(优选)第四章特殊变换及其矩阵Ppt

, ηn 下的矩阵表示
(η1,η2 , , ηn ) (ε1,ε2 , , εn )U
显然过渡矩阵 U 是酉矩阵（请试试自己证明一下）
因为 (η1,η2 , , ηn ) B
(T (η1 ), T (η2 ), , T (ηn )) (T (ε1 ), T (ε2 ), , T (εn ))U (ε1,ε2 , , εn ) AU (η1,η2 , , ηn )U H AU 所以 B U H AU ，结论成立。
(T (ε1 ),T (ε2 ), ,T (εn )) (ε1,ε2, , εn ) D
并称 T 在任意标准正交基 η1,η2 , , ηn下的矩阵表
示为正规矩阵。
定理3 正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是 酉相似的。
证明：设正规变换 T 在 V 的两组标准正交基
ε1,ε2 , , εn 和 η1,η2 , 分别为 A、B ，并设
根据Schur引理，可以推出正规矩阵的一个相当美妙 的性质，此性质经常被当作正规矩阵的等价定义。
定理 5 方阵 A 是正规的，当且仅当
AAH AH A.
为证明这个结论，再给出一个引理。
引理 6 满足 TT H T HT 的三角阵 T 必是
对角阵。
证 对上三角阵 T (ti j ) ，比较等式
明
明 充分性。根据Schur引理，存在酉矩阵 U 及
上三角阵 T ，使得 A UTU H
显然 AH A AAH 当且仅当 T HT T T H。
根据引理6，T 是对角矩阵。故 A 是正规阵。
例 7 判断下列矩阵是不是正规矩阵：
（1）实对称矩阵（ AT A ）；
（2）实反对称矩阵（ AT A ）； （3）正交矩阵 （AT A1 ）； 天下英雄尽
根据定理3，正规变换在任一标准正交基下的矩阵 表示必定酉相似于对角阵，即
Λ U H AU
二、正规矩阵的等价定义
定理 4 ( Schur 引理 ) 任何复方阵 A 必酉相似于
一个上三角阵 T 。即存在酉矩阵 U ，使
U H AU T. 并称 A UTU H 为方阵 A 的Schur分解。
100多年前(1909年) Schur给出的Schur 引理是矩阵理 论中的重要定理，是很多其他重要结论的基础。在 矩阵计算中也具有相当重要的地位。
T T H T HT
两边乘积矩阵在第 i 行第 i 列位置上的元素 ，并注 意到 ti j 0 (i j) ，因此对 i 1, 2, , n ，有
| ti i |2 | ti n |2 | t1i |2 | ti i |2 当 i 1 时，有 | t11 |2 | t12 |2 | t1 n |2 | t11 |2
U 1AUU H AHU H U 1AAHU H U 1AH AU H U H AH AU
U H AH (U 1 )H U 1 AU BH B.
(U 1 AU )H (U 1AU )
定理 9 方阵 A 是正规的，当且仅当 A 与对角矩
阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特 征值。
证明：必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉
都满足要求，正交矩阵当然也满足这个要求。因此具
有性质 AAT AT A 的这种新矩阵就“一统江湖”，
具有了统一性。
对称矩阵最主要的性质是可以对角化，尤其是可以正 交对角化，推广到这种新矩阵后这个性质是否还能保 留呢？
一、正规变换(Normal Transformation)
定义1 对于复方阵（或实方阵）A、B，如果存在酉
两两正交的单位特征向量,即对应于不同特征值的特 征子空间相互正交（完备正交系）。
证明：必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉
矩阵 U (u1, , un ) 及对角阵 diag(1, , n ) 使得 U H AU ，即 AU U 因此 A(u1, , un ) ( Au1, , Aun ) (1u1, , nun ) 充分性。若 A 有 n 个两两正交的单位特征向量
矩阵 U 或正交矩阵 Q ，使得 U H AU U 1 AU B
或
QT AQ Q 1 AQ B
则称 A 酉相似（或正交相似）于 B 。
定义2 酉空间 V 上的线性变换 T 称为 V上的一个
正规变换，如果存在 V的标准正交基 ε1,ε2 , , εn 及对角矩阵 D diag(d1,d2 , , dn ) 满足
（优选）第四章特殊变换及其 矩阵
两方阵 A, B 互逆的条件是成立关系式
AB BA I.
从纯代数角度看，如果去掉乘积为单位矩阵的限制， 那么两矩阵是可交换矩阵。 联想到正交矩阵的逆即为其转置，因此如果再限定两
矩阵互为转置，即要求成立 AAT AT A，情况又如
何？
显然对称矩阵 ( AT A) 和反对称矩阵 ( AT A)
Baidu Nhomakorabea
可知 t1 j 0 ( j 2, 3, , n)
对 i 施行归纳法，可得 ti j 0 (i j) ，证毕。
定 必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉
理 矩阵 U 及对角阵 D ，使得 A UDU H 5 的 因此 AAH (UDU H )(UDU H )H UDDU H
证
U DDU H (U DU H )(UDU H ) AH A
矩阵 U (u1, , un ) 及对角阵 diag(1, , n ) 使得 U H AU ，即 AU U 因此 A(u1, , un ) ( Au1, , Aun ) (1u1, , nun )
充分性。若有 U H AU ，显然可验证
AH A AAH
定理10 方阵 A 是正规的，当且仅当 A 有 n 个
u1, , un ，取 U (u1, , un ) 即可。
正规矩阵的谱分解
UUHHAAUU U 1AU
（4）酉矩阵（ AH A1 ）；
入吾彀矣！
（5）Hermite 矩阵（ AH A ）；
（6）反Hermite 矩阵（ AH A ）；
（7）形如
a
1 1
1
1
,
a
R
or
C
的矩阵。
定理 8 与正规矩阵酉相似的方阵仍然是正规矩阵。
证明：如果存在酉矩阵 U ，使得 B U 1AU ，则
BBH (U 1AU )(U 1AU )H