第2章柯西积分公式

e4
i 2k
e 4 (k 0,1, 2,3)
i
e4 c1
x
因此，被积函数 有四个奇点:
i 5
O
e4
c2
i 7
e4
1
l
i
i 3
i 5
i 7
z1 e 4 z2 e 4 z3 e 4 z4 e 4
但仅有 z1与 z3位于积分回路之内。
(3)按复通区域的柯西定理及柯西公式计算。
(2) 沿割线的积分互相抵消。 于是：
(积分沿边界线L的正方向)
三、高阶导数公式 定理：解析函数f(z)的导数仍为解析函数，它的n阶导数为
其中：z为 的内点，z’为 的边界点 证明：设z为D内任意一点，先证n=1的情形，即
根据导数定义：
由柯西积分公式得： 从而有：
设后一个积分为I，则
因为f(z)在L上是解析的，所以在L上连续
三、解析函数的定积分公式
在单通区域内，解析函数的积分值只与端点有关而与路径 无关，可定义一个以终点 z 为自变量的单值函数：
z
F (z) f ( )d z0
定理：设 f(z)是单通区域 D 内的解析函数， 是 D 的内点，则 是 D 内的解析函数，且 F’(z)=f(z)
即 F(z)是 f(z)的原函数：F’(z)=f(z)

c1 (z z2 )(z z3 )(z z4 ) (z z1)
1
dz

c2 (z z1)(z z2 )(z z3 ) (z z4 )

2 i

2 i
(z1 z2 )(z1 z3 )(z1 z4 ) (z4 z1)(z4 z2 )(z4 z3 )
试计算积分 I＝
1 ，积分回路l为 l z4 1
x2 y2
2x
解: (1) 积分回路的形状。
方程 x2 y2 2x经配方以后可化为(x 1)2 y2 1
它是圆心在(1,0)，半径为1的圆，见图2.14
(2)被积函数的奇点。
y 3i
方程 z4 1 0有四个根：
i 3

2
i
i 3
(e 4

i
e
5 4
)


i
cos
3

i
4
4
2
上式已将 z1, z2 , z3, z4 的值代入。
二、复通区域的柯西公式 设 f(z)在闭复通区域 中解析，a为 的内点,则
(积分沿的边界线L的正方向)
证明: 的边界线L:外边界线 ，内边界线L2，L3，
L4…..Ln 作割线后：(1) 闭复通区域变为闭单通区域；
使当
时，有
，存在
又
则
因为 可任意地小，而 所以
即
为常量，即
2. 大圆弧引理:若 在无穷远点的无心邻域内连续，
在大圆弧
上
一致成立，则
证明略。
2.3 柯西公式和高阶导数公式
一、单通区域的柯西公式——柯西定理推出的公式 设f(z)在单通区域 内解析，a为 的内点，则
L： 的边界线
注意：a为内一点，z在L上取值
1. 柯西公式：解析函数函数值 沿闭曲线的积分值
2.
观察被积函数的形式：出现
z
1
a
,
z
1
a

1 z (a)
3. f ( ) 的解析性
计算: 方法: 利用柯西公式
令
f (z)
z
1
a
,它在圆周
za

a 解析——构造了
一个解析函数
Байду номын сангаас
举一反三：
令
，它在闭圆
解析
其它方法：留数定理(见第4章)
重复以上过程可得：
依此类推，由数学归纳法可以证明：
说明：1.解析函数在其解析区域可以求导任意多次； ——解析函数的又一特点
2.高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导，而在于通 过求导来求积分 (求导运算比积分运算要简单得多)；
3.对于复连通区域，高阶导数公式仍适用。
(积分沿内、外边界的正方向)
与实变函数相似
两个二元实变函 数的有序组合
重点
点点 可导
(不解析的点)
积分区域 (有无奇点)
即
（M：正数）
设d为：z到曲线L上各点的最小距离，则
当 足够小时，例如
时，有
f(z)有界
则
所以 如果
，则 ，从而
上式右边的积分存在(因为：f(z)解析 又L连续 积分存在，即 f’(z)存在。)
连续.
从导数的表达式看出：
(1) 在积分号下将柯西积分公式对z求导是合法的； 即
(2) f ’(z)是解析的。
以小圆周 c1和c2分别包围奇点z1和z4，则被积函数在外
边界线l与内边界线c1, c2 所围的复通区域解析。按复通 区域的柯西定理，沿l的积分等于沿c1与c2 积分之和，
后两个积分可按柯西公式算出，即
1
1
1
I
dz
dz
dz
l z4 1
c1 z4 1
c2 z4 1
1
dz
证明：如图，解析函数f(z)由点 经 到 ，再经 到 的积分等于从 经 到 的积分，即
则：
由于解析函数的积分与路径无关，可取 为直线，设 为
直线上任意一点，考虑到解析函数必连续，所以任给 ，
必存在 ，使当
，有
则有
这表明：当 时， 定理得证。
的极限为f(z)，即
由于 F(z) 是 f (z) 的一个原函数，所以 F(z) C 构成原函数族， 则有：
z
f ( )d F (z) C z0
上式中令 从而
，则有
z
z0 f ( )d F (z) F (z0 )
——解析函数的定积分公式
(形式上与牛顿——莱布尼兹公式相似)
四、小圆弧引理与大圆弧引理
1.小圆弧引理:若 在 的无心邻域内连续，在小圆
弧
上
一致成立，则
证明：由(1)式及极限的定义可得，任给
柯西公式说明：解析函数f(z)在其解析区域内任一 点的值可由沿边界线的积分确定。(解析函数的重要性 质之一)
f (z)
证明：f(z)在 D 内解析，但被积函数 z a 在 D 内不解析，积
f (z)
分不为 0。如果以 a 为圆心，ε 为半径作圆 Cε，则 z a 在这 个双通区域中解析，由柯西定理的推论知：
此结果与r无关，故令ｒ→0
由小圆弧引理：
讨论：1. 不一定取边界，取由 L 连续变形得到的 包围 a 的任意闭曲线，积分都相等。
2. a 点 在 内 任 意 变 动 , 柯 西 公 式 也 成 立 。 z a, z :有
说明：利用柯西公式可求积分——求积分的又一方法
解题要点：