二次函数图象与几何变换(完整资料).doc
二次函数图象的变换
二次函数图象的变换这里研究二次函数图象的平移变换、对称变换和翻折变换.二次函数图象的平移变换二次函数的图象作平移变换时,其开口方向和开口大小不会发生改变,故平移前后a 的值不变;改变的是顶点坐标和对称轴.一般地,二次函数k ax y +=2（0>k ）的图象是由二次函数2ax y =的图象沿y 轴正方向向上平移k 个单位长度得到的;二次函数k ax y -=2（0>k ）的图象是由二次函数2ax y =的图象沿y 轴正方向向下平移k 个单位长度得到的.抛物线k ax y +=2的对称轴是y 轴,顶点坐标是()k ,0.如例图（1）所示.一般地,二次函数()2h x a y -=的图象是由二次函数2ax y =的图象沿x 轴向左（0<h ）或向右（0>h ）平移h 个单位长度得到的.抛物线()2h x a y -=的对称轴是直线h x =,顶点坐标是()0,h .如例图（2）所示.一般地,二次函数()k h x a y +-=2的图象是由二次函数2ax y =的图象先沿x 轴向左（0<h ）或向右（0>h ）平移h 个单位长度,再向上（0>k ）或向下（0<k ）平移k 个单位长度得到的.抛物线()k h x a y +-=2的对称轴为直线h x =,顶点坐标是()k h ,.如下页例图所示.二次函数图象的对称变换如果两个二次函数的图象关于x 轴对称,那么它们的开口方向相反,开口大小相同,对称轴相同,顶点坐标关于x 轴对称,与y 轴的交点关于x 轴对称.故两个二次函数的解析式a 的值互为相反数.①若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2,则与其图象关于x 轴对称的二次函数的解析式为()k h x a y ---=2;②若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于x 轴对称的二次函数的解析式为c bx ax y ---=2.高中知识点 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于x 轴对称.如例图（3）所示.xy y = x 2 ()2 1y = x 2 ()2 + 1图 （3）O–1–21234–1–2–3–41234如果两个二次函数的图象关于y 轴对称,那么它们的开口方向相同,开口大小相同,与y 轴的交点相同,对称轴关于y 轴对称,顶点坐标关于y 轴对称.故两个二次函数的解析式a 的值相等.①若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2,则与其图象关于y 轴对称的二次函数的解析式为()k h x a y ++=2②若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于y 轴对称的二次函数的解析式为c bx ax y +-=2.高中知识点 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于y 轴对称.如例图（4）所示.图 （4）x 2 )2 + 1二次函数图象的翻折变换在同一平面直角坐标系中,通过对二次函数c bx ax y ++=2图象的翻折变换,可以得到函数c bx ax y ++=2的图象和函数c x b ax c x b x a y ++=++=22的图象.先画出二次函数c bx ax y ++=2的图象,保留x 轴上及其上方的图象,把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方,即可得到函数c bx ax y ++=2的图象如下页例图（5）所示.先画出二次函数c bx ax y ++=2的图象,保留y 轴上及其右侧的图象,把y 轴右侧的图象翻折到y 轴左侧,即可得到函数c x b ax c x b x a y ++=++=22的图象.如下页例图（6）所示.图 （5）图 （6）高中知识点在同一平面直角坐标系中,通过对函数)(x f y =图象的翻折变换,可以得到函数)(x f y =和)(x f y =的图象.（1）要作出函数)(x f y =的图象,可先作出函数)(x f y =的图象,然后保留x 轴上及其上方的图象,把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可;（2）要作出函数)(x f y =的图象,可先作出函数)(x f y =的图象,然后保留y 轴上及其右侧的图象,把y 轴右侧的图象翻折到y 轴左侧即可. 例题讲解例1. 把抛物线2x y -=向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为【 】（A ）()312---=x y （B ）()312-+-=x y（C ）()312+--=x y （D ）()312++-=x y分析 将函数的图象左右平移时,其解析式将发生有规律的变化——遵循自变量“左加右减”,函数值“上加下减”的原则.将二次函数的图象左右平移,其图象的开口方向和开口大小保持不变,所以平移前后a 的值不变,改变的是图象的顶点坐标和对称轴.其中顶点坐标的改变遵循“左减右加”的原则.解析 由题意可知,平移后抛物线的解析式为()312++-=x y .另外,抛物线2x y -=的顶点坐标为()0,0,平移后函数图象的顶点坐标为()3,1-,所以由顶点式可知平移后抛物线的解析式为()312++-=x y .所以选择答案【 D 】.例2. 函数()1122---=x y 的图象可由函数()3222++-=x y 的图象平移得到,平移的方法是【 】（A ）先向右平移3个单位,再向下平移4个单位 （B ）先向右平移3个单位,再向上平移4个单位 （C ）先向左平移3个单位,再向下平移4个单位 （D ）先向左平移3个单位,再向上平移4个单位分析 首先,要确定函数()3222++-=x y 的图象是平移的对象,平移后得到抛物线()1122---=x y .解析将函数()3222++-=x y 的图象先向右平移3个单位,得到函数()3122+--=x y 的图象,再向下平移4个单位,得到函数()1122---=x y 的图象.∴选择答案【 A 】.例3. 抛物线向右平移3个单位,再向下平移2个单位后得到抛物线x x y 422+-=,则平移前抛物线的解析式为________________.分析 把抛物线x x y 422+-=向左平移3个单位,在向上平移2个单位,即可得到平移前的抛物线.解析 ∵()2124222+--=+-=x x x y∴平移前抛物线的解析式为()()4222231222++-=+++--=x x y .即4822---=x x y .例4. 已知二次函数()1322+-=x y .（1）图象关于x 轴对称的抛物线的解析式为________________; （2）图象关于y 轴对称的抛物线的解析式为________________.分析 （1）抛物线()k h x a y +-=2关于x 轴对称的抛物线为()k h x a y ---=2;（2）抛物线()k h x a y +-=2关于y 轴对称的抛物线为()k h x a y ++=2.解析 （1）()1322---=x y ;（2）()1322++=x y .例5. 已知二次函数122--=x x y .（1）图象关于x 轴对称的抛物线的解析式为________________; （2）图象关于y 轴对称的抛物线的解析式为________________.分析 （1）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线为c bx ax y ---=2;（2）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的抛物线为c bx ax y +-=2. 解析 （1）122++-=x x y ;（2）122-+=x x y .例6. 已知二次函数5432+-=x x y .（1）图象关于x 轴对称后再关于y 轴对称的抛物线的解析式为____________; （2）图象关于y 轴对称后再关于x 轴对称的抛物线的解析式为____________. 分析 （1）（2）中的两条抛物线关于原点对称:若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2,则与其图象关于原点对称的二次函数的解析式为()k h x a y -+-=2;若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于原点对称的二次函数的解析式为c bx ax y -+-=2. 解析 （1）5432---=x x y ; （2）5432---=x x y .例7. 画出函数12-=x y 的图象.分析 把二次函数12-=x y 的图象沿x 轴进行翻折变换,即可得到函数12-=x y 的图象,具体做法是:先画出二次函数12-=x y 的图象,保留x 轴及其上方的图象,然后把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可得到函数12-=x y 的图象. 解析 函数12-=x y 的图象如下图所示.。
初三数学. 二次函数的图象判断和几何变换
二次函数的图象判断和几何变换模块一：二次函数的图象判断1．二次函数图象与系数的关系 （1）a 决定抛物线的开口方向当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下．反之亦然． （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：“左同右异”当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴的右侧．（3）c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点；当0c >时，交点在y 轴的正半轴；当0c <时，交点在y 轴的负半轴．2．二次函数的图象信息（1）根据抛物线的开口方向判断a 的正负性． （2）根据抛物线的对称轴判断b 的正负性． （3）根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的正负性． （4）根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性． （5）根据抛物线的对称轴可得2ba-与1±的大小关系，可得2a b ±的正负性． （6）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a ，b ，c 的等式．（7）根据抛物线的顶点，判断244ac b a -的大小．模块二：二次函数的几何变换 1．二次函数图象的平移平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，“上加下减”．2．二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达． （1）关于x 轴对称关于x 轴对称后，得到的解析式是．2()y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是2()y a x h k =---． （2）关于轴对称关于y 轴对称后，得到的解析式是．2()y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是2()y a x h k =++． （3）关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是．2y ax bx c =++2y ax bx c =---y 2y ax bx c =++2y ax bx c =-+2y ax bx c =++2y ax bx c =-+-2()y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是2()y a x h k =-+-． （4）关于点(,)m n 对称2()y a x h k =-+关于点(,)m n 对称后，得到的解析式是2(2)2y a x h m n k =-+-+- 3．二次函数图象的翻折函数的图象可以由函数通过关于x 轴的翻折变换得到．具体规则为函数图象在x 轴上方的部分不变，在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方．|()|y f x =()y f x =()y f x =模块一 二次函数的图象判断题组一：（1）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-1，则一次函数()y a b x ac =++的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（2）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-2，则下列六个代数式：ab 、ac 、a b c ++、a b c -+、2a b +、2a b -、24b ac -中，其值为正的式子的个数是（ ） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个（3）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-3，则22a b c a b c a b a b ++--+++--_______0．（填“>”、“<”或“=”）．图1-1 图1-2 图1-3题组二：（1）如图2-1，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,2)-，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③2b <-；④22()a c b +<，其中正确的结论有________．（填序号）（2）如图2-2，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,2)，下列结论：①20a b +<；②0abc <；③1a c +<-；④284b a ac +<，其中正确结论的有________．（填序号）（3）（成外半期）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图2-3所示，有下列5个结论：①0abc <；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->；⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数），其中正确的结论的有________.（填序号）图2-1 图2-2 图2-3题组三：（1）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图3-1所示，它与x 轴两个交点分别为(1,0)-，30（，）．对于下列命题：①20b a -=；②0abc <；③102a b c --+<；④80a c +>．其中正确的有________．（填序号）（2）如图3-2，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是1x =-，且过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，有下列结论：①0abc >；②240a b c -+=；③251040a b c -+=；④320b c +>．其中正确的结论有________．（填序号） （3）如图3-3，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点(10A -，），对称轴为直线1x =，与y 轴的交点B 在(0,2)和(0,3)之间（包括这两点），下列结论：①当3x >时，0y <；②30a b +<；③213a -≤≤-；④248acb a ->；其中正确的结论是_________．（填序号）图3-1 图3-2 图3-3题组四：（1）已知二次函数y ax bx c 2=+++2的图象如图4-1所示，顶点为(,)-10，下列结论：①abc <0；②b ac 2-4=0；③a >2；④a b c 4-2+>0．其中正确结论的个数是____________．（填序号） （2）二次函数2y ax bx c =++的图象如图4-2所示，给出下列结论：①20a b +>；②若11m n -<<<，则bm n a+<-；③3||||2||a cb +<；④b ac >>，其中正确的结论有____________．（填序号）图4-1 图4-2yAO xx =1模块二 二次函数的几何变换题组一：（1）二次函数2241y x x =-++的图象如何移动就得到22y x =-的图象（ ）． A ．向左移动1个单位，向上移动3个单位 B ．向右移动1个单位，向上移动3个单位 C ．向左移动1个单位，向下移动3个单位D ．向右移动1个单位，向下移动3个单位（2）一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的解析式为________________．（3）如果将抛物线228y x =-+向右平移a 个单位后，恰好过点(3,6)，那么a 的值为__________． 题组二：（1）如图6-1所示，已知抛物线0C 的解析式为22y x x =-，则抛物线0C 的顶点坐标____________；将抛物线0C 每次向右平移2个单位，平移n 次，依次得到抛物线1C 、2C 、3C 、…、n C （n 为正整数），则抛物线n C 的解析式为___________． （2）如图6-2，把抛物线212y x =平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点(6,0)A -和原点(0,0)O ，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线212y x =交于点Q ，则图中阴影部分的面积为___________．图6-1 图6-2题组三：已知二次函数221y x x =--，求：（1）与此二次函数关于x 轴对称的二次函数解析式为_____________________； （2）与此二次函数关于y 轴对称的二次函数解析式为_____________________； （3）与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为_____________________． 题组四：已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1C ． （1）求1C 关于点(1,0)R 中心对称的图象2C 的解析式；（2）设曲线1C 、2C 与y 轴的交点分别为A ，B ，当||18AB =时，求a 的值．xyO…C nC 1C 0题组五：作出2|5|y x x =+的函数图象． 题组七：已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数． （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线1()2y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．复习巩固模块一 二次函数的图象判断（1）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-1，则一次函数by ax c =-的图象不经过第________象限．（2）如图1-2，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,2)-和(1,0)，给出五个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=；④1a >；⑤9640a b c ++>．其中结论正确的是________．（3）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-3，小丹观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，其中结论正确的是________．图1-1 图1-2 图1-3（1）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图2-1所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③20a b +>；④930a b c ++<；⑤80a c +>．其中结论正确的是________．（填序号即可）（2）如图2-2，抛物线2y ax bx c =++的图象交x 轴于1(,0)A x 、(2,0)B ，交y 轴正半轴于C ，且OA OC =．下列结论：①0a b c ->；②1ac b =-；③12a =-；④22bc +=，其中结论正确的是________．图2-1 图2-2Oyx模块二 二次函数的几何变换（1）（树德实验半期）把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为________．（2）将函数2y x x =+的图象向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为________．（3）如图，在平面直角坐标xOy 中，抛物线1C 的顶点为(1,4)A --，且过点(3,0)B -： ①将抛物线1C 向右平移2个单位得抛物线2C ，则抛物线2C 的解析式_____________； ②写出阴影部分的面积S =_____________．（1）在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，则经两次变换后所得的新抛物线的解析式为________．（2）已知二次函数234y x x =--的图象，将其函数图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，结合图象写出当直线(1)y x n n =+<与这个新图象有两个公共点时，n 的取值范围为__________．y xOyxO AB。
二次函数图像变换
二次函数图像变换
二次函数图像变换有3种：平移、对称、旋转。
一、专用解法
1、平移：左加右减自变量，上加下减常数项
2、对称、旋转：取原抛物线上一点（x,y），然后根据对称或旋转规律找到对应点，
将对应点坐标代入原抛物线解析式，然后化解得到的解析式即所求。
例1：原抛物线上y=ax^2+bx+c有一点（x,y），其关于x轴对称的点坐标为（x,-y），将（x,-y）代入到原解析式得到-y=ax^2+bx+c，即y=-ax^2-bx-c
例2：原抛物线上y=x^2+2x绕点（1,0）旋转180°，求旋转后的解析式解：设点（x,y）是原抛物线y=x^2+2x上一点，（x,y）绕点（1,0）旋转180°，通过中点坐标公式得出对应点为（2-x,-y），将（2-x,-y）代入y=x^2+2x得到
-y=(2-x)^2+2(2-x)，即y=-x^2+6x-8
注意：以上方法也适用于一次函数
二、通用解法
①将解析式化顶点式y=a(x-h)^2+k，得到顶点（h,k）
②将顶点（h,k）按照要求进行平移、对称、旋转，得到新的顶点（h’,k’）
③平移a不变；X轴对称a变号，Y轴对称a不变；旋转a变号，特别的原点对称就是绕（0,0）旋转180
注意：这里的旋转肯定是180°，因为如果不是180°得到的就不是二次函数了
④知道了a和顶点，设顶点式就可以得到新抛物线的解析式
注意：无论平移、对称、旋转都可以用，如果是一次函数可以将顶点（h,k）替换为直线与y轴交点，a替换为k，整体思路是一样的。
二次函数图象的几何变换
二次函数图象的几何变换知识点拨-、二次函数图象的平移变换(1)具体步骤：2先利用配方法把二次函数化成y =a(x -h) k 的形式，确定其顶点(h,k),然后做出二次函2 2数y = ax 的图像，将抛物线 y = ax 平移，使其顶点平移到 (h, k) •具体平移方法如图所示：(2)平移规律：在原有函数的基础上 左加右减”2y = ax ■ bx 关于顶点对称后，得到的解析式是2y =a x - h k 关于顶点对称后，得到的解析式是 关于点m , n 对称2 2y=ax-h k 关于点 m ,n 对称后，得到的解析式是 y --a x ∙ h -2m ∙ 2n -k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变•求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原 抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然后再写出其对称抛物线的表达式.∕=⅛ιx 1+Λ嚼gl⅛駕g-*÷l⅛l秋1. 2.3.4.二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 关于X 轴对称^aX ■ b X 关于X 轴对称后，得到的解析式是2y =a(x-h j +k 关于X 轴对称后，得到的解析式是 关于y 轴对称2y =ax ■ bx 关于y 轴对称后，得到的解析式是2y =a(x-h j +k 关于y 轴对称后，得到的解析式是 关于原点对称 2y = ax ■ bx 关于原点对称后，得到的解析式是2y = a x- h ■关于原点对称后，得到的解析式是关于顶点对称Y= -aχ2「bx —c ；2y = -a x -h ; —k ；y = ax 2 - bx C ；2y=a xfj 亠k ；y = -aχ2 bx -c ；2y = —a x h [ —k ；2 2by - -ax -bx c _ a2y = -a x —h I 亠 k .5. 冏上(tx>>.下(KO)平移 "I 个单位■例题精讲」、二次函数图象的平移变换【例1】【例2】函数y =3(x ■ 2)2 -1的图象可由函数A.右移两个单位，下移一个单位C.左移两个单位，下移一个单位函数Y= -2(χ -1)2 -1的图象可由函数是( )A.右移三个单位，下移四个单位C.左移三个单位，下移四个单位2y=3χ2的图象平移得到，那么平移的步骤是： ( )B.右移两个单位，上移一个单位D.左移两个单位，上移一个单位2=-2(X 2) 3的图象平移得到，那么平移的步骤【例3】B.右移三个单位，上移四个单位D.左移四个单位，上移四个单位y = -2χ2的图象( ) 3个单位.B.向右移动1个单位，向上移动3个单位.【例4】【例5】二次函数y = ~2χ4χ•1的图象如何移动就得到A.向左移动1个单位，向上移动C.向左移动1个单位，向下移动3个单位.D.向右移动1个单位，向下移动3个单位. 将函数y=χX的图象向右平移 a a 0个单位，得到函数()A . 1把抛物线是y =χ22y=x -3χ 2的图象，贝U a的值为B. 2C. 3D. 4^aχ2 bχ c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式-3χ 5,则【例6】对于每个非零自然数这两点间的距离，则n ,抛物线y =X2一_1X----------- 1与X车由交于n(n +1) n(n+1 JAB’ +A2B2 +…+ A2009B2009 的值是( )2009 m 2008 2010B .C .-2008 2009 2009代、B n两点，以A n B n表示D. 20092010【例7】把抛物线y二-X2向左平移2A . y - - X -1 [ -31个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为2B . y=_(x+1j_3【例8】【例9】【例10】【例11】2D. y =-χ 1 3将抛物线y =2X2向下平移A . y=2将抛物线y =3χ2向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是(2 2 2A. y =3x -2B. y =3xC. y =3(x 2)一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线解析式为__________________ .2已知二次函数y =3χ ^6χ 5,求满足下列条件的二次函数的解析式:1个单位，得到的抛物线是(2B. y =2 x-1C.)y =2X2 2D . y =2x -1)y Fx2 2D.y - -2X24X ,则平移前抛物线的(1)图象关于X轴对称；(2)图象关于y轴对称；(3)图象关于经过其顶点且平行于X轴的直线对称【例12】如图，平行四边形ABCD中，AB=：4 ,点D的坐标是(0 , 8),以点C为顶点的抛物线2y =ax bx c经过X轴上的点A , B .⑴求点A , B , C的坐标.⑵若抛物线向上平移后恰好经过点【例13】抛物线y=ax -5x 4a与X轴相交于点A B ,且过点C 5 , 4 .⑴ 求a的值和该抛物线顶点P的坐标.⑵请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式.二、二次函数图象的对称变换【例14】函数y = χ与y = -X的图象关于_________________ 对称，也可以认为2 2 y = x是函数y = -X的图象绕_______ 旋转得到.【例15】已知二次函数y=χ2-2χ-i ,求：⑴关于X轴对称的二次函数解析式；⑵关于y轴对称的二次函数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式.【例16】在平面直角坐标系中，先将抛物线y=χ2∙χ-2关于X轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为2 2A . y=^-x 2 B. y = -x x-22 2C. y=-x x 2 D . y=x x 2【例17】已知二次函数y =aχ2 "^4ax 4a T的图象是c1.⑴ 求G关于R 1, 0成中心对称的图象Q的函数解析式；⑵ 设曲线S C2与y轴的交点分别为A, B ,当AB =18时，求a的值.【例18】已知抛物线y =χ2 -6x 5 ,求⑴ 关于y轴对称的抛物线的表达式；⑵ 关于X轴对称的抛物线的表达式；⑶关于原点对称的抛物线的表达式.【例19】设曲线C为函数y=aχ2 Fxya=O的图象，C关于y轴对称的曲线为C1, G 关于X轴对称的曲线为C2 ,则曲线C2的函数解析式为_________________________________________________ .【例20】对于任意两个二次函数：y1 =a1x2∙ b X * G , y2 = a2x2∙ b2x ∙ c2 a1a2屮0 ,当∣a1 = a2时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有ABM , A _1, 0 , B 1, 0 ,记过三点的二⑴ 若已知M 0,1 , ABM也ABN (图1),请通过计算判断C ABM与C AB N是否为全等抛物线；⑵在图2中，以A B、M三点为顶点，画出平行四边形.①若已知M 0, n ,求抛物线C A B M的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与C A BM全等的抛物线解析式.②若已知M m , n ,当m、n满足什么条件时，存在抛物线C ABM ?根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与C ABM全等的抛物线.若存在，请写出所有满足条件的抛物线C__ ”；若不存在，请说明理由.【例21】已知：抛物线f ：y - -(χ -2)2∙5 . 试写出把抛物线f向左平行移动2个单位后，所得的新抛物线f1的解析式；以及f关于X轴对称的曲线f2的解析式.画出f1和f2的略图，并求：⑴X的值什么范围，抛物线f1和f2都是下降的；⑵X的值在什么范围，曲线f1和f2围成一个封闭图形；⑶ 求在f1和f?围成封闭图形上，平行于y轴的线段的长度的最大值.。
最全初三二次函数概念的图像与性质完整版.doc
龙文教育学科导学教师:学生:年级：日期: 星期: 时段:学情分析二次函数部分内容中考难度不大，所以本套教案注重于基础知识的准确掌握。
课题二次函数的图像与性质学习目标与考点分析学习目标：1、理解二次函数的概念；会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数；2、熟练的画出各种抛物线的图像，根据解析式的变化判断图像的平移方法；3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。
学习重点图像的平移；待定系数法求解析式学习方法讲练结合、师生讨论、启发引导学习内容与过程教学内容：知识回顾1.一般地，形如y=ax2 +bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
其中，x 是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项.2.二次函数的解析式及其对称轴（1）二次函数解析式的一般式（通式）：，它的顶点坐标为（，），对称轴为；（2）二次函数解析式的顶点式（通式）：，顶点坐标为（，）对称轴是；（3）二次函数解析式的交点式：。
此时抛物线的对称轴为。
其中，（x1,0）（x2,0）是抛物线与X轴的交点坐标。
显然，与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的3.二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质4.二次函数的平移问题5. 二次函数y=ax2 +bx+c中a，b，c的符号与图像性质的关系：6.抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式△的符号之间的的关系二次函数的常规解法：一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时，可选用y＝ax2+bx+c(a≠0)求解。
我们称y＝ax2+bx+c(a≠0)为一般式（三点式）。
例：二次函数图象经过A(1，3)、B(-1，5)、C(2，-1)三点，求此二次函数的解析式。
说明：因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。
所以将已知三点的坐标分别代入y＝ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值，即可求二次函数解析式。
2二次函数图象的几何变换.docx
二次函数图象的几何变换一、二次函数图象的平移变换(1 )具体步骤：先利用配方法把二次函数化成y = a{x-h^^k 的形式，确定其顶点(力,灯，然后做出二次函数y =的图像，将抛物线y = ax 2平移，使其顶点平移到(h,k).具体平移方法如图所示：(2)平移规律：在原有函数的基础上“左加右减：二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x 轴对称y = ax 2 + bx + c 关于x 轴对称后，得到的解析式是y = -ax 2 -bx -c ；y = a(x-h)2 +k 关于x 轴对称后，得到的解析式是y = -?(x-/?)' -k ；2.关于y 轴对称y = cix 2 + + c 关于y 轴对称后，得到的解析式是y = ax 2 - bx 4- c ；y = a(x-h)2 +k 关于y 轴对称后，得到的解析式是y 之⑺+盯+鸟；3.关于原点对称y = ax 1 +bx + c 关于原点对称后，得到的解析式是y = -ax 2 +bx-c ；y = a(x_//)2 +￡关于原点对称后，得到的解析式是y =-6Z(J +/?)2-k ；4.关于顶点对称y = dX +鸟兀+ ?关于顶点对称后，得到的解析式是y = -ax 2 -bx-vc- — }2ay = a(x-h)2+k 关于顶点对称后，得到的解析式是y = -a^x-h)" + k .5.关于点(加,/?)对称y = a(x-h)2 +k 关于点(〃7, n)对称后，得到的解析式是y = -°(兀+力-2加『+2斤-￡根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此问永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.一、二次函数图象的平移变换【例1】函数y = 3(x + 2)2-l 的图象可由函数y = 3x 2的图象平移得到，那么平移的步骤是：()A.右移两个单位，下移一个单位B.右移两个单位，上移一个单位C.左移两个单位，下移一个单位D.左移两个单位，上移一个单位尸at"尸y=a(x-h)2-i-k卜(JKO)平移|上|个单僻向上(Q0).下(X0)平移M I 个单位【例2 ]函数y = -2(x-1)2-1的图彖可由函数y = -2(x + 2尸+ 3的图彖平移得到，那么平移的步骤是( )A.右移三个单位，下移四个单位B.右移三个单位，上移四个单位C.左移三个单位，下移四个单位D.左移四个单位，上移四个单位【例3】二次函数= +4x4-1的图象如何移动就得到)=-2戏的图象( )A?向左移动1个单位，向上移动3个单位.B.向右移动1个单位，向上移动3个单位.U向左移动1个单位，向下移动3个单位.D.向右移动1个单位，向下移动3个单位.【例4】将函数的图象向右平移G(G>0)个单位，得到函数尸/_3兀+ 2的图象，则。
二次函数图像和几何变换
二次函数图像和几何变换1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线221x y =经过平移得到抛物线x x y 2212-=，其对称轴与两端抛 物线所围成的阴影部分面积为 .2.已知下列函数在同一平面内下列4个函数；①y=2（x+1）2-1；②y=2x 2+3；③y=-2x 2-1；④1212-=x y 的图象不可能由函数y=2x 2+1的图象通过平移变换得到的函数是 .(填写所有正确选项的序号）．3、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x 2-2x+3，则b 的值为 .4、将二次函数y=（x-2）2+3的图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位，所得二次函数的解析式为 .5、二次函数y=x 2-2x-3的图象关于原点O （0，0）对称的图象的解析式是 .6、若抛物线y=ax 2+bx+3与y=-x 2+3x+2的两交点关于原点对称，则a 、b 分别为 ， .7、已知抛物线y=x 2-2x-3，若点P （-2，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的坐标是 .8、将抛物线y=x 2-4x+4沿y 轴向下平移后，所得抛物线与x 轴交于点A 、B ，顶点为C ，如果△ABC 是等腰直角三角形，那么顶点C 的坐标是 .9、抛物线y=2x 2-4x-5的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为 .10、在平面直角坐标系中，先将抛物线y=-x 2+2x+3关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线平移使它经过原点，写出经两次变换后所得的新抛物线的一个解析式 .22212--=x x y11、下表给出了代数式x 2+bx+c 与x 的一些对应值：函数y=x 2的图象可以通过平移得到函数y=x 2+bx+c 的图象．请写出一种正确的平移 .11、二次函数 的图象在坐标平面内绕顶点旋转180°，再向左平移3个单位，向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为_____________________．12、把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2－3x+5，则a+b+c=__________.13、若抛物线23y ax bx =++与232y x x =-++的两交点关于原点对称，则a b 、分别为 ．14、抛物线x x y 422-=关于y 轴对称的抛物线的关系式为 .15、抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线为3422+-=x x y ，则a= ,b = ,c = .16、将抛物线y ＝ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 .。
最全二次函数概念图像性质表格完整版.doc
二次函数的图象1、二次函数的性质2、二次函数解析式的几种形式：①一般式：2y ax bx c（a、b、c 为常数，a≠0）②顶点式：2y a（x h）k（a、h、k 为常数，a≠ 0），其中（h，k）为顶点坐标。
③交点式：y a（x x1）（x x2），其中x1 ，x2是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一2元二次方程ax2 bx c 0 的两个根，且a≠ 0，（也叫两根式）3 、求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法22①配方法：将解析式y ax bx c化为y a（x h） k 的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x h，若a>0，y有最小值，当x＝h时，y最小值k；若a<0，y有最大值，当x＝h时，y最大值k。
b ，4ac b2 ②公式法：直接利用顶点坐标公式（2a 4a ），求其顶点；对称轴是直线x ba 0，y有最小值，当x b时，y 最小值4ac b；2a ，若2a 4a 若a 0 ，y 有b 4ac b2x 时，y 最大值最大值，当2a 4a4、抛物线与x 轴交点情况：2对于抛物线y ax bx c （a≠ 0）2①当b2 4ac 0时，抛物线与x 轴有两个交点，反之也成立。
2②当b2 4ac 0时，抛物线与x 轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。
2③当b2 4ac 0 时，抛物线与x 轴无交点，反之也成立。
x5、求根公式：b b 4ac2ax赠送以下资料二次函数的应用》中考题集锦10 题已知抛物线y x2mx 2m2（m 0）．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点P（0，n）作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B（点A在点P的左边），是否存在实数m，n ，使得AP 2PB ？若存在，则求出m，n 满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：y x 2mx 2m2x m 9m2 ，249 当m 0 时，抛物线顶点的纵坐标为m2 0 ，4 顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，该抛物线与x 轴有两个不同的交点．或者，当m 0 时，抛物线与y 轴的交点（0，2m2）在x轴下方，而该抛物线的开口向上，该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法 2 ：2 2 2m24 1 （ 2m2） 9m2，2当m 0 时，9m20 ，该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）存在实数m，n ，使得AP 2PB．设点B的坐标为（t，n），由AP 2PB知，①当点B 在点P的右边时，t 0，点A的坐标为（ 2t，n），且t，2t 是关于x 的方程x2mx 2m2n 的两个实数根．2 2 2 92m24( 2m2n) 9m24n 0 ，即n m2．4 且t ( 2t) m(I)，t (2)t m n2(II )由（I ）得，t m，即m 0 ．将t m代入（II ）得，n 0 ．当m 0且n 0时，有AP 2PB．②当点B 在点P 的左边时，t 0，点A的坐标为（2t，n），且t，2t 是关于x 的方程x2mx 2m2n 的两个实数根．m24( 2m2n) 9m24n 0 ，即n 9m2．4且t 2t m(I)，t 2t 2m2n(II )由（I ）得，t ，即m 0．3m 20 2 9 2将t 代入（II ）得，n m2且满足n m2．3 9 4当m 0且n 20 m2时，有AP 2PB9第11 题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为S 10t t2，若滑到坡底的时间为 2 秒，则此人下滑的高度为（）Ａ．24 米Ｂ．12 米Ｃ．12 3米Ｄ．6 米答案：Ｂ第12 题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的 3 月25 日起的180 天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．（1）直接写出图（ 1）中表示的市场销售单价 y （元）与上市时间 t （天）（ t 0）的函数 关系式；（2）求出图（ 2）中表示的种植成本单价 z （元）与上市时间 t （天）（t 0 ）的函数关系 式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最 大？（说明： 市场销售单价和种植成本单价的单位：元／ 500 克．） 答案：解：（ 1）依题意，可建立的函数关系式为：2t 160 （0 t 120）， 3y 80 （120≤ t 150），2t 20 （150 ≤ t ≤ 180）．2）由题目已知条件可设 z a （t 110）2 20 ．85图象过点 （60，85） ，3化简得85 2a(60 110)2 12 z (t 110)2 300(3)设纯收益单价为 20． a 3100 20 (t 0) ．W 元，则 W =销售单价 成本单价．1(t 110)2 20 (0 t 120)， 300故 W 80 2t 160 3 12 (t 110)2 20 (120≤ t 150)，3002 1 2t 20 (t 110)2 20 (150≤ t ≤ 180)． 5 3002(t 110)2 60 (120≤ t 150)， (t 170)2 56 (150≤ t ≤ 180)． 12①当 W （t 10）2 100（0 t 120）时，有 t 10时， W 最大，最大值为 100； 30012②当W （t 110）2 60（120≤ t 150）时，由图象知，有 t 120时， W 最大，最2 大值为 59 ；3 12③当 W （t 170）2 56（150≤ t ≤ 180）时，有 t 170时， W 最大，最大值为 56． 300 综上所述，在 t 10时，纯收益单价有最大值，最大值为 100 元．第13题如图，足球场上守门员在 O 处开出一高球， 球从离地面 1米的 A 处飞出（ A 在 y轴 上），运动员乙在距 O 点 6 米的 B 处发现球在自己头的正上方达到最高点 M ，距地面约4 米高，球落地后又一次弹起． 据实验， 足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点 C 距守门员多少米？（取 4 3 7 ）（3）运动员乙要抢到第二个落点 D ，他应再向前跑多少米？（取 2 6 5）1213002 (t 10)2100 (0 t 120)，1 3001300抛物线的表达式为 由已知：当 x 0 时 y 1．即 1 36a 4， a 112y a( x 6)2 4． 答案：解：（ 1）（表达式为y （x 6）2 4．1212（或y x2 x 1 ）1212（2）（3 分）令y 0，（x 6）2 4 0．12（ x 6） 48．x1 4 3 6 ≈13，x2 4 3 6 0 （舍去）．足球第一次落地距守门员约13 米．（3）（4 分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF （即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了 2 个单位）2 1（x 6）2 4 解得x1 6 2 6，x2 6 2 6．CD x1 x2 4 6 ≈10．BD 13 6 10 17 （米）．12解法二：令（x 6）2 4 0．12解得x1 6 4 3（舍），x2 6 4 3≈13．点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为y 1（x k）2 2．1212将C 点坐标代入得：（13 k）2 2 0．12解得：k1 13 2 6 13 （舍去），k2 6 4 3 2 6 ≈6 7 5 18．12y (x 18)2 2 1212令y 0，0 (x 18)2 2．12x1 18 2 6 (舍去)，x2 18 2 6≈23．BD 23 6 17 （米）．解法三：由解法二知，k 18，所以CD 2（18 13） 10，所以BD （13 6） 10 17．答：他应再向前跑17 米．第14 题荆州市“建设社会主义新农村” 工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费 2.7 万元；购置滴 灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为 0.9 ；另外每公 顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支 0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖 7.5 万元．（1）基地的菜农共修建大棚 x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为 y （万元）， 写出 y 关于 x 的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得 5 万元收益，工作组应建议他修建多少公项 大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施 3 年内不需增加投资仍可继续使 用．如果按 3 年计算， 是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收 益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（ 1） y 7.5x 2.7x 0.9x 2 0.3x0.9x 2 4.5x ．222）当 0.9x 2 4.5x 5 时，即 9x 2 45x 50 0 ，5从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建 公顷大棚． 3（3）设 3 年内每年的平均收益为 Z （万元）2 2 2Z 7.5x 0.9x 0.3x 2 0.3x 0.3x 2 6.3x 0.3 x 10.5 33.075（10 分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为 10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过 10.5 公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过 10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．2③当 0.3x 2 6.3x 0时， x 1 0， x 2 21．大棚面积超过 21公顷时，不但不能收益， 反而会亏本． （说其中一条即可）第 15 题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为 18 元，按定价40 元出售，每月可销售 20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研， 每降价 1元，月销售量可增加 2 万件．（1）求出月销售量 y （万件）与销售单价 x （元）之间的函数关系式（不必写 x 的取值范围）；（2）求出月销售利润 z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价 x （元）之间的函数关 系式（不必写 x 的取值范围） ；（3）请你通过（ 2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月 销售利润不低于 480 万元．答案：略．第 16 题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为 8m ，宽为 2m ，隧道最高点 P 位于 AB 的中央且距地面 6m ，建立如图所示的坐标系 （1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高 4m ，宽 2m ，能否从该隧道内通过，为什么？x1 3，10x2233）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点A 0，2 ，P 4，6 ，设抛物线的方程为y ax2bx c 将A，P，D 三点的坐标代入抛物线方程．12解得抛物线方程为y 1 x2 2 x 2412（2）令y 4 ，则有x2 2x 2 44解得x1 4 2 2，x2 4 2 2x2 x1 4 2 2货车可以通过．1（3 ）由（2 ）可知x2 x1 2 2 222 1货车可以通过．第17 题如图，在矩形ABCD中，AB 2AD ，线段EF 10．在EF 上取一点M，分别以EM，MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN x，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？H N G E M F答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD，MN MF．AD AB ．AB 2AD，MN x ，MF 2x ．EM EF MF 10 2x ．S x(10 2 x)52252 x ．22B 8，22x 2 10 x当x 25时，S有最大值为225．第18 题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润y A （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：y A kx ，并且当投资 5 万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y B （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：y B ax2bx ，并且当投资 2 万元时，可获利润 2.4 万元；当投资 4 万元时，可获利润 3.2 万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A，B两种产品共投资10 万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当x 5时，y1 2，2 5k，k 0.4 ，y A 0.4x ，当x 2时，y B 2.4 ；当x 4时，y B 3.2．2.4 4a 2b3.2 16a 4b解得a 0.2 b 1.62y B 0.2x 1.6x ．（2）设投资B种商品x万元，则投资A种商品（10 x）万元，获得利润W 万元，根据题意可得W 0.2x21.6x 0.4（10 x） 0.2x21.2x 4W 0.2（ x 3）25.8当投资B种商品3万元时，可以获得最大利润 5.8 万元，所以投资A种商品7万元，B种商品 3 万元，这样投资可以获得最大利润 5.8 万元．第19 题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m，支柱A3B3 50m ， 5 根支柱A1B1，A2B2，A3B3，A4B4，A5B5 之间的距离均为15m，B1B5 ∥ A1A5 ，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中．（1）直接写出图（2）中点B1，B3，B5 的坐标；2）求图（2）中抛物线的函数表达式；3）求图（1）中支柱A2B2，A4B4 的长度．答案：（1）B1（ 30，0），B3（0，30），B5（30，0）；2）设抛物线的表达式为y a（x 30）（x 30），把B3 (0，30) 代入得y a(0 30)(0 30) 30．1∴ a ．301 ∵所求抛物线的表达式为：y (x 30)(x 30) ．30( 3)∵ B4 点的横坐标为15，1 45∴ B4 的纵坐标y4 (15 30)(15 30) ．4 4 30 2∵ A3B3 50 ，拱高为30，∴立柱A4B4 2045 854 42 2由对称性知：A2B2 A4B4 825(m) 。
二次函数的图像和变换
二次函数的图像和变换二次函数是数学中一个重要的概念，在数学中有着广泛的应用。
本文将以二次函数的图像和变换为主题，介绍二次函数的基本性质、图像的特征以及常见的变换方式。
一、二次函数的基本性质二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由a的正负确定。
当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。
二次函数的图像在坐标系中的对称轴为直线x = -b/2a，对称轴将图像分为两部分，称为左右分支。
当x值大于对称轴的x坐标时，函数值随x增大而增大；当x值小于对称轴的x坐标时，函数值随x增大而减小。
二、二次函数图像的特征1. 零点：二次函数的零点指的是函数图像与x轴（即y = 0）的交点，可以通过求解ax^2 + bx + c = 0的方程来确定。
二次函数的零点可能有0个、1个或者2个。
2. 非常数项c：二次函数的非常数项c代表了函数图像与y轴的交点，即在x = 0时的函数值。
如果c > 0，则函数图像与y轴正向交点在y轴上方；如果c < 0，则函数图像与y轴负向交点在y轴下方。
3. 极值点：二次函数的极值点是函数图像上离对称轴最近的点。
当a > 0时，函数的极值点为最小值；当a < 0时，函数的极值点为最大值。
极值点的横坐标为对称轴的横坐标，可通过对称轴方程得到。
三、二次函数的常见变换二次函数可以通过平移、伸缩、翻转等变换方式进行图像的调整。
1. 平移：沿着坐标轴的平移可以调整二次函数图像的位置。
平移的方式有水平平移和垂直平移两种。
水平平移可以通过在x轴上添加或减去常数来实现，例如f(x) = (x - a)^2 + b表示将二次函数图像沿x轴平移a个单位，并沿y轴平移b个单位。
垂直平移可以通过在函数整体上加或减常数来实现，例如f(x) = x^2 + c表示将二次函数图像沿y轴平移c个单位。
知识卡片-二次函数图象与几何变换
二次函数图象与几何变换能量储备● 二次函数的平移（1）几种二次函数解析式之间的平移关系：（2）将二次函数c bx ax y ++=2，向左平移m 个单位，函数解析式变为 c m x b m x a y ++++=)()(2；向右平移m 个单位，函数解析式变为c m x b m x a y +-+-=22)()(.将二次函数c bx ax y ++=2，向上平移n 个单位，函数解析式变为n c bx ax y +++=2;向下平移n 个单位，函数解析式变为n c bx ax y -++=2.（3）平移前后的的函数的开口方向与开口大小不改变，即a 不变● 二次函数的中心对称（1）关于原点对称 c bx ax y ++=2关于原点对称后，得到的解析式是c bx ax y -+-=2；k h x a y +-=2）（关原点对称后，得到的解析式是k h x a y -+-=2）（.（2）关于顶点对称c bx ax y ++=2关于顶点对称后，得到的解析式是a b c bx ax y 222-+--=； k h x a y +-=2）（关顶点对称后，得到的解析式是k h x a y +--=2）（.（3）关于点（m ,n ）对称k h x a y +-=2）（关点（m ,n ）对称后，得到的解析式是k n m h x a y -+-+-=222）（.二次函数的轴对称（1）关于x轴对称ax-=2；bx-y-bx=2关于x轴对称后，得到的解析式是caxcy++y-xa-=2）h（.-a（关于x轴对称后，得到的解析式是kkxh=2）-y+（2）关于y轴对称axy+=2；=2关于y轴对称后，得到的解析式是c-bx+cbxy+axxha（.（关于y轴对称后，得到的解析式是k+y+=2）=2）kxh-y+a通关宝典★基础方法点方法点1：二次函数旋转的规律当抛物线旋转后，其位置取决于顶点，开口方向取决于a的符号，故可利用变化后的顶点坐标与开口方向求旋转后的抛物线的解析式，注意抛物线绕顶点旋转180°后，保持|a|相等．例：将抛物线y＝2x2－12x＋16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是()A．y＝－2x2－12x＋16B．y＝－2x2＋12x－16C．y＝－2x2＋12x－19 D．y＝－2x2＋12x－20解析：抛物线y＝2x2－12x＋16＝2(x－3)2－2，其顶点坐标为(3，－2)，绕顶点旋转180°后抛物线顶点没有改变，只是开口方向与原来相反，即a＝－2，所以抛物线的解析式为y＝－2(x －3)2－2＝－2x2＋12x－20.答案：D★★易混易误点蓄势待发考前攻略主要考查利用平移、旋转、对称前后对应的二次函数的解析式及图象的顶点坐标.各个题型均有涉及，难度适中.完胜关卡。
7初中数学.二次函数图象的几何变换.第07讲.学生版
内容基本要求略高要求较高要求二次函数能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综结合的有关问题模块一 二次函数的平移1. 几种二次函数解析式之间的平移关系：① 函数2y ax k =+的图象可以看做是由函数2ax y =的图象向上或向下平移||k 个单位得到的；0k >时，向上平移；0k <时，向下平移。
② 函数()2y a x h =-的图象可以看做是由函数2ax y =的图象向左或向右平移||h 个单位得到的；0h >时，向右平移；0h <时，向左平移。
③ 函数()2y a x h k =-+的图象可以看做是由函数2ax y =的图象先向左或向右平移||h 个单位，再向上或向下平移||k 个单位得到的；当0h >时，向右平移，当0h <时，向左平移；0k >时，向上平移，0k <时，向下平移。
2. 将二次函数2y ax bx c =++，向左平移m 个单位，函数解析式变为()()2y a x m b x m c =++++；向右平移m 个单位，函数解析式变为()()2y a x m b x m c =-+-+。
二次函数图象的几何变换3. 将二次函数2y ax bx c =++，向上平移n 个单位，函数解析式变为2y ax bx c n =+++；向下平移n 个单位，函数解析式变为2y ax bx c n =++-。
4. 通常，将平移前的函数2y ax bx c =++化成()2y a x h k =-+的形式，在根据顶点的平移情况确定函数的平移情况，再将顶点式整理成一般式。
二次函数的像和变换
二次函数的像和变换二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
二次函数的图像呈现出特有的曲线形状，通过对二次函数进行变换，可以得到不同的曲线形状和位置。
本文将探讨二次函数的像和变换方面的知识。
一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$为实常数，$a$不等于零。
根据$a$的正负可以判断二次函数的开口方向：当$a>0$时，开口向上；当$a<0$时，开口向下。
二、二次函数的顶点二次函数的顶点是指曲线的最高点（开口向下）或最低点（开口向上）。
顶点坐标为$(h, k)$，其中$h$为曲线在$x$轴的对称轴上的坐标，$k$为曲线经过的最高点或最低点的纵坐标。
三、二次函数的平移平移是指在坐标平面上将曲线的位置向左、向右、向上或向下移动。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，设原曲线上一点的坐标为$(x, y)$，经平移得到的新曲线上相应点的坐标为$(x+h, y+k)$，其中$(h, k)$为平移的量。
平移的规律如下：1. 左平移$h$个单位：将曲线上所有点的$x$坐标减去$h$，保持$y$坐标不变。
2. 右平移$h$个单位：将曲线上所有点的$x$坐标加上$h$，保持$y$坐标不变。
3. 上平移$k$个单位：将曲线上所有点的$y$坐标加上$k$，保持$x$坐标不变。
4. 下平移$k$个单位：将曲线上所有点的$y$坐标减去$k$，保持$x$坐标不变。
四、二次函数的伸缩伸缩是指通过调整二次函数的系数$a$，$b$或$c$，改变曲线的形状。
设原曲线上一点的坐标为$(x, y)$，经伸缩得到的新曲线上相应点的坐标为$(kx, ky)$，其中$k$为伸缩的比例因子。
伸缩的规律如下：1. 纵向伸缩：将曲线上所有点的$y$坐标乘以$k$，保持$x$坐标不变。
2. 纵向压缩：将曲线上所有点的$y$坐标除以$k$，保持$x$坐标不变。
二次函数解析式及图形变换
二次函数解析式及图形变换抛物线的平移、对称与旋转①平移：“左加右减，上加下减”。
②对称：关于x 轴对称：2y ax bx c =++的图象x 轴对称后得到图象的解析式是2y ax bx c =---。
关于y 轴对称：2y ax bx c =++的图象y 轴对称后得到图象的解析式是2y ax bx c =-+。
关于原点对称：2y ax bx c =++的图象原点对称后得到图象的解析式是2y ax bx c =-+-。
1、在同一坐标平面内，图象不可能．．．由函数221y x =+的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（ ）A ．22(1)1y x =+-B ．223y x =+C ．221y x =--D ．2112y x =- 2、将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180︒，所得抛物线的解析式是（ ）A ．221216y x x =--+B ．221216y x x =-+-C ．221219y x x =-+-D ．221220y x x =-+-3、抛物线2y x bx c =++图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为223y x x =--，则b 、c的值为（ ）A ．22b c ==， B ．20b c ==， C ．21b c ==-， D ．32b c =-=，4、将抛物线C ：2310y x x =+-，将抛物线C 平移到C '。
若两条抛物线C ，C '关于直线1x =对称，则下列平移方法中正确的是（ ） A ．将抛物线C 向右平移52个单位 B ．将抛物线C 向右平移3个单位 C ．将抛物线C 向右平移5个单位 D ．将抛物线C 向右平移6个单位5、将抛物线21y x =+向下平移2个单位，•则此时抛物线的解析式是 。
6、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式（ ）A ．2(1)3y x =--+B ．2(1)3y x =-++C ．2(1)3y x =---D ．2(1)3y x =-+- 7、把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为（ ）． 8、.如图2，一条抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，其顶点P 在折线C －D －E 上移动，若点C 、D 、E 的坐标分别为 （－1，4）、（3，4）、（3，1），点B 的横坐标的最小值为1，则点A 的横坐标的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.49、如图，点A ，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a （x-m ）2+n 的顶点在线段AB 上运动（抛物线随顶点一起平移），与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为-3，则点D 的横坐标最大值为（ ） A 、-3 B 、1 C 、5 D 、810、如图，平行四边形ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c =++经过x 轴上的点A ，B 。
二次函数的变形与像
二次函数的变形与像二次函数是高中数学中重要的函数之一，在数学研究和实际应用中广泛应用。
而二次函数的变形与像是学习二次函数必不可少的内容之一。
本文将介绍二次函数的常见变形形式以及对应的图像特点。
一、二次函数的基本形式二次函数的基本形式是：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c均为常数，且a≠0。
这个形式被称为抛物线的标准式。
在这个基本形式中，a决定了抛物线的开口方向，正值表示向上开口，负值表示向下开口。
b决定了抛物线的平移，c则是抛物线的纵坐标偏移量。
二、二次函数的变形形式1. 平移变形：f(x) = a(x-h)^2 + k平移变形通过改变函数中的h和k的值来改变抛物线的位置。
其中(h, k)表示抛物线的顶点坐标。
当h>0时，函数图像向右平移h个单位；当h<0时，函数图像向左平移|h|个单位；当k>0时，函数图像向上平移k个单位；当k<0时，函数图像向下平移|k|个单位。
2. 反比例变形：f(x) = a/(x-h)^2 + k反比例变形通过改变函数中的h和k的值来改变抛物线的顶点位置。
其中(h, k)表示抛物线的顶点坐标。
当h>0时，函数图像向左平移h个单位；当h<0时，函数图像向右平移|h|个单位；当k>0时，函数图像向下平移k个单位；当k<0时，函数图像向上平移|k|个单位。
3. 压缩与拉伸变形：f(x) = a(x-h)^2 + k压缩与拉伸变形通过改变函数中的a的值来改变抛物线的形状。
当|a|<1时，函数图像纵向压缩，抛物线变矮胖；当|a|>1时，函数图像纵向拉伸，抛物线变高瘦。
三、二次函数的像及图像特点1. 顶点二次函数的顶点是平移变形的关键。
通过平移变形改变抛物线的位置，顶点的坐标即为平移后的坐标。
2. 对称轴二次函数的对称轴是抛物线的中垂线。
它过顶点且与抛物线关于对称轴对称。
对称轴方程可由x = -b/2a得出。
7-4-3二次函数图象的几何变换讲义教师版
7-4-3二次函数图象的几何变换讲义教师版二次函数的一般形式可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c为常数且a ≠ 0。
当a > 0时，二次函数的图像为开口向上的抛物线；当a < 0时，二次函数的图像为开口向下的抛物线。
本讲义将讨论二次函数图像的几何变换，包括平移、伸缩、翻转和旋转等变换。
1.平移变换：平移变换是指将二次函数图像整体上下左右移动一段距离。
设原函数为f(x)，平移后的函数为g(x)，则g(x)=f(x-h)+k，其中h为沿x轴平移的距离，k为沿y轴平移的距离。
当h>0时，函数图像沿x轴正方向平移h个单位长度；当h<0时，函数图像沿x轴负方向平移，h，个单位长度。
当k>0时，函数图像沿y轴正方向平移k个单位长度；当k<0时，函数图像沿y轴负方向平移，k，个单位长度。
2.伸缩变换：伸缩变换是指将二次函数图像沿x轴和y轴分别进行缩放。
设原函数为f(x)，伸缩后的函数为g(x)，则g(x) = af(bx) + c。
当，a，>1时，函数图像沿y轴方向进行纵向伸缩，缩放倍数为，a；当0<，a，<1时，函数图像沿y轴方向进行纵向压缩，缩放倍数为1/，a。
当，b，>1时，函数图像沿x轴方向进行横向压缩，缩放倍数为1/，b；当0<，b，<1时，函数图像沿x轴方向进行横向伸缩，缩放倍数为，b。
3.翻转变换：翻转变换是指将二次函数图像进行对称。
常见的翻转包括关于x轴、y轴和原点的翻转。
关于x轴的翻转：设原函数为f(x)，关于x轴的翻转后的函数为g(x)，则g(x)=-f(x)。
关于y轴的翻转：设原函数为f(x)，关于y轴的翻转后的函数为g(x)，则g(x)=f(-x)。
关于原点的翻转：设原函数为f(x)，关于原点的翻转后的函数为g(x)，则g(x)=-f(-x)。
4.旋转变换：旋转变换是指将二次函数图像按一定角度进行旋转。
word完整版二次函数图像以及性质完整归纳,文档
适用标准文档二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式： y ax 2的性质：a 的符号张口方向极点坐标 对称轴性质0，0 x 0时，y 随x 的增大而增大；x0时，y 随向上y 轴x0时，y 有最小值0．x 的增大而减小；a0，0 x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随向下 y 轴x0时，y 有最大值0．x 的增大而增大；的绝对值越大，抛物线的张口越小。
yax 2c 的性质：上加下减。
a 的符号 张口方向 极点坐标 对称轴 性质a0，c x 0时，y 随x 的增大而增大；x0时，y 随向上y 轴x0时，y 有最小值c ．x 的增大而减小；a 00，c x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随向下y 轴x0时，y 有最大值c ．x 的增大而增大；3.yax 2h 的性质：左加右减。
a 的符号 张口方向 极点坐标 对称轴 性质a 0 向上 h ，0 X=h x h 时，y 随x 的增大而增大； xh 时，y随x 的增大而减小； x h 时，y 有最小值0．a 0 向下 h ，0 X=h x h 时，y 随x 的增大而减小； xh 时，y随x 的增大而增大； x h 时，y 有最大值0．4.yax 2hk 的性质：a 的符号 张口方向 极点坐标 对称轴性质a0h，k xh时，y随x的增大而增大；xh时，y向上X=hx h时，y有最小值k．随x的增大而减小；a0h，k xh时，y随x的增大而减小；xh时，y向下X=hx h时，y有最大值k．随x的增大而增大；文案大全适用标准文档二、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线分析式转变为极点式yaxh 2h ，k ；k ，确立其极点坐标 ⑵保持抛物线yax 2的形状不变，将其极点平移到h ，k 处，详细平移方法以下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】 向右(h>0) 【或左(h<0) 】平移|k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 ”．归纳成八个字“左加右减，上加下减” ．方法二：⑴y ax 2 bx c 沿y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位，y ax 2 bx c 变为yax 2 bx c m （或y ax 2 bx cm ）⑵y ax 2 bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，yax 2 bx c 变为ya(x m)2 b(x m) c （或y a(x m)2 b(x m) c ）三、二次函数yax h 2k 与y2bx c 的比较ax从分析式上看， y a x 2k 与y ax 2 bxc 是两种不一样的表达形式，后者经过配hb 24ac b 2b，k4ac b 2方能够获得前者，即y a x，此中h ．2a4a2a4a四、二次函数yax 2 bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax 2 bx c 化为极点式y a(x h)2k ，确立其张口方向、对称轴及极点坐标，而后在对称轴双侧，左右对称地描点绘图.一般我们选用的五点为：极点、与 y 轴的交点0，c 、以及 0，c 对于对称轴对称的点 2h ，c 、与x 轴的交点x 1，0 ，x 2，0（若与x 轴没有交点，则取两组对于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：张口方向，对称轴，极点，与 x 轴的交点，与y 轴的交点.文案大全五、二次函数yax2bxc的性质1.当a0时，抛物线张口向上，对称轴为x b，极点坐标为b，4ac b2．2a2a4a当x b时，y随x的增大而减小；当x b时，y随x的增大而增大；当x b 2a2a2a 2时，y有最小值4acb．4a2.当a0时，抛物线张口向下，对称轴为x b，极点坐标为b，4ac b2．当2a2a4ax b时，y随x的增大而增大；当xb时，y随x的增大而减小；当x b时，y 2a2a2a 2有最大值4ac b．4a六、二次函数分析式的表示方法1.一般式：y ax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.极点式：y a(x h)2k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式：y a(x x1)(x x2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的分析式都能够化成一般式或极点式，但并不是全部的二次函数都能够写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的分析式才能够用交点式表示．二次函数分析式的这三种形式能够互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，明显a0．⑴当a0时，抛物线张口向上，a的值越大，张口越小，反之a的值越小，张口越大；⑵当a0时，抛物线张口向下，a的值越小，张口越小，反之a的值越大，张口越大．总结起来，a决定了抛物线张口的大小和方向，a的正负决定张口方向，a的大小决定张口的大小．一次项系数b在二次项系数a确立的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左边；2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的右边．2a文案大全⑵在a0的前提下，结论恰好与上述相反，即当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右边；2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的左边．2a总结起来，在a确立的前提下，b决定了抛物线对称轴的地点．ab的符号的判断：对称轴xb0，在y轴左边则ab0，在y轴的右边则ab2a归纳的说就是“左同右异”总结：常数项c⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的地点．总之，只需a，b，c都确立，那么这条抛物线就是独一确立的．二次函数分析式确实定：依据已知条件确立二次函数分析式，往常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的分析式一定依据题目的特色，选择适合的形式，才能使解题简易．一般来说，有以下几种状况：已知抛物线上三点的坐标，一般采用一般式；已知抛物线极点或对称轴或最大（小）值，一般采用极点式；已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般采用两根式；已知抛物线上纵坐标同样的两点，常采用极点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况，能够用一般式或极点式表达对于x轴对称y ax2bx c对于x轴对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y a x h 2yax h2 k对于x轴对称后，获得的分析式是k；对于y轴对称y ax2bx c对于y轴对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y a x h 2y ax h2 k对于y轴对称后，获得的分析式是k；文案大全适用标准文档对于原点对称y ax2bx c对于原点对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y ax h 2y a x h2k；k对于原点对称后，获得的分析式是4.对于极点对称（即：抛物线绕极点旋转180°）y ax2bx c对于极点对称后，获得的分析式是y ax2bx c b2；2ay ax h 2y a x h2k．k对于极点对称后，获得的分析式是5.对于点m，n对称y ax h 2y a x h22nk k对于点m，n对称后，获得的分析式是2m依据对称的性质，明显不论作何种对称变换，抛物线的形状必定不会发生变化，所以a永久不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，能够依照题意或方便运算的原则，选择适合的形式，习惯上是先确立原抛物线（或表达式已知的抛物线）的极点坐标及张口方向，再确定其对称抛物线的极点坐标及张口方向，而后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参照：y=2x 2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=x2y=2x2y=2(x-4)2x2十y=2y=2(x-4)2-3一、y=2x2+2y=2x2y=2x2-4x2y=-2y=-x2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2y=-2x2文案大全适用标准文档【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数y1x24x6的图象1x221(x2【解】y4x68x12)22 1[(x24)2-4]1(x24)2-222以x4为中间值，取x的一些值，列表以下：x-7-6-5-4-3-2-1y 53-2352222【例2】求作函数y x24x3的图象。
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二次函数图象与几何变换1．将抛物线y=x2﹣2x+3平移得到抛物线y=x2，则这个平移过程正确的是（）A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
【变式1】．将函数y=x2+x+b的图象向右平移a（a＞0）个单位，再向上平移2个单位，得到函数y=x2﹣3x+4的图象，则a、b的值分别为（）
A．a=1、b=4 B．a=2、b=2 C．a=2、b=0 D．a=3、b=2
【变式2】如果抛物线A：y=x2﹣1通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B得到抛物线C：y=x2﹣2x+2，那么抛物线B的表达式为（）
A．y=x2+2 B．y=x2﹣2x﹣1 C．y=x2﹣2x D．y=x2﹣2x+1
【变式3】．若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）
A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4
【变式4】．将抛物线y=x2﹣4x+3向上平移至顶点落在x轴上，如图所示，则两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．与抛物线y=x2﹣2x﹣4关于x轴对称的图象表示为（）
A．y=﹣x2+2x+4 B．y=﹣x2+2x﹣4 C．y=x2﹣2x+6 D．y=x2﹣2x﹣4
【变式】．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象关于直线x=﹣1对称的图象的表达式是（）A．y=x2﹣16x+55 B．y=x2+8x+7 C．y=﹣x2+8x+7 D．y=x2﹣8x+7
3．如图，抛物线y=ax2+bx+c关于原点对称的抛物线是（）
A．y=﹣ax2﹣bx+c B．y=ax2﹣bx﹣c C．y=﹣ax2+bx﹣c D．y=﹣ax2﹣bx﹣c
【变式1】．将二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象绕坐标原点O旋转180°，则旋转后的图象对应的解析式为（）
A．y=x2+2x+3 B．y=﹣x2﹣2x+1 C．y=x2﹣2x﹣1 D．y=﹣x2+2x﹣3
【变式2】顶点为M的抛物线y=x2+2x+3与y轴交于点A，在顶点不变的情况下，把抛物线绕顶点M旋转180°得到一条新的抛物线，且新抛物线与y轴交于点B，则△AMB的面积为（）
A．6 B．3 C．2 D．1
【变式3】在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕
原点旋转180°得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（）
A．y=﹣（x﹣）2﹣B．y=﹣（x+）2﹣C．y=﹣（x﹣）2﹣D．y=﹣（x+）2+
4．已知P（﹣3，m）和Q（1，m）是抛物线y=x2+bx﹣3上的两点．
（1）求b的值；
（2）将抛物线y=x2+bx﹣3的图象向上平移k（是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值；
（3）将抛物线y=x2+bx﹣3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．
【变式】．如图，四边形ABCO为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为（﹣1，2），将此矩形绕点O顺时针旋转90°得矩形DEFO，抛物线y=﹣x2+bx+c过B，E两点．
（1）求此抛物线的函数关系式．
（2）将矩形ABCO向左平移，并且使此矩形的中心在此抛物线上，求平移距离．（3）将矩形DEFO向上平移距离d，并且使此抛物线的顶点在此矩形的边上，则d 的值是．
5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y=x 2+（3﹣m ）x 经过点A （﹣1，0）．
（1）求抛物线C 的表达式；
（2）将抛物线C 沿直线y=1翻折，得到的新抛物线记为C 1，求抛物线C 1的顶点坐标；
（3）将抛物线C 沿直线y=n 翻折，得到的图象记为C 2，设C 与C 2围成的封闭图形为M ，在图形M 上内接一个面积为4的正方形（四个顶点均在M 上），且这个正方形的边分别与坐标轴平行．求n 的值．
6．如果抛物线C 1的顶点在抛物线C 2上，同时，抛物线C 2的顶点在抛物线C 1上，那么，我们称抛物线C 1与C 2关联．
（1）已知两条抛物线①：y=x 2+2x ﹣1，②：y=﹣x 2+2x+1，判断这两条抛物线是否关联，并说明理由；
（2）抛物线C 1：y=（x+1）2﹣2，动点P 的坐标为（t ，2），将抛物线C 1绕点P （t ，2）旋转180°得到抛物线C 2，若抛物线C 2与C 1关联，求抛物线C 2的解析式．
【课后练习】
一．选择题（共4小题）
1．（西城区期末）将抛物线y=﹣3x 2平移，得到抛物线y=﹣3 （x ﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
2．（东城区期末）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2﹣2x ﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是（ ）
A ．y=（x+1）2+1
B ．y=（x ﹣3）2+1
C ．y=（x ﹣3）2﹣5
D ．y=（x+1）2+2
3．（通州区期末）把二次函数的图象经过翻折、平移得到二次函数
的图象，下列对此过程描述正确的是（ ）
A ．先沿y 轴翻折，再向下平移6个单位
B ．先沿y 轴翻折，再向左平移6个单位
C ．先沿x 轴翻折，再向左平移6个单位
D ．先沿x 轴翻折，再向右平移6个单位
4．（顺义区一模）在平面直角坐标系x′O′y′中，如果抛物线y′=2x′2不动，而把x 轴、y 轴分别向下、向左平移2个单位，则在新坐标系下抛物线的表达式为（ ）
A ．y=2（x+2）2﹣2
B ．y=2（x+2）2+2
C ．y=2（x ﹣2）2﹣2
D ．y=2（x ﹣2）2+2
二．填空题（共4小题）
5．（石景山区期末）如图，抛物线C 1：y=x 2经过平移得到抛物线C 2：y=x 2+2x ，
抛物线C 2的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是 ．
6．（昌平区期末）如图，我们把抛物线y=﹣x （x ﹣3）（0≤x ≤3）记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于另一点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于另一点A 3；…；如此进行下去，直至得C 2016．①C 1的对称轴方程是 ；②若点P （6047，m ）在抛物线C 2016上，则m= ．
7．（海淀区期末）已知点P （﹣1，m ）在二次函数y=x 2﹣1的图象上，则m 的值为 ；平移此二次函数的图象，使点P 与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为 ．
8．（通州区期末）如图：在平面直角坐标系中，A （﹣2，0），B （0，1），有一组抛物线L n ，它们的顶点C n （X n ，Y n ）在直线AB 上，并且经过点（X n +1，0），当n=1，2，3，4，5…时，X n =2，3，5，8，13…，根据上述规律，写出抛物线L 1的表达式为 ，抛物线L 6的顶点坐标为 ，抛物线L 6D 的解析式为 ．
三．解答题（共4小题）
9．（门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象所在的位置如图所示：（1）请根据图象信息求该二次函数的表达式；
（2）将该图象（x＞0）的部分，沿y轴翻折得到新的图象，请直接写出翻折后的二次函数表达式；
（3）在（2）的条件下与原有二次函数图象构成了新的图象，记为图象G，现有一次函数y=x+b的图象与图象G有4个交点，请画出图象G的示意图并求出b的取值范围．
10．（门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A（0，2）和B（1，）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）已知点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，点D在抛物线上，且点D的横坐标为4，求点C与点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线在点A，D之间的部分（含点A，D）记为图象
G，如果图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．
11．（东城区二模）二次函数C
1
：y=x2+bx+c的图象过点A（﹣1，2），B（4，7）．
（1）求二次函数C
1
的解析式；
（2）若二次函数C
2与C
1
的图象关于x轴对称，试判断二次函数C
2
的顶点是否在直
线AB上；
（3）若将C
1
的图象位于A，B两点间的部分（含A，B两点）记为G，则当二次函数y=﹣x2+2x+1+m与G有且只有一个交点时，直接写出m满足的条件．
12．（海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x+2与y轴交于点A，顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．。