苏教版数学高一苏教版必修12.2函数的奇偶性

函数的奇偶性练习

1．奇函数f (x )在区间［3,7］上为单调增函数，最小值为5，那么函数f (x )在区间［－7，－3］上为单调__________函数，且最__________值为__________．

2．函数f (x )是R 上的偶函数，且在［0，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是__________．

①f (－2)＞f (0)＞f (1)；②f (－2)＞f (1)＞f (0)；

③f (1)＞f (0)＞f (－2)；④f (1)＞f (－2)＞f (0)．

3．下列函数中是奇函数且在(0,1)上单调递增的函数是__________．

①f (x )＝x ＋1x ；②f (x )＝x 2－1x

；

③(f x ；④f (x )＝x |x |．

4．下列函数是奇函数的是__________． ①(1)1x x y x -=-；②y ＝－3x 2；③y ＝－|x |；④y ＝πx 3－35

x ；⑤y ＝x 3·|x |． 5．若φ(x )，g (x )都是奇函数，f (x )＝aφ(x )＋bg (x )在(0，＋∞)上有最大值5，则f (x )在(－∞，0)上有__________．(填最值情况)

6．设函数()(1)()x x a f x x

++=为奇函数，则a ＝__________． 7．若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则在R 上f (x )的表达

式为__________．

8．已知f (x )＝x 3＋1x

，且f (a )＝1，则f (－a )＝____． 9．判断函数()(][)

22(5)4,6,1,(5)4,1,6x x f x x x ⎧+-∈--⎪⎨--∈⎪⎩＝的奇偶性． 10．已知函数f (x )＝x 2＋a x

(x ≠0)，常数a ∈R ，讨论函数f (x )的奇偶性并说明理由． 11．若函数()22,0,,0,x x x f x ax x x ⎧-+>=⎨+≤⎩当a 为何值时，f (x )是奇函数？ 12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2

－4x ＋3．

(1)求f ［f (－1)］的值；

(2)求函数f (x )的解析式；

(3)求函数f (x )在区间［t ，t ＋1］(t ＞0)上的最小值．

参考答案

1．解析：根据题意作出如图所示的草图即可知．

答案：增 大 －5

2．解析：由条件得f (－2)＝f (2)，

因为f (x )在［0，＋∞)上单调递增，

所以f (0)＜f (1)＜f (2)，

即f (－2)＞f (1)＞f (0)．

答案：②

3．解析：由定义可知①④是奇函数，

但对于函数f (x )＝x ＋

1x 来说， 当x ＝12时，1()2f ＝52

， 当x ＝13时，1()3

f ＝103， 所以①不是递增函数．

答案：④

4．解析：先判断定义域关于原点是否对称，再确定f (－x )与－f (x )的关系．①中定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)关于原点不对称，所以排除①；②③均是偶函数；④⑤中函数的定义域是R ，可得f (－x )＝－f (x )，则它们是奇函数．

答案：④⑤

5．解析：由条件得f (－x )＝aφ(－x )＋bg (－x )＝－aφ(x )－bg (x )＝－f (x )，

所以f (x )为奇函数，它的图象关于原点对称．

答案：最小值－5

6．解析：由f (－x )＋f (x )＝0得(1)()(1)()x x a x a x x x

++--+-＝0，解得a ＝－1． 答案：－1

7．解析：当x ＜0时，－x ＞0，

f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ，

∵f (x )为奇函数，

∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ．

综上所述，()222,0,2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩

答案：()222,0,2,0

x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩ 8．解析：f (x )＝x 3＋1x

的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝(－x )3＋1x -＝31x x ⎛⎫-+ ⎪⎝

⎭＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． 因此f (－a )＝－f (a )＝－1．

答案：－1

9．解：f (x )的定义域为(－6，－1］∪［1,6)，关于原点对称．

当x ∈(－6，－1］时，－x ∈［1,6)，

f (－x )＝(－x －5)2－4＝(x ＋5)2－4＝f (x )；

当x ∈［1,6)时，－x ∈(－6，－1］，

f (－x )＝(－x ＋5)2－4＝(x －5)2－4＝f (x )．

综上可知，对于x ∈(－6，－1］∪［1,6)，

都有f (－x )＝f (x )，

所以f (x )为偶函数．

10．解：当a ＝0时，f (x )＝x 2对任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )

2＝f (x )，

所以f (x )为偶函数．

当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x

(x ≠0)，不妨取x ＝±1， f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，

所以f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．

所以函数既不是奇函数又不是偶函数．

11．解：假设f (x )是奇函数，则有f (－x )＝－f (x )．

当x ＞0时，－x ＜0，

则f (－x )＝a (－x )2＋(－x )＝ax 2－x ．

又∵x ＞0时，f (x )＝－x 2＋x ，

∴－f (x )＝x 2－x ．

∵f (－x )＝－f (x )，

即ax 2－x ＝x 2－x ，

∴a ＝1．

下面证明()22,0,,0

x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩是奇函数． 证明：当x ＞0时，－x ＜0，

则f (－x )＝(－x )2＋(－x )

＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )；

当x ≤0时，－x ≥0，

则f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )，

于是22(),0,()(),0.

x x x f x x x x ⎧--+>=⎨-+≤⎩－ ∴f (－x )＝－f (x )．

∴假设成立，a ＝1．