曲线估计与回归分析

好。
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❖
∑(yi-Yi)2称为残差平方和。统计学上
把观测点与它在回归直线上相应位置的差异
称残差，把每个残差的平方后加起来 称为残
差平方和，它表示随机误差的效应。
❖ 由此可知，总偏平方和=残差平方和+回 归平方和。
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7.2 回归分析的基本概念
❖ 通过大量的观测数据，可以发现变量之间 存在的统计规律，并用一定的数学模型表示 出来，这种用一定模型来表述变量相关关系 的方法就称为回归分析。它是探讨变量间数 量关系的一种常用统计方法，通过建立变量 间的数学模型对变量进行预测和控制。
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❖ 线性回归模型的建立步骤：
1.根据数据资料作散点图，直观地判断两个 变量之间是否大致成一直线关系；
2.设直线方程式为
，
如果 与实际值Y之间的误差比其他估计值与
实际值Y之间的误差小，则这个表达式就是最优
拟合直线模型；
3.使用实际资料计算表达式中的参数a和b；
4.将参数a和b的值带入表达式得到回归方程
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；
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❖ P152 线性回归示例
利用数据文件“polishing.sav”， 考察打磨时间（time）能否由产品的直径大 小（diam）来预测，即估计变量time与diam 之间的函数关系。
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❖ 在实际问题中，用户往往不能确定究竟该选 择何种函数模型更接近样本数据，这时可以采 用曲线估计的方法，其步骤如下：
1.根据实际问题本身特点，同时选择几种模 型；
2.SPSS自动完成模型的参数估计，并显示R2、 F检验值、相伴概率值等统计量；
3.选择具有R2统计量值最大的模型作为此问 题的回归模型，并作一些预测。
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❖ 回归分析主要解决以下几方面的问题：
1.通过分析大量的样本数据，确定变量之间 的数学关系式。
2.对所确定的数学关系式的可信程度进行各 种统计检验，并区分出对某一特定变量影响较 为显著的变量和影响不显著的变量。
3.利用所确定的数学关系式，根据一个或几 个变量的值来预测或控制另一个特定变量的取 值，并给出这种预测或控制的精确度。
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❖ 在实际中，根据变量的个数、变量的类型 以及变量之间的相关关系，回归分析通常分 为一元线性回归分析、多元线性回归分析、 非线性回归分析、曲线估计、时间序列的曲 线估计、含虚拟自变量的回归分析和逻辑回 归分析等类型。
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7.3 线性回归分析
❖ 线性回归分析包括一元线性回归、多元线性 回归和多元逐步回归。
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❖ 在回归分析中，因变量y是随机变量，自变量 x可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量； 而在相关分析中，变量x和变量y都是随机变量。
❖ 相关分析是测定变量之间的关系密切程度， 所使用的工具是相关系数；而回归分析则是侧 重于考察变量之间的数量变化规律，并通过一 定的数学表达式来描述变量之间的关系，进而 确定一个或者几个变量的变化对另一个特定变 量的影响程度。
❖ 社会科学统计软件SPSS教程 ❖ 第七章 曲线估计与回归分析
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❖ 在数量分析中，经常会看到变量与变量之 间存在着一定的联系。要了解变量之间如何 发生相互影响的，就需要利用相关分析和回 归分析。本章介绍回归分析基本概念，回归 分析的主要类型：曲线估计、线性回归分析、 非线性回归分析。
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3. 回归平方和与残差平方和：
用回归方程来描述变量之间的统计关
系时，观测值yi与按回归线预测的值Yi并不 一定完全一致，即各观测点(xi,yi)并不一定 都落在回归线上，各观测点偏离回归线的程
度，可用它们的总偏差平方和“QT”来表示
，即QT=∑(yi-Yi)2+∑(Yi-y)2，其中y是各观 测值yi的平均值。 ∑(Yi-y)2称为回归平方和 ，其越大则自变量与因变量之间的相关性越
❖ 线性回归对数据的要求：
自变量和因变量必须是具有Scale测度水平的 数值型变量，分类变量必须为二元的哑变量。 （哑变量，即虚拟变量（又称虚设变量、名义 变量），是量化了的质变量，通常取值为0或1。 比如性别、年龄、宗教、民族、婚姻状况、教 育程度等。 ）
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❖ 在实际问题中，由于所要研究的现象的总 体单位数一般是很多的，在许多场合甚至是 无限的，因此无法掌握因变量y总体的全部取 值。也就是说，总体回归方程事实上是未知 的，需要利用样本的信息对其进行估计。显 然，样本回归方程的函数形式应与总体回归 方程的函数形式一致。
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Leabharlann Baidu
❖ 7.1 曲线估计 ❖ 7.2 回归分析基本概念 ❖ 7.3 线性回归分析
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7.1 曲线估计
❖ 曲线估计即曲线拟合，恰当的曲线拟合方 法可以准确而快速地反映出实际情况。
❖ 在曲线估计中，一般首先绘制自变量和因 变量间的散点图，然后通过数据在散点图中 的分布特点选择所要进行回归分析的类型。 确定函数关系后再进一步确定函数关系中的 未知参数，并进行显著性检验。
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❖ 回归分析与相关分析有着密切的联系，他 们都是研究及度量两个或两个以上变量之间 关系的方法。
❖ 在回归分析中，变量y称为因变量，处于被 解释的特殊地位；而在相关分析中，变量y与 变量x处于平等的地位，研究变量y与变量x的 密切程度和研究变量x与变量y的密切程度是 一样的。
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❖ P144 线性估计示例
利用数据文件“Cars.sav”，对 horse和mpg两变量进行曲线拟合（曲线估计 ）。
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❖ 关键数值说明： 1. R：自变量与因变量的相关系数； 2. R2和校正的R2：决定系数，度量建立的
函数关系能说明的变异百分比；