高数(上)期末试题
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上期期末试题一
一、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设
22
11()f x x x x +=+，则()f x ＝ .
2. 0lim x +
→＝ .
3. 设30
()(),10
a
f x x f x dx a =-+≠⎰，则0
()a f x dx
⎰
＝ .
4. 0
(0)
pt te dt p +∞
->⎰
＝ .
5. 设sin x
x
a
y x a x =++，则y '＝ . 二、选择题（每小题3分，共15分）
1. 当0x →时，下列无穷小中（ ）是x 的三阶无穷小. （A ）sin tan x x . （B
（C
（D ）tan sin x x -.
2.
22
cot 0
lim(13tan )
x
x x →+＝（ ）.
（A ）3-. （B ）3
e -. （C ）3
e . （D ）2
e .
3.
1sin ,0()1,0x x f x x
x ⎧
≠⎪=⎨⎪=⎩，则0x =是()f x 的（ ）. （A ）连续点 （B ）可去间断点. （C ）跳跃间断点 （D ）无穷间断点.
4. 设()f x 是[,]a b 上的连续函数，则以下结论正确的是（ ）.
（A ）()x a f t dt ⎰是()f x 的一个原函数. （B ）
()f x dx ⎰不一定存在.
（C ）
()b a
f t dt
⎰
是()f x 的一个原函数. （D ）()
d
f x dx 一定存在.
5. 下列函数中，在,22ππ⎡⎤-⎢
⎥⎣⎦上满足罗尔定理条件的是（ ）.
（A
）()f x =
（B
）()f x =
（C ）
()sin f x x =. （D ）sin ()x f x x =.
三、计算题（每小题8分，共24分）
1. 设 sin 0y
y xe +=，求 dy
dx .
2. 计算
1
21sin sin 1x x x dx x -⎛
⎫+ ⎪+⎝⎭⎰.
3. 计算 cos sin cos x
dx x x +⎰.
四、解答题（每小题8分，共16分）
1. 已知 11cos sin t t u x du u u y du u ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩⎰⎰ ，求
22,dy d y dx dx .
2. 计算 201cos cos3lim
x x x
x →-.
五、应用题（每小题8分，共16分）
1. 求抛物线2
1y x =-（01x <≤）的切线，使其与两坐标轴围成的三角形面积最小.
2. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，椭圆的长轴长为2m ，短轴长为1.5m ，椭圆柱体的高为4m. 当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受压力。
六、证明题（每小题7分，共14分）
1. 设()f x 在[,]a b 上连续，且()0f x >. 证明：方程
1
()0()x b a
x
f t dt dt f t -=⎰
⎰
在
(,)a b 内只有一个根.
2. 设,p q 为实数，问：,p q 为何值时，方程3
0x px q ++=（1）有一个实根？（2）有三个实根？
上期期末试题二
一、选择题（每小题3分，共15分）
1. 1x =是函数
11
()1x x
f x e -=
-的（ ）. （A ）连续点. （B ）可去间断点. （C ）跳跃间断点. （D ）无穷间断点.
2. 如果一个在闭区间上连续的函数既有极大值，又有极小值，则（ ）.
（A ）极大值不一定是最大值. （B ）极大值一定是最大值. （C ）极大值一定不是最大值. （D ）极大值一定大于极小值.
3. 设()f x 在[,]a b 上连续，则()()x
a x f t dt
Φ=⎰（a x b ≤≤）是()f x （ ）.
(A) 的不定积分. （B ）的一个原函数.
（C ）的全体原函数. （D ）在[,]a b 上的定积分.
4. 函数sin x
y x
=的导数y '＝（ ）.
（A ）sin 1
sin x x x -⋅. （B ）sin ln x
x
x .
（C ）sin sin (cos ln )x x x x x x ⋅+
. （D ）sin cos ln x
x x x ⋅+.
5. 设()f x 在[,]a b 上连续，且x 与t 无关，则（ ）. （A ）()()b b
a a
xf x dx x f x dx
=⎰⎰. （B ）
()()b b
a
a
tf x dx t f x dx
=⎰
⎰. （C ）
()()b b
a
a
tf x dt t f x dt
=⎰
⎰. （D ）
()()b b
a
a
xf t dt x f t dt
=⎰
⎰.
二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 121cos 0
lim(1)
x
x x -→+＝ .
2. 若()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则()0f x ''=有 个实根.
3.
1xdx
-⎰
＝ .
4. 曲线2
x
y e -=的上凸区间为 .
5. 若()f x 的一个原函数为sin x ，则()f x '＝ .
三、计算题（每小题8分，共24分）
1. 求由方程2
20
cos sin()0
x y
t e dt t dt x y +++=⎰⎰确定的函数()y y x =的微分dy .
2. 求极限2
lim()tan 2x x x ππ
→
-.
3. 若()f x 的一个原函数为sin x
x ，求()xf x dx
'⎰.
四、解答题（每小题8分，共16分）
1. 设 ()f x 在(0,)+∞内可导，且11()1()x
f x f t dt x =+
⎰，求()f x .
2. 设 1
01t
e A dt t =+⎰，试用A 表示21ln x
B e xdx =⎰.
五、应用题（每小题8分，共16分）