱C．7个顶点D．10个顶点二、填空题13．从起始站A 市坐火车到终点站G 市中途共停靠5次，各站点到A 市距离如下： 站点B C D E F G 到A 市距离(千米)4458051135149518252270若火车车票的价格由路程决定，则沿途总共有不同的票价____种． 14．如图，点C 是线段AB 的中点，点D ，E 分别在线段AB 上，且ADDB ＝23，AE EB＝2，则CDCE的值为____．15．如图，若AOB ∠是直角，OM 平分AOC ∠，ON 平分COB ∠，则MON ∠=________.16．用一个平面分别截棱柱、圆锥，都能截出的一个图形是________.17．把棱长为1cm 的四个正方体拼接成一个长方体，则在所得长方体中，表面积最大等于________2cm .18．把一条长为20厘米的线段分成三段，如果中间一段长为8厘米，那么第一段中点到第三段中点间的距离等于________厘米．19．乘火车从A 站出发，沿途经过3个车站方可到达B 站，那么在A ，B 两站之间需要安排不同的车票________种．20．如图，小颖从家到超市共有4条路可走，小颖应选择第________条路才能使路程最短，用数学知识解释为________________.三、解答题21．把一副三角板的直角顶点O 重叠在一起．（1）问题发现：如图①，当OB 平分∠COD 时，∠AOD+∠BOC 的度数是 ； （2）拓展探究：如图②，当OB 不平分∠COD 时，∠AOD+∠BOC 的度数是多少？ （3）问题解决：当∠BOC 的余角的4倍等于∠AOD 时，求∠BOC 的度数．22．如图，射线ON ，OE ，OS ，OW 分别表示以点O 为中心的北，东，南，西四个方向，点A 在点O 的北偏东45︒方向，点B 在点O 的北偏西30方向．（1）画出射线OB ，若BOC ∠与AOB ∠互余，请在图（1）或备用图中画出BOC ∠； （2）若OP 是AOC ∠的平分线，直接写出AOP ∠的度数．（不需要计算过程） 23．已知长方形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，点F ，G 在边CD 上，连接EF ，EG ．将BEG ∠对折，点B 落在直线BG 上的点B '处，得折痕EM ；将AEF ∠对折，点A 落在直线EF 上的点A '处，得折痕EN ．（1）如图（1），若点F 与点G 重合，求MEN ∠的度数；（2）如图（2），若点G 在点F 的右侧，且30FEG ︒∠=，求MEN ∠的度数； （3）若MEN α∠=，请直接用含α的式子表示FEG ∠的大小． 24．如图，平面上有四个点A 、B 、C 、D ，根据下列语句画图．（1）画直线AB 、CD 交于E 点； （2）画线段AC 、BD 交于点F ； （3）连接E 、F 交BC 于点G ； （4）连接AD ，并将其反向延长；（5）作射线BC ．25．如图，以直线AB 上一点O 为端点作射线OC ，使70AOC ∠=︒，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点O 处.（注：90DOE ∠=︒）（1）如图1，如果直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OA 上，那么COE ∠的度数为______；（2）如图2，将直角三角板DOE 绕点O 按顺时针方向转动到某个位置，如果OC 恰好平分AOE ∠，求COD ∠的度数；（3）如图3，将直角三角板DOE 绕点O 任意转动，如果OD 始终在AOC ∠的内部，请直接用等式表示AOD ∠和COE ∠之间的数量关系.26．如图，一个五棱柱的盒子(有盖)，有一只蚂蚁在A 处发现一只虫子在D 处，立刻赶去捕捉，你知道它怎样去的吗?请在图中画出它的爬行路线，如果虫子正沿着DI 方向爬行，蚂蚁预想在点I 处将它捕捉，应沿着什么方向?请在图中画出它的爬行路线.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】分别找出每个图形从三个方向看所得到的图形即可得到答案．【详解】解：①正方体从上面、正面、左侧三个不同方向看到的形状都是正方形，故此选项正确；②球从上面、正面、左侧三个不同方向看到的形状都是圆，故此选项正确；③圆锥，从左边看是三角形，从正面看是三角形，从上面看是圆，故此选项错误；④圆柱从左面和正面看都是矩形，从上边看是圆，故此选项错误；故选B．【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．2．D解析：D【解析】解：A、由点C是线段AB的中点，则AB=2AC，正确，不符合题意；B、AC+CD+DB=AB，正确，不符合题意；C、由点C是线段AB的中点，则AC=12AB，CD=AD-AC=AD-12AB，正确，不符合题意；D、AD=AC+CD=12AB+CD，不正确，符合题意．故选D．3．D解析：D【分析】根据题意首先计算出∠AOD的度数，再计算出∠AOE、∠EOC、∠BOE、∠BOD的度数，然后再分析即可．【详解】解：由题意设∠BOE=x，∠EOC=3x，∵∠DOE＝60°，OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠BOD =60°-x，根据题意得：2（60°-x）+4x=180°，解得x=30°，∴∠EOC=∠AOE＝90°，∠BOE＝30°，∴∠BOD=∠AOD＝30°，故①正确；∵∠BOD＝∠AOD＝30°，∴射线OE平分∠AOC，故②正确；∵∠BOE＝30°，∠AOB＝60°，∠DOE＝60°，∴∠AOB+∠BOE＝90°，∠BOE+∠DOE＝90°，∴图中与∠BOE互余的角有2个，故③正确；∵∠AOE＝∠EOC＝90°，∴∠AOE+∠EOC＝180°，∵∠EOC＝90°，∠DOB＝30°，∠BOE＝30°，∠AOD＝30°，∴∠COD+∠AOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOE＝180°，∠COB+∠AOB＝180°，∠COB+∠DOE＝180°，∴图中互补的角有6对，故④正确，正确的有4个，故选：D．【点睛】本题主要考查角平分线以及补角和余角，解答的关键是正确计算出图中各角的度数．4．A解析：A【分析】根据题意各种角的关系直接可求出题目要求的角度.【详解】因为∠AOD＝40°，∠BOC＝50°，所以∠COD＝90°，又因为OM，ON分别平分∠BOC和∠AOD，所以∠N OD+∠M OC＝45°，则∠MON=∠N OD+∠M OC+∠COD=135°.【点睛】本题考查了角平分线的知识，掌握角平分线的性质是解决此题的关键.5．B解析：B【分析】根据平行线的性质和角平分线性质可求．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠1+∠BEF=180°，∠2=∠BEG，∴∠BEF=180°-50°=130°，又∵EG平分∠BEF，∠BEF=65°，∴∠BEG=12∴∠2=65°．故选：B．【点睛】此题考查平行线的性质，角平分线的性质，解题关键在于掌握两直线平行，内错角相等和同旁内角互补这两个性质．6．D解析：D【分析】根据常见的几何体的展开图进行判断，即可得出结果．【详解】根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：圆锥，正方体，三棱锥，圆柱；故选：D【点睛】本题考查了常见几何体的展开图；熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．7．C解析：C【分析】根据∠1的余角是∠2，并且∠1＝2∠2求出∠1，再求∠1的补角．【详解】∵∠1的余角是∠2，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝2∠2，∴2∠2+∠2＝90°，∴∠2＝30°，∴∠1＝60°，∴∠1的补角为180°﹣60°＝120°．故选：C．【点睛】本题考查了余角和补角，熟记概念并理清余角和补角的关系求解更简便．8．C解析：C【分析】首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．【详解】根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，故选：C．【点睛】本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．9．C解析：C【分析】根据度分秒之间的换算，先把∠C的度数化成度、分、秒的形式，再根据角的大小比较的法则进行比较，即可得出答案．【详解】解：∵∠C=20.25°=20°15′，∴∠A＞∠C>∠B，故选：C．【点睛】此题考查了角的大小比较，先把∠C的度数化成度、分、秒的形式，再进行比较是本题的关键．10．B解析：B【分析】根据线段中点的定义和性质，可得答案．【详解】若AM=MB，M不在线段AB上时，则M不是AB的中点，故①错误，若AM=MB=12AB，则M是AB的中点，故②正确；若AM=12AB，M不在线段AB上时，则M不是AB的中点，故③错误；若A，M，B在一条直线上，且AM=MB，则M是AB的中点，故④正确；故正确的是：②④故选B.【点睛】本题考查了线段中点的定义和性质，线段上到线段两端点距离相等的点是线段的中点．11．D解析：D【解析】【分析】圆锥是由圆和扇形围成的几何体，圆锥的底面是圆，侧面是曲面，截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，据此对所给选项一一进行判断.【详解】圆锥的轴截面是B，平行于底面的截面是C，当截面与轴截面斜交时截面是A；无论如何截，截面都不可能是D.故选D.【点睛】此题考查截一个几何体，解题关键是掌握圆锥的特点进行求解.12．A解析：A【解析】【分析】用一个平面截正方体，若所得的截面是一个三角形，此时剩下的较大的几何体一定比正方体多了一个面，如果过三个面截得的截面是三角形，那么就能多出3条棱和两个顶点，如果过3个顶点截得的截面是三角形，那么就能多出0条棱和两个顶点．【详解】用一个平面截正方体，若所得的截面是一个三角形，此时剩下的较大的几何体一定比正方体多了一个面，如果过三个面截得的截面是三角形，那么就能多出3条棱和两个顶点，如果过3个顶点截得的截面是三角形，那么就能多出0条棱和两个顶点.故选：A.【点睛】此题考查截一个几何体，解题关键在于掌握立体图形.二、填空题13．14【分析】画出图形后分别求出BCCDDEEFFG的大小可得AB＝FGBC＝DECD＝EF然后根据票价是由路程决定再分别求出从ABCDEF出发的情况相加即可【详解】解：①从A分别到BCDEFG共6种解析：14【分析】画出图形后分别求出BC、CD、DE、EF、FG的大小，可得AB＝FG，BC＝DE，CD＝EF，然后根据票价是由路程决定，再分别求出从A、B、C、D、E、F出发的情况，相加即可．【详解】解：①从A分别到B、C、D、E、F、G共6种票价，如图：BC＝805﹣445＝360，CD＝1135﹣805＝330，DE＝1495﹣1135＝360，EF＝1825﹣1495＝330，FG＝2270﹣1825＝445，即AB＝FG，BC＝DE，CD＝EF，②∵BC＝360，BD＝690，BE＝1050，BF＝1380，BG＝1825＝AF，∴从B出发的有4种票价，有BC、BD、BE、BF，4种；③∵CD＝330，CE＝690＝BD，CF＝1020，CG＝1465，∴从C出发的（除去路程相同的）有3种票价，有CD，CF，CG，3种；④∵DE＝360＝BC，DF＝690＝BD，DG＝1135＝AD，∴从D出发的（除去路程相同的）有0种票价；⑤∵EF＝330＝CD，EG＝775，∴从E出发的（除去路程相同的）有1种票价，有EG，1种；⑥∵FG＝445＝AB，∴从F出发的（除去路程相同的）有0种票价；∴6+4+3+0+1+0＝14．故答案为：14．【点睛】本题考查了线段知识的实际应用，正确理解题意、不重不漏的求出所有情况是解此题的关键，这是一道比较容易出错的题目，求解时注意分类全面．14．【分析】由线段中点的定义可得AC=BC=AB根据线段的和差关系及＝＝2可得出CDCE与AB的关系进而可得答案【详解】∵点C是线段AB的中点∴AC=BC=AB∵＝＝2BD=AB-ADAE=AB-BE∴解析：3 5【分析】由线段中点的定义可得AC=BC=12AB，根据线段的和差关系及ADDB＝23，AEEB＝2，可得出CD、CE与AB的关系，进而可得答案.【详解】∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC=12AB，∵ADDB ＝23，AEEB＝2，BD=AB-AD，AE=AB-BE，∴AD=25AB，BE=13AB，∵CD=AC-AD，CE=BC-BE，∴CD=12AB-25AB=110AB，CE=12AB-13AB=16AB，∴CDCE=11016ABAB=35，故答案为3 5【点睛】本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键．15．45°【分析】结合图形根据角的和差以及角平分线的定义找到∠MON与∠AOB的关系即可求出∠MON的度数【详解】解：∵OM平分∠AOCON平分∠BOC∴∠MOC=∠AOC∠NOC=∠BOC∴∠MON=解析：45°【分析】结合图形，根据角的和差，以及角平分线的定义，找到∠MON与∠AOB的关系，即可求出∠MON的度数.【详解】解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，∴∠MON=∠MOC-∠NOC=12（∠AOC-∠BOC）=12（∠AOB+∠B0C-∠BOC）=12∠AOB=45°.故选答案为45°.【点睛】本题考查了角的计算，属于基础题，此类问题，注意结合图形，运用角的和差和角平分线的定义求解.16．三角形【分析】分析用一个平面分别去截圆锥棱柱分别能够得到哪些截面图形然后从分别得到的截面图形中找出都有的图形即可【详解】用一个平面去截棱柱可以得到三角形长方形；用一个平面去截圆锥可以得到圆三角形等故解析：三角形【分析】分析用一个平面分别去截圆锥、棱柱，分别能够得到哪些截面图形，然后从分别得到的截面图形中找出都有的图形即可.【详解】用一个平面去截棱柱可以得到三角形、长方形；用一个平面去截圆锥可以得到圆、三角形等.故用一个平面分别去截分别截棱柱、圆锥，都能截出的一个截面是三角形.故答案为三角形.【点睛】此题考查几何体的截面图形，熟练掌握常见几何体的截面图形是解题的关键.17．【分析】棱长为1cm的正方体拼的表面积是6要使拼接成的长方体表面积最大则重合的面要最少当四个正方体排成一列时面积最大重合的有6个面【详解】解：当四个正方体排成一列时面积最大重合的有6个面根据以上分析解析：18【分析】棱长为1cm的正方体拼的表面积是6，要使拼接成的长方体表面积最大则重合的面要最少，当四个正方体排成一列时，面积最大．重合的有6个面．【详解】解：当四个正方体排成一列时，面积最大．重合的有6个面．根据以上分析表面积最大的为：4×（4×1）+2×（1×1）=18.故答案为18．【点睛】本题的考查了长方体表面积的计算，关键是要分析出什么情况下表面积最大．18．14【解析】【分析】先求出两边线段的长度之和第一段中点到第三段中点之间的距离等于两边线段的一半与中间线段的和【详解】根据题意第一段与第三段长度之和=20-8=12cm所以第一段中点到第三段中点之间的解析：14【解析】【分析】先求出两边线段的长度之和，第一段中点到第三段中点之间的距离等于两边线段的一半与中间线段的和．【详解】根据题意，第一段与第三段长度之和=20-8=12cm，所以第一段中点到第三段中点之间的距离=12÷2+8=6+8=14cm．【点睛】能正确找出“第一段中点到第三段中点之间的距离等于两边线段的一半与中间线段的和”是解本题的关键．19．20【解析】【分析】本题需先求出AB之间共有多少条线段根据线段的条数即可求出车票的种数【详解】设点CDE是线段AB上的三个点根据题意可得：图中共用=10条线段∵A到B与B到A车票不同∴从A到B的车票解析：20【解析】【分析】本题需先求出A、B之间共有多少条线段，根据线段的条数即可求出车票的种数．【详解】设点C、D、E是线段AB上的三个点，根据题意可得：图中共用()5152-⨯=10条线段∵A到B与B到A车票不同．∴从A到B的车票共有10×2=20种故答案为20．【点睛】本题主要考查了如何求线段的条数的问题，在解题时要注意线段的条数与车票种数的联系与区别．20．②两点之间线段最短【分析】结合两点之间线段最短以及图形信息即可解答本题【详解】根据题意可把家与超市看作两个点结合两点之间线段最短即可得出第②条为最短距离即数学知识为两点之间线段最短【点睛】本题考查两解析：② 两点之间，线段最短【分析】结合“两点之间线段最短”以及图形信息即可解答本题.【详解】根据题意，可把家与超市看作两个点，结合“两点之间线段最短”即可得出第②条为最短距离，即数学知识为“两点之间线段最短”.【点睛】本题考查两点之间的最短距离，熟练掌握“两点之间线段最短”的性质是解题关键.三、解答题21．（1）180°；（2）180°；（3）60°．【解析】试题分析：（1）先根据OB平分∠COD得出∠BOC及∠AOC的度数，进而可得出结论；（2）根据直角三角板的性质得出∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°进而可得出结论；（3）根据（1）、（2）的结论可知∠AOD+∠BOC=180°，故可得出∠AOD=180°﹣∠BOC，根据∠BOC的余角的4倍等于∠AOD即可得出结论．解：（1）∵OB平分∠COD，∴∠BOC=∠BOD=45°．∵∠AOC+∠BOC=45°，∴∠AOC=45°，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=45°+90°+45°=180°．故答案为180°；（2）∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=90°+90°=180°；（3）∵由（1）、（2）得，∠AOD+∠BOC=180°，∴∠AOD=180°﹣∠BOC．∵∠AOD=4（90°﹣∠BOC），∴180°﹣∠BOC=4（90°﹣∠BOC），∴∠BOC=60°．考点：余角和补角；角平分线的定义．22．（1）见解析；（2）45 或30．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据角平分线的定义即可得到结论．【详解】（1）如图所示，BOC ∠与BOC '∠即为所求．（2）AOP ∠的度数为45︒或30︒．∵∠AON=45°，∠BON=30°，∴∠AOB=75°，∵∠BOC 与∠AOB 互余，∴∠BOC=∠BOC′=15°，∴∠AOC=90°，∠AOC=60°，∵OP 是∠AOC 的角平分线，∴∠AOP=45°或30°．【点睛】本题主要考查了方向角的定义，余角的定义，作出图形，正确掌握方向角的定义是解题关键．23．（1）90︒；（2）105︒；（3）若点G 在点F 的右侧，2180FEG α︒∠=-；若点G 在点F 的左侧，1802FEG α︒∠=-【分析】（1）由题意根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可．（2）由题意根据∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG ，求出∠NEF+∠MEG 即可解决问题． （3）根据题意分点G 在点F 的右侧以及点G 在点F 的左侧两种情形分别求解即可．【详解】解：（1）因为EN 平分AEF ∠，EM 平分BEF ∠， 所以12NEF AEF ∠=∠，12MEF BEF ∠=∠， 所以1111()2222MEN NEF MEF AEF BEF AEF BEF AEB ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠． 因为180AEB ︒∠=， 所以1180902MEN ︒︒∠=⨯=．（2）因为EN 平分AEF ∠，EM 平分BEG ∠， 所以12NEF AEF ∠=∠，12MEG BEG ∠=∠， 所以1111()()2222NEF MEG AEF BEG AEF BEG AEB FEG ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠． 因为180AEB ︒∠=，30FEG ︒∠=，所以()118030752NEF MEG ︒︒︒∠+∠=-=， 所以7530105MEN NEF FEG MEG ︒︒︒∠=∠+∠+∠=+=．（3）因为EN 平分AEF ∠，EM 平分BEG ∠，所以12NEF AEF AEN ∠=∠=∠，12MEG BEG BEM ∠=∠=∠， 若点G 在点F 的右侧，MEN NEF FEG MEG α∠=∠+∠+∠=， ()()(180)2180FEG NEF MEG AEN BEM ααααα︒︒∠=-∠+∠=-∠+∠=-=--；若点G 在点F 的左侧，MEN NEF MEG FEG α∠=∠+∠-∠=1801802FEG NEF MEG AEN BEM ααααα︒︒∠=∠+∠-=∠+∠-=--=-．【点睛】本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．24．见解析．【分析】（1）连接AB 、CD 并向两方无限延长即可得到直线AB 、CD ；交点处标点E ；（2）连接AC 、BD 可得线段AC 、BD ，交点处标点F ；（3）连接AD 并从D 向A 方向延长即可；（4）连接BC ，并且以B 为端点向BC 方向延长．【详解】解：所求如图所示：．本题考查的是直线、射线、线段的定义及性质，解答此题的关键是熟知以下知识，即直线向两方无限延伸；射线向一方无限延伸；线段有两个端点画出图形即可．25．（1）20︒；（2）20︒；（3）20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠.【分析】（1）如图1，如果直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OA 上，则∠COE =20°； （2）由角平分线可得70COE AOC ∠=∠=︒，再利用角的和差进行计算即可； （3）分别用∠COE 及∠AOD 的式子表达∠COD ，进行列式即可．【详解】解：（1）∵90DOE ∠=︒，70AOC ∠=︒∴907020COE DOE AOC =∠-∠=︒-︒=︒∠故答案为：20︒（2）∵OC 平分AOE ∠，70AOC ∠=︒，∴70COE AOC ∠=∠=︒，∵90DOE ∠=︒，∴907020COD DOE COE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．（3）∵90COD DOE COE COE =∠-∠=︒-∠∠，70COD AOC AOD AOD =∠-∠=︒-∠∠∴9070COE AOD ︒-∠=︒-∠∴20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠．故答案为：20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠．【点睛】本题考查了角的和差关系，准确表达出角的和差关系是解题的关键．26．第一问：如图沿线段AD 爬行；第二问取线段E J 的中点M ，连结AM 和MI ，此路线为蚂蚁爬行的路线．【分析】根据两点之间线段最短，结合图形得出蚂蚁爬行的路线．【详解】解：第一问：如图沿线段AD 爬行；第二问取线段E J 的中点M ，连结AM 和MI ，此路线为蚂蚁爬行的路线．理由都是：两点之间线段最短．本题考查了几何体的展开图与两点之间线段最短，利用展开图的性质得出答案是解题的关键．。
正方体截面的探究
正方体截面的探究教学设计无为县襄安中学李向林背景介绍为了使课改工作开展的更有成效，很重要的方面，就是要重构课堂，在现代课堂的教学中，我们应该清楚地认识到：1.课堂不是教师表演的舞台，而是师生之间交流、互动的舞台。
2.课堂不是对学生进行训练的场所，而是引导学生发展的场所。
3.课堂不只是传授知识的场所，而更应该是探究知识的基地。
4.课堂不是教师教学行为模式化运作的天堂，而是教师教育智慧充分展现的竞技场。
在进行立体几何中“如何求作平面与平面的交线”这部分内容的教学时，为了提高学生学习立体几何的兴趣，帮助一些学生克服对立体几何的畏惧心理，我适时补充了“正方体的截面”这个内容。
考虑到要通过会“求作平面与平面的交线”从而学会“过已知点求作正方体的截面”对学生而言是有一定难度的。
因此，能否通过这节课的学习让学生体会到数学知识就在我们身边、感悟到数学的美，激发出学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲望，初步培养学生动手实验、观察比较、归纳总结的能力和探究意识、创新意识，就成为这节课首要解决的问题。
为了更好地突破以上难点，落实新课标的精神，我运用"学生为主体，教师为引导，问题为核心，体验为红线"的探究性学习方式，逐步培养学生的创造性思维；在教学策略上我通过实物操作与电脑演示相结合的方法帮助学生了解正方体截面的各种可能的形状以及有否特殊的形状。
教材分析《正方体截面的探究》是人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2》关于正方体的“截面”问题的教学设计。
本课是在学生已经学习了平面的三个基本性质的基础上，为了更深刻地理解平面图形与立体图形之间的关系及求作平面与平面的交线，帮助学生初步建立空间观念，发展几何直觉，而安排的一节以实验操作为主的探究课。
新课程标准强调课程实施应从学生的学习兴趣，生活经验和认知水平出发，倡导体验、实践、参与、交流的学习方式和任务型的教学途径，发展学生的主动思维能力和大胆实践的创新精神。
用一个平面去截正方体截面形状总结
用一个平面去截正方体截面形状总结
体积、体积流量和应力水平是用来识别正方体截面形状的三个重要指标。
这里介绍三
种常见的正方体截面形状：正贯、斜贯、自由贯。
正贯正方体截面是指所有的边都是同一长度的正方体，一个表面上的物体将沿着正方
体对称布置。
正贯正方体截面的体积最大，因此是流体运动的最完整的状态，也是力学的
最佳状态。
此外，由于有四个平行面，因此可以有效地利用热量与流体动力学模型来解释
有关流体运动的结果。
斜贯正方体截面即其中一边比其余边更长的正方体，它可以有效地将空气泵注入流体中，以实现降低压力的目的。
一般来说，斜贯正方体的体积较小，可以减少管路的布置空间，但流量会受到一定的影响。
自由贯形正方体截面指其边长不完全一致的正方体，这种布局有利于控制气泡的大小。
当气泡大小分散，可以使体积流量稳定，从而在有限的试验时间内有效地提高气泡的均匀性。
然而，自由贯形正方体的有效截面面积较小，因此可能会导致体积流量开始变化。
从应力的方面考虑，正贯和斜贯结构的正方体截面会产生更大的流动和撞击应力，而
自由贯形的正方体截面则会更有利于应力的均衡分布。
总的来说，三种截面形状的正方体的应用各有不同，根据实际情况，比如体积、体积
流量和应力等，有助于决定应用时的最佳类型。
因此，在设计实验室以及各种工业和生物
应用中，使用不同形状的正方体截面是很有效的，可以帮助减少流体运动的不稳定性。
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探索用平面截正方体所得截面形状
黄山学校陆荣
高二上学期黄山市期末质量检测理科有一道平面截正方体所得截面形状的问题，这一块具有一定的抽象性，现将此类问题做一个归纳总结。
一：问题背景
在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。
而在普通高中课程标准试验教科书《数学（必修2）》中，第一章立体几何初步中的第7节简单几何体的面积和体积中探讨了简单几何体。
于是我们想到了若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？
二：研究方法
先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究，再利用计算机进行模拟实验。
证明，得出结论。
三：结果呈现
当平面经过正方体三个面时，所得截面形状是三角形。
可能是锐角三角形，等腰三角形，等边三角形。
当平面经过正方体四个面时，所得截面形状是四边形——长方形，正方形，梯形。
当平面经过正方体五个面时，所得截面形状是五边形。
当平面经过正方体六个面时，所得截面形状是六边形。
用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况.下面让我们来探索用平面截正方体所得截面的形状.
我们知道正方体有六个面，用一个平面去解正方体至少要经过三个面，最多经过六个面.所以出现的截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形.
一、截面是三角形
用一平面截正方体，当平面经过正方体的三个面时，所得的截面的形状为三角形.所得的三角形可能是锐角三角形（如图1）；等腰三角形（如图2）；等边三角形（如图3）.其中等边三角形三个顶点是正方形的顶点.
图1 图2 图3
已知：OA比OD=OC比OF=OB比OE
求证：三角形ABC是正三角形
证明：因为OA比OD=OC比OF=OB比OE
所以AC比DF=AB比DE=于BC比EF
又因为DF=DE=EF
所以三角形ABC是正三角形
二、截面是四边形
用一个平面截正方体，当平面经过正方体的四个面时，所得截面可能是正方形、长方形、梯形.
①用平行于底面的一个平面去截正方体时，按图4方式得到的截面是正方形.
图4
②按图5或图6或图7的方式切截，得到的截面是长方形
图5 图6 图7
已知：OA比OE=OB比OH；DN比FN=CN比NG；AD，AB都分别垂直于OE，OH
求证：四边形ABCD为矩形
证明：因为OA比OE=OB比OH
所以AB 平行CN
因为EH平行且垂直于FG
所以EFGH为平行四边形
所以AB平行平面EF；GH平行ABDC
因为DN比FN=CN比NG
所以DC平行FG
所以AB平行DC
所以四边形ABCD为矩形
③按图8的方式所得截面为梯形.
图8
已知：OD比OG=OC比OF；AN比HN=NB比NE；且AB不=DN
求证：四边形ABCD是梯形
证明：因为OD比OG=OC比OF
同理AB平行HE
因为GF平行HE
所以AB平行DC
又因为AB不=DC
所以AD，BC一定不平行
所以四边形ABCD是梯形
三、截面是五边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的五个面时，所得截面是五边形.如图9.
图9
四、截面是六边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的六个面时，所得截面是六边形，如图10.
图10
总结：用一个平面截正方体，由于正方体共有六个面，所以截面不可能是七边形.。