公式法解一元二次方程优秀课件

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公式法解一元二次方程课件

，当 b2 4ac 0
时，将 a，b，c代入式子
x b b2 4ac 2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
三、新知运用
例1 解下列方程：
（1） x2 4x 7 0；
（2） 2x2 2 2x 1 0 ；
一、复习与引入
1、用配方法解下列方程：
（1）3x2 6x 5 0；（2） 4x2 - x - 9 0
2、用配方法解方程的一般步骤有哪些？
（1）化二次项系数为1；（2）移常数项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；（4）原方程变为(x+k)2=a的情势；（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求方程的解。
（3）5x2 3x x 1 ；
（4） x2 17 8x
用公式法解方程的一般步骤：
（1）先把方程化成一般情势，确定a、b、c的值。（确定a、b、c的值
时要注意符号．）
（2）求b2-4ac的值。
（3）判断b2-4ac的符号。当b2-4ac≥0时，代入求根公式，求出x1、
x2；当b2-4ac＜0时，原方程无实数根。
四、新知巩固
1、完成课本12页练习1
1 x2 x 6 0; 2 x2 3x 1 0;
4
3 3x2 6x 2 0; 4 4x2 6x 0; 5 x2 4x 8 4x 11 ; 6 x 2x 4 5 8x.
解：（1）
2 x2 3x 1 0
五、小结
求根公式 ax2 bx c 0 （a 0）. 当 b2 4ac 0 时，x b b2 4ac

解一元二次方程(公式法)(ppt课件)

这时
b
2
4ac 4a 2
＞0，
即
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
b b2 4ac
x
.
2a
b b2 4ac
b
x1
2a
, x2
b2 4ac .
2a
方程有两个不相等实数根
探究新知
⑵b2-4ac=0
这时
b2 4ac 0， 4a 2
x1=x2=- b 2a
方程有两个相等实数根
探究新知
解：方程化为 2x2－5x－9＝0.
a＝2，b＝－5，c＝－9.
Δ＝(－5)2－4×2×(－9)＝97＞0.
方程有两个不等的实数根
x＝－b±
b2－4ac＝5±
2a
4
97，
即
x1＝5＋4
97，x2＝5－4
97 .
随堂练习
3．用公式法解方程：x2－3x＋4＝0. 解：a＝1，b＝－3，c＝4. Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×4＝－7<0. 方程无实数根．
课堂小结
公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: △=b2-4ac的值; 4.判断：若△=b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若△=b2-4ac<0，则方程没有实数根.
当堂测试
1. 关于 x 的一元二次方程 x2 2x m 2 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围
,
x2
1．
（2） x2 4x 7 0 ，
a 1， b 4 ， c 7 ，
b2 4ac (4)2 417 44 0 ，

用公式法求解一元二次方程课件 (共25张PPT)

复习引入
（4） 4 x2 3x 2 0.
3 1 解：两边同时除以4，得 x x 0 . 4 2 3 1 2 移项，得 x x= . 4 2 2 2 3 1 3 3 2 配方，得 x x = ， 4 8 2 8 2 3 23 即 x = . 8 64 ∴此方程无实数根.
2
2 b b 4ac 0. 即： x 2 2a 4a 2
b b2 4ac 移项，得 x = . 2 2a 4a
2
下面该怎么运算？有条件限制吗？
探索新知
ax2 bx c 0 a 0
2 b b 4ac 2 当 b 4ac ≥0时，开平方得 x = . 2 2a 4a
（1）x 5x 4 0；
2
∵ b 4ac ＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
2
（2） 4x2 7 6 x；
2 b 4ac ＜0，∴方程没有实数根. ∵
（3） 2 x 2 6 x 3 0.
2
2 ∵ b 4ac ＝0 ，∴方程有两个相等的实数根.
1 解：两边都除以2，得：x 2 x 0 . 2
2
1 移项，得 x 2 x= . 2
2
2
1 配方，得 x 2 x 1= 1 . 2 3 2 即 x 1 = . 2
6 6 ∴ x1 1 ，x2 =1+ . 2 2
复习引入
（2）x2 1.5= 3x；
2
分析：（1）确定a,b,cLeabharlann 值；（2）判断方程是否有根；
（3）写出方程的根.
新知应用
（1）x 7 x 18 0；例1 解方程：

精品课件-《用公式法求解一元二次方程》课件pp

x232 3x
课堂练习
1、2x2＋x－6＝0； 2、x2＋4x＝2； 3、3x(x-3)=2(x-1)(x+1); 4、9x2+6x+1 =0
合作交流
• b2-4ac的值与根的关系当b2-4ac>0时根的情况当b2-4ac<0时根的情况当b2-4ac=0时根的情况
小结拓展
回味无穷
课堂检测
解下列方程: (1). x2-2x－8＝0； (2). 9x2＋6x＝8； (3). (2x-1)(x-2) =-1;
4.3y2123y.
参考答案:
1 .x1 2 ;x24 .
2.x1
32;x2
4. 3
3.x1
1;x2
3. 2
4.y1 y2
3. 3
下课了!
结束寄语
• 公式法是解一元二次方程重要方法,要作为一种基本技能来掌握，多加练习，提高效率
当b24ac0时,它的根: 是
xb
b24ac .
b24ac0.
2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
老师提示:
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必须是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠
2.能准确判断出一元二次方程中a,b,c的值 3.b2-4ac≥0.
心动不如行动
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
1.变形:化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算: b2-4ac的值;
4.代入:把有关数值代入公式计算; 5.定根:写出原方程的根.

用公式法解一元二次方程课件

例1：解方程 $x^2 - 6x + 9 = 0$。
根据公式，计算判别式 $Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 times 1 times 9 = 0$。
因为 $Delta = 0$，所以方程有两个相等的实数根，即 $x_1 = x_2 = frac{-b}{2a} = frac{6}{2} = 3$。
准确性：直接利用公式求解，避免了因式分解可能出现的错误。
05
06
简便性：对于某些复杂的一元二次方程，公式法比因式分解更简便。
02
一元二次方程的标准形式
标准形式的表达式
01
一元二次方程的一般形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a, b, c$ 是常数，$a neq 0$。
当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根（即一个重根）；
判别式的计算可以通过公式 $Delta = p^2 - 4q$ 进行，其中 $p$ 和 $q$ 是标准形式中的系数。
当 $Delta < 0$ 时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。
03
公式法求解一元二次方程
公式法的推导过程
求解方法
此时方程没有实数根，但有两个共轭的复数根，即 $x_1=frac{-
b+sqrt{Delta}i}{2a}$ 和 $x_2=frac{-b-
sqrt{Delta}i}{2a}$。
示例
$x^2+2x+5=0$，判别式 $Delta=-16<0$，解得 $x_1=-
1+2i$ 和 $x_2=-1-2i$。
$left(x + frac{b}{2a}right)^2 = frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。

用公式法求解一元二次方程-ppt课件

2
且四边形的周长是12，则△ 的面积为___．
第二章一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程
第2课时公式法的应用
1.在长、宽的矩形场地中修如图所示的
两条宽度相同的小路，小路的面积为，则
小路的宽为( A )
A.
B.
C.
D.
等．若停车位的总占地面积为 ,求车道的宽度（单位：）．
解：设车道的宽度为 .
根据题意，得 − − = .
整理，得 − + = ，解得 = ，
= （不合题意，舍去）．
答：车道的宽度为．
4.某主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三
解得 = + ， = − .
∵ = ± 都符合题意，
∴ 能围成面积为的矩形场地.
答：道路的宽度应设计为．
9.张大爷要建一个矩形养鸡场，为了节约材料，养鸡场的一边靠着原有
的一道墙，墙长为 ,另外三边用竹篱笆围成，如图1所示，已知篱笆
总长为 .
（1）①若足够长，是否能围成面积为的矩形场地?如果可以，
求养鸡场的长、宽各是多少米；如果不可以，请说明理由.
答：养鸡场的长和宽分别是，，或养鸡场的长和宽分别是
，. .
②是否能围成面积为的矩形场地?
解：结合题意及①，得 − = ．
整理，得 − + = ．
∵ = −

− × × = − < ，
∴ 此时方程的根为 = = ．

= .
9.已知关于的一元二次方程 + + + − = ，其中，

用公式法求解一元二次方程ppt课件

题 k=0 总有实数根，∴Δ=（2 ）2+4k≥0，解得 k≥-7，
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200，整理得 x2-220x+2100=0
分
析，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，

2 解一元二次方程公式法PPT课件(人教版)

12．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__2__．
13．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是 _a_≥_－__5_____．
14．用公式法解下列方程： (1)x(2x－4)＝5－8x；
解：原方程整理为 2x2＋4x－5＝0，∴b2－4ac＝16＋4×2×5＝ 56，∴x＝－24×±256，即 x1＝－2＋2 14，x2＝－2－2 14
练习1：对一元二次方程x2－2x＝1，b2－4ac＝__8__． 2．式子____b_2_－__4_a_c___叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __有__两__个__不__等__的__实__数__根_______；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __两__个__相__等__的__实__数__根___；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____无__实__数__根__．练习2：(202X·长沙)若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____m_＞__－__4____．
8．一元二次方程x2－x－6＝0中，b2－4ac＝__2_5___，可得x1＝ __3__，x2＝__－__2__．
(91．)x用2－公3x式－法2＝解0下；列方解程：：x1＝3＋2 17，x2＝3－2 17 (2)8x2－8x＋1＝0；
解：x1＝2＋4 2，x2＝2－4 2
(3)2x2－2x＝5. 解：x1＝1＋2 11，x2＝1－2 11
知识点1：根的判别式 1．(202X·邵阳)一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是( B ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．(202X·丽水)下列一元二次方程没有实数根的是( B ) A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0 C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0

用公式法求解一元二次方程课件

4. 用公式法求解一元二次方程一般步骤是什么？ (1) 化：一般情势 (2) 定：确定 a、b、c 的值 (3) 算：计算 b2 - 4ac 的值 (4) 判：判断 Δ = b2 - 4ac 与 0 的大小 (5) 解：由求根公式求出方程的根
2.3.1 用公式法求解一元二次方程实践与拓展
分别用配方法和公式法解方程 2x2 + 3 = 7x，并比较两种方法的异同？
一元二次方程的根的情况可由 b2 - 4ac 来判定，我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ” 来表示.
2.3.1 用公式法求解一元二次方程
例2 不解方程，判断下列方程根的情况 (1) 2x2 + 5 = 7x 解：将方程化为一般情势，得 2x2 - 7x + 5 = 0，这里 a = 2，b = -7，c = 5. ∵Δ = b2 - 4ac = ( -7 )2 - 4 × 2 × 5 = 9 > 0， ∴方程有两个不相等的实数根.
2a
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x1 =
b
b2 4ac ，x2 = b
2a
b2 4ac 2a
2.3.1 用公式法求解一元二次方程
探究
x
b 2
2
b2 4ac 4a 2
当
b2
-
4ac
=
0
时，则
b2 4ac 4a 2
0 ，即
x
b 2a
2
0
.
∴方程有两个相等的实数根.
b 即 x 1 x2 2a .
北师大版九年级上册数学同步课件
2.3.1 用公式法求解一元二次方程

公式法解一元二次方程PPT课件

边长为30cm（注意，回答时单位不要
漏掉）
五、小结
用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤：
１.先写出a，b，c ２.再求出
b 4ac
2
３.最后代入公式
当当
b 2 4ac 0 b 2 4ac 0
时，有两个实数根时，方程无实数解
x1 x2
b b 2 4ac b b 2 4ac 2a 2a
b b 2a 2a
b 0
提高练习已知方程2X² +7X+c=0,方程的根为一个实数，求c和x的值.
解：
a 2, b 7, c c
2 2
又 b 4ac 7 4 2 c 0
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0) 例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0 解: a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 ∴x= = =
即
x1= - 3
x2 =
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
2x2+x-6=0
49 8c 49,即c 8 b 7 7 x1 x2 2a 22 4
现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为 1500cm² 的无盖的长方体盒子，那么截去的小正方形的边长为多少？
X² -140X+3300=0
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X= (a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解： x1=?, x2=?

解一元二次方程公式法ppt课件

解题思路：
1.方程有两个相等的实数解，等价于 b2 4ac 0，把方程系数
代入解出m的值.
2.方程的两根为互为相反数，等价于 b2 4ac＞0，且x1 x2，用
求根公式求解.
即：x1 x2 b
b2 4ac b
2a
b2 4ac 0(b2 4ac＞0). 2a
答案：1.m＝ 17 .
方程有两个相等的实数根：
x1
x2
b 2a
2 3 21
3.
例3.用公式法解方程 (x－2)(1－3x)＝6. 解：去括号，化简为一般式 3x2－7x＋8＝0. a＝3，b＝－7，c＝8.
b2 4ac (7)2 4 38 47＜0.
方程没有实数根.
归纳总结
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.把方程化成一般形式，并写出 a，b，c 的值.
2.求出＝b2－4ac 的值. 注意：当＝b2－4ac ＜0 时，方程无解.
3.代入求根公式: x = b
b2 4ac .
2a
4.写出方程的解：x1，x2 .
随堂练习
用公式法解下列方程：
（1）2x2－9x＋8＝0；（2）9x2＋6x＋1＝0；（3）16x2＋8x＝3.
（1）2x2－9x＋8＝0. 解：a＝2，b＝－9，c＝8. b2 4ac (9)2 4 28 17＞0. 方程有两个不等的实数根：
x2
2a
.
(2)当b2
4ac
0时，这时
b2 4ac 4a2
0，
方程有两个相等的实数根：
x1
x2
b. 2a
(3)当b2
4ac＜0时，这时
b2
4ac 4a2
＜0，

《解一元二次方程公式法》PPT课件

D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解
24．2 解一元二次方程公式法
【易错盘点】【例】用公式法解方程：3x2－2x＝5. 【错解】∵a＝3，b＝－2，c＝5.∴b2－4ac＝(－2)2－4×3×5 ＝－56＜0，∴方程无解．【错因分析】没有将一元二次方程化为一般形式，因此，公式中的c值是错误的，从而导致方程的解错误．【正解】
1．(6分)一元二次方程x2－3x－4＝0中，a＝____1____， b＝___－__3___，c＝___－__4___，b2－4ac＝___2_5____，用求根公式可解得x1＝____4____，x2＝___－__1___．
2．(4分)用公式法解方程 3x2－2 3x＝1－ 3x时，
其中的a＝___3_____，b＝___－ ____3_，c＝___－__1___， b2－4ac＝__1_5_____．
m＝5，x1＝x2＝2 18．(10分)要建一个面积为150 m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长150 m，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35 m．求鸡场的长和宽各是多少？
设鸡场垂直于墙的宽度为x m，依题意得x(35－2x)＝150，解得x1＝7.5，x2＝10，当x＝7.5时鸡场长宽分别为20 m，7.5 m，当x＝10时，鸡场长宽分别为15 m，10 m
若方程/k无eji解，则有_b_2_－__4_a_c_＜．0
7．au(nw3/e分y )若关于x的方程ax2＋2(a＋2)x＋a＝0有实数解，那么实数a的取
值范围n/是__a_≥__－__1_．
8．数课(3学件分)关于x的一元二次方程x2＋x＋1＝0的根的情况是( C )
Hale Waihona Puke A．/k有ej两i 个不相等的正根

一元二次方程的解法—公式法ppt课件

k≠0
k≠0
归纳当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围.
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是
( A)
A. k≥ −1
B. k≥ −1且 k≠0
C. k < 1
D. k < 1 且 k≠0
第二十一章一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
学习目标
1. 了解求根公式的推导过程；（难点） 2. 掌握用公式法解一元二次方程；(重点） 3. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
知识回顾
用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
一“化”：将方程化为一般形式，且把二次项系数化为1；二“移”：将常数项移到方程的右边；三“配”：方程方左程边两配边成同完时全加平上方一的次形项式系；数一半的平方，将
练一练
不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+x－1=0；
（2）2x2+6=3x;
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
将方程整理为一般形式 ax2+bx+c=0
Δ= b2 − 4ac > 0 Δ= b2 − 4ac = 0 Δ= b2 − 4ac < 0
有两个不等的实数根有两个相等的实数根没有实数根
Δ= b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0. 方程有两个相等的实数根
x1 = x2
(3) 5x2－3x = x + 1；解：方程化为 5x2－4x－1 = 0.
±-
a = 5，b = －4，c = －1. Δ= b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0.

2.3.1用公式法解一元二次方程课件(共20张PPT)

典例精讲
【题型三】公式法的应用
例 4：已知等腰三角形的一腰长为x，周长为 20，则方程x²12x+31=0的根为 6+ 5
.

例 5：若x²+3xy-2y²=0，则

点拨：方程两边同时乘
=

,得

− ±

.

+ × − = ,

设 = ,则 ² + − = ,
(2)确定 a、b、c的值;
(3)计算b²-4ac的值;
(4)当b²-4ac≥0时，把a、b、c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方
程的根;当b²-4ac <0时,方程没有实数根.
注意：虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非
是最简单的，一定要注意方法的选择.
典例精讲
例 1：
【题型一】公式法解一元二次方程的逆用及根的判别式
典例精讲
【题型二】已知方程根的情况求参数的值或取值范围
例 2：若关于x的一元二次方程 − ² + + = 有两个相
等的实数根，则点P(m-3,-m+4)在第二
象限.
例3：已知关于x的方程 − ²² + + + =
有实数根，则 k的取值

范围是 k≥ .
3 用公式法求解一元二次方程
第1课时用公式法解一元二次方程
1.通过阅读课本学生可以利用公式法解数字系数的一元二次方程，
并会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，全面提高
学生解方程的能力.
2.通过阅读课本学生可以用配方法推导求根公式，培养学生推理