构造法在数学解题中的应用

浅谈构造法在解题中的应用内容摘要数学思想方法在中学数学教学中有着十分关键的地位，在高中数学教学中，构造思想方法是一种极具创造性的数学思想方法，它充分渗透在其他的数学思想方法之中。

利用构造法解题可以更直观，更简单的解决比较复杂的数学问题。

鉴于此，本文的重点主要体现在构造法在解题中的应用上。

具体来说，本文将重点阐述以下几个问题：构造法的理论简介及应用:如构造函数、构造向量、构造数列、构造方程、构造几何模型、构造递推关系式、构造等价命题等。

【关键词】数学解题构造法数学问题Construction method in solving problemsAbstractMathematical way of thinking in mathematics teaching in secondary schools has a very key position.mathematics teaching in high school,structure of thinking is a highly creative mathematical thinking.It fully permeate into other mathematical way of thinking.Solving Problems by construction can be more intuitive and easier to solve complicated mathematical problems.In view of this,This article focuses mainly in the construction method in solving problems.Specifically,this article focuses on the following issues:the definition of construction method,In Algebra:Construction expression and formula, structural equation, structural relationship, constructors, construction proposition, construction sequence, structural model, structural vector, etc.【Key words】Mathematical problem solving Construction method Math problems目录一、引言 (1)二、构造法的理论简介 (1)（一）构造法 (1)（二）构造法的历史过程 (2)（三）构造法的特征 (2)三、构造法在解题中的应用 (3)（一）构造函数 (3)（二）构造向量 (4)（三）构造数列 (4)（四）构造方程 (5)（五）构造几何模型 (6)（六）构造递推关系式 (7)（七）构造等价命题 (7)四、结束语 (8)参考文献： (8)致谢： (8)浅谈构造法在解题中的应用学生姓名：指导老师：一、引言数学思想方法是解数学题的灵魂，构造法作为一种传统的数学思想方法，在数学产生时就存在。

历史上有不少数学家，如欧几里得，欧拉，高斯，拉格朗日等人，都曾用构造法解决过数学上的很多难题。

数学蕴含着丰富的美，构造法则起到了锦上添花的作用，近几年来，构造法在中学数学中也有了很高的地位。

利用构造法解题需要有扎实的知识基础，较强的观察能力，创造思维和综合运用能力等。

构造法反映了数学发现的创造性思维特点，我们所学的“构造”并不是“胡思乱想”，不是随便“编造”出来的，而是以我们所学习掌握的知识为背景，以具备的扎实的能力为基础，通过仔细观察，认真分析去发现问题的每一个环节以及他们的联系，进而为寻求解题方法创造条件。

在运用构造法解题的步骤中，不仅可以巩固学生的基本知识，还能培养学生观察、分析、联想、猜测等数学能力，激发学生的创造性思维。

所以在中学数学教学中，应注重对学生运用构造法解题的日常训练，使学生体会数学知识见的内在联系和相互的转化归结，能创造性的构造数学模型，巧妙地解决问题，从而获得学习的轻松感和愉悦感，体验成功的感觉，培养与增强了学生学习数学的积极性，提高他们的数学素养和能力。

二、构造法的理论简介（一）构造法所谓的构造法，就是根据问题的有关信息，确定某种特定的映射关系构想出数学模型，将问题转化为对数学模型的数理机制的研究，从而达到解题目的的一种化归方法。

构造法是解决各类数学题常用而且重要的方法之一，它在解决不同题目时的思考方式灵活。

构造的形式不尽相同，如何系统的理解和掌握构造法及其构造的思路对数学学习就显得十分必要和重要。

本文结合数学实际阐述了构造法在数学教学应用的重要性和必要性。

我们在解题过程中，出于某种需要，要么把题设条件中的关系构造出来，要么将关系设想在某个模型上得以实现，要么将已知条件经过适当的逻辑组合而构造出一种新的形式，从而使问题得以解决。

在这种思维过程中，对已有的知识和方法采取分解、组合、变换、类比限定、推广等手段进行思维的再创造，构造新的式子或图形来帮助解题的思想，我们称之为构造的思想。

构造思想方法作为一种常用的数学思想方法，具有其自身独特的显著特征，主要表现在：构造性、直观性、可行性、灵活性以及思维的多样性。

构造法的实质是一句某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式；或者利用具体问题的特殊性，为待解决的问题设计一个合理的框架，从而使问题转化并得到解决的方法。

它的具体解题过程可以用下面的框架来表示：（二）构造法的历史过程（1）构造法与构造主义从数学产生的那天起，数学中的构造性的方法也就伴随着产生了。

但是构造性方法这个术语的提出，以至把这个方法推向极端，并致力于这个方法的研究，是与数学基础的直觉派有关。

直觉派处于对数学的可信性的考虑，提出一个著名的口号：“存在必须是被构造。

”这就是构造主义。

（2）直觉数学阶段直觉派的先驱者是19世纪末德国的克隆尼克，他明确提出并强调了能行性，主张没有能行性就不得不承认它的存在性。

他在数学工作中的立场是：第一，认为数学的出发点不是集合论，而是自然数论。

第二，否认传统逻辑的普遍有效性而重建直觉派逻辑。

第三，批判传统数学缺乏构造性，创立具有构造性的“直觉数学”。

（3）算法数学阶段“发现集合论悖论以后，有些数学家认定了解决这些悖论引起的问题的唯一彻底的方法就是把所有的一般集合论概念都丛数学中排除掉，只限于研究那些可以能行的定义或构造的对象”这就是布劳威创立直觉数学的想法。

由于马尔科夫的工作，使构造性方法进入了“算法数学”的阶段。

（4）现代构造数学阶段1967年，比肖泊的书出版以后，宣告了构造法进入“现代构造数学”阶段。

比肖泊通过重建现代分析的一个重要部分，重新激发了构造法的活力。

他研究的课题广及测度论、对偶理论、泛函微积。

（三）构造法的特征运用构造法解决问题有以下特点：（1）构造法是通过构造一个辅助问题而使原问题得到转化。

（2）构造法解决问题的步骤比较直观。

（3）构造法解决问题有非常大的灵活性．针对某一具体问题，怎样去进行构造。

这与学生的数学基本功和解题经验都密切相关。

当我们遇到复杂的数学问题或实际问题而无从下手解决时，如果我们恰到好处的构造出一个数学模型来，便会有种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。

三、构造法在解题中的应用理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃。

很多数学命题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用函数思想，能使解答别具一格，耐人寻味。

（一）构造函数函数是高中数学教学的核心，是解决初等数学问题的根本出发点，利用函数的性质，将数学问题转化为函数问题来解，是一种常见、并且非常有效的做法。

()f t-=-x+⋅(65)(1即(6f x+（二）构造向量（三）构造数列（四）构造方程（五）构造几何模型90 ,显然2>>>,0,2m n n+-2mn（六）构造递推关系式根据函数方程和递推关系式之间的关系，根据已知条件、各种公式定理以及相应的运算法则，构造一个递推关系式，能产生意想不到的效果。

例11：设12,x x 是方程2310x x ++=的两根，试求7712x x +的值。

分析：令()()12n n F n x x n N =+∈，由12123,1x x x x +=-=，可知()()13,27F F =-=()()()()()()22111212121212231n n n n n n F n x x x x x x x x x x F n F n +++++=+=++-+=-+-重复迭代，就可算出任意()F n 的值，这里，()()()()()()()771213,27,318,447,5123,6322,7843843F F F F F F F x x =-==-==-==-∴+=-（七）构造等价命题 命题的表达方式大多抽象复杂，如果直接论证比较困难时，可以构造一个表达方式较为通俗明了，而且和原命题等价的新命题（比如构造原命题的逆否命题），这样就达到了很好的效果。

例12：设,a b 是两个实数,(){},|,,A x y x n y na b b Z ===+∈ ，(){}2,|,315,,B x y x m y m m Z ===+∈ (){}22,|144C x y x y =+≤是坐标平面内的点集，那么是否存在实数,a b 使得()()()1;2,A B a b C ⋂≠∅∈同时成立。

分析：由A B ⋂≠∅可知存在整数n ，使得2315na b m +=+，由(),a b C ∈则22144a b +≤，所以原命题等价于新命题：讨论关于,a b 的方程组()222315144na b m n Z a b ⎧+=+⎪∈⎨+≤⎪⎩是否有实数解。

所以不存在实数,a b 使得原命题中（1）（2）同时成立。

四、结束语对于构造法在解题中的应用，除了以上所列举的这些以外，我们还需要加强这方面的补充和完善，对其进行深入和广泛的研究，将构造法应用于更多的数学题中。

数学的发展离不开大胆的创新与严谨的探索，只有这样，才能为迅速发展的数学和其他学科领域提供更好的帮助和服务。

参考文献：[1]高桐乐 数学解题中的基本模型构造（第二版） 1989（11）.[2]闵嗣鹤 严士健 初等数论2003.[3]张同君 陈传理 竞赛数学解题研究[M].高等教育出版社 2005.11[4]陈自强 数学解题思维方法导引[M].中南工业大学出版社 1995.6[5]王子兴 数学教学论[M].广西师范大学出版社 1992.1[6]侯敏义 数学思维数学方法论 东北师范大学出版社.1991致谢：经过一个阶段的努力，本次毕业论文即将接近尾声。