第二章 质点组力学

别为：m1、m2 、
m位n矢，是对参r1 考,点r2的
rn
其定义式为：
在直角坐标系
n
rc
mi ri
i 1
mi
n
mi xi xc i1 mi
n
mi yi yc i1 mi
n
mi zi zc i1 mi
2.质心的求法
①质量分立分布的体系
在直角坐标系
n
rc
mi ri
i 1
重心： 作用于质点系是重力的合力的作用点。
二者不是同一点。
特殊地，在地球表面附近，认为重力加速度是 常矢量时，物体的质心和重心重合。
例题：
求半径为R的均质半球的质心。
z
dm r 2dz
(R2 z2 )dz
r
M 2 R3
z
3
oo
zc
R
zdm
0
R 0
z (R2 z2 ) dz 2 R3 y
:表示第j个质点对第i个质点的作用力.
n n
由于内力是成对出现的 F (i)
fij 0
i1 j 1
ji
②质点组的所有内力对任一参考点的力
矩的矢量和恒为零. y
i
ri fij rj f ji
j
ri fij rj fij
fij
ri
f ji
rj
o x
(ri
rj )
mi
n
mi xi xc i1 mi
n
mi yi yc i1 mi
n
mi zi zc i1 mi
②质量连 续分布的体系
rc
rdm dm
r( 是质元对参考点的位矢。)
在直角坐标系
xc
xdm dm
yc
ydm dm
zc
zdm dm
特殊情况
如果质心恰好在坐标原点，则质心位矢为
(e)
Fi
(i)
Fi
（i=1,2…n)
n
mi
i 1
d 2 ri dt 2
n
(e)
Fi
i 1
n
(i)
Fi
i 1
∵
n
(i)
Fi 0
i 1
∴
n
mi
i 1
d 2 ri dt 2
n
(e)
Fi
i 1
由于 vi d ri 是质点的速度，对整个质 dt 点系而言，有
n
mi
i1
d 2 ri dt 2
M外
dJ dt
ri
Fi ( e )
M外
• 上式表明，质点组角动量的变化率仅由外力矩 决定，与内力无关。上式积分，得
t
J J J 0 t0 M 外dt
在直角坐标系的分量形式
或者说，质点组的动量的微分，等于作 用在质点组上诸外力的元冲量的矢量和。
2 质心运动定理
显然 Mvc mivi
由质点系动量定理：
F (e)i
dP
d
dt dt
mivi
mi
dvi dt
M
dvc dt
质心运动定理：
F (e) i
Mac
质心的运动等同于一个质点的运动，这个质 点具有质点系的总质量M，它受到的外力为质点系 所受所有外力的矢量和.系统受合外力为零，质心 的速度为恒量.
第二章 质点组力学
研究方法
本章共讲五个问题
2.1 质点组基本概念 理解 重点 2.2 质点组动力学的基本定理与基本守恒律
2.3 两体问题 理解 2.4 质心坐标系与实验室坐标系 了解 重点 2.5 变质量物体的运动
2.1 质点组的基本概念
一、质点组、内力和外力
质点组： 我们把由许多（有限或无限） 相互联系着的质点所组成 的 系统。
二、动量矩定理与动量矩守恒定律
1.对固定点的动量矩定理
设由个质点所形成的质点组，则每个 质点的动力学方程为
mi
d 2 ri dt 2
(i)
Fi
(e)
Fi
从左面矢乘ri ，并对i求和 （ ri 是质点
组中任一质点Pi对惯性系中某固定点的矢）。
d dt
(ri
mivi
)
ri
Fi ( e )
d dt
n
(mi
i1
d ri ) dt
d dt
n
(mi vi )
i1
dP dt
n
其中 P (mi vi ) 为质点的组动量， i 1
等于质点组诸质点动量的矢量和。
n
(e)
F Fi
i 1
为所有外力的矢量和。
Fi ( e )
dP dt
▲质点组的动量定理
质点组的动量对时间的微商，等于作用 在质点组上诸外力的矢量和。
内 力： 质点组中质点间的相互作用 力。
外 力： 质点组以外的物体对质点 组内质 点的作用力
内力的性质
①质点组中所有内力的矢量和等于零。
n n
F (i)
fij 0
i1 j 1 ji
证明: 对任何一对质点间的相互作用力,
由牛顿第三定律知:
fij f ji
fij f ji 0
f
ij
fij
rij fij
对上式求和就是质点组的所 有内力对o点的力矩的矢量和
0
M内 0
③质点组的所有内力做功一般不等于零， 只有质点组为刚体时，内力做功之和为 零。
自己证明
二、 质心
1.质心的定义
质点组的全部质量可认为集中在某一点上 ， 这一点我们就叫做质点组的质心。
如n个质点组成的
质点系，质量分
3.质点组的动量守恒定理
①当质心组不受外力或所受外力的矢量和为零，
n
即
F
F (e) i
0
i 1
d P =0 dt P mvc
P为恒矢量 vc为恒矢量
② 如果作用在质点组上的诸外力在某一 固定轴(设为x轴)上的投影之和为零,
n
即
Fx
F (e) ix
0
i 1
dPx 0 dt
n
Px = mivix mvcx c 常数 i 1
3 8
R
3
R x
2.2 质点组动力学的基本定理与守恒律
一、质点组的动量定理和动量守恒定律
1.动量定理
假设由n个质点所组成的质点组，其中某一个
质的点位的矢质ri量，m作i用为其，上对的某诸惯合性力参为考系坐标原点O
Fi Fi(i) Fi(e)
质点pi的运动微分方程
mi
d 2 ri dt 2
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ri
Fi (i )
• 其内中力，。Fi(上e、) F式i(i分) 对别i 求为和第，i个得质点所受的外力和
d dt
(ri
mivi
)
ri
Fi ( e )
ri
Fi (i )
内力对同一参考点的力矩之和为零
d dt
(ri
mivi
)
ri
Fi ( e )
dJ dt
ri
Fi ( e )
n
rcc
mi ric
i 1
mi
0
n
miric 0
i 1
n miric 0
i 1
质点组对质心的总动量为零。
③对质量分布均匀且具有对称轴、面、 点的物体，质心必在对称面、对称轴 和对称点上；质量分布均匀形状规则
的物体，质心即其几何中心。
④质心和重心的区别
从定义上
质心： 质点组的全部质量可认为集中在某一点上 ， 这一点我们就叫做质点组的质心。