二次根式除法
二次根式的运算加减乘除
二次根式的运算加减乘除二次根式，是指具有根号的数学表达式，常见形式为√a或√(a + b)，其中a和b为实数。
本文将围绕二次根式的运算进行讨论，包括加法、减法、乘法和除法。
一、二次根式的加法对于两个具有二次根式形式的数，如√a和√b，它们的和可以通过以下步骤进行计算：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式，即将根号内的数分解为互质的因数。
例如，√20可以化简为√(4 × 5)，再进一步化简为2√5。
Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相加。
例如，对于√20 + √45，可以分别先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相加得到5√5。
因此，二次根式的加法运算要先将根号内的数化简为互质的因数，然后合并相同根号部分。
二、二次根式的减法二次根式的减法与加法类似，也需要先将根号内的数化简为最简形式，然后合并相同根号部分。
以下是减法的步骤：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式。
Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相减。
例如，对于√20 - √45，可以先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相减得到-√5。
需要注意的是，减法运算中可能会出现负数的结果，这也是合理的。
三、二次根式的乘法二次根式的乘法运算可以通过以下步骤进行：Step 1: 将两个二次根式进行分解，将根号内的数分别因式分解为互质的因数。
例如，对于√20 × √45，可以将20分解为2 × 2 × 5，45分解为3 × 3 × 5。
Step 2: 将每个二次根式的因数进行合并。
例如，√20 × √45可以化简为(2 × √5) × (3 × √5)。
Step 3: 将合并后的二次根式继续化简为最简形式。
对于(2 × √5) × (3 × √5)，可以合并根号前的系数，得到6 × √(5 × 5)，即6 × √25。
二次根式的除法1
（4）
2y 2 4 xy
1 3 1 （1）－ 19 ÷ 95 （2） 9 ÷ （－ 2 ） 48 2 4 B 4、如图，在Rt△ABC中，∠C=900， ∠A=300，AC=2cm,求斜边AB的长
A
C
课堂小结：
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。 2. 二次根式的除法有两种常用方法： （1）利用公式： a
4 9 4 9
两个二次根式相除，等于把被开方数相除， 作为商的被开方数
4 2 1. , 9 3
16 4 2. , 49 7
4 2 9 3
16 4 49 7
16 16 49 49
a b
(1)在二次根式的运算中，最 后结果一般要求分母中不含 有二次根式.
8 8 2a 4 a 2 a 2a a 2a 2a 2a
(2)在二次根式的运算中,最后 结果中的二次根式要求写成 最简的二次根式的形式.
1.被开方数不含分母 2.被开方数不含开的尽 方的因数或因式
练习：把下列各式的分母有理化：
二次根式的乘法：
a b ab ( a 0, b 0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
ab a （ b a 0， b 0）
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根. 思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？ 请试着自己举出一些例子．
a b
a b
a 0, b 0
a b
24 3
a 0, b 0
2
2 1 3 18
两个二次根式相除，等于把被开方数相除， 作为商的被开方数 例４：计算 解：
1
1
二次根式的乘除运算
二次根式的乘除运算二次根式是指具有形式$\sqrt{a} $的数。
其中，$a$为一个非负实数。
二次根式的乘除运算可以通过简化根式的形式来实现。
在本文中，我们将重点讨论二次根式的乘法和除法运算。
一、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算可以使用分配律来进行简化。
具体而言，当我们要计算两个二次根式相乘时，可以按照以下步骤进行操作：Step 1：将两个二次根式的根号内的数相乘；Step 2：将两个二次根式的根号外的系数相乘；Step 3：将上述两个结果合并在一起，得到最终的乘积。
举个例子，让我们计算$\sqrt{2} \times \sqrt{3}$。
Step 1：$\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{2 \times 3} = \sqrt{6}$；Step 2：根号外的系数为1，可以省略；Step 3：最终结果为$\sqrt{6}$。
由此可见，$\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$。
在进行乘法运算时，我们通过简化根号内的数来得到结果。
二、二次根式的除法运算二次根式的除法运算通常需要利用有理化的方法，即通过乘以适当的有理化因子，将除数的分母中的根号消去，从而将除法转化为乘法。
具体而言，在计算两个二次根式相除时，可以按照以下步骤进行操作：Step 1：将除数的分母有理化；Step 2：将除法转化为乘法，即将除号改为乘号；Step 3：按照乘法运算的方法进行简化。
让我们通过一个例子来说明如何计算$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$。
Step 1：有理化除数的分母。
我们将分母$\sqrt{2}$有理化为$\sqrt{2} \times \sqrt{2}$，即$2$。
Step 2：将除号改为乘号，得到$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5}\times \frac{1}{\sqrt{2}}$。
Step 3：进行乘法运算并简化。
二次根式乘除运算法则
二次根式乘除运算法则1.二次根式乘法法则：两个二次根式相乘时，我们可以将它们的系数相乘，并将根号内的值相乘，然后合并同类项。
例如：√2*√3=√(2*3)=√6当系数为负数时，我们可以先将负号移到根号前，然后再进行乘法运算。
例如：-√2*√3=-(√2*√3)=-√(2*3)=-√6如果两个二次根式都有分子和分母，我们可以对分子和分母分别进行乘法，然后将最终结果的分子和分母进行简化。
例如：(√2/√3)*(√5/√7)=(√(2*5)/√(3*7))=(√10/√21)2.二次根式除法法则：两个二次根式相除时，我们可以将它们的系数相除，并将根号内的值相除，然后将同类项合并。
例如：√6/√2=√(6/2)=√3当系数为负数时，同样可以先将负号移到根号前，然后再进行除法运算。
例如：-√6/√2=-(√6/√2)=-√(6/2)=-√3如果被除数和除数都有分子和分母，我们需要对被除数和除数的分子和分母进行分别进行除法，然后将最终结果的分子和分母进行简化。
例如：(√10/√2)/(√5/√3)=(√10*√3)/(√2*√5)=(√(10*3)/√(2*5))=(√30/√10)=(√(30/10))=√33.提取公因式的技巧：当需要进行二次根式的加减运算时，我们可以先提取公因式，再合并同类项。
例如：√16+√36=4√1+6√1=4+6=10如果二次根式中的根号内的表达式可以进行因式分解，我们可以先将根号内的表达式进行因式分解，然后再进行合并。
例如：√20+√8=√(4*5)+√(4*2)=2√5+2√2=2(√5+√2)4.合并同类项的方法：当有多个二次根式需要进行合并时，我们需要保证它们的根号内的表达式相同，然后将它们的系数相加或相减，保持根号不变。
例如：2√5+3√5=(2+3)√5=5√5以上就是二次根式乘除运算的基本法则和技巧。
在实际应用中，我们需要灵活运用这些法则和技巧，以便在解决问题时快速而准确地进行计算。
二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
二次根式的除法
1 课时讲解 二次根式的除法法则
商的算术平方根的性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
复习提问
引出问题
二次根式的乘法法则是什么内容？化简二次根式的
一般步骤怎样？
复习提问 引出问题
感悟新知
知识点 1 二次根式的除法法则
1.计算：
(1) 9 ________, 9 ________
16
16
(2) 16 ________, 16 ________
36
36
(3) 4 ________, 4 ________
16
16
知1－导
感悟新知
2.根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空： 知1－导
9 ____ 9
16
16
16 ____ 16
36
36
4 ____ 4
16
16
综上所述，二次根式的除法法则：__________。 当二次根式前面有 系数时，类比单项式除以单项式 法则进行计算：即系数之商 作为商的____ ，被开 方数之商为____ .
正比例函数y kx(k
知2－练
0)的性质：
(1) 当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限， 自变量x逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大.
(2) 当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限， 自变量x逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小.
学习目标
1 课时讲解 正比例函数的图象
正比例函数的性质
2 课时流程
小，则k的取值范围是( D )
A．k＞5
B．k＜5
C．k＞－5
D．k＜－5
16.2 二次根式的乘除
例 6 计算:(1)-2 15÷3 3×6 5;
(2)
3
·
2
÷
2
1
2
3
;(3)3 2 × -
1
8
15 ÷
1
2
2
.
5
分析(1)利用二次根式的乘除法则计算即可;(2)先根据二次根式
的除法法则计算括号里的,再计算即可;(3)先把乘除法混合运算转
化成乘法运算,再进行乘法运算即可.
22
教材新知精讲
(4)公式里的字母可以是具体的数,也可以是值为非负数的代数
式.
(5)当二次根式前面系数不为 1 时,可以类比单项式与单项式相
乘的法则,先把系数相乘,再把被开方数相乘,即
m ·
n =mn (a≥0,b≥0).
3
教材新知精讲
知识点一
知识点二
知识点三
例 1 计算:(1)
5
×
3
知识点四
知识点五
综合知识拓展
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。17:50:0617:50:0617:509/12/2021 5:50:06 PM
教材新知精讲
综合知识拓展
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1217:50:0617:50Sep-2112-Sep-21
平方根的性质结合起来使用.商的算术平方根实质是二次根式除法
法则的逆用.
(5)利用商的算术平方根的性质,可以把被开方数的分母是开得尽
方的数的二次根式进行化简.
15
教材新知精讲
知识点一
知识点二
二次根式运算法则
二次根式运算法则二次根式运算法则是指在进行二次根式的加减、乘除运算时所遵循的一些规则和方法。
掌握了这些规则，可以帮助我们简化和求解二次根式的运算，提高计算的准确性和效率。
一、二次根式的加减法则1. 同类项相加减法则对于同类项的二次根式，可以直接对其系数进行相加或相减。
例如：√2 + √3 = √2 + √32√5 - 3√5 = -√52. 不同类项的相加减法则对于不同类项的二次根式，不能直接进行相加或相减。
需要通过化简的方式将其转化为同类项，然后再进行运算。
例如：√2 + 2√3 = √2 + 2√3(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - √6二、二次根式的乘除法则1. 二次根式的乘法法则二次根式的乘法运算可以通过将根号内的数相乘，并合并同类项的方式进行。
例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - 3 = -12. 二次根式的除法法则二次根式的除法运算可以通过将根号内的数相除，并合并同类项的方式进行。
例如：√6 ÷ √2 = √3(√6 + √2) ÷ √2 = (√6 + √2) × (√2 ÷ √2) = √3 + 1三、二次根式的化简法则对于复杂的二次根式，可以通过化简的方法将其简化为更简单的形式。
常用的化简法则有以下几种：1. 合并同类项法则将同类项的二次根式合并为一个二次根式。
例如：√2 + √2 = 2√22√3 + 3√3 = 5√32. 提取公因数法则将二次根式中的公因数提取出来，使其成为一个单独的因子。
例如：2√2 + 3√2 = 5√24√5 + 6√5 = 10√53. 有理化分母法则将二次根式的分母有理化，即将分母中的根号消去。
例如：1/√2 = √2/21/√3 = √3/3四、二次根式的运算顺序在进行二次根式的复合运算时，需要注意运算的顺序。
一般按照先乘除后加减的原则进行。
二次根式的加减乘除法则
二次根式的加减乘除法则
两个二次根式之和的形式是√a±√b。
如果两个二次根式的被开方数
相同，即a=b，则可以直接将它们的系数相加或相减，而保持根号下的数
不变。
具体来说，√a±√a=2√a，√b±√b=2√b。
例如，√2+√2=2√2，√3-√3=-2√3
如果两个二次根式的被开方数不同，即a≠b，则无法直接相加或相减。
在这种情况下，我们需要使用特殊的二次根式加法形式，即将二次根
式相加或相减后的结果进行化简。
具体步骤如下：
1.将二次根式分解成最简形式，即将每个二次根式的被开方数分解成
质因数的乘积。
2.将两个二次根式按照被开方数分别进行分组。
3.在每组中找出被开方数相同的二次根式，并将它们的系数相加或相减，而保持根号下的数不变。
4.将每组中的结果相加或相减，得到最终的结果。
两个二次根式的乘积可以按照分配律展开，然后进行合并同类项。
具
体步骤如下：
1.将每个二次根式的被开方数分解成质因数的乘积。
2.将两个二次根式的系数相乘。
3.将每个二次根式的根号下的数相乘，并合并同类项，即将被开方数
相乘后的结果进行化简。
4.将步骤2和步骤3的结果相乘。
除法可以转化为乘法，即将被除数乘以除数的倒数。
具体步骤如下：
1.将被除数和除数分别进行质因数分解。
2.将被除数和除数的系数相乘。
3.将被除数的根号下的数除以除数的根号下的数，并将结果进行化简。
以上就是二次根式的加减乘除法则的详细解释，希望能对您有所帮助。
§21.2.2-二次根式的除法
1. 二次根式的除法有两种常用方法：
（1）利用公式：
a a (a 0，b 0) bb
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。
a= a
b
b
a 0,b 0
2.最简二次根式、分母有理化及有理化因式的概念；
注意： 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化 简的二次根式先化简，再考虑分母有理化。
那么2 a - 3 b和2 a + 3 b互为有理化因式。
一般地，a x与 x互为有理化因式； a x + b y与a x - b y互为有理化因式。
练一练：
1、化简下列各式（分母有理化）：
（1）－8 3 8
（2）3 2 27
（3） 5a 10a
（4）2y 2 4xy
说明;1、在进行分母有理化之前，可以先观察把 能化简的 二次根式先化简，再考虑如何化去分母 中的根号。
作业本： 第12页习题21.2 第2、 3、6题
练习本: 第11页练习 第1、2、3题 选作：第12页习题21.2 第7、8、9题
3、如图，在Rt△ABC中,∠C=900，∠A=300，
AC=2cm,求斜边AB的长
B
解：设BC x,因为在RtΔABC中，
C 900,A 300,所以，AB 2x A
解：原式 64 64 8 11 49 49 7 7
辨析训练
判断下列各等式是否成立。
× √ （1） 16 9 4 3（ ）（2） 3 3 （ ） 22
× × （3） 41 2 1 （ 22
）（4） 2
52 99
5（
）
（5） 4 4 4 4（ √ ）（6）5 5 5 5 （ √）
二次根式除法练习题
二次根式除法练习题二次根式除法练习题在数学学习中，二次根式除法是一个重要的概念。
它不仅在解方程、化简表达式等方面起到关键作用，还是进一步理解数学中的抽象概念的基础。
本文将通过一些练习题来帮助读者巩固对二次根式除法的理解和应用。
练习题一：将 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}$ 化简为最简形式。
解答一：我们可以利用根式的乘法法则来化简这个表达式。
根式的乘法法则告诉我们，$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$。
因此，我们可以将分子和分母中的根号合并起来，得到 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15 \cdot 3}}{\sqrt{3 \cdot 3}}$。
进一步化简得到 $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{9}}$。
由于 $\sqrt{45}$ 可以化简为$3\sqrt{5}$，$\sqrt{9}$ 可以化简为 3，所以最终结果为 $\frac{3\sqrt{5}}{3}$。
分子和分母都有一个因子 3，可以约去，得到最简形式 $\sqrt{5}$。
练习题二：将 $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$ 化简为最简形式。
解答二：同样地，我们可以利用根式的乘法法则来化简这个表达式。
将分子和分母中的根号合并起来，得到 $\frac{\sqrt{72 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$。
进一步化简得到 $\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{4}}$。
由于 $\sqrt{144}$ 可以化简为 12，$\sqrt{4}$ 可以化简为 2，所以最终结果为 $\frac{12}{2}$。
分子和分母都可以被 2 整除，可以约去，得到最简形式 6。
练习题三：将 $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{12}}$ 化简为最简形式。
解答三：在这个例子中，我们需要先将分子和分母中的根号化简为最简形式，再进行约分。
二次根式的除法
二次根式除法
二次根式乘法法则:
a b a b
（a≥0,b≥0)
最简二次根式的要求: 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
探 究
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什 么规律？
2 4 4 （1） =（ ）， =（ 3 9 9
2 ） 3 4 4 16 16 （2） =（ ）， =（ ） 25 5 5 猜想： 25
3( x 1) 2( x 1) 3
4、若等式 是_________
x x 5
x x 5 成立，则x的取值范围
5、已知， a 5 2 则a与b的关系是（ ） (A) a
6
(C)
1 b ， 52 6
b
(B) a
b
ab 1
(D)
ab
小 结
1、二次根式的除法：
3
4 3
4
1.5
最简二次根式的要求:
被开方数不含分母. 例 题
1、计算：
24 (1) 3
2、化简：
3 1 (2) 2 18
3 (3) 15 5
3 (1) 100
25 y (2) 2 9x
3
4 3
4
1.5
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式， 叫做最简二次根式.
3、计算：
3 (1) 5
3 2 (2) 27
8 (3) 2a
4、计算：
3 1 (1)9 45 1 2 2
(2) 18 2 x y 3 2 xy
3 2
(3)(4 27 5 48) 2 3
二次根式的除法法则
含字母的二次根式的除法
法则描述
含字母的二次根式相除，同样遵 循同类二次根式的除法法则，但
需注意字母的取值范围。
示例
$frac{asqrt{b}}{csqrt{b}} = frac{a}{c} quad (b > 0)$
注意事项
确保字母的取值使二次根式有意 义，且除数不为0。同时，对于 含字母的表达式，还需考虑其定
义域。
04 二次根式除法的应用
在数学领域的应用
1 2 3
简化根式表达式
通过二次根式的除法，可以将复杂的根式表达式 简化为更简单的形式，便于进一步的计算和分析。
解方程和不等式
在解方程和不等式的过程中，经常需要用到二次 根式的除法，以消去根号或化简表达式，从而得 到解或证明不等式。
推导数学公式
二次根式的除法在数学公式的推导中起到重要作 用，例如在三角函数、数列、概率统计等领域的 公式推导中经常涉及。
在物理和工程领域的应用
计算物理量
在物理学中，很多物理量需要通过二次根式的除法来计算，例如速度、加速度、 力等。这些物理量的计算往往涉及到复杂的数学表达式和根式的处理。
工程设计
在工程设计中，经常需要用到二次根式的除法来求解各种问题，例如计算结构 的强度、稳定性等。通过合理的数学建模和计算，可以保证工程设计的准确性 和安全性。
通过与共轭式相乘，可以消去分母中的根号，从而将除法转 化为乘法运算。
避免分母出现根号
在进行二次根式除法时，应尽量避免分母中出现根号。如 果分母中出现根号，可以通过乘以适当的表达式来消去根 号。
例如，当分母为√a + √b时，可以乘以√a - √b来消去分母 中的根号。
06 二次根式除法的注意事项
16.22二次根式的除法
16.2
探究1
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律：
探究1
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律：
探究1
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律：
探究1
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律：
探究1
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律：
一般地，二次根式的除法法则是：
作业：习题16.2 第2、3、4、5题
练习：
1. 计算： 2. 化简： 3. 计算： 4. 直角三角形的面积为 ，一条直角边为 ，求另一直角边。 ，靠墙的一边长为 5. 一个长方形篱笆，有一边靠墙，面积为 ，那么篱笆的总长是多少？
6. 一个圆锥的体积V=
，高为
，求圆锥的底面面积。
7. 下列二次根式属于最简二次根式的有_________________。
例6 计算：
最简二次根式： （1）被开方数不含分母，分母中不能有根式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 例6 计算：
二次根式的除法法则：
二次根式的商等于商的二次方根。 二次根式的化简：
分母去根号：
二次根式的除法法则：
二次根式的商等于商的二次方根。 二次根式的化简：
分母去根号：
探究1
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律：
一般地，二次根式的除法法则是：
二次根式的商等于商的二次方根。
例4 计算
例4 计算
例4 计算
例4 计算
例5 化简：
例5 化简：
例5 化简：
例6 计算：
算：
例6 计算：
例6 计算：
初中数学 如何使用二次根式的除法公式进行除法运算
初中数学如何使用二次根式的除法公式进行除法运算使用二次根式的除法公式进行除法运算可以通过以下步骤进行。
假设我们要计算√a 除以√b，其中a和b是非负实数。
1. 第一步，我们需要对分子和分母进行有理化，即将根号下的数转化为有理数。
有理化的方法有两种情况：a. 如果a和b都是完全平方数，那么我们可以直接将根号下的数化简为它们的平方根。
例如，√4除以√9可以有理化为2除以3。
b. 如果a和b不都是完全平方数，那么我们需要将根号下的数分解为它们的因式，然后利用乘法的分配律进行有理化。
例如，√15除以√6可以有理化为√(3×5)除以√(2×3)，然后利用乘法的分配律得到(√3×√5)除以(√2×√3)，再进一步化简为√5除以√2。
2. 第二步，我们需要将有理化后的分子和分母进行除法运算。
在这种情况下，我们可以将除法转化为乘法，即将分子乘以分母的倒数。
例如，在第一步的例子中，√5除以√2可以转化为(√5×(1/√2))。
3. 第三步，我们需要化简结果。
如果有理化后的分子和分母可以进一步化简，我们可以按照化简的方法进行。
例如，在第一步的例子中，我们可以将(√5×(1/√2)) 化简为(√5/√2)。
需要注意的是，当我们将两个二次根式相除时，我们需要确保分母不等于零，因为根号下的数不能为零。
下面通过一个具体的例子来演示如何使用二次根式的除法公式进行除法运算：例题：计算√18 除以√3。
解答：1. 首先，我们对分子和分母进行有理化。
√18可以化简为√(9×2)，√3保持不变。
√18 除以√3 = (√(9×2)) 除以√32. 然后，我们进行除法运算，即将分子乘以分母的倒数。
(√(9×2)) 除以√3 = (√(9×2)) × (1/√3)3. 最后，我们化简结果。
分子和分母都不能再被进一步化简，所以我们得到最简形式的结果。
二次根式除法
二次根式的化简要求满足以下三点: (1)被开方数的因数是整数,因式是整式,也就是说 “被开方数不含分母”. (2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式,也就是 说“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于 2”. (3)被开方数中不含分母且分子与分母中也不含有 开的尽的因式时，须将分母中的二次根式有理化。
1 2 3
2 2 2 3 3 3 3 8 4 4 4 15 2 3 3 8 4 15
n
n n 1
2
n
n n 1
2
n 2
5 5 4 5 5 24 24
1.二次根式的乘法 : 二次根式的除法 :
a b a b
ab , ( a 0, b 0)
练习:
1 2
72 6 1 1 1 2 6
3 4
40 45 m n 5 m n
5 4 4 3
例1.计算或化简: (1)
15 3
24 (2) 3
1 (3) 5
2 (4) 1 3
8 (5) 20
二次根式化简后,被开方数 不含分母,并且被开方数中所有因式 的幂的指数小于2,像这样的二次根 式称为最简二次根式.
化简：
1 2 3 4 5 6
4 16 36 256 30000 13 12
2 2 2 2
7 18 8 5 2 3 18 9 45 48 10
1 1 ab a b 1 x
a (b c) b a a b
4
b a b
2
2 2
b a b
2【分母有理化作业 】 Nhomakorabea• 1．已知 求
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；带分数，应先化 成假分数。
（3） 3 ；
16
（4） 4b2 （ a≥0， b＞0）． 9a 2
学生练习：
（1） 4 ； 9
（2） 3 5 ；
9
（3） 3 ；
49
（4）
25x4 9 y2
（y＞0）．
12.2 二次根式的乘除（3）
例3
等式
x? x? 2
x x ? 2 成立的条件是
．
练习：等式 x ? 1 ? x ? 1 成立的条件是
12.2 二次根式的乘除（3）
一般地，有 a ＝ a (a≥0， b＞0),
bb
这就是二次根式的除法运算法则．
12.2 二次根式的乘除（3）
例1 计算： （1） 12 ；
3
（2） 56 ；
7
（3） 27 ?
3；
（4） 1 2 ? 1 ．
33
学生练习：
（1） 60 ； 15
（3） 18 ? 6；
（2） 72 ； 8
x2y 12xy· 3 (x≥0，y≥0)．
12.2 二次根式的乘除（3）
情境创设：
（1） 4 ＝
25
2
4
5 ， 25 ＝
2 5
；
（2） 9 ＝
16
3 4
，
9＝
16
3
4；
（3） 49 ＝
100
7 10
，
49 100
＝
7 10
；
（4） 22 ＝
52
2 5
，
22 52
＝
2
5．
比较上述各式，你猜想到什么结论？
其中一边长为 2 cm，求长方形的对角线的长．
3.把x - 1中根号外的因式移入根号内，转化的结(果是) x
A x B.-x C.--x D.-x
12.2 二次根式的乘除（3）
今天你学到了什么？
1．能运用法则 a ＝ a (a≥0， b＞0),
bb
进行二次根式的除法运算； 2．能逆用二次根式的除法运算法则，对简单的
.
2? x 2? x
练习：
-2<x≤1
2.计算： 2 ? 6 ? 1 ? ___1____。 3
3.把x - 1中根号外的因式移入根号内，转化的结(果C是) x
A x B.-x C.--x D.-x
12.2 二次根式的乘除（3）
拓展提高： 1．计算： 2 4 1 ? 2 1 ． 24
2．已知一个长方形的面积为 2 6 cm2，
12.2 二次根式的乘除（3）
复习回顾
1.计算 ：
(1) 3? 12
(2) x? x3
(3)2 ab?3 b (4)? 27? 1
a
3
2.练习 化简：
（1）
24
（2）
48
（3） 12 ? 45
（4）
4a 2b3
3.计算：
1 16 (1) 24×81； (2) （－121）×（－36）；
(3) 172－8．
33
12.2 二次根式的乘除（3）
由 a ＝ a (a≥0， b＞0)，可以得到，
bb
a＝ a (a≥0， b＞0)．
bb
利用商的算术平方根的性质可以化简一些 二次根式．
12.2 二次根式的乘除（3）
例2 化简： （1） 16 ；
25
注意：
如果被开方数是
（2）
19 7
二次根式进行化简 .