第一章B-自然坐标系中的速度和加速度

质点运动学
二、自然坐标中的加速度
经设过t 速时：Δ度刻某t时增位一间量于质位：P点于1Δ点作Pvr，2一点=速般, 速度v曲r′度为线−为运vrvr动vr ′
平均加速度：ar = Δvr
瞬时加速度：ar
=
Δt
lim
Δvr
Δvr
Δt→0 Δt
=
P1
Δvrτ
vr
vr ′
Δs P2
v+rΔΔΔvrvrθτvnr
6
∫ ∫ v = v0 +
20 1 tdt + 02
50 20
⎢⎣⎡10
+
1 6
(t
−
20)⎥⎦⎤dt
=
475
m
⋅
s-1
t
∫ 或曲线下的面积
v − v0 =
adt
0
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wzy
质点运动学
高度分两段算：
0 → 20s :
a1
=
1 2
t
∫ v1 = v0 +
t 1 tdt = 1 t2
02
4
∫ ∫ h1 = h0 +
v = dx dt
a = dv dt
注意
(1) Δx是位移,不是路程
(2) 不能只凭a的正负判断 v 是变大还是变小
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wzy
质点运动学
运动学的两类问题
—— 运动方程是运动学问题的核心
1. 已知运动方程,求质点任意时刻的位置、速度以及
加速度
rr = rr(t)
vr = drr dt
ar = dvr = d2rr dt dt2
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wzy
质点运动学
2. 已知运动质点的速度函数(或加速度函数)以及初始
条件求质点的运动方程
dvr = ardt, drr = vrdt,
∫ ∫ vrvr0dvr =
t ardt
t0
∫ ∫ rrr0rdrr =
t vrdt
t0
一维运动方程(a = 常数)
x
−
x0
=
v0t
+
1 2
at 2
v2 − v02 = 2a(x − x0 )
加速度
解: (1) θ = t 3 + 4t + 3 (SI )
ω = dθ = 3t 2 + 4 dt
β = dω = 6t dt
t = 2 s : ω = 3× 22 + 4 = 16 rad ⋅ s-1
β = 6 × 2 = 12 rad ⋅ s−2
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wzy
质点运动学
(2) 由角量和线量的关系，得边缘一点的速度、切向加
速度与位移的关系
∫ ∫ a = dv = dv dx = v dv ⇒
x
adx =
v
vdv
dt dx dt dx
x0
v0
( ) a(x − x0 ) =
1 2
v2 − v02
⇒ v2 − v02 = 2a(x − x0 )
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( ) wzy
例4. 已知质点的运动方程为
rr
=
r 2ti
+Fra Baidu bibliotek
19
−
速度和法向加速度
( ) v
=ωr
=
1ωD
=
0.2 ×
3t 2
+4
t = 1s
= 1.4(m ⋅s−1)
2
aτ = β r = 1.2t
aτ t=1 = 1.2(m ⋅ s−2 )
Δvr
Δvrn
′
ar = lim Δvr = lim Δvrτ + lim Δvrn Δt→0 Δt Δt→0 Δt Δt→0 Δt
=
dv dt
erτ
+
vdθ dt
ern
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vr wzy
dv dt
erτ
+
vdθ dt
ern
切向加速度反映速
=
dv dt
erτ
+
v
ds dt
x = 10m
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wzy
质点运动学
练习：火箭竖直向上发射,加速度随时间变化规律
如图所示.求火箭在 t = 50s时燃料用完瞬间的速度和
高度.
a(m ⋅ s-2 )
解：写出a(t) 表达式
15
1t
(0≤t ≤ 20) 10
a= 2
t (s)
10+ 1(t −20) (20≤t ≤50) 0 20 50
wzy
质点运动学
4. 角加速度(angular acceleration)
平均角加速度: β = Δω (rad⋅s−2 )
角加速度:
β
Δt = lim
Δω
= dω
= d 2θ
Δt →0 Δt dt dt 2
5. 角量与线量的关系
s = Rθ
ω
P′ (t+Δt)
v = ds = R dθ = Rω dt dt
rv
=
x(t)iv
+
y(t) vj
+
v z(t)k
Δrr = rrB − rrA = (xB − xA)ir + (yB − yA)rj + (zB − zA)kr
质点实际行程的长度(正标量)称为路程 s
Δs = s(t) d s = drr
v = ds = dt
v2x + v2y + vz2
a=?
arτ
(2)
a = d vr dt
(4) a = d vr
dt
练习2: 选择下列表达式中的正确项
(1) v = drr dt
(2) v = d rr dt
(3) vr = drr dt
(4) v = dr dt
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wzy
质点运动学
例: 抛体运动
y
u0
直角坐标系中
α
O
avn
uy
ux
θ
gv
av τ
aτ
=
dv dt
=
R
dω dt
=
Rβ
Δθ θ
P(t)
s
ORx
an
=
v2 ρ
=
( Rω ) 2 R
=
Rω 2
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wzy
6. 角量表示匀速圆周运动的基本公式
质点运动学
ω = ω0 + β t
θ
=θ
0+ ω0t
+
1 2
β
t2
ω
2
=
ω
2 0
+
2β
(θ
−θ0 )
ω
P′ (t+Δt)
Δθ θ
P(t)
s
解：(1) x2 − x1 = x2 lh
(h − l)x2 = hx1
h
两边求导：(h − l) dx2 = h dx1
dt dt
O
其中： dx2 = v, dt
dx1 dt
=
v0
v = hv0 h−l
l
M
x1 x2 x
(2)令影长为 b = x2 − x1 v′ = db = l dx2 dt h dt
v0 v
0
v0
v = v0 e−10t
v = dx , dt
dx = vdt = v0 e−10t dt
∫ ∫ x
0 dx = v0
t e−10tdt
0
x = 10(1 − e−10t ) x0 = 10(1 − e−10×0 ) = 10(1 − 1) = 0
x∞ = 10(1 − e−10∞ ) = 10(1 − 0) = 10
x
运动方程
速度方程
加速度方程
x = u0 cosα ⋅t
ux = u0 cosα
ax = 0
y
=
u0
sinα
⋅
t
−
1 2
gt2
uy = u0 sinα − gt
ay = −g
自然坐标系中
aτ
=
du dt
a2 = aτ2 + an2
an
=
u2 ρ
a=g
an = g sin θ tan θ = ux
uy
2t质2 点rj 运(S动I学)
求：(1) t=2秒时质点的速度以及加速度；
( ) 解：((21))什vv么= 时drv候=位2vi矢−恰4t好vj 与vr速度=矢2ir量−垂8直rj ？m ⋅ s−1
ar
=
ddtvr
=
−4
r j
2
方向沿y轴的负方向
dt
[ ] ( ) ( ) (2)
rr ⋅ vr =
r 2ti
+
19 − 2t2
r j
⋅
r 2i
−
r 4tj
= 8t(t + 3)(t − 3) = 0 t1 = 0(s), t2 = 3(s) 两矢量垂直
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wzy
质点运动学
例5. 路灯距地面高度为h,身高为l的人以速度v0在路 上匀速行走.求：(1)人影头部的移动速度; (2) 影子长度
增长的速率.
取从 坐一在标原一一点s点质、点P.的O点自O到弧作的然轨长为运坐迹定坐动标曲义标轨中线为的迹的上P原上位点任点,置意的任.、路程sO和速er度Pn Δesrτ Q
质点运动方程: s=s(t),位移: Δs
ern erτ
方向: 规定, +:
+:
分别取切线和法线两正交方向
切法向向坐坐标标轴轴沿沿质轨点迹前的进法方向向凹的侧切,单向位,单矢位量矢为量ern为
P.14/24
wzy
质点运动学
练习:
一物gAr体er做τernα抛vr0体运动gr,已B er知n v0er,τ
α
,讨论下列各量.
ern Cgrerτ
ar
grA
aτ − g sinα
an gcosα
ρ
v02
gcosα
gBr
0
g v02cos2α
g
gCr
g sinα g cosα v02 gcosα
P.15/24
= arctg an
arτ arn θ
aτ
= v2 erτρ
ernar
ern
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质点运动学
(1) aτ = 0 匀速率运动; aτ≠ 0 变速运动 (2) an = 0 直线运动; an≠ 0 曲线运动
练习1: 选择下列表达式中的正确项
(1) a = d v dt
(3)
av
=
d2 rv dt2
ω 1. 角位置(angular position) θ
反常规定：逆时针为正
单位： rad
2. 角位移(angular displacement)Δθ
逆时针转向Δθ为正 顺时针转向Δθ为负
P′ (t+Δt)
Δθ θ
P(t)
s
ORx
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wzy
3. 角速度(angular speed)
t
0 v1dt =
t 1 t2dt = 1 t3
04
12
t = 20s : v1 = 100 m ⋅ s-1, h1 = 666 .7 m
20 → 50s :
a2
=
10
+
1 6
(t
−
20)
∫ ∫ v2 = v1 +
t
20 a2dt = 100 +
t
t (
+ 20)dt =
1
t2 + 20 t − 200
erτ
P.9/24
wzy
质点运动学
位置：运动质点的坐标表示质点的位置
路程：自然坐标之差
Δs = sQ − sP
速度：
Q drr = ds
∴
vr
=
drr dt
=
ds dt
erτ
s
P erτ
ern
O ern Δs Q
erτ
速率： v = ds dt
自然坐标中的速度在切线方向,无法向分量
P.10/24
wzy
20 6 3
12 3 3
∫ ∫ h2 = h1 +
50
20 v2dt = 666.7 +
50 t 2 (
+
20t
−
200 )dt
= 8916.7 m
20 12 3 3
P.8/24
wzy
质点运动学
§4 自然坐标系中的速度和加速度
自然坐标系：把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统
(natural coordinate system)
dθ ds
=
dv dt
erτ
+
v2 ρ
ern
ern
质点Δ运vr动学
ΔΔθvrvrn ′
Δvrτ
法向加速度反映速度
度大小的变化,其方
方向的变化,其方向沿
向沿轨道切线方向
法向,指向曲率中心
切向加速度: arτ
ar = aττr + annr
=
dv dt
erτ
大小：
方向：θ
法向加速度： arn
an2 + aτ2
ORx
v = v0 + a t
s
=
s
0+
v0t
+
1 2
a
t2
v2 = v02 + 2a (s − s0 )
P.20/24
wzy
质点运动学
例6.某发动机工作时,主轴边缘一点作圆周运动方程为
θ = t3 + 4t + 3 (SI)
(1) t = 2s时，该点的角速度和角加速度为多大？
(2) 若主轴直径D = 40cm，求t =1s时该点的速度和
wzy
质点运动学
圆周运动
圆周运动(circular motion)是一般曲线运动的一个特
例,曲率半径恒为R。
一般圆周运动：
aτ
=
dv dt
an
=
v2 R
匀速率圆周运动：aτ = 0
R
a
=
an
=
v2 R
O
思考：“匀速率圆周运动”是恒定速度吗？
P.16/24
wzy
三、圆周运动的角量描述
质点运动学
线量(linear measures):自然坐标系下基 本参量以运动曲线为基准. 角量(angular measures):极坐标系下以 旋转角度为基准的基本参量.
Δx = x∞ − x0 = 10(m)
P.5/24
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wzy
质点运动学
解法二:
a = dv = dv ⋅ dx = v dv = −10v dt dx dt dx
dv = −10 dx
dv = −10dx
0
x
∫ ∫ dv = − 10dx
100
0
0 − 100 = −10( x − 0)
v′ = lv0 h−l
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动,例其6.加wz设y速某度一为质ar点=以−初10速v ir度(mvr0⋅
=
100
r i
( m/s)
质点运动学
作直线运
s−2) .问: 质点在停止前
运动的路程有多长？
解：a = dv = −10v 两边积分： dt
∫ ∫ v
dv
= −10
t
dt,
ln v = −10t
平均角速度: ω = Δθ (rad⋅s−1) Δt
角速度: ω = lim Δθ = dθ
ω 角速度矢量:
r Δt→0 Δt dt
方向按右手
螺旋规定
角速度与线速度关系：vr = ωr × rr
大小: v = ωrsinα
方向: 右手螺旋法则
质点运动学
ωr
旋转方向
O R θ vr
α rrP
O′
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2009-9-25
wzy
运动的描述
rr = rr(t) Δrr = rrQ − rrP
vr = drr dt
ar = dvr dt
质点运动学
运动的标量描述(设质点作直线运动)
x = x(t) Δx = xQ − xP
矢矢量量的的方方向向性性体体 现现在在指指向向上上,,用用 正正、、负负号号表表示示