静电场的镜像法
镜像法求解静电场
镜像法求解静电场
镜像法是求解静电场问题的一种常用方法，它可以将问题简化为一些已知边界条件的部分。
我们可以通过将电荷和导体的形状映射到空间中的另一侧来获得镜像电荷和镜像导体。
这样，我们就可以将问题转化为在一定边界条件下求解单个电荷或导体所产生的电场问题。
具体来说，对于一个导体，镜像法可以将其映射到空间中的另一侧，并将它的电势设为零。
这样，它在空间中的影像就成为了一条等势线。
通过这样的操作，我们可以将一个有限的导体问题转化为无限大空间中的等势面问题，大大简化了求解难度。
同样地，对于一个点电荷，我们也可以利用镜像法求解其产生的电场。
我们将其映射到空间中的另一侧，并计算出镜像电荷。
这样，我们可以将原问题转化为一个在有限空间中求解两个点电荷所产生
的电场问题。
镜像法的一个优点是它能够将问题简化为一些边界条件已知的
问题，从而减少了求解难度。
此外，它也可以应用于复杂问题的求解，如球形和柱形状的导体等。
- 1 -。
电动力学镜像法ppt课件
性，电势也应具有球对称性。当考虑较
r
远处场时，导体球可 视为点电荷。
2 0 (r a)
r 0
r3
(r 0) r , 0
B0 A
r
A
n r r 2
Q
0
r
dS
ra
0
A dS 0 A4 a 2
a2
a2
A Q
4 0
Q 4 0r
E
Q
(r a)
r Qr
2、导体内部电场为零；
3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为 等势面，整个导体的电势相等。
设导体表面所带电荷面密度为σ，设它外面的介质电容率
为ε，导体表面的边界条件为
|s 常数
n s
Q dS dS
S
S n
En
三．静电场的能量
仅讨论均匀介质
1. 一般方程： 能量密度
本节主要内容
一、静电场的标势 二、静电势的微分方程和边值关系 三．静电场的能量
一、静电场的标势
在静止情况下，电场与磁场无关，
麦氏方程组的电场ห้องสมุดไป่ตู้分为
E 0
E
D 静电场的无旋性是它的一个重要特
性，由于无旋性，我们可以引入一
这两方程连同介质 的电磁 性质方程 D 是E 解决静
个标势来描述静电场，和力学中用 势函数描述保守力场的方法一样。
把单位正电荷由P1点移至 P2点，电场E对它所作的
功为
P2 E dl P1
这功定义为P1点和P2点的
电势差。若电场对
电荷做了正功，则电势
下降。由此
(P2 )
(P1 )
P2 P1
E
dl
镜像法在静电场边值问题中的应用
0, h ) 点, 电位函数 5 满足的是以 ∆ 函数表示的泊松方程:
2
Υ= -
Ε 0
q
∆( x , y , z - h ) , 这也没有变化 ],
这就保证了条件 ( 2) 。 于是原问题中 Z > 0 空间的点的电位可表示为: Υ=
q 1 ( 4Π Ε 0 r1 q
1
r2
) ( 3)
1 1 = { 2 2 2 2 2 1 2} (z - h ) 2 ]1 2 4Π Ε x + y + (z + h ) ] 0 [x + y +
图1
图 1, 无限大导体平面附近点电荷 + q 的镜像法取直角坐标系, z = 0 的平面与导体平面重合, 并设 此面为 O 电位面, 亦即导体平面接地, 因此点电荷 + q 与导体平面之间的电位必须满足下列条件: ( 1) Z = 0 处 ( 1) 5 = 0 ( 2) Z > 0 的空间里, 除点电荷+ q 所在的点外, 处处满足
r1 = a + d 2 2 2
4Π Ε 0 r1
q
+
4Π Ε 0 r2
q′
= 0
( 5)
2d 1 acosΗ , r2 2 = a 2 + d 2 2 - 2d 1 acosΗ
代入 ( 5) 式并整理得到
2 2 2 ( d 1 2 + a 2 ) ] + 2a ( q ′ [ q2 (d 2 2 + a 2 ) - q ′ d 1 - q d 2 ) cosΗ= 0
2
Υ=
4Π Ε 0
q
[
2
(
1
r1
镜像法与电轴法(静电场)
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场
解：采用电轴法
建立坐标系，确定电轴位置
b h2 a2
圆柱导线间电场和电位
EP
2π0
(1
1
e1
1
2
e2
)
p
2π0
ln
2 1
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场
c) 场中任一点电位为
P
U0 2lnb(ha)
ln
2 1
b(ha)
U0
20 2lnb(ha)
b(ha)
分裂导线
在高压电力传输中，为了降低电晕 损耗，减弱对通信的干扰，常采用分裂
导线的方法，即将每一根导线分成几股 排列成圆柱形表面，以减弱传输线周围 的电场。（原理P50）
镜像法（电轴法）小结
2d
d
2
)2
a
2 1
已知一对半径为a,相距为d的长直圆柱导体传输线 之间电压为U0，试求圆柱导体间电位的分布。
a)确定电轴的位置
b2h2a2
b
d2h
(d)2a2 2
b) 场中任一点电位为
ln 2 2π0 1
由 U0AB解出
b (h a ) b (h a ) U 02 π0ln b (h a ) 2 π0ln b (h a )
谢谢大家聆听！！！
35
镜像法（电轴法）的理论基础是静电场唯一 性定理；
镜像法（电轴法）的实质是用虚设的镜像电 荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为 无限大均匀介质；
镜像法（电轴法）的关键是确定镜像电荷 （电轴）的个数（根数），大小及位置；
求电场强度的六种特殊方法(解析版)
求电场强度的六种特殊方法一、镜像法（对称法）镜像法实际上就是根据某些物理现象、物理规律、物理过程或几何图形的对称性进行解题的一种方法，利用此法分析解决问题可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，有出奇制胜之效。
例1．（2005年上海卷4题）如图1，带电量为+q的点电荷与均匀带电薄板相距为2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心．若图中a点处的电场强度为零，根据对称性，带电薄板在图中b点处产生的电场强度大小和方向如何？(静电力恒量为k)二、微元法微元法就是将研究对象分割成若干微小的的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量转化为常量、容易确定的量。
例2.如图2所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面的称轴上的一点，OP＝L，试求P点的场强。
三、等效替代法“等效替代”方法，是指在效果相同的前提下，从A事实出发，用另外的B事实来代替，必要时再由B而C……直至实现所给问题的条件，从而建立与之相对应联系，得以用有关规律解之。
如以模型代实物，以合力（合运动）替代数个分力（分运动）；等效电阻、等效电源等。
例3．如图3所示，一带正Q电量的点电荷A，与一块接地的长金属板MN组成一系统，点电荷A与板MN间的垂直距离为为d，试求A与板MN的连线中点C处的电场强度．四、补偿法求解物理问题，要根据问题给出的条件建立起物理模型。
但有时由题给条件建立模型不是一个完整的模型，这时需要给原来的问题补充一些条件，组成一个完整的新模型。
这样，求解原模型的问题就变为求解新模型与补充条件的差值问题。
例4.如图5所示，用长为L的金属丝弯成半径为r的圆弧，但在A、B之间留有宽度为d的间隙，且d远远小于r，将电量为Q的正电荷均为分布于金属丝上，求圆心处的电场强度。
五、等分法利用等分法找等势点，再连等势线，最后利用电场强度与电势的关系，求出电场强度。
例5． 如图6所示，a 、b 、c 是匀强电场中的三点，这三点边线构成等边三角形，每边长L ，将一带电量6q=210C --⨯的点电荷从a 点移到b 点，电场力做功51W 1.210J --⨯＝；若将同一点电荷从a 点移到c 点，电场力做功62W 610J -⨯＝，试求匀强电场强度E 。
静电场中的镜像法与分离变量法
静电场中的镜像法与分离变量法摘要:静电场的基本问题是求解给定边界条件下的泊松方程或拉普拉斯方程的解，本文分别阐述在求解区域内有和没有自由电荷分布的情况下，应用镜像法和分离变量法求解;同时，举例来演示应用镜像法和分离变量法的解题思路、步骤和结果讨论以及一些注意点，并在相同情况下分别应用镜像法和分离变量法进行对比讨论;深入理解镜像法和分离变量法及其特征。
关键词:静电场、镜像法、分离变量法。
The Method of Mirror Image and the Separate Variational Method inthe Electrostatic FieldAbstract: The basic problem of electrostatic field is to explore the solution of Poisson equation or Laplace equation under its given boundary condition. This article respectively explains the approaches to explore the solution using mirror image and separate variational methods under the to-be-explore solution area situation which has and which lacks freedom electric chargedistribution .Meanwhile, it takes some instances to demonstrate the problem-solving thoughts and steps applying mirror image and separate variational methods. It also provides some discussions about the result and the points needing to be noted in the process of this demonstration. This writer also tries to help the readers todeeply understand the methods of mirror image and separatevariational methods and their characteristics by doing contrastdiscussion under the same condition. Keywords: the electrostatic field, the method of mirror image, the separate variational method.1、引言:静电场和电源外恒定电场的边值问题的求解，可归纳为在给定边界条件下，对拉普拉斯方程或泊松方程的求解。
《电动力学第三版》chapter2_4镜像法
P rꞌ b Qꞌ
r
Q
a
V 0
b R0 b R02
R0 a
a
Q'R0 Q a
球外任一点的电势
(P) 1 4π0
QR0Q r ar'
4π Q 0 (R2a22 1ac Ro )1 s/2(R2R a0 2 4R 20 Ra R a 0 2co )1 s/2
镜像电荷.
导体板上部空间的电场可以看作原电荷Q与镜像电
荷Q 共同激发的电场. 以r 表示Q到场点P的距离, r 表 示象电荷Q 到P的距离, P点的电势为
(P) 1 4π0
QQ r r'
具体求解过程如下.
R2010 Q(xa, y0,z0) R0 0
(1)
(2) (3)
p QQ'4πQ ε0r4πQ ε0r' '4π1ε0(Q r Q r'')
设想，感应电荷对空间电场的作用用一个假想电荷来代替. 如图,
设想在导体板下方与电荷Q对称的位置上放一个假想电荷Q , 然 后把导体板抽去. 若Q =－Q，则假想电荷Q 与给定电荷Q激发的
总电场如图所示, 由对称性知，边界条件满足. 因此,导体板上的
感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷Q 代替， Q 称为Q的
(2) 由于镜像电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷 的作用，因此放置镜像电荷后，就认为原来的真实的 导体或介质界面不存在. 也就是把整个空间看成是无 界的均匀空间. 并且其介电常量应是所研究场域的介 电常量.
(3) 镜像电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实 的感应电荷或极化电荷有等效作用. 而其电荷量并不 一定与真实的感应电荷或真实的极化电荷相等，不过 在某些问题中，它们却恰好相等.
用镜像法求解静电场
3) 引入镜象电荷，不改变求解区域边值关 系和边界条件。
2、与分离变量法比较 共同点：
1) 两种方法都是根据边值关系和边 界条件进行求解；
2) 可解的条件都是唯一性定理所要 求的分区均匀介质和边界条件。
不同点：
分离变量法
镜象法
Q’和a如何确定？
0
Q Q
z 0
x 2 y 2 a 2
x 2 y 2 a 2
QQ, aa 舍去正号解？
Q
1
1
[
]
40 x2y2 (z a )2 x2y2 (z a )2
接地导
Q
体外有
一点电
荷的电
势分布
图
例2 真空中有一半径为R0的接地导体 球，距球心为a（a>R0）处有一点电 荷Q，求空间各点的电势（如图）。
分离变量求解拉普拉斯方程
唯一性定理给出静电场可以唯一 从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。
② 球面感应电荷分布 （5）若导体不接地，导体上带上自由电荷，又如何分析？
接地导体外有一点电荷的电势分布图
求解的条件。 这是由电荷与电场之间的制约关系决定的。
导体球接地后，感应电荷总量不为零？ 从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。
求解区域没有（或 求解区域有一个
电荷分布 者经过变换没有） 或者几个自由点
自由电荷分布
电荷
具体方法
分离变量求解拉 普拉斯方程
求解区域之外引入 象电荷取代感应电
荷
者电势法向导数唯一地确定。 （4）若导体不接地，电势不为零，
第二章 静电场 镜像法
解：先考虑介质1 中的电势，设想将下半空间换成 与上半空间一样，并在z=-a处有Q的像电荷Q' 来代替分界面上极化电荷对上半空间场的影响。 则在Z>0的区域，空间一点的电势为
`1
1
4 1
(Q r
Q) r
(1)
1
4 1
x2
y2
Q (z
a)2
1 2
ez
3. 真空中有一半径R0的接地导体球，距球心 a > R0 处有一点电荷 Q，求空间各点电势。
解：（1）分析： 因导体球接地故球的电 势为零。根据镜象法原 则假想电荷应在球内。 因空间只有两个点电荷， 场应具有轴对称，故假 想电荷应在线上，即极 轴上。
1 [Q Q] 40 r r
这里要注意几点：
a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的 Poisson’s equation or Laplace’s equation，即所研究空间的泊松方 程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替 代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下， 采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
a=b
பைடு நூலகம்
由以上三式解得
所以
Q 1 2 Q 1 2
Q 2 2 Q 1 2
1
Q
4 1
1
1 2
x2 y2 (z a)2 1 2
2 2 (1 2 )
Q x2 y2 (z a)2
(8)
1
设电量为 Q，位置为（0，0，a ）
第二章 静电场及其解法2_镜像、分量
静电场问题的常用解法
镜像法 分离变量法 复变函数法 格林函数法
另法：在极坐标系下讨论
点电荷——不接地导体球面
等位面电位不为零；
导体球总的感应电荷为零
ε
a
先设想导体球接地（同上例）， 则导体球面电位为0，且存在总 电量为q’的感应电荷；可以上例 相同电量和位置的镜像电荷取代。
d’
q’
d
q
再考虑断开接地线的情形：须 保证球面总电量为0，即将-q’加 于导体球面上；还须保证球面为 等位面，即-q’应均匀分布于导体 球面上。这样就可以在球心虚设 一个镜像电荷-q’。
点电荷—无限大导体平面
z +q
x
-q
线电荷——无限大导体平面
z +ρ
x
-ρ
点电荷——相交半无限大导体平面
y B
a
b
+q
C
R1 R3 q 1 1 1 1 4 R R R R 2 3 4 1
x
n 平面可看作n 1的情形，则N 1 时，共有N 2n 1个镜像电荷
x, y A0 x B0 C 0 y D0 An cosk n x Bn sin k n x C n ch k n y Dn sh k n y
n 1
可见：通解函数的选择取决于边界条件；待 定系数的确定亦取决于边界条件。
镜像法及其应用
镜像法在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。
如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法—镜象法来求解这类问题。
镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。
适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。
镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。
根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。
下面我们举例说明。
1导体平面的镜像例.1 在无限大的接地导电平面上方h 处有一个点电荷q ，如图3.2.1所示，求导电平板上方空间的电位分布。
解 建立直角坐标系。
此电场问题的待求场区为0z >；场区的源是电量为q 位于(0,0,)P h 点的点电荷，边界为xy 面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为xy 面上电位为零。
导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。
现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷q 和q -，分别位于(0,0,)P h 和点(0,0,)P h '-，使得xy 面的电位为零，如图3.2.2。
这种情况，对于0z >的空间区域，电荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况0z >区域的电位是相同的。
也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。
对比这两种情况，对0z >区域的场来说，后一种情况位于(0,0,)P h '-点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。
由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。
静电场4-静电场的解(镜像法+场图)(1)
v∫⎪⎪ϕ
⎪⎪ ⎨
SA SA
= con D ⋅dS
st1
=τ
l
⎪⎪ϕ SB = const 2
v∫⎪
⎪⎩ SB
D
⋅ dS
=
−τ l
两导电圆柱形传输线
圆柱的镜像—电轴法
镜像法的思路：假定导体圆柱能够用线电荷等效，设 法依据“三不变”原则确定它的位置和大小。
预问题1：单根电轴的电场与电位。
E = τ eρ
电荷与镜像关于球 面反演。
球内是两个电荷作 用的叠加；球外电 位与电场都为0。
点电荷对球面导体的镜像
d.在问题c中，球壳不接地，求球壳内外的电位及电 场分布。
球内电场分布不变，但电位被抬高；球外的场相 当于电荷位于球心的作用。
镜像法
(4) 导电圆柱之间的镜像——电轴法
边值问题：
⎧∇ 2ϕ = 0 （导线以外空间）
• 镜像法只能解决一些特殊的边值问题。更一般的边值 问题的求解方法，包括解析法和数值法，下节讨论。
作业：
3.18, 3.24, 3.27
选做有奖题：能否用镜像法分析
两个带电导体球之间的电场？给出 详细分析论证。（满分2分）
一些典型的场图
方芯圆壳偏心电缆电 位分布与电力线分布
静电场场图
• 导体表面是等位面； • 两导体之间，等位面
ρ22 = a12 + (h1 + b)2 − 2a1(h1 + b) cosθ
ϕP
=
τ 2πε 0
ln
ρ2 ρ1
=const
⇒
ρ
2 2
=
k 2 ρ12
电轴法
⇒ a12 + (h1 + b)2 − 2a1(h1 + b) cosθ
镜像法求解静电场
镜像法求解静电场
静电场是指在没有电流流动的情况下，由电荷所产生的电场。
静电场的研究对于电学领域的发展具有重要的意义。
在静电场的研究中，镜像法是一种常用的求解方法。
镜像法是一种基于对称性的求解方法。
它的基本思想是将电荷在一个导体表面上的影像电荷作为一个新的电荷，然后再求解这个新的电荷所产生的电场。
这个新的电荷与原电荷之间的距离相等，但是方向相反。
这种方法可以简化计算，特别是在对称的情况下，可以大大减少计算量。
在使用镜像法求解静电场时，需要先确定一个导体表面作为镜面。
然后，根据对称性，将电荷在镜面上的影像电荷计算出来。
最后，将原电荷和影像电荷的电场叠加起来，就可以得到整个静电场的分布情况。
镜像法的应用范围非常广泛。
它可以用于求解各种形状的导体的静电场分布，包括球形、圆柱形、平面等。
在实际应用中，镜像法可以用于求解电容器的电场分布、电荷在导体表面上的分布等问题。
镜像法是一种非常实用的求解静电场的方法。
它可以大大简化计算，特别是在对称的情况下，可以大大减少计算量。
在实际应用中，镜像法可以用于求解各种形状的导体的静电场分布，具有广泛的应用前景。
018-2第2章 静电场-4-镜像法
边界条件： 转化 接地导体球，球外
点电荷Q
球内一个像点 电荷Q’
电势Q
解题思路一
总电势
₪静 电 场
1.镜像法的引入
（2）接地导体球
球外原电 荷Q
电势Q
等势面： 接地导体球
等价于
球面透镜
总电势
解题思路二
球面透镜成像
球内一个像 点电荷Q’
电势 Q
₪静 电 场
2.举例应用
(2)接地导体球
解：按解题思路二解题。导体球可视为凸透镜。
电势 2
解题思路二
₪静 电 场
2.举例应用
(3)带电导体球
解：如图所示，该问题可 视为例2增加像电荷，因为导 体球表面不接地，而是带电量 为Q0，故只需在球心处再放置 像电荷Q’’=Q0-Q’
球面上的点
R,,
r0
₪静 电 场
2.举例应用
(2)接地导体球
OQP ~ OPQ
Q ' P OQ ' OP PQ OP OQ
r ' b R0 常数 r R0 a
Q '
b
R2 0 a
R0 a
Q
球面上的点
R,,
r0
₪静 电 场
2.举例应用
(2)接地导体球
对于球外任意一点P的电势为
该问题可视为求源电荷Q的像电荷Q’之后，再求二
者在空间的合电势分布。建立如图球坐标系。
球面上的点
球面外的点
R,,
R,,
r0
r0
₪静 电 场
2.举例应用
(2)接地导体球
由于导体球接地，故图中球面上的P点电势为0
P
Q
P
进阶学习 镜像法 梯度 唯一性 静 电 场
图1.2.2
电偶极子
用二项式展开，又有
，得 r >> d
r1 = r −
代入上式，得
d cosθ 2
r2 = r +
d cosθ 2
ϕ
p
qd cos θ p ⋅er = = 2 4 πε 0 r 4 πε 0 r 2
p 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。
图1.2.3 电偶极子的等位线和电力线
E p = −∇ ϕ =
例2
计算电偶极子的电场 (r>>d)。
(r,θ,φ)
r1 r2
在球坐标系中：
1 1 q r2 − r1 ϕp = ( − )= 4πε 0 r1 r2 4πε 0 r1 r2 q
13
1 1 d2 d2 r1 = ( r 2 + − rd cos θ ) 2 ，r2 = ( r 2 + + rd cos θ ) 2 4 4
F q Ep( r ) = = e 2 r qt 4πε0r
V/m
4πε 0 r − r' q eR = 2 4πε 0 R
图2.1.2 点电荷的电场
=
q( r − r' )
3
V/m
b) n个点电荷产生的电场强度 (矢量叠加)
E( r ) =
c)
1 4 πε
0 k =1
∑
N
qk r − rk '
2
2.2.1 静电场的无旋性 1. 静电场旋度 点 电 荷
7
E(r ) =
∇ × E( r ) =
q 4 πε
q 4 πε 0
0
⋅
r − r' r − r'
镜像法(课堂PPT)
第3章 静电场及其边值问题的解法
1
d1
q d2
2
电位函数
q (1111) 4π R R1 R2 R3
q1
d1
d2 R1
d1 q R d2
d2 R3 q3 d1
R2 d2
d1
q2
镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 )
镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 ) 镜像电荷q3 = q , 位于(－d1, －d2 )
q q 0 4 R0
得 q q
于 是 4 q R 1 ， R 1 4 q x 2 y 2 1 ( z h ) 2x 2 y 2 1 ( z h ) 2
可见，引入镜像电荷 q q 后保证了边界条件不变；镜像点电荷位于z<0的空间，未改变所 求空间的电荷分布，因而在z>0的空间，电位仍然满足原有的方程。由惟一性定理知结果正确。
5. 确定镜像电荷的两条原则 镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；
镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定；
.
13
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
二、 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像 3. 点电荷对半无限大接地导体角域 (导体劈) 的镜像
域边界以外虚设的较简单的等效电荷来等效替代场域边界上
未知的较为复杂的电荷分布的作用，且保持原有边界上边界 条件不变，则根据惟一性定理，待求场域空间电场可由原来
的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀 媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化；
33-静电场的镜像法
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工程电磁场
主讲人： 王泽忠
根据镜象法的要求，点电荷 q 与镜象电荷 q
共同产生的电场，在原导体球面所在处电位应为零。
根据这一条件就可以确定镜象电荷 q 和距离 b 。
设 P 点是球面上一点
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其中一种媒质的区域作为求解区域，
另一种媒质就作与求解区域中相同的电介质，
使整个空间只有一种均匀电介质。
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工程电磁场
主讲人： 王泽忠
这样虽然问题得到简化，
但原来的边界条件已经破坏了。
为了保证原来的边界条件得到满足，
扩展到线、面、体电荷情况！
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工程电磁场
主讲人： 王泽忠
导体表面也可以由两个半无穷大平面组成。 当两平面成直角时，镜象电荷分布情况如图。
3．导体球面的镜象法 导体表面是球面的情况也可以应用镜象法。
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整理后，得
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q2
R2 b2
q2
R2 d 2
2R
q
2b
q2
d
cos
0
球面是等位面，上式是球面电位为零的具体体现。
第二章 静态电磁场-静电场6-10
不接地金属球镜像
R R q' q b d d q 1 R R Ep ( 2 er 2 er 2 er ) 4π 0 r dr1 dr2
1 2
2
第 二 章
静 电 场
同理，对呈电性的不接地导体球和位于导体球腔内的点电荷 的电场计算问题，也可以应用镜像法进行计算。
例2：图示为半径为a的接地导体球壳外置有一沿直径方向的线段电荷，线段的 一端距球心为d。求导体球壳上总的感应电荷。 [解]：应用点电荷对接地导体球的镜像，有 元电荷为 dt，元电荷的位置为d+t；镜像元 电荷为’dx=-a dt/(d+t)，镜像元电荷的位 置为a2/(d+t)。所以，导体球壳上总的感应电 荷为
1 2
由上式，可以进一步获得其等位线分布。按等位线定义有 2/1=K，平方得
2 2 x b2 y 2 K2 1 2 x b2 y 2
第 二 章
静 电 场
整理，得
2 K 1 2bK b y 2 2 x 2 K 1 K 1 2
2
显然，上式为直角坐标系中圆的方程。所以在xoy平面上，等位 线分布是如图虚线所示的一簇圆。对应于某一给定的K值，圆心
坐标是
K2 1 h 2 b, 0 K 1
，圆半径是 a
2bK 。对于每个等位 K 2 1
圆轨迹而言，圆半径a、圆心到原点的距离h和线电荷至原点的 距离b三者间关系为 h2 = a2 + b2 亦即， a2 = h2 - b2 =(h + b)(h - b)
2
解得
D a
o
D P q a
o
r -q
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这里分两种情况，导体接地和导体不接地。
如图所示，导体接地的情况，
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主讲人： 王泽
导体表面电位为零。 忠
这就是求解区域的边界条件。 将导体球移去，充满相同的电介质。
在原来导体球内部球心与点电荷连线上
距球心b 处放置一个镜象电荷q 。根据的要求， 点电荷 q 与镜象电荷q 共同产Th的电场，
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6 电磁场的解析方 法
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6.3 静电场的镜像 法
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工程电磁场 1．镜象法原理
。 为了保证原来的边界条件，
需要改变边界外区域中电荷的分布
虚设电荷，使得边界条件得到满足。
镜像法只能用于区域具有对称性的情况
，
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边界外区域虚设电荷的忠分布与求解区域中
原来电荷的分布也具有一定的对称性。
这些虚设电荷又称为镜象电荷。
首先根据边界条件求出镜像电荷， 然后用场域内原有电荷和场域外镜像电
在原导体球面所在处电位应为零。
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根据这一条件
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就可以确定镜象电荷q 和距离b 。
设 P 点是球面上一点
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P
q 4r
q 忠 4r
根据前面要求的条件， P 0 ，有
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(a)
(b)
这个问题直接求解是困难的。 因为只知道导体表面是一个等位面，
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忠
不知道导体表面电荷的分布，
无法用叠加的办法计算电场强度和电位。
用镜象法，这个问题就变得简单了。
球面是等位面，
上式是球面电位为零的具体体现。
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忠
不管 是多少，上式都应成立。
所以有
q 2 R2 b2 q 2 R2 d 2 0
和
2R q2b (q )2 d 0
由上式得
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将导体移去， 下半空间也换成与上半空间相同的电介质。
在下半空间与点电荷q 对称位置上
放置一个镜象电荷q ,如图 (b)所示。
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忠
保证求解区域电荷的分布不变，
满足导体表面的边界条件( 0 )。
上半空间的电场强度和电位
可根据点电荷和镜象电荷及其所在位置
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静电场边值问题解答的唯一性定理：
求解区域内电介质和电荷分布不变，
边界条件确定，
求解区域中静电场的解答就是唯一的。 场域之外电荷分布和电介质都可以改变， 镜象法以唯一性定理为基础
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是一种等效源方法。 忠
镜象法一般应用于两种均匀媒质的情况。
最后得
q R q ； b R2
d
d
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忠
确定了镜象电荷的电荷量和位置。
反演点概念。 镜象电荷所在点与原电荷所在
点 关于导体球面互为反演点。
在导体球不接地情况下， 导体表面的电位仍为常数但不为零 。 若导体球原先不带电，
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q q ； 4r 4r
q r；
q2
r2
q r q 2 r2
将三角形（对边）的余弦定理代入
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q2
R 2
d 2
2R忠d cos
q 2 R2 b2 2Rbcos
整理后，得
q2
R2 b2 q 2 R2 d
2
2R q2b q 2 d cos 0
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镜像法也可用于如下情况
镜象电荷分布情况如图。
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忠
3．导体球面的镜象法
在导体球之外距球心d 处， 放置一个点电荷q 。
求导体球之外空间的电场强度和电位。
这里求解区域是球面之外的空间。
用叠加的办法计算。 在计算上半空间的电场时，
用镜象电荷q 代替了
导体表面全部感应电荷的作用。
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上述方法也适用于线电荷。 线电荷的镜象电荷也是线电荷
。 镜象线电荷与原线电荷
具有位置对称、等量异号的特点。
面电荷？体电荷？
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荷 一起计算场域内的电场。
这就是镜象法的基本原理。
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2．无限大导体平忠面的镜象法
如图 (a)，无限大导体平面把空间
分成上半空间和下半空间，
在上半空间上距离平面h 处放置一个 点电荷 q 。
求上半空间任一点的电场强度和电位。
显然，求解区域是上半空间。
两种电介质或一种电介质一种导体。
两种媒质的区域相对于分界面
应具有一定的对称性。 一种媒质的区域作为求解区域，
另一种媒质就作为边界外的区域。
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忠
镜像法的实施，改变边界外区域的媒质
使整个空间充满一种媒质。 若只有此措施，则边界条件被破坏
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(q ) 2 q2b d
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q b q d
再由上页第一式，得
R2 b2 q 2 b
R2 d2
q2
d
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忠
dR2 db2 bR2 bd 2
d b R2 d b bd 0
得
R2 bd
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约束条件是导体表面的总电荷量为零。 为满足这一条件， 在原导体球的球心再放置一个镜像电荷
， 其电荷量为 q 。
在计算导体球以外空间的电场时，