积分表147个公式的推导(修正版)
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常 用 积 分 公 式（一）含有ax b +的积分（0a ≠) 1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++(1μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a +-++456．2d ()x x ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x+-++ 7．2d ()xx ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2d ()x x ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x+-++（二)的积分10．x C +11．x ⎰＝22(3215ax b C a -12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a-+13．x⎰＝22(23ax b C a -14．2x＝22232(34815a x abx b C a -+ 15．(0)(0)C b C b ⎧+>+<16．2a b - 17．x＝b ⎰18．x＝2a +（三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +⎰=1arctan xC a a+ 20．22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n xn a x a n a x a ---+-+-+⎰21．22d x x a -⎰=1ln 2x aC a x a-++（四）含有2(0)ax b a +>的积分2223．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a++24．22d x x ax b+⎰＝2d x b x a a ax b -+⎰25．2d ()xx ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b++ 26．22d ()xx ax b +⎰＝21d a x bx b ax b --+⎰27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx+-+ 28．22d ()x ax b +⎰＝221d 2()2x xb ax b b ax b +++⎰(五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac C b ac +<+> 30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分 31．＝1arshxC a+＝ln(x C ++ 32．C +33．xC34．x＝C +35．2x 2ln(2a x C ++36．2x ⎰＝ln(x C +++37．1lnaC a x +38．C +39．x 2ln(2a x C ++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C +++41．x ⎰C42．xx ⎰＝422(2ln(88x a x a x C +-++43．x a C +44．2d x x ⎰＝ln(x C x-+++(七)(0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln x C ++ 46．C +47．x C48．x ＝C +49．2x 2ln 2a x C ++50．2x ⎰＝ln x C +++51．1arccos aC a x+52．C +53．x 2ln 2a x C ++54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -++55．x ⎰C56．xx ⎰＝422(2ln 88x a x a x C -++57．x x⎰arccos a a C x -+58．2d x x ⎰＝ln x C x-+++(0)a >的积分 59．＝arcsinxC a+ 60．C +61．x ＝C +62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a + 64．2x ⎰arcsinxC a-+65．1C a +66．C +67．x 2arcsin 2a x C a+68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a -+69．x ⎰＝C70．xx ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-++71．x a C +72．x ＝arcsin xC a-+((0)a >的积分73．2ax b C +++74．x22ax b C ++++75．x2ax b C -+++76．＝C +77．x 2C +78．x ＝C +(十)79．x ＝((x b b a C --+80．x ＝((x b b a C --81．C()a b <82．x 2()4b a C -()a b < (十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰＝cos x C -+84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C + 87．sec d x x ⎰＝ln tan()42xC π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ⎰＝tan x C + 90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+ 91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++95．sin d nx x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96．cos d nx x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n ---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x ----⋅+--⎰98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰ 99．cos sin d m nx x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n -+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n+----+++⎰ 100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin xa b x +⎰tan xa b C ++22()a b >104．d sin x a b x +⎰C+22()a b <105．d cos x a b x +⎰)2xC +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin x a x b x -⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++-109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin x x C a114．arcsin d x x x a ⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d x x x a ⎰＝3221arcsin (239x x x a C a ++116．arccos d x x a ⎰＝arccosxx C a-117．arccos d x x x a ⎰＝22()arccos 24x a x C a --118．2arccos d x x x a ⎰＝3221arccos (239x x x a C a -+119．arctand x x a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+121．2arctan d x x x a ⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++ （十三）含有指数函数的积分122．d xa x ⎰＝1ln xa C a + 123．e d axx ⎰＝1e ax C a +124．e d axx x ⎰＝21(1)e ax ax C a-+125．e d n axx x ⎰＝11e e d n ax n ax n x x x a a--⎰126．d xxa x ⎰＝21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127．d nxx a x ⎰＝11d ln ln n x n xn x a x a x a a --⎰ 128．e sin d axbx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b -++ 129．e cos d axbx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b+++130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n --++⎰131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n--++⎰ （十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+ 133．d ln x x x ⎰＝ln ln x C +134．ln d n x x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++ 135．(ln )d n x x ⎰＝1(ln )(ln )d n n x x n x x --⎰ 136．(ln )d m n x x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰（十五)含有双曲函数的积分137．sh d x x ⎰＝ch x C +138．ch d x x ⎰＝sh x C +139．th d x x ⎰＝ln ch x C + 140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0 143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩ 146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147． n I ＝20sin d n x x π⎰＝20cos d n x x π⎰ n I ＝21n n I n-- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- （n 为大于1的正奇数）,1I ＝1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-(n 为正偶数）,0I ＝2π。
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全在高等数学的学习中，积分是一个非常重要的概念和工具。
积分公式如同数学世界中的宝库，为我们解决各种问题提供了有力的武器。
下面就为大家详细介绍一下高等数学中常见的积分公式。
一、基本积分公式1、常数积分公式∫k dx ＝ kx ＋ C （k 为常数）这意味着对一个常数进行积分，结果是这个常数乘以自变量 x 再加上一个常数 C。
2、幂函数积分公式∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）当 n 为正整数时，这个公式很好理解。
比如∫x² dx ＝（1/3)x³＋ C 。
3、指数函数积分公式∫e^x dx ＝ e^x ＋ C指数函数 e^x 的积分还是它本身。
4、对数函数积分公式∫（1/x) dx ＝ ln|x| ＋ C这是对数函数积分的基本形式。
二、三角函数积分公式1、正弦函数积分公式∫sin x dx ＝ cos x ＋ C2、余弦函数积分公式∫cos x dx ＝ sin x ＋ C3、正切函数积分公式∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C4、余切函数积分公式∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C三、反三角函数积分公式1、反正弦函数积分公式∫arcsin x dx ＝ x arcsin x ＋√（1 x²) ＋ C2、反余弦函数积分公式∫arccos x dx ＝x arccos x √（1 x²) ＋ C3、反正切函数积分公式∫arctan x dx ＝ x arctan x （1/2)ln(1 ＋ x²) ＋ C四、有理函数积分有理函数是指两个多项式的商。
对于形如 P(x)／Q(x) 的有理函数积分，通常需要先将其分解为部分分式，然后再利用上述基本积分公式进行积分。
五、定积分的基本性质1、线性性质∫kf(x) ＋ lg(x) dx ＝k∫f(x) dx ＋l∫g(x) dx （k，l 为常数）2、区间可加性∫a,b f(x) dx ＝∫a,c f(x) dx ＋∫c,b f(x) dx （a ＜ c ＜ b）六、换元积分法换元积分法是积分计算中的一种重要方法。
基本积分公式表
u ( x)
F (u) C
F [ ( x )] C
例1
解1
sin 2 xdx
1 2
求 sin 2 xdx .
1 sin2 x d (2 x ) 2
sin2 x d (2 x )
令u 2 x 1
2
sinu du
1 ( cos u) C 2 1 [ cos(2 x )] C 2 1 cos(2 x ) C 2
6 4 2
1 2 5 1 7 sec x sec x sec3 x C 7 5 3
例19
cos 3 x cos 2 xdx
1 (cos 5 x cos x ) dx 2
1 (cos 5 x cos x)dx 2 1 ( cos 5 xdx cos xdx ) 2 1 1 [ cos 5 xd (5 x ) cos xdx ] 2 5 1 1 ( sin5 x sin x ) C 2 5 1 1 sin5 x sin x C 2 10
1 1 1 2 ln x 2 d (1 2 ln x)
1 1 d (1 2 ln x ) 2 1 2 ln x
1 ln | 1 2 ln x | C 2
例10
e
3 x
x
dx
e
2 3
3 x
2 d (3 x ) 3
x
e3
x
d (3 x )
2 3 e 3
cos 4 xdx
例15
cscxdx
1 dx sin x
1 x x dx 2 sin cos 2 2
高等数学积分公式大全图片素材
高等数学积分公式大全图片素材一、不定积分不定积分是指一类特殊的积分，它的积分常数不确定。
不定积分符号通常表示为∫，其基本形式为∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数。
1.基本积分公式•常数函数：∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为积分常数。
•幂函数：∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n 不等于-1。
•指数函数：∫e^x dx = e^x + C。
•三角函数：∫sin(x)dx = -cos(x) + C；∫cos(x)dx = sin(x) + C。
2.常见运算法则•线性性质：∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
•恒乘法则：∫k f(x)dx = k∫f(x)dx，其中k为常数。
•分部积分：∫udv = uv - ∫vdu，其中u和v是原函数。
二、定积分定积分是在区间上的积分，表示函数在该区间上的“累积”。
定积分通常表示为∫[a,b]f(x)dx。
1.定积分性质•区间无关性：∫[a,b]f(x)dx = ∫[c,d]f(x)dx，积分区间内函数相同则积分值相等。
•微元法：∫[a,b]f(x)dx = lim(n→∞) [Σf(xi)*Δx]，即将区间分成n个小段求和，取极限可得积分结果。
2.定积分应用定积分在几何学、物理学等领域有广泛应用，如计算曲线下面积、求平均值、求体积等，是处理各种积分的基础。
三、常见积分法1.换元法•基本公式：∫u’(x)*u(x)dx = ∫u’(x)du•常见变换：三角代换、指数对数代换、倒代换等2.分部积分法•基本公式：∫u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) - ∫u’(x)v(x)dx•常见应用：当被积函数为两个函数的乘积时，可以使用分部积分法简化计算。
四、高阶积分高阶积分是指对不定积分的多次重复，即对多重积分的处理。
常见高阶积分包括二重积分和三重积分，用于求解空间内的体积、质量、重心等问题。
常用积分表
常 用 积 分 公 式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a++ 2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a+-++ 4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5．d ()xx ax b +⎰＝1lnax b C b x +-+ 6．2d ()xx ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b+-+-++ 9．2d ()xx ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++的积分10．xC + 11．x ⎰＝22(3215ax b C a - 12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a-+ 13．x＝22(23ax b C a -14．2x＝22232(34815a x abx b C a -+ 15．＝(0)(0)C b C b ⎧+><16．2a b - 17．d x x ⎰＝b ⎰18．x＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +⎰=1arctan xC a a+ 20．22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n xn a x a n a x a ---+-+-+⎰ 21．22d xx a -⎰=1ln 2x a C a x a-++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a++ 24．22d x x ax b +⎰＝2d x b x a a ax b -+⎰25．2d ()x x ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b++ 26．22d ()x x ax b +⎰＝21d a xbx b ax b--+⎰ 27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx+-+ 28．22d ()x ax b +⎰＝221d 2()2x xb ax b b ax b+++⎰（五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac Cb ac +<+>30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分 31．＝1arsh xC a+＝ln(x C + 32．C +33．xC34．x＝C +35．2x2ln(2a x C ++ 36．2x＝ln(x C +++37．1C a + 38．C + 39．x2ln(2a x C ++ 40．x＝2243(25ln(88x x a a x C +++ 41．x ⎰C 42．x x ⎰＝422(2ln(88x a x a x C +++43．d x x ⎰ln a a C x+44．2d x x ⎰＝ln(x C x-+++(0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln x C ++ 46．C +47．x C48．x ＝C +49．2x 2ln 2a x C +++50．2x ＝ln x C +++51．1arccosaC ax+52．C +53．x 2ln 2a x C ++54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -++55．x ⎰C56．x x ⎰＝422(2ln 88x a x a x C -++57．d x x⎰arccos a a C x -+58．2d x x ⎰＝ln x C x-+++(0)a >的积分59．＝arcsin xC a+ 60．C +61．x ＝C +62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a + 64．2x arcsinxC a-+65．1C a +66．C +67．x 2arcsin 2a x C a+68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a-+69．x ⎰＝C +70．x x ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-+71．d x x ⎰ln a a C x ++72．2d x x ⎰＝arcsin xC x a--+(0)a >的积分73．2ax b C +++74．x75．x 76．＝C +77．x 2C +78．x ＝C +79．x ＝((x b b a C --+80．x ＝((x b b a C -+-81．C ()a b <82．x 2()arcsin 4b a C -+ （十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰＝cos x C -+ 84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C +87．sec d x x ⎰＝ln tan()42x C π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ⎰＝tan x C + 90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++95．sin d n x x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96．cos d n x x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x ----⋅+--⎰ 98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰ 99．cos sin d m n x x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m nm x x x x x m n m n-+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n +----+++⎰100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin xa b x +⎰＝tanxa b C ++22()a b >104．d sin x a b x +⎰C +22()a b <105．d cos xa b x+⎰)2x C +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )bx C ab a+108．2222d cos sin xa xb x-⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++- 109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d xx a ⎰＝arcsin x x C a+114．arcsin d xx x a ⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d xx x a⎰＝3221arcsin (239x x x a C a +++116．arccos d xx a ⎰＝arccos x x C a-117．arccos d xx x a ⎰＝22()arccos 24x a x C a --+118．2arccos d xx x a⎰＝3221arccos (239x x x a C a -++119．arctan d xx a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+121．2arctan d xx x a⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++（十三）含有指数函数的积分122．d x a x ⎰＝1ln xa C a + 123．e d ax x ⎰＝1e ax C a +124．e d ax x x ⎰＝21(1)e ax ax C a -+125．e d n ax x x ⎰＝11e e d n ax n ax nx x x a a--⎰126．d x xa x ⎰＝21ln (ln )x xx a a C a a -+ 127．d n x x a x ⎰＝11d ln ln n x n xn x a x a x a a --⎰ 128．e sin d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b -++129．e cos d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b+++130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++（十四）含有对数函数的积分 132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+133．d ln xx x⎰＝ln ln x C + 134．ln d n x x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++135．(ln )d n x x ⎰＝1(ln )(ln )d n nx x n x x --⎰ 136．(ln )d m n x x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰ （十五）含有双曲函数的积分 137．sh d x x ⎰＝ch x C + 138．ch d x x ⎰＝sh x C + 139．th d x x ⎰＝lnch x C + 140．2sh d x x ⎰＝1sh224xx C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0 143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0 144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n ≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n≠⎧⎨π=⎩146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩147． n I ＝20sin d n x x π⎰＝20cos d n x x π⎰n I ＝21n n I n-- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅-L （n 为大于1的正奇数），1I ＝ 1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-L （n 为正偶数），0I ＝2π换 元 积 分 法一、 第一换元积分法(凑微分法).二、常用凑微分公式注: 以上使用的多为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有a) 可令b) 可令 c)可令当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换.三、第二换元积分法,例题：凑微分法例1求不定积分.例2 求不定分 例3计算不定积分.例4 计算不定积分 例5求不定积分. 例6 求下列不定积分(1) (2)例7 求下列不定积分:(1) ; (2)例8 求下列不定积分:(1) ; (2)例9求不定积分.例10 求下列不定积分:(1) ; (2)例11求下列不定积分(1) (2)例12求不定积分.例13求不定积分.例14求下列不定积分:(1) (2)例15 求下列不定积分:(1) (2)例16求不定积分.例17求.例18 用换元法求不定积分例19 试用换元法求不定积分例20试用换元法求不定积分例21求不定积分.例22 求不定积分第二换元法例23求不定积分例24求不定积分例25计算.例26 求不定积分例27求不定积分例28求不定积分.例29求不定积分例30求不定积分.例31求不定积分. 练习：求下列不定积分2.设, 求。
常用积分表
8
8
a
∫ 71． a2 − x2 dx ＝ a2 − x2 + a ln a − a2 − x2 + C
x
x
∫ 72．
a2 − x2
x2
dx
＝
−
a2 − x2 − arcsin x + C
x
a
（九）含有 ±ax2 + bx + c (a > 0) 的积分
∫ 73．
dx
＝ 1 ln 2ax + b + 2 a ax2 + bx + c + C
常用积分公式
（一）含有 ax + b 的积分( a ≠ 0 )
1． ∫
dx ax +
b
＝
1 a
ln
ax
+
b
+
C
∫ 2． (ax + b)μdx ＝ 1 (ax + b)μ+1 + C （ μ ≠ −1 ）
a(μ + 1)
∫ 3． x dx ＝ 1 (ax + b − b ln ax + b ) + C ax + b a2
x2 ax2 + b
+C
∫ ∫ 26．
dx ＝ − 1 − a x2 (ax2 + b) bx b
dx ax2 + b
∫ 27．
dx x3(ax2 + b)
＝
a 2b2
ln
ax2 + b x2
−
1 2bx2
+C
∫ ∫ 28．
dx ＝
x
积分公式表
基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数)（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x=++⎰ （5）arcsin x C =+⎰(6）cos sin xdx x C =+⎰ （7)sin cos xdx x C =-+⎰（8)21tan cos dx x C x =+⎰(9）21cot sin dx x C x=-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ (12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ (15）chxdx shx C =+⎰ (16）2211tan xdx arc C a x a a=++⎰（17)2211ln ||2x adx C x a a x a -=+-+⎰ （18)sinxarc C a=+（19)ln(x C =+(20）ln |x C =+（21)tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ (22)cot ln |sin |xdx x C =+⎰ (23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，（16）—（24）式后几节证.2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。
3、复习三角函数公式：2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2xx +=， 21cos 2sin 2xx -=。
注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ=⎰⎰,此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。
(完整word版)基本积分表
基本积分表1、⎰+=c kx kdx 2、⎰++=+c a x dx x a a 11 3、⎰+=c x dx xln 1 4、⎰+=+c x dx xarctan 112 5、⎰+=-c x dx xarcsin 112 6、⎰+=c x xdx sin cos 7、⎰+-=c x xdx cos sin8、⎰⎰+==c x xdx dx xtan sec cos 122 9、⎰⎰+-==c x xdx dx xcot csc sin 122 10、⎰+=c x xdx x sec tan sec11、⎰+-=c x xdx x csc cot csc 12、⎰+=c e dx e x x13、⎰+=c aa dx a x x ln 14、⎰+=c chx shxdx 其中2xx e e shx --=为双曲正弦函数 15、⎰+=c shx chxdx 其中2xx e e chx -+=为双曲余弦函数 基本积分表的扩充16、⎰+-=c x xdx cos ln tan 17、⎰+=c x xdx sin ln cot18、⎰++=c x x xdx tan sec ln sec19、c x c x x xdx +=+-=⎰2tan ln cot csc ln csc 20、⎰+=+c a x a dx xa arctan 1122 21、⎰++-=-c a x a x a dx ax ln 21122 22、⎰+-+=-c xa x a a dx x a ln 21122 23、⎰+=-c a x dx x a arcsin 122 24、⎰+++=+c a x x dx a x 2222ln 1 25、⎰+-+=-c a x x dx a x 2222ln 1sinαsinβ=-[cos （α+β)—cos(α—β)］/2【注意右式前的负号】cosαcosβ=［cos （α+β）+cos(α—β）］/2sinαcosβ=[sin（α+β）+sin(α-β）]/2cosαsinβ=［sin （α+β)-sin （α—β)］/2sin α+sin β=2sin ［(α+β）/2]·cos[（α-β）/2］sin α—sin β=2cos ［(α+β)/2］·sin[(α-β)/2］cos α+cos β=2cos[（α+β)/2]·cos［(α—β)/2］cos α—cos β=-2sin[(α+β)/2]·si n[(α—β）/2] 【注意右式前的负号】三角函数公式大全同角三角函数的基本关系倒数关系：tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系：sin^2（α）＋cos^2（α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α）1＋cot^2（α)＝csc^2（α）平常针对不同条件的常用的两个公式sin² α+cos² α=1 tan α ＊cot α=1一个特殊公式（sina+sinθ）＊(sina+sinθ）=sin（a+θ）＊sin（a-θ) 证明：（sina+sinθ）＊（sina+sinθ）=2 sin［（θ+a）/2］cos[(a—θ）/2] *2 cos［(θ+a）/2] sin［(a—θ）/2］=sin（a+θ）＊sin（a—θ)锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦:cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA 余弦1。
高等数学积分表公式推导
（十一）含有三角函数的积分（83~112）···········································55 （十二）含有反三角函数的积分（其中 a > 0)（113~121）·······················68 （十三）含有指数函数的积分（122~131）··········································73 （十四）含有对数函数的积分（132~136）··········································78 （十五）含有双曲函数的积分（137~141）··········································80 （十六）定积分（142~147）····························································81
ax +
dx b
=
1 a3
⎡1 ⎢⎣ 2
(ax +
b) 2
−
2b (ax
+
b)
+
b2
⋅ ln
ax +
b
⎤ ⎥⎦
+C
5.
dx
1
∫ x (ax + b) = − b ⋅ ln
ax + b x
+C
证明：被积函数 f ( x ) = 1 的定义域为{x | x ≠ − b}
x ⋅ (ax+ b)
∴
∫
dx ax +
b
=
1 a
∫
1dt t
= 1 ⋅ ln t + C a
积分基本公式
2.基本积分公式表(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1，x>0)(4)(a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=-cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=-cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C注．(1)不是在m=-1的特例．(2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则(ln|x|)' =(ln(-x))' =.(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．6. 复合函数的导数与微分大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义．定理.(链锁法则)设z=f(y)，y=ϕ(x)分别在点y0=ϕ(x0)与x0可导，则复合函数z=f[ϕ(x)]在x0可导，且或(f oϕ)' (x0)=f '(y0)⋅ϕ'(x0)．证．对应于自变量x0处的改变量∆x，有中间变量y在y0=ϕ(x0)处的改变量∆y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量∆z，（注意∆y可能为0）．现∆z=f'(y0)∆⋅y+v，∆y='ϕ(x0)∆x+u，且令，则v=∆αy，（注意，当∆y=0时，v=∆αy仍成立）．y在x 0可导又蕴含y在x0连续，即∆y=0．于是=f '(y0)⋅ϕ '(x0)+0⋅ϕ'(x0)=f'(y0)⋅ϕ'(x0)为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明：(1) 略去法则中的x=x0与y=y0，法则成为公式，其右端似乎约去d y后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程．(2) 计算复合函数的过程：x→−y →−z复合函数求导的过程：z→−y →−x：各导数相乘例2.3.15求y=sin5x的导数．解．令u=5x，则y=sin u．于是y' ==cos u⋅5=5cos5x．例2.3.16求y=lncos x的导数．解．令u=cos x，则y=ln u．于是．y'=例2.3.17求幂函数y=x m的导数，m为任意实数．解．因y=，令u=m ln x，则y=e u．y' ==e u⋅m⋅m是正整数n时，即例2.3.2．(3) 链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数：复合函数的求值：x→−y→−z→−u…v→−w复合函数的求导：w→−v…u→−z→−y→−x：各导数相乘(4) 在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量v，u，z，y等可不必写出，只要做到心中有数．例2.3.18求的导数解．=．(5) 链锁法则的微分形式是：d f(ϕ(x))=f'(ϕ(x))dϕ(x)例2.3.19求函数y=的微分解．d y =dsin2x=⋅2sin x dsin x=⋅2sin x cos x d x=⋅sin2x d x．思考题.请你仔细研究例2.3.18的解题过程，函数的构成除由基本初等函数复合之外还包含四则运算，因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则，两个方面必须同时考虑.5. 导数与微分的四则运算设u=u(x)，v=v(x)为可导函数，c是常数，则有公式(1) (u±v)' = u'±v'，d(u±v) = d u±d v．公式(2) (uv)' = u' v+uv'，d(uv) = v d u+u d v．公式(3) (cu)' = cu'，d(cu) = c d u．公式(4)，(v≠0)．点击此处看公式(1)－(4)的证明．例2.3.11求y=tan x的导数解．(tan x)' ===sec2x．同理可得(cot x)' =-csc2x．例2.3.12求y=sec x的导数．解．(sec x)' ==sec x tan x．同理可得(csc x)' =-csc x cot x．例2.3.13求y=(1+4x)(2x2-3x3)的导数．解一．y' =(1+4x)'(2x2-3x3)+(1+4x)(2x2-3x3)'=4(2x2-3x3)+(1+4x)(2⋅2x-3⋅3x2)=8x2-12x3+4x-9x2+16x2-36x3=4x+15x2-48x3解二．因y =2x2+5x3-12x4，故y' =2⋅2x+5⋅3x2-12⋅4x3=4x+15x2-48x3．例2.3.14求函数y=(x+sin x)ln x的微分．解．d y=ln x d(x+sin x)+(x+sin x)dln x=ln x(d x+dsin x)+(x+sin x)d x=ln x⋅(d x+cos x d x)+d x=d x．2. 导数的定义从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.定义.设函数y=f(x)在包含点x0的一个开区间X(这样的开区间称为x0的邻域)内有定义，y0=f(x0)．如果x∈X-x0，我们称∆x=x-x00(∆读作delta)为自变量的改变量，∆y=f(x)-f(x0)为函数的(对应)改变量，比值为函数的差商或平均变化率．如果极限存在，则称函数y=f(x)在点x0可导(或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0点关于自变量x的导数(或微商)．记作．因∆x=x-x0，x=x0+∆x，故还有．此时，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))的切线方程是．注意.∆x可正可负，依x大于或小于x0而定．根据定义求已知函数y=f(x)在给定点x0的导数的步骤是：(1)计算函数在自变量x0+∆x处的函数值f(x0+∆x)；(2)计算函数的改变量∆y=f(x0+∆x)-f(x0)；(3)写出函数的差商；(4)计算极限，即导数值．例2.3.1求常数函数y=c的导数．解．因∆y=y(x+∆x)-y(x)=c-c=0，差商=0，故=0．此处x可为任意实数，即常数函数y=c在任意点x处的导数为0．例2.3.2设n是正整数，求幂函数y=x n在点x处的导数．解．因y(x+∆x)=(x+∆x)n=x n+，∆y=y(x+∆x)-y(x)=，故=．特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数为1．例2.3.3求曲线y=x3在点(2,8) 处的切线方程．解．在上例中取n=3可知函数y=x3在点x处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切线斜率是：y'(2)=3⋅22=12，故曲线y=x3在(2,8)处的切线方程是y-8=12⋅(x-2) ⇔ 12x-y-16=0．注．(1)从上述例子我们看到，一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X内每一点都可导，这样可求出X内每一点的导数y'(x)，x∈X ．于是y'(x)成为X内有定义的一个新函数，我们称它为给定函数y=f(x)的导函数，且常常省略定义中的字样“在x点处关于自变量的”，甚至简称f(x)的导数．例如我们说常数函数y=c的导数是0，y=x的导数是1，y=x n的导数是等等，分别记作c' =0，x' =1，(x n)' =等等．(2)关于改变量的记号∆，应把它与其后面的变量x或y看作一个整体量，就象sin x 中的sin一样，绝不能把∆x看成∆与x的乘积，特别，为避免误解，我们用(∆x)2来表示∆x的平方而不写∆x2 ．从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式:(点击此处看例2.3.4，例2.3.5，例2.3.6证明)例2.3.4y=sin x的导数是(sin x)' =cos x，y=cos x的导数是(cos x)' =-sin x ．例2.3.5 y=log a x(0<a≠1)的导数是(log a x)' =．特别，(ln x)' =1/x．例2.3.6指数函数y=a x(0<a≠1)的导数是(a x)' =a x ln a ．特别，(e x)' =e x．8. 导数的导数--二阶导数一般来说，函数y=f(x)的导数还是以x为自变量的函数：y' =f '(x)，如果它还可导，我们又可得f '(x)的导数：(y' )' =[f '(x)]' ，称为y=f(x)的二阶导数，记作y'' =f '' (x)，或=．如果它还可导，我们就可继续逐次求三阶，四阶，…的导数，对任意正整数n，n阶导数被定义为y(n)=(y(n-1))' ，n=2，3，…统称为函数y的高阶导数．例2.3.22求y=sin x的n阶导数．解．y' =cos x =sin，用归纳法不难求出y(n)=sin．例2.3.23若s =s(t)为质点运动的路程函数，则s' (t)=v(t)是运动速度．又,二阶导数s''(t)=v' (t)=a(t)则是运动的加速度．例2.3.24求y =arc tan x的二阶导数y'' ．解．y' =，y'' =-(1+x2)-2(1+x2)' =．思考题.对于可导函数y=f(x)来说，导数f ' (x)表示曲线的切线斜率，请你考虑，如果f ' (x)还可导，那么f '' (x)的正或负，反映函数y=f(x)的图像的什么性态.实验题.选择不同的函数，使二阶导数取正或负值，然后作出函数的图像，观察二阶导数对函数图像的影响.7. 基本初等函数的导数与微分公式=' =-' =-x=x=x=例2.3.20 求y=arcsin 的微分．解．．例2.3.21求y=+arctan e x的导数．解．．12.二元函数的导数与微分(选学）设z=f(x，y)是两个自变量x与y的函数，x与y的变化都会引起函数z的变化，实际问题中有时需考虑单个自变量的变化引起的函数变化，即将另一自变量固定不变，看作常数，此时函数就像一元函数了．函数z关于一个变量x的导数就称为z关于x的偏导数．记作，事实上，按导数定义，应该是=，同理，z关于变量y的偏导数是=．我们也记．若z=f(x，y)有连续的偏导数f'x(x，y)，f'y(x，y)，则自变量x与y的改变量∆x与∆y 的线性表达式f'x(x，y)∆x+f'y(x，y)∆y称为z=f(x，y)在(x，y)处对应于∆x，∆y的全微分，记作d z=f'x(x，y)∆x+f'y(x，y)∆y．由于自变量的微分等于自变量的改变量：d x=∆x，d y=∆y，于是二元函数的微分公式是d z=．例2.3.30设f(x，y)=xy+x2-2 y3，求．解．=y+2x (把y看作常数，对x求导数)．=x-6y2(把x看作常数，对y求导数)．例2.3.31求z=e x sin y的全微分．解．d z=sin y d e x+e x dsin y=sin y e x d x+e x cos y d y=e x(sin y d x+cos y d y)．例2.3.32设x+2y+2z-2=0确定二元函数z=z(x，y)，求．解．对方程x+2y+2z-2=0两边求微分，则左端得d x+2d y+2d z-2d右端的微分是0，于是解得d z =，由此得，．13.分段函数的导数(选学）我们通过分段函数在衔接点处导数的研究，了解函数的可导性与连续性的关系．函数y=f(x)在点x0的导数被定义为极限，这等价于=0 ，记，则=0，由此f(x0+∆x)-f(x0)=[u(∆x)+f’(x0)]∆x，于是[f(x0+∆x)-f(x0)]=[u(∆x)+f’(x0)]∆x=0 ，即f(x0+∆x) = f(x0)．如果记x=x0+∆x，则得f(x)= f(x0) ．这表明函数f(x)在x0连续．因此有定理．若函数y=f(x)在x0可导，则f(x)在x0连续．因此，连续性是函数可导性的必要条件．但上述命题的逆是不正确的．请看下例．例2.3.33 讨论函数在点x=0的连续性与可导性．解．因,,故,且f(0)=e0=1．由此可见f(x)在x=0连续．其次，为讨论f '(0)，我们需计算极限．为方便计，用x代替 x，为此我们研究极限．现在，，．由此可见，极限不存在，即f(x)在x=0不可导．你能看到，在函数y =f(x)的图像上点(1，0)处没有切线，因为在其左边有一条“半切线”，斜率是1，但在其右边有一条“半切线”，斜率是0定义．设函数y =f(x)定义在区间(a,b)内，x0(a,b)，如果极限存在，则称此极限为f(x)在点x0处的右导数，记作f+'(x0)=．类似地，f(x)在点x0的左导数是f-'(x0)=.只有f+'(x0)与f-'(x0)都存在且相等时，f(x)在点x0才可导，且f '(x0)=f+'(x0)=f-'(x0)．即有定理．设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x0(a,b)．则f '( x)存在f-'( x0)与f+'( x0)都存在且相等．左导数与右导数统称为单侧导数.例2.3.34讨论函数在x=0的可导性．解．首先讨论f(x)在x=0 的连续性．因，，f(0)=0，故f(x)在x=0连续．其次，因，，故f(x)在x=0可导，且f'(0)=-1．注.上例中求左右导数或讨论分段函数衔接点处可导性的方法，必须首先研究函数在该点的连续性，在连续的前提下才可使用此方法，否则会出现错误．例如考虑函数此时g(x)在x=0不连续，更不可导．如果你用上例方法求左右导数：g'+(0)=-1，g'-(0)=-1，得出g'(0)=-1，那就大错特错了．事实上, 上图中的原点并不属于函数g(x)的图像,因此,原点右侧的“半切线”是不存在的,也就是说,原点处的右导数是不存在的．1. 曲线的切线斜率我们知道，圆的切线定义为与圆相交于唯一点的直线．但对于一般曲线，切线是不能这样定义的．例如右下图中曲线在P点处的切线, 除P点外还交曲线于Q点．为确切表达切线的含义，需应用极限的思想．请看下面的动画．说明：点P(x0,f(x0))=P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的给定点．点Q(x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点, 可在P的两侧：在右侧时x>x0；在左侧时x<x0．动直线PQ是曲线的割线．如果动点Q无限地逼近定点P时, 动直线PQ有一个极限位置T, 即极限则称PT为曲线在P点的切线．为确定切线PT的位置, 或建立PT的方程, 只需确定其斜率．由于PT是PQ的极限, 从而PT的斜率是PQ斜率的极限, 极限过程是由Q→P产生的．而Q→P即x→x0．设PT对于x轴的倾角(即x轴正向逆时针旋转至PT经过的角)为α, PT的斜率为k=tanα．现在割线PQ的斜率为：．而切线PT的斜率为：(PQ的斜率)=,由此得切线PT的方程是：y-f(x0)=k( x-x0)．。
常见积分公式表
常见积分公式表常见积分公式表在微积分中，积分是一个重要的概念，它可以用来求解曲线下的面积、求解函数的原函数等。
而积分公式则是在求解积分过程中经常使用的一些公式，它们可以帮助我们简化计算，提高效率。
下面是一些常见的积分公式表：1. 基本积分公式：- ∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中n不等于-1- ∫e^x dx = e^x + C- ∫a^x dx = (1/ln(a)) * a^x + C，其中a为常数且不等于1- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C- ∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C- ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C- ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C- ∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C2. 特殊函数积分公式：- ∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C- ∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C- ∫1/(√(x^2+1)) dx = ln(x + √(x^2+1)) + C- ∫e^x/(1+e^x) dx = ln(1+e^x) + C- ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C- ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C3. 三角函数积分公式：- ∫sin^n(x) dx = (-1/(n-1)) * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-2)/(n-1) *∫sin^(n-2)(x) dx，其中n不等于1- ∫cos^n(x) dx = (1/(n-1)) * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-2)/(n-1) *∫cos^(n-2)(x) dx，其中n不等于14. 指数函数积分公式：- ∫a^x ln(a) dx = (1/(ln(a))^2) * a^x + C，其中a为常数且不等于15. 分部积分公式：- ∫u dv = uv - ∫v du6. 替换积分公式：- ∫f(g(x)) g'(x) dx = ∫f(u) du，其中u = g(x)这些是常见的积分公式，掌握它们可以在求解积分时事半功倍。
积分公式表,常用积分公式表之欧阳索引创编
积分公式表欧阳索引（2021.02.02）1、基本积分公式：(1) (2) (3) (4) (5)(6) (7) (8) (8)(10) (11) 2、积分定理：（1）()()x f dt t f x a ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f ba b a -==⎰3、积分办法()()b ax x f +=1；设：t b ax =+()()222x a x f -=；设：t a x sin =()22a x x f -=；设：t a x sec =()22x a x f +=；设：t a x tan = ()3分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，即是积分常数.公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当 时， ，积分后的函数仍是幂函数，并且幂次升高一次.特别当 时，有 .当 时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故 （ ， ）式右边的 是在分母，不在分子，应记清.当时，有.是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采取的公式不合.公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变更及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分.阐发：该不定积分应利用幂函数的积分公式.解：（为任意常数）例2 求不定积分.阐发：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.阐发：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.解：(为任意常数)例4 求不定积分.阐发：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.解：（为任意常数）例5 求不定积分.阐发：基本积分公式表中只有但我们知道有三角恒等式：解：（为任意常数）同理我们有：（为任意常数）例6（为任意常数）。
常见的积分公式表
常见的积分公式表∫kdx = kx + C （k为常数，C为任意常数）∫x^ndx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C （其中n不等于-1，C为任意常数）∫e^x dx = e^x + C∫(1/x) dx = ln，x， + C （其中ln表示自然对数）∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C∫sec^2(x) dx = tan(x) + C∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C∫(1/√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C∫(1/(1+x^2)) dx = arctan(x) + C∫(1/√(x^2-1)) dx = arccos(x) + C∫(e^x)(sin(x)) dx = (e^x)(sin(x) - cos(x)) + C∫(e^x)(cos(x)) dx = (e^x)(sin(x) + cos(x)) + C8.分部积分法公式：∫udv = uv - ∫vdu （其中u和v都是函数，C为任意常数）9.替换变量法公式：设u = g(x)，则有du = g'(x)dx，将dx表示成du后可进一步化简积分。
∫sinh(x)dx = cosh(x) + C∫cosh(x)dx = sinh(x) + C∫tanh(x)dx = ln(cosh(x)) + C∫sech(x)dx = arcsinh(tanh(x)) + C∫csch(x)dx = -arccosh(coth(x)) + C∫coth(x)d x = ln，sinh(x)， + C这只是一些常见的积分公式，还有很多其他的积分公式可以用于处理各种复杂的积分问题。
在进行具体的积分计算时，根据所遇到的具体函数形式，可以根据这些公式进行适当的组合和变形，以求得最终的积分结果。
147个积分表
（一）含有 ax + b 的积分( a ≠ 0 ) 1．
∫ ax + b ＝ a ln ax + b + C
∫
1 (ax + b) μ +1 + C （ μ ≠ −1 ） a ( μ + 1) (ax + b − b ln ax + b ) + C
dx
1
2． ( ax + b) μ dx ＝
80．
x−a x−a x−a dx ＝ ( x − b) + (b − a ) arcsin +C b− x b− x b− x dx x−a +C ＝ 2 arcsin b− x ( x − a )(b − x )
81．
( a < b)
82．
2x − a − b (b − a ) 2 x−a ( x − a )(b − x ) + arcsin +C ( x − a )(b − x )dx ＝ 4 4 b− x
+C
49．
∫
∫
x2 x2 − a2
x2
dx ＝
x 2 a2 x − a 2 + ln x + x 2 − a 2 + C 2 2
x x −a
2 2
50．
(x − a )
2
2 3
dx ＝ −
+ ln x + x 2 − a 2 + C
51．
∫x ∫x
2
dx x2 − a2 dx
＝
1 a arccos + C a x x2 − a2 +C a2 x
高等数学积分表推导全过程
１(一)含有ax+b 的积分1.C b ax ab ax d b ax a dx ++=++=+⎰⎰ln 1)(11b ax 2.()()C u a b ax b ax d a dx u uu +++=++=+⎰⎰)1()()(b ax 1b ax 3.C b ax b b ax ab ax b ax d a b dax b ax b ax a dx b ax b b ax a dx b ax ax a dx b ax x ++-+=++-++=+-+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰)ln (1)(111222 4.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-++=+--+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰b ax b ax d b b ax d b b ax d b ax a dx b ax b abx b ax a dx b ax x a a dx b ax x )()(2)()(12)(11232222222 C b ax b b ax b b ax a +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=ln )(2)(211223 5.()C xbax b x C a b b ax b C ax b ax b dx ax b ax b a b ax x dx ++-=++++-=+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+⎰⎰ln 1ln ln 1ln 1ln ln 111)(11 6.()()C x bab ax b a bx x dx b a b ax dx b a dx x b dx bx a b ax b a x b b ax x dx +-++-=-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=+⎰⎰⎰⎰⎰ln ln 11111222222222C xbax b a bx +++=ln 12 7.()()()()C b ax a b b ax a b ax dx a b b ax dx a dx b ax a b b ax a b ax xdx ++⋅++=+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=+⎰⎰⎰⎰1ln 11122222 C b ax b b ax a +⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=ln 12 8.()()()()()⎰⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=+-+-=+--+=+C b ax b b ax b ax a b ax dx a b b ax xdx a b a x dx b ax a b a bx b ax a dx b ax x 2322222222222ln 212219.()()()()C xbax b b ax b C b x b ax b b ax b x dx b b ax dx b a b ax b adx b ax x dx ++-+=+++-+=++-+-=+⎰⎰⎰⎰ln 11ln ln 1112222222 （二）含有b ax +的积分10.()()C b ax ab ax d b ax a dx b ax ++=++=+⎰⎰3321 11.()()()()()⎰⎰⎰+-=++-+=+-++=+3232522315232521b ax b ax aC b ax a b b ax a dx b ax a b dx b ax b ax a dx b ax x C + 12.()()()⋅--+=+-+-++=+⎰⎰⎰⎰b ax aa b b ax adx b ax a b dx b ax x a b dx b ax b ax adx b ax x23152[2722127322222()()()()C b ax b abx x a aC b ax ab b ax +++-=++-+32223332381215105232]２13.()()=++-+=++-+=+-++=+⎰⎰⎰⎰⎰C b ax ab b ax a b ax b ax d a b dx b ax a b ax dx a b dx b ax b ax a b ax xdx 232223211()C b ax b ax a++-=2322 14.()()()()+++-++=+-+-++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰b ax d b ax a bb ax d b ax ab ax dx a b b ax xdx a b dx b ax b ax a dx b ax x 3233222222121()C b ax b bx x a ab ax dx ab +++-=+⎰22232284315215.⎰+bax x dx 当b>0时，有C bb ax b b ax b b ax d b b ax b b ax b ax b a b ax x dx +++-+=+⎪⎭⎫⎝⎛++--++=+⎰⎰ln 1112 当b<0时，令ax+b=t,则dx=dt aa b t d1=- C b t b b t d b t b b t d b t b t d b t t a b t dta b ax x dx +--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=-=+⎰⎰⎰⎰⎰arctan 21121122122 C b bax b+-+-=arctan 2所以=+⎰b ax x dx ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+->+++-+0arctan 10ln 1b C b b ax bb C b b ax bb ax b 16.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+-=+-++=+-++=+b a dx x b bax b b ax abxb ax x dx b a dx bx b ax b ax b ax x dx b a dx bax bx b ax b ax x dx 2222222222222⎰⎰⎰+-+-=+-'-'-=+b ax x dxb a bx b ax b ax x dx b a dx v v u v u bax x dx 22217.⎰⎰⎰⎰⎰+++=+++=+++=+bax x dx b b ax b ax x dx b dx b ax a dx b ax x b b ax a dx x b ax 2)(18.⎰⎰⎰⎰⎰+⋅-+-=+++=+++=+bax x dxb a b bx b ax b b ax x dx a b ax x dx b dx b ax x b b ax x a dx x b ax 21)(222３⎰⎰+++-=++bax x dxa xb ax b ax x dx a2（三）含有x 2±a 2的积分 19.☆⎰+22a x dx设x=atant(22ππ<<-t )那么t a a x2222sec =+ tdt a dx 2sec = 于是C axa C dt a dt t a t a a x dx +=+==+⎰⎰⎰arctan 11sec sec 2222220.()⎰+na x dx22用分部积分法，n>1时有()⎰+na xdx22()()()()()()⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-++=+-++=---dx a x a a x n a x xdx a x x n a x xnn n n n 222122122222122112)1(2 即 ()()()n n n n I a I n a xxI 21122112--++=--- 于是()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++-=--1122232121n n nI n ax xn a I由此作递推公式并由 C a xa I +=arctan 11即可得n I ()()()()()⎰⎰--+--++-=+∴12221222221232121n n n a x dx a n n a x a n a x dx 21.☆C ax ax a dx a x a x a dx a x a x a x dx =+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-⋅+=-⎰⎰⎰ln 2111211122 (四)含有ax 2+b(a>0)的积分22.()⎰⎰⎰>+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+0arctan 11111222b C x b a ab x b a x badb a b x b a dx b b ax dx()()()0ln 2111212<+-+---=⎪⎭⎫⎝⎛-+----=---+=+⎰⎰⎰b C bx a b x a ab dx b x a b x a ab b x a b x a dx b ax dx23.⎰⎰++=+=+C b ax b ax dx b ax xdx 2222ln 2121 24.()()C b ax x b C b ax a b a x b dx bax b ax bx dx x b ax ++=++⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+⎰⎰22222ln 21ln 21ln 111 25.⎰⎰⎰⎰+-=+-++=+bax dxa b a x dx b ax a b dx b ax b ax a b ax dx x 22222211 26.()⎰⎰⎰⎰++--=+-=+C b ax dx b a bx b ax dx b a bx dx b ax x dx 222221４27.()()ln 2ln 221ln 21ln 2112222222222222323b a x b a bx C b ax a b a x b a bx dx x b a b ax b x a bx b ax x dx +--=++⋅+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=+⎰⎰ C bxx b ax b a C b ax +-+=++2222221ln 2 28.()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++-+'=+++-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++-=+b ax dxb dx b ax axu b ax u b b ax dx b dx b ax ax b b dx bax b b ax b ax b b ax dx22222222222222212212121212222ax b axu u b x u a -=-'+' b b u =' 1='u x u =()()()⎰⎰⎰⎰+++⋅=+++⋅-+'=+bax dxb b ax x b b ax dx b dx baxxax b ax x baxdx222222222121212 (五)含有)0(2>++a c bx ax的积分29.dx a ac b b a x a c bx ax dx 1222442-⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++ 当ac b 42<时，有 dx a ac b b a x a c bx ax dx 1222442-⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⎰+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=142244222b ac a b x a dx b ac a 令2422b ac a b x a t -⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 则 dx b ac a dt 242-=则原式=C b ac a b x a b ac C t b ac t dt a b ac b ac a +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+-⋅-⎰222222422arctan 42arctan 4112444当ac b 42>时有 dx acb a b x a b ac a c bx ax dx ⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=++42414422222 令acb a b x a t 4222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 则dx ac b a dt 422-= 则原式C acb b ax acb b ax ac b t dt a ac b ac b a +-++--+-=---=⎰4242ln 4112444222222综上所述()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-++--+-<+-+-=++⎰)4(4242ln 41442arctan 4222222222ac b C ac b b ax ac b b ax ac b ac b C b ac b ax b ac c bx ax dx５30.()()c bx ax ac bx ax dx a b dx c bx ax b ax a c bx ax a bdx dx c bx ax a b ax c bx ax xdx ++=++-+++=++-+++=++⎰⎰⎰⎰⎰222222ln 212221222 ⎰++-c bx ax dx a b 22 其中 ()[]()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+++=++'++='++c bx ax b ax c bx ax c bx ax c bx ax 22222ln （六）含有()022>+a a x 的积分 31. ☆⎰+22a x dx 由于t t 22sec tan1=+，不妨设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x ，那么t a a x sec 22=+，tdt a dx 2sec =于是⎰+22ax dx⎰⎰==tdt dt t a t a sec sec sec 2，利用例17的结果得C t t a x dx++=+⎰tan sec ln 22作图可知axt =tan ，aa x t 22sec +=，且0tan sec >+tt ，因此()C a x x C a a x a x a x dx+++=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=+⎰2212222ln ln 32.()⎰+322axdx设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x ，那么ta a x sec 22=+，tdta dx 2sec =，于是()C t adt t a dt t a t a axdx+-===+⎰⎰⎰sin 1sec 11sec sec 22332322axt =tan ，txa at cos sec 122=+=，22cos tan sin ax x t t t +=⋅= ，()C ax ax axdx++-=+⎰22232233.⎰+22a x xdx ，不妨设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x，那么t a a x sec 22=+，tdt a dx 2sec =，于是⎰+22a x xdx =⎰⎰++=+==C a x C t a tdt t a tdt a t a t a 222sec tan sec sec sec tan34.()⎰+322a xxdx设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x，那么()t a a x33322sec =+，tdt a dx 2sec =，于是()C ax C t a dt t t a tdt a t a t a a xxdx++-=+-===+⎰⎰⎰222333221cos 1sec tan 1sec sec tan35.-+=+++-++++=+-+=+⎰⎰⎰2222222222222222222)ln()ln(22a x x C a x x a a x x a a x x a x dxadx a x ax dx x()C a x x a +++222ln 2６36.()()()()C ax x a x x axdxa ax dx dx axa a x axdxx ++-++=+-+=+-+=+⎰⎰⎰⎰22223222223222223222ln37.⎰+22a x xdx 设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x，那么()t a a x33322sec =+，tdt a dx 2sec =，于是C x aa x a C t t a t dt a t a t a tdt a ax x dx+-+=+-==⋅=+⎰⎰⎰22222ln 1cot csc ln 1sin 1tan sec sec 38.⎰+222a x xdx设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x，那么()t a a x33322sec =+，tdt a dx 2sec =，于是C x a x a C t a dt t t a t a t a tdt a a x xdx++-=+-==⋅=+⎰⎰⎰22222222222sin 1sin cos 1sec tan sec 39.☆⎰+dx a x 22 设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x ，那么()t a a x33322sec =+，tdt a dx 2sec =，于是-⋅=⋅-⋅===⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰t t a tdt t a t t a t td a tdt a tdt a t a dx a x tan sec tan sec tan sec tan sec sec sec sec 2222232222()⎰⎰+++-⋅=-1232222tan sec ln sec tan sec 1sec sec C t t a tdt a t t adt t t a()C a x x a a x x C t t t t a dx a x +++++=++++=+∴⎰22222222ln 22tan sec ln tan sec 240.()⎰+dx a x322设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x ，那么()t a a x33322sec =+，tdt a dx 2sec =，于是()⎰⎰=+tdt a dx a x54322sec ⎰⎰⎰⋅-==tdt t t t t t t td tdt tan sec sec tan 3tan sec tan sec sec 2335⎰⎰⎰+-=-=tdt tdt t t tdt t t t 353233sec 3sec 3tan sec tan sec 3tan sec()13tan sec ln tan sec 21sec C t t t t tdt ++++=⎰()1535tan sec ln tan sec 23sec 3tan sec sec C t t t t tdt t t tdt +++++-=∴⎰⎰()()()axa a xa C t t t t a t t a tdt a dx a x ⋅+=++++==+∴⎰⎰33224143454224tan sec ln tan sec 83tan sec 4sec()()C a x x a a x a x x C a a x x a x a x a ++++++=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++22422221222224ln 83528ln 83 41.dx a x x ⎰+22 设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x ，那么()t a a x33322sec =+，tdt a dx 2sec =，于是７()C a x C t a t t d a tdt t a tdt a t a t a dx a x x ++=+=-==⋅⋅=+⎰⎰⎰⎰32233433322231cos 3cos cos sec tan sec sec tan42.()[]()()22222223222222222222528a x a x x dx a x a dx a xdx a x a a x a x dx a x x ++=+-+=+-++=+⎰⎰⎰⎰()()()()C a x x a a x a x x C a x x a a x x a a x x a +++-++=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+++2242222222222224ln 828ln 22ln 83 43.dx x a x ⎰+22 设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x ，那么()t a a x33322sec =+，tdt a dx 2sec =，于是ln cot csc ln cos sin cos sin cos sin sec tan sec 2222222a x a C t t a tat dt a dt t t a t t dt a tdt a t a t a dx x a x ++=+-+=+===+⎰⎰⎰⎰⎰C xaa x +-+2244.dx x a x ⎰+222 设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππt t a x ，那么()t a a x33322sec =+，tdt a dx 2sec =，于是C tt t t t d tdt t t dt tdt t tdt a t a t a dx x a x +-+=+====+⎰⎰⎰⎰⎰⎰sin 1tan sec ln sin sin sec cos sin cot sec sec tan sec 2223222222 ()C xa x a x x ++-++=2222ln （七）含有()022>-a a x 的积分 45.☆⎰-22a x dx当a x >时，设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x，那么t a t a a x tan 1sec 222=-=-，tdt t a dx tan sec =，于是()()C a x x C a ax a x C t t tdt dt t a t t a a x dx+-+=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=++===-⎰⎰⎰2212222ln ln tan sec ln sec tan tan sec 当a x -<时，令u x -=，那么a u >，由上段结果有()()221222222ln ln a x x C a u u au du ax dx -+--==+-+-=--=-⎰⎰()C a x x C a a x x C xa x C +---=+---=+--=+2212221221ln ln 1ln 综上所述，C a x x a x dx +-+=-⎰2222ln46.()⎰-322a xdx，设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x，则()t a a x33322tan =-，tdt t a dx tan sec =，于是８()C ax a xC t a dt t t a dt t t a dt t a t t a a xdx+--=+-====-⎰⎰⎰⎰2222222233322sin 1sin cos 1tan sec 1tan tan sec 47.⎰-22a x xdx ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =，于是⎰⎰⎰+-=+===-C a x C t a tdt a tdt t a ta ta a x xdx 22222tan sec tan sec tan sec48.()⎰-322a xxdx,设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =，于是()⎰⎰⎰+--=+-===-C ax C t a dt t a tdt t a t a t a a xxdx222333221cot 1sin 11tan sec tan sec49.C a x x a a x x a a x x a x dxa dx ax a x ax dx x +-++-+--=-+--=-⎰⎰⎰2222222222222222222ln ln 212 C a x x a a x x +-++-=222222ln 2250.()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-+=-+-=-+--=-⎰⎰⎰⎰⎰22222232222232223222232221ln a x xa a a x x axdxa ax dx axdxa dx axa x axdxxC ax x a x x C +---+=+2222ln51.⎰-22a x x dx ,设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =，于是，当0>x 时有C xaC a t dt t t a t t a a x xdx +=+==-⎰⎰arccos tan sec tan sec 22当0<x 时有，C x aa a x xdx +-=-⎰arccos 122，综上所述，有C x a aa x x dx +=-⎰arccos 122 52.⎰-222a x xdx，设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =，于是C xa a x C t a t dt a dt t a t a t t a a x xdx+-=+==⋅=-⎰⎰⎰2222222222sin 1sec 1tan sec tan sec 53.☆dx a x ⎰-22,设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x ，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =，于是９-++=-==⋅=-⎰⎰⎰⎰t t a t t a dt t t a tdt t a tdt t a t a dx a x tan sec ln 2tan sec 2cos cos 1tan sec tan sec tan 223222222()C a x x a a x x C t t a +-+--=++222222ln 22tan sec ln 54.()dx a x⎰-322,设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x ，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =，于是()⎰⎰⎰==-tdt t a tdt t ta a dx a xsec tan tan sec tan 4433322()⎰⎰⎰⎰⎰+-=-=tdt tdt tdt tdt t dt t t sec sec 2sec sec 1sec sec tan 35224()⎰+++++=135tan sec ln tan sec 83tan sec 41sec C t t t t t t tdt ()23tan sec ln tan sec 21sec C t t t t tdt +++=⎰;⎰++=3tan sec ln sec C t t tdt()+⋅-++++=+-=∴⎰⎰⎰⎰t t t t t t t t tdt tdt tdt tdt t tan (sec 212tan sec ln tan sec 83tan sec 41sec sec 2sec sec tan 3354aa x a x a a x a x a a x a x C C C t t t t 22222233321ln 8385412tan sec ln )tan sec ln -++-⋅⋅--⋅⋅=+-++++3212C C C +-+()()C a x x a a x a x x C a x x a a x x a a x x dx a x +-++--=+-++---=-⎰2242222224222223322ln 83528ln 8385455.dx a x x ⎰-22,设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x ，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =，于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-==⋅⋅=-t dt a t dt a dt t t a tdt t a tdt t a t a t a dx a x x 234342322322cos cos cos cos 1sec tan tan sec tan sec()()C a xC t a t a t d t a t a t td a +-=+=-+=-=⎰⎰3223332332331tan 3tan tan tan 1tan tan sec56.()()222224222222222222222ln 83528a x x a a x x a a x a x x dx a x adx a x ax dx a x x-⋅+-++--=-+--=-⎰⎰⎰()C a x x a a x a x xC a x x a +-+---=+-+-2242222224ln 828ln 257.dx x a x ⎰-22, 设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x ，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =，于是当0>x 时，有()C xaa x C t t a dt t a tdt a tdt t a t a t a dx x a x +--=+-=-===-⎰⎰⎰⎰arccos tan 1sec tan tan sec sec tan 222222１０当0<x 时，有C x a a x dx x a x +----=-⎰arccos )(2222；综上所述，C xa a x dx x a x +--=-⎰arccos 2222 58.dx x a x ⎰-222，设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20sec πt t a x ，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =，有⎰⎰⎰⎰===-t td dt tttdt t a t a t a dx x a x sin tan sec tan tan sec sec tan 2222222，令t u sin =，则 C tt t C u u u u du u du u du u du du u u t td +-++-=+-++-=++-+-=-+-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰sin 1sin 1ln 21sin 11ln 21121121111sin tan 2222()C a x x xa x +-++--=2222ln （八）含有()022>-a a x 的积分59.☆C a xa x dxa x a dx+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎰⎰arcsin 11222 60.()⎰-322x adx,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x，则()t a x a33322cos =-，tdt a dx cos =，于是()⎰⎰⎰+-=+===-C xa a xC t a t dt dt t a t a x adx2222233322tan 1cos cos cos 61. ☆⎰-22x a dx，令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x，则t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =，于是⎰⎰⎰+--=-=-==-C x a t a tdt a tdt a ta ta x a dx 2222cos sin cos cos sin62.()⎰-322x axdx,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x，则()t a x a33322cos =-，tdt a dx cos =，于是()⎰⎰⎰+-=+===-C xa C t a dt t t a tdt a t a t a x axdx222333221cos 1cos sin 1cos cos sin63.⎰-222x a dx x ,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x，则t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =，于是C x a x a x a C t a t a tdt a tdt a t a t a xa dxx +--=+-===-⎰⎰⎰2222222222222arcsin 22sin 421sin cos cos sin64.()⎰-3222x adxx ,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x，则()t a x a33322cos =-，tdt a dx cos =，于是()C a xxa x C t t dt t dt tdt a t a t a x adxx +--=+-=-==-⎰⎰⎰⎰arcsin tan cos cos cos sin 22233223222 65.⎰-22x a xdx ,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x，则t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =，于是C x x a a a C x x a a x a C t t a dt t t a t a xa x dx+--=+--=+-==-⎰⎰2222222ln 1ln 1cot csc ln 1cos sin cos 66.⎰-222x a xdx,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x，则t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =，于是C x a x a C t a t dt a t ta a tdt a x a xdx+--=+-===-⎰⎰⎰22222222222cot 1sin 1cos sin cos 67.☆⎰-dx x a 22,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x ，则t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =，于是C x a xa x a C t a t a dt t a tdt a tdt a t a dx x a +-+=++=+==⋅=-⎰⎰⎰⎰22222222222arcsin 22sin 4222cos 1cos cos cos68.()dx x a⎰-322,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x ，则()t a x a33322cos =-，tdt a dx cos =，于是()()=++=+==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰dt t a tdt a t a dt t a tdt a tdt a t a dx xa2cos 42cos 2442cos 1cos cos cos 2444244433322()=+--+-+=++++C x a x a x x a x a a x a C t a t a t a a x a 822arcsin 834sin 3282sin 4arcsin 4222222244444()C axa x a x a x ++--arcsin 832584222269.dx x a x ⎰-22,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x ，则t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =，于是 ()C x aC t a t td a tdt a t a t a dx x a x +--=+-=-=⋅⋅=-⎰⎰⎰32233232231cos 3cos cos cos cos sin70.dx x a x ⎰-222,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x ，则t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =，于是()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-==⋅⋅=-tdt a tdt a dt t t a tdt t a tdt a t a t a dx x a x 442422422422222sin sin sin 1sin cos sin cos cos sin()⎰⎰⎰⎰+-=-+--=---=dt t a t a tdt a t a t a t a t a dt t a dt t a 24cos 1442cos 42sin 4412sin 42142cos 122cos 144244444244()C x a x a xa x a C t a t a +---=+-=222244428arcsin 84sin 32871.dx x x a ⎰-22,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x ，则t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =，于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰=++-=-=-===-C t a t t a tdt a t dt a dt t t a tdt t a tdt a t a t a dx x x a cos cot csc ln sin sin sin sin 1cos cot cos sin cos 222 C x a xx a a a C a x a a x x a x a a +-+--=+-+--22222222ln ln 72.dx x x a ⎰-222,令⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22sin ππt t a x ，则t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =，于是C ax x x a C t dt t dt dt t t tdt tdt a t a t a dx x x a +---=+--=-=-==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin cot sin sin sin 1cot cos sin cos 22222222222 （九）含有()02>++±a c bx ax 的积分73.⎰⎰-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++2222421a b a c a b x dxacbx ax dx，令t abx =+2，则dt dx = 当042>-ac b 时，则令()044222>=-u u a ac b ，则⎰⎰⎰-=-+⎪⎭⎫⎝⎛+=++2222221421u t dt a a b a c a b x dx a c bx ax dx再令r u tsec =,rdr r u dt sec tan =,r u u t tan 22=-,于是⎰⎰⎰++===-122tan sec ln 1sec 1tan sec tan 11C r r ardr a dr r u r r u a u t dt aac b b ax a ac b a bx utr 42442sec 222-+=-+== ; acb c bx ax a u u t r r r 412cos cos 1tan 22222-++=-=-=C c bx ax a b ax a C acb c bx ax a b ax a c bx ax dx+++++=+-++++=++⎰2122222ln 1422ln 1当042<-ac b时，则令u a b ac =-242，a b x t 2+=，⎰⎰⎰+=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++2222221421u t dta ab ac a b x dx a c bx ax dx令r u t tan =，rdr u dt 2sec =⎰⎰⎰++===+1222tan sec ln 1sec 1sec sec 11C r r a rdr a r u rdr u a ut dt aac x a b x a bac a b ac a b x a b ac u t u r ++-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=22222222212444244sec 1；2242242tan b ac b ax a b ac a bx u t r -+=⋅-+==C c bx ax a b ax a C b ac b ax b ac c bx ax a a c bx ax dx+++++=+-++-++=++∴⎰21222222ln 14242ln 1综上所述，C c bx ax a b ax acbx ax dx +++++=++⎰2222ln 174.dx a b ac a b x a dx c bx ax 2222442-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⎰⎰ 当042>-ac b 时，令a b x t 2+=，u a ac b =-242 ⎰⎰-=++dt u t a dx c bx ax 222 ，再令r u t sec =，rdr r u dt tan sec =()C r r u a r r r r u a rdr r u a dt u t a +⋅-++⋅=⋅=-⎰⎰tan sec ln tan sec ln tan sec 21sec tan 222222 --⋅++⋅-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++⋅-⋅=acb c bx ax a acb b ax a ac b aC r r u a r r u a 412422421tan sec ln 21tan sec 2122222122C c bx ax a b ax ab ac c bx ax a b ax C ac b c bx ax a b ax a ac b a +++++-++++=+-++++-23221222222ln 8442422ln 442 当042<-ac b 时，令a bx t 2+=，u ab ac =-242 ；⎰⎰+=++dt u t a dx c bx ax 222；再令r u t tan =，rdru dt2sec =，于是()⨯-⋅++-⋅=++⋅==++⎰⎰2222232242442tan sec ln tan sec 21sec bac a a c x a b x a b ac a r r r r u a rdr u a dx c bx axln 84424242ln 4421423221222222ab ac c bx ax a b ax C b ac b ax b ac c bx ax a a b ac a b ac bax -++++=+-++-++-⋅+-+C c bx ax a b ax +++++222综上所述，⎰+++++-++++=++C c bx ax a b ax a b ac c bx ax a b ax dx c bx ax 2322222ln 844275.⎰⎰-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++2222442a b ac a b x a xdxcbx ax xdx ；令a bx t 2+=，当0>∆时，令2244a b ac u -=122222222222ln 22121C u t t a a b a u t u t a dt a b dt u t t a dt u t a bt a cbx ax xdx +-+--=---=--=++⎰⎰⎰⎰C c bx ax a b ax aa b a c bx ax C a c x a b x a b x a a b a c x a b x a +++++-++=+++++-++=2212222ln 22ln 21当0<∆时，令abac u 242-=，于是⎰⎰⎰-+=+-=++aa b u t a tdt dt u t a a bt cbx ax xdx 222222212212222222ln 2ln 21C a c x a b x a b x a a b a a c x a b x C u t t a a b u t a u t dt +++++-++=+++-+=+⎰C c bx ax b ax aa a c bx ax +++++-++=222ln 21综上所述，C c bx ax b ax a a ba c bx ax c bx ax xdx+++++-++=++⎰2222ln 276.⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛---=-+22222441a b x a ac b dxa ax bx c dx；令a bx t 2-=，2244a b ac u +=，于是C acb b ax a C t u a t u dt aax bx c dx ++-=+-=-=-+⎰⎰42arcsin 1arcsin 11222277.⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛--+=-+2222244a b x a ac b a dx ax bx c ；令t a bx =-2；2244a ac b u +=；于是+⋅-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=-=-+⎰⎰ax x a b a c a b x C u t a u t u a tdt t u a dx ax bx c 1221arcsin 222222222C acb b ax a a ac b ax bx c a b ax C ac b b ax a a ac b ++-++-+-=++-+42arcsin 844242arcsin 842222278.⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛--+=-+22222441a b x a ac b xdxa ax bx c xdx；令a bx t 2-=；2244a b ac u +=；于是C acb b ax a a b t u a dt t u a a b dt t u t a dt t u a bt a ax bx c xdx ++-+--=-+-=-+=-+⎰⎰⎰⎰42arcsin 21121212222222222C acb b ax a a b x bxc a C ac b b ax a a b x x a b a c a++-+-+-=++-+-+-=42arcsin 2142arcsin 212222（十）含有bx ax --±或()()x b a x --的积分79.⎰--dx bx a x ；令b x ax t --=；则1--=t abt x；()dt t ba dx 21--=；于是()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰--+--=--=--=--=--t d t b a t t a b t d t a b dt t t b a dt t b a t dx b x a x 111111122 ()()()()()11121121111121--=----++-+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+--=⎰⎰⎰t ta b t t d a b t t d a b t t a b t d t t b a t t a b ()()()()()ax a b b x ax b x C b x a x a b a b b x a x b x a x a b C t t a b --+---=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---+--⋅---=+-+-+ln(ln 211ln 2121()()()C b x a x a b bx ax b x C b x +-+--+---=+-+ln )180.dx x b a x ⎰--；令t xb a x =--；则t abt x ++=1；()dt t ab dx 21+-=；于是()()()()()()()C t b a t tb a t t d b a t t b a t d t b a dt t t a b dx x b a x +--+-=+--+-=+-=+-=--⎰⎰⎰⎰arcsin 1111112 ()()C xb ax a b x b a x x b +---+---=arctan81.()()⎰--x b a x dx;令t a x =-；则t a x +=；dt dx =；于是()()()()⎰⎰⎰-+-=--=--ta b t dtt a b t dt x b a x dx 2()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=2224b a t ba dt；令02>=-u a b ；2ba t r -+=则()C ab ba x r u drb a t ba dt +---=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--⎰⎰2arcsin24222282.()()⎰--dx x b a x ；令t a x =-；则t a x +=；dt dx =；于是()()()⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+--=--dt b a t b a dx x b a x 2224令02>=-u a b ；2b a t r -+=；则()()42arcsin 2222222ba x C u r u r u r dr r u dx xb a x --=++-=-=--⎰⎰()()()C ab ba x ab dx x b a x +----+--2arcsin 82(十一)含有三角函数的积分 83. ☆⎰+-=C x xdx cos sin 84. ☆⎰+=C x xdx sin cos 85. ☆⎰⎰+-==C x dx xxxdx cos ln cos sin tan 86. ☆⎰⎰+==C x dx xxxdx sin ln sin cos cot 87. ☆C x x x d x x x d x x x d x dx xdx +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰⎰⎰⎰42tan ln 42tan 42tan 42cos 42tan 422cos 2sin 22cos sec 2πππππππππx x x x x x x x x cot csc sin cos 1sin 2sin 22cos 2sin2tan 2-=-=== ; =+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰C x x xdx 2cot 2csc ln sec ππ C xx ++tan sec ln88.☆C x x C x x xd x x dxx x dx x dx xdx +-=+=====⎰⎰⎰⎰⎰cot csc ln 2tan ln 2tan 2tan2cos 2tan 2cos 2sin 2sin csc 289.☆C x xdx +=⎰tan sec 290.☆C x xdx +-=⎰cot csc 291.☆⎰+=Cx xdx x sec tan sec 92. ☆⎰+-=C x xdx x csc cot csc93.C x x dx x xdx +-=-=⎰⎰2sin 41222cos 1sin 294. 94.C x x dx x xdx ++=+=⎰⎰2sin 41222cos 1cos 295.()⎰⎰⎰⎰------+-=+-=-=xdx x n x x xdx xd x x x xd xdx n n n n n n221111cos sin 1sin cos sin cos sin cos cos sin sin()()()()⎰⎰⎰---+-=--+-=----xdx n xdx n x x xdx x n x x n n n n n sin 1sin 1sin cos sin sin 11sincos 21221⎰⎰---+-=∴xdx n n x x n xdx n n n 21sin 1sin cos 1sin 96.()+=-+=-==------⎰⎰⎰⎰x x xdx x n x x x xd x x x xd xdx n n n n n n n 1221111cos sin cos sin 1cos sin cos sin cos sin sin cos cos()()()()⎰⎰⎰---+=-----xdx n xdx n x x xdx x n n n n n cos 1cos 1cos sin cos cos 112122⎰⎰---+=∴xdx n n x x n xdx n n n 21cos 1cos sin 1cos 97.⎰⎰⎰⎰-------++===xdx nn x x n xdx n xdx x dx n n n n n 211sin 1cos sin 1sin 1sin sin ⎰⎰--+-=--x dx n n x n x dx n n n sin 21sin cos 21sin 12 ⎰⎰----+--=∴xdxn n x x n x dx n n n 21sin 12sin cos 11sin 98.()⎰⎰⎰⎰⎰=+-=-===-----------xdx x n x x x xd x x x xd xdx xdx n n n n n n n 221111sin cos 1sin cos cos sin sin cos sin cos cos cos ()()⎰⎰----+++-xdx n xdx n x x n n n cos 1cos 1sin cos 21⎰⎰----++-=∴=xdx nn x x n x dx n n n 21cos 1sin cos 1cos 将n 换成2-n 有⎰⎰--+--=--x dx n n x x n x dx n n n cos 21cos sin 21cos 12 ⎰⎰----+--=∴xdxn n x x n x dx n n n 21cos 21cos sin 11cos 99.⎰⎰⎰⎰-+-++--+-+=+==x xd n x x n x xd n x xd x xdx x m n m n n m n m n m 1111111cos sin 11cos sin 11sin cos 11sin sin cos sin cos ()⎰⎰-+-++=+-++=-+--++-dx x x x n m x x n xdx x n m x x n m n n m m n n m 22112211cos 1cos sin 11sin cos 11cos sin 11sin cos 11⎰⎰+--+-++=-+-xdx x n m xdx x m m x x n n n m n n m cos sin 11cos sin 11sin cos 11211 ⎰⎰-+-+-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∴xdx x n m x x n xdx x n m nm n m n m sin cos 11sin cos 11sin cos 111211 ⎰⎰-+-+-++=∴xdx x nm m x x m xdx x n m n m nm sin cos 1sin cos 11sin cos 211 又有⎰⎰⎰⎰++-+-+++-=+-=-=x m x x m x xd m x xd x xdx x m m n m n n m n m 11111cos 11cos sin 11cos sin 11cos sin cos sin cos ()⎰⎰-+-++-=+-++-=-+--++--x x x m n x x m xdx x m n x x m x d n m m n n m m n n 221122111sin 1sin cos 11cos sin 11sin cos 11cos sin 11sin ⎰⎰+--+-++-=-+-xdx x m n xdx x m n x x m dx nm n m m n sin cos 11sin cos 11cos sin 11211⨯+-++-=+-++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∴+--+-⎰⎰11cos sin 1sin cos 11cos sin 11sin cos 11111211m n x x n m xdx x m n x x m xdx x m n m n n m m n n m⎰-xdx x n m 2sin cos；因此⎰⎰⎰--+-+-+-++-=+-++=xdx x n m n x x n m xdx x n m m x x n m xdx x nm n m n m n m nm sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 211211 100.()()[]()()()()⎰⎰+++----=++-=C x b a b a x b a b a dx x b a x b a bxdx ax cos 21cos 21sin sin 21cos sin。
积分公式大全
积分公式大全预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制常用积分公式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+?＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-）3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++456．2d ()xx ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +?＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b+-+-++ 9．2d ()xx ax b +?＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分10．x C +11．x ?＝22(3215ax b C a -12．x x ?＝22232(15128105a x abx b C a-+13．x＝22(23ax b C a -14．2x ?＝22232(34815a x abx b C a -+ 15．＝(0)(0)C b C b ?+><16．2a bx b -- 17．d x x ?＝b 18．2d x x ?＝2a + （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan xC a a+ 20．22d ()n xx a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22d xx a -?=1ln 2x a C a x a -++（四）含有2(0)ax b a +>的积分2223．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++24．22d x x ax b +?＝2d x b xa a axb -+?25．2d ()x x ax b +?＝221ln 2x C b ax b++26．22d ()x x ax b +?＝21d a xbx b ax b--+? 27．32d ()x x ax b +?＝2222 1ln 22ax b a C b x bx+-+ 28．22d ()x ax b +?＝221d 2()2x x b ax b b ax b +++?（五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++?＝22(4)(4)C b ac Cb ac +<+>30．2d x x ax bx c ++?＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c ++-++?(0)a >的积分 31．＝1arshxC a+＝ln(x C ++ 32．C +33C34．x＝C +35．2x 2ln(2a x C ++ 36．2x ＝ln(x C +++ 37．1ln aC a x -+38．C +39．x 2ln(2a x C +40．x ＝2243(25ln(88 x x a a x C +++ 41．x ?C42．xx ?＝422(2ln(88x a x a x C +-++ 43．x ?a C +44．＝ln(x C +++ (0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln x C ++ 46．C +47．x C48．x ＝C +49．2x 2ln 2a x C +++ 50．2x ＝ln x C +++ 51．1arccos aC a x+52．＝2C a x + 53．x 2ln 2a x C ++54．x ＝2243(25ln 88 x x a a x C -++55．x ?C56．xx ?＝422(2ln 88x a x a x C -++57．x ?arccos a a C x -+58．x ?＝ln x C +++(0)a >的积分 59．＝arcsinxC a+ 60．C +61．x ＝C +62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a + 64．2x arcsinxC a-+65．1C a +＝2C a x -+67．x 2arcsin 2a x C a+68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a -+69．x ?＝C +70．xx ?＝422(2arcsin 88x a x x a C a-+71．x ?ln a a C x ++72．x ?＝arcsin xC a-+(0)a >的积分73．2ax b C +++74．x22ax b C ++++75．x2ax b C -+++＝C +77．x 2C +78．x ＝C +79．x ＝((x b b a C --+80．x ＝((x b b a C -+-81．＝C ()a b <82．x 2()arcsin 4b a C -+ ()a b < （十一）含有三角函数的积分83．sin d x x ?＝cos x C -+84．cos d x x ?＝sin x C +85．tan d x x ?＝ln cos x C -+86．cot d x x ?＝ln sin x C + 87．sec d x x ?＝ln tan( )42xC π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ?＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ?＝tan x C +csc d x x ?＝cot x C -+91．sec tan d x x x ?＝sec x C +92．csc cot d x x x ?＝csc x C -+93．2sin d x x ?＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ?＝1sin 224x x C ++95．sin d n x x ?＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+? 96．cos d n x x ?＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n---+? 97．d sin n x x ?＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x----?+--? 98．d cos n x x ?＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---?+--? 99．cos sin d m nx x x ?＝11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n -+--+++? ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n+----+++?100．sin cos d ax bx x ?＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ?＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ?＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin xa b x +?tanxa b C ++22()a b >104．d sin x a b x +?C+22()a b <105．d cos xa b x +?)2x C +22()a b >106．d cos x a b x +?C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +?＝1arctan(tan )b x C ab a + 108．2222d cos sin xa xb x -?＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++- 109．sin d x ax x ?＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ?＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++ 111．cos d x ax x ?＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ?＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ?＝arcsinxx C a++114．arcsin d xx x a ?＝22()arcsin 24x a x C a -115．2arcsin d x x x a＝3221arcsin (239x x x a C a ++116．arccos d xx a ?＝arccosxx C a117．arccos d xx x a ?＝22()arccos 24x a x C a --118．2arccos d x x x a＝3221arccos (239x x x a C a -+119．arctand x x a ?＝22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a ?＝221()arctan 22x a a x x C a +-+121．2arctan d xx x a＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++ （十三）含有指数函数的积分122．d xa x ?＝1ln xa C a + 123．e d axx ?＝1e ax C a +124．e d ax x x ?＝21(1)e axax C a-+125．e d n axx x ?＝11e e d n ax n ax n x x x a a--?126．d xxa x ?＝21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127．d nxx a x ?＝11d ln ln n x n x nx a x a x a a --? 128．e sin d ax bx x ?＝221e (sin cos )axa bxb bx C a b-++129．e cos d axbx x ?＝221e (sin cos )axb bx a bx C a b +++ 130．e sin d ax nbx x ?＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n --++?131．e cos d ax nbx x ?＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e cos d axn n n b bx x a b n--++? （十四）含有对数函数的积分 132．ln d x x ? ＝ln x x x C -+133．d ln xx x ?＝ln ln x C +134．ln d nx x x ?＝111(ln )11n x x C n n +-+++135．(ln )d nx x ?＝1(ln )(ln )d n nx x n x x --?136．(ln )d m nx x x ?＝111(ln )(ln )d 11m n m n nx x x x x m m +--++? （十五）含有双曲函数的积分 137．sh d x x ?＝ch x C + 138．ch d x x ?＝sh x C +139．th d x x ?＝lnch x C +140．2sh d x x ?＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ?＝1sh224x x C ++（十六）定积分 142．cos d nx x π-π?＝sin d nx x π-π＝0143．cos sin d mx nx x π-π＝0144．cos cos d mx nx x π-π?＝0,,m nm n ≠??π=?145．sin sin d mx nx x π-π＝0,,m n m n≠??π=? 146．sin sin d mx nx x π＝0cos cos d mx nx x π＝0,,2m n m n ≠??π=??147． n I ＝20sin d nx x π?＝20cos d n x x πn I ＝21n n I n-- 1342253n n n I n n --=-L （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n --π=-L （n 为正偶数），0I ＝2π（此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除，文档可自行编辑修改内容，供参考，感谢您的配合和支持）。
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目 录（一）含有b ax +的积分（1~9）·······················································1 （二）含有bax +的积分（10~18） (5)（三）含有22a x ±的积分（19~21） (9)（四）含有)0( 2>+a b ax 的积分（22~28） (11)（五）含有)0( 2>++a c bx ax 的积分（29~30）········································14 （六）含有)0( 22>+a a x 的积分（31~44）.........................................15 （七）含有)0( 22>-a a x 的积分（45~58）.........................................24 （八）含有)0( 22>-a x a 的积分（59~72）.........................................37 （九）含有)0( 2>++±a c bx a 的积分（73~78） (48)（十）含有 或))((x b a x --的积分（79~82）...........................51 （十一）含有三角函数的积分（83~112）...........................................55 （十二）含有反三角函数的积分（其中0>a )（113~121）.......................68 （十三）含有指数函数的积分（122~131）..........................................73 （十四）含有对数函数的积分（132~136）..........................................78 （十五）含有双曲函数的积分（137~141）..........................................80 （十六）定积分（142~147） (81)附录：常数和基本初等函数导数公式 (85)bx a x --±- 1 -（一）含有b ax +的积分（1~9）Cb ax ln ab ax dx b ax t Ct ln adtta b ax dx dtadx ,adx dt t t b ax abx x b ax )x (f C b ax ln ab ax dx .++⋅=++=+⋅==+∴=∴=≠=+-≠+=++⋅=+⎰⎰⎰⎰1111 1)0( }|{ 1 11代入上式得：将，则令的定义域为被积函数证明：C b ax μa dx b ax b ax t C t μa dtt a dx b ax dtadx ,adx dt t b ax μC b ax μa dx b ax .μμμμμμμ++⋅+=++=+⋅+==+∴=∴==+-≠++⋅+=++++⎰⎰⎰⎰111)()1( 1)()1( 11)( 1, 1)( )()1( 1)( 2代入上式得：将则令证明：()()()()()C b ax ln b b ax adx b ax x b ax t Ct ln b t aCt ln a ba t dtt badt a dtt b 1a dt a ·t b t a dx b ax x dtadx ,b t a x ,t t b ax abx |x b ax x )x (f C b ax ln b b ax adx b ax x .22222222++⋅-+=++=+⋅-=+⋅-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=+∴=-=≠=+-≠+=++⋅-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1111 11111 )0( }{ 13代入上式得：将则令的定义域为被积函数证明：- 2 -Cb ax ln b b ax b b ax a dx b ax x C b ax ln ab b ax d b ax a b dx b ax b a C b ax ln ab x a b b ax d b ax ab dx a b ax d b ax bb ax a b dx b ax abx a C b ax a dx b ax a dxbax b a dx b ax abx a dx b ax a dxb ax b abx b ax adx b ax x Cb ax ln b b ax b b ax a dx b ax x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++-+=+++=++=+++-=++-=+-+=+++=++-+-+=+--+=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ )( 2)(211 )(11 22 )(122 )(221 )(21)(1 121)(1 )2)(1 )( 2)(211 .4223233232222323323321232222222222232由以上各式整理得：证明：Cxbax ln b C b ax xln b Cb ax ln b x ln b )b ax (d b ax b dx x b dxbax b a dx x b dx )b ax (b a bx b ax x dx b abAb B Aa bx a x b ax b ax Bx b ax x abx |x b ax x )x (f Cxbax ln b b ax x dx .++⋅-=++⋅=++⋅-⋅=++-=+-=+⋅-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧==+∴++=++=++=+⋅-≠+⋅=++⋅-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1 1 11 1111 111]1[)( B 1A 10 A B)(A B )A(1 , A )(1 }{ )(1 1)( 5于是有则设的定义域为被积函数证明：b log b log a a -=-1 提示：- 3 -C x b ax ln b a bx C b ax ln b a bx x ln b a b ax d b ax b a dx x b dx x b a dx b ax b a dx x b dx x b a b ax x dx b a C b b a Bb aB Ab C Aa b aB Ab x a x Cx b ax b ax x b ax C x B x b ax x a bx x b ax x x f C x b ax ln b a bx b ax x dx ++⋅+-=++⋅+-⋅-=++++-=+++-=+⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=+∴=++++++++=+++=+⋅-≠+⋅=++⋅+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1 1 )(1111 1111)( 1B A 100 1B )( C)(A )B()( A 1 , A )(1 }|{ )(1)( 1)( .6222222222222222222222于是有即则设的定义域为被积函数证明：C b ax b b ax ln a Cb ax a bb ax ln a b ax d b ax a b b ax d b ax a dx b ax a b dx b ax a dx b ax x a bB aB Ab Aa x B Ab a x b ax x b ax Bb ax A b ax x a b x |x b ax x )x (f C b ax b b ax ln a dx b ax x .+⎪⎭⎫⎝⎛+++=++++⋅=++-++=+-+=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=∴=++⋅++=+++=+-≠+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1 )( 1 )( )(1)(11 )(111)( 1A 01 )(AB )A( ,)( )( }{ )( 1)( 72222222222222于是有即则设的定义域为被积函数证明：- 4 -()C b ax b b ax ln b b ax a dx b ax x b ax t C t b t ln b t aC t ln a b t a t a b dt t a b dt a dt t a b dt t a bt t b dx b ax x t a btt b t a t b b ax x dt adx ,b t a x ,t t b ax a b x |x b ax x )x (f C b ax b b ax ln b b ax a dx b ax x .+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅-+=++=+-⋅-=+⋅-⋅+-=-+=-+=+∴-+=-=+∴=-=≠=+-≠+=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+⋅-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰23222333323323223222222222222222232221)( )2(121 12112)( 2)()( 11 )0( }{)( 21)( 8代入上式得：将则令的定义域为被积函数证明：C|xbax |ln ·b b ax b Cb ax ·b b||ax ln b|x|ln b dx b ax b a dx b ax ba dx xb b ax x dx b a D b a B b A 1Ab 0D Bb Aab 20Ba Aa Ab D Bb Aab 2x Ba Aa x Dx Bbx Bax Aabx 2Ab x Aa Dxb ax Bx b ax A 1 b ax Db ax B x A b ax x a bx |x b ax x )x (f C|xbax |ln b b ax b b ax x dx .22222222222++-+=++++⋅-⋅=+-+-=+⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==++=+∴+++++=+++++=++++=++++=+-≠+=++-+=+⎰⎰⎰⎰⎰2222222222221)(11111)(1111)( 1 )()( )()( )()(1 }{)(1 ·1)(1)( 9于是有则设：的定义域为证明：被积函数- 5 -（二）含有bax +的积分（10~18）Cb ax a C b ax a b ax d b ax a dx b ax C b ax a dx b ax ++⋅=++⋅+⋅=++=+++⋅=++⎰⎰⎰3121213)(32)(21111)()(1 )(32 .10证明：C b ax b ax a C b ax b b ax a dx b ax x b ax t C b t a t C t a b t a dt a b dt a dtbt t a dt a t t a b t dx b ax x t abt b ax x dt a t dx a b t x t t b ax C b ax b ax a dx b ax x ++⋅-⋅=++⋅-+=++=+-=+⋅-⋅=-=-=⋅⋅-=+∴⋅-=+=-=≥=+++⋅-⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰32322233252325224222232)()23(152 )(]5)(3[152 )53(152 ******** )(22 , 2 , , )0()()23(152 .11代入上式得：将则令证明：[]C b ax b abx x a ab ax b b abx b x a b ax a dx b ax x b ax t C bt b t at C t a b t a b t a C t a b t a b t a dt t a b dt t a b dt t a dtbt t b t t a dx b ax x a bt t b t t a b t b ax x dt a t dx a b t x t t b ax C b ax b abx x a a dx b ax x ++⋅+-⋅=+⋅-++++⋅=++=+-+⋅=+⋅-⋅+⋅=+⋅+⋅-⋅+⋅+⋅+⋅=--=-+⋅=+∴-+=⋅-=+=-=≥=+++⋅+-⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++3222322223322243353332731432132163432326332532232522222322232)()81215(1052 )(4235301515 )(1052 )423515(1052 543272 411421126112 422 )2(22)( , 2 , , )0( )()81215(1052 .12代入上式得：将则令证明：- 6 -C b ax b ax a C b ax a b b ax b ax a dx b ax x b ax t C t a b t a C t a b t a bdt a dt t a dt a t at b t dx b ax xdt a t dx abt x t t b ax C b ax b ax a dx b ax x++⋅-⋅=++⋅-+⋅+⋅=++=+⋅-⋅=+⋅-⋅+⋅=-=⋅-=+∴=-=>=+++⋅-⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰+)()2(32)(2)()(3223222112222, 2 , , )0( )()2(32.132222322122222222代入上式得：将则令证明：[]C b ax b abx x a a C b ax b ax b b abx b x a b ax a dx bax x b ax t C bt b t at Ct b t b t a dt t a b dt b a dt t a dtbt b t a dt a tt a b t dx bax x dt a t dx a b t x t t b ax C b ax b abx x a a dx bax x ++⋅+-⋅=++⋅+⋅-+++⋅+⋅=++=+-+⋅=+-+=-+=-+=⋅⋅-=+∴=-=>=+++⋅+-⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)()843(152)()(1015)2(3)(152)10153(152 )3251(2 422 )2(221)(, 2 , , )0( )()843(152 .142223222232224332532323432243222222232代入上式得：将则令证明：- 7 -⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-+⋅->+++-+⋅=++-+⋅-=++=+-⋅-=-+=-<+++-+⋅=++=++-⋅=-=->-=⋅⋅-=+∴=-=>=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+⋅->+++-+⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)0(2)0(1 2 , 12t2 )(122 0 .211 )(122 0b .1 221, 2 , , )0( )0(2)0(1 .15222222222b C bbax arctan bb C bb ax b b ax ln b b ax x dx C bbax arctan bb ax x dx b ax t Cb arctan b dt b t dt b t b Cbb ax b b ax ln b bax x dx b ax t C b t b t ln b dt b t dt b t dtb t dta tt a b t bax x dx dt atdx a b t x t t b ax b C bbax arctan bb C bb ax b b ax ln b b ax x dx 得：综合讨论代入上式得：将，时当代入上式得：将，时当则令证明：C ax ax ln a a x dx++-⋅=-⎰ 21 21 22：公式C a xarctan a a x dx +⋅=+⎰1 19 22：公式- 8 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+-=+++-+-=+⋅++-+-=+++-+-=+-+-=+++-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧==+∴++=+++=+⋅+-+-=+-b ax x dx b a bx b ax dxb ax x b a bx b ax dx b ax x b a dx b ax ax b bx b ax dx b ax x b a b ax d x b bx b ax dx b ax x b a xd b ax b dx b ax x b a dx x b ax b dx bax x b a b ax x dx b b a Bb Ba A b ax x x b ax B b ax x b ax x b ax x dx b a bx b ax bax x dx 2 121 )(2111 111 11111 1B A 10 )B( A 1 , A 1 2 .162122222于是有则设证明：2 212 )(2 2122 122 1, 122 122 2 2 22 , , )0( 2 .172222222222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=+⋅-+++=++=⋅-+=-+=+∴-∴-+=-+=-+-=-=⋅-=+∴=-=≥=++++=+bax x dxb b ax dx bax ab b ax b b ax dx x b ax b ax t dxt ab t b t dtbt b t dx x b ax dt bt R b dtbt b t dt b t b dt dt bt b b t dtbt t dt a t b t at dx x b ax dt atdx a b t x t t b ax bax xdx b b ax dx xb ax 代入上式得：将不能明确积分符号可正可负取值为则令证明：- 9 -（三）含有22a x ±的积分（19~21）2 2)(1 112.182122⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++-=⋅+⋅++-=+++-=+-=++++-=+-bax x dxa xb ax dx ab ax x x b ax b ax d xx b ax xdb ax dx x b ax b ax x dxa x bax dx x b ax 证明：C a x arctan a a x dx a x arctan t a xarctant tant a x C t adt at dt sec a tsec a a x dx t sec a t tan a dx a x t dt sec a tant a d dx πt πtant a x C a x arctan a a x dx 2222222+⋅=+==∴⋅=+⋅==⋅⋅=+∴=+⋅=+⋅=⋅=<<-⋅=+⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰1 111 1)1(1 )( , )22( 1 .19222222222代入上式得：将则令证明：- 10 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----+++++----+⋅--++⋅⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⋅-=+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=+∴+-+=+-+-+++=+-+++=+++=⋅+⋅-⋅-+=+-+=++⋅--++⋅⋅-=+122212221221222222222212212222221222222212222222122222122222222221222122222)()1(232)()1(2 )()32()()1(21)( , 1 )()12()(21)(1 )(1)()( )21( )(12)(12)( )(2)( )(2)( 2)()()( )(1 )()( )()1(232)()1(2)( .20n n n n n n n n n 2n n n n n n n n n n n nn n n n n a x dx a n n a x a n x a x dx n a x x a n a x dx n n a x dxn a x x na dx a x dx a x 2na a x x a x dx n dx a x na dx a x n a x x dx a x a a x n a x x dx a x x n a x x dx x a x n x a x x a x d x a x x a x dx a x dxa n n a x a n x a x dx 则令移项并整理得：证明：Cax ax ln a Ca x ln a a x ln a dx ax a dx a x a dx a x a x a ax dx C a x ax ln a ax dx ++-⋅=++⋅--⋅=+--=+--=-++-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰21 2121 121121 ]11[21 21 .212222证明：- 11 -（四）含有)0( 2>+a b ax 的积分（22~28）)0( 21)0( 1 2 , 1 21 121 )(11 1)(11)(11 0 .2 1 C 1 )(11 1)(1111 0b .1 )( )0( 21)0( 1 .222222222222222222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+⋅--⋅⋅->+⋅⋅=++-+⋅--⋅⋅-=+-+--⋅⋅-=--=+∴⋅--=⋅--=+<+⋅⋅=+⋅⋅⋅=+=+∴⋅+=⋅+=+>>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+⋅--⋅⋅->+⋅⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰b C b x a bx a ln ab b C x b aarctan ab b ax dx C b x a b x a ln ab C a bx ab x ln a a b dx a bx a b ax dx a a b x a a b x b ax b C x b aarctan abx b aarctan b a a dxa b x a b ax dx a ab x a a b x b ax 0a b C b x a b x a ln ab b C x b aarctan abb ax dx 得：综合讨论，时当，时当证明：C b ax ln a b ax d b ax a dx b ax dx bax x a C b ax ln a dx bax x 22++⋅=++=+=+>++⋅=+⎰⎰⎰⎰21 )(121 121)0( 21 .23222222证明：- 12 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=+-=+-=⋅+=+>+-=+b ax dx a b a x dx b ax a b dx b a b dxb ax b a b dx b b ax ax a b dx bax x a b ax dx a b a x dx bax x 2222222222 11 )11( 1)0( .24证明：C 21 2121 )(12112112121])(1[21)( 11 )()(1 )(1)(121 )()( )( C 21)( .25222222222222222222++=++-=++-=+-=+-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧==+∴++=++=++=++=+=+>++⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰bax x ln ·b Cb ax ln ·b x ln ·b b ax d bax b dx x b dxb ax b a dx x b dxb ax b a bx b ax x dx b aB bA Ab 0B Aa AbB Aa x Bx b ax A bax Bx A b ax x dxb ax x dx b ax x xb ax x dx 0a bax x lnbb ax x dx 22222222222222于是有则设：证明：- 13 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--=+-=+-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧==+∴++=++=++=+>+--=+b ax dx b a bx dx b ax b a dx x b dx b ax b a bx b ax x dx b aB b A Ab 0B Aa Ab B Aa x Bx b ax A b ax B x A b ax x a b ax dx b a bx b ax x dx 2222222222221 111 ])(1[)( 11 )()(1 )(1 0)( 1)( .2622222于是有则设：证明：C bxx b ax ln baC b ax ln ·ba bx x ln ·ba dx bax b a dx x b dx x b a b ax x dx b a C b a A b B Bb Ba Ab C Aa Bb x Ba Ab x C Aa Cx b ax B b ax Ax bax C x B x A b ax x dx b ax x dx b ax x xb ax x dx 0a C bx x b ax ln b a b ax x dx 222222222222+-+=+++--=+++-=+⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=+∴++++=++++=+++=++=+=+>+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222222222224222322244244244322223212221 2 1212112 )( 1100 )()( )()(1 )(1 )(121 )()( )( 212)( .27于是有则设：证明：- 14 -（五）含有)0( 2>++a c bx ax 的积分（29~30）[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-++--+⋅-<+-+⋅-=+++-++--+⋅-=+--+=--+=-++=++>+-+⋅-=+-++=-++=++<-++=++∴-++=++>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-++--+⋅-<+-+⋅-=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)4( 44 41)4(42 2 , 1 44 41 )2()4()(124 )4()(14 )()(14 4 .2 42 )2()()(124 )()(14 4 .1 )()(14 )()(41 )0( )4( 44 41)4( 42 .292222222222222222222222222222ac b C ac b b 2ax acb b 2ax ln ac b ac b C b 4ac b 2ax arctan bac c bx ax dx Cac b b 2ax acb b 2ax ln ac b b axd ac b b 2ax a a dx ac b b 2ax a dx b 4ac b 2ax a c bx ax dx ac b Cb4ac b 2ax arctan b ac b ax d b 4ac b 2ax a a dx b 4ac b 2ax a c bx ax dx ac b dx b 4ac b 2ax a c bx ax dx b 4ac b 2ax ac bx ax a ac b C ac b b 2ax ac b b 2ax ln ac b ac b C b 4ac b 2ax arctan bac c bx ax dx 2222222222222222得：综合讨论，时当，时当证明： C a x arctan a a x dx +⋅=+⎰1 19 22：公式C 21 2122++-⋅=-⎰a x a x ln a a x dx ：公式21)(2 )(2121)(2)(212121)(21 )(2121121)(21 )(2121()(21 211102 2 2)(1 2)(21 21 1121 21 1121 121)( )( 21)(2)( 2822222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=+++-+=++++-=++-+-=+--+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧==+∴++=++=++=+⋅+-+⋅-=+++⋅-=+-=+>+++=+bax dx b b ax b x dxb ax b bb ax abx b b ax dx b ax b babx b ax ax dxb ax b b dx x ab b ax ax dx b ax b abx b ax ax b B bA Ab Ba Aa Abx )Ba Aa (Bax b ax A b ax B ax A b ax ax dxax b ax b ax ax ax d b ax b ax ax b ax d ax b ax dx 0a bax dxb b ax b x b ax dx .222222222222222222222222222上式于是有，则设：证明：- 15 -（六）含有)0( 22>+a a x 的积分（31~44）⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-++⋅=++-++++=++-++++=++-+⋅=++>++-++⋅=++cbx ax dx a b c bx ax ln a dx cbx ax a b c bx ax d c bx ax a dx c bx ax b a dx c bx ax b ax a dx c bx ax b b ax a dx c bx ax x a c bx ax dx a b c bx ax ln a dx c bx ax x 222222222222 2 21 12)(121 21221 221 )0( 2 21 .30证明：C )( , 1 |AB | , |AC | B Rt 1 , 01, 22 || , ) )22(}{1 )0( C )( 31222222322222222222222222222222222122+++=+∴>+++++=+-++=+++=++=+∴=+==∴+====∠++==⋅=+∴=+∴>=<<-=+==<<-=∈+=>+++=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰a x x ln a x dx 0x a x C x a x ln C lna x a x ln C a xa x ln C tant sect ln a x dx a xtant a a x cost sect a x x ,a |BC |,t ABC ΔC tant sect ln dt sect dt t sec a sect a a x dx secta a x cost sect πt π sect a a x tdt sec a tant a (d dx ,πt πtant a x R x |x ax )x (f a a x x ln C a x arsh ax dx .22 则中，设在则可令的定义域为被积函数证明：C t tan t sec ln tdt sec ++=⎰|| 87 ：公式- 16 -1)( |AB ||AC |sint |AB | , |AC |, || , B Rt 1cos 1 11 1)( )( , 01 , 22 ||)( , ) ( ,)22( }|{)(1)( )0( )( .3222223222222222322322322322222322C a x a x C sint a a x dx a x xa x x a BC t ABC ΔC sint a tdt a dt sect a dt t sec a t sec a a x dx t sec a a x cost sect πt πt sec a a x tdt sec a tant a d dx πt πtant a x R x x a x x f a C ax a x a x dx 23333332++=+⋅=+∴+==∴+====∠+===⋅=+∴=+∴>=<<-=+==<<-=∈+=>++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰则中，设在则可令的定义域为被积函数证明： C a x dx a x x a x t C t dt dtat t t a t dx a x x dta t t tdt a t dx a t x t t a x a C a x dx a x x ++=++=+==-⋅-=+∴-=⋅-=∴-=>=+>++=+⎰⎰⎰⎰⎰-22222222222222212222222222 2)(21 , )0( )0( .33代入上式得：将则令证明：Cax C a x a x d a x dx a x dx a x x dx a x x a C ax dx a x x ++-=++⋅-⨯=++=+=+⋅=+>++-=+----⎰⎰⎰⎰⎰2223122222322223222322322223221 )(231121 )()(21 )(21)()( )0( 1)( .34证明：- 17 -C )( 22 C)( )( 22 31)( C )( 1 39)( C )( 22 1)0( C )( 22 .35222222222222222222222222222222222222222222222222+++⋅-+⋅=+++⋅-++++⋅=+∴+++=++++⋅++⋅=++-+=+-+=+>+++-+⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰a x x ln a a x x a x x ln a a x x ln a a x x dx a x x a x x ln x d ax a x x ln a a x x dx a x x d a x a dx a x dx a x a a x dx a x x a a x x ln a a x x dx ax x 公式公式证明：C )( )()( 1, |AB | , |AC |, || , B Rt cos 1 1 )( )( , 01 , 22 )( ) ( ,)22( }|{)()( )0( C )( )( .362222322222222222223222222222322232223222322222223222+++++-=+∴>+++-+-++=++-++=+-+=+∴+===+=∴+====∠+-+=-=-=-==⋅=+∴=+∴>=<<-=+==<<-=∈+=>+++++-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰a x x ln a x x dx a x x 0x a x C lna ax x x a x ln C a x xa x a x ln C sint tant sect ln dx a x x a a x cost sect ,a x tant a x x sint a x x a BC t ABC ΔC sint tant sect ln dt t dt sect dt sectdt sect dt sect t sec dt sect t tan tdt sec a t sec a t tan dx a x x t sec a t tan a x x cost sect πt π|t sec a |t tan a a x x tdt sec a tant a d dx πt πtant a x R x x a x x x f a a x x ln ax x dx a x x 1111222323233222则中，设在，则可令的定义域为被积函数证明：C tant sect ln dt t ++=⎰| | sec 87 ：公式- 18 -1 )( 21 )( 21 )( 21 21 1 1 2)(21 , )0( )0( 1.3722222222222222222222222222222212222222222C x a a x ln a C x a a x ln a C a a x a a x ln a a x x dx a x t C a t a t ln a C a t a t ln a dt at dt a t t a t t a x x dx dt a t t tdt a t dx a t x t t a x a C x aa x ln a a x x dx +-+⋅=+-+⋅=+-+-+⋅=+⋅+=+--⋅=++-⋅=-=-⋅-⋅=+⋅∴-=⋅-=∴-=>=+>+-+⋅=+⋅⎰⎰⎰⎰⎰-代入上式得：将则令证明：C 21 2122++-⋅=-⎰a x ax ln a a x dx ：公式bnlog b log a na = 提示： 1 11)1(211121)1(1121 1221 11111 1 , )0( 1 11 )0( .3822222222221122222222222222222222222222222C x a a x ax x dx x t C t a aC t a a t a d t a a dtt a ta a dt ta t dt a tx d a x t x t x t x da x a x x dx a C x a a x a x x dx ++-=+⋅=++⋅-=++-⋅-=++-=+-=+-=+-=+-∴=≠=+-=+⋅>++-=+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-代入上式得：将则令证明：- 19 -C a x x ln 2a a x 2x dx a x a x x ln a a x x dx a x C a x x ln a dx a x a dx a x x dx a x a x x dx ax x dx a x dx a x x a x x a x d x a x x dx a x a C a x x ln 2a a x 2x dx a x .22222222222222222222222222222222222222222222222222+++⋅++=+++⋅++=+++++⋅=+=+-++=+++∴+-+=+-+=+>+++⋅++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)( )( 2 )( 1 )0( )( 391即②得，由①②又①：证法C a x x ln 2a a x 2x dx a x lna2a a x x ln 2a a x 2x |aa x x |ln 2a a x 2x |tant sect |ln a tant sect a a x tant ,a x a cost sect x a |AB |x,tant a |AC |a |BC |,t B ABC Δ ,tant a x C |tant sect |ln a 2tant sect a 2dtant sect a C |tant sect |ln sectdt sectdt a tant sect a 2dtant sect a sectdt dtant sect dt cost dt t cos cost dt t cos t cos dt t cos t sin tantdt sect tant tantdsect tantdsect a tant sect a dtant sect a tant a sectd a dx a x sect a a x tcos t sec ,2πt 2π,sect a t tan a a x 2πt 2πtant a x 0a C a x x ln 2a a x 2x dx a x .222222222222222222222222222212222323222222222222222222+++⋅++⋅=+⋅-++⋅++⋅=++⋅++⋅=++∴=+==∴+=====∠∴⋅=+++⋅=++=+=-=-⋅=-==⋅⋅=-⋅===+∴=+∴>=<<-=+=+<<-⋅=>+++⋅++⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)( )( 21·21 1· Rt 11 87 )·(1 1111 )·(· · , 01·1 )( 2 )()( 39综合①②③④⑤得则，中，可设在⑤联立③④有④）（公式又③联立①②有②又①，则令：证法 t sec t tan 221 =+提示：)0( )(131>+++=+⎰a C a x x ln dx ax 2222：公式- 20 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++⋅⋅+++⋅=+∴+++⋅++⋅⋅+++=+++⋅+⋅+⋅++⋅+⋅⋅=∴+===∴+====∠++⋅+⋅+⋅=+++⋅⋅=+⋅⋅==+-⋅=⋅--⋅=⋅-⋅=-⋅=+=+-⋅=⋅--⋅=⋅-⋅=⋅-⋅=⋅⋅⋅-⋅=-⋅==⋅=+∴⋅=+∴>=<<-=+<<-=∈+=>+++⋅⋅+++⋅=+Ca x x ln a a x a x x dx a x C x a x ln 83aa x 8x a 3a x a x x C a x a x ln a 83a x a a x 8a 3a x aa x a x a tant d t sec a a a x t sect ,a x tant a x x a BC t ABC ΔC tant sect ln a 83tant sect a 83tant t sec a tant d t sec a C tant sect ln tant sect dt sect tant sect tant d t sec a dt t sec tant d sect dt sect dt t sec tant sect sectdt t sec tant sect sectdt t tan tant sect sect d tant tant sect tant d sect tant d sect a tant t sec a tant d t sec a tant d sect a tant d t sec a tant t sec a tant d sect t sec a tant t sec a tant d sect t tan a tant t sec a dt t sec t tan a tant t sec a dt tant sect t sec tant a tant t sec a t sec d tant a tant t sec a tant d t sec a tant a d t sec a dx a x tsec a a x cost sect πt πt sec a a x πt πtant a x R x x a x x f a C a x x ln a a x a x x dx a x 4333333223333232332323333333333)( 83)52(8 )( )(4 4 cos 1 |AB | , |AC |, || , B Rt 41 21 21 21 21 )1( ) 3 (41 3 3 )1(3 3 3 3 ) ( )( )( , 01 , 22 ||)( ,)22( }|{)()( )0( )( 83)52(8 )( .4022422223222222222221224224223224422221444414444444444444444443223223223222242222322则中，设在联立①④得④联立②③得：③又②①移项并整理的：则可令的定义域为被积函数证明： Ctant sect ln dt t ++=⎰| | sec 87 ：公式- 21 -Ca x C a x a x d a x dx a x dx a x x a C a x dx a x x ++=++⋅+⨯=++=+=+⋅>++=+⋅+⎰⎰⎰⎰32221122222122221222232222)(31)(211121 )()(21 )(21 )0( )(31 .41证明：- 22 -⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++⋅-++⋅=+⋅∴++⋅=++⋅∴>+++++⋅-++⋅=++⋅+++⋅-+⋅=++⋅⋅+++⋅-+⋅⋅=⋅∴+===∴+====∠+⋅++-⋅=⋅++-⋅⋅=-⋅⋅=--⋅=--⋅=⋅+-⋅=-⋅=-⋅=⋅⋅+=⋅⋅+=⋅-⋅⋅+=-⋅⋅+=-⋅⋅+=+=+⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=+⋅∴⋅=+⋅∴>=<<-=+⋅<<-=∈+⋅=>+++⋅-++⋅=+⋅Ca x x ln a a x a x x dx a x x a x x ln a x a x ln a x a x Cx a x ln a a x a x x C a x x x a x ln a a x x a C a a x a x a a x a x ln a a a x a x a t dsec t sec tant a aa x tsect ,a x tant a x x a BC t ABC ΔC sect t tan a tant sect ln a tant sect a t dsec t sec tant a C tant sect ln tant sect dt sect tant sect sect d tant sect d tant dt sect tant sect dt sect t tan dt sect tant sect sectdt t tan tant sect tdt sec tant sect tant d sect tant sect sect d tant t sec t tan a t dsec tant a t sec t tan a t dsec tant a t dsec t sec tant a dsect tant t sec a t sec t tan a t dsec tant a dt t tan t sec a t sec t tan a t dsec tant a t dtan t sec a t sec t tan a t dsec tant a t dsec t tan a t dsec tant a t dsec t tan tant a t dsec t sec tant a t d t sec t tan a tant d sect t tan a tant a d sect t tan a dx a x x sect t tan a a x x costsect πt π sect a t tan a a x x πt πtant a x R x x a x x x f a C a x x ln a a x a x x dx a x x 23222333232333322322222)( 8)2(8 )( 88 0 8)2(8 4 88 4 88 cos 1 |AB | , |AC |, || , B Rt 48821 21 2121)1( 4 4 ) (41 3 3 )1( ) ( )( )( , 01 , 22 ||)( ,)22( }|{)( )0( )( 8)2(8 .42224222222222422422224222222232242241223342242244222214444144444244434444444444443222322222222222242222222，则中，设在联立①②得：②移项并整理得：①移项并整理的：则可令的定义域为被积函数证明： C tant sect ln dt t ++=⎰| | sec 87 ：公式- 23 -)( )( 2 )( 2 21 1 2)(21 , )0( }0|{)( )0(.4322222222222222222222222222222222222222222222122222222222222C x a a x ln a a x Cxa a x ln a a x C a a x a a x ln a a x dx x a x a x t C a t a t ln a t C a t a t ln a a t dt a t a dt dt a t a a t dt a t t dt a t t a t t dx x a x dt at t tdt a t dx a t x a t t t a x x x x a x x f a C x aa x lna a x dx xa x +-+⋅++=+-+⋅++=+-+-+⋅++=++=+--⋅+=++-⋅⋅+=-+=-+-=-=-⋅-=+∴-=⋅-=∴-=≠≥=+≠+=>+-+⋅++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-代入上式得：将则且令的定义域为被积函数证明：C )( 2 , 1 C )( , 0 2. C )( 01 |AB | , |AC |, || , B Rt 1 1 1 )1( , 01 , 20 , ) ( ,)20( , 0 1. }0|{)( )0(C )( .4422222222222222222222222222222222222222222222222222222222222+++++-=++++++-=+<+++++-=+∴>+++-++++-=++-++=+∴+===+=∴+====∠+-+=+=+=⋅+=⋅+=+⋅=⋅=+∴=+∴>=<<=+==<<=>≠+=>+++++-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x a x ln xa x dx x a x x a x ln xa x dx x a x x x a x ln x a x dx x a x x a x C lna x a x ln x a x C x a x a x a x ln dx x a x a a x cost sect ,a x tant ,ax x sint a x x a BC t ABC ΔC sinttant sect ln dsint t sin dt sect dt t sin cost dt sect dt t sin t cos cost dt sect dt t tan sect dt sect dt t tan t tan sect tdt sec a t tan a sect dx x a x t tan a sect x a x cost sect πt t tan a sect a x a x tdt sec a tant a d dx πt tant a x x x x x a x x f a a x x ln x a x dx x a x 1112222222222222得：综合讨论同理可证得：时当则中，设在，则可令时当的定义域为被积函数证明： Ctant sect ln dt t ++=⎰| | sec 87 ：公式C21 2122++-⋅=-⎰a x a x ln a a x dx ：公式- 24 -（七）含有)0( 22>-a a x 的积分（45~58）2 1 || || ||1|| || 1 . 21 Rt 2)20( . 1}{ 1 1 )0( 453 C |a x x |ln C a |x |arsh |x |x a x dx ,C a x x ln C aa x x ln C a x x ln C a x x ln C a μμln a μd μa x dx μx ,x μa x ,a x C |a x x |ln |a a x x |ln |t tan t sec |ln ax dx a a x |BC ||AC |t tan ,a x t cos t sec a x |AC |,x |AB |a |BC |,t B ABC ΔC |tant sect |ln sectdt dt tant a tantsect a a x dx tant a a x πt tant a 1t sec a a x tantdt sect a dx πt sect a x ,a x a x a x |x ax f(x)a C |a x x |ln C a |x |arsh |x |x ax dx .22122522422242242242222222222222222222222222222122+-+=+⋅=-+---=+-+-=+-+-=+-+--=+-+-=--=--=-=>--<+-+=-+=+=-∴-====∴-====∠++==⋅⋅⋅=-∴⋅=-<<⋅=-=-⋅⋅=<<⋅=>-<>-=>+-+=+⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，可写成综合讨论可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证法 C t tan t sec ln tdt sec ++=⎰|| 87 ：公式- 25 -2 1 || || ||1)( || 1 . 2 || . 1 }{ 1 2 )0( 45 C |a x x |ln C a |x |arsh |x |x a x dx ,C a x x ln C a a x x ln C a x x ln C a x x ln C a μμln a μd μa x dx μx ,x μa x ,a x C a x x ln C 1a x a x ln C a x arch C t dt dt sht a sht a a x dx shtdt a dx ,sht a a t ch a a x a x arch t 0)(t cht a x ,a x a x a x |x ax f(x)a C |a x x |ln C a |x |arsh |x |x ax dx .221225224222422422422222232222122222222222122+-+=+⋅=-+---=+-+-=+-+-=+-+--=+-+-=--=--=-=>--<+-+=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+==⋅⋅=-∴⋅=⋅=-=-=>⋅=>-<>-=>+-+=+⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，可写成综合讨论可知由讨论即时，令即当则，可设时当或的定义域为被积函数：证法- 26 -C a x a x a x dx ,C ax a x a x dx x μC a μa μa μμd a μμd a x dx μx ,x μa x ,a x C a x a x a x dx x a x t sin a x |AC |,x |AB |a |BC |,t B ABC ΔCt sin a sint d t sin a dt t sin t cos a dt t sin t cos t cos a dt t tan sect a dt t tan a tant sect a a x dx t tan a a x tant πt t tan a a x tantdt sect a dx πt sect a x ,a x a x a x |x a x f(x)a C ax a x a x dx .222222222222222222222222222222222222+-⋅-=-+-⋅-=--=+-⋅=----=-∴-=-=>--<+-⋅-=-∴-=∴-====∠+-===⋅==⋅⋅⋅=-∴⋅=-><<⋅=-⋅⋅=<<⋅=>-<>-=>+-⋅-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰23232333232222222232333333333323)( 2 1 )( )()( 1 )()( . 2 )( Rt 1 11 111 1)( )( , 0 20 )( )20( . 1 }{ )(1 )0( )( 46得：综合讨论代入得：将可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证明 )(211121 )()(21 )(21 )0( .47211222221221C a x C a x a x d a x dx a x dx a x x a C a x dx ax x 222222222222+-=+--⨯=--=-=->+-=----⎰⎰⎰⎰：证明- 27 -1)( 2 1 1)( 1)( 1 )()(. 2 11)( Rt 11 11 1)( )( 20 )( )20( . 1 }{ )()0( 1)( 48333333222232332333333 C ax dx a x x , C a x dx a x x x μCaμμd a μμμd a μμdx a x x μx ,x μa x ,a x Cax C a x a a dx a x x a x at cot a x |AC |,x |AB |a |BC |,t B ABC ΔC t cot a tdt csc a dt t sin a dt t tan t sec a dt tant sect a t tan a sect dx a x x t tan a sect a x x πt t tan a sect a a x x tantdt sect a dx πt sect a x ,a x a x a x |x a x xf(x)a C ax dx a x x .22222222222222222222222222222222222222+--=-+--=--=+--=--=-∴-=-=>--<+--=+-⋅-=-∴-=∴-====∠+⋅-=--===⋅⋅⋅⋅=-∴⋅=-<<⋅⋅=-⋅⋅=<<⋅=>-<>-=>+--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰得：综合讨论代入得：将可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证明 C a x x ln a a x x dx ax x C a x x ln a a x dxa C a x x ln a a x x dx a x dxax a dx a x dx ax aa x dxax a a x dx a x x a C a x x ln a a x x dx a x x .22222222222222222222222222222222+-+⋅+-=-+∴+-+⋅=-+-+⋅--⋅=--+-=-+-=-+-=->+-+⋅+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22 45)( 53)( 221)( )0( 22 49222222222222222②得：由①公式②公式①证明：。