(优选)第四章特殊变换及其矩阵Ppt
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矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
高二数学选修4-2 矩阵与变换 PPT
X’，根据矩阵变换的性质有
16
矩阵乘法的几何意义——变换的合成 乘法满足结合律，不满足交换律
1/2 0 0 –1 的变换过程(先旋转后压缩):
0 1 10
0 –1 1/2 0 的变换过程(先压缩后旋转):
10 01
17
逆变换与逆矩阵
伸压变换之逆为伸压变换
1/2 0 01
20 01
20 01
1/2 0 01
14
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
直线的向量方程 一般地，在平面直角坐标系中，经过点
M0(x0,y0）且平行于非零向量 的直线l的方程为
v0
v1
v
2
15
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
给量向定量OuuMuM矩uur0v阵'变0。M成,它向把量点OuuMMuu0ur0变，成点M把M向0’，量即v0把变向成 对l上任意一点X,矩阵M把点X变成点
1
1 3 y = -2
求解线性方程组即为：求一个向量，它由已知变 换变为一个已知向量。
Mx xM1
可以根据变换，讨论可逆解的情况。
21
特征值与特征向量的意义
1 0
矩阵
0
1 2
的特征向量为 1 和
0
0
1
和
矩阵只改变其特征向量的
0 –1
1
0
高中数学选修４- 2
矩阵与变换
1
主要内容
通过几何变换讨论二阶方 阵的乘法及性质、矩阵的逆 和矩阵的特征向量，初步展 示矩阵应用。
2
特色
突出矩阵的几何意义
从具体到一般，从直观到抽象
用实例展示矩阵应用广泛性
16
矩阵乘法的几何意义——变换的合成 乘法满足结合律，不满足交换律
1/2 0 0 –1 的变换过程(先旋转后压缩):
0 1 10
0 –1 1/2 0 的变换过程(先压缩后旋转):
10 01
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逆变换与逆矩阵
伸压变换之逆为伸压变换
1/2 0 01
20 01
20 01
1/2 0 01
14
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
直线的向量方程 一般地，在平面直角坐标系中，经过点
M0(x0,y0）且平行于非零向量 的直线l的方程为
v0
v1
v
2
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矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
给量向定量OuuMuM矩uur0v阵'变0。M成,它向把量点OuuMMuu0ur0变，成点M把M向0’，量即v0把变向成 对l上任意一点X,矩阵M把点X变成点
1
1 3 y = -2
求解线性方程组即为：求一个向量，它由已知变 换变为一个已知向量。
Mx xM1
可以根据变换，讨论可逆解的情况。
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特征值与特征向量的意义
1 0
矩阵
0
1 2
的特征向量为 1 和
0
0
1
和
矩阵只改变其特征向量的
0 –1
1
0
高中数学选修４- 2
矩阵与变换
1
主要内容
通过几何变换讨论二阶方 阵的乘法及性质、矩阵的逆 和矩阵的特征向量，初步展 示矩阵应用。
2
特色
突出矩阵的几何意义
从具体到一般，从直观到抽象
用实例展示矩阵应用广泛性
]高二数学选修4-2 矩阵与变换ppt课件
![]高二数学选修4-2 矩阵与变换ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/231cacf2960590c69ec37685.png)
1
0
的特征向量为 0 和 1
10 x
1
0
= x· +(–y) ·
0 -1 y
0
1
矩阵只改变其特征向量的长度不改变其方向
22
矩阵的特征向量是在变换下“基本” 不变的量
23
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
直线的向量方程 一般地，在平面直角坐标系中，经过点
M0(x0,y0）且平行于非零向量 的直线l的方程为
v0
v1
v2
14
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
给量向定量OuuMuM矩uur0v阵'变0。M成,它向把量点OuuMMuu0ur0变，成点M把M向0’，量即v0把变向成 对l上任意一点X,矩阵M把点X变成点
高中数学选修４- 2
矩阵与变换
1
主要内容
通过几何变换讨论二阶方 阵的乘法及性质、矩阵的逆 和矩阵的特征向量，初步展 示矩阵应用。
2
特色
突出矩阵的几何意义
从具体到一般，从直观到抽象
用实例展示矩阵应用广泛性
3
矩阵---几何变换的代数表示
几何代数化----向量 平面几何变换 : 二阶矩阵乘向量
X’，根据矩阵变换的性质有
15
矩阵乘法的几何意义——变换的合成 乘法满足结合律，不满足交换律
1/2 0 0 –1 的变换过程(先旋转后压缩):
0 1 10
0 –1 1/2 0 的变换过程(先压缩后旋转):
10 01
16
逆变换与逆矩阵
伸压变换之逆为伸压变换
1/2 0 01
20 01
20 01
1/2 0 01
高二数学选修42矩阵与变换全章指导精品PPT课件
• 特征多项式：
f()= c a d b， 其A 中 =c a d b．
• 学会从几何变换的角度进行解释。
1 0 1 0 0 1 1 1 1 2
0
2
0
1
1
0
0
0
0
1
伸压、反射、旋转、投影、切变
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
（1）A() Βιβλιοθήκη A；（2） A( + ) = A + A。
A( + ) = A + A。
2．3 变换的复合与矩阵乘法
• 连续施行两次变换——矩阵的乘法 ； • 矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律：
1 0
01210
0110
0110
0
1 2
交 换 律 验 证
先旋转再压缩
先压缩再旋转
2．4 逆变换与逆矩阵（一）
与ax = b类比引入单位矩阵和逆矩阵→特殊矩阵 (变换)的逆矩阵(变换) 。
• 反射矩阵(变换)的逆矩阵(变换)是其自身；
1 0 1 0 1 0
0
1
0
1
0
1
• 伸压矩阵的逆矩阵是伸压矩阵；
1 0
0
1
2
互逆 1
0
0
2
2．4 逆变换与逆矩阵（二）
• 旋转矩阵的逆矩阵是旋转矩阵；
★
2．2 几种常见的平面变换；
★
2．3 变换的复合与矩阵的乘法； ★ ★
2．4 逆变换与逆矩阵；
★★★
f()= c a d b， 其A 中 =c a d b．
• 学会从几何变换的角度进行解释。
1 0 1 0 0 1 1 1 1 2
0
2
0
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0
0
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1
伸压、反射、旋转、投影、切变
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
（1）A() Βιβλιοθήκη A；（2） A( + ) = A + A。
A( + ) = A + A。
2．3 变换的复合与矩阵乘法
• 连续施行两次变换——矩阵的乘法 ； • 矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律：
1 0
01210
0110
0110
0
1 2
交 换 律 验 证
先旋转再压缩
先压缩再旋转
2．4 逆变换与逆矩阵（一）
与ax = b类比引入单位矩阵和逆矩阵→特殊矩阵 (变换)的逆矩阵(变换) 。
• 反射矩阵(变换)的逆矩阵(变换)是其自身；
1 0 1 0 1 0
0
1
0
1
0
1
• 伸压矩阵的逆矩阵是伸压矩阵；
1 0
0
1
2
互逆 1
0
0
2
2．4 逆变换与逆矩阵（二）
• 旋转矩阵的逆矩阵是旋转矩阵；
★
2．2 几种常见的平面变换；
★
2．3 变换的复合与矩阵的乘法； ★ ★
2．4 逆变换与逆矩阵；
★★★
高中数学：-矩阵与变换-(新人教A选修-)PPT课件
2 0
0
1
x y
2x
y
T:xyxy2yx
表示的几何变换为:纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍.
8.二元一次方程组 ax by e 可以表示为
cx
dy f
系数矩阵
a
c
b x e
d
y
f
2021
9
2.2 几种常见的平面变换
1.恒等变换矩阵(单位矩阵)为E:
1
0
0
1
2.恒等变换是指对平面上任何一点(向量)或图形施以
s c io n s c s o is n x y x xs c io n s y yc so in s x y
2021
14
2.2 几种常见的平面变换
cos sin
sin
cos
0 1 0 1
1
0
,
-1
0
0 1x y 1 0y x
T:xyxyyx
2021
1 0
0 1 2
x y
x y 2
T
:
x y
x
y
x
y
2
1 0 2 0
0
2 , 0
1
2021
11
2.2 几种常见的平面变换
4.反射变换矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定 点对称的平面图形的变换矩阵.
1 0x x
0
1y y
T:xyxyyx
1 0
10,10
矩阵
1
0
0
1
对应的变换,都把自己变为自己.
1 0 x x
x x x
0
1
y
y
T:yyy
(优选)第四节可逆矩阵与逆矩阵
（优选）第四节可逆矩阵与逆 矩阵
2、方阵行列式的性质 设 A ，B 均为n 阶方阵
（1） AT A （2） kA k n A （3） AB A B | BA |
推广： 若 A1, A2 , AS为同 阶方阵,则 A1 A2 AS A1 A2 AS
特别地： An A n
1 1 0 2 4 1
20
11
11
A12 3
10 5
A22 3
2 5
A32 2
2 0
21
A13 3
7 2
10
A23 3
2 2
10
A33 2
1 1
A11 A21 A31
A*
A12
A22
A32A13 A23 A来自3 5 2 110
2
2
7 2 1
例2: 设A 为n阶方阵, A* 是A 的伴随矩阵, 计算 A* A , AA* .
例3：设
1 0 1
A
2 3
1 2
0 5
,
判断A是否可逆？ 若可逆，求出 A1 .
解：因为
101
A 2 1 0 20
3 2 5
所以A可逆，且 A1 1 A* . A
因为
5 2 1
A*
10
2
2
,
7 2 1
1 0 1
A
2
1
0
,
3 2 5
所以 A1
5
1 A
A*
1 2
10 7
A11
A
A12
A1n
A21 A22
An1
An2 称为矩阵A 的伴随
矩阵.
A2n Ann
2、方阵行列式的性质 设 A ，B 均为n 阶方阵
（1） AT A （2） kA k n A （3） AB A B | BA |
推广： 若 A1, A2 , AS为同 阶方阵,则 A1 A2 AS A1 A2 AS
特别地： An A n
1 1 0 2 4 1
20
11
11
A12 3
10 5
A22 3
2 5
A32 2
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A13 3
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A23 3
2 2
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A33 2
1 1
A11 A21 A31
A*
A12
A22
A32A13 A23 A来自3 5 2 110
2
2
7 2 1
例2: 设A 为n阶方阵, A* 是A 的伴随矩阵, 计算 A* A , AA* .
例3：设
1 0 1
A
2 3
1 2
0 5
,
判断A是否可逆？ 若可逆，求出 A1 .
解：因为
101
A 2 1 0 20
3 2 5
所以A可逆，且 A1 1 A* . A
因为
5 2 1
A*
10
2
2
,
7 2 1
1 0 1
A
2
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3 2 5
所以 A1
5
1 A
A*
1 2
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A11
A
A12
A1n
A21 A22
An1
An2 称为矩阵A 的伴随
矩阵.
A2n Ann
高中数学选修42矩阵与变换知识点复习课课件苏教
形具有更真实的视觉效果
坐标变换：通过矩阵运算实 现图形的平移、旋转、缩放 等变换
动画制作：通过矩阵运算实 现图形的动画效果，如变形、
运动等
矩阵在其他领域中的应用
物理：在力学、电磁学、量子力学等领域，矩阵被用来描述物理系统的状态和变化
计算机科学：在计算机图形学、人工智能、数据挖掘等领域，矩阵被用来处理和表示数据
高中数学选修4-2矩阵 与变换知识点复习课 课件
,
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 矩阵与变换概述 03 矩阵的逆与行列式 04 矩阵的秩与特征值 05 矩阵的几何意义与线性变换的矩阵表示
06 矩阵的应用举例
单击添加章节标题
第一章
矩阵与变换概述
第二章
矩阵的定义与性质
矩阵的定义：由m行n列的数组 成的m*n个数阵
矩阵与线性变换的关系
矩阵是线性变换的一种表示方法 线性变换可以通过矩阵乘法来实现 矩阵的逆矩阵表示线性变换的逆操作 矩阵的秩表示线性变换的维数
矩阵的逆与行列式
第三章
矩阵的逆
逆矩阵的定义：满足AB=BA=I的矩阵B称为矩阵A的逆矩阵 逆矩阵的性质：逆矩阵的唯一性、逆矩阵的线性性、逆矩阵的乘法性质 逆矩阵的求法：利用初等行变换求逆矩阵、利用伴随矩阵求逆矩阵 逆矩阵的应用：求解线性方程组、求解矩阵方程、求解线性规划问题
行列式的定义与性质
行列式的定义： 矩阵中主对角线 元素的乘积
行列式的性质： 行列式等于其转 置行列式的值
行列式的计算方 法：利用行列式 的性质进行计算
行列式的应用： 求解线性方程组、 判断矩阵是否可 逆等
行列式的计算方法
初等变换法：通过行变换或列变换 将矩阵化为行阶梯形或列阶梯形， 然后计算行列式
坐标变换：通过矩阵运算实 现图形的平移、旋转、缩放 等变换
动画制作：通过矩阵运算实 现图形的动画效果，如变形、
运动等
矩阵在其他领域中的应用
物理：在力学、电磁学、量子力学等领域，矩阵被用来描述物理系统的状态和变化
计算机科学：在计算机图形学、人工智能、数据挖掘等领域，矩阵被用来处理和表示数据
高中数学选修4-2矩阵 与变换知识点复习课 课件
,
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 矩阵与变换概述 03 矩阵的逆与行列式 04 矩阵的秩与特征值 05 矩阵的几何意义与线性变换的矩阵表示
06 矩阵的应用举例
单击添加章节标题
第一章
矩阵与变换概述
第二章
矩阵的定义与性质
矩阵的定义：由m行n列的数组 成的m*n个数阵
矩阵与线性变换的关系
矩阵是线性变换的一种表示方法 线性变换可以通过矩阵乘法来实现 矩阵的逆矩阵表示线性变换的逆操作 矩阵的秩表示线性变换的维数
矩阵的逆与行列式
第三章
矩阵的逆
逆矩阵的定义：满足AB=BA=I的矩阵B称为矩阵A的逆矩阵 逆矩阵的性质：逆矩阵的唯一性、逆矩阵的线性性、逆矩阵的乘法性质 逆矩阵的求法：利用初等行变换求逆矩阵、利用伴随矩阵求逆矩阵 逆矩阵的应用：求解线性方程组、求解矩阵方程、求解线性规划问题
行列式的定义与性质
行列式的定义： 矩阵中主对角线 元素的乘积
行列式的性质： 行列式等于其转 置行列式的值
行列式的计算方 法：利用行列式 的性质进行计算
行列式的应用： 求解线性方程组、 判断矩阵是否可 逆等
行列式的计算方法
初等变换法：通过行变换或列变换 将矩阵化为行阶梯形或列阶梯形， 然后计算行列式
高中数学选修4-2矩阵切变变换课件.ppt
ABC
变换成 △
ABC
的变换，其中
A(2,1)
，
。
五、小结
1．切变变换与切变变换矩阵的概念。
1 k 0 1
2． 是沿x轴方向的切变变换，x轴上的 点是不动点。
3． 是沿y轴方向的切变变换，y轴上的 点是不动点。 4．切变变换保持图形面积不变。 六、作业 课本P34. 11 课课练 第5课
三、应用
D(2, 2) C (2, 2) ， B(2,0) ， 例1．已知矩形的项点 A(2,0)， 。
1 0 1 2 1
⑴求矩形ABCD在矩阵 几何图形。
作用下变换得到的
1 ⑵求矩形ABCD在矩阵 1 2 何图形。
0 1
作用下变换得到的几
例2．如图所示，已知矩形ABCD在变换T的作用下 变成图形 ABCD，试求变换T对应的矩阵M。
试求变换对应的矩阵M，并指出矩形区域 ABCD变换过程中的不变线段。
AB C D
1 2．考虑直线 x y 2 在矩阵 1 作用下变换得到的 0 1 几何图形。
3．如图，求把△
A(2, 3) ， B(0,1) ，C（0，-1）， B(0,1)，C (0, 1)
图2
图1
问题2：仔细观察，你发现了什么
问题3：你能将问题数学化吗？
图3
图4
1．切变变换、切变变换矩阵 1 k 1 0 象由矩阵 确定的变换通常叫做切变变换， 对应的矩阵叫做切变变换矩阵。
1 k 2． 0 1 沿x轴方向的切变变换。对于原图形中的任
0 1
S
F
一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平 行的大小相等方向相反的力作用时，形状就要 发生改变，如图，这种形式的形变叫切变。
人教版B版高中数学选修4-2：几类特殊的矩阵变换_课件2
0
k
来表示。
例如：在平面直角坐标系中，以（ 0 ， 0 ）， （ 0 ，
1 ）， （ 1 ， 0 ）， （ 1 ， 1 ）四点为顶点的正
方形，在矩阵
2 0
0 2
的作用下的象是什么？
解：在这一变换中，正方形的四个顶点的象分别为 （ 0 ， 0 ）， （ 0 ， 2 ）， （ 2 ， 0 ）， （ 2 ， 2 ），所以原来的正方形变换成为一个以（ 0 ， 0 ）， （ 0 ， 2 ）， （ 2 ， 0 ）， （ 2 ， 2 ）为 顶点、边长为2的正方形。
0 0
01 几类特的矩阵变换学习目标1.理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换。 2.掌握恒等、反射、伸压、旋转、投影变换的矩 阵表示。 3.从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性 变换，并知道二阶矩阵对应的变换往往将直线变成 直线。
知识导入
在学习平面几何知识的过程中，我们接触了平 移、旋转、对称、伸缩等变换，这些变换都具有非 常鲜明的特点。事实上矩阵中也存在类似的变换， 主要包括恒等变换、反射变换、伸压变换、旋转变 换、投影变换，等等。下面我们一起来认识一下。
旋转变换的矩阵特征
旋转变换可以用二阶 来表示。
矩阵
cos sin
sin
cos
如： 点（1，1）在矩阵
cos sin
2
2
sin
2
cos
2
作用下
的象为（-1，1），即为点（1，1）围绕原点按逆 时针方向旋转90度所得点的坐标。
1 02 2
0
1
1
高中数学选修4-2矩阵与变换ppt版
a b x bx ax＋by ＋ ＝ ，这是矩阵 与向量 的乘 y d y cx＋dy c d ＋
5．线性变换的基本性质 ． 性质 1.设 A 是一个二阶矩阵，α，β 是平面上的任意两个向 设 是一个二阶矩阵， ， 是任意实数， 量，λ 是任意实数，则 ①A(λα)＝λAα. ＝
理科
│知识梳理
a A＝ ＝ c x b ＝ ，a＝y ，规定二阶矩阵 A 与向量 a 的乘积为 d
设
ax＋by ＋ 向量 ，记为 cx＋dy ＋
Aa
a 或 c
bx ， d y
即 法．
a Aa＝ ＝ c
理科
│要点探究
【点评】 要理解二阶矩阵变换的定义，熟悉五种常 点评】 要理解二阶矩阵变换的定义， 见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点． 见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点．
理科
│要点探究
变式题 已知变换 T 把平面上的点 A(2,0)，B(3,1)分 ， 分 别变换成点 A′(2,1)，B′(3,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M. ， ，
理科
│二阶矩阵与平面图形的变换
理科
│知识梳理
知识梳理
1．二阶矩阵的定义 ． (1)由 4 个数 a，b，c，d 由 ，，， 矩阵． 矩阵． (2)元素全为 0 元素全为
1 矩阵 0 0 的二阶矩阵 0 a 排成的正方形数表 c
b 称为二阶 d
0 0 . 称为零矩阵， 称为零矩阵，简记为 0
0 E 称为二阶单位矩阵， 称为二阶单位矩阵，记为 2 . 1
理科
│知识梳理
2．几种特殊线性变换 ． (1)旋转变换 旋转变换 直线坐标系 xOy 内的每个点绕原点 O 按逆时针方向旋 转 α 角的旋转变换的坐标变换公式是
矩阵与变换ppt文档
(2)若点P(x0,y0)在直线l上,且A
x0 y0
=
x0 y0
,求点P的坐标.
解析 (1)设直线l:ax+y=1上任意点M(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M'(x',y').
由
x' y'
=
1 2
01
x y
=
x y
2
y
,得
x
Hale Waihona Puke y' '
x y.
2
评析 本题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.
C组 教师专用题组
1.(2013江苏,21B,10分,0.949)已知矩阵A=
1 0
0 2
,B=
1 2 0 6
,求矩阵A-1B.
解析
设矩阵A的逆矩阵为
a b
c d
,则
1 0
0 2
a b
c d
=
10 01 ,
2 1
3 2
.
(2)设P(x,y),则
2 1
23
x y
=
3 1
,
所以
x y
=A-1
3 1
=
3 1
.
因此,点P的坐标为(3,-1).
2.(2017江苏,21B,10分)[选修4—2:矩阵与变换]
已知矩阵A=
10 01 ,B=
1 0 0 2
.
(1)求AB;
(2)若曲线C1:
y,
又点M'(x',y')在l'上,所以x'+by'=1,即x+(b+2)y=1,
《1.2.3 几类特殊的矩阵变换》课件2-优质公开课-人教B版选修4-2精品
1
3
1 4
4
2
1 5
于主对角线对称位 置的元素相等.
3
2
5
1
4阶对称矩阵.
(1)对称矩阵的和仍是对称矩阵; (2)数与对称矩阵的乘积仍是对称矩阵.
9
对称矩阵的乘积未必是对称矩阵.
0
A=
3
3 1
2
,
B
1
1
2
对称,
AB
bij 0, j i
上三角矩阵
下三角矩阵
5
三角矩阵的性质 (1)上(下)下三角矩阵的和与积仍是上(下)下三角 矩阵. (2)数与上(下)三角矩阵的乘积仍是数与上(下)三 角矩阵. (3)三角矩阵的行列式等于对角线元素的乘积.
6
从特殊情形看性质(3)
a11
A
0
0
a12 a22 0
3 5
6 7
不对称.
根本原因在于矩阵乘法交换律不成立:
AT A, BT B,( AB)T BT AT BA ? AB.
10
定义 如果方阵A满足AT=－A,则称之为反对称
矩阵. 反对称矩阵 A (aij )n,aij aji ,i, j 1,L ,n.
0 2 1
几类特殊的矩阵变换 一、对角矩阵 二、数量矩阵 三、三角形矩阵 四、对称矩阵与反对称矩阵
1
一、对角矩阵
定义 所有非对角线元素都是0的矩阵称为对角矩
阵.
2 0 0
A
0
3 0 .
0 0 5
矩阵的概念和旋转变换PPT讲座
树自信，誓拼搏，升大学回报父母 !
练习
1、在直角坐标系下，将每个点绕原点逆
时针旋转120o旳旋转变换相应旳二阶矩阵
是
；
cos120 sin120
sin120
cos120
1
2 3
2
3
2 1
2
2、假如一种旋转变换相应旳矩阵为二阶
单位矩阵，则该旋转变换是 R360 ;
1 0 01
cos sin
y
2B
A
0
1
C 2
x
课题：选修4-2 1.矩阵旳概念及旋转变换
树自信，誓拼搏，升大学回报父母 !
练一练
现用矩阵M
0 0
1 2
3 2
40表示平面中的图形，
请问该图形有什么几何特征？
课题：选修4-2 1.矩阵旳概念及旋转变换
例２：
树自信，誓拼搏，升大学回报父母 !
某公司负责从两个矿区向三个城市送煤：从甲矿区向城市
树自信，誓拼搏，升大学回报父母 !
练一练
已知甲、乙、丙三人中,甲、乙相识，甲、丙不相 识，乙、丙相识。若用0表达两个人之间不相识，1表达 两个人之间相识，请用一种矩阵表达他们之间旳相识关
系。（要求每个人都和自己相识）
课题：选修4-2 1.矩阵旳概念及旋转变换
矩阵旳相等
树自信，誓拼搏，升大学回报父母 !
2、旋转变换：
已知大风车上一点 P(x，y)，它围绕旋转中 心O逆时针旋转q角到另 外一点P’(x’，y’).
所以，旋转前后叶 片上旳点旳位置变化能 够看做是一种几何变换.
树自信，誓拼搏，升大学回报父母 !
y P’(x’， y’)
r P(x，y)
2.1 特殊矩阵(PPT)
专题二MATLAB矩阵处理2.1 特殊矩阵☐通用性的特殊矩阵☐用于专门学科的特殊矩阵1．通用的特殊矩阵☐zeros函数：产生全0矩阵，即零矩阵。
☐ones函数：产生全1矩阵，即幺矩阵。
☐eye函数：产生对角线为1的矩阵。
当矩阵是方阵时，得到一个单位矩阵。
☐rand函数：产生（0，1）区间均匀分布的随机矩阵。
☐randn函数：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。
zeros函数的调用格式：☐zeros(m)：产生m×m零矩阵。
☐zeros(m,n)：产生m×n零矩阵。
☐zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。
>> A=zeros(2,3)A =0 0 00 0 0>> zeros(size(reshape(A,3,2)))ans =0 00 00 0例1 首先产生5阶两位随机整数矩阵A，再产生均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵B，最后验证(A+B)I=IA+BI（I为单位矩阵）。
☐rand函数：产生(0，1)开区间均匀分布的随机数x。
☐fix(a+(b-a+1)*x)：产生[a，b]区间上均匀分布的随机整数。
☐randn函数：产生均值为0、方差为1的标准正态分布随机数x。
☐μ+σx得到均值为μ、方差为σ2的随机数。
：>> A=fix(10+(99-10+1)*rand(5)); >> B=0.6+sqrt(0.1)*randn(5); >> C=eye(5);>> (A+B)*C==C*A+B*Cans =1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1(1)魔方矩阵--Magic Square 2．用于专门学科的特殊矩阵>> M=magic(3)M =8 1 63 5 74 9 2☐n阶魔方阵由1,2,3,…,n2共n2个整数组成，且每行、每列以及主、副对角线上各n个元素之和都相等。
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都满足要求，正交矩阵当然也满足这个要求。因此具
有性质 AAT AT A 的这种新矩阵就“一统江湖”，
具有了统一性。
对称矩阵最主要的性质是可以对角化，尤其是可以正 交对角化，推广到这种新矩阵后这个性质是否还能保 留呢？
一、正规变换(Normal Transformation)
定义1 对于复方阵（或实方阵）B，如果存在酉
（优选）第四章特殊变换及其 矩阵
两方阵 A, B 互逆的条件是成立关系式
AB BA I.
从纯代数角度看，如果去掉乘积为单位矩阵的限制， 那么两矩阵是可交换矩阵。 联想到正交矩阵的逆即为其转置，因此如果再限定两
矩阵互为转置，即要求成立 AAT AT A，情况又如
何？
显然对称矩阵 ( AT A) 和反对称矩阵 ( AT A)
u1, , un ，取 U (u1, , un ) 即可。
正规矩阵的谱分解
UUHHAAUU U 1AU
T T H T HT
两边乘积矩阵在第 i 行第 i 列位置上的元素 ，并注 意到 ti j 0 (i j) ，因此对 i 1, 2, , n ，有
| ti i |2 | ti n |2 | t1i |2 | ti i |2 当 i 1 时，有 | t11 |2 | t12 |2 | t1 n |2 | t11 |2
根据定理3，正规变换在任一标准正交基下的矩阵 表示必定酉相似于对角阵，即
Λ U H AU
二、正规矩阵的等价定义
定理 4 ( Schur 引理 ) 任何复方阵 A 必酉相似于
一个上三角阵 T 。即存在酉矩阵 U ，使
U H AU T. 并称 A UTU H 为方阵 A 的Schur分解。
100多年前(1909年) Schur给出的Schur 引理是矩阵理 论中的重要定理，是很多其他重要结论的基础。在 矩阵计算中也具有相当重要的地位。
矩阵 U 或正交矩阵 Q ，使得 U H AU U 1 AU B
或
QT AQ Q 1 AQ B
则称 A 酉相似（或正交相似）于 B 。
定义2 酉空间 V 上的线性变换 T 称为 V上的一个
正规变换，如果存在 V的标准正交基 ε1,ε2 , , εn 及对角矩阵 D diag(d1,d2 , , dn ) 满足
明 充分性。根据Schur引理，存在酉矩阵 U 及
上三角阵 T ，使得 A UTU H
显然 AH A AAH 当且仅当 T HT T T H。
根据引理6，T 是对角矩阵。故 A 是正规阵。
例 7 判断下列矩阵是不是正规矩阵：
（1）实对称矩阵（ AT A ）；
（2）实反对称矩阵（ AT A ）； （3）正交矩阵 （AT A1 ）； 天下英雄尽
(T (ε1 ),T (ε2 ), ,T (εn )) (ε1,ε2, , εn ) D
并称 T 在任意标准正交基 η1,η2 , , ηn下的矩阵表
示为正规矩阵。
定理3 正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是 酉相似的。
证明：设正规变换 T 在 V 的两组标准正交基
ε1,ε2 , , εn 和 η1,η2 , 分别为 A、B ，并设
U 1AUU H AHU H U 1AAHU H U 1AH AU H U H AH AU
U H AH (U 1 )H U 1 AU BH B.
(U 1 AU )H (U 1AU )
定理 9 方阵 A 是正规的，当且仅当 A 与对角矩
阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特 征值。
证明：必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉
可知 t1 j 0 ( j 2, 3, , n)
对 i 施行归纳法，可得 ti j 0 (i j) ，证毕。
定 必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉
理 矩阵 U 及对角阵 D ，使得 A UDU H 5 的 因此 AAH (UDU H )(UDU H )H UDDU H
证
U DDU H (U DU H )(UDU H ) AH A
（4）酉矩阵（ AH A1 ）；
入吾彀矣！
（5）Hermite 矩阵（ AH A ）；
（6）反Hermite 矩阵（ AH A ）；
（7）形如
a
1 1
1
1
,
a
R
or
C
的矩阵。
定理 8 与正规矩阵酉相似的方阵仍然是正规矩阵。
证明：如果存在酉矩阵 U ，使得 B U 1AU ，则
BBH (U 1AU )(U 1AU )H
矩阵 U (u1, , un ) 及对角阵 diag(1, , n ) 使得 U H AU ，即 AU U 因此 A(u1, , un ) ( Au1, , Aun ) (1u1, , nun )
充分性。若有 U H AU ，显然可验证
AH A AAH
定理10 方阵 A 是正规的，当且仅当 A 有 n 个
, ηn 下的矩阵表示
(η1,η2 , , ηn ) (ε1,ε2 , , εn )U
显然过渡矩阵 U 是酉矩阵（请试试自己证明一下）
因为 (η1,η2 , , ηn ) B
(T (η1 ), T (η2 ), , T (ηn )) (T (ε1 ), T (ε2 ), , T (εn ))U (ε1,ε2 , , εn ) AU (η1,η2 , , ηn )U H AU 所以 B U H AU ，结论成立。
两两正交的单位特征向量,即对应于不同特征值的特 征子空间相互正交（完备正交系）。
证明：必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉
矩阵 U (u1, , un ) 及对角阵 diag(1, , n ) 使得 U H AU ，即 AU U 因此 A(u1, , un ) ( Au1, , Aun ) (1u1, , nun ) 充分性。若 A 有 n 个两两正交的单位特征向量
根据Schur引理，可以推出正规矩阵的一个相当美妙 的性质，此性质经常被当作正规矩阵的等价定义。
定理 5 方阵 A 是正规的，当且仅当
AAH AH A.
为证明这个结论，再给出一个引理。
引理 6 满足 TT H T HT 的三角阵 T 必是
对角阵。
证 对上三角阵 T (ti j ) ，比较等式
明
有性质 AAT AT A 的这种新矩阵就“一统江湖”，
具有了统一性。
对称矩阵最主要的性质是可以对角化，尤其是可以正 交对角化，推广到这种新矩阵后这个性质是否还能保 留呢？
一、正规变换(Normal Transformation)
定义1 对于复方阵（或实方阵）B，如果存在酉
（优选）第四章特殊变换及其 矩阵
两方阵 A, B 互逆的条件是成立关系式
AB BA I.
从纯代数角度看，如果去掉乘积为单位矩阵的限制， 那么两矩阵是可交换矩阵。 联想到正交矩阵的逆即为其转置，因此如果再限定两
矩阵互为转置，即要求成立 AAT AT A，情况又如
何？
显然对称矩阵 ( AT A) 和反对称矩阵 ( AT A)
u1, , un ，取 U (u1, , un ) 即可。
正规矩阵的谱分解
UUHHAAUU U 1AU
T T H T HT
两边乘积矩阵在第 i 行第 i 列位置上的元素 ，并注 意到 ti j 0 (i j) ，因此对 i 1, 2, , n ，有
| ti i |2 | ti n |2 | t1i |2 | ti i |2 当 i 1 时，有 | t11 |2 | t12 |2 | t1 n |2 | t11 |2
根据定理3，正规变换在任一标准正交基下的矩阵 表示必定酉相似于对角阵，即
Λ U H AU
二、正规矩阵的等价定义
定理 4 ( Schur 引理 ) 任何复方阵 A 必酉相似于
一个上三角阵 T 。即存在酉矩阵 U ，使
U H AU T. 并称 A UTU H 为方阵 A 的Schur分解。
100多年前(1909年) Schur给出的Schur 引理是矩阵理 论中的重要定理，是很多其他重要结论的基础。在 矩阵计算中也具有相当重要的地位。
矩阵 U 或正交矩阵 Q ，使得 U H AU U 1 AU B
或
QT AQ Q 1 AQ B
则称 A 酉相似（或正交相似）于 B 。
定义2 酉空间 V 上的线性变换 T 称为 V上的一个
正规变换，如果存在 V的标准正交基 ε1,ε2 , , εn 及对角矩阵 D diag(d1,d2 , , dn ) 满足
明 充分性。根据Schur引理，存在酉矩阵 U 及
上三角阵 T ，使得 A UTU H
显然 AH A AAH 当且仅当 T HT T T H。
根据引理6，T 是对角矩阵。故 A 是正规阵。
例 7 判断下列矩阵是不是正规矩阵：
（1）实对称矩阵（ AT A ）；
（2）实反对称矩阵（ AT A ）； （3）正交矩阵 （AT A1 ）； 天下英雄尽
(T (ε1 ),T (ε2 ), ,T (εn )) (ε1,ε2, , εn ) D
并称 T 在任意标准正交基 η1,η2 , , ηn下的矩阵表
示为正规矩阵。
定理3 正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是 酉相似的。
证明：设正规变换 T 在 V 的两组标准正交基
ε1,ε2 , , εn 和 η1,η2 , 分别为 A、B ，并设
U 1AUU H AHU H U 1AAHU H U 1AH AU H U H AH AU
U H AH (U 1 )H U 1 AU BH B.
(U 1 AU )H (U 1AU )
定理 9 方阵 A 是正规的，当且仅当 A 与对角矩
阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特 征值。
证明：必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉
可知 t1 j 0 ( j 2, 3, , n)
对 i 施行归纳法，可得 ti j 0 (i j) ，证毕。
定 必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉
理 矩阵 U 及对角阵 D ，使得 A UDU H 5 的 因此 AAH (UDU H )(UDU H )H UDDU H
证
U DDU H (U DU H )(UDU H ) AH A
（4）酉矩阵（ AH A1 ）；
入吾彀矣！
（5）Hermite 矩阵（ AH A ）；
（6）反Hermite 矩阵（ AH A ）；
（7）形如
a
1 1
1
1
,
a
R
or
C
的矩阵。
定理 8 与正规矩阵酉相似的方阵仍然是正规矩阵。
证明：如果存在酉矩阵 U ，使得 B U 1AU ，则
BBH (U 1AU )(U 1AU )H
矩阵 U (u1, , un ) 及对角阵 diag(1, , n ) 使得 U H AU ，即 AU U 因此 A(u1, , un ) ( Au1, , Aun ) (1u1, , nun )
充分性。若有 U H AU ，显然可验证
AH A AAH
定理10 方阵 A 是正规的，当且仅当 A 有 n 个
, ηn 下的矩阵表示
(η1,η2 , , ηn ) (ε1,ε2 , , εn )U
显然过渡矩阵 U 是酉矩阵（请试试自己证明一下）
因为 (η1,η2 , , ηn ) B
(T (η1 ), T (η2 ), , T (ηn )) (T (ε1 ), T (ε2 ), , T (εn ))U (ε1,ε2 , , εn ) AU (η1,η2 , , ηn )U H AU 所以 B U H AU ，结论成立。
两两正交的单位特征向量,即对应于不同特征值的特 征子空间相互正交（完备正交系）。
证明：必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉
矩阵 U (u1, , un ) 及对角阵 diag(1, , n ) 使得 U H AU ，即 AU U 因此 A(u1, , un ) ( Au1, , Aun ) (1u1, , nun ) 充分性。若 A 有 n 个两两正交的单位特征向量
根据Schur引理，可以推出正规矩阵的一个相当美妙 的性质，此性质经常被当作正规矩阵的等价定义。
定理 5 方阵 A 是正规的，当且仅当
AAH AH A.
为证明这个结论，再给出一个引理。
引理 6 满足 TT H T HT 的三角阵 T 必是
对角阵。
证 对上三角阵 T (ti j ) ，比较等式
明