一道美国高中数学习题的赏析与变式

由勾股定理 ，得 Ａ ｃ ＋ ２ ８ ＝Ｂ ２ Ａｃ． 在美 国高 中数学选修教材 《 数积乡 （Ｃ ｌｕｕ ｆａＳｎｌ 捞 （ ａｃｌｓｏ ｉ ｅ ＜ ｇ Ｖ ｒ ｂｅ ）一书 中 ，有如下 问题 ，解答 之后 ，细细想来 ，感觉 ａ ａｌ） ｉ ） 此类 问题既在 注重数学理 解与分析 、注重数学建模 、注重实 际 应用等方 面有很 好 的体 现 ，又没有 烦琐冗长 的陈述 与计算 ，体 现 了以能力立意的命题理念．现把对原题 的解答及 该题中的生活 背景在不同数学知识 中的拓展运用呈现出来 ，供参考．
当０ ＜Ａ＜９ 。 ，船 速 随 着 厶 ４的 增 大 而增 大 ． ０时
ｔｅ ｄ ｃ ？ ｈ ｏｋ
即匀速拉绳 ，使船逐渐靠 近船坞时 ，船速将变得越来越快 ．
（） ２ 因为 ＝～ ，所 以 ＝一 ． ４ 盟
（ ｂ）Ｓ ｐ ｏｅ ｔｅ ｂ ａ ｓ ｍｏ ｉｇ ａ ａ ｃ ｎ ｔｎ ａｅ ｏ ｅ ｔ ｕ ｐ ｓ ｈ ｏｔｉ ｖｎ ｔ ｏ ｓａ ｔ ｒｔ ｆ４ ｆｅ
用价 值 ，是 惜 通高 中数学课程标准 （ 实验） 强调 的重要 内容 是 ｌ 英 尺时的船速 ；当船逐渐靠近船坞 时 ，船 的速度将发 生什 》 ３
之 一 ，也 是 数 学试 题 编 制 工 作 中的 一 个难 点 ．文 章从 选 自美 国 高 么 变 化 ？ 中数 学 选 修 教 材 中的 一 道 习题 入 手 ，通 过 拓 展 变式 及 例 题 赏析 ， 富 的 数 学 知识 及 数 学 思 想方 法 进 行 了 实例 剖 析 ． 关键 词 ：实 际 背景 ；数 学模 型 ；变 式应 用
Ｃ ＯＳ Ａ
、
原 题 呈 现
Ｂｏ ｉ Ａ ｂｏ ｔ ｓ ａｔｎｇ ａ ｉ ｐｕｌ ｄ ｎｔ ａ ｏ ｋ ｌｅ ｉ ｏ ｄ ｃ ｂｙ ｅ ｎ ｏ ｗｉｃ ｍ ａ ｓ ｆ ａ ｎｈ
１ ｅ ｔａ ｏ ｅ ｔｅ ｄ ｃ ｆｔｅ ｂ ａ ｓ ｅ ｆ ｕｅ ． ２ ｆ ｂ ｖ ｈ ｅ ｋ ｏ ｈ ｏ ｔ（ｅ ｉ ｒ ） ｅ ｇ
一
即 ＝１ ． ２＋
两 边 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 别 求 导 ，得 ・ ＝２ Ｙ ｙ・ （） 因为 ：一 ，所 以 Ｙ ＝一 １ ４ 盟
因 １ ，＝， 以 一 堕＝詈 ． 为 ＝ 时 ５所 ｙ 。 ３ ＝４ 一一
即 当绳 子 的长 度 是 １ 尺 时 ，船 速 为 ３英 英尺 ／ ． 秒 一＿ ． 斗 因 为在 Ｒ ＡＢ Ａ 中 ，ｃｓ ＝上 ｔ Ｃ ｏＡ ，所 以 ， ～ ， 所 以船 速 ＝ 一 一． 一
（） ２ 若小船移动的速度恒为 ４英尺 ／ ，求当绳 子长度是 １ 秒 ３ 的速度将发生什么变化？
解 ：如 图 ２ ，设 ＡＢ＝ ．ＡＣ＝Ｙ Ｘ ．
对 如 何 根 据 生 活 实 际设 置 问题 情 境 ． 又 使 这 些 实 际 问题 蕴 含 丰 英尺 时通过绞 盘拉绳子 的速度 ；当船 逐渐靠 近船 坞时 ，拉 绳子
（ ａ）Ｔ ｅ ｗｉｃ ｕｌ ｉ ｏ ｅ ａ ａｅ ｏ ｅ ｔｐ ｒｓ ｃ ｎ ． ｈ ｎ ｈ ｐ ｌ ｎ ｒｐ ｔａ ｒｔ ｆ４ ｆｅ ｅ ｅ ｏ ｄ ｓ
Ｄｅｅｒ ｉ ｔ ｓ ｅ ｏ ｔ ｅ ｔ ｍ ｎｅ ｈｅ ｐｅ ｄ ｆ ｈ ｂｏ ｔ ａ ｗｈ ｎ ｈｅｅ ｓ １ ｆｅ ｏ ｏ ｅ ｔ ｒ ｉ ３ ｅ ｔ ｆ ｒ ｐｅ ｏ ． Ｗ ｈａ ｈ ｐｐ ｎｓ ｏ ｈ ｓ ｅ ｄ ｆ ｈｅ ｏ ｔ ｓ ｔ ｅ ｓ ｌｓ ｒ ｏ ｕｔ ｔ ａ ｅ ｔ ｔｅ ｐ ｅ ｏ ｔ ｂ ａ ａ ｉ ｇ ｔ ｃｏ ｅ ｔ
当＝ 时 ｙ５所 ＝ ＝ １ ，＝， 以 一 一 ３ 詈．
即当绳子 的长度 是 １ 英 尺时 ，拉绳 子 的速 度为 一 英尺 ／ ． ３ 秒
译文 ：如 图 １ ，要利用岸上 的绞盘把小船拉进船坞 ，已知绞 盘 Ｌ４， Ｌ＂ 船甲板所在平面高 ｌ 英尺 ． ２
与 （） １ 同理 ，可知 当船 匀速靠 近船坞 时 ，拉绳 子的速度将变
ｐｅ ｓ ｃ ｎ ｒ ｅ ｏ ｄ． Ｄｅｅ ｉ ｔ ｅ ｐ ｅ ａ ｗｈｉｈ ｈ ｗｉ ｈ ｐ ｌ ｉ ｔｒ ｎｅ ｈ ｓ ｅ ｄ ｔ ｍ ｃ ｔ ｅ ｎｃ ｕｌｓ ｎ
ｒ ｐ ｅ ｈ ｒ ｓ ａ ｔｔ ｌ ｏ ３ ｆ ｅ ｆ ｒ ｐ ｕ ．Ｗｈ ｔ ｈ ｐ ｅ ｓ ｏ ｅ ｗｈ ｎ ｔ ｅ ｅ ｉ ｏ ａ ｆ １ ｅ ｔ ｏ ｏ ｅ ｏ ｔ ａ ａ ｐ ｎ ｔ ｔ ｅ ｐ ｅ ｔ ｈ ｃ ｈ ｎ ｈ ｕｌ ｎ ｒ ｐ ｓ ｈ ｂ ａ ｅ ｓ ｏ ｈ ｓ ｅ ｄ ａ ｗ ｉｈ ｔ ｅ ｗｉ ｃ ｐ ｌ ｉ ｏ ｅ ａ ｔ ｅ ｏ ｔ ｇ ｔ ｓ ｃｏ ｅ ｏ ｔ ｅ ｄ ｃ ７ ｌｓ ｒ ｔ ｈ ｏ ｋ
２１ ０ ２年
第 １ ０期
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉｅ ｅ Ｍａｈ ｍａｉｓ Ｅ ｕ ａｉｎ ｏ ｒ ａ ｆＣｈｎ ｓ ｔｅ ｔ ｄ ｃ ｔ ｃ ｏ
Ｎ ０ ０２ ｏ１ ２ １
摘 要 ：如何 选取 实际背景 ，设置 问题 情境 ，反 映数 学的应
（） １ 若通过绞盘拉绳子 的速度是 ４英尺 ， ，求 当绳子 长度 秒
得越来越慢．
【 明】作 为对 高 中数学 学有余 力的 学生选修 教材 中的 习 说
题 ， 此题 显然 是 合 适 的．解 答 此 题 的重 点和 难 点均 在 根 据 实 际 背
景建 立如 下数 学模型 ，而对 数学问题 的解决则简便 易行． 模型 １ ：在直角三角形中，根据勾股定理得到ＡＢ ＝ Ｃ＋ Ｂ ４ 模型２ ：根据对导数意义 的理解 ，得到速度 、路程 、时间之