一道美国高中数学习题的赏析与变式

合集下载

美国高三数学试卷及答案(2篇)

第1篇一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，是奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = e^x答案：C2. 已知等差数列的前三项分别是2，5，8，则该数列的公差是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B3. 下列方程中，无解的是：A. x + 2 = 0B. x^2 - 4 = 0C. x^2 + 4 = 0D. x^2 - 1 = 0答案：C4. 已知圆的半径为5，圆心坐标为(3, 4)，则该圆的标准方程是：A. (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25B. (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16C. (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 9D. (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4答案：A5. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值，则a，b，c的关系是：A. a > 0, b < 0, c > 0B. a > 0, b > 0, c > 0C. a < 0, b < 0, c < 0D. a < 0, b > 0, c > 0答案：A6. 已知等比数列的前三项分别是2，4，8，则该数列的公比是：A. 1B. 2C. 4D. 8答案：B7. 下列函数中，是偶函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = e^x答案：B8. 已知函数f(x) = 2x + 1在x=0时取得最大值，则该函数的单调性是：A. 单调递增B. 单调递减C. 既有递增又有递减D. 无单调性答案：A9. 下列方程中，有两个实数解的是：A. x^2 - 4 = 0B. x^2 + 4 = 0C. x^2 - 1 = 0D. x^2 + 1 = 0答案：C10. 已知圆的半径为3，圆心坐标为(-2, 1)，则该圆的标准方程是：A. (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9B. (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 4C. (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 1D. (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 16答案：A二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列的前三项分别是3，5，7，则该数列的第10项是______。

美国SAT数学考题精选赏析

生．本题还可以进行推广：改变书写的数字范
围，如求１～５００中数字１出现的次数；也可以改变出现的数字，如求１～３００中数字２出现的次数，数字３出现的次数 … 等；当然也可以两者都改变．
最后一题第２０题是考查学生分析能力的好题．初看此题似乎无从下手．但只要紧紧抓住“最高 ”二字就可做文章．命题者的答案是这样分析的：首先２５人中２２人通过“最高”的分数是２２人全得１０分；３人未通过，其中设１人得２分（因题设中给出２５人中有人得２分，就只设１人得２分，这也是抓住“最高”二字），其他２人各得６分（也是取 ”最高 “分数）．因此２５人共得１０×２２＋６×２＋２＝２３４分，平均分数为２３４÷２５＝９．３６分，是为最高的平均分数，这题设计新颖，耐人思考．
（以上２０题的答案为１（１３），２（１２），３（１８），４（Ｂ），５（１），６（Ⅰ，Ⅱ ），７（８４），８（５２），９（２３０），１０（Ｃ），１１（１２０），１２（５０），１３（６），１４（２３），１５（１５），１６（Ｃ），１７（Ｃ），１８（１００００＋Ａ＋Ｂ），１９（１６０），２０（９．３６））
１８．定义ｎ＝１＋２＋３＋ … ＋ｎ（ｎ为自然
数），例如１０＝１＋２＋ … ＋１０＝５５．已知１０＝
Ａ，１０００＝Ｂ，试用Ａ，Ｂ表示１０１０．
１９．在书写１至３００的整数时，数字１出现多少次？
２０．２５个学生参加一次测验，得到从２到１０的分数，其中２２人由于得到７及７以上的分数而顺利通过．问这２５个学生的平均分数最高是多少分？

美国高中生数学试题及答案

美国高中生数学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14159B. πC. 0.33333...D. √22. 如果一个函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，那么f(-2)的值是多少？A. -1B. 1C. 3D. 53. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 84. 以下哪个方程没有实数解？A. x^2 + 4x + 4 = 0B. x^2 - 4x + 4 = 0C. x^2 + 4x - 5 = 0D. x^2 - 9 = 05. 一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πC. 75πD. 100π6. 以下哪个是二次方程的根？A. x = 2B. x = -2C. x = 3D. x = -37. 如果一个数列是等差数列，且前三项为2, 5, 8，那么第10项是多少？A. 23B. 24C. 25D. 268. 一个函数g(x) = 3x - 2，当x = 4时，g(x)的值是多少？A. 10B. 12C. 14D. 169. 以下哪个是线性方程的解？A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. x = 310. 一个正方体的体积是27立方单位，它的边长是多少？A. 3C. 9D. 12二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个圆的周长是2πr，其中r是______。

12. 一个二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式是______。

13. 一个数的平方根是4，那么这个数是______。

14. 如果一个数列是等比数列，且首项为2，公比为3，那么第5项是______。

15. 一个函数h(x) = kx + b，当k不等于0时，这个函数是______函数。

三、解答题（每题5分，共25分）16. 解方程：3x + 5 = 14。

17. 证明：如果一个三角形的两边长分别为a和b，且a + b > c，那么这个三角形是存在的。

高考数学试卷美国版答案

Part A：选择题（每题2分，共40分）1. 答案：B解析：题目要求选择一个关于函数单调性的正确说法。

选项A和C错误，因为函数在某区间内单调递增或递减，不代表在所有区间内都如此。

选项D错误，因为题目没有给出函数的具体形式，无法判断其在整个定义域内的单调性。

2. 答案：C解析：这是一个关于复数的题目。

复数a+bi的模长是√(a²+b²)，所以|2+i|=√(2²+1²)=√5。

3. 答案：A解析：这是一个关于数列的题目。

等比数列的通项公式是an=a1r^(n-1)，所以a5=a1r^(5-1)=a1r^4。

4. 答案：D解析：这是一个关于平面几何的题目。

在直角三角形ABC中，∠A=90°，所以根据勾股定理，AB²+BC²=AC²。

5. 答案：B解析：这是一个关于极限的题目。

根据极限的定义，当x趋近于0时，(sinx)/x的极限是1。

6. 答案：C解析：这是一个关于导数的题目。

函数f(x)=x³在x=0处的导数是f'(0)=30²=0。

7. 答案：A解析：这是一个关于概率的题目。

从一副52张的扑克牌中随机抽取4张，抽取到红桃的概率是13/5212/5111/5010/49。

8. 答案：D解析：这是一个关于对数的题目。

log2(16)=4，因为2的4次方等于16。

9. 答案：B解析：这是一个关于三角函数的题目。

sin(π/6)=1/2，所以选项B正确。

10. 答案：A解析：这是一个关于立体几何的题目。

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1的长度是√(3²+3²+3²)=3√3。

Part B：解答题（每题10分，共30分）11. 答案：解析：首先，我们需要找到函数的极值点。

函数f(x)=x³-6x²+9x在x=0、x=1和x=3时取得极值。

美国高中学生数学竞赛题

美国高中学生数学竞赛题1.(1995年文理)设(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值。

答案：64。

2.(1989年文)如果(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+…+a7的值等于()A.-2B.-1C.0D.2答案：(A)3.(1989年理)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+…+a7=____。

答案：-2。

题源：(美28届10题)若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a0，那么a7+a6+…+a0等于()A.0B.1C.64D.-64E.128答案：(E)改编点评：1题将指数7改为6，改为简答题；2题将底数(3x-1)改为(1-2x)，展开式改为x的升幂排列，所求结论中去掉了常数项a0，3题改编方法同2题，改为填空题。

4.(1990年文)已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，那么f(2)等于()A.-26B.-18C.-10D.10答案：(A)题源：(美33届12题)设f(x)=ax7+bx3+cx-5，其中a.b和c是常数，如图f(-7)=7，那么f(7)等于()A.-17B.-7C.14D.21E.不能唯一确定答案：(A)改编点评：降低了次数，减少了一个字母系数，降低了难度。

5.(1990年文理)如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值是()A. B. C. D.答案：(D)题源：(美35届29题)在满足方程(x-3)2+(y-3)2=6的实数对(x，y)中，的最大值是()A.3+2B.2+C.3D.6E.6+2答案：(A)改编点评：圆方程中的圆心坐标、半径作了改变，题设的叙述方式也作了变化。

6.(1990年文理)函数y=+++的值域是()A.{-2，4}B.{-2，0，4}C.{-2，0，2，4}D.{-4，-2，0，4}答案：(B)题源：(美28届8题)非零实数的每一个三重组(a，b，c)构成一个数。

北美数学高中试题

北美数学高中试题### 北美数学高中试题题目一：几何问题在直角三角形ABC中，角C为直角。

已知AB=c，BC=a，AC=b。

如果a和c的值已知，求b的值。

解答：利用勾股定理，我们有：\[ b^2 = a^2 + c^2 \]因此，b的值为：\[ b = \sqrt{a^2 + c^2} \]题目二：代数问题给定一个二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其中 \( a \neq 0 \)。

求方程的根。

解答：二次方程的根可以通过公式求得：\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]两个根分别为：\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]题目三：概率问题一个袋子里有5个红球和3个蓝球。

随机从袋子中取出一个球，观察颜色后放回，重复这个过程两次。

求两次都取出红球的概率。

解答：第一次取出红球的概率为 \( P_1 = \frac{5}{8} \)，第二次取出红球的概率为 \( P_2 = \frac{5}{8} \)。

因为每次取球都是独立事件，所以两次都取出红球的概率为：\[ P_{\text{两次红球}} = P_1 \times P_2 =\left(\frac{5}{8}\right)^2 \]题目四：数列问题给定一个等差数列，首项为a，公差为d。

求第n项的值。

解答：等差数列的第n项可以通过以下公式求得：\[ a_n = a + (n-1)d \]题目五：函数问题考虑函数 \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)。

求导数 \( f'(x) \)。

解答：对函数 \( f(x) \) 求导，我们得到：\[ f'(x) = 6x^2 - 6x + 1 \]。

美国高考的数学试卷压轴题

一、题目已知直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,1)，点C(m,n)在直线y=kx+b上。

求：（1）求直线BC的斜率k和截距b；（2）求点C到直线AB的距离d；（3）若直线BC与直线y=x相交于点D，求点D的坐标；（4）若点C的坐标满足m+n=0，求直线BC的倾斜角α（用弧度制表示）。

二、解题思路本题主要考查几何与三角函数的结合，涉及直线方程、点到直线的距离、斜率、倾斜角等知识点。

解题步骤如下：（1）根据点A、B的坐标，列出直线AB的方程，进而求出直线BC的斜率k和截距b；（2）利用点到直线的距离公式，求出点C到直线AB的距离d；（3）由直线BC的斜率k，列出直线BC的方程，进而求出点D的坐标；（4）根据点C的坐标满足m+n=0，求出直线BC的倾斜角α。

三、解答（1）直线AB的斜率k=(3-1)/(2-(-1))=2/3，截距b=3-2/32=1/3。

因此，直线BC 的斜率k=2/3，截距b=1/3。

（2）点C到直线AB的距离d=|2(2/3)-3+1/3|/√((2/3)^2+1^2)=2√13/3。

（3）直线BC的方程为y=2/3x+1/3。

联立直线BC与直线y=x，得x=3/5，y=3/5。

因此，点D的坐标为(3/5, 3/5)。

（4）直线BC的斜率k=2/3，倾斜角α=arctan(2/3)。

四、答案（1）直线BC的斜率k=2/3，截距b=1/3；（2）点C到直线AB的距离d=2√13/3；（3）点D的坐标为(3/5, 3/5)；（4）直线BC的倾斜角α=arctan(2/3)。

本题考查了几何与三角函数的结合，解题过程中需要运用直线方程、点到直线的距离、斜率、倾斜角等知识点。

通过对题目的分析和计算，可以培养学生的逻辑思维能力和解题技巧。

美国高考数学试卷计算题

一、解析几何问题1. 已知抛物线y=2x^2-4x+1与直线y=-3x+b相交于点A和B。

若AB的长度为8，求直线AB的方程。

2. 在直角坐标系中，点P的坐标为(2,3)，点Q在y轴上，且PQ=5。

求点Q的坐标。

3. 在平面直角坐标系中，点A(-3,4)，点B(2,-1)，点C(m,n)在直线y=-x+6上。

求m和n的值。

4. 已知三角形ABC的三个顶点A(1,2)，B(4,5)，C(6,1)，求三角形ABC的面积。

5. 在平面直角坐标系中，点P(x,y)到点A(1,2)的距离等于点P到直线y=3的距离。

求点P的轨迹方程。

二、概率问题6. 从一副52张的标准扑克牌中，随机抽取4张牌，求抽到4张牌都是红桃的概率。

7. 某班级有30名学生，其中有18名女生，12名男生。

从该班级中随机抽取3名学生，求抽到的3名学生都是女生的概率。

8. 某次考试中，甲、乙、丙三名学生的成绩分别为70分、80分、90分。

若随机抽取一名学生的成绩，求抽到成绩不低于80分的概率。

9. 一袋中有5个红球、3个蓝球、2个绿球。

从袋中随机取出3个球，求取出的3个球都是红球的概率。

10. 抛掷一枚公平的硬币，连续抛掷3次。

求连续3次都出现正面的概率。

三、综合问题11. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x-6，求函数f(x)的极值点。

12. 已知等差数列{an}的首项为3，公差为2。

求第10项an的值。

13. 某商品的原价为m元，降价后打9折，再赠送10%的购物券。

求顾客实际支付的金额。

14. 某工厂生产一批产品，已知生产成本为200元/件，销售价格为300元/件。

若每天生产x件，求每天利润的最大值。

15. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象开口向上，且f(1)=3，f(2)=8。

求a、b、c的值。

解答：一、解析几何问题1. 设直线AB的方程为y=-3x+b，将直线方程代入抛物线方程得2x^2+3x+(b-1)=0。

由韦达定理得x1+x2=-3/2，x1x2=(b-1)/2。

上海美国国际中学2021-2022学年高一数学文上学期期末试题含解析

上海美国国际中学2021-2022学年高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家. 为了握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本. 若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是( )（A） 2 （B） 5 （C）3 （D） 13参考答案：B2. 已知都是锐角，Sin=，Cos =，则Sin=（）A． B． C． D．参考答案：A3. 在△ABC中，若，则等于（）A B C D参考答案：C略4. 在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定参考答案：A【考点】三角形的形状判断．【分析】先将条件等价于cos（A+B）＞0，从而可知C为钝角，故可判断．【解答】解：由题意，∵cosAcosB＞sinAsinB∴cos（A+B）＞0∴cosC＜0∴C为钝角故选A．5. 函数的图象经过变换得到的图象，这个变换是A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位参考答案：A6. 函数满足f[f（x）]=x，则常数c等于（）A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．5或﹣3参考答案：B【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用已知函数满足f[f（x）]=x，可得x===，化为（2c+6）x2+（9﹣c2）x=0对于恒成立，即可得出．【解答】解：∵函数满足f[f（x）]=x，∴x===，化为（2c+6）x2+（9﹣c2）x=0对于恒成立，∴2c+6=9﹣c2=0，解得c=﹣3．故选B．【点评】正确理解函数的定义和恒等式的意义是解题的关键．7. 已知，那么，下列式子成立的是（）A．x < y < z B. z < y < x C. z < x < y D. x < z < y 参考答案：D8. 设S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，若＝(n∈N*)，则＝()（A）（B）（C）（D）参考答案：D=9. 若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＜B．（a﹣b）c2≥0C． a2＞b2 D． ac＞bc参考答案：B考点：不等式的基本性质．专题：不等式．分析：对于A，C，D举反例即可判断，对于B，根据不等式的性质即可判断解答：解：对于A，若a=1，b=﹣1，则＞，故A不成立，对于B，a＞b，则a﹣b＞0，故（a﹣b）c2≥0，故B成立，对于C，若a=1，b=﹣1，则a2=b2，故C不成立，对于D，若c=0，则ac=bc，故D不成立，故选：B．点评：本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，属于基础题10. 若为角终边上一点，则cos=（）A. B. C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，，则这三个数从小到大排列为 .参考答案：略12. 设集合，且，则实数的取值范围是参考答案：略13. 已知向量的夹角为，，则___________．参考答案：试题分析：，，所以，提醒：．考点：平面向量数量积的应用之一：求模．14.参考答案：15. 已知集合,，则参考答案：16. 已知圆，直线与圆O 相切，点P 坐标为，点A 坐标为(3,4)，若满足条件的点P 有两个，则r 的取值范围为_______参考答案：【分析】根据相切得m 2+n 2＝r 2，得点P 在圆O 上，满足条件PA ＝2的点P 有两个等价于圆O 与以A 为圆心，2为半径的圆A 有两个交点，即相交，根据两圆相交列式可得．【详解】∵直线l ：mx +ny ＝r 2与圆O 相切，所以＝r ，即m 2+n 2＝r 2，所以P （m ，n ）在圆O 上，又因为满足PA ＝2的点P 有两个，则圆O 与以A 为圆心，2为半径的圆A 有两个交点，即两圆相交，所以r ﹣2＜OA ＜r +2，即r ﹣2＜5＜2+r ，解得3＜r ＜7．故答案为：（3，7）．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系的应用考查转化思想，属中档题． 17. 已知集合，集合，则“”的充要条件是实数m =___________．参考答案：．∵，∴，．∴，． ∵，∴，∴．又，∴或，解得或，又，∴．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

由一道课本习题引申出的一组变式题

由一道课本习题引申出的一组变式题文/袁秀青课本是知识与方法的重要载体，也是高考试题的主要来源，相当数量的基本题、创新题都源于课本，即使是综合题，也是由基础题组合与加工而成的，离开了课本的复习必将是无源之水，无本之木.下面通过对高中数学新教材第二册(上)第132页第6题的研究，来分析近几年的高考试题是如何对其进行改编的.原题在椭圆2214520x y +=上求一点P ，使它与两个焦点的连线互相垂直.变式题1 椭圆22194x y +=的两个焦点是F 1、F 2，点P 为它上面的一动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是 .分析受原题的启发，无论是钝角还是锐角，都是以直角为参照，该题的解法很多，但以几何法最为简捷.如下图所示，以坐标原点O 为圆心，以|F 1F 2|为直径画圆，与椭圆交于A 、B 、C 、D 四点.由“直径所对的圆周角是直角”可知，当点P 位于A 、B 、C 、D 四点时，∠F 1PF 2为直角，当点P 位于椭圆上的弧AB 或弧CD 上时，∠F 1PF 2为钝角，锐角的情况不言而喻，故点P 的横坐标的取值范围是(变式题2 双曲线221916x y-=的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为 .分析该题将原题中的椭圆改为了双曲线，而点P 到x 轴的距离等于点P 的纵坐标的绝对值，点P 的坐标即为以|F 1F 2|为直径作圆与双曲线的交点的坐标.易求得点P 的纵坐标为165±，故点P 到x 轴的距离为165.变式题3 已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2为直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为A.95 B.3 C.94 分析该题是将原题中的12FPF ∠为直角改为了△F 1PF 2为直角三角形，题中没确定哪个角为直角，从而使该题更具有开放性.当∠F 1PF 2＝90o 时，只要找到以12FF 为直径的圆与椭圆的交点的纵坐标即可，显然以12FF 为直径的圆的方程227x y +=与椭圆221169x y +=无交点，故此时无解；当∠PF 1F 2=90°或∠PF 2F 1=90°时，易求得点P 到x 轴的距离为294b a =.选D.变式题4 F 1、F 2是椭圆C ：22184x y +=的两个焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为 .分析该题只是将原题中的求点的坐标改为了判断点的个数，但解法是相同的，即求以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的交点个数.显然，以|F 1F 2|为直径的圆的方程为224x y +=，它与椭圆C ：22184x y +=相切于椭圆的短轴端点，故点P 的个数为2.变式题5 设椭圆2211x y m +=+的两个焦点是F 1(－c ，0)和F 2(c ，0)，c >0，且椭圆上存在点P ，使得PF 1与PF 2垂直，求实数m 的取值范围.分析该题是在椭圆中引入参数，将求点的坐标改为了“求参数的取值范围”，但解法是相同的.要使椭圆上存在点P 使PF 1⊥PF 2，则只需以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆有交点，也就是椭圆的焦距要大于或等于椭圆的短轴长，即c ≥b ，易得.下面将上述问题推广到一般情况：结论1 已知F 1、F 2是椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的两个焦点.(1)若椭圆上存在点P ，使PF 1⊥PF 2e ≤＜1.(2)若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 22＜e ＜1.(3)若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2=θ，则椭圆的离心率的范围是sin 2e θ≤＜1.证明 (1)若存在点P ，使PF 1⊥PF 2，则表明，于是有－，解得2e≤＜1.(2)若存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角，则表明c>b ，于是有，解得2＜e ＜1.(3)在△F 1PF 2中，由余弦定理得，222212121212122cos ()2(1cos )F F PF PF PF PF PF PF PF PF θθ=+-⋅=+-⋅+.∴122212(1cos )2(1cos )()2PF PF PF PF b θθ+⋅+=≤+. ∴222(1cos )b a θ≤+，即2222222(1cos )2cos 2a c a a θθ-≤+=.解得sin 2e θ≤＜1. 结论2 椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)上对两焦点张角为θ()的点P 的个数由θ与1022arctan c F P F b ∠=(P 0为椭圆短轴的一个端点)的大小确定.当θ＞2arctan cb时，满足条件的P 点的个数为0；当2a r c t n c b θ=时，满足条件的P 点的个数为2；当θ＜2arctancb时，满足条件的P 点的个数为4.分析若点P 为椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)上的动点，则有22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅∵122PF PF a +=，∴当12PF PF =，即点P 在短轴上时，12cos F PF ∠有最小值，从而12F PF ∠有最大值，于是可知结论2成立.。

高中数学变式练习题及讲解

高中数学变式练习题及讲解### 高中数学变式练习题及讲解#### 练习题1：函数的性质题目：给定函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求该函数的最小值。

解答：首先，我们可以将函数 \( f(x) \) 进行配方，得到 \( f(x) = (x - 2)^2 - 1 \)。

由于 \( (x - 2)^2 \) 总是非负的，所以 \( f(x) \) 的最小值出现在 \( (x - 2)^2 = 0 \) 时，即 \( x = 2 \)。

此时，\( f(x) = -1 \)。

因此，函数 \( f(x) \) 的最小值为 \( -1 \)。

#### 练习题2：三角函数的恒等变换题目：证明 \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)。

解答：根据三角函数的倍角公式，我们知道 \( \sin(2x) = \sin(x + x) \)。

根据正弦的和角公式，我们有 \( \sin(x + x) = \sin(x)\cos(x) +\cos(x)\sin(x) \)。

将右边的两项合并，得到 \( \sin(2x) =2\sin(x)\cos(x) \)，从而证明了该恒等式。

#### 练习题3：立体几何题目：一个正四面体的边长为 \( a \)，求其体积。

解答：正四面体的体积 \( V \) 可以通过公式 \( V =\frac{\sqrt{2}}{12}a^3 \) 计算。

首先，我们需要计算正四面体的高。

正四面体的高可以通过勾股定理计算，设高为 \( h \)，则 \( h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2} =\frac{\sqrt{6}}{3}a \)。

然后，使用体积公式 \( V = \frac{1}{3} \times \text{底面积} \times \text{高} \)，其中底面积为\( \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \)，代入高 \( h \)，得到 \( V =\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times\frac{\sqrt{6}}{3}a = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3 \)。

2022年上海美国国际中学高三数学文联考试题含解析

2022年上海美国国际中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 给定命题:若,则；命题:若，则.则下列各命题中,假命题的是（）A． B． C． D．参考答案：D2. （多选题）已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（）A. 展开式中奇数项的二项式系数和为256B. 展开式中第6项的系数最大C. 展开式中存在常数项D. 展开式中含项的系数为45参考答案：BCD【分析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,由展开式的各项系数之和为1024可得,则二项式为,易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同,利用二项式系数的对称性判断A,B；根据通项判断C,D即可.【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,又展开式的各项系数之和为1024,即当时,,所以,所以二项式为,则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故A错误；由可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故C 正确；由通项可得,解得,所以系数为,故D 正确,故选: BCD【点睛】本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力.3. 把函数的图象向左平移m个单位, 所得图象关于y轴对称, 则m 的最小值为A. B. C.D.参考答案：B4. 已知f(x)是R上的奇函数，且为偶函数，当时，，则=（）A. B. C. 1 D. ﹣1参考答案：A【分析】先根据函数奇偶性确定函数周期性，再根据周期将自变量化到[-1,0]，代入解析式得结果. 【详解】因为为偶函数，所以，又是R上的奇函数，所以，即，，从而=，选A. 【点睛】本题考查运用函数奇偶性求周期性并利用周期性求解函数值，考查转化求解能力.5. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A．4 B．5 C．6D．7参考答案：B略6. 设是上的奇函数，，当时，，则等于 ( ）A．0.5 B． C．1.5D．参考答案：A7. 如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F在棱CC1上，且CF=2FC1，P是侧面四边形BCC1B1内一点（含边界），若A1P∥平面AEF，则直线A1P与面BCC1B1所成角的正弦值的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】直线与平面所成的角．【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【解答】解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N?平面AEF，AE?平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M===，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O===，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[，]．直线A1P与面BCC1B1所成角的正弦值的最小值为： =．直线A1P与面BCC1B1所成角的正弦值最大值为： =．直线A1P与面BCC1B1所成角的正弦值的取值范围是：[，]．故选：D．8. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列条件，能得到的是A．，B．m⊥，C．m⊥n, D．m∥n，参考答案：D根据线面垂直的判断和性质可知，D正确，选D.9. 的展开式中x的系数是A. -4B. -2C. 2D. 4参考答案：C10. 若函数f（x）＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区间（k－1，k＋1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．[1，＋∞） B．[1，） C．[1,2） D．[，2）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 平面上三点A、B、C满足，，则+.参考答案：--2512. 已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的焦距与长轴的比值为参考答案：13. 甲、乙两种水稻试验品种连续4年的单位面积平均产量如下：.参考答案：甲14. 已知A、B为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左右顶点，F1，F2为其左右焦点，双曲线的渐近线上一点P（x0，y0）（x0＜0，y0＞0），满足=0，且∠PBF1=45°，则双曲线的离心率为．参考答案：【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】P在渐近线y=﹣上，根据=0可知OP=c，从而可求出P点坐标，得出PA⊥AB，故PA=AB，从而得出a，b的关系，代入离心率公式计算即可．【解答】解：由题意可知P在渐近线y=﹣上，∴y0=﹣，∵=0，∴PF1⊥PF2，∴OP=F1F2=c，即x02+=c2，∴x02=a2，∴PA⊥x轴，PA=b，∵∠PBF1=45°，∴PA=AB，即2a=b，∴e===．故答案为：．15. 动点P与给定的边长为1的正方形在同一平面内，设此正方形的顶点为A，B，C，D （逆时针方向），且P点到A，B，C的距离分别为a，b，c。

历届美国中学生数学竞赛试题及解答

历届美国中学生数学竞赛试题及解答
下面是近几届美国中学生数学竞赛试题及解答：
一、2019：
1、求解下列不等式（2 + 2·3² < 5·3）？
答案：2 + 2·3² < 5·3
2、如何快速计算三角形面积？
答案：三角形面积可以用公式：S=½·a·h，其中a为三角形的底边，h 为三角形高度。

二、2018：
1、求复数（1+i）³的模和辐角？
答案：复数（1+i）³的模为2，辐角为2π/3。

2、什么是余弦定理？
答案：余弦定理是一种三角形的定理，它规定了三角形的两条边的长度和它们之角之间的关系：C²=a² +b² -2ab·cosC。

三、2017：
1、如何快速求解圆面积？
答案：圆面积可以用公式：S=πr²，其中r为圆半径。

2、求解下列方程（x²-5x=3）？答案：x²-5x=3， x=2 或 3。

美国高中中考数学试卷真题

美国高中中考数学试卷真题（以下是一篇关于美国高中中考数学试卷真题的文章）美国高中中考数学试卷真题1. 第一道题请计算下列方程的解：2x + 5 = 15解题过程：根据方程2x + 5 = 15，我们需要将已知的常数项5从等式两边移动，使得x的系数系数为1。

通过减去5，方程变为2x = 10。

接下来，我们可以将方程两边除以2，得出x = 5。

因此，方程的解为x = 5。

2. 第二道题计算下列几何图形的面积：给定一个圆形，半径为3cm。

解题过程：根据几何学的知识，圆形的面积可以通过公式A = πr²计算，其中A代表面积，π代表圆周率，r代表半径。

在本题中，半径r为3cm，代入公式计算得出A = 3.14 × 3² = 28.26 cm²。

因此，该圆形的面积为28.26平方厘米。

3. 第三道题计算下列等差数列的第十个项：给定等差数列的首项a₁为2，公差d为4。

解题过程：等差数列的通项公式为an = a₁ + (n-1)d，其中an代表第n个项，a₁代表首项，d代表公差。

在本题中，a₁为2，d为4，我们需要计算的是第十个项，即n为10。

代入公式计算得出a₁₀ = 2 + (10-1)4 = 38。

因此，该等差数列的第十个项为38。

4. 第四道题请计算下列矩阵的乘积：A = [1 2 3; 4 5 6]，B = [7 8; 9 10; 11 12]解题过程：矩阵的乘积需要满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

在本题中，A为一个2行3列的矩阵，B为一个3行2列的矩阵。

根据矩阵乘法的规则，我们可以通过逐行逐列的方式计算乘积。

具体计算过程如下：C = [A的第一行·B的第一列, A的第一行·B的第二列; A的第二行·B 的第一列, A的第二行·B的第二列]C = [1×7+2×9+3×11 1×8+2×10+3×12; 4×7+5×9+6×114×8+5×10+6×12]化简后得到C = [58 64; 139 154]。

美国高中试题解析

美国高中试题解析美国高中教育体系中，试题的解析是帮助学生理解考试内容和提高解题技巧的重要环节。

在美国高中，试题通常涵盖了广泛的学科领域，包括数学、科学、语言艺术、社会科学等。

以下是对美国高中试题解析的一些要点。

首先，数学试题通常要求学生运用代数、几何、三角学等数学概念来解决问题。

例如，一个典型的代数问题可能要求学生解一个二次方程。

在解析这类问题时，关键是识别方程的类型，然后应用适当的数学公式或方法来找到解。

例如，对于形式为ax² + bx + c = 0的方程，可以使用求根公式x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / (2a)来求解。

在科学领域，试题可能涉及物理、化学或生物学的概念。

例如，一个物理问题可能要求学生计算一个物体在特定力作用下的加速度。

解析这类问题时，学生需要理解牛顿运动定律，并能够应用相关的物理公式，如F = ma（力等于质量乘以加速度）。

语言艺术试题则更侧重于阅读理解和写作技巧。

学生可能需要分析文学作品中的主题、角色发展或作者的写作风格。

在解析这类问题时，重要的是要仔细阅读文本，理解其深层含义，并能够清晰地表达自己的观点。

社会科学试题则涉及历史、地理、政治学等学科。

例如，一个历史问题可能要求学生分析某个历史事件的原因和影响。

在解析这类问题时，学生需要具备良好的历史知识基础，并能够从不同的角度分析问题。

总的来说，美国高中试题的解析要求学生具备扎实的学科知识，能够灵活运用各种解题技巧，并能够清晰地表达自己的思路。

通过不断的练习和复习，学生可以提高自己的解题能力，从而在考试中取得更好的成绩。

同时，教师和家长的支持也是学生成功的关键因素，他们可以提供额外的指导和鼓励，帮助学生克服学习中的困难。

2019-2020学年上海美国国际中学高二数学文期末试题含解析

2019-2020学年上海美国国际中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=的定义域是（）A．[4，+∞） B．（4，+∞）C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，4）参考答案：C【考点】函数的定义域及其求法．【分析】函数y=的定义域是{x|4﹣x≥0}，由此能求出结果．【解答】解：函数y=的定义域是{x|4﹣x≥0}，解得{x|x≤4}，故选C．2. 若曲线 (为参数) 与曲线相交于,两点，则的值为A． B． C．D．参考答案：D略3. 若椭圆的焦距是2，则的值为（）A. 9B. 16C. 7D. 9或7参考答案：D略4. 如图，侧棱长为2a的正三棱柱的左视图的面积为a2，则该正三棱柱的侧面积为( )A．3a2 B．4a2 C．6a2 D．8a2参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题；数形结合；函数思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】利用三视图侧视图面积求出三棱柱底面正三角形的高，然后求出底面三角形的边长，即可求解侧面积．【解答】解：由题意可知侧视图是矩形，面积为：2ah=a2，可得h=，底面正三角形的高为：，底面三角形的边长为：a，该正三棱柱的侧面积为：3a×2a=6a2．故选：C．【点评】本题考查棱柱的侧面积的求法，几何体的三视图的应用，考查计算能力．5. 等差数列{a n}中，a2＋a5＋a8＝12，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0() A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不等实根D．不能确定有无实根参考答案：C6. 已知正数，则的最小值为（）A．6 B．5 C．D．参考答案：C7. 不等式的解集为（）A．B． C． D．参考答案：A略8. 已知，且命题，命题，则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：C9. 已知向量=（1，5，﹣2），=（3，1，2），=（x，﹣3，6）．若DE∥平面ABC，则x的值是（）A．5 B．3 C．2 D．﹣1参考答案：A【考点】共线向量与共面向量．【分析】设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则，由DE∥平面ABC，可得=0，解出即可得出．【解答】解：∵设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则，即，取=（6，﹣4，﹣7）．∵DE∥平面ABC，∴=6x﹣3×（﹣4）+6×（﹣7）=0，解得x=5．故选：A．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、线面平行的性质、法向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10. （4-4：坐标系与参数方程）已知直线l的参数方程为（为参数），直线与圆相交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为（）A．(3,－3) B．C．D．参考答案：C直线（t为参数），即，代入圆化简可得，，即AB的中点的纵坐标为3，的中点的横坐标为，故AB的中点的坐标为，故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则椭圆的离心率是_________．参考答案：12. 设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意的，都有，则m的取值范围是________.参考答案：【分析】由，得，分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．【详解】解：，，时，，时，；时，；时，；当时，由，解得或，若对任意，都有，则。

美国高考数学试卷动点问题

一、题目描述在一个平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(5,1)。

点C在直线y=2x上运动，点D在直线x=3上运动。

求点C和点D的运动轨迹方程，并求出当点C和点D的距离最小时，点C和点D的坐标。

二、解题步骤1. 求点C的运动轨迹方程由于点C在直线y=2x上运动，设点C的坐标为(x,2x)。

根据两点间的距离公式，可得点C到点A的距离为：AC = √[(x-2)² + (2x-3)²]同理，点C到点B的距离为：BC = √[(x-5)² + (2x-1)²]2. 求点D的运动轨迹方程由于点D在直线x=3上运动，设点D的坐标为(3,y)。

根据两点间的距离公式，可得点D到点A的距离为：AD = √[(3-2)² + (y-3)²] = √[1 + (y-3)²]同理，点D到点B的距离为：BD = √[(3-5)² + (y-1)²] = √[4 + (y-1)²]3. 求点C和点D的距离最小时的坐标根据题意，要求点C和点D的距离最小，即AC+BD最小。

设函数f(x,y) = AC + BD，则有：f(x,y) = √[(x-2)² + (2x-3)²] +√[4 + (y-1)²]对f(x,y)求偏导数，得：∇f(x,y) = [(x-2) + 4x + (2x-3)/√[(x-2)² + (2x-3)²]], [(y-1) + 2√[4 + (y-1)²]]令∇f(x,y) = 0，解得x和y的值。

4. 求解方程组根据偏导数等于0的条件，列出方程组：x-2 + 4x + (2x-3)/√[(x-2)² + (2x-3)²] = 0y-1 + 2√[4 + (y-1)²] = 0解得x=1/5，y=1/5。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

得越来越慢．
【明】作为对高中数学学有余力的学生选修教材中的习说
题，此题显然是合适的．解答此题的重点和难点均在根据实际背
景建立如下数学模型，而对数学问题的解决则简便易行．模型１：在直角三角形中，根据勾股定理得到ＡＢ＝Ｃ＋Ｂ４模型２：根据对导数意义的理解，得到速度、路程、时间之
（）２若小船移动的速度恒为４英尺／，求当绳子长度是１秒３的速度将发生什么变化？
解：如图２，设ＡＢ＝．ＡＣ＝ＹＸ．
对如何根据生活实际设置问题情境．又使这些实际问题蕴含丰英尺时通过绞盘拉绳子的速度；当船逐渐靠近船坞时，拉绳子
ＣＯＳＡ
、
原题呈现
ＢｏｉＡｂｏｔｓａｔｎｇａｉｐｕｌｄｎｔａｏｋｌｅｉｏｄｃｂｙｅｎｏｗｉｃｍａｓｆａｎｈ
１ｅｔａｏｅｔｅｄｃｆｔｅｂａｓｅｆｕｅ．２ｆｂｖｈｅｋｏｈｏｔ（ｅｉｒ）ｅｇ
当＝时ｙ５所＝＝１，＝，以一一３詈．
即当绳子的长度是１英尺时，拉绳子的速度为一英尺／．３秒
译文：如图１，要利用岸上的绞盘把小船拉进船坞，已知绞盘Ｌ４，Ｌ＂船甲板所在平面高ｌ英尺．２
与（）１同理，可知当船匀速靠近船坞时，拉绳子的速度将变
ｐｅｓｃｎｒｅｏｄ．Ｄｅｅｉｔｅｐｅａｗｈｉｈｈｗｉｈｐｌｉｔｒｎｅｈｓｅｄｔｍｃｔｅｎｃｕｌｓｎ
ｒｐｅｈｒｓａｔｔｌｏ３ｆｅｆｒｐｕ．Ｗｈｔｈｐｅｓｏｅｗｈｎｔｅｅｉｏａｆ１ｅｔｏｏｅｏｔａａｐｎｔｔｅｐｅｔｈｃｈｎｈｕｌｎｒｐｓｈｂａｅｓｏｈｓｅｄａｗｉｈｔｅｗｉｃｐｌｉｏｅａｔｅｏｔｇｔｓｃｏｅｏｔｅｄｃ７ｌｓｒｔｈｏｋ
（ａ）Ｔｅｗｉｃｕｌｉｏｅａａｅｏｅｔｐｒｓｃｎ．ｈｎｈｐｌｎｒｐｔａｒｔｆ４ｆｅｅｅｏｄｓ
Ｄｅｅｒｉｔｓｅｏｔｅｔｍｎｅｈｅｐｅｄｆｈｂｏｔａｗｈｎｈｅｅｓ１ｆｅｏｏｅｔｒｉ３ｅｔｆｒｐｅｏ．Ｗｈａｈｐｐｎｓｏｈｓｅｄｆｈｅｏｔｓｔｅｓｌｓｒｏｕｔｔａｅｔｔｅｐｅｏｔｂａａｉｇｔｃｏｅｔ
一
即＝１．２＋
两边分别求导，得・＝２Ｙｙ・（）因为：一，所以Ｙ＝一１４盟
因１，＝，以一堕＝詈．为＝时５所ｙ。３＝４一一
即当绳子的长度是１尺时，船速为３英英尺／．秒一＿．斗因为在ＲＡＢＡ中，ｃｓ＝上ｔＣｏＡ，所以，～，所以船速＝一一．一
当０＜Ａ＜９。，船速随着厶４的增大而增大．０时
ｔｅｄｃ？ｈｏｋ
即匀速拉绳，使船逐渐靠近船坞时，船速将变得越来越快．
（）２因为＝～，所以＝一．４盟
（ｂ）Ｓｐｏｅｔｅｂａｓｍｏｉｇａａｃｎｔｎａｅｏｅｔｕｐｓｈｏｔｉｖｎｔｏｓａｔｒｔｆ４ｅ
由勾股定理，得Ａｃ＋２８＝Ｂ２Ａｃ．在美国高中数学选修教材《数积乡（ＣｌｕｕｆａＳｎｌ捞（ａｃｌｓｏｉｅ＜ｇＶｒｂｅ）一书中，有如下问题，解答之后，细细想来，感觉ａａｌ）ｉ）此类问题既在注重数学理解与分析、注重数学建模、注重实际应用等方面有很好的体现，又没有烦琐冗长的陈述与计算，体现了以能力立意的命题理念．现把对原题的解答及该题中的生活背景在不同数学知识中的拓展运用呈现出来，供参考．
用价值，是惜通高中数学课程标准（实验）强调的重要内容是ｌ英尺时的船速；当船逐渐靠近船坞时，船的速度将发生什》３
之一，也是数学试题编制工作中的一个难点．文章从选自美国高么变化？中数学选修教材中的一道习题入手，通过拓展变式及例题赏析，富的数学知识及数学思想方法进行了实例剖析．关键词：实际背景；数学模型；变式应用
２１０２年
第１０期
ＪｕｎｌｏｉｅｅＭａｈｍａｉｓＥｕａｉｎｏｒａｆＣｈｎｓｔｅｔｄｃｔｃｏ
Ｎ００２ｏ１２１
摘要：如何选取实际背景，设置问题情境，反映数学的应
（）１若通过绞盘拉绳子的速度是４英尺，，求当绳子长度秒