方程的根与函数的零点解读

方程的根与函数的零点

王学忠 山东省临沂市沂水县第一中学

教材版本：《普通高中课程标准实验教科书·数学1·必修·A 版》，人民教育出版社，2007年1月第二版

课 题：§3.1.1方程的根与函数的零点

教学目标：

【知识与技能】了解函数零点的概念，理解方程的根与函数的零点的关系；理解图象连续的函数存在零点的判定方法，并能进行简单的应用。

【过程与方法】在探究方程的根与函数的零点的关系，图象连续的函数存在零点的判定方法中体会数形结合、函数与方程的数学思想，从特殊到一般的归纳思想。

【情感态度与价值观】在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值；在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣，培养学生的辨证思维。

教学重点：方程的根与函数的零点的关系；图象连续的函数存在零点的判定方法及应用。 教学难点：图象连续的函数存在零点的判定方法的理解。

教具准备：直尺 Powerpoint 2003课件 几何画板4.07课件

学具准备：计算器

教学方法：问题探究法

教学过程设计：

一、创设情境：

问题引入：求方程01532=-+x x 的实数根。 变式：求方程01535=-+x x 的实数根。 数学史上，人们曾希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果，1824年挪威年仅22岁的数学家阿贝尔（N.H.Abel ，1802-1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解。五次以上的高次方程不能用代数运算来求解，我们就必须寻求新的角度——函数来解决这个方程的问题。

设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。通过对数学史的讲解，培养学生学习数学的兴趣，开门见山地提出利用函数思想解决方程根的问题。

二、新知探究：

1．零点的概念：

问题1：求方程0322=--x x 的实数根，并画出函数322--=x x y 的图象。 1-，3具有多重角色，它能够使这个方程成立，也能够使这个函数的函数值为0，它又是函数图象与x 轴两个交点的横坐标。这样1-，3就把函数与方程联系到一起了，在方程里，1-，3叫做方程的实数根，在函数里，它能够使得函数值为0，我们就称它为函数的零点。

对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点（zero point ）。

设计意图：以学生熟悉一元二次方程和二次函数图象为平台，观察方程和函数形式上的联系，得出函数零点的概念。

问题2：求函数122+-=x x y 和函数322+-=x x y 的零点。

结论：函数)(x f y =的零点是个实数，是方程0)(=x f 实数根，是函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标（学生可能认为零点是个点，在这里要强调）。

问题3：探究一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的实数根和对应的二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的零点及图象与x 轴交点的关系。（填下面表格）

ac b 42-=∆

0>∆ 0=∆ 0<∆ 方程的实数根

a ac

b b x 2421-+-= a a

c b b x 2422---= a b x x 221-== 无实数根 函数图象与x 轴的交点

)0,(1x ，)0,(2x )0,2(a b - 无交点 函数的零点 1x ，2x a

b 2- 无零点 结论：方程0)(=x f 有实数根0x ⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点)0,(0x ⇔函数)(x f y =有零点0x 。

设计意图：通过对一般形式一元二次方程和对应的二次函数的研究，进一步理解方程的根与函数的零点的关系。

练习：

1．求下列函数的零点：

（1）32+=x y （2）12-=x y （3）83-=x y

2．已知函数)(x f y =的图象如下图所示，则函数)(x f y =的零点为＿＿＿＿＿＿。

答案：1．（1）2

3- （2）0 （3）2 2．3,1,2-。 设计意图：通过练习，使学生进一步理解函数零点的概念，强调求函数的零点可转化为求方程的根或求函数图象与x 轴的交点。

2．函数零点的判定：

问题4：观察下列两组画面，请你推断一下在他的徒步行程中是否一定趟过这条小溪？

第（1）组说明他的徒步行程中一定趟过这条小溪，第（2）组中不一定趟过这条小溪。

问题5：满足什么条件，才能使函数)(x f y =在))(,()),(,(b f b B a f a A 间的图象与x 轴一定有交点？

将小溪抽象成x 轴，将前后的两个位置视为A 、B 两点。请问当A 、B 与x 轴怎样的位置关系时，AB 间的一段函数图象与x 轴一定会有交点？

A 、

B 两点在x 轴的两侧。如何用数学符号（式子）来表示？ 0)()(<⋅b f a f 。

-

2 1

3 O x

y

（1）

（2）

并且函数图象必须是一条连续不断的曲线。

设计意图：从现实生活中的问题，让学生体会动与静的关系，整体与局部的关系。将现实生活中的问题抽象成数学模型，由图形语言转化为数学语言，培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。

问题6：观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象，在区间]1,2[-上，函数值)2(-f 和)1(f 的积与0的大小关系如何？函数32)(2--=x x x f 在)1,2(-是否存在零点？

在区间]1,2[-上，0)1()2(<⋅-f f ，函数在区间)1,2(-上存在零点1-。

问题7：观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象，在区间]4,1[上，函数值)1(f 和)4(f 的积与0的大小关系如何？函数32)(2--=x x x f 在)4,1(是否存在零点？

在区间]4,1[上，0)4()1(<⋅f f ，函数在区间)4,1(上存在零点3。

设计意图：通过对二次函数图象的分析，进一步探究函数在某个区间上存在零点的条件。 通过以上探究，让学生自己概括出对于一般的函数)(x f y =在区间],[b a 上满足什么条件就存在零点？

零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根。

（1）函数图象连续不断，端点函数值异号，函数一定存在（至少有一个）零点。 问题9：若函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，一定有0)()(<⋅b f a f 吗？

不一定，如32)(2--=x x x f ，可以发现在区间]4,2[-上有零点，但0)4()2(>⋅-f f 。

（2）函数存在零点，端点函数值不一定异号。

设计意图：使学生准确理解零点存在性定理，强调结论不能随便改动。

三、新知应用与深化：

例1 观察下表，分析函数153)(5-+=x x x f 在定义域内是否存在零点？

分析：函数153)(5-+=x x x f 图象是连续不断的，又因为0)1()0(<⋅f f ，所以在区间)1,0(上必存在零点。我们还可以通过几何画板作图帮助了解零点大致的情况。

设计意图：初步应用定理来判断函数零点存在问题。引导学生探索判断函数零点的方法，通过作出)(,x f x 的对应值表，来寻找函数值异号的区间；还可以借助几何画板作出函数的图象分析零点问题，并对函数有一个零点形成直观认识，为例2判断函数零点的个数作好准备。

例2 求函数62ln )(-+=x x x f 的零点个数。

分析：用计算器或计算机作出)(,x f x 的对应值表和图象。

由表可知，0)3(,0)2(>

结论：图象连续的单调函数若存在零点，则零点唯一。

设计意图：学生应用例题1方法来解决例题2的零点存在性问题，并结合函数的单调性判断零点的个数问题。

四、达标检测：

1．已知函数)(x f 图像是连续不断的，且有如下对应值表：

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个