数列的概念与通项公式
数列知识点归纳总结
数列知识点归纳总结一、基本概念1. 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数，通常用a1, a2, a3, …,an来表示，其中ai表示数列中的第i个数。
数列中的数称为项，n称为项数。
2. 数列的类型数列可以根据项的规律和性质进行分类，主要包括等差数列、等比数列、递推数列等。
3. 数列的通项公式数列的通项公式是描述数列中任意一项与其序号之间的关系的公式，通常用an或者Un 表示第n个项，用n表示项数。
数列的通项公式可以根据数列的类型和性质进行求解。
二、等差数列1. 定义如果一个数列满足任意相邻两项之差都相等的条件，那么这个数列就是等差数列，差值为d。
2. 性质（1）通项公式：对于等差数列an，其通项公式为an=a1+(n-1)d。
（2）前n项和：等差数列的前n项和Sn= (a1+an) * n /2。
（3）求和公式推导：对于等差数列Sn= (a1+an) * n /2，可用数学归纳法进行证明。
3. 等差数列的应用等差数列在数学和现实生活中有着重要的应用，如计算机算法中的序列求和、物理学中等速直线运动、金融学中的等额本息贷款等。
三、等比数列1. 定义等比数列是指数列中的任意相邻两项的比值都相等的数列，比值为q。
2. 性质（1）通项公式：对于等比数列an，其通项公式为an=a1*q^(n-1)。
（2）前n项和：等比数列的前n项和Sn= (a1*(q^n - 1)) / (q-1)。
3. 等比数列的应用等比数列在数学和现实生活中也有着重要的应用，如复利计算、生物学中种群增长问题、物理学中的指数衰减等。
四、递推数列1. 定义递推数列是指数列中的每一项都可以由前面的一项或几项通过某种规律得到的数列。
2. 性质递推数列的通常是通过递推关系式进行求解，递推数列的解可以是显式公式和递推公式。
3. 递推数列的应用递推数列是数学中的重要概念，它在代数、离散数学、概率论等领域都有着广泛的应用。
五、常见数列形式1. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中第n项等于其前两项之和的数列，通常用F(n)表示，前几项为0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …2. 调和数列调和数列是指数列中的每一项是调和级数的一部分的数列，通常用H(n)表示，前几项为1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …2. 等差-等比混合数列等差-等比混合数列是指数列中的相邻两项之间既满足等差数列的条件，又满足等比数列的条件的数列。
数列的通项公式及其应用
数列的通项公式及其应用数列是数学中常见的概念，它由一系列有规律的数字组成。
数列可以在各种数学问题中起到重要的作用，而数列的通项公式是描述数列中每一项与项数之间的关系的公式。
在本文中，我将介绍数列的通项公式的概念和应用，并通过实例来帮助读者更好地理解。
一、数列的基本概念数列是由一系列数字按照一定的顺序排列而成。
我们可以将数列记作{a₁, a₂, a₃, ...}，其中a₁，a₂，a₃等表示数列中的每一项。
数列的项数可以通过小写字母n表示，即数列中的第n项记作aₙ。
数列的前n项和可以用Sn表示，即Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ。
数列的通项公式是用来表示数列中每一项与项数之间关系的公式。
通项公式的形式因数列的类型而各异，接下来我将详细介绍一些常见的数列及其通项公式。
二、等差数列的通项公式及应用等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列的通项公式为an=a₁+(n-1)d，其中a₁为首项，d为公差。
应用举例：假设一个等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的第10项。
按照通项公式an=a₁+(n-1)d，代入a₁=2，d=3，n=10，可得：a₁₀ = 2 + (10-1) * 3= 2 + 9 * 3= 2 + 27= 29因此，该等差数列的第10项为29。
三、等比数列的通项公式及应用等比数列是指数列中每一项与前一项之比都相等的数列。
等比数列的通项公式为an=a₁*r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比。
应用举例：假设一个等比数列的首项为3，公比为2，求该数列的第8项。
按照通项公式an=a₁*r^(n-1)，代入a₁=3，r=2，n=8，可得：a₈ = 3 * 2^(8-1)= 3 * 2^7= 3 * 128= 384因此，该等比数列的第8项为384。
四、斐波那契数列的通项公式及应用斐波那契数列是一种特殊的数列，它的每一项都等于前两项的和。
斐波那契数列的通项公式为an=an-1+an-2，其中a₁=1，a₂=1。
数列的概念
数列的概念(1) 定义：按一定次序排列的一列数，数列中的每一个数叫做这个数列的项，第作a n(2) 通项公式：如果数列「aj 的第n 项与项数 n 之间的函数关系，可以用一个公式a n = f(n)来表示，那么就把这个公式叫这个数列的通项公式。
注意：①数列的通项公式实际上是一种定义域特殊的函数解析式，即② 并非所有的数列都能写出他的通项公式③ 如果一个是数列有通项公式，在形式上可以不止一个。
④ 数列中的项必须是数(3) 数列不是集合，用符号「a n ［表示数列，只不过是“借用”集合的符号，他们之间有本质的区别：集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。
集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列。
(4) 数列的分类按照项数是有限还是无限来分 ：有穷数列，无穷数列. ⑴关键看省略号来判断数列是否有界按照项与项之间的大小关系来分：递增数列与递减数列统称为单调数列 .⑵观察数列通项的特点，通项公式是单调函数的就是递增数列 ；通项中有_1n的一般为摆动数列；公差d=0的为常数列按照任何一项的绝对值是否都不大于某一正数来分：有界数列、无界数列.⑶判断通项的值域，值域的绝对值小于等于某正数时成为有界函数 ，否则叫做无界函数练习：1、判断下列数列的类型⑴ 1,2,3,4,5； 2,4,6,8,10,,； ⑵ a =3； 1,-1,1,-1,1,, ； 6,6,6,6,,n 项记a n = f (n)。
1a. =3 --⑶ n;a n = n2 3n _12由下列各组元素能构成数列吗？如果能构成数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由。
(1)-3,-1,1,x,5,7, y,11 ( 2)无理数；(3)正有理数3下列叙述正确的是( )B 、 同一个数列在数列中可能重复出现C 、 数列的通项公式是定义域为正整数集 N *的函数D 、 数列的通项公式是唯一的。
4、 已知数列1,订3,』5,、- 7,…j2n -1,…则3•:f 5是它的（） A 、第22项 B 、第23项 C 、第24项D 、第28项5、 判断下列说法正确的有 ______________ .①二的不足近似值： 3 , 3.1,3.14,3.141,……没有通项公式。
数列的极限与通项公式
数列的极限与通项公式数列是数学中的一个重要概念，经常在各个领域中被使用。
数列的极限与通项公式是数列研究中的关键内容，本文将介绍数列的基本概念，探讨数列极限及其性质，最后讲解数列的通项公式及应用。
一、数列的基本概念数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
一般用字母表示数列的一般项，常用形式为{a_n}或(a_1, a_2, a_3, ...)。
其中，a_n表示数列的第n项，n表示项的顺序。
二、数列的极限数列的极限是指当数列中的项数趋于无穷大时，数列中的项的极限值。
记作lim(a_n)或a_n→∞。
1. 数列的极限存在若存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，当n>N时，有|a_n - L| < ε，则称L为数列{a_n}的极限，并记作lim(a_n) = L。
2. 数列的极限性质（1）极限的唯一性：如果数列{a_n}有极限，则极限是唯一的。
（2）夹逼准则：若数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足a_n ≤ b_n ≤ c_n，并且lim(a_n) = lim(c_n) = L，则lim(b_n) = L。
（3）有界性：若数列{a_n}有极限，则数列是有界的。
（4）收敛数列与发散数列：若数列{a_n}有极限，则称之为收敛数列；反之，称为发散数列。
三、数列的通项公式数列的通项公式是表示数列第n项的一般形式。
通过通项公式，我们可以根据项的顺序n计算数列中的特定项的值。
1. 等差数列的通项公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都相等的数列。
若等差数列的首项为a_1，公差为d，则它的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d。
2. 等比数列的通项公式等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都相等的数列。
若等比数列的首项为a_1，公比为q，则它的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)。
3. 斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指首项和第二项都为1，从第三项开始，每一项都是前两项之和的数列。
数列初步数列的定义通项公式与性质
数列初步数列的定义通项公式与性质数列是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍数列的定义、通项公式以及数列的一些性质。
1. 数列的定义数列是按照一定规律排列的一组数，这组数按照一定的次序排列并形成一个序列。
数列可以用形如{a₁,a₂,a₃,...,aₙ}的符号表示，其中a₁、a₂、a₃...分别表示数列的前n项。
2. 数列的通项公式数列的通项公式是指通过一个公式来表示数列中第n项与其序号n 之间的关系。
通常用aₙ表示数列的第n项，则数列的通项公式常用一般项公式表示。
对于等差数列来说，其通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中a₁为第一项，d为公差。
同样的，等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中a₁为第一项，r为公比。
3. 数列的性质数列有许多重要的性质，下面列举几个常见的性质：- 等差数列的前n项和公式：Sₙ = (2a₁ + (n-1)d) * n / 2其中Sₙ表示数列的前n项和。
- 等差数列的性质：（1）若数列是等差数列，则其相邻两项之差是相等的。
（2）若数列是等差数列，则数列的前n项和等于数列的后n项和。
- 等比数列的求和公式：Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)其中Sₙ表示数列的前n项和。
- 等比数列的性质：若数列是等比数列且公比不为0，则其相邻两项之比是相等的。
4. 数列在实际问题中的应用数列作为一种数学工具，在实际问题中有广泛的应用。
例如，利用数列的通项公式和性质，我们可以解决各种问题，如等差数列在算术问题和几何问题中的应用，等比数列在利滚利、递增递减等问题中的应用。
综上所述，数列的定义、通项公式和性质是数学中重要的概念。
熟练掌握数列的基本概念和相关公式，对于解决各种实际问题具有重要的意义。
希望本文对读者理解数列有所帮助。
数列的通项公式和应用
数列的通项公式和应用数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定规律排列的数字组成。
在数列中，每个数字被称为数列的项，而数列中的规律可以通过通项公式来表示和描述。
本文将介绍数列的通项公式及其应用，并探讨其中的数学理论和实际应用。
一、数列的定义和基本概念数列是一组按照特定规律排列的数，通常以 a₁, a₂, a₃,..., aₙ 的形式表示。
其中 a₁, a₂, a₃,..., aₙ 分别表示数列的第一项、第二项、第三项、...、第 n 项。
数列中的规律可以通过第 n 项与前面项之间的关系来确定。
二、等差数列的通项公式及应用等差数列是指数列中连续两个项之间都有相同的差值。
设等差数列的第一项为 a₁，公差为 d，则它的通项公式可以表示为 an = a₁ + (n-1)d，其中 an 表示数列的第 n 项。
等差数列的通项公式在实际中有广泛的应用。
例如，在财务分析中，等差数列可以用来计算投资的回报率。
此外，在物理学和工程学中，等差数列可以用来描述速度、加速度等连续变化的量。
三、等比数列的通项公式及应用等比数列是指数列中连续两个项之间的比值都相同的数列。
设等比数列的第一项为 a₁，公比为 q，则它的通项公式可以表示为 an = a₁ *q^(n-1)，其中 an 表示数列的第 n 项。
等比数列的通项公式在实际中也有广泛的应用。
例如，在复利计算中，等比数列可以用来计算贷款或投资的本息总额。
此外，在生物学和经济学中，等比数列可以用来描述生长速度、复利增长等连续变化的现象。
四、斐波那契数列及其应用斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项都为 1，而后面的每一项都是其前两项的和。
斐波那契数列的通项公式可以表示为 an = an-1 + an-2，其中 a₁ = 1，a₂ = 1。
斐波那契数列在实际中有广泛的应用。
例如，在自然界中，许多植物的生长规律和动物的繁殖规律都可以用斐波那契数列来描述。
此外，在计算机科学和金融学中，斐波那契数列也被广泛应用于算法设计和金融模型的建立。
第一节 数列的概念及通项公式
答案：an＝2×3n
4．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝ ________.
解析：因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)． 两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝2n2－1(n≥2)． 又由题设可得a1＝2，满足上式， 从而{an}的通项公式为an＝2n2－1(n∈N *)． 答案：2n2－1(n∈N *)
以上各式累加得，an－a1＝1×1 2＋2×1 3＋…＋n－11n ＝1－12＋12－13＋…＋n－1 1－n1＝1－n1. ∴an＋1＝1－n1，∴an＝－n1(n≥2)． 又∵当n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－n1.
[解题方略] 对于形如 an＋1－an＝f(n)的递推关系的递推数列，即数列相 邻两项之差是一个关于 n 的函数式，可以直接对等式两边求和 进行解答，也可写为 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1) ＋a1 的形式进行迭代．
[一“点”就过] 已知Sn求an的3个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn －1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达 式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合， 则应该分n＝1与n≥2两段来写．
所以数列{an}的通项公式是an＝－2n＋8(n∈N *)． 答案：－2n＋8
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则an＝________.
解析：当n≥2时，Sn－1＝2n－1，两式相减， 得an＝2n－2n－1＝2n－1.又当n＝1时，a1＝2， 不满足an＝2n－1，所以an＝22n，－1n，＝n1≥，2. 答案：22n，－1n，＝n1≥，2
第一课数列概念及通项公式1
= n2 n 4 .
2
(所 相2)乘a(方2=得法2aa11一2·,aa)3因3·=…为2a·22aan,n=a=42a=112a2ann33·2a11,22…, ·,…an·2a=nn2a11nn11
,
(所方以法ana二=n=2)1因aa2nan为11(n·a1aa)annnn1=12
352= 495=01225.
2
学例2 (2009·重庆卷)已知
a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn= （1）求b1,b2,b3的值；
an1 an
,n∈N*.
（2）设cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的前n项和，
求证Sn＞17n；
（3）求证：|b2n-bn|＜
1 64
·171n2
所以Sn=c1+c2+…+cn>17n.
（3）证明:当n=1时,结论|b2-b1|= 14＜1674 成立.当
n≥2时，有|bn+1-bn|=|4+
1
-4-
bn
1
|
bn 1
=| bn bn1 |≤
bnbn1
117|bn-bn-1|≤
171|b2 n-1-bn-2|
1
≤…≤ 17n|b1 2-b1|=
例3 根据下列条件,写出数列的通项公式：
（1）a1=2，an+1=an+n； （2）a1=1，an-1=2n-1an.
分析（1）将递推关系写成n-1个等式累
加，即“累加法”. （2）将递推关系写成n-1个等式相乘，即
“累积法”或用逐项迭代法.
(1)(方法一)an+1=an+n，
初中数学知识归纳数列的概念与常见数列的计算
初中数学知识归纳数列的概念与常见数列的计算数列是数学中非常重要的概念之一，它在初中数学中占有重要地位。
本文将对数列的概念进行归纳，并介绍一些常见数列的计算方法。
一、数列的概念数列是由一列有序的数按照一定规律排列而成的。
数列中的每一个数称为该数列的项，项的位置称为项号。
常用的表示数列的方法有两种：1. 通项公式：一般形式为an，表示第n项的值。
例如：an = 2n表示一个等差数列，首项为2，公差为2；2. 递推公式：一般形式为an+1 = an + d，表示第n项与第n+1项之间的关系。
例如：an+1 = an + 2表示一个等差数列，公差为2。
二、等差数列等差数列是最常见的数列之一，其中相邻两项之差都相等。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
例如，考虑等差数列1, 3, 5, 7, 9，其中a1 = 1，d = 2。
根据通项公式可以计算出该数列的第n项的值。
三、等比数列等比数列是相邻两项之比都相等的数列。
等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
例如，考虑等比数列1, 2, 4, 8, 16，其中a1 = 1，r = 2。
根据通项公式可以计算出该数列的第n项的值。
四、斐波那契数列斐波那契数列是数列中的一种特殊形式，每一项都是前两项的和。
即F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1) = F(2) = 1。
斐波那契数列的前几项为1，1，2，3，5，8，13，21...五、算术数列与等差数列的计算算术数列的计算主要涉及到等差数列的各种性质，如首项、公差、项数等。
可以利用下列公式进行计算：1. 首项a1 = an - (n-1)d；2. 项数n = (an - a1)/d + 1；3. 求和Sn = (a1 + an) * n / 2。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，可以计算出该数列的首项a1 = 1，公差d = 2，项数n = 5，和Sn = 25。
数列的递推公式和通项公式总结
数列的递推公式和通项公式总结一、数列的概念1.数列：按照一定顺序排列的一列数。
2.项：数列中的每一个数。
3.项数：数列中数的个数。
4.首项：数列的第一项。
5.末项：数列的最后一项。
6.公差：等差数列中，相邻两项的差。
7.公比：等比数列中，相邻两项的比。
二、数列的递推公式1.等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的递推公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的递推公式：an = an-1 + an-2–an：第n项–an-1：第n-1项–an-2：第n-2项三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：an = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]–an：第n项四、数列的性质1.收敛性：数列的各项逐渐接近某个固定的数。
2.发散性：数列的各项无限增大或无限减小。
3.周期性：数列的各项按照一定周期重复出现。
五、数列的应用1.数学问题：求数列的前n项和、某项的值、数列的收敛性等。
2.实际问题：人口增长、贷款利息计算、等差数列的求和等。
六、数列的分类1.有限数列：项数有限的数列。
2.无限数列：项数无限的数列。
3.交错数列：正负交替出现的数列。
4.非交错数列：同号连续出现的数列。
5.常数数列：所有项都相等的数列。
6.非常数数列：各项不相等的数列。
综上所述，数列的递推公式和通项公式是数列学中的重要知识点，通过这些公式，我们可以求解数列的各种问题。
同时，了解数列的性质和分类，有助于我们更好地理解和应用数列。
习题及方法：1.习题一：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
答案：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 18 = 21解题思路：利用等差数列的递推公式an = a1 + (n-1)d，将给定的首项和公差代入公式，求得第10项的值。
数列概念是什么 通项公式是怎样的
1数列概念是什么通项公式是怎样的数列的通项公式数列的通项公式：Sn=A1+A2+a3+……+An，按肯定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an}的第n项用一个详细式子(含有参数n)表示出来，(an=f(n))称作该数列的通项公式。
正如函数的解析式一样，通过代入详细的n值便可求知相应an项的值。
而数列通项公式的求法，通常是由其递推公式经过若干变换得到。
对于一个数列{an}，假如任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这肯定值差为公差,记为d;从第一项a1到第n 项an的总和，记为Sn。
数列的相关学问内容1、数列极限的求法：利用定积分求极限，利用幂级数求极限;利用简洁的初等函数，常能求得一些特别形式的数列极限，利用级数收敛性判定极限，存在由于级数与数列在形式上可以相互转化等。
2、数列求和的方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘公比错项相减(等差X等比)、公式法、迭加法。
以及分组求和法个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而后相加。
3、通项公式和递推公式的区分：通项公式是把项数直接代入可以1求得项值的公式。
递推公式指第n项，与数列的前n项和存在肯定的关系，把n代入后，并不能直接求和an的值的一种公式。
数列和函数的关系1.联系：他们的变量都满意函数定义，都是函数。
可以有an=f(n).函数和数列的问题可以相互转化。
函数问题转化成数列问题来解决，就是数列法。
如，先熟悉数列极限，再熟悉函数极限。
数列的问题转化成函数问题来解决，就是函数法。
如，用求函数最值的方法来求数列的最值。
又如，an=n^2的图象是分布在抛物线y=x^2右支上的点。
2.区分：数列是离散型函数，自变量是正整数。
定义域是正整数集及其子集。
图象是孤立的点。
函数是连续型函数居多，尤其是初等函数。
自变量是实数。
定义域是实数及其子集。
图象是不间断的曲线(有间断点的除外)。
必修五2-1第1课时数列的概念与通项公式
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
：1,2,3,4和1,2,3,4，…是相同的数列吗？ 提示：不是．数列1,2,3,4表示有穷数列，而1,2,3,4，…表 示无穷数列．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
3． 数列的通项公式
序号n 之间的关系可以用一个式子来 如果数列{an}的第n项与______ 表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 另外，数列还可以用列表法、图象法、递推公式法等表示．
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
题型一
数列的有关概念
【例1】 下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由． (1){0,1,2,3,4}是有穷数列； (2)所有自然数能构成数列； (3)－3，－1,1，x,5,7，y,11是一个项数为8的数列； (4)数列1,3,5,7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1. [思路探索] 紧扣数列的有关概念完成判断．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引
1． 数列的概念 一定顺序 排列的一列数称为数列；数列的一般形 (1)数列：按照_________ 式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 每一个数 叫做这个数列的项．排在第一位的数 (2)项：数列中的_________ 首项 ，排在第n位的数称为 称为这个数列的第1项(通常也叫做_____) 第n项 ． 这个数列的_______
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(1)数列的项与项数 数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指这个 数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即f(n)； 而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值 f(n)对应的自变量的值，即n. (2)数列表示法的理解 数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一 个集合，只是借用了集合的表示形式，与集合表示有本 质的区别．
数列的概念与通项公式
数列的概念与通项公式数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定规律排列的数所构成。
数列可以有无限项，也可以有有限项。
在数列中，每一项都有一个对应的位置，称为项号。
数列中的每一项按照次序排列，通常用字母表示。
数列的一般形式是：a1, a2, a3, ..., an，其中a1表示第一项，an表示第n项。
为了便于描述数列的规律，我们引入了通项公式的概念。
通项公式是指描述数列中第n项与项号n之间的关系式。
它可以帮助我们轻松地计算数列中的各项数值。
根据数列的规律和特点，可以找出适合该数列的通项公式。
一、等差数列的概念与通项公式等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。
差值通常被称为公差，用字母d表示。
等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列中的第n项，a1表示第一项，d表示公差。
例如，考虑等差数列1, 4, 7, 10, 13...，首项a1为1，公差d为3。
根据通项公式，可以得到第n项的值：an = 1 + (n-1)3通过计算，可以得到等差数列的通项公式为：an = 3n - 2二、等比数列的概念与通项公式等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。
比值通常被称为公比，用字母q表示。
等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)其中，an表示等差数列中的第n项，a1表示第一项，q表示公比。
例如，考虑等比数列1, 2, 4, 8, 16...，首项a1为1，公比q为2。
根据通项公式，可以得到第n项的值：an = 1 * 2^(n-1)通过计算，可以得到等比数列的通项公式为：an = 2^(n-1)三、斐波那契数列的概念与通项公式斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的通项公式可以表示为：an = a(n-1) + a(n-2)其中，an表示斐波那契数列中的第n项。
例如，考虑斐波那契数列1, 1, 2, 3, 5...，可以根据通项公式计算出后续项的值。
数列知识点、公式总结
数列知识点、公式总结一、数列的概念 1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为数列{}n a ，其中第一项1a 也成为首项；na 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集N *（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列{}n a ，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即1n n a a +>，那么这个数列叫做递增数列;如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列;如果数列{}n a 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列 1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列{}n a 为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是n a 与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列{}n a 满足21=2n n n a a a +++，则数列{}n a 是等差数列.4、等差数列的性质： （1）等差数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题： 设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和；（2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列 1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）. 即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a q a q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ;（2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是n a 与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质： （1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列，{}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则（1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m ma a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）； （2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结 1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列. 2、两个恒等式： 对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得：()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
数列的概念与通项公式
数列的概念与通项公式数列的概念与通项公式【基本概念】1．数列、数列的项按照一定顺序排列着的一列数叫做数列，数列中的每个数叫做这个数列的项．2．数列的通项公式数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式叫做这个数列的通项公式．3．数列与函数的关系数列可以看作是一个定义域为正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．4．数列可用图象来表示在直角坐标系中，以序号为横坐标来表示一个数列．图象是一些相应的项为纵坐标来描点画图孤立的点，它们位于第一象限、第四象限或x轴的正半轴.5．数列的递推公式如果已知数列{a n}的第1项(或前几项)，且（4）1，－23，35，…，－1n －1·n 2n －1，…； （5）1,0，－1，…，sin nπ2，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是______，递增数列是_______，递减数列是________，摆动数列是_______，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)2.观察法求数列的通项公式例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）11×2，－12×3，13×4，－14×5； （2） 22－12，32－13，42－14，52－15； （3）112，223，334，445； （4）9，99，999，9999.3.数列通项公式的应用例3 （1）已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1，试判断0.7是不是数列{a n }中的一项？若是，是第几项？（2）已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3－2cos nπ2.求证：a m ＋4＝a m . 4.根据数列的递推公式写出数列的前几项，并归纳通项公式例4 根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式．（1）a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1 (n ∈N *)（2）a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1. （3）a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)【总结提升】1．数列的通项公式如果数列的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．注意：数列的通项与通项公式是有区别的，前者是函数值，后者是一个函数的解析式．2．数列与函数的关系对任一数列{a n}，每一项的序号n与这一项a n的对应关系，可以看成序号集合到另一个数的集合的映射．因此，从映射、函数的观点看，数列可以(或它的有限子看成是一个定义域为正整数集N＋集{1,2,3，…，n})的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的函数值(右图)，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i ＝1,2,3，…，n，…)有意义，那么可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，….3．数列的表示法从函数观点看，数列除了可以用通项公式表示外，还有如下表示方法：(1)列表法(又称列举法)，即通过列举数列的前n项来表示数列的方法．(2)图象法，由于数列是定义在正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数，因此，数列的图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点．4．通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映a n和n之间的关系，即a n是n的函数，知道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项的值a n；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出a n.5．如何用递推公式给出一个数列用递推公式给出一个数列，必须给出①“基础”——数列{a n}的第1项或前几项；②递推关系——数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n(或前几项)之间的关系，并且这个－1关系可以用一个公式来表示．。
数列的概念与基本性质
数列的概念与基本性质数列是数学中的重要概念，它在不同领域中都有广泛的应用。
本文将介绍数列的概念与基本性质，帮助读者对数列有更深入的了解。
一、数列的概念数列是由一组有序的数按照一定规律排列而成的序列。
数列可以用符号表示为{an}，其中n表示项的位置，an表示该位置上的数。
常见的数列包括等差数列和等比数列。
等差数列中，相邻项之间的差是常数d，通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项。
而等比数列中，相邻项之间的比是常数q，通项公式可以表示为an =a1 * q^(n-1)，其中a1为首项。
二、数列的基本性质1. 通项公式：数列的通项公式是用来计算数列中任意一项的公式。
通过观察数列中的规律，可以得到通项公式。
对于等差数列和等比数列，上述已经介绍了其通项公式。
2. 首项和末项：数列中的第一项称为首项，而最后一项称为末项。
在等差数列中，末项可以通过首项和公差计算得到，即an = a1 + (n-1)d。
而在等比数列中，末项可以通过首项和公比计算得到，即an = a1 *q^(n-1)。
3. 公差和公比：在等差数列中，相邻项之间的差是常数，称为公差。
而在等比数列中，相邻项之间的比是常数，称为公比。
公差和公比可以描述数列中的增长规律，对于数列的计算和研究非常重要。
4. 前n项和：数列的前n项和是指数列中前n项的和。
根据数列的增长规律和通项公式，可以通过求和公式计算前n项和。
对于等差数列，前n项和可以用求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2计算；对于等比数列，前n项和可以用求和公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)计算。
5. 数列的性质：数列有许多重要的性质，例如有界性、单调性和有限性等。
有界性是指数列的数值都在一定范围内；单调性是指数列中的数值递增或递减；而有限性是指数列中的项数是有限的。
6. 递推关系：递推关系是指数列中的每一项可以通过前一项计算得到。
数列的数项公式和通项公式
数列的数项公式和通项公式一、数列的定义及相关概念1.数列：按照一定的顺序排列的一列数。
2.项：数列中的每一个数称为项。
3.数列的表示方法：用大括号表示数列，例如{a1, a2, a3, …, an}。
4.数列的项数：数列中项的个数，用n表示。
5.数列的通项：数列中第n项的值，用an表示。
二、数列的数项公式1.等差数列的数项公式：an = a1 + (n-1)d–a1：首项2.等比数列的数项公式：an = a1 * q^(n-1)–a1：首项3.斐波那契数列的数项公式：an = (1/√5) * [(φ^n - (1-φ)^n) / √5]–φ：黄金分割比（(1+√5)/2）三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：–公式一：an = (φ^n - (1-φ)^n) / √5–公式二：an = (φ^n - (-φ)^n) / √5–φ：黄金分割比（(1+√5)/2）四、数列的性质与运算1.数列的求和公式：–等差数列求和公式：S = n/2 * (a1 + an)–等比数列求和公式：S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)2.数列的差：两个数列对应项的差形成一个新的数列。
3.数列的积：两个数列对应项的积形成一个新的数列。
4.数列的商：两个数列对应项的商形成一个新的数列。
五、数列的应用1.数列在数学分析中的应用：数列极限、级数等。
2.数列在数论中的应用：质数分布、整数分解等。
3.数列在物理学中的应用：振动、波动等。
4.数列在工程学中的应用：信号处理、数据分析等。
数列是数学中的一个基本概念，具有广泛的应用。
掌握数列的数项公式和通项公式，有助于解决实际问题中的数列问题。
通过学习数列的性质与运算，可以更深入地理解数列的本质，为后续学习数学分析、数论等学科打下基础。
数列的概念及通项公式
an＝n32＋ n2，1， n＝n＝ 2k(2kk∈－N1*()k，∈N*)，
④错误．故选 A.
答案：A
2．数列{an}中，an＝3n－1，则 a2 等于 ( )
A．2
B．3
C．9
D．32
解析：因为 an＝3n－1，所以 a2＝32－1＝3. 答案：B
3．数列 0， 33， 22， 515， 36，…的一个通项公式是 ( )
【随堂检测】
1．有下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)
上的函数；
是唯一的；
④数列 1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式．
其中正确的是 ( )
A．①
B．①②
C．③④
D．②④
解析：结合数列的定义与函数的概念可知，①正确； 有穷数列的项数就是有限的，因此②错误； 数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误； 数列 1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…的一个通项公式为
(2)[解] ①均是分式且分子均为 1，分母均是两因数的积，第 一个因数是项数加上 1，第二个因数比第一个因数大 2， ∴an＝n＋11n＋3. ②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n 来表示符号，各 项的绝对值恰是 2 的整数次幂减 1，∴an＝(－1)n(2n＋1－1)． ③为摆动数列，一般求两数的平均数2＋2 6＝4， 而 2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n 来表示． an＝4＋(－1)n·2 或 an＝26，，nn是是奇偶数数，.
A．an＝
n－2 n
B．an＝
n－1 n
C．an＝
n－1 n＋1
D．an＝
n－2 n＋2
解析：已知数列可化为：0， 13， 24， 35， 46，…，
数列的概念及通项公式的推导
数列的概念及通项公式的推导数列是数学中一种常见的数学对象，它是由一系列按特定顺序排列的数构成的集合。
数列在数学和其他领域中有广泛的应用，并且在实际问题的求解中起着重要的作用。
本文将介绍数列的概念，并推导数列的通项公式。
一、数列的概念数列是由一系列按特定顺序排列的数所组成的有序集合。
一般表示为{a₁，a₂，a₃，...，aₙ，...}，其中a₁，a₂，a₃代表数列的前三项，aₙ代表数列的第n项。
数列可以是有限的或无限的。
二、等差数列及其通项公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则数列的通项公式可以通过以下推导得到。
首先，我们可以根据等差数列的定义得知：a₂ - a₁ = da₃ - a₂ = d...aₙ - aₙ₋₁ = d将上述等式全部求和，得到：a₂ - a₁ + a₃ - a₂ + ... + aₙ - aₙ₋₁ = d + d + ... + daₙ - a₁ = (n-1)d进一步整理得到：aₙ = a₁ + (n-1)d这就是等差数列的通项公式。
三、等比数列及其通项公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则数列的通项公式可以通过以下推导得到。
首先，我们可以根据等比数列的定义得知：a₂ / a₁ = qa₃ / a₂ = q...aₙ / aₙ₋₁ = q两边同时乘以a₁，得到：a₂ = a₁ * qa₃ = a₂ * q = a₁ * q²...aₙ = a₁ * q^(n-1)这就是等比数列的通项公式。
四、斐波那契数列及其通项公式斐波那契数列是一种特殊的数列，它的每一项是前两项的和。
设斐波那契数列的首项为F₁，第二项为F₂，则数列的通项公式可以通过以下推导得到。
根据斐波那契数列的定义，我们可以得到：F₃ = F₁ + F₂F₄ = F₂ + F₃ = F₂ + F₁ + F₂ = 2F₂ + F₁F₅ = F₃ + F₄ = F₁ + F₂ + 2F₂ + F₁ = 3F₂ + 2F₁...Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂整理上述递推公式，可以得到斐波那契数列的通项公式：Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂五、总结数列是数学中常见的数学对象，它由一系列按特定顺序排列的数构成。
数列的概念及通项公式
数列的概念及通项公式数列是指按照一定规律排列的一系列数的集合。
它是数学中重要的基础概念之一，被广泛应用于各个领域。
数列的通项公式是指能够确定数列中第n项的公式。
通常使用字母an表示数列的第n项，使用n表示项数。
数列可以分为等差数列和等比数列两种常见类型。
一、等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都相等的数列。
这个固定的差值称为公差，通常用d表示。
例如，1，4，7，10，13就是一个等差数列，公差为3等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d其中a1为数列的首项，d为公差。
通过这个公式，我们可以根据已知条件计算出数列的任意一项。
等差数列的一些基本性质包括：1. 任意项和：等差数列的前n项和Sn可以表示为Sn = (a1+an)/2 * n，其中a1为首项，an为第n项，n为项数。
2. 项与项之和：等差数列中的每一项与它的对称项之和等于首项与末项之和。
即an + an-1 = a1 + an。
3. 对称性：等差数列中，关于中间项(an/2)对称的项相等。
二、等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都相等的数列。
这个固定的比值称为公比，通常用q表示。
例如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，公比为2等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * q^(n-1)其中a1为数列的首项，q为公比。
通过这个公式，我们可以根据已知条件计算出数列的任意一项。
等比数列的一些基本性质包括：1.任意项和：等比数列的前n项和Sn可以表示为Sn=(a1(1-q^n))/(1-q)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
2. 项与项之比：等比数列中的两个相邻项之比等于公比。
即an /an-1 = q。
3. 对称性：等比数列中，关于中间项(an/2)对称的项相等。
三、其他类型的数列除了等差数列和等比数列之外，还存在其他类型的数列。
1.斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
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2
21
22
23
24 3 ,…, 24
所以
an=(-1)n·
2n 3 2n
.
④将数列统一为 3 , 5 , 7 , 9 ,…对于分子 3,5,7,9,…,是序号的 2 倍加 1, 2 5 10 17
可得分子的通项公式为 bn=2n+1,对于分母 2,5,10,17,…联想到数列 1,4,9, 16,…,可得分母的通项公式为 cn=n2+1,所以可得原数列的一个通项公式为
②将数列变形为 8 (1-0.1), 8 (1-0.01), 8 (1-0.001),…,
9
9
9
所以
an=
8 9
(1- 1 10n
).
③各项的分母分别为 21,22,23,24,…易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少
3.因此把第 1 项变为- 2 3 ,至此原数列已化为- 21 3 , 22 3 ,- 23 3 ,
通过对数列的概念与通项公式的学习,培养学生的观 察能力和抽象概括能力.
新知导学 课堂探究
新知导学·素养养成
1.数列的概念
(1)数列的定义 按照一定 顺序 排列着的一列数称为数列.
(2)数列的项 数列中的 每一个数
叫做这个数列的项,排在第一位的数称为这个
数列的第1项(通常也叫做首项).
思考1:{an}与an表示的含义相同吗? 答案:{an}与an表示不同的含义,{an}表示数列a1,a2,…,an,…,是数列的 一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项,an与{an}是“个体”与“整 体”的从属关系.
即时训练1-1:给出以下数列:
①1,-1,1,-1,…;②2,4,6,8,…,1 000;③8,8,8,8,…;④0.8,0.82,0.83,
0.84,…,0.810.
其中,有穷数列为
;无穷数列为
;递增数列为
;递
减数列为
;摆动数列为
;常数列为
.(填序号)
解析:有穷数列为②④;无穷数列为①③;递增数列为②;递减数列为④; 摆动数列为①;常数列为③. 答案:②④ ①③ ② ④ ① ③
[备用例1] (1)下列说法哪些是正确的?哪些是错误的?并说明理由. ①{0,1,2,3,4}是有穷数列; ②所有自然数能构成数列; ③-3,-1,1,x,5,7,y,11是一个项数为8的数列.
解:(1)①错误.{0,1,2,3,4}是集合,不是数列. ②正确.如将所有自然数按从小到大的顺序排列. ③错误.当x,y中至少有一个不代表数时,便不是数列,这是因为数列必 须是由一列数按一定的顺序排列所组成.
(1) 1 ,2, 9 ,8, 25 ,…;(2)1,-3,5,-7,9,…; 22 2
解:(1)数列的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察:
1 , 4 , 9 , 16 , 25 ,…,所以,它的一个通项公式为 an= n2 .
222 2 2
2
(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数;考虑(-1)n+1具
(3)因为 an= 3n 2 = 3n 1 3 =1- 3 ,又 n∈N*,所以 0< 3 <1,
3n 1 3n 1
3n 1
3n 1
所以 0<an<1.即数列中的各项都在区间(0,1)内.…………12 分
一题多变:保持本例已知条件不变,试判断在区间( 1 , 2 )内有无数列中的项? 33
若有,有几项?
[备用例
3](1)已知数列的通项公式为
an=
n2
4 3n
.
①写出数列的第 4 项和第 6 项;
②试问 1 和 16 是不是它的项,如果是,是第几项? 10 27
解:(1)①由题意易得
a4=
42
4 3 4
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 7
,a6=
62
4 3 6
=
2 27
.
②令 4 = 1 ,则 n2+3n-40=0,解得 n=5 或 n=-8,由 n∈N*,故 n=-8 舍去. n2 3n 10
2.数列的分类 (1)按项的个数分类
类别 有穷数列 无穷数列
项数 项数
含义
有限 无限
的数列 的数列
(2)按项的变化趋势分类
类别 递增数列 递减数列
含义
从第2项起,每一项都大于
列
小于
相等
从第2项起,每一项都
列
大于
它的前一项的数 它的前一项的数
常数列 各项
的数列
3.数列的通项公式
如果摆数动列数{a列n}的第n从项第与2项序起号,n有些之项间的关系可它以的用前一一个项式,子有来些表项示, 那么这个公式叫做小这个于数它列的的前通一项项公的式.数列
2
2
2
(4)各项加1后,变为10,100,1 000,10 000,…,此数列的通项公式为
10n,可得原数列的通项公式为an=10n-1.
方法技巧 (1)据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下 几方面的特征: ①分数中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征; ④各项符号特征等,并对此进行归纳、联想. (2)观察、分析问题的特点是最重要的,观察要有目的,观察出项与序 号之间的关系、规律,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、 奇偶数列等)转换而使问题得到解决,对于正负符号变化,可用(-1)n或 (-1)n+1来调整.
解:令
1 3
<an=
3n 2 3n 1
<
2 3
,所以
3n 1 9n 6, 9n 6 6n 2,
所以
n n
7, 6 8.
所以
7 6
<n<
8 3
.
3
所以当且仅当 n=2 时,上式成立,
故区间( 1 , 2 )上有数列中的项,且只有一项为 a2= 4 .
33
7
方法技巧
(1)数列的通项公式给出的是第n项an与它的位置序号n之间的关系,只 要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项;反过来,判断一 个数是不是该数列的某一项,只要看以n为未知数的方程有没有正整 数解,若有就是,否则就不是. (2)解决是否存在型问题,可先假设存在,然后代入条件或参数的值或 范围,若符合题意,则存在;若不符合题意,则不存在.
方法技巧
(1)有穷数列与无穷数列的判断 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需看数列是有限项还 是无限项.若数列含有限项,则是有穷数列,否则为无穷数列. (2)数列单调性的判断 判断数列的单调性,则需要从第2项起,观察每一项与它的前一项的大 小关系,若满足an<an+1,则是递增数列;若满足an>an+1,则是递减数列; 若满足an=an+1,则是常数列;若an与an+1的大小不确定时,则是摆动数列.
(1)令 n=10,得第 10 项 a10=f(10)= 28 .…………7 分 31
(2) 98 是不是该数列中的项,为什么? 101
(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内.
规范解答:(2)令 3n 2 = 98 ,得 9n=300. 3n 1 101
此方程无正整数解,所以 98 不是该数列中的项.…………9 分 101
第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第一课时 数列的概念与通项公式
[目标导航] 课标要求 素养达成
1.通过实例,了解数列的概念. 2.掌握数列的两种分类,能对具体数列作出判断. 3.理解数列通项公式的概念,能根据数列的前几项写 出数列的通项公式. 4.能根据数列的通项公式研究数列中有关项的问题.
(B)an= 1 [1-cos(n·180°)] 2
(C)an=sin2(n·90°) (D)an=(n-1)(n-2)+ 1 [1+(-1)n-1]
2
(1)解析:结合选项分别把n=1,2,3,4代入进行检验是否分别为1,0,1,0 即可.故选D.
(2)根据数列的前几项,写出下列数列的一个通项公式: ①-1,7,-13,19,…; ②0.8,0.88,0.888,…;
课堂探究·素养提升
题型一 数列的概念与分类 [例1]判断下列说法是否正确. (1)数列2,4,6,8可以表示为{2,4,6,8}; (2)数列1,2,3,5与5,3,2,1是相同的数列; (3)1,2,22,23,…,263是递增数列,也是无穷数列; (4)-1,1,-1,1,…是常数列.
解:(1)错误.数列不能写成集合的形式. (2)错误.数列中的数是有顺序的,数相同但顺序不同的数列不相同. (3)错误.此数列虽然含有省略号,但项数有限,是有穷数列. (4)错误.此数列为摆动数列,不是常数列.
⑤1,0,-1,…,sin nπ ,…. 2
⑥9,9,9,9,9,9.
解:(2)①是有穷递增数列. ②是无穷递增数列. ③是无穷递减数列. ④是摆动数列,也是无穷数列. ⑤是摆动数列,也是无穷数列. ⑥是常数列,也是有穷数列.
题型二 根据数列的前几项写出通项公式 [例 2]写出下列数列的一个通项公式,使其前几项分别是下列各数.
有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).
(3)a,b,a,b,a,b,…; (4)9,99,999,9 999,….
解:(3)这是个摆动数列,可寻找其摆动平衡位置与摆动振幅,平衡位置: a b , 2
振幅: a b ,用(-1)n 或(-1)n+1 去调节,则 an= a b +(-1)n+1 a b .
③ 1 , 1 ,- 5 , 13 ,- 29 , 61 ,…; 2 4 8 16 32 64