2019-2020学年山东省淄博市临淄区八年级(上)期中数学试卷(五四学制)

2019-2020学年山东省淄博市临淄区八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（12×4）
1. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）
A.(3−x)(3+x)＝9−x2
B.m3−mn2＝m(m+n)(m−n)
C.(y+1)(y−3)＝−(3−y)(y+1)
D.4yz−2y2z+z＝2y(2z−yz)+z
2. 下列各式：3
a ，a+b
7
，x2+1
2
y2，5，1
x−1
，x
8π
，其中分式有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3. 下列各式是完全平方式的是()
A.x2−x+1
4
B.1+4x2
C.a2+ab+b2
D.x2+2x−1
4. 若分式a2
a+b
中的a和b都扩大到原来的n倍，则分式的值（）
A.扩大到原来的n倍
B.扩大到原来的2n倍
C.扩大到原来的n2倍
D.不变
5. 下表是某校乐团的年龄分布，其中一个数据被遮盖了，下面对于中位数的说法正确的是（）
A.中位数是14
B.中位数可能是14.5
C.中位数是15或15.5
D.中位数可能是16
6. 如图（一），在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形(a>b)，把余下的部分剪成一个矩形（如图（二）），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A.a2−b2＝(a+b)(a−b) B.(a+b)2＝a2+2ab+b2
C.(a−b)2＝a2−2ab+b2
D.(a+2b)(a−b)＝a2+ab−2b2
7. 在“爱我永州”中学生演讲比赛中，五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下：
甲：8，7，9，8，8
乙：7，9，6，9，9
则下列说法中错误的是（）
A.甲、乙得分的平均数都是8
B.甲得分的众数是8，乙得分的众数是9
C.甲得分的中位数是9，乙得分的中位数是6
D.甲得分的方差比乙得分的方差小
8. 化简(1−2
x+1
)÷1
x2−1
的结果是（）
A.(x+1)2
B.(x−1)2
C.1
(x+1)2
D.1
(x−1)2
9. 某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高()
A.平均数变小，方差变小
B.平均数变小，方差变大
C.平均数变大，方差变小
D.平均数变大，方差变大
10. 已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2−b2c2＝a4−b4，则△ABC是（）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
11. 已知1
x
−1
y
=3，则代数式2x+3xy−2y
x−xy−y
的值是（）
A.−7
2
B.−11
2
C.9
2
D.3
4
12. 几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设原计划参加旅游的同学共有x人，则根据题可列方程（）
A.180
x
−180
x+2
=3 B.180
x+2
−180
x
=3
C.180
x −180
x+3
=2 D.180
x+3
−180
x
=2
二、填空题（6×4）：
计算20082−2007×2008＝________．
对于分式x2−9
x−3
，当x________时分式的值为零．
若实数x满足x2−2x−1＝0，则2x3−7x2+4x−2017＝________．
对于分式x−b
x+a
，当x＝−2时，无意义，当x＝4时，值为0，则a+b＝________．
若关于x的分式方程2x−a
x−2=1
2
的解为非负数，则a的取值范围是________．
如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a、b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为________．
三、解答题：（7×2+4×10+2×12）
（1）(x+2)x−x−2
（2）(x2+4)2−16x2
解分式方程
（1）2
x−1=4
x2−1
（2）1
x+2+1
x
=32
x2+2x
先化简：(a2+1
a+1−a)÷a2−2a+1
a+1
再从−1，0，1中选取一个数并代入求值．
某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲、乙两所学校参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩
分别为70分，80分，90分，100分，并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图表：
乙校成绩统计表
1008
(1)在图①中，“80分”所在扇形的圆心角度数为________；
(2)请你将图②补充完整；
(3)求乙校成绩的平均分；
(4)经计算知S
甲
2=135，S
乙
2=175，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合理评价．
观察下列各式1
6
=1
2×3
=1
2
−1
3
，1
12
=1
3×4
=1
3
−1
4
，1
20
=1
4×5
=1
4
−1
5
⋯
（1）请用含字母m（m为正整数）的等式表示如上的一般规律；
（2）仿照以上方法可推断2
35
=________；
（3）仿照以上方法解方程：3
(x−1)(x−4)=1
x−1
．
常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如x2−4y2−2x+4y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了．
过程为：x2−4y2−2x+4y＝(x2−4y2)−2(x−2y)＝(x−2y)(x+2y)−2(x−2y)＝(x−2y)(x+2y−2)这种方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2−2xy+y2−16；
（2）xy2−2xy+2y−4．
某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
(1)求甲，乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2
(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
观察下列各式
(x−1)(x+1)＝x2−1
(x−1)(x2+x+1)＝x3−1
(x−1)(x3+x2+x+1)＝x4−1
…
（1）分解因式：x5−1＝________；
（2）根据规律可得(x−1)(x n−1+...+x+1)＝________（其中n为正整数）；
（3）计算：(3−1)(350+349+348+...+32+3+1)；
（4）计算：(−2)1999+(−2)1998+(−2)1997+...+(−2)3+(−2)2+(−2)+1．
参考答案与试题解析
2019-2020学年山东省淄博市临淄区八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（12×4）
1.
【答案】
B
【考点】
因式分解的概念
因式分解
【解析】
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
【解答】
A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；
B、提公因式法后再利用平方差公式，正确；
C、是恒等变形，不是因式分解，错误；
D、右边不是整式积的形式，错误；
2.
【答案】
B
【考点】
分式的定义
【解析】
根据分式的定义对上式逐个进行判断，得出正确答案．
【解答】
解：3
a ，1
x−1
这2个式子分母中含有字母，因此是分式．
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．
故选B．
3.
【答案】
A
【考点】
完全平方公式
【解析】
完全平方式有两个，是a2+2ab+b2和a2−2ab+b2，据此即可判断．【解答】
解：A，是完全平方式，原式=(x−1
2
)2，故本选项正确；
B，不是完全平方式，故本选项错误；
C，不是完全平方式，故本选项错误；
D，不是完全平方式，故本选项错误.
故选A．4.
【答案】
A
【考点】
分式的基本性质
【解析】
观察代数式，显然分子将扩大n2倍，分母扩大n倍，从而分式的值扩大n倍．
【解答】
根据题意，得
新的分式是n
2⋅a2
na+nb
=na
a+b
，则分式的值扩大为原来的n倍．
5.
【答案】
D
【考点】
中位数
频数（率）分布表
【解析】
根据列表，由中位数的概念计算即可．
【解答】
5+7+13＝25，
由列表可知，人数大于25人，
则中位数是15或(15+16)÷2＝15.5或16．
6.
【答案】
A
【考点】
平方差公式的几何背景
【解析】
左图中阴影部分的面积＝a2−b2，右图中矩形面积＝(a+b)(a−b)，根据二者相等，即可解答．【解答】
由题可得：a2−b2＝(a−b)(a+b)．
7.
【答案】
C
【考点】
方差
众数
中位数
算术平均数
【解析】
分别求出甲、乙的平均数、众数、中位数及方差可逐一判断．
【解答】 解：A ，x 甲¯
=
8+7+9+8+8
5
=8，x 乙¯
=
7+9+6+9+9
5
=8，故此选项正确；
B ，甲得分次数最多是8分，即众数为8分；乙得分最多的是9分，即众数为9分，故此选项正确；
C ，∵ 甲得分从小到大排列为：7，8，8，8，9， ∴ 甲的中位数是8分.
∵ 乙得分从小到大排列为：6，7，9，9，9， ∴ 乙的中位数是9分，故此选项错误；
D ，∵ S 甲2=1
5
×[(8−8)2+(7−8)2+(9−8)2+(8−8)2+(8−8)2]=1
5
×2＝0.4，
S 乙2=15×[(7−8)2+(9−8)2+(6−8)2+(9−8)2+(9−8)2]=1
5×8＝1.6， ∴ S 甲2<S 乙2，故此选项正确. 故选C . 8.
【答案】 B
【考点】
分式的混合运算 【解析】
先对括号内的式子通分，然后再将除法转化为乘法即可解答本题． 【解答】
(1−
2x +1)÷1x 2−1 =x +1−2x +1÷1(x +1)(x −1)
=
x −1
x +1
⋅(x +1)(x −1) ＝(x −1)2， 9. 【答案】 A
【考点】 方差
算术平均数 统计量的选择
【解析】
分别计算出原数据和新数据的平均数和方差即可得． 【解答】
解：原数据的平均数为：
180+184+188+190+192+194
6
=188，
则原数据的方差为：
1
6
×[(180−188)2+(184−188)2+(188−188)2 +(190−188)2+(192−188)2+(194−188)2]=683
，
新数据的平均数为:
180+184+188+190+186+194
6
=187，
则新数据的方差为：
1
6
×[(180−187)2+(184−187)2+(188−187)2+ (190−187)2+(186−187)2+(194−187)2]=593
，
所以平均数变小，方差变小. 故选A . 10.
【答案】 C
【考点】
因式分解的应用 【解析】
移项并分解因式，然后解方程求出a 、b 、c 的关系，再确定出△ABC 的形状即可得解． 【解答】
移项得，a 2c 2−b 2c 2−a 4+b 4＝0， c 2(a 2−b 2)−(a 2+b 2)(a 2−b 2)＝0， (a 2−b 2)(c 2−a 2−b 2)＝0，
所以，a 2−b 2＝0或c 2−a 2−b 2＝0， 即a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，
因此，△ABC 等腰三角形或直角三角形． 11. 【答案】 D
【考点】 分式的值
分式的加减运算 【解析】
由1
x −1
y =3得出y−x
xy =3，即x −y ＝−3xy ，整体代入原式=2(x−y)+3xy (x−y)−xy
，计算可得．
【解答】 ∵ 1
x −1
y =3， ∴ y−x xy =3， ∴ x −y ＝−3xy ，
则原式=2(x−y)+3xy (x−y)−xy
=−6xy +3xy
−3xy −xy
=
−3xy
−4xy
=3
4， 12. 【答案】 A
【考点】
由实际问题抽象为分式方程 【解析】
等量关系为：原来人均单价-实际人均单价＝3，把相关数值代入即可． 【解答】 原来人均单价为180x
，实际人均单价为180
x+2， 那么所列方程为
180x
−180
x+2=3，
二、填空题（6×4）：
【答案】 2008 【考点】
因式分解的应用 【解析】
先提取公因式2008，再对余下的项整理计算即可． 【解答】
20082−2 007×2 008， ＝2008×(2008−2007)， ＝2008． 【答案】 =−3 【考点】
分式值为零的条件 【解析】
要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0． 【解答】
解：由分子x 2−9=0解得：x =±3．
当x =3时，分母x −3=3−3=0，分式没有意义； 当x =−3时，分母x −3=−3−3=−6≠0， 所以x =−3． 故答案为：=−3. 【答案】 −2020
【考点】
因式分解的应用 【解析】
把2x 2分解成x 2与x 2相加，然后把所求代数式整理成用x 2−x 表示的形式，然后代入数据计算求解即可． 【解答】
∵ x 2−2x −1＝0， ∴ x 2−2x ＝1，
2x 3−7x 2+4x −2017
＝2x 3−4x 2−3x 2+4x −2017， ＝2x(x 2−2x)−3x 2+4x −2017， ＝6x −3x 2−2017， ＝−3(x 2−2x)−2017 ＝−3−2017 ＝−2020， 【答案】 6
【考点】
分式有意义、无意义的条件 分式值为零的条件
【解析】
直接利用分式的值为零则分子为零以及分式无意义则分母为零，进而得进而得出答案． 【解答】
∵ 对于分式x−b
x+a ，当x ＝−2时，无意义，当x ＝4时，值为0， ∴ −2+a ＝0，4−b ＝0， 解得：a ＝2，b ＝4， 则a +b ＝6． 【答案】 a ≥1且a ≠4 【考点】 分式方程的解 解一元一次不等式
【解析】
在方程的两边同时乘以2(x −2)，解方程，用含a 的式子表示出x 的值，再根据x ≥0，且x ≠2，解不等式组即可． 【解答】
解：两边同时乘以2(x −2)， 得：4x −2a =x −2， 解得x =
2a−23
.
由题意可知，x ≥0且x ≠2，
∴
{2a−2
3≥0,
2a−2
3
≠2,
解得：a ≥1且a ≠4.
故答案为：a≥1且a≠4.
【答案】
a+3b
【考点】
完全平方公式的几何背景
【解析】
1张边长为a的正方形卡片的面积为a2，6张边长分别为a、b的矩形卡片的面积为6ab，9张边长为b的正方形卡片面积为9b2，∴16张卡片拼成一个正方形的总面积＝a2+6ab+9b2＝(a+3b)2，∴大正方形的边长为：a+3b．
【解答】
由题可知，16张卡片总面积为a2+6ab+9b2，
∵a2+6ab+9b2＝(a+3b)2，
∴新正方形边长为a+3b．
三、解答题：（7×2+4×10+2×12）
【答案】
原式＝(x+2)x−(x+2)＝(x+2)(x−1)；
原式＝(x2+4+4x)(x2+4−4x)＝(x+2)2(x−2)2．
【考点】
提公因式法与公式法的综合运用
【解析】
（1）原式变形后，提取公因式即可；
（2）原式利用平方差公式及完全平方公式分解即可．
【解答】
原式＝(x+2)x−(x+2)＝(x+2)(x−1)；
原式＝(x2+4+4x)(x2+4−4x)＝(x+2)2(x−2)2．
【答案】
去分母得：2x+2＝4，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解；
去分母得：x+x+2＝32，
解得：x＝15，
经检验x＝15是分式方程的解．
【考点】
解分式方程
【解析】
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】
去分母得：2x+2＝4，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解；
去分母得：x+x+2＝32，
解得：x＝15，
经检验x＝15是分式方程的解．【答案】
原式=a
2+1−a(a+1)
a+1
⋅a+1
(a−1)2
=
1−a
a+1
⋅
a+1
(a−1)2
=1
1−a
，
当a＝−1，1时，无意义，
故a＝0，
则原式＝1．
【考点】
分式的化简求值
【解析】
直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】
原式=a
2+1−a(a+1)
a+1
⋅a+1
(a−1)2
=
1−a
a+1
⋅
a+1
(a−1)2
=1
1−a
，
当a＝−1，1时，无意义，
故a＝0，
则原式＝1．
【答案】
54∘
(2)甲校“100”分的人数为：20−6−3−6=5，统计图补充如下：
；
(3)乙校“80”分的人数为：20−1−7−8=4，
x
乙
¯
=70×7+80×4+90×1+100×8
20
=85；
(4)∵S
甲
2<S
乙
2，
∴甲校的成绩比较整齐．
【考点】
方差
加权平均数 条形统计图 扇形统计图
【解析】
（1）根据统计图可知甲班70分的有6人，从而可求得总人数，然后可求得成绩为80分的同学所占的百分比，最后根据圆心角的度数=360∘×百分比即可求得答案；
（2）用总人数减去成绩为70分、80分、90分的人数即可求得成绩为100分的人数，从而可补全统计图； （3）先求得乙班成绩为80分的人数，然后利用加权平均数公式计算平均数； （4）根据方差的意义即可做出评价．
【解答】
解：(1)甲校参赛人数为：6÷30%=20， 故甲校“80”分的人数占比为：3÷20=15%，
故“80”分所在扇形的圆心角度数为：360∘×15%=54∘. 故答案为：54∘；
(2)甲校“100”分的人数为：20−6−3−6=5，统计图补充如下：
；
(3)乙校“80”分的人数为：20−1−7−8=4， x 乙¯
=
70×7+80×4+90×1+100×8
20
=85；
(4)∵ S 甲2<S 乙2
，
∴ 甲校的成绩比较整齐． 【答案】
根据题意得：1
m(m+1)=1
m −1
m+1（m ≥2的正整数）； 15−17
方程整理得：1
x−4−1
x−1=1
x−1，即1
x−4=2
x−1， 去分母得：x −1＝2x −8， 解得：x ＝7，
经检验x ＝7是分式方程的解．
故答案为：15
−1
7
【考点】
规律型：点的坐标 规律型：数字的变化类 解分式方程
规律型：图形的变化类
【解析】
（1）观察已知等式得到一般性规律，写出即可； （2）仿照以上方法作出推断即可；
（3）仿照以上方法求出分式方程的解即可． 【解答】 根据题意得：1m(m+1)=
1m
−
1
m+1
（m ≥2的正整数）；
根据题意得：
2
35=15
−17
；
方程整理得：1
x−4−1
x−1=1
x−1，即1
x−4=2
x−1， 去分母得：x −1＝2x −8，
解得：x ＝7，
经检验x ＝7是分式方程的解． 故答案为：1
5−1
7
【答案】
原式＝(x −y)2−16
＝(x −y +4)(x −y −4)； xy 2−2xy +2y −4 ＝xy(y −2)+2(y −2) ＝(y −2)(xy +2)． 【考点】
因式分解-运用公式法 公因式
因式分解-分组分解法
【解析】
（1）直接将前三项分组，再利用乘法公式分解因式进而得出答案； （2）直接将前两项和后两项分组利用提取公因式法分解因式即可． 【解答】
原式＝(x −y)2−16
＝(x −y +4)(x −y −4)； xy 2−2xy +2y −4 ＝xy(y −2)+2(y −2) ＝(y −2)(xy +2)．
【答案】
解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，
根据题意得：400
x −400
2x
=4，
解得：x=50，
经检验x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100m2．
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100 m2，50 m2．
(2)设应安排甲队工程y天，根据题意得：
0.4y+1800−100y
50
×0.25≤8，
解得：y≥10，
答：至少应安排甲队工作10天．
【考点】
分式方程的应用
一元一次不等式的运用
【解析】
（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x(m2)，根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；
（2）设应安排甲队工作y天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．
【解答】
解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，
根据题意得：400
x −400
2x
=4，
解得：x=50，
经检验x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100m2．
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100 m2，50 m2．
(2)设应安排甲队工程y天，根据题意得：
0.4y+1800−100y
50
×0.25≤8，
解得：y≥10，
答：至少应安排甲队工作10天．
【答案】
(x−1)(x4+x3+x2+x+1)
x n−1
(3−1)(350+349+348+...+32+3+1)＝351−1．
∵(−2−1)[(−2)1999+(−2)1998+(−2)1997+...+(−2)3+(−2)2+(−2)+1]，＝(−2)2000−1，
＝22000−1，
∴(−2)1999+(−2)1998+(−2)1997+...+(−2)3+(−2)2+(−2)+1=−22000−1
3
．【考点】平方差公式
【解析】
（1）根据所给出的具有规律的式子，可知x5−1＝(x−1)(x4+x3+x2+x+1)．
（2）观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可；
（3）根据所给式子的规律，把x换为3即可，(3−1)(350+349+348+...+32+3+1)＝351−1．
（4）先计算(−2−1)[(−2)1999+(−2)1998+(−2)1997+...+(−2)3+(−2)2+(−2)+1]＝(−2)2000−1，然后再计算所给式子．
【解答】
分解因式：x5−1＝(x−1)(x4+x3+x2+x+1)；
(x−1)(x n−1+...+x+1)＝x n−1；
(3−1)(350+349+348+...+32+3+1)＝351−1．
∵(−2−1)[(−2)1999+(−2)1998+(−2)1997+...+(−2)3+(−2)2+(−2)+1]，
＝(−2)2000−1，
＝22000−1，
∴(−2)1999+(−2)1998+(−2)1997+...+(−2)3+(−2)2+(−2)+1=−22000−1
3
．。