湖南大学物理学考研复习资料(普通物理大题)
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1 Q2 W 2 C
当电容器与电源切断后再抽出铜板，电容器所储的静电能增为 1 Q2 W 2 C 能量的增量W-W’ 应等于外力所需作的功，即
Q2 1 1 Q 2d 0 Sd U 2 A＝W＝W－W ＝ － ＝ 2 2 C C 2 0 S 2d d
1 侧 E dS E 2rl q内
0
1
e =
0
0
( l )
(r > R)
ˆ n
(r < R) (r > R) (r < R)
r
E=
2 0 r
l E
0
2
3：求无限大均匀带电平面的电场分布(已知)
解: 电场分布也应有面对称性， 方向沿法向。 Ψ e E dS s E dS E dS 两底 侧 E
（2）铜板离板极的距离对上述结果是否有影响？
答: 由上式可见，C 的值与d1和d2无关（ d1增大时， d2减小。 d1+ d2=d-d 不变），所以铜板离极板的距 离不影响C 的值
17
（3）使电容器充电到两极板的电势差为300V后与电源断开， 再把铜板从电容器中抽出，外界需作功多少功？ 解：（3）铜板未抽出时，电容器被充电到U=300V，此时所 带电荷量Q=C U，电容器中所储静电能为
D dS D4r 2 q0
所以
D E
q0 D 4r 2
写成矢量式为
q0 D r 3 4r
13
q0 D r 3 4r
E
D
q0 q0 r r 3 3 4r r 40 r r
E0
结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介质后， 其场强减弱到真空时的 1/εr倍, 可求出电极化强度为
r
q
R1
Qq
U R1 U R2 0
q 1 1 Ur UR 40 r R1
两球的电势差仍为
由结果可以看出，不管外球壳接地与否，两球的电势 差恒保持不变。当q为正值时，小球的电势高于球壳；当q 为负值时，小球的电势低于球壳。
12
9：一半径为R的金属球，带有电荷q0，浸埋在均匀“无限大” 电介质（电容率为），求球外任一点P的场强及极化电荷分 布。 解: 根据金属球是等势体，而且介 D p 质又以（球体）球心为中心对称分 r 布，可知电场分布必仍具球对称性， 用有电介质时的高斯定理。 R q0 如图所示，过P点作一半径为r 并与金属球同心的闭合球面S，由 S 高斯定理知
解: 设P为壳内距球心o为 r的任意一点, 过P点 作同心球面S, 为 Gauss面, 则
P
r
o Q S
1 S E d S q内
0
4
P
1 S E dS q内
b
r
S
0
a o Q Q'
1 2 A 2 q内 Q v dv Q a 4r dr Q 4A (r a 2 ) 2 r
B
Q
A
q
R0
1)导体带电在表面，球A的电量只可 能在球的表面。 壳B有两个表面，电量可能分布在内、 外两个表面。
由于A、B同心放置，仍维持球对称。
R2 R 1
电量在表面均匀分布。
8
球A均匀分布着电量 q 相当于一个均匀带电的球面 壳B上电量的分布：由高斯定 理和电量守恒定律确定.
在B内紧贴内表面作高斯面S S E d S 0
因为r >1，上式说明 恒与q0反号，在交界面处自由 电荷和极化电荷的总电荷量为
1 q 4R r q0 r
2
r 1 q q0 0 q0 r r
总电荷量减小到自由电荷量的1/r倍，这是离球心r 处 P点的场强减小到真空时的1/r倍的原因。
14
q0 r 1 r P 3 4r r
ˆ P n |rR
P
–– – – – – – – – – – ˆ 0 – –n –– ––
r ˆ r r
q0 r 1 2 4R r
I
(2)导线半无限长，场点与一 端的连线垂直于导线 I B 0 4a (3)P点位于导线延长线上
B0
20
12：在磁感强度为B的均匀磁场中，通过一半径为R的半圆 导线中的电流为I。若导线所在平面与B垂直，求该导线所 受的安培力。 y d Fy dF 解： d F I d lB Idl d Fx B d Fx d F cos IB d l cos
E=
E沿径向 选取沿半径方向的直线 , 为积分路径 U U p E dl E dr
p p
q 2 4 0 r
1
o
R
当 r > R 时,
当 r < R 时,
Up
Up ห้องสมุดไป่ตู้
r
q q 2 dr 4 0 r 4 0 r
1
o
R
r
r
U R2 U R1
qQ 40 R2
（2）两球的电势差为 U r U R
2
q 1 1 40 r R1
（3）若外球壳接地，则球壳外表面上 的电荷消失。两球的电势分别为
q 1 1 Ur 40 r R1
q R2
1： 均匀带电圆环轴线上一点的场强。设圆环带电量为 q ， 半径为R。 dq
解： d E d q 由对称性
4 0 r
2
d Ex d E cos
R
0
r
x
y
P
X
dE
E y Ez 0
dq E d Ex cos L L 4 r 2 0 cos 4 0 r 2
2 E S 0 1
ˆ n
E
S
0
( S )
E 2 0
方向与平面垂直。
3
4：一个内外半径分别为 a 和 b 的球壳，壳内电荷体密度 = A/r, A 为常数，r 为球壳内任一点到球心的距离。球壳中 心有一个点电荷 Q。求A为多大时，才能使 a < r < b 区域中 的场强大小恒定？
1 q q qQ Ur r R 40 R2 1
U R2
1 q q qQ qQ R R R 4 R 40 2 2 2 0 2
球壳内外表面的 电势相等。
11
1 q q qQ Ur r R 40 R2 1
L
dq
L d q
R
0
cos q qx E 3 2 2 2 4 0 r 4 0 ( R x ) 2
x
z
讨论：x R
E
q 4 0 x
2
dE
当dq 位置发生变化时，它所激发 的电场矢量构成了一个圆锥面。
1
2：求无限长均匀带电圆柱面的电场分布(R, )
解:
电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。 Ψ e sE dS 侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
解：（1）铜板未插入前的电容为 C
0S
d
A
d1
d d
d2
B
设平行板电容器两板极上带有电荷±q, 铜板平行 的两表面上将分别产生感应电荷，面密度也为 ± ，如图所示，此时空气中场强不变，铜板中 场强为零。两极板A、B的电势差为
U AB U A U B E0d1 E0d 2 E0 d d － ＋ ＝
高斯定理
R2 R 1
B
Qq
A
q
R0
S
q
qi 0
i
QB内 q
QB外 Q q
9
电荷守 恒定律
2)球A和壳B的电势UA、UB 。
等效:在真空中三个均匀带电的球面
利用叠加原理 q q Qq UA 4 0 R0 4 0 R1 4 0 R2
Qq UB 4 0 R2
D ε0 E P q0 q0 q0 r 1 r P r 0 r 3 3 3 4r 40 r r 4r r
电极化强度与r有关，是非均匀极化。在电介质内部 极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布在与金属交界处 的电介质表面上（另一电介质表面在无限远处）。
15
+
10:平行板空气电容器每极板的面积S= 3×10-2m2，板 极间的距离d = 3×10-3m 。今以厚度为d’ = 1×10-3m 的铜板平行地插入电容器内。(1)计算此时电容器的 电容；(2)铜板离板极的距离对上述结果是否有影响？ (3)使电容器充电到两极板的电势差为300V后与电源 断开，再把铜板从电容器中抽出，外界需作功多少功？ C1 C2
代入已知数据，可算得
A 2.99 106 J
18
11 载流长直导线的磁场 设有长为L的载流直导线， 通有电流I。计算与导线垂直距 离为a的P点的磁感强度。取z轴 沿载流导线，如图所示。 按毕奥—萨伐尔定律有：
0 I d l r dB 4 r 3
I
2
I dl
L
16
+
C1 C2
U AB U A U B E0d1 E0d 2 － ＋ q d d q ＝E0 d d E0 0S 0 S 0
所以铜板插入后的电容C为
q 0S C U A UB d d －
A d1 d d d2 B
R 1 q 1 q E dl 0dr 2 dr r R 4 4 0 R 0 r
7
7：金属球 A与金属球壳 B 同心放置，已知球 A半径为 R0， 带电为q；金属壳 B内外半径分别为R1，R2，带电为 Q。 求:1)球A和壳B的电量分布, 2)球A和壳B的电势UA、UB 。 解：
l
r
O
a
d B
P
所有dB 的方向相同，所以P点的 B 的大小为：
B dB
L
1
0 I d l sin L 4 r2
由几何关系有：
r a / sin l a cot
d l a csc2 d
19
0 I d l sin B L 4 r2
dU
dq 4 0 r
dq 4 0 r
dq R o
r x2 R2
x
p x
U
L
1 4 0 r
L dq
q 4 0 r
4 0
q R2 x2
q 40 R
6
若x 0, 则U
6：求均匀带电球面 (R, q) 电场中电势的分布 解:已知
0 (r<R) (r>R)
r
Q 2A 2 2 E 4r (r a ) 0 0
2
2A 2Aa 2 E 2 4 0 r 4 0 4 0 r 2 Q
若要 E = const. 只须
2Aa 2 2 4 0 r 4 0 r 2 Q
A
Q 2a 2
5
5：求均匀带电细圆环轴线上任意一点 p 的电势。 (已知 R, q) 解:
解：（1）由对称性，小球表面上和球壳内外表面上的电荷分布是均匀 的。小球上的电荷q将在球壳的内外表面上感应出-q和＋q的电荷，故球 壳外表面上的总电荷量为q+Q。
小球和球壳内外表面的电势分别为:
1 q q qQ qQ U R1 40 R1 R1 R2 40 R2
B
Qq
A
q
R0
R2 R 1
q
10
8:在内外半径分别为R1和R2的导体球壳内，有一个半径为r 的 导体小球，小球与球壳同心，让小球与球壳 q R2 分别带上电荷量q和Q。试求： （1）小球的电势Ur，球壳内、外表面的电势； R1 r （2）小球与球壳的电势差； q Qq （3）若球壳接地，再求小球与球壳的电势差。
I
2
0 I 0 I 2 1 sin d 4a cos1 cos2 4a L 0 I cos1 cos2 B 4a 考虑三种情况：
(1)导线无限长，即
I dl
l
r
O
a
d B
P
1
1 0, 2
B
0 I B 2a
当电容器与电源切断后再抽出铜板，电容器所储的静电能增为 1 Q2 W 2 C 能量的增量W-W’ 应等于外力所需作的功，即
Q2 1 1 Q 2d 0 Sd U 2 A＝W＝W－W ＝ － ＝ 2 2 C C 2 0 S 2d d
1 侧 E dS E 2rl q内
0
1
e =
0
0
( l )
(r > R)
ˆ n
(r < R) (r > R) (r < R)
r
E=
2 0 r
l E
0
2
3：求无限大均匀带电平面的电场分布(已知)
解: 电场分布也应有面对称性， 方向沿法向。 Ψ e E dS s E dS E dS 两底 侧 E
（2）铜板离板极的距离对上述结果是否有影响？
答: 由上式可见，C 的值与d1和d2无关（ d1增大时， d2减小。 d1+ d2=d-d 不变），所以铜板离极板的距 离不影响C 的值
17
（3）使电容器充电到两极板的电势差为300V后与电源断开， 再把铜板从电容器中抽出，外界需作功多少功？ 解：（3）铜板未抽出时，电容器被充电到U=300V，此时所 带电荷量Q=C U，电容器中所储静电能为
D dS D4r 2 q0
所以
D E
q0 D 4r 2
写成矢量式为
q0 D r 3 4r
13
q0 D r 3 4r
E
D
q0 q0 r r 3 3 4r r 40 r r
E0
结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介质后， 其场强减弱到真空时的 1/εr倍, 可求出电极化强度为
r
q
R1
U R1 U R2 0
q 1 1 Ur UR 40 r R1
两球的电势差仍为
由结果可以看出，不管外球壳接地与否，两球的电势 差恒保持不变。当q为正值时，小球的电势高于球壳；当q 为负值时，小球的电势低于球壳。
12
9：一半径为R的金属球，带有电荷q0，浸埋在均匀“无限大” 电介质（电容率为），求球外任一点P的场强及极化电荷分 布。 解: 根据金属球是等势体，而且介 D p 质又以（球体）球心为中心对称分 r 布，可知电场分布必仍具球对称性， 用有电介质时的高斯定理。 R q0 如图所示，过P点作一半径为r 并与金属球同心的闭合球面S，由 S 高斯定理知
解: 设P为壳内距球心o为 r的任意一点, 过P点 作同心球面S, 为 Gauss面, 则
P
r
o Q S
1 S E d S q内
0
4
P
1 S E dS q内
b
r
S
0
a o Q Q'
1 2 A 2 q内 Q v dv Q a 4r dr Q 4A (r a 2 ) 2 r
B
Q
A
q
R0
1)导体带电在表面，球A的电量只可 能在球的表面。 壳B有两个表面，电量可能分布在内、 外两个表面。
由于A、B同心放置，仍维持球对称。
R2 R 1
电量在表面均匀分布。
8
球A均匀分布着电量 q 相当于一个均匀带电的球面 壳B上电量的分布：由高斯定 理和电量守恒定律确定.
在B内紧贴内表面作高斯面S S E d S 0
因为r >1，上式说明 恒与q0反号，在交界面处自由 电荷和极化电荷的总电荷量为
1 q 4R r q0 r
2
r 1 q q0 0 q0 r r
总电荷量减小到自由电荷量的1/r倍，这是离球心r 处 P点的场强减小到真空时的1/r倍的原因。
14
q0 r 1 r P 3 4r r
ˆ P n |rR
P
–– – – – – – – – – – ˆ 0 – –n –– ––
r ˆ r r
q0 r 1 2 4R r
I
(2)导线半无限长，场点与一 端的连线垂直于导线 I B 0 4a (3)P点位于导线延长线上
B0
20
12：在磁感强度为B的均匀磁场中，通过一半径为R的半圆 导线中的电流为I。若导线所在平面与B垂直，求该导线所 受的安培力。 y d Fy dF 解： d F I d lB Idl d Fx B d Fx d F cos IB d l cos
E=
E沿径向 选取沿半径方向的直线 , 为积分路径 U U p E dl E dr
p p
q 2 4 0 r
1
o
R
当 r > R 时,
当 r < R 时,
Up
Up ห้องสมุดไป่ตู้
r
q q 2 dr 4 0 r 4 0 r
1
o
R
r
r
U R2 U R1
qQ 40 R2
（2）两球的电势差为 U r U R
2
q 1 1 40 r R1
（3）若外球壳接地，则球壳外表面上 的电荷消失。两球的电势分别为
q 1 1 Ur 40 r R1
q R2
1： 均匀带电圆环轴线上一点的场强。设圆环带电量为 q ， 半径为R。 dq
解： d E d q 由对称性
4 0 r
2
d Ex d E cos
R
0
r
x
y
P
X
dE
E y Ez 0
dq E d Ex cos L L 4 r 2 0 cos 4 0 r 2
2 E S 0 1
ˆ n
E
S
0
( S )
E 2 0
方向与平面垂直。
3
4：一个内外半径分别为 a 和 b 的球壳，壳内电荷体密度 = A/r, A 为常数，r 为球壳内任一点到球心的距离。球壳中 心有一个点电荷 Q。求A为多大时，才能使 a < r < b 区域中 的场强大小恒定？
1 q q qQ Ur r R 40 R2 1
U R2
1 q q qQ qQ R R R 4 R 40 2 2 2 0 2
球壳内外表面的 电势相等。
11
1 q q qQ Ur r R 40 R2 1
L
dq
L d q
R
0
cos q qx E 3 2 2 2 4 0 r 4 0 ( R x ) 2
x
z
讨论：x R
E
q 4 0 x
2
dE
当dq 位置发生变化时，它所激发 的电场矢量构成了一个圆锥面。
1
2：求无限长均匀带电圆柱面的电场分布(R, )
解:
电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。 Ψ e sE dS 侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
解：（1）铜板未插入前的电容为 C
0S
d
A
d1
d d
d2
B
设平行板电容器两板极上带有电荷±q, 铜板平行 的两表面上将分别产生感应电荷，面密度也为 ± ，如图所示，此时空气中场强不变，铜板中 场强为零。两极板A、B的电势差为
U AB U A U B E0d1 E0d 2 E0 d d － ＋ ＝
高斯定理
R2 R 1
B
A
q
R0
S
q
qi 0
i
QB内 q
QB外 Q q
9
电荷守 恒定律
2)球A和壳B的电势UA、UB 。
等效:在真空中三个均匀带电的球面
利用叠加原理 q q Qq UA 4 0 R0 4 0 R1 4 0 R2
Qq UB 4 0 R2
D ε0 E P q0 q0 q0 r 1 r P r 0 r 3 3 3 4r 40 r r 4r r
电极化强度与r有关，是非均匀极化。在电介质内部 极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布在与金属交界处 的电介质表面上（另一电介质表面在无限远处）。
15
+
10:平行板空气电容器每极板的面积S= 3×10-2m2，板 极间的距离d = 3×10-3m 。今以厚度为d’ = 1×10-3m 的铜板平行地插入电容器内。(1)计算此时电容器的 电容；(2)铜板离板极的距离对上述结果是否有影响？ (3)使电容器充电到两极板的电势差为300V后与电源 断开，再把铜板从电容器中抽出，外界需作功多少功？ C1 C2
代入已知数据，可算得
A 2.99 106 J
18
11 载流长直导线的磁场 设有长为L的载流直导线， 通有电流I。计算与导线垂直距 离为a的P点的磁感强度。取z轴 沿载流导线，如图所示。 按毕奥—萨伐尔定律有：
0 I d l r dB 4 r 3
I
2
I dl
L
16
+
C1 C2
U AB U A U B E0d1 E0d 2 － ＋ q d d q ＝E0 d d E0 0S 0 S 0
所以铜板插入后的电容C为
q 0S C U A UB d d －
A d1 d d d2 B
R 1 q 1 q E dl 0dr 2 dr r R 4 4 0 R 0 r
7
7：金属球 A与金属球壳 B 同心放置，已知球 A半径为 R0， 带电为q；金属壳 B内外半径分别为R1，R2，带电为 Q。 求:1)球A和壳B的电量分布, 2)球A和壳B的电势UA、UB 。 解：
l
r
O
a
d B
P
所有dB 的方向相同，所以P点的 B 的大小为：
B dB
L
1
0 I d l sin L 4 r2
由几何关系有：
r a / sin l a cot
d l a csc2 d
19
0 I d l sin B L 4 r2
dU
dq 4 0 r
dq 4 0 r
dq R o
r x2 R2
x
p x
U
L
1 4 0 r
L dq
q 4 0 r
4 0
q R2 x2
q 40 R
6
若x 0, 则U
6：求均匀带电球面 (R, q) 电场中电势的分布 解:已知
0 (r<R) (r>R)
r
Q 2A 2 2 E 4r (r a ) 0 0
2
2A 2Aa 2 E 2 4 0 r 4 0 4 0 r 2 Q
若要 E = const. 只须
2Aa 2 2 4 0 r 4 0 r 2 Q
A
Q 2a 2
5
5：求均匀带电细圆环轴线上任意一点 p 的电势。 (已知 R, q) 解:
解：（1）由对称性，小球表面上和球壳内外表面上的电荷分布是均匀 的。小球上的电荷q将在球壳的内外表面上感应出-q和＋q的电荷，故球 壳外表面上的总电荷量为q+Q。
小球和球壳内外表面的电势分别为:
1 q q qQ qQ U R1 40 R1 R1 R2 40 R2
B
A
q
R0
R2 R 1
q
10
8:在内外半径分别为R1和R2的导体球壳内，有一个半径为r 的 导体小球，小球与球壳同心，让小球与球壳 q R2 分别带上电荷量q和Q。试求： （1）小球的电势Ur，球壳内、外表面的电势； R1 r （2）小球与球壳的电势差； q Qq （3）若球壳接地，再求小球与球壳的电势差。
I
2
0 I 0 I 2 1 sin d 4a cos1 cos2 4a L 0 I cos1 cos2 B 4a 考虑三种情况：
(1)导线无限长，即
I dl
l
r
O
a
d B
P
1
1 0, 2
B
0 I B 2a