高三数学专题复习：第一部分专题一第二讲

例1 (1)若 f(x)＝
， f(x)的定义域为( 则
)
－1，0 A. 2 －1，0∪(0，＋∞) C. 2
－1，＋∞ B. 2 －1，2 D. 2
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第一部分•专题突破方略
x ＋2ax，x≥2 2 x (2)已知函数 f(x)＝ ， f(f(1))>3a ， 若 2 ＋1，x<2
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第一部分•专题突破方略
3．函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识图、用图．
(2)作函数图象有两种基本方法：一是描点法；
二是图象变换法，其中图象变换法有平移变换
、伸缩变换、对称变换．
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第一部分•专题突破方略
4．指数函数与对数函数的性质
指数函数y＝ax(a>0， 对数函数y＝ 且a≠1) logax(a>0，且a≠1) (－∞，＋∞) (0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，＋∞) 恒过定点(0,1) 恒过定点(1,0) a>1时为增函数， a>1时为增函数， 0<a<1时为减函数 0<a<1时为减函数 非奇非偶函数 非奇非偶函数
第一部分•专题突破方略
第二讲
函
数
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第一部分•专题突破方略
主干知识整合
1．函数的单调性
对 于 定 义 域 内 某 一 区 间 D 内 任 意 的 x1 ， x2 且
x1<x2(或Δx＝x1－x2<0)
(1) 若 f(x1)<f(x2)( 或 Δy ＝ f(x1) － f(x2)<0) 恒 成 立
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第一部分•专题突破方略
变式训练1
在实数的原有运算中，我们定义新
运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时， a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－ 2,2]，则函数f(x)的值域为________．
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第一部分•专题突破方略
x－2，x∈[－2，1] 解析：由题意知 f(x)＝ 3 ， x －2，x∈1，2]
2
则 a 的取值范围是________．
【解析】
(1)由已知得
，
1 x>－ ， 2 ∴ 2x＋1≠1.
1 即 x>－ 且 x≠0，∴选 C. 2
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第一部分•专题突破方略
(2)由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a ，若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0， 解得－1<a<3.故填(－1,3)． 【答案】 (1)C (2)(－1,3)
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第一部分•专题突破方略
数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题
，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其
他知识之中，并且大都出现在解答题中．
(2)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的
影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有 关的问题时，首先要看底数a的范围．对于幂函 数，掌握好考纲中列出的五种常用的幂函数即 可．
【答案】
B
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第一部分•专题突破方略
【归纳总结】
确定函数零点的常用方法：
(1)解方程判定法：若方程易解时用此法． (2)利用零点存在性定理． (3)利用数形结合法，尤其是那些方程两端对应的 函数类型不同的绝对值、分式、指数、对数以及 三角等方程多以数形结合法求解．
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第一部分•专题突破方略
，D错误．所以选B.
【答案】 (1)B (2)B
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第一部分•专题突破方略
【归纳拓展】 (1)已知函数解析式选择其对应 的图象时，一般是通过研究函数的定义域、值 域、单调性、奇偶性等性质以及图象经过的特 殊点等来获得相应的图象特征，然后对照图象 特征选择正确的图象． (2)求解这类涉及函数性质的多项判断题时，既 要充分利用题目的已知条件，进行直接的推理 、判断，又要合理地运用函数性质之间的联系 ，结合已知的结论进行间接的判断．若能画出 图象的简单草图，往往会起到引领思维方向的 作用．
⇔f(x)在D上单调递增．
(2)若f(x1)>f(x2)(或Δy＝f(x1)－f(x2)>0)恒成立
⇔f(x)在D上单调递减．
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第一部分•专题突破方略
2．函数的奇偶性 (1)函数y＝f(x)是偶函数⇔y＝f(x)的图象关于y轴 对称． 函数y＝f(x)是奇函数⇔y＝f(x)的图象关于原点 对称． (2)奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区 间上的单调性相同，且在x＝0处有定义时必有 f(0)＝0，即f(x)的图象过(0,0)． (3)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区 间上的单调性相反．
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第一部分•专题突破方略
1 2 由于 2 ＞0， 所以 2 ＋1＞1,0＜ x ＜1,0＜ x ＜ 2 ＋1 2 ＋1
x x
2 2 2，－2＜－ x ＜0，－1＜1－ x ＜1，即－1＜ 2 ＋1 2 ＋1 y＜1， 故函数 f(x)的值域是(－1,1)．
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第一部分•专题突破方略
2
1 >0 a
，
1 解得 a＝ . 4
1 答案： 4
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第一部分•专题突破方略
考题解答技法 例
1 －x
(2011 年高考辽宁卷)设函数 f(x)＝
2 ，x≤1， 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值 1－log2x，x>1，
范围是( ) A．[－1,2] C．[1，＋∞)
B．[0,2] D．[0，＋∞)
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第一部分•专题突破方略
(2)函数 f(x)在(－∞，1]和(1，＋∞)上都为增函 数，且 f(x)在(－∞，1]上的最高点不高于其在
a 4－ >0 2 [1，＋∞)上的最低点，即 a≥4－a ＋2 2
a>1 得 a∈[4,8)，故选 B.
，解
答案：(1)A
(2)B
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第一部分•专题突破方略
(2)(2011年高考陕西卷)设函数f(x)(x∈R)满足f(－ x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是 ( )
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第一部分•专题突破方略
【解析】 (1)∵y＝x3 在定义域 R 上是奇函数，∴ A 不对． y＝－x ＋1 在定义域 R 上是偶函数， 但在(0， ＋∞) 上是减函数，故 C 不对．
x
递增函数，则实数 a 的取值范围为( A．(1，＋∞) C．(4,8) B．[4,8) D．(1,8)
)
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第一部分•专题突破方略
解析：(1)由于f(x)是定义在R上的周期为3的周期 函数，所以f(2011)＋f(2012)＝f(670×3＋1)＋ f(671×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图象可知f(1)＝1 ，f(－1)＝2，所以f(2011)＋f(2012)＝1＋2＝3.
2
1|x|虽是偶函数，但在(0，＋∞)上 D 中 y＝2 ＝ 2
－ |x|
是减函数，只有 B 对．
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第一部分•专题突破方略
(2)由于f(－x)＝f(x)，所以函数y＝f(x)是偶函数 ，图象关于y轴对称，所以A、C错误；由于f(x ＋2)＝f(x)，所以T＝2是函数y＝f(x)的一个周期
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第一部分•专题突破方略
变式训练 3
4 已知函数 f(x)＝1－ x (a＞0 且 2a ＋a
a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的值域．
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第一部分•专题突破方略
解：(1)由于函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 4 故必有 f(0)＝0，即 1－ 0 ＝0，解得 a＝2. 2a ＋a 2 (2)由(1)知 a＝2，代入 f(x)得 f(x)＝1－ x ， 2 ＋1
6．函数有零点的判定 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不 断的一条曲线，并且有f(a)· f(b)<0，那么函数y＝ f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)， 使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
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第一部分•专题突破方略
高考热点讲练
函数及其表示
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第一部分•专题突破方略
【解析】
当x≤1时，由21－x≤2，知x≥0，即
0≤x≤1.当x>1时，由1－log2x≤2，知x≥，即x>1，
所以满足f(x)≤2的x的取值范围是[0，＋∞)．
【答案】

要解不等式，要先根据分段函
【得分技巧】
数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析 式求解指数不等式与幂函数不等式，注意取值 范围的大前提，然后把两个不等式的解集并起
定义域 值域 不变性 增减性
奇偶性
图象特征 图象始终在x轴上方 图象始终在y轴右侧
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第一部分•专题突破方略
5.函数的零点与方程的根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x) 的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图 象交点的横坐标．
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第一部分•专题突破方略
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第一部分•专题突破方略
【归纳拓展】 求函数定义域的类型和相应方 法： (1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域 是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需 构建并解不等式(组)即可． (2)对于复合函数求定义域问题， 若已知f(x)的 定义域[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域应由 不等式a≤g(x)≤b解出． (3)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义 外，还应使实际问题有意义．
来即可．
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第一部分•专题突破方略
【失分溯源】 本题为与分段函数有关的解不 等式问题，在本题中易忽视根据分段条件进行 分类讨论，从而导致解错，分类讨论常见的误 区有： (1)忽视讨论：由题目信息不能进行正确的分类 讨论，如分段函数各段对应关系，指数、对数 函数的底数、直线的斜率、等比数列的公比等 需要讨论时而忽视． (2)讨论不全：即有丢掉的情况． (3)讨论不规范：讨论的先后顺序，最后结果整 合的不规范．
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第一部分•专题突破方略
变式训练2
(1)设f(x)是定义在R上的周期为3的
周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的
图象，则f(2011)＋f(2012)＝(
)
A．3
C．1
B．2
D．0
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第一部分•专题突破方略
a x>1 (2)若 f(x)＝ 是 R 上的单调 a 4－2x＋2x≤1
x1＋x2＝－1， (2)由根与系数关系，得 x1·2＝c， x
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第一部分•专题突破方略
又 x2＞x1， ∴x2－x1＝ x1＋x22－4x1·2＝ 1－4c. x 1 ∵0＜c＜ ，∴0＜x2－x1＜1. 4 即 x2－x1 的取值范围是(0,1)．
【归纳拓展】 (1)二次函数、一元二次方程和 一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理 解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分 类讨论、
第一部分•专题突破方略
基本初等函数
例3
设二次函数f(x)＝x2＋x＋c(c＞0)，若f(x)
＝0有两个实数根x1、x2(x1＜x2)． (1)求正实数c的取值范围； (2)求x2－x1的取值范围．
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第一部分•专题突破方略
(1)由 x2＋x＋c＝0 有两个实数根 x1、x2(x1 Δ＝1－4c＞0， 1 ＜x2)及 c＞0 得 解得 0＜c＜ . 4 c＞0， 0，1 . 即 c 的取值范围是 4 【解】
函数的零点
例4
函数 f(x)＝2x－x－ 2的一个零点所 ) B．(1,2) D．(3,4)
在的区间是( A．(0,1) C．(2,3)
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第一部分•专题突破方略
【解析】 观察函数 y＝2x 和函数 y＝x＋ 2的 图象可知，函数 f(x)＝2x－x－ 2有一个大于零 的零点，又 f(1)＝1－ 2<0，f(2)＝2－ 2>0， 根据函数零点的存在性定理知函数的一个零点 在区间(1,2)上．
当 x∈[－2,1]时，f(x)∈[－4，－1]；当 x∈(1,2] 时， f(x)∈(－1,6]， ∴当 x∈[－2,2]时， f(x)∈[－ 4,6]．
答案：[－4,6]
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第一部分•专题突破方略
函数的图象与性质
例2
(1)(2011年高考课标全国卷)下列函数中，既 )
是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( A．y＝x3 C．y＝－x2＋1 B．y＝|x|＋1 D．y＝2－|x|
变式训练4
若函数f(x)＝log2(x＋1)－1的零点是
抛物线x＝ay2的焦点的横坐标，则a＝________.
解析：令 f(x)＝log2(x＋1)－1＝0，得函数 f(x)的零 点为 x＝1， 于是抛物线 x＝ay2 的焦点的坐标是(1,0)，
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第一部分•专题突破方略
因为 x＝ay
2
1 可化为 y ＝ x，所以 a 1 4a＝1