高中数学专题训练含答案

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全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,AD ⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA 1=2,E 是DD 1的中点,F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点.(1)证明:①EF ∥A 1D 1;②BA 1⊥平面B 1C 1EF.(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值.2.如图,ABEDFC 为多面体,平面ABED 与平面ACFD 垂直,点O 在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都是正三角形.(1)证明直线BC ∥EF;(2)求棱锥F OBED 的体积.3.如图,在四棱锥P ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,AB ∥DC,AB ⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥P ABCD 的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);(2)若M 为PA 的中点,求证:DM ∥平面PBC;(3)求三棱锥D PBC 的体积.4.如图,四棱锥P ABCD 中,AB ⊥AC,AB ⊥PA,AB ∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分别为PB,AB,BC,PD,PC 的中点(1)求证:CE ∥平面PAD;(2)求证:平面EFG ⊥平面EMN.5.如图,在三棱锥S ABC 中,平面SAB ⊥平面SBC,AB ⊥BC,AS=AB.过A 作AF ⊥SB,垂足为F,点E,G 分别是棱SA,SC 的中点.求证:(1)平面EFG ∥平面ABC;(2)BC ⊥SA.6.如图,在四棱锥P ABCD 中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=120°,且PA ⊥平面ABCD,PA=2,M 、N 分别为PB 、PD 的中点.(1)证明:MN ∥平面ABCD;(2)过点A 作AQ ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A MN Q 的平面角的余弦值.7.如图,直三棱柱ABC A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.(1)证明:MN∥平面A′ACC′;(2)求三棱锥A′MNC的体积.(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高)8.如图,几何体E ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.(1)求证:BE=DE;(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.9.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE.10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.(1)求证:BF∥平面A′DE;(2)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.11.如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.(1)求证:DE∥平面BCP.(2)求证:四边形DEFG为矩形.(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.12.如图,四棱锥S ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P AC D的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由. 13.如图五面体中,四边形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P、Q、M分别为AE、BD 、EF 的中点.(1)求证:PQ ∥平面BCE;(2)求证:AM ⊥平面ADF. 14.如图所示,四棱锥E ABCD 中,EA=EB,AB ∥CD,AB ⊥BC,AB=2CD.(1)求证:AB ⊥ED;(2)线段EA 上是否存在点F,使DF ∥平面BCE?若存在,求出;若不存在,说明理由.15.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N 分别是AB,AC 的中点,G 是DF 上的一动点.(1)求该多面体的体积与表面积;(2)求证:GN ⊥AC;(3)当FG=GD 时,在棱AD 上确定一点P,使得GP ∥平面FMC,并给出证明.16.如图所示,四边形ABCD 中,AB ⊥AD,AD ∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E 、F 分别在BC 、AD 上,EF ∥AB.现将四边形ABEF 沿EF 折起,使平面ABEF ⊥平面EFDC,设AD 中点为P.(1)当E 为BC 中点时,求证:CP ∥平面ABEF;(2)设BE=x,问当x 为何值时,三棱锥A CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.17.如图所示,已知三棱柱ABC A 1B 1C 1,(1)若M 、N 分别是AB,A 1C 的中点,求证:MN ∥平面BCC 1B 1;(2)若三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长均为2,∠B 1BA=∠B 1BC=60°,P 为线段B 1B 上的动点,当PA+PC 最小时,求证:B 1B ⊥平面APC.18.如图所示,四棱锥P ABCD 的底面为正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H 分别是线段PA,PD,AB的中点.(1)求证:PB ∥平面EFH;(2)求证:PD ⊥平面AHF.19.如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中,AD ∥BC,PD ⊥平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4.(1)求证:BD ⊥PC;(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角;(3)设点E 在棱PC 上,=λ,若DE ∥平面PAB,求λ的值.全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、解答题1.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,AD ⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA 1=2,E 是DD 1的中点,F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点.(1)证明:①EF ∥A 1D 1;②BA 1⊥平面B 1C 1EF.(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:①因为C 1B 1∥A 1D 1,C 1B 1⊄平面ADD 1A 1,所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA.又因为平面B 1C 1EF∩平面A 1D 1DA=EF,所以C 1B 1∥EF,所以A 1D 1∥EF. ②因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,所以BB 1⊥B 1C 1.又因为B 1C 1⊥B 1A 1,所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1,所以B 1C 1⊥BA 1.在矩形ABB 1A 1中,F 是AA 1的中点,tan ∠A 1B 1F=tan ∠AA 1B=,即∠A 1B 1F=∠AA 1B,故BA 1⊥B 1F.所以BA 1⊥平面B 1C 1EF.(2)解:设BA 1与B 1F 交点为H,连接C 1H.由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF,所以∠BC 1H 是BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角.在矩形AA 1B 1B 中,AB=,AA 1=2,得BH=.在Rt △BHC 1中,BC 1=2,BH=,得sin ∠BC 1H==.所以BC 1与平面B 1C 1EF 所成角的正弦值是.2.如图,ABEDFC 为多面体,平面ABED 与平面ACFD 垂直,点O 在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都是正三角形.(1)证明直线BC ∥EF;(2)求棱锥F OBED 的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:如图所示,设G 是线段DA 延长线与线段EB 延长线的交点.由于△OAB 与△ODE 都是正三角形,且OD=2,所以OBDE,OG=OD=2.同理,设G′是线段DA 延长线与线段FC 延长线的交点,有OCDF,OG′=OD=2. 又由于G 和G′都在线段DA 的延长线上,所以G 与G′重合.在△GED 和△GFD 中,由OB DE 和OC DF, 可知B 、C 分别是GE 和GF 的中点,所以BC 是△GEF 的中位线,故BC ∥EF.(2)解:由OB=1,OE=2,∠EOB=60°,知S △OBE =,而△OED 是边长为2的正三角形,故S △OED =.所以S 四边形OBED =S △OBE +S △OED =.过点F 作FQ ⊥AD,交AD 于点Q,由平面ABED ⊥平面ACFD 知,FQ 就是四棱锥F OBED 的高,且FQ=,所以=FQ·S 四边形OBED =. 3.如图,在四棱锥P ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,AB ∥DC,AB ⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥P ABCD 的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);(2)若M 为PA 的中点,求证:DM ∥平面PBC;(3)求三棱锥D PBC 的体积.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）8【解析】解:(1)在梯形ABCD中,过点C作CE⊥AB,垂足为E.由已知得,四边形ADCE为矩形,AE=CD=3,在Rt△BEC中,由BC=5,CE=4,依勾股定理得BE=3,从而AB=6.又由PD⊥平面ABCD,得PD⊥AD,从而在Rt△PDA中,由AD=4,∠PAD=60°,得PD=4.正视图如图所示.(2)取PB中点N,连接MN,CN.在△PAB中,∵M是PA中点,∴MN∥AB,MN=AB=3,又CD∥AB,CD=3,∴MN∥CD,MN=CD,∴四边形MNCD为平行四边形,∴DM∥CN.又DM平面PBC,CN⊂平面PBC,∴DM∥平面PBC.·PD,(3)==S△DBC=6,PD=4,又S△DBC所以=8.4.如图,四棱锥P ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点(1)求证:CE∥平面PAD;(2)求证:平面EFG⊥平面EMN.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点,所以EH∥AB,EH=AB.又AB∥CD,CD=AB,所以EH∥CD,EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,因此CE∥平面PAD.(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.又AB⊥PA,所以AB⊥EF,同理可证AB⊥FG.又EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,因此AB⊥平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,所以MN∥CD,又AB∥CD,所以MN∥AB,因此MN⊥平面EFG,又MN⊂平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.5.如图,在三棱锥S ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF⊂平面SAB,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.6.如图,在四棱锥P ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=2,M、N分别为PB、PD的中点.(1)证明:MN∥平面ABCD;(2)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A MN Q的平面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:连接BD,因为M、N分别是PB、PD的中点,所以MN是△PBD的中位线,所以MN∥BD. 又因为MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.(2)解: 如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,得AC=AB=BC=CD=DA,BD=AB.又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥AD.所以PB=PC=PD.所以△PBC≌△PDC.而M、N分别是PB、PD的中点,所以MQ=NQ,且AM=PB=PD=AN.取线段MN的中点E,连接AE,EQ,则AE⊥MN,QE⊥MN,所以∠AEQ为二面角A MN Q的平面角.由AB=2,PA=2,故在△AMN中,AM=AN=3,MN=BD=3,得AE=.在直角△PAC中,AQ⊥PC,得AQ=2,QC=2,PQ=4,在△PBC中,cos∠BPC==,得MQ==.在等腰△MQN中,MQ=NQ=,MN=3,得QE==.在△AEQ中,AE=,QE=,AQ=2,得cos∠AEQ==.所以二面角A MN Q的平面角的余弦值为.7.如图,直三棱柱ABC A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.(1)证明:MN∥平面A′ACC′;(2)求三棱锥A′MNC的体积.(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高)【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:法一连接AB′,AC′,如图所示,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC A′B′C′为直三棱柱,所以M为AB′的中点.又因为N为B′C′的中点,所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′,AC′⊂平面A′ACC′,所以MN∥平面A′ACC′.法二取A′B′的中点P,连接MP,NP,AB′,如图所示,因为M,N分别为AB′与B′C′的中点,所以MP∥AA′,PN∥A′C′.所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP=P,所以平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN,所以MN∥平面A′ACC′.(2)解:连接BN,如图所示,由题意知A′N⊥B′C′,平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′,所以A′N⊥平面NBC.又A′N=B′C′=1,故====.8.如图,几何体E ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.(1)求证:BE=DE;(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)如图所示,取BD的中点O,连接CO,EO.由于CB=CD,所以CO⊥BD.又EC⊥BD,EC∩CO=C,CO,EC⊂平面EOC,所以BD⊥平面EOC,因此BD⊥EO.又O为BD的中点,所以BE=DE.(2)法一如图所示,取AB的中点N,连接DM,DN,MN.因为M是AE的中点,所以MN∥BE.又MN平面BEC,BE⊂平面BEC,所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形,所以∠BDN=30°.又CB=CD,∠BCD=120°,因此∠CBD=30°.所以DN∥BC.又DN平面BEC,BC⊂平面BEC,所以DN∥平面BEC.又MN∩DN=N,所以平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN,所以DM∥平面BEC.法二如图所示,延长AD,BC交于点F,连接EF.因为CB=CD,∠BCD=120°,所以∠CBD=30°.因为△ABD为正三角形,所以∠BAD=60°,∠ABC=90°,因此∠AFB=30°,所以AB=AF.又AB=AD,所以D为线段AF的中点,连接DM,由点M是线段AE的中点,得DM∥EF.又DM平面BEC,EF⊂平面BEC,所以DM∥平面BEC.9.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE.(2)连接FG.因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以四边形CEFG为菱形.所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.(1)求证:BF∥平面A′DE;(2)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:如图所示,取A′D的中点G,连接GF,GE,由条件易知FG∥CD,FG=CD,BE∥CD,BE=CD,所以FG∥BE,FG=BE,故四边形BEGF为平行四边形,所以BF∥EG.因为EG⊂平面A′DE,BF⊄平面A′DE,所以BF∥平面A′DE.(2)解:在平行四边形ABCD中,设BC=a,则AB=CD=2a,AD=AE=EB=a.连接CE,因为∠ABC=120°,在△BCE中,可得CE= a.在△ADE中,可得DE=a.在△CDE中,因为CD2=CE2+DE2,所以CE⊥DE.在正三角形A′DE中,M为DE的中点,所以A′M⊥DE.由平面A′DE⊥平面BCD,可知A′M⊥平面BCD,所以A′M⊥CE.取A′E的中点N,连接NM,NF,则NF∥CE.则NF⊥DE,NF⊥A′M.因为DE交A′M于点M,所以NF⊥平面A′DE,则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角.在Rt△FMN中,NF=a,MN=a,FM=a,则cos∠FMN=,所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为.11.如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.(1)求证:DE∥平面BCP.(2)求证:四边形DEFG为矩形.(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）存在，理由见解析【解析】证明:(1)因为D,E分别为AP,AC的中点,所以DE∥PC.又因为DE⊄平面BCP,所以DE∥平面BCP .(2)因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,所以DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF,所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PC⊥AB,所以DE⊥DG,所以四边形DEFG为矩形.(3)解:存在点Q满足条件,理由如下:连接DF,EG,设Q为EG的中点.由(2)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG.分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN.与(2)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q,且QM=QN=EG,所以Q为满足条件的点.12.如图,四棱锥S ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P AC D的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.【答案】（1）见解析（2）30°（3）存在，2∶1【解析】(1)证明:连接BD,设AC交BD于O,由题意知SO⊥AC.在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD.解:(2)设正方形边长为a,则SD=a,又OD=a,所以∠SDO=60°,连接OP,由(1)知AC⊥平面SBD,所以AC⊥OP,且AC⊥OD,所以∠POD是二面角P AC D的平面角.由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,所以∠POD=30°,即二面角P AC D的大小为30°.(3)在棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC.由(2)可得PD=a,故可在SP上取一点N,使PN=PD.过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连接BN,在△BDN中,知BN∥PO.又由于NE∥PC,故平面BEN∥平面PAC,得BE∥平面PAC.由于SN∶NP=2∶1,故SE∶EC=2∶1.13.如图五面体中,四边形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点.(1)求证:PQ∥平面BCE;(2)求证:AM⊥平面ADF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)法一连接AC,∵四边形ABCD是矩形,∴AC与BD交于点Q.在△ACE中,Q为AC中点,P为AE中点,∴PQ∥CE.又PQ⊄平面BCE,CE⊂平面BCE,∴PQ∥平面BCE.法二取AB的中点G,连接PG,QG,如图所示,∵Q、G分别为BD、BA的中点,∴QG∥AD.又∵AD∥BC,∴QG∥BC,∵QG⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,∴QG∥平面BCE.同理可证,PG∥平面BCE.又PG∩QG=G,∴平面PQG∥平面BCE,∴PQ∥平面BCE.(2)∵M为EF中点,∴EM=MF=EF=AB=2,又AB∥EF,∴四边形ABEM是平行四边形,∴AM=BE=2.在△AFM中,AF=AM=2,MF=2,∴AM⊥AF.又DA⊥平面ABEF,AM⊂平面ABEF,∴DA⊥AM.∵DA∩AF=A,∴AM⊥平面ADF.14.如图所示,四棱锥E ABCD中,EA=EB,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD.(1)求证:AB⊥ED;(2)线段EA上是否存在点F,使DF∥平面BCE?若存在,求出;若不存在,说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，【解析】(1)证明:取AB中点O,连接EO,DO,∵EA=EB,∴EO⊥AB,∵AB∥CD,AB=2CD,∴BO CD.又因为AB⊥BC,所以四边形OBCD为矩形,所以AB⊥DO.因为EO∩DO=O,所以AB⊥平面EOD.所以AB⊥ED.(2)解:存在满足条件的点F,=,即F为EA中点时,有DF∥平面BCE.证明如下:取EB中点G,连接CG,FG.因为F为EA中点,所以FG AB,因为AB∥CD,CD=AB,所以FG∥CD.所以四边形CDFG是平行四边形,所以DF∥CG.因为DF⊄平面BCE,CG⊂平面BCE,所以DF∥平面BCE.15.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N分别是AB,AC的中点,G是DF上的一动点.(1)求该多面体的体积与表面积;(2)求证:GN⊥AC;(3)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP∥平面FMC,并给出证明.【答案】（1）(3+)a2（2）见解析（3）见解析【解析】解:(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱,在△ADF中,AD⊥DF,DF=AD=DC=a,所以该多面体的体积为a3,表面积为a2×2+a2+a2+a2=(3+)a2.(2)连接DB,FN,由四边形ABCD为正方形,且N为AC的中点知B,N,D三点共线,且AC⊥DN.又∵FD⊥AD,FD⊥CD,AD∩CD=D,∴FD⊥平面ABCD.∵AC⊂平面ABCD,∴FD⊥AC.又DN∩FD=D,∴AC ⊥平面FDN,又GN ⊂平面FDN,∴GN ⊥AC.(3)点P 与点A 重合时,GP ∥平面FMC.取FC 的中点H,连接GH,GA,MH.∵G 是DF 的中点,∴GHCD. 又M 是AB 的中点,∴AM CD.∴GH ∥AM 且GH=AM, ∴四边形GHMA 是平行四边形. ∴GA ∥MH. ∵MH ⊂平面FMC,GA ⊄平面FMC, ∴GA ∥平面FMC,即当点P 与点A 重合时,GP ∥平面FMC.16.如图所示,四边形ABCD 中,AB ⊥AD,AD ∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E 、F 分别在BC 、AD 上,EF ∥AB.现将四边形ABEF 沿EF 折起,使平面ABEF ⊥平面EFDC,设AD 中点为P.(1)当E 为BC 中点时,求证:CP ∥平面ABEF;(2)设BE=x,问当x 为何值时,三棱锥A CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.【答案】（1）见解析（2）当x=3时,有最大值,最大值为3 【解析】(1)证明:取AF 的中点Q,连接QE 、QP,则QP DF, 又DF=4,EC=2,且DF ∥EC,所以QP EC,即四边形PQEC 为平行四边形,所以CP ∥EQ,又EQ ⊂平面ABEF,CP ⊄平面ABEF,故CP ∥平面ABEF.(2)解:因为平面ABEF ⊥平面EFDC,平面ABEF∩平面EFDC=EF,又AF ⊥EF,所以AF ⊥平面EFDC.由已知BE=x,所以AF=x(0<x≤4),FD=6-x.故=··2·(6-x)·x=(6x-x 2)=[-(x-3)2+9]=-(x-3)2+3,∴当x=3时,有最大值,最大值为3.17.如图所示,已知三棱柱ABC A 1B 1C 1,(1)若M 、N 分别是AB,A 1C 的中点,求证:MN ∥平面BCC 1B 1;(2)若三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长均为2,∠B 1BA=∠B 1BC=60°,P 为线段B 1B 上的动点,当PA+PC 最小时,求证:B 1B ⊥平面APC.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)连接AC 1,BC 1,则AN=NC 1,因为AM=MB,所以MN ∥BC 1.又BC 1⊂平面BCC 1B 1,MN ⊄平面BCC 1B 1,所以MN ∥平面BCC 1B 1.(2)将平面A 1B 1BA 展开到与平面C 1B 1BC 共面,A 到A′的位置,此时A′BCB 1为菱形,可知PA+PC=PA′+PC,A′C 即为PA+PC 的最小值,此时BB 1⊥A′C, ∴BB 1⊥PA′,BB 1⊥PC,即BB 1⊥PA,BB 1⊥PC, ∴BB 1⊥平面PAC.18.如图所示,四棱锥P ABCD 的底面为正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H 分别是线段PA,PD,AB 的中点.(1)求证:PB ∥平面EFH;(2)求证:PD ⊥平面AHF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)∵E 、H 分别是PA 、AB 的中点,∴EH ∥PB.又EH ⊂平面EFH,PB ⊄平面EFH,∴PB ∥平面EFH.(2)∵PA ⊥平面ABCD, ∴PA ⊥AB.又∵AB ⊥AD,PA∩AD=A,∴AB ⊥底面PAD.又∵PD ⊂平面PAD,∴AB ⊥PD.Rt △PAD 中,PA=AD=2,F 为PD 的中点, ∴AF ⊥PD.又∵AF∩AB=A,AF ⊂平面AHF,AB ⊂平面AHF,∴PD ⊥平面AHF.19.如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中,AD ∥BC,PD ⊥平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4.(1)求证:BD ⊥PC;(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角;(3)设点E在棱PC上,=λ,若DE∥平面PAB,求λ的值.【答案】（1）见解析（2）60°（3）【解析】(1)证明:由题意知,AB⊥AD,AD=1,AB=,∴BD=2,BC=4,∴DC=2,则BC2=DB2+DC2,∴BD⊥DC,∵PD⊥平面ABCD,∴BD⊥PD,而PD∩CD=D,∴BD⊥平面PDC.∵PC在平面PDC内,∴BD⊥PC.解:(2)如图所示,过D作DF∥AB交BC于F,过点F作FG⊥CD交CD于G.∵PD⊥平面ABCD,∴平面PDC⊥平面ABCD,∴FG⊥平面PDC,∴∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角.在Rt△DFC中,∠DFC=90°,DF=,CF=3,∴tan∠FDG=,∴∠FDG=60°.∴直线AB与平面PDC所成角为60°.(3)连接EF,∵DF∥AB,∴DF∥平面PAB.∵DE∥平面PAB,∴平面DEF∥平面PAB,∴EF∥AB,如图所示,∵AD=1,BC=4,BF=1,∴==,∴=,即λ=.。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练(带答案)

高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练单选题1、设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则∁U(A∪B)=（）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}答案：D分析：解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={−2,0}.故选：D.2、已知集合M={x|x=m−56,m∈Z}，N={x|x=n2−13,n∈Z}，P={x|x=p2+16,p∈Z}，则集合M，N，P的关系为（）A．M=N=P B．M⊆N=PC．M⊆N P D．M⊆N，N∩P=∅答案：B分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n−2与3p+1都是表示同一类数，6m−5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.对于集合M={x|x=m−56,m∈Z}，x=m−56=6m−56=6(m−1)+16，对于集合N={x|x=n2−13,n∈Z}，x=n2−13=3n−26=3(n−1)+16，对于集合P={x|x=p2+16,p∈Z}，x=p2+16=3p+16，由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，注意到3(n−1)+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6(m−1)+1表示的数是6的倍数加1，所以6(m−1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M⊆N=P.故选：B.3、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.4、设a，b是实数，集合A={x||x−a|<1,x∈R}，B={x||x−b|>3,x∈R}，且A⊆B，则|a−b|的取值范围为（）A．[0,2]B．[0,4]C．[2,+∞)D．[4,+∞)答案：D分析：解绝对值不等式得到集合A,B，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.集合A={x||x−a|<1,x∈R}={x|a−1<x<a+1}，B={x||x−b|〉3,x∈R}={x|x<b−3或x>b+3}又A⊆B，所以a+1≤b−3或a−1≥b+3即a−b≤−4或a−b≥4，即|a−b|≥4所以|a−b|的取值范围为[4,+∞)故选：D5、设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={1,3}，则（）A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M答案：A分析：先写出集合M,然后逐项验证即可由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误故选:A6、已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6答案：C分析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B中的元素满足{y≥xx+y=8，且x,y∈N∗，由x+y=8≥2x，得x≤4，所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A∩B中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.7、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.8、已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=（）A．{x|x<−1或1<x≤2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤−1或1≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案：A分析：先求∁U N，再求M∩∁U N的值.因为∁U N={x|x<−1或x>1}，所以M∩C U N={x|x<−1或1<x≤2}.故选：A.多选题9、已知集合A={0,1,2}，B={a,2}，若B⊆A，则a=（）A．0B．1C．2D．0或1或2答案：AB分析：由B⊆A，则B={0,2}或B={1,2}，再根据集合相等求出参数的值；解：由B⊆A，可知B={0,2}或B={1,2}，所以a=0或1.故选:AB.小提示：本题考查根据集合的包含关系求参数的值，属于基础题.10、已知集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，且x1、x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是（）A．x1x2∈A B．x2x3∈BC．x1+x2∈B D．x1+x2+x3∈A答案：ABC分析：本题首先可根据题意得出A表示奇数集，B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，然后依次对x1x2、x2x3、x1+x2、x1+x2+x3进行判断，即可得出结果.因为集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，所以集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，A项：因为两个奇数的积为奇数，所以x1x2∈A，A正确；B项：因为一个奇数与一个偶数的积为偶数，所以x2x3∈B，B正确；C项：因为两个奇数的和为偶数，所以x1+x2∈B，C正确；D项：因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以x1+x2+x3∈B，D错误，故选：ABC.11、已知命题p:∃x∈R,ax2−4x−4=0，若p为真命题，则a的值可以为（）A．-2B．-1C．0D．3答案：BCD分析：根据给定条件求出p为真命题的a的取值范围即可判断作答，当a=0时，x=−1，p为真命题，则a=0，当a≠0时，若p为真命题，则Δ=16+16a≥0，解得a≥−1且a≠0，综上，p为真命题时，a的取值范围为a≥−1.故选：BCD12、已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是（）A．若A=B，则a=−3B．若A⊆B，则a=−3C．若B=∅，则a≤−6或a≥6D．若B A时，则−6<a≤−3或a≥6答案：ABC分析：求出集合A，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．A={x∈R|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，故A正确.a=−3时，A=B，故D不正确.若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确.当B=∅时，a2−4(a2−27)≤0，解得a≤−6或a≥6，故C正确.故选：ABC．13、已知集合P={1,2},Q={x|ax+2=0}，若P∪Q=P，则实数a的值可以是（）A．−2B．−1C．1D．0答案：ABD分析：由题得Q⊆P，再对a分两种情况讨论，结合集合的关系得解.因为P∪Q=P，所以Q⊆P.由ax+2=0得ax=−2，当a=0时，方程无实数解，所以Q=∅，满足已知；当a≠0时，x=−2a ，令−2a=1或2，所以a=−2或−1.综合得a=0或a=−2或a=−1.故选：ABD小提示：易错点睛：本题容易漏掉a=0. 根据集合的关系和运算求参数的值时，一定要注意考虑空集的情况，以免漏解.填空题14、已知集合A={x|3≤x<7}，C={x|x>a}，若A⊆C，求实数a的取值范围_______.答案：(−∞,3)分析：根据集合的包含关系画出数轴即可计算.∵A⊆C，∴A和C如图：∴a＜3.所以答案是：(−∞,3).15、若A＝{x|x2+（m+2）x+1＝0，x∈R}，且A∩R+＝∅，则m的取值范围是__．答案：m＞﹣4．解析：根据题意可得A是空集或A中的元素都是小于等于零的，然后再利用判别式以及韦达定理求解即可.解：A∩R+＝∅知，A有两种情况，一种是A是空集，一种是A中的元素都是小于等于零的，若A＝∅，则Δ＝（m +2）2﹣4＜0，解得﹣4＜m＜0 ，①若A≠∅，则Δ＝（m +2）2﹣4≥0，解得m≤﹣4或m≥0，又A中的元素都小于等于零∵两根之积为1，∴A中的元素都小于0，∴两根之和﹣（m+2）＜0，解得m＞﹣2∴m≥0，②由①②知，m＞﹣4，所以答案是：m＞﹣4．小提示：易错点点睛：本题考查利用交集的结果求参数，本题在求解中容易忽略A=∅的讨论，导致错解，同时本题也可以采取反面考虑结合补集思想求解.16、设集合A={−4，2m−1，m2}，B={9，m−5，1−m}，又A∩B={9}，求实数m=_____．答案：−3分析：根据A∩B={9}得出2m−1=9或m2=9，再分类讨论得出实数m的值.因为A∩B={9}，所以9∈A且9∈B，若2m−1=9，即m=5代入得A={−4，9，25}，B={9，0，−4}，∴A∩B={−4，9}不合题意；若m2=9，即m=±3．当m=3时，A={−4，5，9}，B={9，−2，−2}与集合元素的互异性矛盾；当m=−3时，A={−4，−7，9}，B={9，−8，4}，有A∩B={9}符合题意；综上所述，m=−3．所以答案是：−3解答题17、已知集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}，集合C={x|x2+2x−8=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数a的值．答案：(1)−3(2)−2分析：（1）求出集合B={2,3}，由A∩B={2}，得到2∈A，由此能求出a的值，再注意3∉A检验即可；（2）求出集合C={−4,2}，由A∩B≠∅，A∩C=∅，得3∈A，由此能求出a，最后同样要注意检验．（1）因为集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}={2,3}，且A∩B={2}，所以2∈A ，所以4−2a +a 2−19=0，即a 2−2a −15=0，解得a =−3或a =5．当a =−3时，A ={x |x 2+3x −10=0}={−5,2}，A ∩B ={2}，符合题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，A ∩B ={2,3}，不符合题意．综上，实数a 的值为−3．（2）因为A ={x |x 2−ax +a 2−19=0}，B ={2,3}，C ={x |x 2+2x −8=0}={−4,2}，且A ∩B ≠∅，A ∩C =∅，所以3∈A ，所以9−3a +a 2−19=0，即a 2−3a −10=0，解得a =−2或a =5．当a =−2时，A ={x |x 2+2x −15=0}={−5,3}，满足题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，不满足题意．综上，实数a 的值为−2．18、设α:m −1≤x ≤2m ，β:2≤x ≤4，m ∈R ，α是β的必要条件，但α不是β的充分条件，求实数m 的取值范围.答案：[2,3]分析：由题意可知α是β的必要不充分条件，可得出集合的包含关系，进而可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.由题意可知，α是β的必要不充分条件，所以，{x |m −1≤x ≤2m }{x |2≤x ≤4}，所以{m −1≤22m ≥4，解之得2≤m ≤3. 因此，实数m 的取值范围是[2,3].。

高中数学数列-错位相减法求和专题训练含答案精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版错位相减法求和专题训练1．已知数列{}n a 满足22,{ 2,n n n a n a a n ++=为奇数为偶数，且*12,1,2n N a a ∈==.(1)求 {}n a 的通项公式；(2)设*1,n n n b a a n N +=⋅∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ；(3)设()2121nn n n c a a -=⋅+-，证明：123111154n c c c c ++++< 2．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =， 21691n n a S n +=++， *n N ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若正项等比数列{}n b 满足1132,b a b a ==，且n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T . ①求n T ；②若对任意2n ≥， *n N ∈，均有()2563135n T m n n -≥-+恒成立，求实数m 的取值范围.3．已知*n N ∈，设n S 是单调递减的等比数列{}n a 的前n 项和， 112a =且224433,,S a S a S a +++成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n na 的前n 项和为n T ，求证：对于任意正整数n ， 122n T ≤<. 4．递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26S =， 430S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求1250n n T n ++⋅>成立的正整数n 的最小值.5．已知数列{}n a 及()212n n n f x a x a x a x =+++，且()()11?nn f n -=-, 1,2,3,n =.（1）求123a a a ，，的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求证:11133n f ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭. 6．已知数列{}n a 是以2为首项的等差数列，且1311,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和()*n S n N ∈；（Ⅱ）若()1232n a n b -=，求数列{}1n n a b +的前n 项之和()*n T n N ∈.7．在数列{}n a 中， 14a =，前n 项和n S 满足1n n S a n +=+.（1）求证：当2n ≥时，数列{}1n a -为等比数列，并求通项公式n a ；（2）令11•213nn n n na b -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和为n T .8．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且252,15a S ==，数列{}n b 满足11,2b =1n b += 12n n b n+．（1）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式；（2）记n T 为数列{}n b 的前n 项和， ()()222n n S T f n n -=+，试问()f n 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．9．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令()*211n n b n N a =∈-，求数列{}n a 的前n 项和n T ． 10．已知单调递增的等比数列{}n a 满足： 2420a a +=， 38a = （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =⋅，数列{}n b 的前n 项和为n S , 1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值.参考答案1．解析：（1）当n 为奇数时， 22n n a a +-=，此时数列{}*21k a k N -∈（）成等差数列． 2d = 当n 当为偶数时， 22n n a a +=，此时数列{}*2k a k N ∈（）成等比数列 2q = ()()2{2nn n n a n ∴=为奇数为偶数（2）()()21221222121222142kkk k k k k k k b b a a a a k k k --++=+=-⋅++=⋅()()()21234212n n n S b b b b b b -=++++++23241222322n n S n ⎡⎤∴=⋅+⋅+⋅+⋅⎣⎦()2312241222122n n n S n n +⎡⎤=⋅+⋅++-+⋅⎣⎦12242222n n n S n +⎡⎤∴-=+++-⋅⎣⎦(3) ()()3121nnn C n =-+- ()()()()2121{ 2121nn nn n C n n -⋅-∴=-⋅+为奇为偶 ()()1111321212n n n n C n +=<≥-- n 为奇 ()()1111221212n n n n C +=<≥-+ n 为偶2．解析：(1) 2n 1n a 6S 9n 1+=++，()()2n n 1a 6S 9n 11n 2-=+-+≥，∴()22n 1n n a a 6a 9n 2+-=+≥，∴()22n 1n a a 3+=+ 且各项为正，∴()n 1n a a 3n 2+=+≥又3a 7=，所以2a 4=，再由221a 6S 91=++得1a 1=，所以21a a 3-=∴{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列，∴n a 3n 2=-(2) 13b 1,b 4==∴n 1n b 2-=， ()n 1n n n c a b 3n 22-=⋅=-⋅①()01n 1n T 12423n 22-=⋅+⋅++-⋅，②()12n n 2T 12423n 22=⋅+⋅++-⋅∴()12n 1n T 13222--=++++ ()n 3n 22--⋅， ()n n T 3n 525=-⋅+()n 3n 52m -⋅⋅≥ ()2*6n 31n 35n 2,n N -+≥∈恒成立∴()2n 6n 31n 35m 3n 52-+≥-⋅ ()()()nn 3n 52n 72n 73n 522---==-⋅，即n 2n 7m 2-≥恒成立. 设n n 2n 7k 2-=， n 1n n 1nn 12n 52n 792nk k 222+++----=-= 当n 4≤时， n 1n k k +>； n 5≥时， n 1n k k +< ∴()n 55max 33k k 232===，∴3m 32≥. 点睛：本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到等差数列的通项公式的求解，数列的乘公比错位相减法求和，数列的恒成立的求解等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中准确运算和合理转化恒成立问题是解答的关键. 3．解：（1）设数列{}n a 的公比q ，由()4422332S a S a S a +=+++，得()()42434232S S S S a a a -+-+=+，即424a a =，∴214q =． {}n a 是单调递减数列，∴12q =， ∴12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）由（1）知2n n nna =，所以234112*********n n n n nT --=++++++，①232123412122222n n n n nT ---=++++++，②②-①得： 211112222n n n n nT -=++++-，1122212212nn n n n n T ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--，由()111112n n n n n T T n a ++++-=+=，得123n T T T T <<<<，故112n T T ≥=又2222n n n T +=-<，因此对于任意正整数n ， 122n T ≤<点睛：本题主要考查了数列的综合应用和不等式关系证明问题，其中解答涉及到等比数列的基本量的运算，数列的乘公比错位相减法求和，以及放缩法证明不等式，突出考查了方程思想和错位相减法求和及放缩法的应用，试题综合性强，属于难题. 4．解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q由已知， 42302S S =≠.则1q ≠，则()()212414161{1301a q S q a q S q-==--==-，，两式相除得2q =±，∵数列{}n a 为递增数列，∴2q =，则12a =，所以2n n a =.（2）122log 22n n n n b n ==-⋅，()1231222322n n T n =-⋅+⋅+⋅++⋅ 设1231222322n n H n =⋅+⋅+⋅++⋅，① 23412222322n n H n +=+⋅+⋅++⋅，②①-②得：()1231121222222212n n n n n H n n ++--=++++-⋅=-⋅-，11222n n n n T +-=-⋅+-=，1250n n T n ++⋅>，即111222250n n n n n +++-⋅+-+⋅>，1252n +>，∴正整数n 的最小值是5.点睛：本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的应用，错位相减求和方法的应用，及指数不等式的求解．5．解析：（1）由已知()1111f a -=-=-，所以11a =.()21212f a a -=-+=，所以23a =.()312313f a a a -=-+-=-，所以35a =.（2）令1x =-，则()()()()2121111nn n f a a a -=-+-++-，①()()()()()21112111111nn n n n f a a a a +++-=-++-++-+-，②两式相减，得()()()1111?11n n n n a f f +++-=---= ()()()11?11?n nn n +-+--，所以()11n a n n +=++,即121n a n +=+，又11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为()211,2,3,n a n n =-=.（3）()233521n n f x x x x n x =++++-，所以()2311111352133333nn f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③()2341111111·3521333333n n f n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，④①-②得()2312111111222213333333nn n f n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11133n n n f +⎛⎫=-⎪⎝⎭. 又1,2,3,n =，∴103nn +>，故113n f ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 又1111210333n n n n f f +++⎛⎫⎛⎫--=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13n f ⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭是递增数列，故1111333n f f ⎛⎫⎛⎫≥=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以11133n f ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查数列的前3项及通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．6．解析：(Ⅰ) 设数列{}n a 的公差为d ，由条件可得23111a a a =，即()()2222210d d +=+，解得3d =或0d =（舍去），则数列{}n a 的通项公式为()23131n a n n =+-=-，()()23113122n n n S n n +-==+. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()121322n a n n b --==，则()1231223341225282312n n n n T a b a b a b a b n +=++++=⨯+⨯+⨯++-⨯，①()23412225282312n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯，②将①-②得()123122323232312n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()211132324312834212n n n n n +++⨯-⨯=+--⨯=---⨯-，则()18342n n T n +=+-⨯.【易错点晴】本题主要考等差数列的通项公式、等比数列的求和公式、以及“错位相减法”求数列的和，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.7．解析：（1）11,4n a == 当2n ≥时， 1,n n n a s s -=-得()1121n n a a +-=-，1121n n a a +-=-112,n n a --=得 121n n a -=- n a = 14,1{21,2n n n -=+≥(2)当1n =时， 123b = 当2n ≥时， 13nn b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭当1n =时， 123T =当2n ≥时， 232111233333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令2311123333nM n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3411111233333n M n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴ 23M = 122111191833n n n +-⎡⎤⎛⎫+--⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 2111111312323nn M n -⎡⎤⎛⎫∴=+--⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭132311243n n n T +⎛⎫∴=-⋅ ⎪⎝⎭ 经检验1n =时， 1T 也适合上式． 132311243n n n T +∴=-⋅ ()*n N ∈ ．点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误． 8．解析：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则11121{{,.510151n a d a a n a d d +==⇒∴=+==由题意得1111122n n b b b n n +=⋅=+，，∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，且首项和公比都是12， 2n n n b ∴=. （2）由（1）得231232222n n n T =+++⋅⋅⋅+， 2341112322222n n n T +=+++⋅⋅⋅+，两式相减得： 23111111=222222n n n n T ++++⋅⋅⋅+-， 222n n n T +∴=-；()()()2122222n n n nn n S T n nS f n n +-+=∴==+；()()()()()221111121222n n n n n n n n n f n f n ++++++-+∴+-=-= 当3n ≥时， ()()10f n f n +-<；当3n <时， ()()10f n f n +-≥；()()()3311,2,322f f f === ∴()f n 存在最大值为32.点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误． 9．解析：（1）当1n =时， 11==3a S ；当2n ≥时， ()()221=212121n n n a S S n n n n n --=+----=+， 1=3a 也符合，∴数列{}n a 的通项公式为=21n a n +. （2）2211111=14441n n b a n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭，∴()111111111...1422314141n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 点睛：本题考查了等差数列的定义，求数列的前n 项和问题，属于中档题.解决数列的通项公式问题时，一般要紧扣等差等比的定义，利用方程思想求解，数列求和时，一般根据通项的特点选择合适的求和方法，其中裂项相消和错位相减法考查的比较多，主要是对通项的变形转化处理即可.10．解析：（1）设等比例列16.λ∴的最大值为的首项为1a ，公比为q依题意，有3112120{8a q a q a q +==，解之得12{ 2a q ==或132{ 12a q ==，又数列{}n a 单调递增， 12{ 2.2n a a n q =∴∴==，（2）依题意， 12.log2.2,.2bn n n n n ==- 12222323.........2,Sn n n ∴-=⨯+⨯+⨯++①2122223324........21Sn n n -=⨯+⨯+⨯+++②由①—②得： 2222324......2.21Sn n n n =+++++-+()212.2112n n n -=-+-21.212n n n =+-+- ， 1250n n S n +∴=⋅>，即12250,226n n +->∴>，当4n ≤时， 2241626n <=<；当5n ≥时，5223226n <=<， ∴使1250n n S n ++⋅>，成立的正整数n 的最小值为5.【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列， {}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式.。

高三数学选择题专题训练(17套)含答案

（每个专题时间：35分钟，满分：60分）1．函数y =的定义域是（）A ．[1,)+∞B ．23(,)+∞ C ．23[,1] D ．23(,1]2．函数221()1x f x x -=+, 则(2)1()2f f = （） A ．1 B ．－1 C ．35D ．35-3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（）A ．2 BC ．1 D4．不等式221x x +>+的解集是（） A ．(1,0)(1,)-+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(1,0)(0,1)- D ．(,1)(1,)-∞-+∞5．sin163sin 223sin 253sin313+=（）A ．12-B ．12C． D6．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．127．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。

那么p 是q 成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题（）①////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② //////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭ ③ ,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有：（） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个9．若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是（） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．400810．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为（）A ．43B ．53C ．2D ．7311．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为（）A ．2140B ．1740C ．310D ．712012．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是A ．258B ．234C ．222D ．2101．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则()U C A B 等于( )A ．{1，2，4}B ．{4}C ．{3，5}D ．∅2．︒+︒15cot 15tan 的值是（）A ．2B ．2+3C ．4D ．334 3．命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b|>1是|a +b|>1的充要条件；命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞).则（）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真4．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率为（）A ．32 B ．33 C ．22 D ．235．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（） A ．1B ．－1C ．2D ．216．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：其中真命题的个数是（） ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β.A ．0B ．1C ．2D ．37．已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x )，则函数y= f —1(1－x )的图象是（）8．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 9．已知8)(xa x -展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（）A ．28B ．38C ．1或38D ．1或2810．如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60º，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是（） A ．arcsin 63 B ．arccos 63C ．arcsin 33 D ．arccos 3311．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，4] 时，f(x)= x －2，则（） A ．f (sin21)<f (cos 21) B ．f (sin 3π)>f (cos 3π) C ．f (sin1)<f (cos1) D ．f (sin 23)>f (cos 23) 12．如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ，现要在曲线PQ 上任意选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物，经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用都是a 万元/km 、那么修建这两条公路的总费用最低是（）A ．(7+1)a 万元B ．(27－2) a 万元C ．27a 万元D ．(7－1) a 万元专题训练（三）1．已知平面向量a =（3，1），b =（x ，–3），且a b ⊥，则x= （） A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 2．已知{}{}2||1|3,|6,A x x B x xx =+>=+≤则A B =（）A ．[)(]3,21,2-- B ．(]()3,21,--+∞C ． (][)3,21,2--D ．(](],31,2-∞-3．设函数2322,(2)()42(2)x x f x x x a x +⎧->⎪=--⎨⎪≤⎩在x=2处连续,则a= （）A ．12-B ．14- C ．14 D ．134．已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2221a a …2n a +等于（）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n5．函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是（） A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数 C ．周期为2π的偶函数 D ．.周期为2π的奇函数6．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（）A ．0.1536B ． 0.1808C ． 0.5632D ． 0.97287．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（）A ．23 B ． 76 C ． 45 D ． 568．若双曲线2220)x y kk -=>（的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （） A ． 6 B ． 8C ． 1D ． 49．当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是（） A ． 4 B ． 12 C ．2 D ． 1410．变量x 、y 满足下列条件：212,2936,2324,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是（）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 )11．若tan 4f x x π=+（）（），则（） A ． 1f -（）>f (0)>f (1) B ． f （0）>f(1)>f (-1) C ． 1f （）>f (0)>f (-1) D ． f （0）>f(-1)>f (1) 12．如右下图,定圆半径为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0 与直线 x –y+1=0的交点在( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限1．设集合P={1A ．{1，2} B ． {3，4} C ． {1} D ． {-2，-1，0，1，2}2．函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为（）A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A ．140种B ．120种C ．35种D ．34种4．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是（）A ．33π100cmB ． 33π208cmC ． 33π500cmD ． 33π3416cm 5．若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．22C ． 4D ．246．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（）A ．0.6小时B ．0.9小时C ．1.0小时D ．1.5小时 7．4)2(x x +的展开式中x 3的系数是（） A ．6 B ．12 C ．24 D ．488．若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则（）A ．a =2,b=2B ．a = 2 ,b=2C ．a =2,b=1D ．a = 2 ,b= 29．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（）A ．5216B ．25216C ．31216D ．9121610．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（）A ．1，-1B ．1，-17C ．3，-17 D．9，-1911．设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（）A ．3B ．32C ．43D ．6512．设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个人数(人)时间(小时)专题训练（五）1．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．对于10<<a ，给出下列四个不等式，其中成立的是( )① )11(log )1(log a a a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aa a a 111++<④aaaa 111++>A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④3．已知α、β是不同的两个平面，直线βα⊂⊂b a 直线,，命题b a p 与:无公共点；命题βα//:q . 则q p 是的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 4．圆064422=++-+y x y x 截直线x -y -5＝0所得弦长等于（） A ．6 B ．225 C ．1 D ．5 5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A ．21p pB ．)1()1(1221p p p p -+-C ．211p p -D ．)1)(1(121p p --- 6．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 7．已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是( )A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 8．已知随机变量ξ的概率分布如下：则==)10(ξP ( )A ．932 B ．103 C ．93 D ．103 9．已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的距离是( )A ．26 B ．23 C ．3D ．210．设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是( )A ．π68B ．π664C ．π224D ．π27211．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是( )A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-== 12．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不．左右相邻，那么不同排法的种数是( )A ．234B ．346C ．350D ．3631．设集合U A ．{2} B ．{2，3} C ．{3} D ． {1，3} 2．已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f x x x f 则若（） A ．21 B ．－21 C ．2 D ．－23．已知a +b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |=（） A ．7 B ．10C ．13D ．44．函数)1(11>+-=x x y 的反函数是（）A ．)1(222<+-=x x x yB ．)1(222≥+-=x x x y C ．)1(22<-=x x x y D ．)1(22≥-=x x x y5．73)12(xx -的展开式中常数项是（）A ．14B ．－14C ．42D ．－426．设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+=（） A ．57B ．51C ．27 D ．47．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（） A ．23B ．3C ．27 D ．48．设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（）A ．]21,21[-B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则ST等于（）A ．91 B ．94 C ．41 D ．31 11．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（）A ．95 B ．94 C ．2111 D ．2110 12．已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为（）A ．3－21B ．21－3C ．－21－3D ．21+31．已知集合}032|{|,4|{22<--=<=x x x N x x M ，则集合N M ⋂=（） A ．{2|-<x x } B ．{3|>x x } C ．{21|<<-x x } D ． {32|<<x x }2．函数)5(51-≠+=x x y 的反函数是（） A ．)0(51≠-=x x y B ．)(5R x x y ∈+=C ．)0(51≠+=x xy D ．)(5R x x y ∈-=3．曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为（） A ．43-=x y B ．23+-=x y C ．34+-=x y D ．54-=x y4．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为（）A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x5．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是（）A ．6π-B ．6π C ．12π-D ．12π 6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（） A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 7．函数xe y -=的图象（） A ．与xe y =的图象关于y 轴对称B ．与xe y =的图象关于坐标原点对称C ．与x e y -=的图象关于y 轴对称D ．与xe y -=的图象关于坐标原点对称 8．已知点A （1，2）、B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 9．已知向量a 、b 满足：|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |=（） A ．1B ．2C ．5D ．610．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（）A ．31 B ．33 C ．32 D ．36 11．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（）A ．4π B ．2π C ．π D ．2π12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个专题训练（八）1、设集合22,1,,M x y xy x R y R =+=∈∈，2,0,,N x y xy x R y R =-=∈∈，则集合MN 中元素的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42、函数sin 2xy =的最小正周期是（） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π3、记函数13xy -=+的反函数为()y g x =，则(10)g =（） A ． 2 B ． 2-C ． 3D ． 1- 4、等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为（）A ． 81B ． 120C ．168D ． 1925、圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程是（）A ． 20x +-=B ． 40x +-=C ． 40x -+=D ． 20x +=6、61x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为（）A ． 15B ． 15-C ． 20D ． 20-7、若△ABC 的内角满足sin A ＋cos A ＞0，tan A -sin A ＜0，则角A 的取值范围是（）A ．（0，4π） B ．（4π，2π） C ．（2π，43π） D ．（43π，） 8、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（）A ． 5B ．C ．D ． 549、不等式113x <+<的解集为（）A ． ()0,2B ． ()()2,02,4- C ． ()4,0- D ． ()()4,20,2--10、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（）A ．B ．C ． 3D ．11、在ABC 中，3,4AB BC AC ===，则边AC 上的高为（）A ．B ．C ． 32D ．12、4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（）A ． 12 种B ． 24 种C 36 种D ． 48 种1．设集合U={1U A ．{5} B ．{0，3} C ．{0，2，3，5} D ． {0，1，3，4，5}2．函数)(2R x e y x∈=的反函数为（） A ．)0(ln 2>=x x y B ．)0)(2ln(>=x x y C ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为（） A ．26 B ． 6C ．66 D ．36 4．函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．为了得到函数xy )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象（）A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 A ．160 B ．180 C ．200 D ．2207．已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k （）A ．41-B ．41 C ．21-D ．21 8．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（）A ．03222=--+x y xB ．0422=++x y xC ．03222=-++x y x D ．0422=-+x y x9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种10．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（） A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－511．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=BC=23，则球心到平面ABC 的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．212．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b =（） A ．231+ B ．31+ C ．232+ D ．32+1．设集合A ．PQ P = B ．P Q 包含Q C ．P Q Q = D ． P Q 真包含于P2．不等式21≥-xx 的解集为（） A ． )0,1[- B ． ),1[+∞- C ．]1,(--∞ D ．),0(]1,(+∞--∞ 3．对任意实数,,a b c 在下列命题中，真命题是（）A ．""ac bc >是""a b >的必要条件B ．""ac bc =是""a b =的必要条件C ．""ac bc >是""a b >的充分条件D ．""ac bc =是""a b =的充分条件 4．若平面向量b 与向量)2,1(-=的夹角是o 180，且53||=，则=b （） A ． )6,3(- B ． )6,3(- C ． )3,6(- D ． )3,6(-5．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点。

高中数学必修第一册专题训练

数学必修第一册专题训练专题01集合与常用的逻辑用语题型一集合的表示：列举法、描述法与韦恩图例1．（2023上·甘肃白银·高一校考期末）已知集合{}2,1C =-，{},,D z z x y x C y C ==+∈∈∣，则集合D 等于（）A ．{}1,2,1-B ．{}2,1,4-C ．{}1,2,4D ．{}2,2,4-题型二集合的三大特征：确定性、互异性与无序性题型三元素与集合的关系:属于、不属于例4．（2023上·山东淄博·高一校考阶段练习）已知集合{}212,4,10A a a a =++，5A ∈，则=a （）A ．5-B ．5-或1C ．1D ．5题型四集合与集合的关系:子集与真子集题型五集合的运算：并集、交集与补集{}-<<+，x a x a123题型六集合的新定义题型七充分条件与必要条件的判断例10．（2023上·广东东莞·高一东莞市麻涌中学校联考期中）设R x ∈，则“1x <”是“21x <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题型八根据充分条件与必要条件的求参数的范围题型九全称量词命题与存在量词命题的真假例13．（2023上·甘肃白银·高三校考阶段练习）（多选题）下列说法正确的是（）A ．命题“R x ∀∈，21x >-”的否定是“R x ∃∈，21x <-”B ．命题“()3,x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“()3,x ∀∈-+∞，29x >”C ．“22x y >”是“x y >”的必要而不充分条件D ．“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负实数根”的充要条件题型十全称量词命题与存在量词命题的否定专题02一元二次函数、方程与不等式题型1：等式与不等式的性质题型2：基本不等式及其应用题型5：基本不等式的综合应用题型6：利用基本不等式证明不等式题型7：一元二次不等式的解法（不含参数和含有参数的）专题03函数的概念及其表示题型1函数的概念例1．（2023上·福建三明·高一校联考期中）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数||y x x =的图象的形状大致是（）A ．B ．C ．D ．题型2求函数的定义域题型3同一函数的判断题型4求抽象函数的定义域例4．（2022下·安徽亳州·高二亳州二中校考期末）已知()22143f x x -=+，则()f x =（）．A ．224x x -+B ．22x x +C ．221x x --D ．224x x ++题型5求函数的解析式例5．（2023上·新疆·高一校考阶段练习）已知()f x 为二次函数，且()03f =，()()28f x f x x +-=，求函数解析式；高一安徽省五河第一中学校考期中）求下列函数的解析式：题型6分段函数的应用题型7函数的单调性及其应用题型8利用函数的单调性求参数的范围例10．（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数22,1()(3)2,1x ax xf xa x x⎧-+≤=⎨-+>⎩是定义在R上的增函数，则a的取值范围是（）A．[)1,3B．[]1,2C．[)2,3D．()0,3例11．（2023上·重庆渝北·高一重庆市松树桥中学校校考期中）已知函数()()223f x x ax a =-+∈R ．(1)若函数()f x 在(],2-∞上是减函数，求a 的取值范围；(2)当[]1,1x ∈-时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求函数()g a 的表达式．题型9函数的奇偶性的判断与证明题型10利用函数的奇偶性求解析式、值题型11利用函数的对称性与周期性题型12抽象函数．．．．题型13函数性质的综合．（2024上·河南新乡·高三新乡市第一中学校考阶段练习）定义在R 上的奇函数()f x ，其图像关于点对称，且()f x 在[0,2)上单调递增，则（）、题型14幂函数例20．（2023上·云南昭通·高一校联考阶段练习）已知幂函数()af x x =的图象过点()2,4.(1)求函数()f x 的解析式;(2)设函数()()21h x f x kx =--在[]1,1-上是单调函数，求实数k 的取值组成的集合.专题04指数函数与对数函数题型1：指数运算及指数方程、指数不等式题型2：对数运算及对数方程、对数不等式题型4：指数函数的图像及性质题型5：指数函数的定义域与值域问题题型6：指数型复合函数的综合问题题型7：对数函数的图像及性质．B ．C ．D题型8：对数函数的性质（单调性、最值（值域））．（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）若函数()2)lg 2f ax x a =-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围为（）A ．(1,0)-B ．[1,1]-C ．(0,1)D ．(1,)+∞专题05三角函数题型1：象限角、轴线角与等分角题型2：弧长与扇形面积公式的计算题型3：三角函数的定义题型4：同角公式题型5：诱导公式题型6：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用题型7：两角和与差的三角函数公式题型8：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形例8．（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）tan8tan127tan8tan233︒+︒+︒︒=（）A ．2-B．1-C ．1D ．2题型9：角的变换问题题型10：给角、值求值题型11：三角恒等变换的综合应用题型12：五点作图法题型13：函数的奇偶性题型14：函数的周期性题型15：函数的单调性题型16：函数的对称性（对称轴、对称中心）题型17：函数的定义域、值域（最值）题型18：三角函数性质的综合问题题型19：根据条件、图像确定解析式题型20：三角函数图像变换题型21：三角函数模型25．（2023上·湖北·高三随州市曾都区第一中学校联考期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图面的高度为45米，最低点距离地面针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱。

高考数学专题训练之阿基米德多面体 (以阿基米德多面体为背景的高中数学考题题组训练)(含答案解析)

阿基米德多面体一、单选题1半正多面体亦称“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由八个正三角形和六个正方形构成的(如图所示)，则异面直线AB 与CF 所成的角为()A.π6B.π4C.π3D.π22“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的表面积为()A.8πB.4πC.3πD.2π3半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体、它由八个正三角形和六个正方形围成(如图所示)，若它所有棱的长都为2，则下列说法错误的是()A.该二十四等边体的表面积为24+83B.QH⊥平面ABEC.直线AH与PN的夹角为60°D.该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E，满足关系式V+F-E=24“阿基米德多面体”也称为半正多面体，半正多面体是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体．如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为40cm，则该阿基米德多面体的表面积为()A.4800+16003cm2 B.4800+48003cm2C.3600+36003cm2 D.3600+12003cm25“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为()A.22B.1C.2D.226如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”，它是一个24等边半正多面体．从它的棱中任取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率为()A.1023B.1223C.2969D.50697半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．下图是棱长为2的正方体截去八个一样的四面体，得到的一个半正多面体，则下列说法错误的是()A.该半正多面体是十四面体B.该几何体外接球的体积为4π3C.该几何体的体积与原正方体的体积比为5∶6D.原正方体的表面积比该几何体的表面积小8“阿基米德多面体”这称为半正多面体(semi-regularsolid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知AB=32 2，则该半正多面体外接球的表面积为()A.18πB.16πC.14πD.12π9中国有悠久的金石文化，印信是金石文化代表之一，印信的形状多为长方体､正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，古希腊著名数学家阿基米德研究过此类多面体的性质，故半正多面体又被称为“阿基米德多面体”.半正多面体体现了数学的对称美，如图，是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1.则下列关于该多面体的说法中错误的是()A.多面体有12个顶点，14个面B.多面体的表面积为3C.多面体的体积为56D.多面体有外接球(即经过多面体所有顶点的球)10半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成(如图所示)，若它所有棱的长都为2，则()A.BC ⊥平面ABEB.该二十四等边体的体积为3223C.ME 与PN 所成的角为45°D.该二十四等边体的外接球的表面积为16π11有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为2的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E 为线段BC 上的动点，则直线DE 与直线AF 所成角的余弦值的取值范围为()A.13,22B.13,32C.12,22D.12,3212半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体.它由八个正三角形和六个正方形围成(如图所示)，若它的棱长为2，则下列说法错误的是()A.该二十四等边体的外接球的表面积为16πB.该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E ，满足关系式V +F -E =2C.直线AH 与PN 的夹角为60°D.QH ⊥平面ABE13“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为2，则其外接球的表面积为()A.16πB.8πC.16π3D.32π314“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的体积为()A.43π B.82π3C.4πD.8π15有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为2的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段BC上的动点，则下列结论不正确的是()A.存在点E、使得A、F、D、E四点共面；B.存在点E，使DE⊥DF；C.存在点E，使得直线DE与平面CDF所成角为π3；D.存在点E，使得直线DE与直线AF所成角的余弦值3510.二、多选题16半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，半正多面体有且只有13种．最早用于1970年世界杯比赛的足球就可以近似看作是由12个正五边形和20个正六边形组成的半正面体，半正多面体体现了数学的对称美．如图所示的二十四等边体就是一种半正多面体，它由8个正三角形和6个正方形围成，它是通过对正方体进行八次切截而得到的．若这个二十四等边体的棱长都为2，则下列结论正确的是()A.MQ与平面AEMH不可能垂直B.异面直线BC和EA所成角为60°C.该二十四等边体的体积为402D.该二十四等边体外接球的表面积为18π317“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为12+43，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是( )．A.AB =2B.该半正多面体的外接球的表面积为6πC.AB 与平面BCD 所成的角为π4 D.与AB 所成的角是π3的棱共有16条18半正多面体(semiregularsolid )亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美，二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示)，若它的所有棱长都为2，则()A.BF ⊥平面EABB.AB 与PF 所成角为45°C.该二十四等边体的体积为203D.该二十四等边体多面体有12个顶点，14个面19“阿基米德多面体”也称为半正多面体，它是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为12+43，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是()A.AB 与平面BCD 所成的角为π4B.AB =22C.与AB 所成的角是π3的棱共有16条 D.该半正多面体的外接球的表面积为6π20半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成(如图所示)，若它所有棱的长都为2，则()A.BC ⊥平面ABEB.该二十四等边体的体积为4023C.ME 与NP的夹角为60°D.该二十四等边体的外接球的表面积为16π21有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为2的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E 为线段BC 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是()A.该半正多面体的体积为163B.当点E 运动到点B 时，DE ⎳FGC.当点E 在线段BC 上运动时(包含端点)，AH 始终与DE 垂直D.直线DE 与平面AFHG 所成角的正弦值的取值范围为0,2222很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这是一个棱数24，棱长为22的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的．下列结论正确的有()A.该半正多面体的表面积为48+323B.AG⊥平面BCDGC.点B到平面ACD的距离为433D.若E为线段BC的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值为351023很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这是一个棱数为24，棱长为2的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得，则下列各选项正确的是()A.该半正多面体的体积为203B.A，C，D，F四点共面C.该半正多面体外接球的表面积为12πD.若点E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为12,2 224半正多面体亦称“阿基米德体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体．点A、B、C是该多面体的三个顶点，且棱长AB=2，则下列结论正确的是()A.该多面体的表面积为243B.该多面体的体积为4623C.该多面体的外接球的表面积为22πD.若点M是该多面体表面上的动点，满足CM⊥AB时，点M的轨迹长度为4+43三、填空题25很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为2的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若E 为线段BC 的中点，则直线DE 与直线AF 所成角的余弦值为.26“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为．27半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示.已知MN =1，若在该半正多面体内放一个球，则该球表面积的最大值为.28半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示.若点G 在直线BC 上，且BG =5BC,BC =1，则直线EF 与直线AG 所成角的余弦值为．29半正多面体(semiregularsolid )亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示)，若它的所有棱长都为2，则正确的序号是.①BF ⊥平面EAB ； ②AB 与PF 所成角为45°；③该二十四等边体的体积为203； ④该二十四等边体外接球的表面积为8π.30将棱长为12的正四面体沿棱长的三等分点处截去四个小正四面体后，所得的多面体称为阿基米德体，如图所示.若点N 在阿基米德体的表面上运动，且直线MN 与直线AB 始终满足MN ⊥AB ，则动点N 的轨迹所围成平面图形的面积是.四、双空题31半正多面体(又称作“阿基米德体”)，是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，其构成体现了数学的对称美．如图，这是一个棱数为24，棱长为2的半正14面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体沿共顶点的三条棱的中点截去八个相同的三棱锥所得，则这个半正多面体的体积为﹔若点E 为线段BC 上的动点，则直线DE 与平面AFG 所成角的正弦值的取值范围为32阿基米德多面体也称为半正多面体，是以边数不全相同的正多边形为面围成的多面体．如图，已知阿基米德多面体的所有顶点均是一个棱长为2的正方体各条棱的中点，则该阿基米德多面体的体积为；若M，N是该阿基米德多面体表面上任意两点，则M，N两点间距离的最大值为．33“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将一个棱长为2正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体的表面积为；其外接球的表面积为.34有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种成两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为2的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得，这个正多面体的表面积为.若点E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AF 所成角的余弦值的取值范围为.35如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体外接球表面上的动点，且总满足MN⊥AB，若AB=4，则该多面体的表面积为；点N轨迹的长度为．阿基米德多面体一、单选题1半正多面体亦称“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由八个正三角形和六个正方形构成的(如图所示)，则异面直线AB 与CF 所成的角为()A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】C【分析】依题意将图形放到正方体中，如图所示，由正方体的性质可得∠PQM 为异面直线AB 与CF 所成的角，即可得解；【详解】解：二十四等边体可认为是由正方体切去八个全等的三棱锥得到的，如图所示，可知AB ⎳PQ ，CF ⎳MQ ，所以∠PQM 为异面直线AB 与CF 所成的角，因为△PQM 是等边三角形，所以∠PQM =π3，故异面直线AB 与CF 所成的角为π3；故选：C2“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的表面积为()A.8πB.4πC.3πD.2π【答案】B【分析】将该多面体补形为正方体，得到经过该多面体的各个顶点的球为正方体ABCD-EFGH的棱切球，求出该正方体的边长，求出棱切球的半径，得到表面积.【详解】将该多面体补形为正方体，则由OR=1，AO=AR,AO⊥AR，所以由勾股定理得：AO=AR=22，所以正方体的边长为22×2=2，所以经过该多面体的各个顶点的球为正方体ABCD-EFGH的棱切球，所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为2×2=2，故过该多面体的各个顶点的球的半径为1，球的表面积为4π×12=4π.故选：B3半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体、它由八个正三角形和六个正方形围成(如图所示)，若它所有棱的长都为2，则下列说法错误的是()A.该二十四等边体的表面积为24+83B.QH⊥平面ABEC.直线AH与PN的夹角为60°D.该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E，满足关系式V+F-E=2【答案】B【分析】由三角形和正方形面积公式即可求出二十四等边体的表面积，线面垂直判定定理，利用平移求异面直线夹角，推理分析即可判断结果.【详解】对于A，S□ABCD=22=4，S△ABE=12×32×2×2=3，S表=6S□ABCD+8S△ABE=6×4+8×3=24+83，故A正确；对于B，由图可知QH⎳BF,BF⊥EB,但BF与AB和AE都不垂直，所以QH不可能与平面ABE垂直，故B错误；对于C，由图可知AH⎳AD，而直线AH与AD的夹角为60°，所以直线AH与PN的夹角为60°，故C正确；对于D，该半正多面体的顶点数为12、面数为14、棱数为24，满足12+14-24=2，故D正确；故选：B.4“阿基米德多面体”也称为半正多面体，半正多面体是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体．如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为40cm，则该阿基米德多面体的表面积为()A.4800+16003cm2 B.4800+48003cm2C.3600+36003cm2 D.3600+12003cm2【答案】A【分析】通过图形可知阿基米德多面体是由六个全等的正方形和八个全等的等边三角形构成，分别求解正方形和等边三角形面积，加和即可.【详解】由题意知：阿基米德多面体是由六个全等的正方形和八个全等的等边三角形构成，其中正方形边长和等边三角形的边长均为202+202=202；∴阿基米德多面体的表面积S=6×2022+8×12×202×202×32=4800+16003cm2.故选：A.5“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为()A.22B.1C.2D.22【答案】D【分析】将该多面体放在正方体中，利用空间向量的坐标运算，求出平面EFG 和平面GHK 的法向量，即可求平面EFG 和平面GHK 夹角的余弦值，进而可求解.【详解】将该“阿基米德多面体”放入正方体中，如图，平面EFG 和平面GHK 为有公共顶点的两个正三角形所在平面，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则E (1,0,2),F (2,1,2),G (2,0,1),H (2,1,0),K (1,0,0),设平面EFG 的法向量为m=(x ,y ,z ),EF =(1,1,0),EG =(1,0,-1),所以EF ⋅m=x +y =0EG ⋅m=x -z =0，令x =1,y =-1,z =1，所以m =(1,-1,1),设平面GHK 的法向量为n=(a ,b ,c ),GH =(0,1,-1),GK =(-1,0,-1),所以GH ⋅n=b -c =0GK ⋅n=-a -c =0，令a =1,b =-1,c =-1，所以n =(1,-1,-1),设平面平面EFG 和平面GHK 的夹角为θ，则cos <m ,n >=m ⋅n m ⋅n=13×3=13，因为平面EFG 和平面GHK 的夹角为锐角，所以cos θ=cos <m ,n > =13，所以sin θ=1-cos 2θ=223,tan θ=sin θcos θ=22，故选：D6如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”，它是一个24等边半正多面体．从它的棱中任取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率为()A.1023B.1223C.2969D.5069【答案】B【分析】分一条直线位置于上(或下)底面，另一条不在底面；两条直线都位于上下底面时；两条直线都不在上下底面时计数，再根据古典概型公式求解即可.【详解】解：当一条直线位置于上(或下)底面，另一条不在底面时，共有10×8=80对异面直线，当两条直线都位于上下底面时，有4×2=8对异面直线，当两条直线都不在上下底面时，有7×8=56对异面直线，所以，两条棱所在的直线为异面直线的概率为P=80+56+8C224=1223故选：B7半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．下图是棱长为2的正方体截去八个一样的四面体，得到的一个半正多面体，则下列说法错误的是()A.该半正多面体是十四面体B.该几何体外接球的体积为4π3C.该几何体的体积与原正方体的体积比为5∶6D.原正方体的表面积比该几何体的表面积小【答案】D【分析】由题意求该几何体的体积与表面积，由外接球的半径求体积，对选项逐一判断即得.【详解】由图可知该半正多面体的表面是由6个正方形和8个等边三角形构成，所以为十四面体，该半正多面体是十四面体，故A正确；该几何体外接球的球心为原正方体的中心，故外接球半径为1，外接球的体积为4π3，故B正确；对于C，该几何体的体积V=V正方体-8V四面体=(2)3-8×13×12×12×22=523，正方体体积为22，故该几何体的体积与原正方体的体积比为5∶6，故C正确；对于D，该几何体有6个面为正方形，8个面为等边三角形，S表=6×12+8×34×1=6+23<12，即原正方体的表面积比该几何体的表面积大，故D 错误．故选：D ．8“阿基米德多面体”这称为半正多面体(semi -regularsolid )，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知AB =322，则该半正多面体外接球的表面积为()A.18πB.16πC.14πD.12π【答案】A【分析】根据正方体的对称性可知：该半正多面体外接球的球心为正方体的中心O ，进而可求球的半径和表面积.【详解】如图，在正方体EFGH -E 1F 1G 1H 1中，取正方体、正方形E 1F 1G 1H 1的中心O 、O 1，连接E 1G 1,OO 1,OA ,O 1A ，∵A ,B 分别为E 1H 1,H 1G 1的中点，则E 1G 1=2AB =32，∴正方体的边长为EF =3，故OO 1=O 1A =32，可得OA =OO 21+O 1A 2=322，根据对称性可知：点O 到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为O ，半径R =OA =322，故该半正多面体外接球的表面积为S =4πR 2=4π×3222=18π.故选：A .9中国有悠久的金石文化，印信是金石文化代表之一，印信的形状多为长方体､正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，古希腊著名数学家阿基米德研究过此类多面体的性质，故半正多面体又被称为“阿基米德多面体”.半正多面体体现了数学的对称美，如图，是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个。

2023-2024学年高考数学专项复习——三角函数与解三角形(含答案)

决胜3．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.ABC A B C a b c 23a c b +=3A C π-=(1)求；cos B (2)若，求的面积.5b =ABC 4．设()()()()πsin 2πcos 2cos sin πf ααααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=---(1)将化为最简形式；()f α(2)已知，求的值．()3f θ=-()sin 1sin2sin cos θθθθ++5．已知函数．()π1sin 232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(1)求函数的单调递增区间，并解不等式；()f x ()0f x ≥(2)关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取x 11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x m 值范围及的值．()12f x x +6．已知角为第四象限角，且角的终边与单位圆交于点.αα1,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求的值；sin α(2)求的值.()πtan sin 2sin cos παααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+7．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点xOy αOx ．(),P x y (1)若，求及的值；255y =tan α7sin 2cos sin 4cos αααα+-(2)若，求点P 的坐标．sin 11cos 2αα=-(1)若，求；3BC =ADCD (2)若，求线段的长11cos 14A =AD(1)求函数在区间上的最大值和最小值；()f x ππ[,]64-(2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值．5()()4g x f x =-π(0,)212,x x 12cos()x x -11．在中，，点D 在AB 边上，且为锐角，，的面积为ABC 25BC =BCD ∠2CD =BCD △4.(1)求的值；cos BCD ∠(2)若，求边AC 的长.30A =︒12．记三个内角的对边分别为，已知为锐角，ABC ,,A B C ,,a b c B ．sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=(1)求；()sin A C -(2)求的最小值．sin sin A B 13．已知函数且的最小正周期为．()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π(1)求函数的单调递减区间；()f x (2)若，求x 的取值范围．()22f x ≤14．已知函数在上单调递增．()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(1)求的取值范围：ω(2)当取最大值时，将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来ω()f x π9的3倍，得到的图象，求在内的值域．()g x ()g x ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．在中，角所对的边分别为，已知．ABC ,,A B C ,,a b c sin cos cos cos cos sin sin A B C B C A B +=--(1)求；C (2)若外接圆的半径为，求的面积最大值．ABC 233ABC 16．已知函数.()()πe e sin ,32x xf x xg x --==(1)若，求；321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且()()ln h x x f x =+()h x ()0,∞+0x .()()034g f x >-17．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终xOy αO x 边与单位圆交于第三象限点.525,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(1)求的值；sin cos αα-(2)若角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与单位圆交于点，求点的坐标.αO π2Q Q 18．设函数，且．2()2cos 23sin cos (0)f x x x x m ωωωω=++>(0)1f =(1)求的值；m (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求()f x 的值及的零点．ω()f x 条件①：是奇函数；()f x 条件②：图象的两条相邻对称轴之间的距离是；()f x π条件③：在区间上单调递增，在区间上单调递减．()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，0按第一个解答计分．答案：1．(1)1-(2)12-【分析】（1）根据点坐标求得.P tan α（2）根据点坐标求得，利用诱导公式求得正确答案.P sin ,cos αα【详解】（1）即，3π,cos π3sin 44P ⎛⎫ ⎪⎝⎭22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以.22tan 122α-==-（2）由（1）得，所以，22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭22222sin 22222α-==-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22222cos 22222α==⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1617πsin πsin πsin sin 808π22αααα⎛⎫⎛⎫-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin sin sin cos 2αααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.221222⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭2．(1)，1tan 7α=1tan 3β=(2)π4【分析】（1）先根据同角三角函数平方关系求出，再根据商数关系和两角和正切公式cos α化简得结果；（2）根据二倍角公式得，，再根据两角和余弦公式得，最后根据sin 2,cos 2ββ()cos 2αβ+范围求结果.【详解】（1）因为为锐角，，所以，,αβ2sin 10α=272cos 1sin 10αα=-=所以，2sin 110tan cos 77210ααα===又因为，所以，tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-1tan 3β=（2）因为为锐角，，所以，解得，,αβ1tan 3β=22sin 1cos 3sin cos 1ββββ⎧=⎪⎨⎪+=⎩10sin 10310cos 10ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，sin 22sin cos 103103101052βββ==⨯=⨯，24cos 212sin 5ββ=-=所以，()724232cos 2cos cos 2sin sin 21051052αβαβαβ+=-=⨯-⨯=又因为为锐角，所以，,αβ3π022αβ<+<所以.π24αβ+=3．(1)78(2)111512【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理化为，结合23a c b +=sin sin 23sin A C B +=已知条件，有，，代入解三角形即可.3A C π-=32B C π=-232B A π=-sin sin 23sin A C B +=（2）根据（1）终结论，利用余弦定理，结合，，解得，利用面5b =23a c b +=443ac =积公式即可求得面积为.11115sin 212ABC S ac B ==△【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，23a c b +=sin sin 23sin A C B +=因为，且，所以，，3A C π-=A B C π++=32B C π=-232B A π=-所以2sin sin 23sin 3232B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，22sin cos cos sin sin cos cos sin 23sin 32323232B B B B B ππππ-+-=所以，所以，3cos 23sin 2B B =cos 4sin cos 222B B B =因为，所以，所以；022B π<<1sin 24B =27cos 12sin 28B B =-=（2）由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-即，得，得，()27524a c ac ac =+--()2155234b ac =-443ac =因为，所以，所以7cos 8B =15sin 8B =11115sin 212ABC S ac B ==△4．(1)tan α-(2)65【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，结合同角三角函数的商式关系，可得答案；（2）利用正弦函数的二倍角公式以及同角三角函数的平方式，整理齐次式，可得答案.【详解】（1）.()()()()πsin 2πcos sin sin 2tan cos sin πcos sin f αααααααααα⎛⎫++ ⎪-⎝⎭===----（2）由，则，()tan 3f θθ=-=-tan 3θ=，()()()()()22222sin 1sin2sin (sin cos )tan (tan 1)sin cos sin cos sin cos tan 1tan 1θθθθθθθθθθθθθθθ+++==+++++.()()2223(31)34641053131⨯+⨯===⨯+⨯+5．(1)答案见解析(2)(()1212,3,2f x x ⎤--+=-⎦【分析】（1）由题意分别令，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，解不等式即可得解.ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈（2）由题意得在上有两个不相等的实数解，结合三角()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 函数单调性、最值即可求出的取值范围，结合对称性代入求值即可得的值.m ()12f x x +【详解】（1）由题意令，解得，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈π5πππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈即函数的单调递增区间为，()f x ()π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令，所以，()π1sin 2032f x x ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭π1sin 232x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭所以，解得，ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈所以不等式的解集为.()0f x ≥()π7ππ,π,Z 412k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意即，11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 032m x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 当时，，而在上单调递减，在上单[]0,πx ∈ππ2π,333t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦2sin y t =-ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦调递增，所以当即时，，ππ32t x =-=5π6x =()min 2g x =-当即时，，ππ33t x =-=-0x =()max 3g x =又即时，，π2π33t x =-=πx =()3g x =-所以若在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 则实数的取值范围为，m (2,3⎤--⎦因为，所以是的对称轴，()min 5π26g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭5π6x =()g x所以.()125π5ππ112sin 263322f x x f ⎛⎫⎛⎫+=⨯=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．(1)223-(2)3-【分析】（1）将点代入单位圆后结合任意角三角函数定义求解即可.（2）利用诱导公式化简求值即可.【详解】（1）在单位圆中，解得，22113y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭223y =±因为第四象限角，所以α223y =-22sin 3α∴=-（2）第四象限角22sin ,3αα=-1cos 3α∴=.()πtan sin 123sin cos πcos ααααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴=-=-+7．(1)，；2-2(2).34(,)55-【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标及，再利用齐次式法计算即得.P tan α（2）利用同角公式，结合三角函数定义求解即得.【详解】（1）角以Ox 为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，α(),P x y 当时，，则，255y =22551()55x =--=-tan 2y x α==-所以．7tan 27(2)227ta 4sin 2cos sin 42c 4os n αααααα+⨯-++==---=-（2）依题意，，sin 0,cos 0αα><由，得，代入，sin 11cos 2αα=-cos 12sin αα=-22sin cos 1αα+=于是，解得，22sin (12sin )1αα+-=2sin ,cos 1sin 5543ααα==--=-即，所以点P 的坐标为．34,55x y =-=34(,)55-8．(1)；π3A =(2)．2AD =【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换求解；（2）设，利用由余弦定理求得，从而由正弦定理求得AD x =πADB ADC ∠+∠=cos ADB ∠（用表示），再代入余弦定理的结论中求得值．AC x x 【详解】（1）由正弦定理及已知得2cos cos cos 2c a A B b A =-，sin 2sin cos cos sin cos 2sin 2cos sin cos 2sin(2)C A A B B A A B B A A B =-=-=-或，C 2A B =-2πC A B +-=又，所以，A B ≤22πC A B C B B C B +-≤+-=+<所以，从而，所以；C 2A B =-2πB C A A +==-π3A =（2）由余弦定理得，，2222cos AB BD AD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC CD AD AD CD ADC =+-⋅∠又是角平分线，所以，又，则，记，因为AD 2AC CD AB BD ==3a =2,1CD BD ==AD x =，πADB ADC ∠+∠=所以，所以，2244cos 412cos x x ADC x x ADC +-∠=++∠cos 4x ADC ∠=-，则，0πADC <∠<2sin 116x ADC ∠=-由正弦定理得，sin sin AC CD ADC CAD =∠∠所以，222116π16sin 6x AC x =⋅-=-所以，解得，即．221644()4x x x x -=+-⋅-2x =2AD =9．(1)263(2)677【分析】（1）利用正弦定理及其余弦定理求解；（2）利用三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为平分，，故，AD BAC ∠3AB BC ==2C BAC θ∠=∠=在中，由正弦定理知：，ADC △sin sin 22cos sin sin AD ACD CD DAC θθθ∠===∠由余弦定理有，2222223231cos 2cos 22323CA CB BA C CA CB θ+-+-====⋅⨯⨯又因为，所以,21cos 22cos 13θθ==-6cos 3θ=即；262cos 3AD CDθ==（2）由，得，则，11cos 14A =11cos 214θ=cos 2157cos 214θθ+==又由，()11sin 2sin 22ABC ABD ACD S AB AC S S AB AC AD θθ=⋅=+=+△△△得.()sin 21267cos sin 57AB AC AD AB AC θθθ⋅===+10．(1)最大值和最小值分别为；2,1-(2).58【分析】（1）求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质求解即得.()f x （2）利用余弦函数图象的对称性，结合诱导公式计算.12cos()x x -【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得，()f x π2ππω=π2,()2cos(2)3x f x ω==-当时，，则当，即时，，ππ[,]64x ∈-π2ππ2[,]336x -∈-π2π233x -=-π6x =-min ()1f x =-当，即时，，π203x -=π6x =max ()2f x =所以函数在区间上的最大值和最小值分别为.()f x ππ[,]64-2,1-（2）()2222252cos 25222525BD BC CD BC CD BCD =+-⨯∠=+-⨯⨯⨯，故，204816=+-=4BD =有，故，22216420BD CD BC +=+==CD AB ⊥则，即.21sin sin 302CD A AC AC ==︒==4AC =12．(1)；()sin 1A C -=(2)无最小值；【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得，结合为锐角可得，所sin cos A C =B π2A C =+以；()sin 1A C -=（2）利用诱导公式可得，再由导数判断出在3sin sin 2sin sin A B A A =-()32f t t t =-上单调递增，可得无最小值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭sin sin A B 【详解】（1）因为，sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=由正弦定理得，2222sin a b c ab A +-=由余弦定理可得，2222cos a b c ab C +-=所以可得，解得或；sin cos A C =π2A C =-π2A C =+又为锐角，所以（舍），即，B π2A C =-π2A C =+因此；()πsin sin12A C -==（2）结合（1）中，又可得：π2A C =+πA B C ++=；33πsin sin sin sin 2sin cos 22sin sin 2A B A A A A A A ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭令，则，sin t A =()3sin sin 2A B f t t t ==-又为锐角，，所以，B 3ππ20,22A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π3π24A <<可得，212t <<所以，当时，恒成立，()261f t t '=-212t <<()2610f t t '=->即可得为单调递增，()32f t t t =-所以时，，所以无最值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭()()0,1f t ∈()f t 因此无最小值；sin sin A B 13．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据最小正周期为求得，求出单调递减区间；π=1ω±（2）根据写出x 的取值范围．()22f x ≤【详解】（1）因为的周期为，()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π故，所以.2ππ2ω==1ω±当时，，=1ω()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，得到，ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+π7πππ1212k x k +≤≤+故的递减区间为.()f x π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦当时，，1ω=-()ππsin 2sin 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，得到πππ2π22π232k x k -+≤-≤+π5πππ1212k x k -+≤≤+故的递减区间为.()f x π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，，=1ω()π2sin 232f x x ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭所以，5πππ2π22π434k x k -+≤+≤+解得.19ππππ,Z 2424k x k k -+≤≤-+∈当时，，1ω=-()ππ2sin 2sin 2332f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，π2sin 232x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以，ππ5π2π22π434k x k -+≤-≤+解得.π19πππ2424k x k +≤≤+综上：当时，；=1ω19ππππ2424k x k -+≤≤-+当时，.1ω=-π19πππ,Z 2424k x k k +≤≤+∈14．(1)302ω<≤(2)260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题设条件，列出不等式，求解即可.,32πππ4π2ωω-≥-≤（2）根据函数图像平移变换，写出函数，再结合区间和三角函数性质求1π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭出值域.【详解】（1）由，得，ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦又函数在上单调递增，()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以，解得,32πππ4π2ωω-≥-≤32ω≤因为，所以．0ω>302ω<≤（2）由（1）知的最大值为，此时，ω323()sin 2f x x =根据题意，，31π1π()sin sin 23926g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当时，．ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1πππ02664x ≤+≤+所以，故值域为．ππ260()sin 644g x +⎛⎫≤≤+= ⎪⎝⎭260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦15．(1)π3C =(2)3【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换计算即可．（2）利用正余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算即可.【详解】（1）由已知可得：，222sin sin sin cos cos A A B B C -=-∴，()222sin sin sin 1sin 1sin A A B B C -=---∴，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=根据正弦定理可知：，222a b c ab +-=∴．2221cos 22a b c C ab +-==又．π(0,π),3C C ∈∴=（2）∵外接圆的半径为，ABC 233r =∴，解得．432sin 3c r C==2c =又由（1）得，222a b c ab +-=故，∴，当且仅当时等号成立22424a b ab ab +-=≥-4ab ≤2a b ==∴，13sin 324ABC S ab C ab ==≤△∴的面积最大值为．ABC 316．(1)23(2)证明见解析【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求得.πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在()h x x ()h x 上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等()0,∞+0x()()0g f x 式成立.()()034g f x >-【详解】（1）由，则，321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π2sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以32π2sin π3f αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.ππ2sin πsin 333αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）证明：由题意得.()πln sin 3h x x x =+①当时，，所以单调递增.30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ππ0,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()h x 又，由于，而，1πsin ln226h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π1sin 62=1ln2ln e 2>=所以.又，102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭()3102h =>所以由零点存在定理得在内有唯一零点，使得.()h x 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦0x ()00h x =当时，，所以，则在上无零点；3,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦πln 0,sin 03x x >≥()0h x >()h x 3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦当时，，所以，则在上无零点.()3,x ∈+∞πln 1,1sin 13x x >-≤≤()0h x >()h x ()3,+∞综上，在上有且仅有一个零点.()h x ()0,∞+0x ②由①得，且，0112x <<()00ln 0x f x +=则.()()()()00000011ln ,ln 2f x x g f x g x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭由函数的单调性得函数在上单调递增，()000112x x x ϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭则，()01324x ϕϕ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭故.()()034g f x >-求解已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式等三角恒等变换的公式来进行求解.判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断.17．(1)55-(2)255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解；（2）利用诱导公式求出旋转后的角的三角函数值即可.【详解】（1）由三角函数的定义可得，5sin c 5o 255s αα-=-=，所以；5s 5in 5c 2os 555αα⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭-=-（2）角的终边绕原点O 按逆时针方向旋转，得到角，απ2π2α+则，，π5sin cos 25αα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭π25cos sin 25αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭所以点Q 的坐标为.255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18．(1)1m =-(2)选择①，不存在；选择②，，；选择③，，12ω=ππ,Z 6k k -+∈1ω=ππ,Z 122k k -+∈【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解；(0)1f =（2）根据奇函数性质、三角函数图象的性质以及三角函数的单调性，即可逐个条件进行判断和求解.【详解】（1）2()2cos 23sin cos f x x x x m ωωω=++，πcos 23sin212sin 216x x m x m ωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭又，所以.1(0)2112f m =⨯++=1m =-（2）由（1）知，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭选择①：因为是奇函数，()f x 所以与已知矛盾，所以不存在.()00f =()f x 选择②：因为图象的两条相邻对称轴之间的距离是，()f x π所以，，，π2T =2πT =2π21T ω==12ω=则，()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，()π2sin 06f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得.ππ,Z 6k x k -+∈=即零点为.()f x ππ,Z 6k k -+∈选择③：对于，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>令，，πππ2π22π,Z 262k x k k ω-+≤+≤+∈ππ3π2π22π,Z 262k x k k ω+≤+≤+∈解得，，ππππ,Z 36k k x k ωωωω-+≤≤+∈ππ2ππ,Z 63k k x k ωωωω+≤≤+∈即增区间为，()f x ππππ,,Z 36k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦减区间为，()f x ππ2ππ,,Z 63k k k ωωωω⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以时符合，0k =即在上单调递增，在上单调递减，()f x ππ,36ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,63ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以且，π03ππ66ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩2ππ33ππ66ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得，则，1ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以令，()π2sin 206f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得，ππ,Z 122k x k =-+∈即零点为.()f x ππ,Z 122k k -+∈。

新教材人教A版高中数学选择性必修第一册专题训练：直线与圆综合大题分层练习题含答案解析

8.直线与圆综合大题基础过关练 ....................................................................................................................... 1 能力提升练 ....................................................................................................................... 9 培优拔尖练 (16)基础过关练1.由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB 切点分别为A 、B ，若120APB ∠=︒，则动点P 的轨迹方程为__________．【答案】2243x y +=【详解】∵120APB ∠=︒，180120302BAP ︒-︒∠==︒，903060OAB ∠=︒-︒=︒，∵1OA OB r ===，∴OAB 是等边三角形，cos30r OP ==︒为定值，∴P 点轨迹方程为22243x y +==⎝⎭． 2.在平面直角坐标系xOy 中，点Q 为圆M ：22(1)(1)1x y -+-=上一动点，过圆M 外一点P向圆M 引-条切线，切点为A ，若|P A |=|PO |，则||PQ 的最小值为（）A 1B 1C 1D 1 【答案】C【分析】利用|P A |=|PO |，两点间距离公式，以及勾股定理得出=可得点P 在直线2210x y +-= 上，将||PQ 的最小值转化为圆心到直线的距离减去半径求解.【详解】设()00,P x y =所以00221x y +=，设圆心到直线2x +2y =1的距离为d ，4d == ，则有PQ 1d r ≥-.故选：C 3.已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：2(2)x +＋22(y )+＝2r (r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅取得最小值时点Q 的坐标；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．【答案】（1）222x y +=；（2）(11)Q --，；（3）平行，理由见解析.【分析】（1）利用对称性，求出圆心坐标，即可求出圆C 的方程；（2）用坐标表示两个向量的数量积，化简后再利用三角函数知识即可求出向量的最小值，进而求得点Q 的坐标；（3）设出直线PA 和PB 的方程，将它们分别与圆C 的方程联立，得到A 点和B 点的坐标，得到AB k ，再与OP k 进行对比，即可得出结论.【详解】（1）设圆心()C a b ，，由题意得222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩ 则圆C 的方程为222x y r +=，将点1(1)P ，代入方程得：2=2r ∴圆C 的方程为222x y += （2）设()Q x y ，，则222x y +=22(11)(22)42PQ MQ x y x y x y x y x y ⋅=--⋅++=+++-=+-，，令x θ，y θ=∴2cos 22sin()24PQ MQ πθθθ⋅=+-=+-∴当2,42k k Z ππθπ+=-∈时，2sin()24πθ+=-，即PQ MQ ⋅取得最小值4-∴1x =-，1y =-∴()11Q --，（3）由题意，直线PA 和PB 的斜率存在且互为相反数故可设PA ：1(x 1)y k -=-，PB ：1(1)y k x -=--由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--=点P 的横坐标一定是该方程的解 ∴22211A k k x k --=+，同理22211B k k x k +-=+(1)(1)2()1B A B A B A AB B A B A B Ay y k x k x k k xx k x x x x x x ------+====---1OP k =∴AB OP k k =∴直线AB 和OP 一定平行.4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)1C x y ++=，圆222:(3)(4) 1.C x y -+-=设动圆C 同时平分圆1C ､圆2C 的周长.(1)求证：动圆圆心C 在一条定直线上运动.(2)动圆C 是否经过定点⋅若经过，求出定点的坐标;若不经过，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)过定点，定点的坐标为1222⎛-- ⎝⎭和1222⎛++ ⎝⎭ 【分析】（1）由题意，圆心C 到1C ､2C 两点的距离相等，由此结合两点间的距离公式建立关系式，化简整理得30x y +-=，即为所求定直线方程；（2）根据题意设(,3)C m m -，得到圆C 方程关于参数m 的一般方程形式，利用恒过点，即可得到动圆C 经过的定点坐标.（1）解：设圆心(,)C x y ，由题意，得12CC CC =化简得30x y +-=，即动圆圆心C 在定直线30x y +-=上运动.（2）解：圆C 过定点，设(,3)C m m -，则动圆C=于是动圆C 的方程为2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-，整理得22622(1)0x y y m x y +----+=.联立方程组2210620x y x y y -+=⎧⎨+--=⎩，解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以动圆C过定点，定点的坐标为1222⎛-- ⎝⎭，和1222⎛++ ⎝⎭. 5.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y ++=和圆22:1O x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ． (1)若PA PB ⊥，求点P 的坐标；(2)设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若有在，求出点T ；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()1,1--(2)存在11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得线段TQ 长为定值.【分析】（1）求得OP ，由此求得P 的坐标.（2）求得Q 点坐标，判断出Q 点的轨迹，由此求得T 点坐标. (1)圆O 的圆心为()0,0O ，半径为1r =.当PA PB ⊥时，OPA 是等腰直角三角形，且2PAO π∠=，所以OP ==而原点()0,0O 到直线:20l x y ++=的距离d =直线l 的斜率为1-，所以直线OP 的斜率为1，直线OP 的方程为y x =，由()1,120y xP x y =⎧⇒--⎨++=⎩. (2)设(),2P t t --，对于直线OP ，()()2020t y x t t x ty t --=≠⇒++=，0=t 上式也符合.所以直线OP 的方程为()20t x ty ++=.22221243PA OP t t =-=++，所以以P 为圆心，PA 为半径的圆的方程为()()2222243x t y t t t -+++=++，化简得()2222210x y tx t y +-+++=，由()22222221010x y tx t y x y ⎧+-+++=⎨+-=⎩，两式相减并化简得直线AB 的方程为()210tx t y -+-=，由()()222102,20244244tx t y t t Q t x ty t t t t ⎧-+-=--⎪⎛⎫⇒⎨ ⎪++=++++⎝⎭⎪⎩，由于22221211244424448t t t t t t --⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，所以Q 点的轨迹方程为22111448x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即Q 点在以11,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，半径为==.所以存在11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使TQ . 6.已知1,04A ⎛⎫⎪⎝⎭，点B 是y 轴上的动点，过B 作AB 的垂线l 交x 轴于点Q ，若()2,4,0AP AQ AB M +=uu u r uuu r uu u r.(1)求点P 的轨迹方程；(2)是否存在定直线x a =，以PM 为直径的圆与直线x a =的相交弦长为定值，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2y x =(2) 存在定直线154x =，以PM 为直径的圆与直线154x =【分析】（1）设()0,B t ，根据直角三角形中的关系可得()24,0Q t -，再设(),P x y ，根据2AP AQ AB +=uu u r uuu r uu u r 列式可得24,2x t y t ==，进而得到方程即可；（2）设()2,P p p ，求得以PM 为直径的圆的方程，再代入x a =可得弦长的表达式2p 的系数为0求解即可【详解】(1)设()0,B t ，(),0Q m ，根据直角三角形中的关系有214t m =，因为0m ≤故24m t =-，故()24,0Q t -，设(),P x y ，则1,4AP x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u r ，214,04AQ t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭uuur ，12,22AB t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u r ，2AP AQ AB +=uu u r uuu r uu u r ，故2111,4,0,2442x y t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故24,2x t y t ==，故点P 的轨迹方程为2y x =(2)由(1)，点P 的轨迹方程是2y x =；设()2,P p p ，因为()4,0M ，则以PM 为直径的圆的方程为()()()240y p y x px -+--=，当x a =时，()()2240ypy a p a -+--=，设以PM 为直径的圆与直线x a =的交点为()()120,,0,y y ，则以PM 为直径的圆与直线x a =的相交弦长为12y y -=154a =时相交弦长为定值故存在定直线154x =，以PM 为直径的圆与直线154x =的相交弦长为7.已知圆C 过坐标原点O 和点(A ，且圆心C 在x 轴上. (1)求圆C 的方程： (2)设点()10,0M -.①过点M 的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求当PCQ △的面积最大时直线l 的方程； ②若点T 是圆C 上任意一点，试问：在平面上是否存在点N ，使得32TM TN =.若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)22(4)16x y -+=；(2)①1002x y ++=或100x y +=；②不存在，理由见解析.【分析】（1）设圆心(,0)C a a ，进而得到圆的方程；（2）①利用三角形的面积结合基本不等式，可知PCQ △的面积最大时，圆心到直线的距离为d ，设直线l 方程，利用点到线的距离公式求解即可； ②假设存在(,)N m n ，由32TM TN =，结合点(,)T x y 在圆上，可得到方程22(1840)18994000m x ny m n ++--+=，利用待定系数法求解,m n ，即可判断.（1）因为圆C 过坐标原点()0,0O 和点(A ，且圆心C 在x 轴上，设圆心(,0)C a =4a =所以圆心(4,0)C ，半径4r =故圆C 的方程为22(4)16x y -+=（2）①设圆心到直线的距离为d ，则PQ ==22116822PCQd d SPQ d -+∴=⋅⋅=≤=，当且仅当2216d d -=，即d =等号成立，设直线l 的方程为10x my =-，则圆心到直线的距离d ==m =所以直线l 的方程为10x y =-，即1002x y ++=或100x y += ②假设存在(,)N m n ，(,)T x y ，由32TM TN =，知2294TM TN =代入得22229(10)()()4x y x m y n ⎡⎤++=-+-⎣⎦ 化简整理得222255(1880)18994000x y m x ny m n +-+-++-=又点T 在圆上，2280x x y ∴-+=，则22(1840)18994000m x ny m n ++--+=所以2218400180994000m n m n +=⎧⎪=⎨⎪--+=⎩解得0n =，但m 无解，所以不存在点N ，使得32TM TN =8.圆C ：22(3)1x y +-=，点(,0)P t 为x 轴上一动点，过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为M ，N .（1）若1t =，求切线方程；（2）若两条切线PM ，PN 与直线1y =分别交于A ，B 两点，求ABC 面积的最小值. 【答案】（1）4340x y +-=或1x =；（2）2. 【分析】（1）设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解；（2）利用（1）的方法，当切线斜率都存在时，设出直线方程，利用点到直线的距离公式可得到k 的二次方程，结合根与系数关系，用含k 的式子去表示|AB |，可得最值，当切线斜率有一个不存在是，也可求出|AB |，综合可得|AB |的最小值，进而可得ABC 面积的最小值. 【详解】解：（1）当切线斜率存在时，可设切线方程为y ＝k （x -1），即kx -y -k ＝0，则圆心C到切线的距离1d =，解得43k =-，当切线斜率不存在时，直线1x =也符合题意故所求切线方程为()413y x =--或1x =，即4340x y +-=或1x =；（2）当两条切线斜率都存在，即1t ≠±时，设切线方程为(),0y k x t k =-≠，即kx -y -kt ＝0，PM ，PN 的斜率为12,k k ，故圆心C到切线的距离1d ==，得()221680t k kt -++=，∴12122268,11t k k k k t t +=-=--，在切线方程中令y ＝1可得1x t k=+，故1212122111AB x x t t k k t ⎛⎫⎛⎫=-=+-+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-。

高二数学数列专题练习题(含答案)

高中数学《数列》专题练习1．n S 与n a 的关系：11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩ ，已知n S 求n a ，应分1=n 时1a = ；2≥n 时，n a = 两步，最后考虑1a 是否满足后面的n a .2.等差等比数列数列通项公式求法。

（）定义法（利用等差、等比数列的定义）；（）累加法（3）累乘法（n n n c a a =+1型）；(4)利用公式11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩；(5)构造法（b ka a n n +=+1型）(6) 倒数法等4.数列求和（1）公式法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）裂项求和法；（5）倒序相加法。

5. n S 的最值问题：在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a的项数m 使得m S 取最大值. (2)当 0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a的项数m 使得m S 取最小值。

也可以直接表示n S ，利用二次函数配方求最值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

6.数列的实际应用现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题，常考虑用数列的知识来解决.训练题一、选择题1.已知等差数列{}n a 的前三项依次为1a -、1a +、23a +，则2011是这个数列的 (B )A.第1006项B.第1007项C. 第1008项D. 第1009项2.在等比数列}{n a 中，485756=-=+a a a a ，则10S 等于（A ） A ．1023 B ．1024 C ．511 D ．5123.若{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝( )A ．－2B ．－12 C.12 D ．2答案 B解析由等差中项的定义结合已知条件可知2a 4＝a 5＋a 3，∴2d ＝a 7－a 5＝－1，即d ＝－12.故选B.4.已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12,a 4+a 6=－4,则S 20为( A )A.180B.－180C.90D.－905．已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为（ A ） A ．21-B ．23-C ．21D ．236．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3答案 D解析由等比数列性质可知a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，所以得a 7＝3，又a 29a 11＝a 7a 11a 11＝a 7，故选D.7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 5＝12S 5，且a 9＝20，则S 11＝( )A ．260B ．220C ．130D ．110答案 D解析 ∵S 5＝a 1＋a 52×5，又∵12S 5＝a 1＋a 5，∴a 1＋a 5＝0.∴a 3＝0，∴S 11＝a 1＋a 112×11＝a 3＋a 92×11＝0＋202×11＝110，故选D. 8．各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 009等于A ．0B ．2C ．2 009D ．4 018答案 D解析各项均不为零的等差数列{a n }，由于a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则a 2n －2a n ＝0，a n ＝2，S 2 009＝4 018，故选D.9．数列{a n }是等比数列且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于A ．5B ．10C ．15D ．20答案 A解析由于a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，所以a 2·a 4＋2a 3·a 5＋a 4·a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25.所以a 3＋a 5＝±5.又a n >0，所以a 3＋a 5＝5.所以选A. 10．首项为1，公差不为0的等差数列{a n }中，a 3，a 4，a 6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是( )A ．8B ．－8C ．－6D ．不确定答案 B解析 a 24＝a 3·a 6⇒(1＋3d )2＝(1＋2d )·(1＋5d ) ⇒d (d ＋1)＝0⇒d ＝－1，∴a 3＝－1，a 4＝－2，∴q ＝2. ∴a 6＝a 4·q ＝－4，第四项为a 6·q ＝－8.11.在△ABC 中，tan A 是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以31为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是(B )A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.非等腰的直角三角形12.记等差数列{}n a 的前项和为n s ，若103s s =，且公差不为0，则当n s 取最大值时，=n （）CA ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．7或813.在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 2 011＝－2 011，a 1 007＝3，则S 2 012的值为A ．1 006B ．－2 012C ．2 012D ．－1 006答案 C解析方法一设等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意可得， ⎩⎪⎨⎪⎧S 2 011＝2 011a 1＋2 011× 2 011－12d ＝－2 011，a 1 007＝a 1＋1 006d ＝3，即⎩⎨⎧ a 1＋1 005d ＝－1，a 1＋1 006d ＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝－4 021，d ＝4.所以，S 2 012＝2 012a 1＋2 012× 2 012－12d ＝2 012×(－4 021)＋2 012×2 011×2 ＝2 012×(4 022－4 021)＝2012. 方法二由S 2 011＝2 011a 1＋a 2 0112 ＝2 011a 1 006＝－2 011，解得a 1 006＝－1，则S 2 012＝2 012a 1＋a 2 0122＝2 012a 1 006＋a 1 0072＝2 012×－1＋32＝2 012. 14．设函数f (x )满足f (n ＋1)＝2f n ＋n2(n ∈N *)，且f (1)＝2，则f (20)＝( ) A ．95 B ．97 C ．105 D ．192答案 B解析 f (n ＋1)＝f (n )＋n 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f20＝f 19＋192，f 19＝f 18＋182，……f 2＝f 1＋12.累加，得f (20)＝f (1)＋(12＋22＋…＋192)＝f (1)＋19×204＝97.15.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1)1log 2+=+n S n （，则通项公式为（B ）A.)(2*N n a n n ∈= B. ⎩⎨⎧≥==)2(2)1(3n n a nn C. )(2*1N n a n n ∈=+ D. 以上都不正确16.一种细胞每3分钟分裂一次，一个分裂成两个，如果把一个这种细胞放入某个容器内，恰好一小时充满该容器，如果开始把2个这种细胞放入该容器内，则细胞充满该容器的时间为（ D ）A ．15分钟B ．30分钟C ．45分钟D ．57分钟二、填空题17.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1,a 3=3,则S 4= 8. 18.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=21，S 4=20，则S 6= . 4819.在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若64n a =，则n 的值为．7 20.设等比数列{a n }的公比q=2,前n 项和为S n ,则24a S = .21512．数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 100b 100＝________. 答案 199299解析 a 100b 100＝a 1＋a 1992b 1＋b 1992＝S 199T 199＝199299.21.数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥则{}n a 的通项公式解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列∴13n n a -=22.已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为________．答案 4解析设等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a 23＝a 2·a 4＝4.又a 3>0，因此a 3＝a 1q 2＝2，a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝12，由此解得q ＝12，a 1＝8，a n ＝8×(12)n －1＝24－n ，a n ·a n ＋1·a n ＋2＝29－3n.由于2－3＝18>19，因此要使29－3n>19，只要9－3n ≥－3，即n ≤4，于是满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为4. 23.等比数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q 等于________．答案－12解析因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝31－3232＝－132，即q 5＝(－12)5，所以q ＝－12.三、解答题24.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 1【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==，所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。

高中数学数列经典题型专题训练试题(含答案)

高中数学数列经典题型专题训练试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分100分。

考试时间120分钟。

２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。

考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）一．单选题（共15小题，每题2分，共30分）1．数列{a n}，已知对任意正整数n，a1+a2+a3+…+a n=2n-1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（2n-1）2B．C．D．4n-12．若{a n}为等比数列a5•a11=3，a3+a13=4，则=（）A．3B．C．3或D．-3或-3．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7C．6D．4．等差数列{a n}中，a1=1，a3=4，则公差d等于（）A．1B．2C．D．5．数列的前n项和为S n，a n=，则S n≥0的最小正整数n的值为（）6．若数列{a n}的前n项和S n=2n2-2n，则数列{a n}是（）A．公差为4的等差数列B．公差为2的等差数列C．公比为4的等比数列D．公比为2的等比数列7．已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1，则此数列奇数项的前n项和为（）A．B．C．D．8．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2B．-2C．3D．-39．在数列{a n}中，a1=2，a2=2，a n+2-a n=1+（-1）n，n∈N*，则S60的值为（）A．990B．1000C．1100D．9910．若数列{a n}是公差为2的等差数列，则数列是（）A．公比为4的等比数列B．公比为2的等比数列C．公比为的等比数列D．公比为的等比数列11．在数列{a n}中，a1=0，a n=4a n-1+3，则此数列的第5项是（）A．252B．255C．215D．52212．数列{a n}、{b n}满足a n•b n=1，a n=n2+3n+2，则{b n}的前10项之和等于（）A．B．C．D．13．等比数列{a n}中，a1+a2=8，a3-a1=16，则a3等于（）14．已知在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，且a4=2S3+3，a5=2S4+3，则此数列的公比q为（）A．2B．C．3D．15．数列{a n}的通项，则数列{a n}中的最大项是（）A．第9项B．第8项和第9项C．第10项D．第9项和第10项二．填空题（共10小题，每题2分，共20分）16．已知等差数列{a n}，有a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，则a13+a14+a15=______．17．在等差数列{a n}中，a3+a5+a7+a9+a11=20，则a1+a13=______．18．数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n-1，则数列a n的前n项和为______．19．数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1，则通项a n=______．20．数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a2+a6=a8，则=______．21．已知数列{a n}，a n+1=2a n+1，且a1=1，则a10=______．22．设正项等比数列{an}的公比为q，且，则公比q=______．23．已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=______．24．数列{a n}为等差数列，已知a3+2a8+a9=20，则a7______．25．设数列{a n}为正项等比数列，且a n+2=a n+1+a n，则其公比q=______．第Ⅱ卷（非选择题）三．简答题（共5小题,50分）26．（10分）已知等差数列{a n}，前n项和为S n=n2+Bn，a7=14．（1）求B、a n；（2）设c n=n•，求T n=c1+c2+…+c n．27．（8分）已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+3n，求数列{b n}的前n项和S n．28．（7分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．29．（12分）已知数列{a n}满足．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列{a n-2}是等比数列；（3）求a n，并求{a n}前n项和S n．30．（12分）在数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，若存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），求p，q得值；（Ⅲ）若记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项的和S n．参考答案一．单选题（共__小题）1．数列{a n}，已知对任意正整数n，a1+a2+a3+…+a n=2n-1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（2n-1）2B．C．D．4n-1答案：C解析：解：∵a1+a2+a3+…+a n=2n-1…①∴a1+a2+a3+…+a n-1=2n-1-1…②，①-②得a n=2n-1，∴a n2=22n-2，∴数列{a n2}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴a12+a22+a32+…+a n2==，故选C．2．若{a n}为等比数列a5•a11=3，a3+a13=4，则=（）A．3B．C．3或D．-3或-答案：C解析：解：∵{a n}为等比数列a5•a11=3，∴a3•a13=3①∵a3+a13=4②由①②得a3=3，a13=1或a3=1，a13=3∴q10=或3，∴=或3，故选C．3．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7C．6D．答案：A解析：解：a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10，a52=a2a8，∴，∴，故选A．4．等差数列{a n}中，a1=1，a3=4，则公差d等于（）A．1B．2C．D．答案：D解析：解：∵数列{a n}是等差数列，a1=1，a3=4，∴a3=a1+2d，即4=1+2d，解得d=．故选：D．5．数列的前n项和为S n，a n=，则S n≥0的最小正整数n的值为（）A．12B．13C．14D．15答案：A解析：解：令a n=＜0，解得n≤6，当n＞7时，a n＞0，且a6+a7=a5+a8=a4+a9=a3+a10=a2+a11=a1+a12=0，所以S12=0，S13＞0，即使S n≥0的最小正整数n=12．故选A．6．若数列{a n}的前n项和S n=2n2-2n，则数列{a n}是（）A．公差为4的等差数列B．公差为2的等差数列C．公比为4的等比数列D．公比为2的等比数列答案：A解析：解：∵S n=2n2-2n，则S n-S n-1=a n=2n2-2n-[2（n-1）2-2（n-1）]=4n-4故数列{a n}是公差为4的等差数列故选A．7．已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1，则此数列奇数项的前n项和为（）A．B．C．D．答案：C解析：解：当n=1时，a1=S1=21-1=1，当n≥2时，a n=Sn-Sn-1=2n-1-（2n-1-1）=2•2n-1-2n-1=2n-1，对n=1也适合∴a n=2n-1，∴数列{a n}是等比数列，此数列奇数项也构成等比数列，且首项为1，公比为4．∴此数列奇数项的前n项和为==故选C8．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2B．-2C．3D．-3答案：C解析：解：由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得q=3故选C．9．在数列{a n}中，a1=2，a2=2，a n+2-a n=1+（-1）n，n∈N*，则S60的值为（）A．990B．1000C．1100D．99答案：A解析：解：当n为奇数时，a n+2-a n=1+（-1）n=0，可得a1=a3=…=a59=2．当n为偶数时，a n+2-a n=1+（-1）n=2，∴数列{a2n}为等差数列，首项为2，公差为2，∴a2+a4+…+a60=30×2+=930．∴S60=（a1+a3+…+a59）+（a2+a4+…+a60）=30×2+930=990．故选：A．10．若数列{a n}是公差为2的等差数列，则数列是（）A．公比为4的等比数列B．公比为2的等比数列C．公比为的等比数列D．公比为的等比数列答案：A解析：解：∵数列{a n}是公差为2的等差数列∴a n=a1+2（n-1）∴∴数列是公比为4的等比数列故选A11．在数列{a n}中，a1=0，a n=4a n-1+3，则此数列的第5项是（）A．252B．255C．215D．522答案：B解析：解：由a n=4a n-1+3可得a n+1=4a n-1+4=4（a n-1+1），故可得=4，由题意可得a1+1=1即数列{a n+1}为首项为1，公比为4的等比数列，故可得a5+1=44=256，故a5=255故选B12．数列{a n}、{b n}满足a n•b n=1，a n=n2+3n+2，则{b n}的前10项之和等于（）A．B．C．D．答案：B解析：解：∵a n•b n=1∴b n==∴s10==（-）+=-=故选项为B．13．等比数列{a n}中，a1+a2=8，a3-a1=16，则a3等于（）A．20B．18C．10D．8答案：B解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=8，a3-a1=16，∴，解得，∴=2×32=18．故选：B．14．已知在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，且a4=2S3+3，a5=2S4+3，则此数列的公比q为（）A．2B．C．3D．答案：C解析：解：∵a4=2S3+3，a5=2S4+3，即2S4=a5-3，2S3=a4-3∴2S4-2S3=a5-3-（a4-3）=a5-a4=2a4，即3a4=a5∴3a4=a4q解得q=3，故选C15．数列{a n}的通项，则数列{a n}中的最大项是（）A．第9项B．第8项和第9项C．第10项D．第9项和第10项答案：D解析：解：由题意得=，∵n是正整数，∴=当且仅当时取等号，此时，∵当n=9时，=19；当n=9时，=19，则当n=9或10时，取到最小值是19，而取到最大值．故选D．二．填空题（共__小题）16．已知等差数列{a n}，有a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，则a13+a14+a15=______．答案：-40解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，∵a4+a5+a6=（a1+3d）+（a2+3d）+（a3+3d）=a1+a2+a3+9d，∴-4=8+9d，解得d=-，∴a13+a14+a15=a1+a2+a3+36d=8-×36=-40，故答案为：-4017．在等差数列{a n}中，a3+a5+a7+a9+a11=20，则a1+a13=______．答案：8解析：解：由等差数列的性质可得a3+a5+a7+a9+a11=（a3+a11）+a7+（a5+a9）=2a7+a7+2a7=5a7=20∴a7=4∴a1+a13=2a7=8故答案为：818．（2015秋•岳阳校级月考）数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n-1，则数列a n的前n项和为______．答案：2n+n2-1解析：解：数列a n的前n项和S n=（2+22+23+…+2n）+[1+3+5+…+（2n-1）]=+=2n-1+n2．故答案为：2n-1+n2．19．数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1，则通项a n=______．答案：2n-1解析：解：由题可得，a n+1+1=2（a n+1），则=2，又a1=1，则a1+1=2，所以数列{a n+1}是以2为首项、公比的等比数列，所以a n+1=2•2n-1=2n，则a n=2n-1．故答案为：2n-1．20．数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a2+a6=a8，则=______．答案：3解析：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2+a6=a8，得a1+d+a1+5d=a1+7d，即a1=d，所以==．故答案为3．21．已知数列{a n}，a n+1=2a n+1，且a1=1，则a10=______．答案：1023解析：解：由题意，两边同加1得：a n+1+1=2（a n+1），∵a1+1=2∴{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列∴a n+1=2•2n-1=2n∴a n=2n-1∴a10=1024-1=1023．故答案为：1023．22．设正项等比数列{an}的公比为q，且，则公比q=______．答案：解析：解：由题意知得∴6q2-q-1=0∴q=或q=-（与正项等比数列矛盾，舍去）．故答案为：23．已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=______．答案：2n+1-1解析：解：由题意知a n+1=2a n+1，则a n+1+1=2a n+1+1=2（a n+1）∴=2，且a1+1=4，∴数列{a n+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列．则有a n+1=4×2n-1=2n+1，∴a n=2n+1-1．24．数列{a n}为等差数列，已知a3+2a8+a9=20，则a7______．答案：=5解析：解：等差数列{a n}中，∵a3+2a8+a9=20，∴（a1+2d）+2（a1+7d）+（a1+8d）=4a1+24d=4（a1+6d）=4a7=20，∴a7=5．故答案为：5．25．设数列{a n}为正项等比数列，且a n+2=a n+1+a n，则其公比q=______．答案：解析：解：由题设条件知a1+a1q=a1q2，∵a1＞0，∴q2-q-1=0解得，∵数列{a n}为正项等比数列，∴．故答案：．三．简答题（共__小题）26．已知等差数列{a n}，前n项和为S n=n2+Bn，a7=14．（1）求B、a n；（2）设c n=n•，求T n=c1+c2+…+c n．答案：解：（1）∵a7=14．即a7=S7-S6=72+7B-62-6B=14．解得B=1，当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n．n=1时也适合∴a n=2n（2）由（1）c n=n•=n•4n，T n=c1+c2+…+c n．=1•41+2•42+3•43+…n•4n①4T n=1•42+2•43+3•44+…（n-1）•4n+n•4n+1，②①-②得-3T n=41+42+43+…4n-n•4n+1=-n•4n+1=•4n+1∴T n=•4n+1解析：解：（1）∵a7=14．即a7=S7-S6=72+7B-62-6B=14．解得B=1，当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n．n=1时也适合∴a n=2n（2）由（1）c n=n•=n•4n，T n=c1+c2+…+c n．=1•41+2•42+3•43+…n•4n①4T n=1•42+2•43+3•44+…（n-1）•4n+n•4n+1，②①-②得-3T n=41+42+43+…4n-n•4n+1=-n•4n+1=•4n+1∴T n=•4n+127．已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+3n，求数列{b n}的前n项和S n．答案：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=11，a2+a6=18，∴，解得a1=3，d=2．∴a1=2n+1．（Ⅱ）由（I）可得：b n=2n+1+3n．∴S n=[3+5+…+（2n+1）]+（3+32+…+3n）=+=n2+2n+-．解析：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=11，a2+a6=18，∴，解得a1=3，d=2．∴a1=2n+1．（Ⅱ）由（I）可得：b n=2n+1+3n．∴S n=[3+5+…+（2n+1）]+（3+32+…+3n）=+=n2+2n+-．28．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．答案：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由a1=2和a2，a3，a4+1成等比数列，得（2+2d）2-（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=-1，当d=-1时，a3=0，与a2，a3，a4+1成等比数列矛盾，舍去．∴d=2，∴a n=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．即数列{a n}的通项公式a n=2n；（Ⅱ）由a n=2n，得b n==，∴S n=b1+b2+b3+…+b n==．解析：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由a1=2和a2，a3，a4+1成等比数列，得（2+2d）2-（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=-1，当d=-1时，a3=0，与a2，a3，a4+1成等比数列矛盾，舍去．∴d=2，∴a n=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．即数列{a n}的通项公式a n=2n；（Ⅱ）由a n=2n，得b n==，∴S n=b1+b2+b3+…+b n==．29．已知数列{a n}满足．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列{a n-2}是等比数列；（3）求a n，并求{a n}前n项和S n．答案：解：（1）∵数列{a n}满足，∴．…（3分）（2）∵，又a1-2=-1，∴数列{a n-2}是以-1为首项，为公比的等比数列．…（7分）（注：文字叙述不全扣1分）（3）由（2）得，…（9分）∴．…（12分）解析：解：（1）∵数列{a n}满足，∴．…（3分）（2）∵，又a1-2=-1，∴数列{a n-2}是以-1为首项，为公比的等比数列．…（7分）（注：文字叙述不全扣1分）（3）由（2）得，…（9分）∴．…（12分）30．在数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，若存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），求p，q得值；（Ⅲ）若记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项的和S n．答案：解：（Ⅰ）数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n；∴b n+1=log2a n+1，∴b n+1-b n=log2a n+1-log2a n=log2=-1；∴=，∴{a n}是等比数列，通项公式为a n=16×=；∴{b n}的通项公式b n=log2a n=log2=5-n；（Ⅱ）数列{b n}中，∵b n=5-n，假设存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），则，解得，或；（Ⅲ）∵a n=，b n=5-n，∴c n=a n•b n=（5-n）×；∴{c n}的前n项和S n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×①，∴s n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×②；①-②得：s n=4×----…--（5-n）×=64--（5-n）×=48+（n-3）×；∴s n=96+（n-3）×．解析：解：（Ⅰ）数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n；∴b n+1=log2a n+1，∴b n+1-b n=log2a n+1-log2a n=log2=-1；∴=，∴{a n}是等比数列，通项公式为a n=16×=；∴{b n}的通项公式b n=log2a n=log2=5-n；（Ⅱ）数列{b n}中，∵b n=5-n，假设存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），则，解得，或；（Ⅲ）∵a n=，b n=5-n，∴c n=a n•b n=（5-n）×；∴{c n}的前n项和S n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×①，∴s n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×②；①-②得：s n=4×----…--（5-n）×=64--（5-n）×=48+（n-3）×；∴s n=96+（n-3）×．。

高中数学集合专项训练含答案

高中数学集合专项训练含答案一、单选题1．设集合{}2A x x a =<，{}23B x x a =>+，若A B =R ，则实数a 的取值范围为（） A ．()1,3- B ．()(),13,-∞-⋃+∞ C ．[]1,3-D ．(][),13,-∞-+∞2．已知集合{}3,5,7,9,11,13,17A =，{}41,B x x n n Z ==+∈，则A B =（） A ．{}5,9,11 B ．{}5,9,11,17 C ．{}5,13,17D ．{}5,9,13,173．设集合{|,log (1)}x a A a x R a x a =∃∈=>，{|0,B y x xy =∀≥≥，下列说法正确的是（） A ．A B ⊆B ．B A ⊆C ．B A ⋂=∅D ．BA ≠∅4．已知集合{}22A x x =-≤，{}1,2,3,4,5B =，则A B =（） A ．{}1,2,3,4B ．{}2,3,4,5C ．{}1,2,3D ．{}2,3,45．已知0a >且1a ≠，若集合{}{}22,log ||a M x x x N x x x =<=<，且N M ⊆﹐则实数a 的取值范围是（） A ．()1e 0,11,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()1e0,1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．()12e 0,11,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．()12e 0,1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．已知集合{|10}M x x =->，集合{|(4)0}N x x x =-<，则集合M N =（）A ．{|0}x x >B ．{|14}x x <<C ．{|0x x <或1}x >D ．{|0x x <或4}x >7．已知集合{}220A x x x =--≤，{}2log B x x k =>.若A B =∅ ，则实数k 的取值范围为（） A ．02k <≤ B ．04k << C ．2k ≥D ．4k ≥8．设集合{}|3,A x x x R =<∈，{}1,2,3B =，则A B =（） A ．{}1B ．{}1,2,3C ．{}1,2D ．{}1,0,1-9．下列命题说法错误的是（）A ．()2()lg 23f x x x =-++在(1,1)-上单调递增B ．“1x =”是“2430x x -+=”的充分不必要条件C ．若集合{}2440A x kx x =++=恰有两个子集，则1k =D ．对于命题:p 存在0R x ∈，使得20010x x ++<，则¬p ：任意R x ∈，均有210x x ++≥10．已知集合{}2,3,4A =，{}28120B x Z x x =∈-+<，则A B 中元素的个数是（）A ．4B ．5C ．6D ．7 11．设集合P ，Q 均为全集U 的非空子集，且U ()P Q P =∩，则U ()P Q =∩（）A ．PB ．QC ．∅D ．U12．已知函数()2ln 3y x x =-的定义域为A ，集合{}14B x x =≤≤，则()A B =R （）A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3}C ．[0,4]D ．[1,3]13．已知集{}23A x x =+≥合，{}3,1,1,3B =--，则A B =（） A ．{}3B ．{}1,3C ．{}3,1--D ．{}1,1,3-14．已知集合{}22280,03x A x x x B xx -⎧⎫=--≤=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋃=（） A ．{}42x x -≤≤ B ．{42x x -≤≤且3}x ≠- C ．{}34x x -≤≤D ．{34}x x -<≤15．下列关系中正确的个数是（）①13Z ∈，R ， ③*0N ∈， ④Q π∉ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题16．集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}25B x x =≤，那么A B =______.17．已知集合{}21A x x =-<<，{}0B x x =<，则A B ⋃= ____________.18．已知集合{}2|210A x ax x =+-=，若集合A 中只有一个元素，则实数a 的取值的集合是______19．集合{|13},{|25}A x x B x x =∈<≤=∈<<Z Z ，则A B 的子集的个数为___________.20．若集合{}2210A x x x =-+=，{}210B x x =-=，则A ______B ．（用符号“⊂”“=”或“⊃”连接）21．已知平面上两个点集(){},|1R,R M x y x y x y =++∈∈，(){},|11,R,R N x y x a y x y =-+-≤∈∈，若MN ≠∅，则实数a的取值范围为___________..22．从集合M={}1,2,3,4,,2021中去掉所有3的倍数和5的倍数，则剩下的元素个数为______23．若集合A ={x ∈R|ax 2+ax +1=0}中只有一个元素，则a =________．24．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合{},,bP Q z z a a P b Q *==∈∈，若{}1,2P =，{}1,0,1Q =-，则集合P Q *中元素的个数为______个．25．若集合{}3A x x =>，集合{}B x x a =≥，且B A ，则实数a 的取值范围是______．三、解答题26．已知集合{}24120A x x x =--<，集合{}239B x m x m =-<<-．现有三个条件：条件①A B B =；条件②R ()B A ⊆；条件③A B B ⋃=．请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题： (1)若4m =，求R ()B A ⋂； (2)若______，求m 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个选择的解答计分．27．已知全集U =R ，集合{}32A x x =-<<，{}|16B x x =≤≤，{}|121C x a x a =-≤≤+． (1)求()U A B ；(2)若()C A B ⊆⋃，求实数a 的取值范围．28．已知集合{}{}|26,|3782A x x B x x x =≤≤=-≥-. (1)求A B ，R()A B ；(2)若{}|44C x a x a =-<≤+，且A ⊆C ，求a 的取值范围.29．为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有几人三项工作都参加了．试问这支测绘队至少有多少人？30．已知集合(){}2log 31A x x =->，22112y y B y -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.(1)分别求出集合A 、B ； (2)设全集为R ，求()RA B ⋂.【参考答案】一、单选题 1．B 【解析】【分析】由于A B =R ，所以223a a +<，解不等式即可．【详解】由题意，223a a +<得1a <-或3a >，故选：B ． 2．D 【解析】【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】因为集合{}3,5,7,9,11,13,17A =，{}41,B x x n n Z ==+∈，所以{5,9,13,17}A B =，故选：D. 3．D 【解析】【分析】利用因为x y a =与log a y x =互为反函数，所以，互相关于y x =对称，得到x a x ≤，进而得出集合A 的范围；对于集合B ，化简得y ≥()g x =()g x 的最值，得出集合B 的范围，即可求解【详解】对于集合{},log (1)xa A a x R a x a =∃∈=，因为x y a =与log a y x =互为反函数，所以，互相关于y x =对称，而,log x a x R a x ∃∈=，所以，只需要x a x ≤即可，因为1a >，所以， ln ln x a x ≤，得ln ln x a x ≤，设ln ()xf x x=，得21ln ()x f x x -'=，所以， (0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；(,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，所以，1()()Maxf x f e e ==，得到11e a e <≤，所以，11,e A e ⎛⎤= ⎥⎝⎦；对于集合{|0,B y x xy =∀≥≥，化简得y ≥()g x =()g x '20x >，可设()h x=，()h x '=0<，()h x ∴单调递减，又(0)0h =，所以，当0x >时，()0h x '<，()0h x <，()0g x ∴'<，()g x 单调递减，利用洛必达法则，0x →时，000x x x →→→===所以，()y gx =≥)B =+∞；由于1(1,)A e=，)B =+∞，所以，D 正确故选：D 4．A 【解析】【分析】首先解绝对值不等式求出集合A ，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：由22x -≤，即222x -≤-≤，解得04x ≤≤，所以{}[]220,4A x x =-≤=，又{}1,2,3,4,5B =，所以{}1,2,3,4A B =. 故选：A 5．D 【解析】【分析】求出集合M ，再由给定条件，对集合N 分类讨论，构造函数，利用导数探讨函数最小值求解作答. 【详解】依题意，{}(1)0|{|01}x M x x x x =<<=<-，{}2lo |g 0a N x x x =-<，令2(g )lo a f x x x -=，当01a <<时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，而2(1)10,()10f f a a =>=-<，则0(,1)x a ∃∈，使得0()0f x =，当00x x <<时，()0f x <，当0x x >时，()0f x >，此时{}0|0N x x x M =<<⊆，因此，01a <<，当1a >时，若01x <≤，log 0a x ≤，则()0f x >恒成立，N =∅，满足N M ⊆，于是当1a >时，N M ⊆，当且仅当N =∅，即不等式()0f x ≥对(0,)∀∈+∞x 成立，2n (l )1x f x x a '-=，由()0f x '=得x =，当0x <<()0f x '<，当x >()0f x '>，则函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，min 1111ln(2ln )log ()222ln 2n ln 2l ln a a a a a af x f =-=+=，于是得1ln(2ln )220ln ln a a a +≥，即1ln(2ln )0a +≥，变形得1ln 2ea ≥，解得12e e a ≥，从而得当12e e a ≥时，()0f x ≥恒成立，N =∅，满足N M ⊆，所以实数a 的取值范围是01a <<或12e e a ≥. 故选：D 【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以利用导数探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题. 6．B 【解析】【分析】根据题意分别求出集合M 和N 的解集，求交集运算即可. 【详解】根据题意得，{|1}M x x =>，{|04}N x x =<<，所以{|14}M N x x =<<.故选：B. 7．D 【解析】【分析】由于A B =∅ ，B 集合所表示的区间在A 集合之外. 【详解】由220x x --≤ ，解得12x -≤≤ ，即[]1,2A =- ，A B =∅ ，2log 2k ∴≥ ，4k ≥ ；故选：D. 8．C【分析】求出集合A 的解集，取交集运算即可. 【详解】因为{}|33A x x =-<<，{}1,2,3B =，所以{}1,2A B =. 故选：C. 9．C 【解析】【分析】A.利用复合函数的单调性判断；B.利用充分条件和必要条件的定义判断；C.由方程2440kx x ++=有一根判断；D.由命题p 的否定为全称量词命题判断.【详解】A.令223t x x =-++，由2230x x -++>，解得13x ，由二次函数的性质知：t 在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又lg y t =在()0,∞+上递增，由复合函数的单调性知：()2lg(23)f x x x =-++在(1,1)-上递增，故正确；B. 当1x =时，2430x x -+=成立，故充分，当2430x x -+=成立时，解得1x =或3x =，故不必要，故正确；C.若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程2440kx x ++=有一根，当0k =时，1x =-，当0k ≠时，16160k ∆=-=，解得1k =，所以0k =或1k =，故错误；D.因为命题:p .存在0R x ∈，使得20010x x ++<是存在量词命题，则其否定为全称量词命题，即:p ⌝任意R x ∈，均有210x x ++≥，故正确；故选：C. 10．A 【解析】【分析】求出集合B ，再根据并集的定义即可求出答案. 【详解】{}()(){}{}{}28120260263,4,5B x Z x x x Z x x x Z x =∈-+<=∈--<=∈<<=,所以{}2,3,4,5A B ⋃=.所以A B 中元素的个数是4. 故选：A. 11．B 【解析】【分析】依题意可得UP Q ⊆，即可得到UQ P ⊆，从而即可判断；【详解】解：因为U ()P Q P =∩，所以UP Q ⊆，所以UQ P ⊆，所以U ()P Q Q =∩；12．D 【解析】【分析】根据对数函数的性质，可知230x x ->，由此即可求出集合A ，进而求出A R，再根据交集运算即可求出结果. 【详解】由题意可知，230x x ->，所以0x <或3x >，所以{}{}03A x x x x =<>，故{}03A x x =≤≤R，所以()[]1,3R A B =. 故选：D. 13．B 【解析】【分析】化简集合A ，由交集定义直接计算可得结果. 【详解】化简可得{|1}A x x =≥，又{}3,1,1,3B =-- 所以{1,3}A B =. 故选：B. 14．D 【解析】【分析】分别解一元二次不等式以及分式不等式得集合A ，B ，再进行并集运算即可. 【详解】因为{}{}228024A x x x x x =--≤=-≤≤，{}20323x B xx x x -⎧⎫=≤=-<≤⎨⎬+⎩⎭，所以{}34A B x x ⋃=-<≤，故选：D. 15．B 【解析】【分析】13是实数，0不是正整数，π是无理数【详解】①13Z ∈错误R 正确③*0N ∈错误④Q π∉正确故选：B二、填空题16．{}2,0,2-【解析】【分析】根据集合A 的含义，直接求解A B ⋂即可. 【详解】因为集合A 表示元素为偶数的集合，又{}2|5{|55}B x x x x =≤=-≤≤，故{}2,0,2A B ⋂=-. 故答案为：{}2,0,2-.17．{}1x x <【解析】【分析】利用并集概念及运算法则进行计算. 【详解】在数轴上画出两集合，如图：{}{}{}2101A B x x x x x x ⋃=-<<⋃<=<.故答案为：{}1x x <18．{}0,1-【解析】【分析】分0a =和0a ≠两种情况保证方程2210ax x 只有一个解或重根，求出a 的值即可．【详解】当0a =时，2210ax x 只有一个解12x =，则集合2{|210}A x ax x =+-=有且只有一个元素，符合题意；当0a ≠时，若集合A 中只有一个元素，则一元二次方程2210ax x 有二重根，即440a ∆=+=，即 1.a =-综上，0a =或1-，故实数a 的取值的集合为{}0,1.- 故答案为：{}0,1.- 19．8 【解析】【分析】先求得A B ，然后求得A B 的子集的个数. 【详解】{}{}2,3,3,4A B ==，{2,3,4}A B ⋃=，有3个元素，所以子集个数为328=. 故答案为：820．⊂【解析】【分析】先化简集合A 、B ，再去判断集合A 、B 间的关系即可解决. 【详解】{}{}22101A x x x =-+==，{}{}2101,1B x x =-==-，则A B ⊂故答案为：⊂ 21．1⎡⎣【解析】【分析】根据抛物线的定义可知集合M 是以原点()0,0为焦点，以直线10x y ++=为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，集合N 是以(),1a 为中心的正方形内部的点，数形结合先求出M N ⋂=∅时实数a 的取值范围，再求其补集即可求解.【详解】由1x y ++≥≥点(),x y 到直线10x y ++=的距离大于等于点(),x y 到点()0,0的距离，所以点(),x y 的轨迹是以原点()0,0为焦点，以直线10x y ++=为准线的抛物线上及其凹口内侧的部分，即集合M 是以原点()0,0为焦点，以直线10x y ++=为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，由1x y +≤可得：001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩或001x y x y <⎧⎪>⎨⎪-+≤⎩或001x y x y >⎧⎪<⎨⎪-≤⎩或001x y x y <⎧⎪<⎨⎪--≤⎩，作出其表示的平面区域如图所示：将该图象向上平移一个单位可得11x y +-≤的图象如图：将其向左或右平移a 个单位可得11x a y -+-≤的表示的平面区域，作出()2212x y x y ++=+对应的抛物线如图：将1y =代入()2212x y x y ++=+2420x x --=，解得：26x = 所以26116a <=M N ⋂=∅，将2y =代入()2212x y x y ++=+2610x x --=，解得：310x =，当310a >时，M N ⋂=∅，综上所述：当13a ≤1a ⎡∈⎣时，M N ≠∅，故答案为：1⎡⎣. 22．1078【解析】【分析】剔除集合中是3的倍数，5的倍数的元素，即可得出结果.【详解】集合M 中，3的倍数有20216733⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，5的倍数有20214045⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，15的倍数有202113415⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，则剩下的元素个数为2021(673404134)1078-+-=个.故答案为：1078.23．4【解析】【分析】集合A 只有一个元素，分别讨论当0a =和0a ≠时对应的等价条件即可【详解】解：2{|10}A x R ax ax =∈++=中只有一个元素，∴若0a =，方程等价为10=，等式不成立，不满足条件．若0a ≠，则方程满足0∆=，即240a a -=，解得4a =或0a =（舍去）．故答案为：424．3【解析】【分析】分别对a 、b 进行赋值，求出z 的所有可能取值即可求解.【详解】由题意，得当1a =时，1b z a ==；当2a =且1b =-时，12b z a ==；当2a =且0b =时，1b z a ==；当2a =且1b =时，2b z a ==；所以P Q *含有的元素有：1、2、12，即P Q *中元素个数为3个.故答案为：3. 25．3a >【解析】【分析】解不等式求得结合A ，根据B A 列不等式来求得a 的取值范围.【详解】3x >⇔3x <-或3x >，所以{|3A x x =<-或}3x >.由于B A ，所以3a >.故答案为：3a >三、解答题26．(1){|67}x x ≤<；(2)选择条件，答案见解析.【解析】【分析】（1）解一元二次不等式化简集合A ，再求出其补集，再利用交集的定义计算作答.（2）选择条件①，③，利用交集、并集的结果转化为集合的包含关系，再讨论求解作答；选择条件②，利用集合的包含关系，讨论求解作答.(1)集合()(){}{}26026A x x x x x =+-<=-<<，R {|2A x x =≤-或6}x ≥，当4m =时，{}17B x x =<<，则()R {|67}A B x x ⋂=≤<.(2)选择条件①：A B B =，则B A ⊆，若B =∅，则239m m -≥-，解得23m -≤≤，若B ≠∅，则22393296m m m m ⎧-<-⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，解得3m <≤综上得：2m -≤≤所以m的取值范围是2m -≤≤选择条件②：R ()B A ⊆，由（1）知，R {|2A x x =≤-或6}x ≥，若B =∅，则239m m -≥-，解得 23m -≤≤，若B ≠∅，则223992m m m ⎧-<-⎨-≤-⎩或23936m m m ⎧-<-⎨-≥⎩，解得2m ≤<-或9m ≥，综上得：3m ≤或9m ≥，所以m的取值范围是3m ≤或9m ≥.选择条件③：A B B ⋃=，则A B ⊆，于是得：22393296m m m m ⎧-<-⎪-≤-⎨⎪-≥⎩，解得m ≤所以m的取值范围是m ≤27．(1){})1(|3U x x A B ⋂=-<<； (2)5(,2)(2,]2-∞-⋃-. 【解析】【分析】（1）利用补集及交集的定义运算即得；（2）利用并集的定义可得{}36A B x x ⋃=-<≤，然后分C =∅和C ≠∅讨论即得.(1)∵全集U =R ， {}|16B x x =≤≤， ∴{1U B x x =<或}6x >，又集合{}32A x x =-<<，∴{})1(|3U x x A B ⋂=-<<；(2)∵{}32A x x =-<<，{}|16B x x =≤≤，∴{}36A B x x ⋃=-<≤，又()C A B ⊆⋃，∴当C =∅时，121a a ->+，∴2a <-，当C ≠∅时，则12113216a a a a -≤+⎧⎪->-⎨⎪+≤⎩，解得522a -<≤，综上，实数a 的取值范围为5(,2)(2,]2-∞-⋃-. 28．(1)[]()()R 3,6,(),36,A A B B ⋂=-∞⋃+∞⋂(2)[)2,6【解析】【分析】（1）解不等式求得集合B ，由此求得A B ，进而求得R ()A B . （2）根据A 是C 的子集列不等式组，由此求得a 的取值范围.(1)3782,515,3x x x x -≥-≥≥，所以{}|3B x x =≥，所以[]()()R 3,6,(),36,A A B B ⋂=-∞⋃+∞⋂.(2)由于{}|44C x a x a =-<≤+，且A ⊆C ，所以422646a a a -<⎧⇒≤<⎨+≥⎩，所以a 的取值范围是[)2,6.29．44【解析】【分析】借助韦恩图分析可解.【详解】记集合{|A x x =是参加测量的学生}，{|B x x =是参加计算的学生}， {|C x x 是参加绘图的学生}，则由已知可得如下韦恩图.所以()108864642card A B C x x x x x x x x =++-++++-+-++=+ 已知24x ≤≤，故这支测绘队至少有44人.30．(1){}5A x x =>，{0B y y =<或}2y >(2)(){}R 5A B x x ⋂=≤【解析】【分析】（1）利用对数函数和指数函数的单调性可分别求得集合A 、B ；（2）求出A B ，利用补集的定义可求得集合()R A B ⋂. (1)解：(){}{}{}2log 31325A x x x x x x =->=->=>，{}{222112002y y B y y y y y y -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=->=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭或}2y >. (2)解：由（1）可得{}5A B x x ⋂=>，因此，(){}R 5A B x x ⋂=≤.。

高中生数学试题及答案解析

高中生数学试题及答案解析一、选择题1. 若函数\( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. -6B. -4C. -2D. 0答案：B解析：将\( x = -1 \)代入函数\( f(x) \)中，得到\( f(-1) = 3(-1)^2 - 5(-1) + 2 = 3 + 5 + 2 = 10 \)。

计算错误，正确答案应为\( 10 \)，但题目选项中没有10，可能是题目或选项设置有误。

2. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，且\( \alpha \)为锐角，求\( \cos(\alpha) \)的值。

A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{3}{4} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{3}{5} \)答案：A解析：根据勾股定理，\( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \)。

已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，代入公式得\( \cos^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 =\frac{16}{25} \)。

由于\( \alpha \)为锐角，\( \cos(\alpha) \)为正，所以\( \cos(\alpha) = \frac{4}{5} \)。

二、填空题1. 计算\( (x - 2)^2 \)展开后的结果。

__________。

答案：\( x^2 - 4x + 4 \)。

解析：根据完全平方公式，\( (x - 2)^2 = x^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + 2^2 = x^2 - 4x + 4 \)。

2. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)为三角形的三边长，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则该三角形是__________。

全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.求点A(2，0)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标．2.点(－1，k)在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m 、k 的值．3.已知变换T 是将平面内图形投影到直线y ＝2x 上的变换，求它所对应的矩阵．4.求曲线y ＝在矩阵作用下变换所得的图形对应的曲线方程． 5.求直线x ＋y ＝5在矩阵对应的变换作用下得到的图形．6.设椭圆F ：＝1在(x ，y)→(x′，y′)＝(x ＋2y ，y)对应的变换下变换成另一个图形F′，试求F′的解析式．7.设M ＝，N ＝，试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程．8.已知矩阵M ＝，N ＝，矩阵MN 对应的变换把曲线y ＝sin x 变为曲线C ，求曲线C 的方程．9.二阶矩阵M 对应变换将(1，－1)与(－2，1)分别变换成(5，7)与(－3，6)． (1)求矩阵M ；(2)若直线l 在此变换下所变换成的直线的解析式l′：11x －3y －68＝0，求直线l 的方程．10.在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a 、b 的值． 11.已知M ＝，N ＝，向量α＝.(1)验证：(MN )α＝M (Nα)；(2)验证这两个矩阵不满足MN ＝NM .12.在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A，B，C.求△ABC 在矩阵作用下变换所得到的图形的面积．13.在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标O(0，0)、A(2，0)，B(1，)，求△OAB 在矩阵MN 的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M ＝，N ＝.14.已知矩阵M ＝，N ＝，在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程． 15.已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1)求实数a 、b 的值；(2)若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ＝，求点P 的坐标．16.在线性变换＝下，直线x ＋y ＝k(k 为常数)上的所有点都变为一个点，求此点坐标．17.如图所示，四边形ABCD和四边形AB′C′D分别是矩形和平行四边形，其中各点的坐标分别为A(－1，2)、B(3，2)、C(3，－2)、D(－1，－2)、B′(3，7)、C′(3，3)．求将四边形ABCD变成四边形AB′C′D的变换矩阵M.18.已知矩阵M＝，向量α＝，β＝.(1)求向量3α＋β在T M作用下的象；(2)求向量4Mα－5Mβ.19.二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x－y＝4，求l的方程．20.二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换M作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、解答题1.求点A(2，0)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标．【答案】A′(2，0)【解析】矩阵表示横坐标保持不变，纵坐标沿y轴负方向拉伸为原来的2倍的伸压变换，故点A(2，0)变为点A′(2，0)2.点(－1，k)在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m、k的值．【答案】【解析】＝，解得3.已知变换T是将平面内图形投影到直线y＝2x上的变换，求它所对应的矩阵．【答案】【解析】将平面内图形投影到直线y＝2x上，即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵M作用变换为(x，2x)，则有＝，解得∴T＝.4.求曲线y＝在矩阵作用下变换所得的图形对应的曲线方程．【答案】x＝【解析】设点(x，y)是曲线y＝上任意一点，在矩阵的作用下点变换成(x′，y′)，则＝，所以.因为点(x，y)在曲线y＝上，所以x′＝，即x＝5.求直线x ＋y ＝5在矩阵对应的变换作用下得到的图形．【答案】点(0，5)【解析】设点(x ，y)是直线x ＋y ＝5上任意一点，在矩阵的作用下点变换成(x′，y′)，则＝，所以.因为点(x ，y)在直线x ＋y ＝5上，所以y′＝x ＋y ＝5，故得到的图形是点(0，5)．6.设椭圆F ：＝1在(x ，y)→(x′，y′)＝(x ＋2y ，y)对应的变换下变换成另一个图形F′，试求F′的解析式．【答案】2x 2－8xy ＋9y 2－4＝0. 【解析】变换矩阵为，任取椭圆上一点(x 0，y 0)，则＝，令则又点(x 0，y 0)在椭圆F 上，故＝1，所以2x′2－8x′y′＋9y′2－4＝0，即F′的解析式为2x 2－8xy ＋9y 2－4＝0. 7.设M ＝，N ＝，试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程．【答案】y ＝2sin2x 【解析】MN ＝＝，设(x ，y)是曲线y ＝sinx 上的任意一点，在矩阵MN 变换下对应的点为(x′，y′)．则＝，所以即代入y ＝sinx 得y′＝sin2x′，即y′＝2sin2x′.即曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程为y ＝2sin2x.8.已知矩阵M ＝，N ＝，矩阵MN 对应的变换把曲线y ＝sinx 变为曲线C ，求曲线C 的方程．【答案】y ＝sinx 【解析】MN ＝＝，设P(x ，y)是所求曲线C 上的任意一点，它是曲线y ＝sinx 上点P 0(x 0，y 0)在矩阵MN 变换下的对应点，则有＝，即所以又点P(x 0，y 0)在曲线y ＝sinx 上，故y 0＝sinx 0，从而y ＝sinx.所求曲线C 的方程为y ＝sinx.9.二阶矩阵M 对应变换将(1，－1)与(－2，1)分别变换成(5，7)与(－3，6)． (1)求矩阵M ；(2)若直线l 在此变换下所变换成的直线的解析式l′：11x －3y －68＝0，求直线l 的方程．【答案】（1）（2）x －y －4＝0.【解析】(1)不妨设M＝，则由题意得＝，＝，所以故M＝.(2)取直线l上的任一点(x，y)，其在M作用下变换成对应点(x′，y′)，则＝＝，即代入11x－3y－68＝0，得x－y－4＝0，即l的方程为x－y－4＝0.10.在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＋y＋2＝0在矩阵M＝对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0，求实数a、b的值．【答案】a＝2，b＝3.【解析】(解法1)在直线l：x＋y＋2＝0上取两点A(－2，0)，B(0，－2)，A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′、B′，因为＝，所以A′的坐标为(－2，－2b)；＝，所以B′的坐标为(－2a，－8)．由题意A′、B′在直线m：x－y－4＝0上，所以解得a＝2，b＝3.(解法2)设直线l：x＋y＋2＝0上任意一点(x，y)在矩阵M对应的变换作用下对应于点(x′，y′)．因为＝，所以x′＝x＋ay，y′＝bx＋4y.因为(x′，y′)在直线m上，所以(x＋ay)－(bx＋4y)－4＝0，即(1－b)x＋(a－4)y －4＝0.又点(x，y)在直线x＋y＋2＝0上，所以，解得a＝2，b＝311.已知M＝，N＝，向量α＝.(1)验证：(MN)α＝M(Nα)；(2)验证这两个矩阵不满足MN＝NM.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)因为MN＝＝，所以(MN)α＝＝.因为Nα＝＝，所以M(Nα)＝＝，所以(MN)α＝M(Nα)．(2)因为MN＝，NM＝，所以这两个矩阵不满足MN＝NM.12.在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A，B，C.求△ABC在矩阵作用下变换所得到的图形的面积．【答案】【解析】因为＝，＝，＝，所以A ，B，C在矩阵作用下变换所得到的三个顶点坐标分别为A′，B′，C′.故S △A′B′C′＝A′C′|y B ′|＝13.在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标O(0，0)、A(2，0)，B(1，)，求△OAB 在矩阵MN 的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M ＝，N ＝.【答案】1【解析】由题设得MN ＝，∴·＝，·＝，·＝.可知O 、A 、B 三点在矩阵MN 作用下变换所得的点分别为O′(0，0)、A′(2，0)、B′(2，－1)．可得△O′A′B′的面积为1.14.已知矩阵M ＝，N ＝，在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程．【答案】2x ＋y ＋1＝0 【解析】由题设得MN ＝＝.设(x ，y)是直线2x －y ＋1＝0上任意一点，点(x ，y)在矩阵MN 对应的变换作用下变为(x′，y′)，则有＝，即＝，所以. 因为点(x ，y)在直线2x －y ＋1＝0上，从而2x′－(－y′)＋1＝0，即2x′＋y′＋1＝0. 所以曲线F 的方程为2x ＋y ＋1＝0.15.已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1)求实数a 、b 的值；(2)若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ＝，求点P 的坐标．【答案】（1）（2）(1，0)【解析】(1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意一点M(x ，y)在矩阵A 对应的变换作用下的象是M′(x′，y′)，由＝＝，得，又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1.依题意解得(2)A ＝，得解得y 0＝0.又点P(x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1，故点P 的坐标为(1，0)．16.在线性变换＝下，直线x ＋y ＝k(k 为常数)上的所有点都变为一个点，求此点坐标．【答案】(k ，2k) 【解析】由＝，得而x ＋y ＝k ，所以(k 为常数)，所以直线x ＋y ＝k(k 为常数)上的所有点都变为一个点(k ，2k)．17.如图所示，四边形ABCD 和四边形AB′C′D 分别是矩形和平行四边形，其中各点的坐标分别为A(－1，2)、B(3，2)、C(3，－2)、D(－1，－2)、B′(3，7)、C′(3，3)．求将四边形ABCD 变成四边形AB′C′D 的变换矩阵M .【答案】【解析】该变换为切变变换．设矩阵M ＝，由图知，C C′，则＝.所以3k －2＝3，解得k ＝.所以，M ＝.18.已知矩阵M ＝，向量α＝，β＝.(1)求向量3α＋β在T M 作用下的象；(2)求向量4Mα－5Mβ. 【答案】（1）（2）【解析】(1)因为3α＋β＝3＋＝＋＝，所以M＝＝.(2)4Mα－5Mβ＝M (4α－5β)＝＝.19.二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程．【答案】x ＋4＝0 【解析】设M ＝，则有＝，＝，∴，且，解得和，∴M ＝，∵＝＝，且m ：2x′－y′＝4，∴2(x ＋2y)－(3x ＋4y)＝4，即x ＋4＝0，∴直线l 的方程为x ＋4＝0.20.二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程．【答案】（1）（2）x ＋y ＋2＝0【解析】(1)设M＝，则有＝，＝，所以且解得和所以M＝.(2)因为＝＝且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，即x＋y＋2＝0，即直线l的方程为x＋y＋2＝0.。

高中数学不等式专题训练7套含答案

不等式单元试卷一班级姓名座号成绩一、选择题（每题正确答案只有一个，共8题，每小题5分）1．若a ＜b ＜0，则（）A ． b 11<aB ． 0＜b a ＜1C ． a b ＞b 2D ． bb a a >2．若|a ＋c|＜b ，则（）A ． |a |＜|b|－|c|B ． |a |＞|c|－|b|C ． |a |＞|b|－|c|D ． |a |＜|c|－|b| 3.设b ＜0＜a ,d ＜c ＜0，则下列各不等式中必成立的是（）A ． a c ＞bdB ． db>c a C ． a ＋c ＞b ＋d D ． a －c ＞b －d4.下列命题中正确的一个是（） A ．ba ab +≥2成立当且仅当a ,b 均为正数B ．2222ba b a +≥+成立当且仅当a ,b 均为正数 C ．log a b ＋log a b ≥2成立当且仅当a ,b ∈(1,＋∞) D ．|a ＋a1|≥2成立当且仅当a ≠0 5函数y ＝log ⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅+-2134223x x x x 的定义域是（）A ．x ≤1或x ≥3B ．x ＜－2或x ＞1C ．x ＜－2或x ≥3D ．x <－2或x ＞36.已知x,y ∈R ，命题甲: |x －1|＜5,命题乙: ||x |－1|＜5，那么（） A 甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 B 甲是乙的必要条件，但不是乙的充要条件 C 甲是乙的充要条件 D 甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件7.已知实数x ,y 满足x 2＋y 2＝1，则代数式(1－x y)(1＋x y)有（） A ．最小值21和最大值1 B ．最小值43和最大值1 C ．最小值21和最大值43D ．最小值1 8.函数y ＝xx x +++132(x ＞0)的最小值是（）A ．23B ．－1＋23C ．1＋23D ．－2＋23二、填空题（请将正确的答案填到横线上，共4题，每小题4分）9．关于x 的不等式a x 2+b x +2>0的解集是}3121|{<<-x x ，则a +b=_____________．10．实数=+=+>x y x y x y x ，此时的最大值是，那么，且，______log log 42022_________，y=_________．11．方程()02lg 222=-+-a a x x 又一正根一负根，则实数a 的取值范围是．12．建造一个容积83m ，深为m 2长的游泳池，若池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则游泳池的最低总造价为__________元．三、解答题（本大题共4小题,共44分）13．（10分）已知.))((,1,0,xy bx ay by ax b a b a ≥++=+>求证：且14 （10分）解关于x 的不等式:0122<++x ax (其中R a ∈).15．（12分）设f(x)是定义在上]1,1[-的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x =1对称，而当]3,2[∈x 时，44)(2-+-=x x x g ．（1）求f(x)的解析式；（2）对于任意的,]1,0[,2121x x x x ≠∈且求证：;2)()(1212x x x f x f -<- （3）对于任意的,]1,0[,2121x x x x ≠∈且求证：.1)()(12≤-x f x f16．（12分）某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?参考答案二、填空题9．－14 10．1，2，1 11．)1,21()0,21(⋃- 12． 1760 三、解答题13．[解析]：左边=)()(22222222y x ab xy b a aby abx xy b xy a +++=+++，xy xy b a xy ab b a xy y x =+=++≥∴≥+22222)()2(,2左边．15．[解析]：(1)由题意知f(x+1)=g(1-x))2()(x g x f -=⇒当224)2(4)2()(,32201x x x x f x x -=--+--=≤-≤≤≤-时，当2)(0110x x f x x -=-∴<-≤-≤<时，，由于f(x)是奇函数2)(x x f =∴ ⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤--=∴)10()01()(22x x x x x f（2）当,20]1,0[,212121<+<≠∈x x x x x x 时，且 1212122122122))(()()(x x x x x x x x x f x f -<+-=-=-∴（3）当1110,10]1,0[,212222212121≤-≤-∴≤≤≤≤≠∈x x x x x x x x 时，且.12122≤-x x 即 .1)()(212212≤-=-∴x x x f x f16．[解析]：由题意得 x y+41x 2=8,∴y=xx 482-=48xx-(0<x <42). 于定, 框架用料长度为 l =2x +2y+2(x 22)=(23+2)x +x16≥4246+. 当(23+2)x =x16,即x =8－42时等号成立. 此时, x ≈2.343, y=22≈2.828.故当x 为2.343m, y 为2.828m 时, 用料最省.不等式基本性质二一，不等式的8条基本性质补充1，b a b a ab 110<⇔>>且2，)(0+∈>⇒>>R x b a b a x x 3， )(0-∈<⇒>>R x b a b a x x二，基本练习（）1， 2003京春文，1）设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是A.a +c >b +dB.a －c >b －dC.ac >bdD.cb d a >（）2，（2001上海春）若a 、b 为实数，则a >b >0是a 2>b 2的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件（）3，若,011<<ba 则下列结论正确．．的是A ．22b a <B ．2b ab <C ．ab a <2D ．b a >（）4，“a>b”是“ac 2>bc 2”成立的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条C ．充要条件D ．以上均错（）5，若b a , 为任意实数且b a >，则（） A ，22b a > B ，1>b a C ，0)lg(>-b a D ，b a )21()21(<（）6，“1>a ”是“11<a”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（）7，设10<<<a b ，则下列不等式成立的是A ．12<<b abB ．0log log 2121<<a b C ．222<<a b D ．12<<ab a（）8，1>ab是0)(<-b a a 成立的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分不必要条件（）9，若0,0,0><>+ay a y x ，则y x -的值A ，小于0B ，大于0C ，等于0D ，正负不确定（）10，若a >b ，在①ba 11<；②a 3>b 3；③)1lg()1lg(22+>+b a ；④ba 22>中，正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个（）11，（04高考试题）已知a 、b 、c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 A ．ab ac >B ． c b a ()-<0C ． cb ab 22<D ． 0)(<-c a ac（）12，（04高考试题）若011<<ba ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④02<-ab a 中，正确的不等式有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二，填空题13，设01,0<<-<b a ，则2,,ab ab a 三者的大小关系为14，设R x x x B x A ∈+=+=,2,21234且1≠x ，则B A ,的大小关系为15，如果01<<<-b a ，则22,,1,1a b ab 的大小关系为16，设，则b a >是bb a a 11->-成立的条件17，若53,42≤<<≤b a ，则b a -3的取值范围为，bba +2的取值范围为18，若a b a a 231,63<<<≤，则b a +的取值范围为三，解答题19，证明：若0>>b a >0>m ，则ma mb a b m a m b ++<<--不等式的性质三A 卷一、选择题1、下列命题中,正确的是( )A 若ac ＞bc,则a ＞bB 、若a 2＞b 2,则a ＞bC 、若,则a ＜bD 、若b a <,则a ＜b2、若a ＞b,则( ) A 、b a 33>B 、b a >C 、a 3＞b 2D 、a 2＞b 33、不等式a ＞b 和同时成立的充分且必要条件是( ) A 、a ＞b ＞0 B 、a ＞0＞b C 、011<<a b D 、 011>>ba4、若a ＜b ＜0，则下列不等式中不能成立的是( )A 、B 、ab a 11>- C 、| a | ＞ | b | D 、a 2＞b 25、设a 、b 、c 、d 都是正数，a ＞b ，c ＞d ，a + b ＞ c + d ，ab = cd ，那么a 、b 、c 、d 之间的大小关系是( )A 、a ＞b ＞c ＞dB 、a ＞c ＞b ＞dC 、c ＞a ＞d ＞bD 、a ＞c ＞d ＞b 6、已知a ＜0 ，－1＜b ＜0，那么( )A 、a ＞ab ＞ab 2B 、ab 2＞ab ＞aC 、ab ＞a ＞ab 2D 、ab ＞ab 2＞a 7、若x + y = 2，b ＜x ＜a ，则下列不等式正确的是( )A 、b + 2＜y ＜a + 2B 、a + 2＜y ＜b + 2C 、2－a ＜y ＜2－bD 、2－b ＜y ＜2－a8、给定命题(1) a ＞b 且ab ＜0,(2)b a > b,(3)| a | ＜b b ＜a ＜ 2a ＞b ，其中真命题的个数是( ) A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 二、填空题9、已知a ＜b ＜0，c ＞0，在下列空白处填上恰当的不等号。

全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合A ＝{x|33－x <6}，B ＝{x|lg(x －1)<1}，则A∩B ＝________．2.已知a 、b 为正实数，函数f(x)＝ax 3＋bx ＋2x 在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[－1，0]上的最小值为________．3.若函数f(x)＝x 3－ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．4.已知函数y ＝f(x)是偶函数，对于x ∈R 都有f(x ＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x 1、x 2∈[0，3]，且x 1≠x 2时，都有>0，给出下列命题：①f(3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调增函数； ④函数y ＝f(x)在[－9，9]上有4个零点．其中正确的命题是________．(填序号)5.已知函数f(x)＝||x －1|－1|，若关于x 的方程f(x)＝m(m ∈R)恰有四个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是________．6.关于函数f(x)＝lg(x>0，x ∈R)，下列命题正确的是________．(填序号)①函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f(x)是减函数； ③函数y ＝f(x)的最小值为lg2；④在区间(1，＋∞)上，函数y ＝f(x)是增函数．7.已知函数f(x)＝2x 2＋m 的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m 的取值范围是________． 8.在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a ，a)，P 是函数y ＝(x>0)图象上一动点．若点P 、A 之间的最短距离为2，则满足条件的实数a 的所有值为________．9.设函数f(x)＝ (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是________． 10.已知函数f(x)＝若关于x 的方程f(x)＝kx(k ＞0)有且仅有四个根，其最大根为t ，则函数g(t)＝t 2－6t ＋7的值域为________．11.若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2x ，则函数g(x)的最小值是________． 12.设函数f(x)＝ (a<0)的定义域为D ，若所有点(s ，f(t))(s 、t ∈D)构成一个正方形区域，则a 的值为________．13.对于实数a 和b ，定义运算“”：ab ＝设f(x)＝(2x －1)(x －1)，且关于x 的方程为f(x)＝m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1、x 2、x 3的取值范围是________．二、解答题1.已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x2. (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)求函数f(x)的值域．2.已知函数f(x)＝ax 2－|x|＋2a －1(a 为实常数)． (1)若a ＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式； (3)设h(x)＝，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．3.设函数f(x)＝其中b>0，c ∈R.当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若方程f(x)＝x ＋a(a ∈R)至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合．4.已知f(x)＝xlnx ，g(x)＝－x 2＋ax －3. (1)求函数f(x)在[t ，t ＋2](t>0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明对一切x ∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．5.定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·＋.(1)当a ＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由； (2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． 6.已知函数f(x)＝a x ＋x 2－xlna(a>0，a≠1)．(1)当a>1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t 的值；(3)若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围．7.已知函数f(x)＝lnx －ax 2＋(2－a)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设a>0，证明：当0<x<时，f>f；(3)若函数y ＝f(x)的图象与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：＜0.全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、填空题1.已知集合A ＝{x|33－x <6}，B ＝{x|lg(x －1)<1}，则A∩B ＝________．【答案】(2－log 32，11)【解析】由33－x <6，知3－x<log 36，即x>3－log 36，所以A ＝(2－log 32，＋∞)．由lg(x －1)<1，知0<x －1<10，即1<x<11，所以B ＝(1，11)，所以A∩B ＝(2－log 32，11)．2.已知a 、b 为正实数，函数f(x)＝ax 3＋bx ＋2x 在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[－1，0]上的最小值为________．【答案】－【解析】因为a 、b 为正实数，所以函数f(x)是单调递增的．所以f(1)＝a ＋b ＋2＝4，即a ＋b ＝2.所以f(x)在[－1，0]上的最小值为f(－1)＝－(a ＋b)＋＝－.3.若函数f(x)＝x 3－ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．【答案】[5，7]【解析】f′(x)＝x 2－ax ＋(a －1)，由题意，f′(x)≤0在(1，4)恒成立且f′(x)≥0在(6，＋∞)恒成立，即a≥x ＋1在(1，4)上恒成立且a≤x ＋1在(6，＋∞)上恒成立，所以5≤a≤7.4.已知函数y ＝f(x)是偶函数，对于x ∈R 都有f(x ＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x 1、x 2∈[0，3]，且x 1≠x 2时，都有>0，给出下列命题：①f(3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调增函数； ④函数y ＝f(x)在[－9，9]上有4个零点．其中正确的命题是________．(填序号) 【答案】①②④【解析】令x ＝－3，得f(－3)＝0，由y ＝f(x)是偶函数，所以f(3)＝f(－3)＝0，①正确；因为f(x ＋6)＝f(x)，所以y ＝f(x)是周期为6的函数，而偶函数图象关于y 轴对称，所以直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴，②正确；由题意知，y ＝f(x)在[0，3]上为单调增函数，所以在[－3，0]上为单调减函数，故y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调减函数，③错误；由f(3)＝f(－3)＝0，知f(－9)＝f(9)＝0，所以函数y ＝f(x)在[－9，9]上有个零点，④正确．5.已知函数f(x)＝||x －1|－1|，若关于x 的方程f(x)＝m(m ∈R)恰有四个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是________．【答案】(－3，0)【解析】f(x)＝||x －1|－1|＝方程f(x)＝m 的解就是y ＝f(x)的图象与直线y ＝m 交点的横坐标，由图可知，x 2＝－x 1，x 3＝2＋x 1，x 4＝2－x 1，且－1<x 1<0.设t ＝x 1x 2x 3x 4＝(－2)2－4，则t ＝(－2)2－4，易得－3<t<0.6.关于函数f(x)＝lg(x>0，x ∈R)，下列命题正确的是________．(填序号)①函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f(x)是减函数； ③函数y ＝f(x)的最小值为lg2；④在区间(1，＋∞)上，函数y ＝f(x)是增函数．【答案】①③④ 【解析】由f(－x)＝lg ＝lg ＝f(x)，知函数f(x)为偶函数，故①正确；由f(－2)＝lg＝f，知②错误；由＝|x|＋≥2，知f(x)＝lg≥lg2，故③正确；因为函数g(x)＝x ＋在(1，＋∞)上为增函数，所以y ＝f(x)在(1，＋∞)上也是增函数，故④正确．综上所述，①③④均正确．7.已知函数f(x)＝2x 2＋m 的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m 的取值范围是________．【答案】【解析】由于f(x)与g(x)都是偶函数，因此只需考虑当x>0时，函数f(x)与g(x)的图象有两个交点即可．当x>0时，g(x)＝lnx ，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x 2－lnx ＋m ，则h′(x)＝4x －，由h′(x)＝0，得x ＝.易知当x ＝时，h(x)有极小值为＋ln2＋m ，要使函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)内有两个交点，则h <0，即＋ln2＋m<0，所以m<－－ln28.在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a ，a)，P 是函数y ＝(x>0)图象上一动点．若点P 、A 之间的最短距离为2，则满足条件的实数a 的所有值为________．【答案】－1，【解析】设P ，x>0，则 PA 2＝(x －a)2＋＝x 2＋－2a＋2a 2＝－2a＋2a 2－2.令t ＝x ＋，则由x>0，得t≥2，所以PA 2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a)2＋a 2－2. 由PA 取得最小值，得或解得a ＝－1或a ＝.9.设函数f(x)＝(a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是________．【答案】[1，e]【解析】若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则A(b ，f(b))，A′(f(b)，b)都在y ＝f(x)的图象上．又f(x)＝在[0，1]上单调递增，所以(x A ′－x A )(y A ′－y A )≥0，即(f(b)－b)(b －f(b))≥0，所以(f(b)－b)2≤0，所以f(b)＝b ，从而f(x)＝x 在[0，1]上有解，即＝x 在[0，1]上有解，所以a ＝e x ＋x －x 2，x ∈[0，1]，令φ(x)＝e x ＋x －x 2，x ∈[0，1]，则φ′(x)＝e x －2x ＋1≥0，所以φ(x)在[0，1]上单调递增．又φ(0)＝1，φ(1)＝e ，所以φ(x)∈[1，e]，即a ∈[1，e]．10.已知函数f(x)＝若关于x 的方程f(x)＝kx(k ＞0)有且仅有四个根，其最大根为t ，则函数g(t)＝t 2－6t ＋7的值域为________．【答案】【解析】在直角坐标系中分别画出函数f(x)在区间[0，2]，[2，4]，[4，6]上的三个半圆的图象，最大根t 一定在区间(3，4)内，g(t)＝t 2－6t ＋7是二次函数，对称轴方程为4＞t ＝＞3，g(t)的最小值为g ＝－，直线y ＝kx(k ＞0)与区间[2，4]上半圆相交，与区间[4，6]上半圆相离，故<k 2<，而k 2＝时，直线与半圆相切，由得(1＋k 2)x 2－6x ＋8＝0，取k 2＝，得x 2－6x ＋7＝－1，t<x ，所以g(t)＝t 2－6t ＋7＜－111.若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2x ，则函数g(x)的最小值是________．【答案】1【解析】由f(x)＋g(x)＝2x ，得f(－x)＋g(－x)＝2－x ，由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， ∴－f(x)＋g(x)＝2－x ，∴g(x)＝(2x ＋2－x )，∴g(x)≥1.12.设函数f(x)＝ (a<0)的定义域为D ，若所有点(s ，f(t))(s 、t ∈D)构成一个正方形区域，则a 的值为________．【答案】－4【解析】|x 1－x 2|＝f max (x)，＝，|a|＝2，∴a ＝－413.对于实数a 和b ，定义运算“”：a b ＝设f(x)＝(2x －1)(x －1)，且关于x 的方程为f(x)＝m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1、x 2、x 3的取值范围是________．【答案】【解析】由新定义得f(x)＝作出函数f(x)的图象，由图可知，当0<m<时，f(x)＝m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1、x 2、x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×＝1，∴x 2x 3<.令解得x ＝或x ＝ (舍去)，∴<x 1<0，∴<x 1x 2x 3<0.二、解答题1.已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x2. (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)求函数f(x)的值域．【答案】（1）(－1，1)（2）f(x)是偶函数（3）(－∞，0] 【解析】(1)由得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1)．(2)由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x)4－2(－x)2＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3)f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2，设t ＝1－x 2，由x ∈(－1，1)，得t ∈(0，1]．所以y ＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2＝lgt ＋(t 2－1)，t ∈(0，1]，设0<t 1<t 2≤1，则lgt 1<lgt 2，<，所以lgt 1＋(－1)<lgt 2＋(－1)，所以函数y ＝lgt ＋(t 2－1)在t ∈(0，1]上为增函数，所以函数f(x)的值域为(－∞，0]．2.已知函数f(x)＝ax 2－|x|＋2a －1(a 为实常数)． (1)若a ＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式； (3)设h(x)＝，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．【答案】（1）（2）g(a)＝（3）【解析】(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－|x|＋1＝作图如下．(2)当x ∈[1，2]时，f(x)＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f(x)＝－x －1在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3. 若a≠0，则f(x)＝a＋2a －－1，f(x)图象的对称轴是直线x ＝.当a<0时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a －3. 当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1，2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a －2.当1≤≤2，即≤a≤时，g(a)＝f ＝2a －－1.当>2，即0<a<时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a －3.综上可得g(a)＝(3)当x ∈[1，2]时，h(x)＝ax ＋－1，在区间[1，2]上任取x 1、x 2，且x 1<x 2，则h(x 2)－h(x 1)＝＝(x 2－x 1)＝(x 2－x 1).因为h(x)在区间[1，2]上是增函数，所以h(x 2)－h(x 1)>0. 因为x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以ax 1x 2－(2a －1)>0，即ax 1x 2>2a －1.当a ＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a ＝0时结论成立．当a>0时，x 1x 2>，由1<x 1x 2<4，得≤1，解得0＜a≤1. 当a<0时，x 1x 2<，由1<x 1x 2<4，得≥4，解得－≤a ＜0.所以实数a 的取值范围为3.设函数f(x)＝其中b>0，c ∈R.当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若方程f(x)＝x ＋a(a ∈R)至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合．【答案】（1）f(x)＝（2）【解析】(1)∵当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2. ∴二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－＝－2.且有f(－2)＝(－2)2－2b ＋c ＝－2，即2b －c ＝6. ∴b ＝4，c ＝2.∴f(x)＝(2)记方程①：2＝x ＋a(x>0)，方程②：x 2＋4x ＋2＝x ＋a(x≤0)．分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ)方程①有且仅有一个实数根a<2，方程①没有实数根a≥2.(ⅱ)方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有两个不相同的非正实数根．∴－<a≤2；方程②有且仅有一个实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有且仅有一个非正实数根． ∴2－a<0或Δ＝0，即a>2或a ＝－.综上可知，当方程f(x)＝x ＋a(a ∈R)有三个不相同的实数根时，－<a<2；当方程f(x)＝x ＋a(a ∈R)有且仅有两个不相同的实数根时，a ＝－或a ＝2.∴符合题意的实数a取值的集合为4.已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．＝（2）a≤4（3）见解析【答案】（1）f(x)min【解析】(1)解：f′(x)＝lnx＋1，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．①当0<t<t＋2<时，t无解；②当0<t<<t＋2，即0<t<时，f(x)＝f＝－；min③当≤t<t＋2，即t≥时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)＝f(t)＝tlnt，min所以f(x)＝.min(2)解：由题意，要使2xlnx≥－x2＋ax－3在x∈(0，＋∞)恒成立，即要使a≤2lnx＋x＋恒成立．设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝＋1－.当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．所以x＝1时，h(x)取得极小值，也就是最小值，即[h(x)]＝h(1)＝4，所以a≤4.min(3)证明：问题等价于证明xlnx>－，x∈(0，＋∞)．由(1)知，f(x)＝xlnx在(0，＋∞)上最小值是－，当且仅当x＝时取得．设m(x)＝－，x∈(0，＋∞)，则m′(x)＝，易得[m(x)]＝m(1)＝－，max当且仅当x＝1时取得，从而对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立5.定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·＋.(1)当a＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）不是有界函数（2）[－5，1]【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝1＋因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝3，即f(x)在(－∞，0)的值域为(3，＋∞)，故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M成立，所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．(2)由题意知，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立．－3≤f(x)≤3，－4－≤a·≤2－，所以－4·2x－≤a≤2·2x－在[0，＋∞)上恒成立．所以≤a≤，设2x ＝t ，h(t)＝－4t －，p(t)＝2t －，由x ∈[0，＋∞)得t≥1，设1≤t 1<t 2，h(t 1)－h(t 2)＝>0，p(t 1)－p(t 2)＝<0，所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a 的取值范围为[－5，1]．6.已知函数f(x)＝a x ＋x 2－xlna(a>0，a≠1)．(1)当a>1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t 的值；(3)若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）t ＝2（3）∪[e ，＋∞)【解析】审题引导：本题考查函数与导数的综合性质，函数模型并不复杂，(1)(2)两问是很常规的，考查利用导数证明单调性，考查函数与方程的零点问题．第(3)问要将“若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1”转化成|f(x)max －f(x)min |＝f(x)max －f(x)min ≥e －1成立，最后仍然是求值域问题，但在求值域过程中，问题设计比较巧妙，因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负．规范解答：(1)证明：f′(x)＝a x lna ＋2x －lna ＝2x ＋(a x －1)·lna.(2分)由于a>1，故当x ∈(0，＋∞)时，lna>0，a x－1>0，所以f′(x)>0. 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(4分)(2)解：当a>0，a≠1时，因为f′(0)＝0，且f′(x)在R 上单调递增，故f′(x)＝0有唯一解x ＝0.(6分)所以x 、f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，0)(0，＋∞)f′(x)－＋f(x)极小值又函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，所以方程f(x)＝t±1有三个根，而t ＋1>t －1，所以t －1＝f(x)min ＝f(0)＝1，解得t ＝2.(10分)(3)解：因为存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，所以当x ∈[－1，1]时，|f(x)max －f(x)min |＝f(x)max －f(x)min ≥e －1.(12分)由(2)知，f(x)在[－1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x ∈[－1，1]时，f(x)min ＝f(0)＝1，f(x)max ＝max{f(－1)，f(1)}．而f(1)－f(－1)＝(a ＋1－lna)－＝a －－2lna ，记g(t)＝t －－2lnt(t>0)，因为g′(t)＝1＋－＝≥0(当且仅当t ＝1时取等号)，所以g(t)＝t －－2lnt 在t ∈(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0，所以当t>1时，g(t)>0；当0<t<1时，g(t)<0，也就是当a>1时，f(1)>f(－1)；当0<a<1时，f(1)<f(－1)．(14分) ①当a>1时，由f(1)－f(0)≥e －1a －lna≥e －1a≥e ， ②当0<a<1时，由f(－1)－f(0)≥e －1＋lna≥e －10＜a≤，综上知，所求a 的取值范围为∪[e ，＋∞)．(16分)7.已知函数f(x)＝lnx －ax 2＋(2－a)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设a>0，证明：当0<x<时，f>f；(3)若函数y ＝f(x)的图象与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：＜0.【答案】（1）在上单调递增，在上是减函数（2）见解析（3）见解析【解析】(1)解：f(x)的定义域为(0，＋∞), f′(x)＝－2ax ＋(2－a)＝－.①若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数． ②若a>0，则由f′(x)＝0得x ＝，且当x ∈时，f′(x)>0，当x>时，f′(x)<0.所以f(x)在上单调递增，在上是减函数.(2)解：设函数g(x)＝f－f，则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax ， g′(x)＝－2a ＝.当0<x<时，g′(x)>0，而g(0)＝0，所以g(x)>0. 故当0<x<时，f>f.(3)证明：由(1)可得，当a≤0时，函数y ＝f(x)的图象与x 轴至多有一个交点，故a>0，从而f(x)的最大值为f，且f>0.不妨设A(x 1，0)，B(x 2，0)，0<x 1<x 2，则0<x 1<<x 2.由(2)得f ＝f >f(x 1)＝0. 从而x 2>－x 1，于是x 0＝>.由(1)知，f′(x 0)<0。

高中数学数列专题训练6套含答案

目录第一套：等比数列例题精讲第二套：等差等比数列基础试题一第三套：等差等比数列基础试题二第四套：等差等比数列提升试题一第五套：等差等比数列提升试题二第六套：数列的极限拓展等比数列·例题解析【例1】已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N*)，那么数列{a n }．[ ]A ．是等比数列B ．当p ≠0时是等比数列C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列D ．不是等比数列分析由S n ＝p n (n ∈N*)，有a 1=S 1＝p ，并且当n ≥2时， a n =S n －S n-1＝p n －p n-1＝(p －1)p n-1但满足此条件的实数p 是不存在的，故本题应选D ．说明数列{a n }成等比数列的必要条件是a n ≠0(n ∈N*)，还要注【例2】已知等比数列1，x 1，x 2，…，x 2n ，2，求x 1·x 2·x 3·…·x 2n ．解 ∵1，x 1，x 2，…，x 2n ，2成等比数列，公比q ∴2＝1·q 2n+1x 1x 2x 3...x 2n ＝q .q 2.q 3...q 2n =q 1+2+3+ (2)式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．故－，因此数列成等比数列≠－≠a =(p 1)p {a }p 0p 10(p 1)p 2n n 1⇔--=-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪--()()p pp p p n 212意对任∈，≥，都为同一常数是其定义规定的准确含义．n *n 2N a a nn -1=q2n(1+2n)2==+q n n n ()212【例3】 {a }(1)a =4a n 25等比数列中，已知，＝－，求通项公12解 (1)a =a q q =5252-∴－12∴a 4＝2【例4】已知a ＞0，b ＞0且a ≠b ，在a ，b 之间插入n 个正数x 1，x 2，…，x n ，使得a ，x 1，x 2，…，x n ，b 成等比数列，求证明设这n ＋2个数所成数列的公比为q ，则b=aq n+1【例5】设a 、b 、c 、d 成等比数列，求证：(b －c)2＋(c －a)2＋(d －b)2＝(a －d)2．证法一 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列∴b 2＝ac ，c 2＝bd ，ad ＝bc∴左边=b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2＋d 2－2bd ＋b 2 =2(b 2－ac)＋2(c 2－bd)＋(a 2－2bc ＋d 2) ＝a 2－2ad ＋d 2 ＝(a －d)2＝右边证毕．证法二 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，设其公比为q ，则： b ＝aq ，c ＝aq 2，d=aq 3∴＝＝－＝∵·＝··＝a a q 4()()(2)a a a a a a a =8n 2n 2n 2n 4354234543----1212又＝＝∴a a a a a a a a a a =a =322635423456452证…＜．x x x a bn n 122+∴∴……＜q b ax x x aqaq aq aqab a bn n n nn n ++====+1122122∴a b b c c d==∴左边＝(aq －aq 2)2＋(aq 2－a)2＋(aq 3－aq)2 ＝a 2－2a 2q 3＋a 2q 6 =(a －aq 3)2 ＝(a －d)2=右边证毕．说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b 、c 的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b 、c 的路子．证法二则是把a 、b 、c 、d 统一化成等比数列的基本元素a 、q 去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．【例6】求数列的通项公式：(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0 思路：转化为等比数列．∴{a n ＋1}是等比数列 ∴a n ＋1=3·3n-1 ∴a n =3n －1∴{a n+1－a n }是等比数列，即 a n+1－a n =(a 2－a 1)·2n-1=3·2n-1再注意到a 2－a 1=3，a 3－a 2=3·21，a 4－a 3=3·22，…，a n －a n-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{a n ＋1}是等比数列，(2)中发现{a n+1－a n }是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．解 (1)a =3a 2a 1=3(a 1)n+1n n+1n ＋＋＋⇒(2)a 3a 2a =0a a =2(a a )n+2n+1n n+2n+1n+1n －＋－－⇒a =3[1222]=3=3(21)n 2n-2n 1＋＋＋…＋·－21211n ----证 ∵a 1、a 2、a 3、a 4均为不为零的实数∴上述方程的判别式Δ≥0，即又∵a 1、a 2、a 3为实数因而a 1、a 2、a 3成等比数列∴a 4即为等比数列a 1、a 2、a 3的公比．【例8】若a 、b 、c 成等差数列，且a ＋1、b 、c 与a 、b 、c ＋2都成等比数列，求b 的值．解设a 、b 、c 分别为b －d 、b 、b ＋d ，由已知b －d ＋1、b 、b ＋d 与b －d 、b 、b ＋d ＋2都成等比数列，有整理，得∴b ＋d=2b －2d 即b=3d 代入①，得9d 2=(3d －d ＋1)(3d ＋d) 9d 2=(2d ＋1)·4d 解之，得d=4或d=0(舍) ∴b=12【例7】 a a a a (a a )a 2a (a a )a a a =0a a a a 1234122242213422321234若实数、、、都不为零，且满足＋－＋＋＋求证：、、成等比数列，且公比为．∴＋－＋＋＋为实系数一元二次方程等式＋－＋＋＋说明上述方程有实数根．(a a )x 2a (a a )x a a =0(a a )a 2a (a a )a a a =0a 122222132232122242213422324[2a (a a )]4(a a )(a a )=4(a a a )0(a a a )02132122222322213222132－＋－＋＋－－≥∴－≤∴－≥必有－即(a a a )0a a a =0a =a a 2213222132213又∵a =2a 42()()()a a a a a a a a a a a a 1312222131213212++=++=b =(b d 1)(b d)b =(b d)(b d 2)22－＋＋①－＋＋②⎧⎨⎪⎩⎪b =b d b db =b d 2b 2d 222222－＋＋－＋－⎧⎨⎪⎩⎪【例9】已知等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d ，又知d ≠1，且a 4=b 4，a 10=b 10：(1)求a 1与d 的值； (2)b 16是不是{a n }中的项？思路：运用通项公式列方程(2)∵b 16=b 1·d 15=－32b 1∴b 16=－32b 1=－32a 1，如果b 16是{a n }中的第k 项，则－32a 1=a 1＋(k －1)d ∴(k －1)d=－33a 1=33d∴k=34即b 16是{a n }中的第34项．解设等差数列{a n }的公差为d ，则a n =a 1＋(n －1)d解 (1)a =b a =b 3d =a d a 9d =a da (1d )=3d a (1d )=9d4410101131191319由＋＋－－－－⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎪⎩⎪⇒⎧⎨⎪⎩⎪a ⇒⇒==-=-==-d d 2=063＋－舍或∴d d a d d 1231331222()且＋·－－∴a =a 3d =22=b b =b d =2b =22b =a =2413441313113-【例10】 {a }b =(12)b b b =218b b b =18n n a n 123123设是等差数列，，已知＋＋，，求等差数列的通项．∴·b =(12)b b =(12)(12)=(12)b n a 13a a +2d 2(a +d)221111+-()n d1解这个方程组，得∴a 1=－1，d=2或a 1=3，d=－2∴当a 1=－1，d=2时，a n =a 1＋(n －1)d=2n －3 当a 1=3，d=2时，a n =a 1＋(n －1)d=5－2n【例11】三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解法一按等比数列设三个数，设原数列为a ，aq ，aq 2 由已知：a ，aq ＋4，aq 2成等差数列即：2(aq ＋4)=a ＋aq 2①a ，aq ＋4，aq 2＋32成等比数列即：(aq ＋4)2=a(aq 2＋32)解法二按等差数列设三个数，设原数列为b －d ，b －4，b ＋d由已知：三个数成等比数列即：(b －4)2=(b －d)(b ＋d)b －d ，b ，b ＋d ＋32成等比数列由，解得，解得，代入已知条件整理得＋b b b =18b =18b =12b b b =18b b =14b b =1781232321231313b b b 123218++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪b =2b =18b =18b =21313，或，⇒aq 2=4a ＋②①，②两式联立解得：或－∴这三数为：，，或，，．a =2q =3a =29q =52618⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪-29109509⇒8b d =162－①即b 2=(b －d)(b ＋d ＋32)解法三任意设三个未知数，设原数列为a 1，a 2，a 3 由已知：a 1，a 2，a 3成等比数列a 1，a 2＋4，a 3成等差数列得：2(a 2＋4)=a 1＋a 3②a 1，a 2＋4，a 3＋32成等比数列得：(a 2＋4)2=a 1(a 3＋32)③说明将三个成等差数列的数设为a －d ，a ，a ＋d ；将三个成简化计算过程的作用．【例12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．分析本题有三种设未知数的方法方法一设前三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则第四个数由已知条⇒32b d 32d =02－－②①、②两式联立，解得：或∴三数为，，或，，．b =269d =83b =10d =82618⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎩-29109509得：①a =a a 2213①、②、③式联立，解得：或a =29a =109a =509a =2a =6a =18123123-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪等比数列的数设为，，或，，是一种常用技巧，可起到a aq aq (a aq)2aq方法二设后三个数为b ，bq ，bq 2，则第一个数由已知条件推得为2b －bq ．方法三设第一个数与第二个数分别为x ，y ，则第三、第四个数依次为12－y ，16－x ．由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．解法二设后三个数为：b ，bq ，bq 2，则第一个数为：2b －bq所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．解法三设四个数依次为x ，y ，12－y ，16－x ．这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．【例13】已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求这两个数列．解设成等差数列的三个数为b －d ，b ，b ＋d ，由已知，b －d ＋b ＋b ＋d=126 ∴b=42这三个数可写成42－d ，42，42＋d ．再设另三个数为a ，aq ，aq 2．由题设，得件可推得：()a d a+2解法一 a d a a d 设前三个数为－，，＋，则第四个数为．()a d a+2依题意，有－＋＋＋a d =16a (a d)=12()a d a+⎧⎨⎪⎩⎪2解方程组得：或－a =4d =4a =9d =61122⎧⎨⎩⎧⎨⎩依题意有：－＋＋2b bq bq =16b bq =122⎧⎨⎩解方程组得：或b =4q =2 b =9q =131122⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪依题意有＋－·－－x (12y)=2yy (16x)=(12y)2⎧⎨⎩解方程组得：或x =0y =4x =15y =91122⎧⎨⎩⎧⎨⎩解这个方程组，得 a 1=17或a 2=68当a=17时，q=2，d=－26从而得到：成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67．【例14】已知在数列{a n }中，a 1、a 2、a 3成等差数列，a 2、a 3、a 4成等比数列，a 3、a 4、a 5的倒数成等差数列，证明：a 1、a 3、a 5成等比数列．证明由已知，有 2a 2=a 1＋a 3①即 a 3(a 3＋a 5)=a 5(a 1＋a 3)所以a 1、a 3、a 5成等比数列．a 42d =85ap 42=76aq 42d =842＋－＋＋＋⎧⎨⎪⎩⎪整理，得－①②＋③a d =43aq =34aq d =422⎧⎨⎪⎩⎪当时，，a =68q =12d =25a =a a 3224·②③211435a a a =+由③，得·由①，得代入②，得··a =2a a a +a a =a +a 2a =a +a 243535213321323535a a a a +整理，得a =a (a +a )a +a 351235a a a =a a a a a =a a 323515353215＋＋∴·【例15】已知(b－c)log m x＋(c－a)log m y＋(a－b)log m z=0．(1)设a，b，c依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z成等比数列．(2)设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列．证明(1)∵a，b，c成等差数列，且公差d≠0∴b－c=a－b=－d，c－a=2d代入已知条件，得：－d(log m x－2log m y＋log m z)=0∴log m x＋log m z=2log m y∴y2=xz∵x，y，z均为正数∴x，y，z成等比数列(2)∵x，y，z成等比数列且公比q≠1∴y=xq，z=xq2代入已知条件得：(b－c)log m x＋(c－a)log m xq＋(a－b)log m xq2=0变形、整理得：(c＋a－2b)log m q=0∵q≠1 ∴log m q≠0∴c＋a－2b=0 即2b=a＋c即a，b，c成等差数列高一数学数列练习【同步达纲练习】一、选择题1.已知数列1，21，31，…，n1…，则其通项的表示为( ) A.｛a n ｝B.｛n 1｝C. n1D.n2.已知数列｛a n ｝中，a n =4n-13·2n+2，则50是其( )A.第3项B.第4项C.第5项D.不是这个数列的项3.已知数列的通项公式a n =2n-1，则2047是这个数列的( ) A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第13项 4.数列-1，58，-715，924，…的通项公式是( ) A.a n =(-1)n 122++n nnB.a n =(-1)n12)3(++n n nC.a n =(-1)n1222-+n nnD.a n =(-1)n12)2(++n n n5.在数列a 1,a 2,a 3,…，a n ，…的每相邻两项中插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第29项( )A.不是原数列的项B.是原数列的第7项C.是原数列的第8项D.是原数列的第9项6.已知数列的通项公式为a n =1213+-n n ，则a n 与a n+1的大小关系是( ) A.a n ＜a n+1 B.a n ＞a n+1C.a n =a n+1D.大小不能确定7.数列｛a n ｝中，a n =-2n 2+29n+3，则此数列的最大项的值是( ) A.107B.108C.10881 D.1098.数列1，3，6，10，15，…的通项公式a n ，等于( ) A.n 2-(n-1) B.2)1(-n n C.2)1(+n n D.n 2-2n+2二、填空题1.数列-31，91，-271，…的一个通项公式是 .2.数列1，1，2，2，3，3，…的一个通项公式是 .3.数列1×3，2×4，3×5，…，n(n+2)，…，问120是否是这个数列的项 .若是，120是第项.4.已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n+1=pa n +q ，且a 2=3,a 4=15,则p= ,q= .5.一个数列的前n 项之和是n n，则此数列的第4项为 .6.-1103，4203，-7403，10803，-131603，…的一个通项公式为 . 三、解答题1.已知数列｛a n ｝的通项a n =)1(1+-n n n ,207、1207是不是这个数列的项?如果是，则是第几项?2.写出以下数列的一个通项公式.①-31，256，-499，274，-12115…； ②9，99，999，9999，99999，….3.已知下列数列｛a n ｝的前n 项和S n ，求数列｛a n ｝的通项公式.①S n =3+2n ; ②S n =2n 2+n+3【素质优化训练】1.已知数列的前4项如下，试写出下列各数列的一个通项公式：(1) 21，61，121，201； (2)-1，23，-45，87；(3)0.9，0.99，0.999，0.9999； (4)35，810，1517，2426.2.已知数列的通项公式为a n =-0.3n 2+2n+732，求它的数值最大的项.3.若数列｛a n ｝由a 1=2，a n+1=a n +2n(n ≥1)确定，求通项公式a n .【生活实际运用】参加一次国际商贸洽谈会的国际友人居住在西安某大楼的不同楼层内，该大楼共有n 层，每层均住有参会人员.现要求每层指派一人，共n 人集中到第k 层开会，试问k 如何确定，能使n 位参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最少?(假定相邻两层楼楼长都相等)【知识探究学习】某人从A 地到B 地乘坐出租车，有两种方案：第一种方案：利用起步价10元，每千米价为1.2元的汽车.第二种方案：租用起步价是8元，每千米价为4元的汽车.按出租车管理条例，在起步价内，不同型号车行驶的里程是相等的.则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较合适.解：设起步价内行驶里程为a 千米，A 地到B 地的距离是m 千米. 当m ≤a 时，选起步价8元的出租车比较合适. 当m ＞a 时，设m=a+x(x ＞0)乘坐起步价10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的费用为Q(x)元，则：P(x)=10+1.2x Q(x)=8+1.4x令P(x)=Q(x)得10+1.28+1.4x 解得x=10(千米) 此时两种出租车任选.当x ＞10时，P(x)-Q(x)=2-0.2x ＜0，故P(x)＜Q(x) 此时选起步价为10元合适.当x ＜10时，P(x)-Q(x)=2-0.2x ＞0，故P(x)＞Q(x) 此时选起步价为8元的出租车合适.参考答案：【同步达纲练习】一、1.C 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A 7.B 8.C二、1.a n =nn3)1(- 2.a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+为偶数为奇数n n n n ,2,213.是，104.2或-3，1或65.2296.a n =(-1)n［(3n-2)+12103-∙n ］三、1.207不是｛a n ｝中的项，1207是｛a n ｝中的第15项. 2.①a n =(-1)n2)12(3+n n ;②a n =10n-1.3.①a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=2)(n 21)(n 51-n ②a n =⎩⎨⎧≥-=2)(n 1n 41)(n 6。

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...............................................................................1 专题 02 量词、充分条件与必要条件 ....................................................................5 专题 03 不等关系与不等式 ...................................................................................7 专题 04 基本不等式及其应用 ...............................................................................9 专题 05 一元二次不等式及其解法......................................................................11 专题 06 函数的概念与解析式 .............................................................................13 专题 07 函数的定义域与值域 .............................................................................17 专题 08 函数的基本性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性等）................19 专题 09 幂函数和二次函数 .................................................................................21 专题 10 指数式与指数函数 .................................................................................23 专题 11 对数式与对数函数..................................................................................25 专题 12 函数的图象 .............................................................................................27 专题 13 函数与方程 .............................................................................................31 专题 14 函数模型及其应用 .................................................................................33 专题 15 导数的概念与运算 .................................................................................37 专题 16 导数在研究函数中的应用......................................................................41 专题 17 三角函数的定义、同角关系式及诱导公式...........................................45 专题 18 两角和差与二倍角公式..........................................................................49 专题 19 三角函数的图象与性质..........................................................................53 专题 20 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其模型应用 ..................................................57 专题 21 正弦定理和余弦定理 .............................................................................61 专题 22 平面向量的概念及线性运算 ..................................................................65 专题 23 平面向量的基本定理及坐标表示 ..........................................................67 专题 24 平面向量的数量积 .................................................................................71 专题 25 平面向量的综合应用 .............................................................................73 专题 26 复数的概念与运算 .................................................................................75 专题 27 数列的概念与简单的表示方法 ..............................................................77 专题 28 等差数列.................................................................................................79

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