代数系统
代数系统简介
代数系统简介一、代数系统的基本概念代数系统，也称为代数结构或代数系统，是数学中一个重要的概念，它由集合和定义在这个集合上的运算组成。
代数系统是代数学的基本研究对象，也是泛代数、抽象代数、代数学等领域中重要的研究对象。
代数系统通常由两个部分组成：一个是非空元素集合，称为代数系统的论域或标量域；另一个是定义在论域上的运算，这些运算需满足一定的性质或公理。
根据所涉及的运算不同，代数系统可分为不同类型，如群、环、域、格等。
代数系统的概念来源于对数学中不同分支中抽象概念的概括和总结，其研究范围包括数学中不同领域的许多分支。
例如，集合论、抽象代数、泛代数、拓扑学等都是研究代数系统的重要领域。
二、代数系统的分类根据所涉及的运算和性质的不同，代数系统有多种分类方式。
以下是其中几种常见的分类方式：1.根据所涉及的运算的性质，可以将代数系统分为有交换律和结合律的代数系统（如群、环、域）和没有交换律和结合律的代数系统（如格、布尔代数）。
2.根据运算是否涉及单位元和逆元，可以将代数系统分为有单位元的代数系统和无单位元的代数系统。
前者如群、环、域等，后者如格等。
3.根据所涉及的元素是否具有可交换性，可以将代数系统分为可交换的代数系统和不可交换的代数系统。
前者如交换群等，后者如李群等。
4.根据所涉及的元素是否具有无限性，可以将代数系统分为有限代数系统和无限代数系统。
前者如有限群等，后者如无限群等。
此外，还可以根据其他性质和特征对代数系统进行分类。
通过不同的分类方式，我们可以更好地了解和研究不同类型代数系统的特性和性质。
三、代数系统的性质代数系统的性质是指代数系统中元素之间通过运算所表现出来的关系和性质。
以下是几个常见的代数系统的性质：1.封闭性：如果对于代数系统中的任意两个元素x和y，它们的运算结果仍属于该集合，则称该运算满足封闭性。
封闭性是代数系统中一个重要的性质，它保证了运算结果的元素仍属于该系统。
2.结合律：如果对于代数系统中的任意三个元素x、y和z，有(x·y)·z=x·(y·z)，则称该运算满足结合律。
第四章-代数系统
例： 设<S，*>和<T，+>是两个代数系统，其中*和+均是二 元运算。在集合S×T上定义运算为：<x1，y1><x2，y2>＝
<x1*x2，y1+y2>，则<S×T，>构成代数系统。
证明 对于任意的<a，b>、<c，d>∈S×T，有a、c∈S和b、 d∈T。由<S，*>是代数系统可得，a*c∈S且惟一确定。由<T， +>是代数系统可得，b+d∈T且惟一确定。因此，对于运算来说， <a，b><c，d>＝<a*c，b+d>∈S×T且惟一确定，故<S×T，> 构成代数系统。
定理设<S，*>是一个代数系统，|S|＞1，若存在单位元e和 零元 ，则e≠。 证明 反证法。若e＝，则对任意的x∈S，必有x＝e*x＝
*x＝，可见S中的元素都相同，与|S|＞1矛盾。所以e≠。
例：设S＝{a，b，c}，且对任意的x、y∈S有x*y＝x。列 出运算表，并判断*的性质和相应的特殊元素。 解 运算表如下表所示
(2)若一个元素x的逆元x－1存在，则x－1是惟一的。 证明 (1) xl＝xl*e＝xl *(x*xr)＝(xl*x)*xr＝e*xr＝xr 。 (2)若x∈S也是x的逆元，则x＝x*e＝x*(x*x－1)＝(x*x)*x－1 ＝e*x－1＝x－1。
幂等律与幂等元
定义：设<S，*>是一个代数系统，若对任意的x∈S有x*x＝ x，则称*是幂等的，或说*满足幂等律。若a∈S，使得a*a＝a， 则称a是幂等元。 例：给定<P(A)，∩，∪>，则∩和∪都满足幂等律。因为对
高等代数第一讲代数系统PPT课件
称K为F的子域，F称 而为K的扩域。 则有 deg (fg)=deg f+deg g
C的子域被称作数域，
有理数Q域 是最小的数 --是 域任意数域的子
II Polynomial form
§1- 1基本概念与运算
定义1：（i）设F为一个域X是 ，不属F于 的 任一个符号，则形如
例3：n阶可逆方阵的全体通（常按矩阵的 乘法）是乘法群。一称般为线性.－ 群－ generallineargrou简 p 记为 GLn(F).
而 SLn(F＝ ) ｛AMn(F)detA＝1｝ 称为特殊线性群S－ pe－ ciaLl ineargroup
定义中的恒元和逆是元乘都在左边的， 可以证明，乘在右有边相也同的性质。 即 aa－1＝e, ae＝a.
X5 4 X 4 3 X 3 2 X 2 X 1
4X 3
4 45
23 X 2
23 X 3
117 X
23 5 23
586
117 X 2
117 5 117
586 X 586 5 586
r(X)= 2931
于是 q(X)4X323 X211X758,r6(X)29,3 f(X)q(X)(X5)r(X) . r(X)f(5)
若 defgdegg ，则 q令 0。 rf即可
记 fanXnan 1Xn 1 a1Xa0， an0
gbm Xmbm 1Xm 1 b1Xb0，令
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相同
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相
f gq1 f1的次数 f 低 比，f1对 同样讨
存在 q1,,qs使 de r0 g de g或 g r00
第一讲代数系统
右零元：如果有一个元素θr∈A,对于任意的元素 x∈A都有x*θr= θr，则称θr为A中关于运算*的右零元。
零元：如果A中的一个元素θ，它既是左零元，又是 右零元，则称θ为A中关于运算*的零元。 θ* x=x*θ=θ
23
6.1代数结构
【例题10】 设“浅”表示不易褪色的浅色衣服，“深”表示易褪 色的深色衣服，集合S={浅，深}，定义S的一个二元 运算“混洗”，记为“ * ”，则*的运算表如下表所示。 求S中关于*运算的幺元和零元。
解答：∪和∩运算是可交换的。 ∀ A,B∈ρ(S),有
A∩(A∪B)=A A∪(A∩B)=A
所以∪和∩满足吸收律。又有
A ∩A=A
A ∪A=A
所以∪和∩满足等幂律。
17
6.1代数结构—代数运算性质
性质六 可约律(消去律)
设*是定义在集合上的一个二元运算，元素a∈A, 如果对于任意x,y ∈A,都有
证明思路：先证el =er=e，再证e的唯一性。
证明：设el 和er分别是A中关于运算*的左幺元和右 幺元，则有
el= el *er= er=e
假设另有幺元e’∈A, 则有e’=e’*e=e,结论得证。
22
6.1代数结构
零元 左零元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，如
果有一个元素θl∈A,对于任意的元素x∈A都有θl*x=
问☆是否是可交换的？
10
6.1代数结构—代数运算性质
性质二 结合律
设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意 x,y,z∈A ，都有
x*(y*z)=(x*y)*z
则称该二元运算是可结合的。
【例题6】
设A是一个非空集合，*是A上的一个二元运算，对于任意 a,b ∈A ,有a*b=b,证明运算*是可结合的。
代数系统简介 -回复
代数系统简介-回复什么是代数系统？代数系统是现代数学中的一个重要概念，它是由一组元素和对这些元素进行操作的规则组成的。
代数系统可以是有限的或无限的，可以是抽象的或具体的。
代数系统是数学的基础，被广泛应用于各个领域，包括计算机科学、物理学、经济学等等。
代数系统的基本元素是指代表抽象对象的数学对象，可以是数字、集合或其他数学结构。
代数系统中的操作规则是指对这些元素进行变换或组合的数学规则。
常见的操作规则包括加法、减法、乘法、除法等。
代数系统的主题和应用代数系统的研究涉及多个主题，包括群论、环论、域论等。
这些主题在抽象代数中具有重要的地位，它们以代数系统为研究对象，通过定义和研究不同类型的操作规则来揭示数学的一般规律。
群论是代数系统中的一个重要分支，它研究的对象是满足一定条件的代数系统。
群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的集合，它以群运算来定义元素之间的操作。
群论的研究广泛应用于代数几何、量子力学、密码学等领域。
与群论类似，环论和域论也研究了具有特定性质的代数系统。
环是一种具有加法和乘法运算的代数系统，它满足了加法和乘法封闭、结合律、分配律等性质。
域是一种更为广义的代数系统，它满足了环的所有条件，并且每个非零元素都有乘法逆元。
代数系统的应用十分广泛，无论是在理论研究还是实际应用中都发挥着重要作用。
在计算机科学中，代数系统被用于描述和分析算法的性质，例如代数数据类型和代数规范。
在物理学领域，代数系统被用于描述和研究物理过程，例如量子力学中的算符代数和对称性。
在经济学中，代数系统被用于建立经济模型，例如供求模型和市场分析。
代数系统的发展历程代数系统的研究可以追溯到古代埃及、古希腊和古印度等文明。
然而，现代代数系统的发展源于十九世纪的英国数学家和法国数学家，他们通过对数学的抽象和一般性考察，建立了现代研究代数系统的基础。
十九世纪的德国数学家格雷斯曼和开尔巴赫在他们的工作中提出了群的概念，并将它与几何学和代数学联系起来。
代数系统(抽象代数)
6-1 代数结构(系统)的概念
所谓代数结构(系统)，无非是有一个运算对象的集合， 和若干个运算，构成的系统。 一. n元运算 如何定义运算，先看几个我们熟悉的例子： 取相反数运算“-”、集合的补运算“~” 以及N上的“+” P(E) ~ P(E) N2 + N I - I 。 Φ Φ。 <0,0>。 。 0 2。 。 -2 <0,1>。 。 {a} 。 。 {a} 1 1。 。 -1 <0,2>。 0。 。 。 0 2 {b} 。 。 {b} -1。 。 1 。 -2。 。 3 <1,0> 。 2 {a,b} 。 。 {a,b} <1,1>。 <1,2>。
九.分配律 设和 都是X上的二元运算，若对任何x,y,z∈X，有 x(yz)=(xy)(xz) ，(yz) x =(y x)(z x) 则称对可分配。 例如： 乘法对加法可分配。 集合的∪与∩互相可分配。 命题的∧与∨互相可分配。 十.吸收律 设和 都是X上的可交换二元运算，若对任何x,y∈X， 有 x(xy)=x ，x(xy)=x 则与 满足吸收律。 例如：集合的∪与∩满足吸收律。 命题的∧与∨满足吸收律。
2.二元运算的运算表 有时用一个表来表示二元 运算的运算规律。 例如令E={a,b}， P(E)上的 ∩运算表如图所示。
∩ Φ 左 Φ Φ 表 {a} Φ 头 元 {b} Φ 素 {a,b} Φ
运算 上 表 头 元 素
{a} Φ {a} Φ {a}
{b} Φ Φ {b} {b}
{a,b} Φ {a} {b} {a,b}
六.可结合性 设是X上的二元运算，如果对任何x,y,z∈X，有 (xy)z =x(yz)，则称是可结合的。 例：数值的加法、乘法，集合的交、并、对称差， 关系的复合、函数的复合，命题的合取、析取等。
代数系统
5-2 运算及其性质
关于逆元有下述的唯一性定理 证明：设a,b,c ∈A，且b是a的左逆元，c是b的左 逆元。 因为(b*a)*b=e*b=b 所以e=c*b=c*((b*a)*b) =(c*(b*a))*b=((c*b)*a)*b =(e*a)*b=a*b 因此b也是a的右逆元。 设元素a有两个逆元b和c，那么 b=b*e=b*(a*c) =（b*a)*c=e*c=c 因此，a的逆元是唯一的。
5-2 运算及其性质
逆元 定义 5-2.8 设设代数系统<A,*>,*是定义在A 上的一个二元运算，且e是A中关于运算*的单位元 (幺元)。 如果对于A中的一个元素a存在着A中的某个元素b ，使得b*a=e，那么称b为a的左逆元； 如果a*b=e成立，那么称b为a的右逆元； 如果一个元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元 ，即 b*a= a*b=e，那么就称b是a的一个逆元。 很明显，如果b是a的逆元，那么a也是b的逆元， 简称a与b互逆。 一个元素x的逆元记为x-1.
5-2 运算及其性质
（4）A关于*有零元，当且仅当该元素所对应的行 和列中的元素都与该元素相同。 （5）A中关于*有幺元，当且仅当该元素所对应的 行和列依次与运算表的行和列相一致。 （6）设A中有幺元，a和b互逆，当且仅当位于a所 在行，b所在列的元素以及b所在行，a所在列的元素 都是幺元。
5-2 运算及其性质
吸收律 定义 5-2.5 设*， △是定义在A上的两个可交换 的二元运算，若x，y∈A有: x*(x△y)=x； x△(x*y)=x，称运算*和运算△满足吸收律。 例5：设集合N为自然数全体，在N上定义两个二元 运算，如果对于任意的x,y ∈ N ,有 x*y=max(x,y);x y=min(x,y)，验证*和的吸收律 。 解：对于任意的a,b∈N a*(ab)=max(a,min(a,b))=a a(a*b)=min(a,max(a,b))=a 因此*和满足吸收律。
代数系统PPT教学讲义
例:运算可看作是一个具有输入端与输出端的黑盒
子,图4.1a表示为一元运算而图4.1b则表示为二元
运算.一元运算中对应的是一个输入端与一个输出
端.
输出
输出
二元运算中则对应两个
输入端与一个输出端.
输入
输入
(a)
(b)
图4.1运算是一个黑盒子
10
第4章 代数系统概论
定 义 4.2 代 数 系 统 : 非 空 集 合 S 上 的 K 个 运 算 1, 2,…,k一元或二元运算所构成的封闭系统称为代
练习
设V1=<R,+>, V2=<R,·>,其中R和R分别为实数集与非 零实数集,+ 和 ·分别表示普通加法与乘法．令 f : R→R,f x= ex 则 f 是V1到V2的单同态.
若令g: R →R,gx= ex,则g是V2到V1的 _______
31
第4章 代数系统概论
对三种同态作详细的分析: 1.同构 定理4.3:代数系统A与B同构则系统中的六个性质结 合律、交换律、分配律及单位元、零元、逆元的 存在能双向保持. 2.满同态 定理4.4:代数系统A与B满同态则系统中的六个性质 结合律、交换律、分配律及单位元、零元、逆元 的存在能单向保持.
那么 3∗4 = 3, 0.5∗3 = 0.5
6
运算表
运算表：表示有穷集上的一元和二元运算
aa11 aa22 …… aann
aa11 aa11aa11 aa11aa22 …… aa11aann
aa22 aa22aa11 aa22aa22 …… aa22aann
..
……
..
……
..
……
aann aannaa11 aannaa22 …… aannaann
离散数学第六章代数系统
6.2 代数系统的基本性质
性质4 吸收率
给定<S，⊙，*>，则 ⊙对于*满足左吸收律：(x)(y)(x，y∈S→x⊙(x*y)=x) ⊙对于*满足右吸收律：(x)(y)(x，y∈S→(x*y)⊙x=x) 若⊙对于*既满足左吸收律又满足右吸收律，则称⊙对于*满足吸收律或
者可吸收的。
*对于⊙满足左、右吸收律和吸收律类似地定义。 若⊙对于*是可吸收的且*对于⊙也是可吸收的，则⊙和*是互为吸收的或
代数﹝Algebra﹞是数学的其中一门分支，可大致分为初等代数学和抽象 代数学两部分。
代数的由来
初等代数学：是指19世纪中期以前发展的方程理论，主要研究某一方程﹝ 组﹞是否可解，如何求出方程所有的根﹝包括近似根﹞，以及方程的根有 何性质等问题。
抽象代数：是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。它起始于十九世 纪初，形成于20世纪30年代。在这期间，挪威数学家阿贝尔(N.H. Abel)、 法国数学家伽罗瓦(E′. Galois)、英国数学家德·摩根(A. De Morgan) 和布尔(G. Boole)等人都做出了杰出贡献，荷兰数学家范德瓦尔登(B.L. Van Der Waerden)根据德国数学家诺特(A.E. Noether)和奥地利数学家阿 廷(E. Artin)的讲稿，于1930年和1931年分别出版了《近世代数学》一卷 和二卷，标志着抽象代数的成熟。
同态与同构
PART 同余、商代数、积代数
04
PART 05
代数系统实例
6.1 代数系统的定义
定义6.1 设S是个非空集合且函数f： Sn→S ，则称f为S上的一个 n元运算。其中n是自然数，称为运算的元数或阶。
当n = 1时，称f为一元运算，当n = 2时，称f为二元运算，等等。 定义6.2 如果对给定集合的成员进行运算，从而产生了象点，而
离散数学中代数系统知识点梳理
离散数学中代数系统知识点梳理离散数学作为一门数学学科，研究的是离散化的对象和结构。
代数系统作为离散数学的一个重要分支，是对数学对象的代数性质进行研究的一种形式化工具。
在离散数学中，代数系统的概念和相关知识点是非常重要的。
一、代数系统的基本概念代数系统是指由集合和一组运算构成的数学结构。
其中，集合是代数系统中最基本的概念，可以是有限集或无限集；运算是指对集合中的元素进行操作并得到新的元素。
代数系统主要包括代数结构、代数运算和代数性质三个方面。
1. 代数结构：代数结构由集合和一组运算构成，可以包括加法、减法、乘法、除法等。
常见的代数结构有群、环、域等。
2. 代数运算：代数运算是指对集合中的元素进行操作，可以是二元运算也可以是多元运算。
常见的代数运算有加法、乘法、幂运算等。
3. 代数性质：代数系统具有一些特定的性质，如封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素等。
二、代数系统的分类根据代数运算的性质，代数系统可以分为群、环、域和向量空间等不同类型。
1. 群：群是一种代数系统，具有封闭性、结合律、单位元素和逆元素等性质。
群分为有限群和无限群，可以是交换群或非交换群。
2. 环：环是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律和单位元素等性质。
环分为有限环和无限环，可以是可除环或非可除环。
3. 域：域是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
域是一种完备的代数系统，可以进行加、减、乘、除运算。
4. 向量空间：向量空间是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
向量空间是一种具有线性结构的代数系统。
三、代数系统的应用代数系统作为离散数学的一个重要分支，在计算机科学、密码学、通信工程等领域有着广泛的应用。
1. 计算机科学：代数系统在计算机科学中起到重要的作用，比如在数据库设计、编译原理、算法设计等方面都有应用。
代数系统可以描述和分析计算机系统的运行和性能。
代数系统定义
代数系统定义代数系统定义代数系统是一个数学概念，是指一组对象和操作符号的集合，这些对象和操作符号遵循一定的规则进行运算。
代数系统可以是有限或无限的，可以包含不同类型的对象和操作符号。
代数系统包括了多个子概念，下面将分别介绍。
集合在代数系统中，最基本的概念是集合。
集合是一个无序的元素组成的集合体。
在代数系统中，我们通常用大写字母表示一个集合。
例如：A、B、C等。
元素在一个集合中，每个单独的对象都被称为元素。
元素可以是任何东西——数字、字母、字符串等等。
在代数系统中，我们通常用小写字母表示一个元素。
例如：a、b、c等。
二元运算二元运算是指一个由两个元素构成的表达式，并返回另一个元素作为结果。
在代数系统中，二元运算通常用符号表示。
例如：加法“+”、减法“-”、乘法“×”等。
封闭性如果对于一个二元运算，在某个给定的集合内进行操作时，其结果仍然属于该集合，则称该集合对于该二元运算是封闭的。
例如，在整数集内进行加法和乘法时，其结果仍然是整数，因此整数集对于加法和乘法是封闭的。
群群是指一个代数系统，其中包含一个二元运算，满足以下四个条件：1. 封闭性：对于该二元运算，在该代数系统中进行操作时，其结果仍然属于该代数系统。
2. 结合律：对于该二元运算，无论操作的顺序如何，其结果都相同。
3. 单位元素：存在一个特殊的元素（称为单位元素），使得任何其他元素与该单位元素进行运算后不会改变原来的值。
4. 逆元素：对于每个元素，都存在一个逆元素使得它们进行运算后等于单位元素。
环环是指一个代数系统，其中包含两个二元运算（加法和乘法），满足以下四个条件：1. 封闭性：对于加法和乘法，在该代数系统中进行操作时，其结果仍然属于该代数系统。
2. 加法结合律：对于加法，无论操作的顺序如何，其结果都相同。
3. 加法单位元素：存在一个特殊的元素（称为加法单位元素），使得任何其他元素与该单位元素进行加法运算后不会改变原来的值。
4. 乘法分配律：对于任意三个在该代数系统中的元素a、b和c，有a×(b+c) = a×b + a×c和(b+c)×a = b×a + c×a。
代数系统
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5、幺元 、
代数系统的性质
一个代数系统<U， ， 若存在一个元素e∈ ， 一个代数系统 ，°>， 若存在一个元素 ∈U，使得对 为对于运算“ ∀x∈U，有：e ° x =x ° e = x，则称 e 为对于运算“ ° ”的幺 ∈ ， ， 元 或者 称 e 是<U，°>幺元 。 ， 幺元 注意： 注意： 这里考虑的是只有一个运算的代数系统。 这里考虑的是只有一个运算的代数系统。如果有两个或 者更多的运算，就不能简单地说代数系统的幺元了， 者更多的运算，就不能简单地说代数系统的幺元了，因 为幺元事实上是针对具体运算而言的。因而， 为幺元事实上是针对具体运算而言的。因而，如果有更 多的运算就必须对每个运算都进行讨论， 多的运算就必须对每个运算都进行讨论，一个运算若有 幺元，则一定指明是该运算的幺元。 幺元，则一定指明是该运算的幺元。
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6、零元 、
代数系统的性质
一个代数系统<U， ，如果存在一个元素θ∈ ， 一个代数系统 ，°>，如果存在一个元素 ∈U，使得 为对于运算“ 对∀x∈U有：θ°x =x°θ=θ，则称 为对于运算“ ° ” 的 ∈ 有 ° ° ，则称θ为对于运算 零元。 零元。 若只满足θ° 称为左零元。 若只满足 °x =θ，则θ称为左零元。 ， 称为左零元 称为右零元。 若只满足 x°θ=θ，则θ称为右零元。 ° ， 称为右零元 例如：代数系统 ， 的零元是什么？ 例如：代数系统<I，×>的零元是什么？ 的零元是什么 （0） ） 在所有n阶方阵集合 上的代数系统<M，×>，零 阶方阵集合M上的代数系统 ② 在所有 阶方阵集合 上的代数系统 ， ， 元是什么？ 元是什么？ 阶方阵） 阶方阵 （所有元素为 0 的n阶方阵） 上定义一个二元运算取极小“ ③ 在I+上定义一个二元运算取极小“Min”，< I+， ， ， Min>的零元是什么？ 的零元是什么？ 的零元是什么 （1） ）
离散数学几个典型的代数系统
{ a, b, c, e, f }是 L2的子格, 并且同构于五角格；
{ a, c, b, e, f }是 L3的子格, 也同构于钻石格.
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全上界与全下界
定义 设L是格, 若存在 a∈L 使得 x∈L 有 a ≼ x, 则称 a 为 L 的全 下界； 若存在 b∈L 使得 x∈L 有 x ≼ b, 则称 b 为 L 的全 上界. 说明：
对偶原理 交换律、结合律、幂等律、吸收律
格的等价定义 子格 格的同构 特殊的格：分配格、有界格、有补格、布尔格
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格的定义
定义 设<S, ≼>是偏序集，如果x,y≼S，{x,y}都有 最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个
格. 由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求{x,y} 的最小上界和最大下界看成 x 与 y 的二元运算∨和 ∧，即 x∨y 和 x∧y 分别表示 x 与 y 的最小上界和 最大下界. 注意：这里出现的∨和∧符号只代表格中的运算， 而不再有其他的含义.
由 a ≼ a, a∧b ≼ a 可得 a∨(a∧b) ≼ a (VI)
由式 (V) 和 (VI) 可得 a∨(a∧b) = a 根据对偶原理, a∧(a∨b) = a 得证.
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格作为代数系统的定义
定理 设<S,∗, >是具有两个二元运算的代数系统, 若对于∗和运算适合交换律、结合律、吸收律, 则 可以适当定义S中的偏序≼,使得<S, ≼>构成格, 且 a,b∈S有 a∧b = a∗b, a∨b = ab.
4
零因子的定义与存在条件
设<R,+,>是环，若存在 ab =0, 且 a0, b0, 称 a 为左零因子，b为右零因子，环 R 不是无零因子 环. 实例 <Z6,,>，其中 23=0，2 和 3 都是零因 子.
代数系统简介 -回复
代数系统简介-回复什么是代数系统？代数系统是数学中的一个重要概念，它是由一组元素和一组定义在这些元素上的运算所组成的。
代数系统的研究主要涉及元素的性质以及这些运算的规则。
代数系统可以是数学中的抽象概念，也可以是实际问题的描述。
我们可以通过定义元素和运算来构建不同类型的代数系统，这些代数系统可以用于解决各种问题，包括理论物理、计算机科学、密码学等领域中的问题。
在代数系统中，元素通常用字母表示，例如，可以用字母x、y、z表示元素。
而运算则是对元素进行操作的规则，例如，可以定义加法、减法、乘法、除法等运算。
不同的代数系统可以有不同的元素集合和运算规则，因此代数系统可以分为很多不同的类型。
代数系统的一个重要特点是封闭性，即在代数系统中进行的运算结果仍然属于代数系统。
例如，在实数集上定义的加法运算，对于任意两个实数a和b，它们的和a+b仍然是一个实数。
这种封闭性使得代数系统可以进行连续的推理和计算。
代数系统的研究主要包括以下几个方面：1. 代数结构：代数结构是指代数系统中的元素和运算之间的关系。
代数结构可以包括群、环、域等概念。
群是指一个集合和一个二元运算，满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质；环是指一个集合和两个二元运算，满足封闭性、结合律、分配律等性质；域是指一个集合和两个二元运算，满足封闭性、结合律、分配律、单位元和逆元等性质。
2. 代数运算：代数运算是指在代数系统中对元素进行操作的规则。
常见的代数运算包括加法、减法、乘法、除法等。
这些运算可以根据不同的代数系统和问题进行定义。
例如，在复数集上定义的乘法运算，对于复数a+bi和c+di，它们的乘积可以通过“交叉相乘加中间项”的方法进行计算：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 代数方程：代数方程是指将一个或多个未知数与系数之间的关系用等式表示的方程。
解代数方程就是找到满足方程的未知数的值。
代数方程的解法可以依赖于代数系统中的一些性质和定理。
代数系统
1代数系统1. 定义定义1.1 设A 是集合， 12,,,n f f f 是A 上的运算，则称12(,,,,)n A f f f 是集合A 上的代数系统（algebra system ），简称代数（algebra ）。
根据其中的运算定律可将代数系统划分为若干不同的类型。
由某一类代数的基本运算定律可以推出一些隐患的普遍定律，即任何满足基本定律的代数系统一定满足这些推出的定律。
2. 半群半群是最简单的代数系统，其定义如下。
定义 2.1 在一个非空集合上定义一个满足结合律的二元运算，则二者构成半群（semi-group ）。
带单位元的半群称为幺半群（monoid ）或者独异点。
例2.2字符串集合与字符串的连接运算构成半群，并且是幺半群，其中空串是连接运算的单位元。
3. 群定义3.1 若幺半群中的每个元素都有逆元，则称该幺半群为群（group ）。
例3.2 整数集合与加法构成一个群，称为整数加法群。
4. 置换群定义4.1 集合{1,2,…,n}上的双射称为n-元置换（permutation ，也译为“排列”），记为二行矩阵。
12343241⎛⎫ ⎪⎝⎭定义4.2 n-阶轮换：简记为行向量( )。
2-阶轮换称为对换。
定理4.3（置换的分解）置换可唯一地分解为若干次不相交的轮换的复合。
此外， 置换可以分解为若干次对换的复合。
置换的奇偶性：若置换可分解为奇数次对换，则称之为奇置换，否则称为偶置换。
定理4.4集合{1,2,…,n}上的所有双射与复合运算构成一个群，称为置换群。
证明：请读者尝试完成该证明。
证毕5.环和域略。
6.格定义6.1（格的第二种定义）设L是非空集合，∨和∧是L上的二元运算。
若下列四条定律成立，则称代数系统(,,)L∨∧为格：交换律、结合律、幂等律、吸收律。
注：格的第一种定义和第二种定义是等价的，即可相互构造。
定义6.2设(,,)L∨∧是格。
（1）有界格：若L有最大上界和最小下界，则称为有界格（bounded lattice），记为(,,,0,1)L∨∧，其中0，1分别表示最大上界和最小下界。
离散数学代数系统总结
离散数学代数系统总结离散数学是数学的一个分支，主要研究离散对象和离散结构。
而代数系统是离散数学的一个重要分支，它研究的是一类具有特定性质的运算集合。
在这篇文章中，我们将从代数系统的基本概念、性质和应用几个方面对离散数学中的代数系统进行总结。
一、代数系统的基本概念代数系统是指一个非空集合A，以及在这个集合上定义的一个或多个运算。
根据运算的性质，代数系统可以分为不同的类型，包括群、环、域等。
其中，群是最基本的代数系统，它具有封闭性、结合律、单位元、逆元等性质。
环则在群的基础上增加了乘法运算，并满足了分配律。
域是环的一种扩充，它除了满足环的性质外，还具有乘法逆元。
二、代数系统的性质1. 封闭性：代数系统中的运算结果仍属于该系统，即对于任意a、b∈A，a运算b的结果仍然属于A。
2. 结合律：对于代数系统中的任意元素a、b、c，(a运算b)运算c 与a运算(b运算c)的结果相同。
3. 单位元：代数系统中存在一个元素e，对于任意元素a，a运算e与e运算a的结果均为a。
4. 逆元：代数系统中的每个元素a都存在一个逆元，使得a运算它的逆元等于单位元。
5. 交换律：对于代数系统中的任意元素a、b，a运算b与b运算a 的结果相同。
这些性质是代数系统的基本特征，不同类型的代数系统在这些性质上有所区别，比如群具有结合律和单位元，但不一定满足交换律。
三、代数系统的应用代数系统在数学及其他学科中有着广泛的应用。
以下是几个代数系统应用的例子：1. 编码理论：代数系统的运算可以用于编码和解码信息，例如循环冗余校验码（CRC）就是通过代数系统中的运算实现数据校验。
2. 密码学：代数系统中的数学运算被广泛应用于密码学中，用于加密和解密信息，保护数据的安全。
3. 图论：代数系统的概念和性质在图论中有着重要的应用，例如邻接矩阵和关联矩阵可以用于描述和分析图的结构和特性。
4. 计算机科学：代数系统在计算机科学中有着广泛的应用，例如布尔代数在逻辑电路设计和逻辑编程中的应用。
代数系统基本要求
代数系统基本要求
代数系统是数学中的一个重要概念，它是由一组元素和一组运算构成的结构。
在代数系统中，元素可以是数字、变量或其他对象，而运算可以是加法、乘法、幂等等。
代数系统的基本要求涉及到元素的封闭性、结合律、交换律、单位元和逆元等性质。
代数系统要求元素的封闭性，即在给定的运算下，任何两个元素进行运算后的结果仍然是该代数系统中的元素。
这保证了代数运算的有效性和完整性。
代数系统要求满足结合律，即对于代数系统中的任意三个元素a、b 和c，它们进行运算的结果不受计算顺序的影响。
这意味着无论先计算a和b，还是先计算b和c，最终得到的结果都是一样的。
代数系统要求满足交换律，即对于代数系统中的任意两个元素a和b，它们进行运算的结果不受元素的顺序交换的影响。
这意味着无论先计算a和b，还是先计算b和a，最终得到的结果都是一样的。
除此之外，代数系统还要求存在单位元和逆元。
单位元是指代数系统中的一个特殊元素，它与任何其他元素进行运算后，结果都等于该元素本身。
逆元是指对于代数系统中的任意元素a，都存在一个元素b，使得a与b进行运算后的结果等于单位元。
单位元和逆元的存在保证了代数运算的可逆性和唯一性。
代数系统的基本要求包括元素的封闭性、结合律、交换律、单位元
和逆元等性质。
这些要求保证了代数系统的有效性和完整性，使得代数运算能够在数学中得到广泛应用。
无论是解方程、计算多项式还是研究数学结构，代数系统都是不可或缺的工具。
代数系统的研究不仅推动了数学的发展，也在物理、工程、计算机科学等领域发挥着重要作用。
代数系统
关于子代数的术语
最大的子代数：就是V本身. 最小的子代数：V中所有代数常数构成集合B，且B对V 所有运算封闭，则B就构成了V的最小的子代数. 平凡的子代数：最大和最小子代数称为V的平凡子代数. 真子代数：若B是S的真子集，则B构成的子代数称为V 的真子代数.
例2 设V=<Z,+,0>，令 nZ = { nz | z∈Z}，n 为自然数， 则 nZ 是 V 的子代数, 当 n = 1 和 0 时，nZ 是 V 的 平凡的子代数，其他的都是 V 的非平凡的真子代数.
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同态映射的定义
定义14.11 设 V1=<S1,∘ >和 V2=<S2,>是代数系统，其中 ∘ 和 是二元运算. f : S1S2, 且x,yS1 f (x ∘ y) = f(x) f( y) 则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.
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同态映射的定义(续)
例1 V=<R*,>, 判断下面的哪些函数是V 的同态？ (1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2 (4) f(x)=1/x (5) f(x)= x (6) f(x)=x+1 解 (1) 是同态, (3) 是同态, (4) 是同态, f(xy) = |xy| = |x| |y| = f(x) f(y) f(xy) = (xy)2 = x2 y2 = f(x) f(y) f(xy) = 1/(xy) =1/x 1/y = f(x) f(y)
如果是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像，
记作 V1V2； 如果是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2， 记作 V1V2. 对于代数系统 V，它到自身的同态称为自同态.
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代数系统一、选择题：1、下列正整数集的子集在普通加法运算下封闭的是（ D ）A 、{30x x ≤}B 、{x x 与30互质}C 、{x x 是30的因子}D 、{x x 是30的倍数}2、设S={1，2，…，10 }，则下面定义的运算*关于S 非封闭的有（ D ）A 、x*y=max(x ,y)B 、x*y=min(x ,y)C 、x*y=取其最大公约数D 、x*y= 取其最小公倍数3、设集合A 的幂集为()A ρ，-⨯I U 、、、为集合的交、并、差、笛卡尔乘积运算，则下列系统中是代数系统的为（ D ）A 、()A ρI ,B 、()A ρU ,C 、(),A ρ-D 、(),A ρ⨯4、在自然数集上定义的下列四种运算，其中满足结合律的是（C ）A 、a b a b *=-B 、||a b a b *=-C 、max{,}a b a b *=D 、2a b a b *=+5、设Z +为正整数集，*表示求两数的最小公倍数，对代数系统*A Z +=,，有（ A ）A 、1是么元，无零元B 、1是零元，无么元C 、无零元，无么元D 、无等幂元6、设非空有限集S 的幂集为()S ρ，对代数系统()A S ρ=I ,，有（ B ）A 、Φ是么元，S 是零元B 、Φ是零元，S 是么元C 、唯一等幂元D 、无等幂元7、在有理数集Q 上定义的二元运算*： xy y x y x -+=*，则Q 中元素满足（ C ）A 、都有逆元B 、只有唯一逆元C 、1x ≠时，有逆元D 、都无逆元8、设R 是实数集合，“⨯”为普通乘法，则代数系统<R ，×> 一定不是（ D ）A 、半群B 、独异点C 、可交换的独异点D 、循环独异点9、设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >（ B ）A 、是半群，但非独异点B 、是独异点，但非群C 、是群，但非阿贝尔群D 、是阿贝尔群10、任意具有多个等幂元的半群，它（A ）A 、不能构成群B 、不一定能构成群C 、能构成群D 、能构成阿贝尔群二、填充题：1、下表中的运算均定义在实数集上，请在相应的空格中打“√”或填上具体实数（不满足2、设(6)。
3、设A={3,6,9}，A 上*为：a*b=min{a,b}，则在独异点<A,*>中，么元是(9)，零元为(3) 。
4、代数系统<A,*>中，|A|>1，若θ和e 分别为<A,*>的么元和零元，则θ和e 的关系为θ≠e 。
5、设< {a,b,c}, * >为代数系统，* 运算如下：则它的么元为a ；零元为c ； a 、b 、c 的逆元分别为a 、b 、无。
6、设〈G ,*〉是一个群，则(1) 若a,b,x ∈G ，a *x=b ，则x=( a *-1b)；(2) 若a,b,x ∈G ，a *x=a *b ，则x=( b )。
7、群<G ,*>的等幂元是(么元)，有(1)个，零元有(0)个。
8、设a 是12阶群的生成元， 则2a 是(6 )阶元素，3a 是(4)阶元素。
9、设a 是10阶群的生成元， 则4a 是(5 )阶元素，3a 是(10)阶元素。
10、在一个群〈G ,*〉中，若G 中的元素a 的阶是k ，则1a -的阶是(k)。
1、设A={1，2}，A 上所有函数的集合记为A A , ο是函数的复合运算，试给出A A 上运算ο的运算表，并指出A A 中是否有么元，哪些元素有逆元？答：因为|A|=2，所以A 上共有22=4个不同函数。
令},,,{4321f f f f A A =，其中：1)2(,2)1(;2)2(,2)1(;1)2(,1)1(;2)2(,1)1(44332211========f f f f f f f f1f 为A A 中的么元，1和4有逆元。
2、已知定义在集合},,,{d c b a 上的运算*如下表：试问：1）>*<},,,,{d c b a 是否为代数系统？2）>*<},,,,{d c b a 是否为子群？3）>*<},,,,{d c b a 是否为群？4）>*<},,,,{d c b a 是否有单位元？5）是否满足交换律？3333[][][()mod3]i j i j +=+，试给出+3的运算表，并指出<Z +,+3>是否构成群？答：<Z +,+3>构成群。
四、计算题：1、设S=Q ⨯Q ，Q 为有理数集合，*为S 上的二元运算：对任意(a,b)，(c,d)∈S,有 (a,b)*(c,d)=(ac,ad+b),求出S 关于二元运算*的么元，以及当a ≠0时，(a,b)关于*的逆元。
解：设S 关于*的么元为(a,b)。
根据*和么元的定义，对∀(x,y)∈S,有(a,b)*(x,y)=(ax,ay+b)=(x,y), (x,y)*(a,b)=(ax,xb+y)=(x,y)。
即ax=x,ay+b=y,xb+y=y 对∀x,y ∈Q 都成立。
解得a=1,b=0，则S 关于*的么元为(1,0)。
当a ≠0时，设(a,b)关于*的逆元为(c,d)。
根据逆元的定义，有(a,b)*(c,d)= (ac,ad+b)=(1,0)，(c,d)*(a,b)= (ac,cb+d)=(1,0)即ac=1,ad+b=0,cb+d=0。
解得c=1/a,d=-b/a 。
所以(a,b)关于*的逆元为(1/a, -b/a)。
2、试求<N6,+6>中每个元素的阶。
解：0是<N6,+6>中关于+6的么元。
则|0|=1；|1|=|5|=6，|2|=|4|=3，|3|=2。
1、 设<R,*>是一个代数系统，*是R 上二元运算，,*a b R a b a b a b ∀∈=++⋅， 则0是么元且<R,*>是独异点。
证明：（1） ,0*00,*000a R a a a a a a a ∀∈=++⋅==++⋅即 0**0a a a ==，0是么元（2）由于+，·在R 封闭，则*在R 上封闭。
（3） ,,a b c R ∀∈)*(**)*()*(*)(*)(*)*(c b a c b a cb ac b c a b a c b a c b a cb ac b c a b a c b a cb a b ac b a b a c b a b a c b a =⋅⋅+⋅+⋅+⋅+++=⋅⋅+⋅+⋅+⋅+++=⋅⋅++++⋅++=⋅++=所以因此 ， 〈R ，*〉是独异点。
2、I 上的二元运算*定义为：∀a,b ∈I ，a*b=a+b-2。
试证：<I,*>为群。
证明：（1）∀a,b,c ∈I ，(a*b)*c=(a*b)+c-2=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4, a*(b*c)=a+(b*c)-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4。
故(a*b)*c= a*(b*c)，从而*满足结合律。
（2）记e=2。
对∀a ∈I ，a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a.。
故e=2是I 关于运算*的单位元。
（3）对∀a ∈I ，因为a*（4-a ）=a+4-a-2=2=e=4-a+a-2=(4-a)*a 。
故4-a 是a 关于运算*的逆元。
综上所述，<I,*>为群。
3、设*是集合A 上可结合的二元运算，且∀a,b ∈A,若a*b=b*a ，则a=b 。
试证明：（1）∀a ∈A,a*a=a ，即a 是等幂元；（2） ∀a,b ∈A,a*b*a=a 。
证明：（1）∀a ∈A,记b=a*a 。
因为*是可结合的，故有b*a=(a*a)*a=a*(a*a)=a*b 。
由已知条件可得a=a*a 。
（2）∀a,b ∈A,因为由（1），a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*(b*a),(a*b*a)*a=(a*b)*(a*a)=(a*b)*a=a*(b*a)。
故a*(a*b*a)=(a*b*a)*a ，从而a*b*a=a 。
4、设半群<S,·>中消去律成立，则<S,·>是可交换半群当且仅当∀a,b ∈S ，（a ·b ）2=a 2·b 2。
证明： ⇒∀a,b ∈S ，（a ·b ）2=(a ·b)·(a ·b)=((a ·b)·a)·b=(a ·(b ·a))·b=(a ·(a ·b))·b=((a ·a)·b)·b=(a ·a)·(b ·b)=a 2·b 2;⇐ ∀a,b ∈S ，因为（a ·b ）2=a 2·b 2，所以(a ·b)·(a ·b)=(a ·a)·(b ·b)。
故a ·((b ·a)·b)=a ·(a ·(b ·b))。
由于·满足消去律，所以(b ·a)·b=a ·(b ·b)，即(b ·a)·b=(a ·b)·b 。
从而a ·b=b ·a 。
故·满足交换律。
5、若<S,•>是可交换独异点，T 为S 中所有等幂元的集合，则<T,•>是<S,•>的子独异点。
证明： Θ e •e=e ，∴e ∈T ，即T 是S 的非空子集。
∀ a,b ∈T,Θ <S ，•>是可交换独异点,∴(a •b )•(a •b)=((a •b)•a)•b=(a •(b •a))•b=（a •(a •b)）•b =((a •a)•b)•b=(a •a)•(b •b)=a •b,即a •b ∈T 。
故<T,•>是<S,•>的子独异点。
有么元且满足消去律的有限半群一定是群。
证明 设<G ，*>是一个有么元且满足消去律的有限半群，要证<G ，*>是群，只需证明G 的任一元素a 可逆。
a G ∀∈，则k a G ∈，对a ，a 2，…，a k ，…，因G 只有有限个元素，所以存在k ＞l ，使得a k ＝a l 。
令m ＝k －l ，有a l *e ＝a l *a m ，其中e 是么元。
由消去律得a m ＝e 。
于是，当m ＝1时，a ＝e ，而e 是可逆的；当m ＞1时，a *a m -1＝a m -1*a ＝e 。