四色问题的探讨
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综上分析, A. B. Kempe 运用 Kempe 法色交换来证明四色猜想, 必然导致在某些情况下 有可能使证明陷入无结果的循环状态o 故 Kempe 的四色猜想证明缺乏严格性和周密性o
( a) G 的 A 种着色
图 1 最大平面图 G
(b) G 的 B 种着色
2 转移法色交换
设图 G 用 a1, a2, ~ , aX( G) 等 X( G) 种颜色着色o 若 G 中点 Uz 和 Uj 在两色子图 G asat( s, t 1, 2, ~ , X( G) 9s t) 的同一连通子图中, 则 Uz 和 Uj 之间至少存在一条 as 色点和 at 色点交错出现 的路径, 此路径名为 Uz 和 Uj 间 asat 两色交错路径[2], 记为 Pz, jasato
收稿日期: Z 00Z -06-Z 7 作者简介: 徐志才( 1937一D 9男9北京邮电06
北京邮电大学学报
第 26 卷
1976 年美国 K. I. Appel 和 W. Hakem 借助于电子计算机证明了四色猜想为真[9]o 本人于 1998 年从理论上证明了 A( 0 ) 类平面图可 4-着色[4]o 近数年内作者对平面图及其着色的研究取得 了一些成果[1~ 5]o 在上述基础上, 本人将从理论上证明任一平面图可 4-着色o
四色问题的探讨
徐志才
( 北京邮电大学 电子工程学院9 北京 100876D
摘 要: 基于最新有关平面图着色的成果[1*5]9首先分析了关于四色猜想 A. B. Kempe 证明的错误原
因9并提出了纠正错误的方法9最后提出了四色猜想新证明G
关 键 词: 平面图; Kempe 法色交换; 转移法色交换; 四色问题
第Z期
徐志才: 四色问题的探讨
1O7
图 G~, 在 G~ 中 Uk 和 UZ 相 邻 且 同 为 cZ 色, 故 G~ 为 非 正 常 着 色, 若 G~ 中 Uk 和 UZ 之 间 存 在 X( GD -1 种两色交错路径, 则其中至少有一种两色交错路径可被消除( 变成非两色交错路径D , 2- 1 转移法色交换 5]
定 义 2 不 相 干 点 对 ( Uz; UJD Z], 在 GO 中 Uz, UJ ( z, J = 1, Z , 3, 4, 5; z = JD 着 为 同 色 或 通 过 kempe 交换可着为同色, 则 Uz 和 UJ 被称为不相干点对, 记为( Uz; UJD , 这表示 Uz 和 UJ 着同色后两 者之间不存在奇段数的两色交错路径, 但允许存在偶段数两色交错路径,
1 分析 A. B. Kempe 的错误证明
令 X( G) 为图 G 的色数[10]o 设图 G 用 a1, a2, ~ , aX( G) 等 X( G) 种颜色着色o 在 G 中, 由分别 着 az( z 1, 2, ~ , X( G) ) 色的点与 aj( j 1, 2, ~ , X( G) 9z j) 色的点以及它们之间的边所构成 的子图称为 G 的 azaj 的两色子图, 记为 Gazajo Gazaj 可能是连通的, 也可能是分离的o 若两色 连通子图 Gazaj 中包含点 Uk , 则将它记为 Gazaj( Uk ) o
定 理 1[5] 设平面图 G 已用 X( G) 种颜色着色, ( Uk , Ul) 是 G 中任一两色连通子图 Ga1a2 的 一 条割边, Uk 和 Ul 分别着 a1 和 a2 色o 令 G/ G-( Uk , Ul) , 在 G/ 的 Ga1a2( Uk ) 中各点颜色对调, 不 影响 Ga1a2( Ul) 中各点着色, 从而 Uk 由 a1 改为 a2 色, 而 Ul 保持 a2 色o 在 G/ 中添加边( Uk , Ul) , 得
( ZD 当图 G 由 B 种着色向 A 种着色转移时, 其转移过程是情况( 1D 的逆过程, 不再赘述,
3 X 图和非 X 图
设平面图 G 中点 UO 的邻点集为{ U1, UZ , U3, U4, U5} , 令 G/ = G-UO, 并设 G/ 可 4-着色, 在 G/ 的一个着色方案中 U1, UZ , U3, U4, U5 分别着 c, c, b, 6, d 色, 为了便于叙述, 将此着色 方 案 的 图 G/ 简记为 GO ,
文章编号: 1007-53Z 1( Z 003D 0Z -0105-08
编者按: 四色猜想是国际数学界存疑多年的一个数学难题G 虽然 1976 年美国学者 K. I. Appel 与 W. Hakem 借助计算机证明了它存在的真实性9但迄今为止尚未在理 论上得到完整证明G 徐志才教授以高龄多病之躯挑战学术难题9在 15 年不懈努力的 基础上对于四色猜想提出了新的认识与结论9写成 四色问题的探讨 一文G 虽然该成 果尚未经专家审定予以认可9但本着学术问题应遵循N 百花齐放\ 百家争鸣H的精神9 以及倡导学术研究应发扬的勇于攻克难题\ 锲而不舍作研究的精神9对于该文本报特 予刊登9以期引起广大读者特别是数学界专家的注意9共同探讨和交流G
中图分类号: 0 157. 5
文献标识码: A
An Approach to a proof of the f our-colour problem
XU Zhi-cai
( ElectrOnic Engineering SchOOl9 Beijing University Of POsts and TelecOmmunicatiOns9 Beijing 1008769 ChinaD
1840 年9数学家 MO－bius 提出了任一平面地图用 4种颜色可使相邻两国着不同色的猜想9 此猜想名为四色猜想[6]G 1879 年 A. B. Kempe 曾发表论文[7]9声称证明了四色猜想G 11 年后9 P. J. HeaWOOd 指 出 Kempe 证 明 为 错[8]G 许 多 数 学 家 企 图 证 明 四 色 猜 想9但 都 未 成 功9直 至
方法( Z D : 设 G~ 中 Uk 和 UZ 相邻且同为 cZ 色, 在 G~ 中包含 Uk 或 UZ 的另一种两色连通子图 ( 不妨设它为 GcZ c4D 中作部分点的颜色对调, 使相邻又同色的点对转移到 GcZ c4 中一条割边的 两端点, 不妨设它们分别为 Uf 和 Ug, 得到 G~z, 由定理 1 知, 在 G~z 中 Uf 和 Ug 之间至少有 1 种两 色交错路径不存在, 令 G~z / = G~z -( Uf , UgD , 此时可使 G~z / 中 Uf 和 Ug 成为异色, 从而可使 G 获得 1 个新着色方案, 上述方法( 1D 和方法( ZD 统称为转移法色交换, 2- 2 转移法色交换与 Kempe 法色交换相比较
Abstract: Based On my recent Writings[1*5] abOu t the cOlOu ring Of a planar graph 9 this paper f irst analyZes the causes f Or the mistakes Of A. B. Kempe s prOOf Of the FOur -cOlOur cOnjecture9then suggests a Way tO cOrrect them9f inally presents a neW prOOf Of the FOur -cOlOur cOnjecture9Which is cOmplete and exact. Key words: planar graph; kempe s cOlOur -interchange methOd; transf erring cOlOur interchange methOd; f Our -cOlOur prOblem
前面例 1 已指出, 仅用 Kempe 法色交换是无法实现最大平面图 G 的 A 和 B Z 种着色互 相变换, 然而, 用转移法色交换可实现它们互相变换,
( 1D 当图 G 由 A 种着色向 B 种着色转移时, 转移过程如下: 1D 在图 1( aD 所示的 G 中将 U3 和 U5 的颜色互换, 得 G~1, 在 G~1中 U5 和 U6 相邻且同为 6 色, 为非正常, Z D 在 G~1中将 U5 和 U4 的 颜 色对调, 得 G~Z , G~Z 中 U4 和 U6 相邻且同为 6 色, 为非正常, 3D 在 G~Z 中不存在 P4, 66b, 令 G~Z / = G~Z -( U4, U6D , 在 G~Z / 的 Gb6( U6 D 中 各 点 上 的 颜 色 b~ 6 对 调, U6 由 6 色 改 为 b 色, U8 由 b 色 改 为 6 色, 在 G~Z / 中添加边( U4, U6D , 恢复 G 的原有拓扑结构, 且得 G 的 B 种着色, 如图 1( bD 所示,
方 法( 1D : 设图 G~ 中 Uk 和 UZ 相邻且同为 cZ 色, 依据定 理 1, 可 从 Uk 和 UZ 之 间 X( GD - 1 种 两 色 交 错 路 径 中 消 除 其 中 之 一, 不 妨 设 被 消 除 的 两 色 交 错 路 径 为 Pk, Z cZ c3, 令 G~/ = G~ - ( Uk , UZ D , 由 于 G~/ 中 已 不 存 在 Pk, ZcZ c3, 故 在 GcZ c3 ( UZ D 中 各 点 颜 色 对 调, 不 影 响 GcZ c3 ( Uk D 中 各 点 着 色, 从而将 UZ 由 cZ 改为 c3 色, 而 Uk 保持 cZ 色, 在 G~/ 中添加边( Uk , UZD , 恢复 G 的拓扑结构, 此 时 G 中 Uk 和 UZ 分别着 cZ 和 c3 色, G 为正常着色, 且为一个新着色方案,
Z003 年 6 月
北京邮电大学学报
Jun. Z003
第 Z6 卷 第 Z 期
JOurnal Of Beijing University Of POsts and TelecOmmunicatiOns
VOl. Z6 NO. Z
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
Kempe 法色交换须限定在一个连通两色子图中所有点的颜色对调, 而转移法色交换没有 这种限定条件, 它允许在一个两色子图中仅作部分点的颜色对调, 甚至仅将 1 个点的颜色由一 种改着为另一种, 它还允许相邻且同色点对由一种两色子图转移到另一种两色子图, 显见转 移法色交换是 Kempe 法色交换的延伸和发展, 或者说 Kempe 法色交换只是在特定条件下的 转移法色交换,两者相比, 转移法色交换的交换范围灵活全面, 作用深广, 功能齐全, 应用广泛,
设 Gazaj/ 是 Gazaj 的一个连通子图[10]o Kempe 法色交换[6]是在 Gazaj/ 中各点上的颜色 az ~ aj 对调o 由此可见, 任一次 Kempe 法色交换都限定在一个连通两色子图中, 且该子图中必须是 所有点的颜色都要对调o 因此, 在某些情况时, 用 Kempe 法色交换, 由 G 的一种着色求另一种 着色有可能实现不了o
例 1 设最大平面图 G 已用 X( G) 种颜色着色, 如图 1 所示o X( G) 4, 将图 G 的着色分为 A 和 B 两种, 当 G 为无结图[3]时, G 为 A 种着色o 否则, G 为 B 种着色o 它们分别用图 1( a) 和 图 1( b) 表示o 在图 1( a) 所示的图 G 中, 任一两色子图均是连通图o 而在图 1( b) 所示的图 G 中, 含 有 6~ c 两色交错回路[3]( U3, U4, U7, U8, U3) , Gab是分离的, 它含有 2 个连通子图o 由此显见, 仅用 Kempe 法色交换是无法将图 G 由 A 种着色改为 B 种着色, 反之亦然o
定义 1 相干点对( Uz UJD Z], 在 GO 中 Uz, UJ( z, J= 1, Z , 3, 4, 5; z= JD 着为异色, 通过 Kempe 交 换也不能着为同色, 称 Uz 和 UJ 为相干点对, 记为( Uz UJD , 这表示在 Uz 和 UJ 之间至少存在 1 条奇段数的两色交错路径,
( a) G 的 A 种着色
图 1 最大平面图 G
(b) G 的 B 种着色
2 转移法色交换
设图 G 用 a1, a2, ~ , aX( G) 等 X( G) 种颜色着色o 若 G 中点 Uz 和 Uj 在两色子图 G asat( s, t 1, 2, ~ , X( G) 9s t) 的同一连通子图中, 则 Uz 和 Uj 之间至少存在一条 as 色点和 at 色点交错出现 的路径, 此路径名为 Uz 和 Uj 间 asat 两色交错路径[2], 记为 Pz, jasato
收稿日期: Z 00Z -06-Z 7 作者简介: 徐志才( 1937一D 9男9北京邮电06
北京邮电大学学报
第 26 卷
1976 年美国 K. I. Appel 和 W. Hakem 借助于电子计算机证明了四色猜想为真[9]o 本人于 1998 年从理论上证明了 A( 0 ) 类平面图可 4-着色[4]o 近数年内作者对平面图及其着色的研究取得 了一些成果[1~ 5]o 在上述基础上, 本人将从理论上证明任一平面图可 4-着色o
四色问题的探讨
徐志才
( 北京邮电大学 电子工程学院9 北京 100876D
摘 要: 基于最新有关平面图着色的成果[1*5]9首先分析了关于四色猜想 A. B. Kempe 证明的错误原
因9并提出了纠正错误的方法9最后提出了四色猜想新证明G
关 键 词: 平面图; Kempe 法色交换; 转移法色交换; 四色问题
第Z期
徐志才: 四色问题的探讨
1O7
图 G~, 在 G~ 中 Uk 和 UZ 相 邻 且 同 为 cZ 色, 故 G~ 为 非 正 常 着 色, 若 G~ 中 Uk 和 UZ 之 间 存 在 X( GD -1 种两色交错路径, 则其中至少有一种两色交错路径可被消除( 变成非两色交错路径D , 2- 1 转移法色交换 5]
定 义 2 不 相 干 点 对 ( Uz; UJD Z], 在 GO 中 Uz, UJ ( z, J = 1, Z , 3, 4, 5; z = JD 着 为 同 色 或 通 过 kempe 交换可着为同色, 则 Uz 和 UJ 被称为不相干点对, 记为( Uz; UJD , 这表示 Uz 和 UJ 着同色后两 者之间不存在奇段数的两色交错路径, 但允许存在偶段数两色交错路径,
1 分析 A. B. Kempe 的错误证明
令 X( G) 为图 G 的色数[10]o 设图 G 用 a1, a2, ~ , aX( G) 等 X( G) 种颜色着色o 在 G 中, 由分别 着 az( z 1, 2, ~ , X( G) ) 色的点与 aj( j 1, 2, ~ , X( G) 9z j) 色的点以及它们之间的边所构成 的子图称为 G 的 azaj 的两色子图, 记为 Gazajo Gazaj 可能是连通的, 也可能是分离的o 若两色 连通子图 Gazaj 中包含点 Uk , 则将它记为 Gazaj( Uk ) o
定 理 1[5] 设平面图 G 已用 X( G) 种颜色着色, ( Uk , Ul) 是 G 中任一两色连通子图 Ga1a2 的 一 条割边, Uk 和 Ul 分别着 a1 和 a2 色o 令 G/ G-( Uk , Ul) , 在 G/ 的 Ga1a2( Uk ) 中各点颜色对调, 不 影响 Ga1a2( Ul) 中各点着色, 从而 Uk 由 a1 改为 a2 色, 而 Ul 保持 a2 色o 在 G/ 中添加边( Uk , Ul) , 得
( ZD 当图 G 由 B 种着色向 A 种着色转移时, 其转移过程是情况( 1D 的逆过程, 不再赘述,
3 X 图和非 X 图
设平面图 G 中点 UO 的邻点集为{ U1, UZ , U3, U4, U5} , 令 G/ = G-UO, 并设 G/ 可 4-着色, 在 G/ 的一个着色方案中 U1, UZ , U3, U4, U5 分别着 c, c, b, 6, d 色, 为了便于叙述, 将此着色 方 案 的 图 G/ 简记为 GO ,
文章编号: 1007-53Z 1( Z 003D 0Z -0105-08
编者按: 四色猜想是国际数学界存疑多年的一个数学难题G 虽然 1976 年美国学者 K. I. Appel 与 W. Hakem 借助计算机证明了它存在的真实性9但迄今为止尚未在理 论上得到完整证明G 徐志才教授以高龄多病之躯挑战学术难题9在 15 年不懈努力的 基础上对于四色猜想提出了新的认识与结论9写成 四色问题的探讨 一文G 虽然该成 果尚未经专家审定予以认可9但本着学术问题应遵循N 百花齐放\ 百家争鸣H的精神9 以及倡导学术研究应发扬的勇于攻克难题\ 锲而不舍作研究的精神9对于该文本报特 予刊登9以期引起广大读者特别是数学界专家的注意9共同探讨和交流G
中图分类号: 0 157. 5
文献标识码: A
An Approach to a proof of the f our-colour problem
XU Zhi-cai
( ElectrOnic Engineering SchOOl9 Beijing University Of POsts and TelecOmmunicatiOns9 Beijing 1008769 ChinaD
1840 年9数学家 MO－bius 提出了任一平面地图用 4种颜色可使相邻两国着不同色的猜想9 此猜想名为四色猜想[6]G 1879 年 A. B. Kempe 曾发表论文[7]9声称证明了四色猜想G 11 年后9 P. J. HeaWOOd 指 出 Kempe 证 明 为 错[8]G 许 多 数 学 家 企 图 证 明 四 色 猜 想9但 都 未 成 功9直 至
方法( Z D : 设 G~ 中 Uk 和 UZ 相邻且同为 cZ 色, 在 G~ 中包含 Uk 或 UZ 的另一种两色连通子图 ( 不妨设它为 GcZ c4D 中作部分点的颜色对调, 使相邻又同色的点对转移到 GcZ c4 中一条割边的 两端点, 不妨设它们分别为 Uf 和 Ug, 得到 G~z, 由定理 1 知, 在 G~z 中 Uf 和 Ug 之间至少有 1 种两 色交错路径不存在, 令 G~z / = G~z -( Uf , UgD , 此时可使 G~z / 中 Uf 和 Ug 成为异色, 从而可使 G 获得 1 个新着色方案, 上述方法( 1D 和方法( ZD 统称为转移法色交换, 2- 2 转移法色交换与 Kempe 法色交换相比较
Abstract: Based On my recent Writings[1*5] abOu t the cOlOu ring Of a planar graph 9 this paper f irst analyZes the causes f Or the mistakes Of A. B. Kempe s prOOf Of the FOur -cOlOur cOnjecture9then suggests a Way tO cOrrect them9f inally presents a neW prOOf Of the FOur -cOlOur cOnjecture9Which is cOmplete and exact. Key words: planar graph; kempe s cOlOur -interchange methOd; transf erring cOlOur interchange methOd; f Our -cOlOur prOblem
前面例 1 已指出, 仅用 Kempe 法色交换是无法实现最大平面图 G 的 A 和 B Z 种着色互 相变换, 然而, 用转移法色交换可实现它们互相变换,
( 1D 当图 G 由 A 种着色向 B 种着色转移时, 转移过程如下: 1D 在图 1( aD 所示的 G 中将 U3 和 U5 的颜色互换, 得 G~1, 在 G~1中 U5 和 U6 相邻且同为 6 色, 为非正常, Z D 在 G~1中将 U5 和 U4 的 颜 色对调, 得 G~Z , G~Z 中 U4 和 U6 相邻且同为 6 色, 为非正常, 3D 在 G~Z 中不存在 P4, 66b, 令 G~Z / = G~Z -( U4, U6D , 在 G~Z / 的 Gb6( U6 D 中 各 点 上 的 颜 色 b~ 6 对 调, U6 由 6 色 改 为 b 色, U8 由 b 色 改 为 6 色, 在 G~Z / 中添加边( U4, U6D , 恢复 G 的原有拓扑结构, 且得 G 的 B 种着色, 如图 1( bD 所示,
方 法( 1D : 设图 G~ 中 Uk 和 UZ 相邻且同为 cZ 色, 依据定 理 1, 可 从 Uk 和 UZ 之 间 X( GD - 1 种 两 色 交 错 路 径 中 消 除 其 中 之 一, 不 妨 设 被 消 除 的 两 色 交 错 路 径 为 Pk, Z cZ c3, 令 G~/ = G~ - ( Uk , UZ D , 由 于 G~/ 中 已 不 存 在 Pk, ZcZ c3, 故 在 GcZ c3 ( UZ D 中 各 点 颜 色 对 调, 不 影 响 GcZ c3 ( Uk D 中 各 点 着 色, 从而将 UZ 由 cZ 改为 c3 色, 而 Uk 保持 cZ 色, 在 G~/ 中添加边( Uk , UZD , 恢复 G 的拓扑结构, 此 时 G 中 Uk 和 UZ 分别着 cZ 和 c3 色, G 为正常着色, 且为一个新着色方案,
Z003 年 6 月
北京邮电大学学报
Jun. Z003
第 Z6 卷 第 Z 期
JOurnal Of Beijing University Of POsts and TelecOmmunicatiOns
VOl. Z6 NO. Z
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Kempe 法色交换须限定在一个连通两色子图中所有点的颜色对调, 而转移法色交换没有 这种限定条件, 它允许在一个两色子图中仅作部分点的颜色对调, 甚至仅将 1 个点的颜色由一 种改着为另一种, 它还允许相邻且同色点对由一种两色子图转移到另一种两色子图, 显见转 移法色交换是 Kempe 法色交换的延伸和发展, 或者说 Kempe 法色交换只是在特定条件下的 转移法色交换,两者相比, 转移法色交换的交换范围灵活全面, 作用深广, 功能齐全, 应用广泛,
设 Gazaj/ 是 Gazaj 的一个连通子图[10]o Kempe 法色交换[6]是在 Gazaj/ 中各点上的颜色 az ~ aj 对调o 由此可见, 任一次 Kempe 法色交换都限定在一个连通两色子图中, 且该子图中必须是 所有点的颜色都要对调o 因此, 在某些情况时, 用 Kempe 法色交换, 由 G 的一种着色求另一种 着色有可能实现不了o
例 1 设最大平面图 G 已用 X( G) 种颜色着色, 如图 1 所示o X( G) 4, 将图 G 的着色分为 A 和 B 两种, 当 G 为无结图[3]时, G 为 A 种着色o 否则, G 为 B 种着色o 它们分别用图 1( a) 和 图 1( b) 表示o 在图 1( a) 所示的图 G 中, 任一两色子图均是连通图o 而在图 1( b) 所示的图 G 中, 含 有 6~ c 两色交错回路[3]( U3, U4, U7, U8, U3) , Gab是分离的, 它含有 2 个连通子图o 由此显见, 仅用 Kempe 法色交换是无法将图 G 由 A 种着色改为 B 种着色, 反之亦然o
定义 1 相干点对( Uz UJD Z], 在 GO 中 Uz, UJ( z, J= 1, Z , 3, 4, 5; z= JD 着为异色, 通过 Kempe 交 换也不能着为同色, 称 Uz 和 UJ 为相干点对, 记为( Uz UJD , 这表示在 Uz 和 UJ 之间至少存在 1 条奇段数的两色交错路径,