二维空间完备性基本定理的相互证明1
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若｛只）中没有无限多项相等，则｛Ｐ。）为无限点列．而由题设知｛Ｐ。）有界．设Ｄ为有界闭域， ｛Ｐ。）ｃＤ．反证法，假设｛Ｐ。）不收敛，则Ｖ Ｐ∈Ｄ都不是｛Ｐ。）极限点，故Ｖ Ｐ∈Ｄ，ｊ￡。＞ｏ，使【， （Ｐ，￡，）中至多有｛Ｐ。）的有限项，否则Ｖ￡＞ｏ，Ｕ（Ｐ，￡）中有（Ｐ。）的无限项．由已知条件，存在 Ｎ，Ｖ”＞Ｎ，Ｖ ｍ＞Ｎ，有Ｊ Ｐ。一Ｐ。ｆ＜ｅ，一定存在ｉ＞Ｎ且Ｐ；∈【，（Ｐ，￡），从而Ｖ咒＞Ｎ， Ｐ。一Ｐ ＜Ｉ Ｐ。一只Ｉ十１只一Ｐ Ｉ＜２￡，即ｚｉｍＰ。一Ｐ，与假设矛盾．故Ｖ Ｐ∈Ｄ，存在ｅＰ＞ｏ使【，（Ｐ，ｅ。）中至
有限个开集Ｇ（Ｐ，），Ｇ（Ｐｚ），…，Ｇ（Ｐ。），同样可以覆盖Ｄ．而ＵＧ（只）中含｛Ｐ。）有限项，从而Ｄ
中含有｛Ｐ，Ｉ）有限项，与｛Ｐ。）有无限多个点矛盾． 证毕． 定理２净定理５ 证若（只）有无穷多项相等即Ｐ。一Ｐ唧一Ｐ。一…一Ｐ～＝…，则Ｐ。一Ｐ。（咒一ｏ。）．即。．．Ｖ￡＞ｏ，
ｊ Ｎ，Ｖ矩＞Ｎ，Ｐ∈Ｎ＋， Ｐ。一Ｐ。＋ｐ Ｉ＜￡，而对于Ｎ，存在Ｎｔ＞Ｎ，使ＰＭ＝Ｐｏ．故Ｖ￡＞ｏ，ｊ Ｎ， ｊ小“＞Ｎ，Ｖ，ｚ＞Ｎ， ＰＭ一九ｌ—Ｉ Ｐｏ—九｜＜￡，即Ｐ。一Ｐ０（以一。。）．
摘要：平面上的５个定理，闭区域套定理，有限覆盖定理，聚点定理，致密性定理及Ｃａｕｔｈｙ准则，刻画
了Ｒ２的完备性，构成了二元函数极限理论的基础．分别以闭区域套定理，有限覆盖定理，聚点定理为基础，
证明其它定理。体现了这５个定理之间的相互等价．
关键词：完备性；覆盖；聚点；有序域
中圈分类号：０ １７４
文献标识码：Ａ
定理２净定理１ 证反证法．设闭区域套定理不成立，则Ｄ。中的任意一点Ｐ都不属于某个Ｄｔ，从而存在Ｐ点的邻
域【，（Ｐ，砩），使Ｄｔ ｎ【，（Ｐ，∞）一万·显然ＰＭ，ｕ（Ｐ，品）覆盖了Ｄ·，根据定理２．ＰＭ，ｕ（Ｐ，郛）
中有有限个开圆域覆盖Ｄ。，设Ｄ－ｃ。Ｕ１ｕ（Ｒ，瓴），其中【，（Ｐｔ，电）ｎ Ｄ札一历，五＝１，２，…，咒，ｉｔ
故存在唯一一点Ｐｏ，满足Ｐ。∈Ｄ。（扎一１，２，３…）．
证毕．
定理３专定理２ 证设Ｄ是Ｒ２上的一个有界闭集，｛△ａ）为Ｒ２上的一个开集族，它覆盖了Ｄ．若Ｄ为有限点集，则
文章编号：１６７３一１４９２（２００７）０４一ｏ００５．０４
Ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌ Ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉ蚰ｏｆ Ｐｒｉｎｃｉｐａｌ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ蚰Ｃｏｍｐｌｅｔｅｎ姻ｓ Ｐｍｐｅｒｔｙ ｏｆ Ｔｗｏ．ｄｉｍｅ璐ｉｏｎａｌ Ｓｐ懿ｅ
ＧＵＡＮ Ｊｉｎ＿ｙｕ，ＸＵ Ｙｏｎｇ－ｃｈｕｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＣｏＨｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｅｂｅｉ Ｎｏｒｔｈ Ｕｎｊｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈａｒｌｇｊｉａｋｏｕ ０７５０２８，Ｈｅｂｅｉ，Ｃｈｉｎａ）
１
ＰＮ２≠ＰＮ。），令￡２一ｍｉｎ｛ｄ（ＰＮ，，ＰＮ。），１一ｄ（ＰＮ，，ＰⅣ２），专），则Ｄ２一｛Ｐ Ｐ—Ｐ心Ｉ≤ｅ２｝外
最多有｛Ｐ。）的有限项，且Ｄ－３Ｄｚ，一直做下去，取￡ｔ—ｍｉｎ｛ｄ（Ｐ心一，，ＰＭ），ｄ（ＰＭ一。，Ｐ心一。）一
矗（ＰＭ一。，Ｐ％），专），（Ｍ＞ＮＩ一，），则Ｄ＾一｛Ｐ Ｐ—Ｐ魄Ｊ≤缸）外最多有｛Ｐ。）有限项，Ｄｔ一，３
万方数据
２００７年８月
关金玉等：二维空间完备性基本定理的相互证明
第４期
∈Ｎ＋，以≥２．设Ｊ—ｍａｘ｛ｉ。，ｉ。，ｉ。，…，矗），由定理ｌ的条件，有ｎ【，（Ｒ，＆。）一Ｄ，，于是Ｖ志∈
女一ｉ
’
（１，２，…，挖），ｕ（Ｒ，氓）ｎ ｑ一彩，即。Ｕ１【，（Ｒ，啦）ｎ ｑ一万．一方面，有Ｄ－ｃ。Ｕ１【，（Ｒ，
多有（Ｐ。｝有限项，显然，｛Ｕ（Ｐ，￡。）Ｉ Ｐ∈Ｄ）覆盖了Ｄ，从而有有限个开覆盖能覆盖Ｄ，设Ｕ（Ｐ，，
ｅ＾），…，【，（Ｐ。，ｅ＾）覆盖了Ｄ从而也覆盖了（Ｐ。），而每个Ｕ（Ｒ，ｓ＾）中至多有｛Ｐ。）中有限项． 从而｛只）至多有有限项，与｛Ｐ。）为无限点列矛盾．
证毕．
３以定理３为公理证明其它定理
定理３净定理１ 证设｛Ｄ。）是平面Ｒ２上的一个闭域列，它满足条件：（１）Ｄ。３Ｄ什ｔ（孢一１，２，３…）；（２）ｚｉｍｄ
（Ｐ～｝即为收敛子列；若（只）中没有无限项相等，则（Ｐ。｝有无限多个点．由于（Ｐ。）有界，故存在 闭正方形区域Ｄ，使得Ｐ。∈Ｄ，（”一１，２，３…）．连结Ｄ各边中点将Ｄ四等分为Ｄ。，Ｄ：，Ｄ。，Ｄ。，则 Ｄ；（ｉ一１，２，３，４）至少有一个含有｛Ｐ。）中无穷多个点，否则与｛Ｐ。）有无限多个点相矛盾，将这个 （若有多个，取其中一个）Ｄｔ记为Ｄｎ’，取定含在Ｄｎ’中的｛Ｐ。）的某一项Ｐ。，，再四等分Ｄｎ’，将Ｄｎ’ 的四个子闭区域中含有｛Ｐ。）中无穷多个点的一个记为Ｄ姑’，取含在Ｄ他’中的｛Ｐ。）的某一项Ｐ。。（规：＞ 挖ｔ），一直做下去，得到一列闭区域套｛Ｄｈ’）和点列｛Ｐ。。） （咒抖，＞扎。，五一１，２，３…），其中１ｉｍｄ
定理ｌ 闭区间套定理设｛Ｄ。）是平面Ｒ２上的１个闭域列，它满足条件：（１）Ｄ。３Ｄ计，（咒一ｌ， ２，３，…）；（２）ｌｉｍｄ（Ｄ。）一ｏ，则存在唯一一点Ｐｏ，满足Ｐｏ∈Ｄ。（，ｌ＝１，２，３，…）．
ｎ●∞
定理２有限覆盖定理若Ｄ是Ｒ２上的一个有界闭集，（△ａ）为Ｒ２上的一个开集族，它覆盖了Ｄ， 则在｛△口）中必存在有限个开集可以覆盖Ｄ．
’，ｒ＋∞
（Ｄ“’一ｌｉｍ未一（Ｄｎ’）一ｏ．由定理１，存在唯一一点Ｐ０，满足Ｐ０∈Ｄ“’（咒一１，２，３…）．显然有ｏ≤ｄ
（Ｐ～，Ｐ。）≤ｄ（Ｄ‘～’）·而璺ｄ（Ｄ“’）一ｏ，故避ｄ（Ｐ～，Ｐ０）一ｏ．故｛Ｐ～｝为｛Ｐ。）的收敛子列．
证毕． 定理ｌ净定理５
证必要性易证．下面证充分性．
设点列｛Ｐ。）满足定理５的条件．
Ａｂｓｔｍｃｔ： Ｃａｕｃｈｙ Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ， Ａｃｃｕｍｕｌａｔｉｏｎ Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，Ｂ０１ｚａｎｏ－Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ Ｔｈｅｏｒｅｍ， Ｎｅｓｔｅｄ Ｃｌｏｓｅｄ Ｒｅｇｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｅｍ ａｎｄ Ｆｉｎｉｔｅ Ｃｏｖｅｒｉｎｇ Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ａｒｅ ｅｑｕａｌ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｗｈｉｃｈ ｄｅｐｉｃｔ ｓｅｑｕｅｎｔｉａｌ ｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓ ａｎｄ ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａＩ ｓｐａｃｅ． Ｔｈｅ ｆｉｖｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ａｒｅ ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ ｂａｓｉｃ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｔｈｅｏｒｙ ｏｎ ｄｕａｌｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｉｓ ｔｏ ｎａｒｒａｔｅ ｔｈｅ ｅｑｕｉｐｏｌｌｅｎｃｅ ｂｙ ｐｒｏｖｉｎｇ ｅｖｅｒｙ ｔｈｅｏｒｅｍ ｂｙ ｕ— ｓｉｎｇ Ａｃｃｕｍｕｌａｔｉｏｎ Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ， Ｎｅｓｔｅｄ Ｃｌｏｓｅｄ Ｒｅｇｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｅｍ ａｎｄ Ｆｉｎｉｔｅ Ｃｏｖｅｒｉｎｇ Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ．
第２３卷第４期 ２００７年８月
阿坩弘方学院学探（自然科学版）
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｅｂｅｉ Ｎｏｒｔｈ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
Ｖ０１．２３ Ｎｏ．４ Ａｕｇ．２００７
二维空问完备性基本定理的相互证明
关金玉，徐永春
（河北北方学院理学院数学系，河北张家口０７５０００）
下面设｛Ｐ。卜中没有无限多项相等．取￡。一１，则存在正整数Ｎ，使得当犯＞Ｎ时，对一切自然数Ｐ，
都有ｄ（Ｐ。，Ｐ—ｐ）＜ｅｌ，取Ｎ１＝Ｎ＋１＞Ｎ，则当，ｌ＞Ｎ，有ｄ（Ｐ。，ＰⅣ１）＜１，即Ｄ，＝｛Ｐ
Ｐ—
Ｐ Ｎ’ｌ≤１）外最多有｛Ｐ。）的有限项，从而Ｄ，内有（Ｐ。｝的无限多项，取一点ＰＮ。∈Ｄ。，（Ｎ。＞Ｎ，，
２００７年８月
河北北方学院学报（自然科学版）
第４期
Ｎ，使得当扎＞Ｎ时，对一切自然数Ｐ，都有ｄ（Ｐ。，Ｐ井。）＜ｅ．
１ 以定理１为公理证明其它定理
定理１净定理２［４０ 定理１净定理３［５１ 定理ｌ净定理４
证 设｛Ｐ。）为Ｒ２上有界数列．若｛Ｐ。）中有无穷多项相等，设Ｐ。，一Ｐ。。一·一Ｐ。。一·，则
１
一ｍｉｎ｛ｄ（Ｐ。，，Ｐ０），÷｝，则（Ｐ ｄ（Ｐ，Ｐｏ）＜￡ｚ）中含有（Ｐ。）的无限多项，取一项Ｐ。。（Ｐ。。≠
Ｐ＾，，ｌ。＞，ｌ。），一直下去，得到（Ｐ。）的子列｛Ｐ。。），显然｛Ｐ～）收敛于Ｐｏ，与假设矛盾．于是Ｖ Ｐ∈ Ｄ，存在Ｇ（Ｐ），其中至多有｛Ｐ。）的有限项，开区域簇｛Ｇ（Ｐ） Ｐ∈Ｄ）覆盖了Ｄ，由定理２，存在
（Ｄ。）＝０．不妨设Ｄ。≠Ｄ抖，（咒＝ｌ，２，３…），任取只∈耽（咒＝１，２，３…），则Ｅ一｛Ｐ，，Ｐｚ，…， ｎ，…）是有界无限点集，由定理３，Ｅ有聚点．设Ｐ０为Ｅ的一个聚点，则易证Ｐｏ∈Ｄ。（ｎ一１，２，３
万方数据
２００７年８月
河北北方学院学报（自然科学版）
第４期
…），否则，存在某个ｎ。，使得Ｐｏ旺Ｄ‰，则Ｐｏ必为Ｄ～的外点，存在Ｐｏ的某个邻域Ｕ（Ｐ。），使得【， （Ｐｏ）与Ｄ。无交，则ｕ（Ｐ。）内最多有Ｅ有限个点，与Ｐｏ为Ｅ的一个聚点矛盾．设有或∈Ｄ。（，ｌ＝１， ２，３…），则ｏ≤ｄ（Ｐ；，Ｐｏ）≤ｄ（Ｄ。），而由ｚｉ，，ｌｄ（Ｄ。）一ｏ，易知ｄ（Ｐ：，Ｐ。）一ｏ，从而Ｐ：＝Ｐｏ．
Ｄ。．得到闭域套｛Ｄ。｝，满足ｌｉｍｄ（Ｄ。）＝ｏ．由定理ｌ，存在唯一一点Ｐ。，满足Ｐ０∈Ｄｔ（忌一１，２，３ …）．Ｖ ｅ＞Ｏ，了是∈Ｚ＋，使得￡＞２ｅ。，令Ｄ＝｛Ｐ Ｐ—Ｐ０ Ｉ≤￡），则Ｄ３Ｄｔ，而Ｄ。外最多有｛只｝ 有限项，故Ｄ外最多有｛Ｐ。｝有限项，从而点列｛Ｐ。）收敛于Ｐ０．
证毕．
２ 以定理２为公理证明其它定理
定理３ 聚点定理Ｒ２上的有界无限点集至少有一个聚点． 定理４致密性定理有界数列必有收敛子列． 定理５平面点列收敛的柯西准则 平面点列｛Ｐ。｝收敛的充要条件是：任给正数ｅ，存在正整数
收稿日期：２００７—０５－２４ 作者筒介：关金玉（１９７６一），男，内蒙古通辽人，河北北方学院理学院数学系讲师，学士．
万方数据
证 设（Ｐ。）为Ｒ２上有界数列．若（Ｐ。｝中有无穷多项相等，设Ｐ。，一Ｐ。，一…一Ｐ。。一·，则
｛Ｐ。。）即为收敛子列．若｛Ｐ。）中没有无限项相等，则｛Ｐ。）有无限多个点．存在有界闭区域Ｄ，使得 （Ｐ。）ｃＤ．反证法，假设｛Ｐｎ）不存在收敛子列，任取Ｐ。∈Ｄ，都不是｛Ｐ。）的子列的极限，存在ｅ （Ｐｏ）＞ｏ，使得Ｇ（Ｐｏ）一（Ｐ｜ｄ（Ｐ，Ｐ。）＜ｅ（Ｐ。））中至多有｛Ｐ。）的有限项．事实上，Ｖ ｅ＞ｏ， 中有｛Ｐ。｝的无限多项，取ｅ，一１，｛Ｐ ｄ（Ｐ，Ｐｏ）＜１）中含有｛Ｐ。）的无限多项，取一项Ｐ。，，取￡。
若｛Ｐ。）有无穷多项相等，设Ｐｏ—Ｐ。，一Ｐ。。一…一Ｐ～一·，则Ｐ。一Ｐ。（祀一∞）．
事实上，Ｖｅ＞ｏ，ｊ Ｎ，Ｖ咒＞Ｎ，Ｖ户∈Ｎ＋， Ｐ。一Ｐ。＋ｐ Ｉ＜ｓ，而对于Ｎ，存在仇＞Ｎ，使Ｐ。。一Ｐ。， 故Ｖｅ＞ｏ，了Ｎ，ｊ咒毗＞Ｎ，Ｖ咒＞Ｎ，Ｉ Ｐ～一Ｐ。｜＝ｆ Ｐ０一Ｐ。｝＜￡，即只一Ｐ。（７ｚ一。。）．
１【ｅｙ ｗｏｒｄｓ： ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ； ｃｏｖｅｒｉｎｇ； ａｃｃｕｍｕｌａｔｉｏｎ； ｏｒｄｅｒｅｄ ｆｉｅｌｄ
二维平面Ｒ２上的５个基本定理：闭区域套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理及＆矩砌ｙ 准则口１刻画了Ｒ２的完备性，构成了二元函数极限理论的基础．一维实空间中，刻画其完备性的定理除了 闭区域套定理，有限覆盖定理，聚点定理，致密性定理及∞乱咖ｙ准则之外，还有确界存在定理和单调有 界定理．这两个定理是以实数集是有序域为基础的，而平面上的点不能比较大小，故少了２个定理．孙书 荣嘲给出了一维实空间中７个定理全部的相互证明．平面上的这５个基本定理之间的部分证明在一些教材 中已经给出，薛怀玉嘲作了一定的补充，下面笔者分别给出利用闭区域套定理，有限覆盖定理和聚点定理 证明其他定理的过程．为叙述方便，现将这５个定理列出来．
品。）；另一方面，Ｕ Ｕ（Ｒ，郛。）不包含ＤｆｃＤｔ，矛盾．因此，至少存在一点Ｐ。，使得Ｐｏ∈Ｄ。，（规一 ｌ，２，３…）．设有Ｐｊ∈Ｄ。（咒一１，２，３…），则ｏ≤ｄ（Ｐ）一ｏ，从而或＝Ｐｏ．故存在唯一一点Ｐ。，满足Ｐ０∈Ｄ。，（咒一１，２，３…）． 证毕． 定理２净定理３［４１ 定理２辛定理４
有限个开集Ｇ（Ｐ，），Ｇ（Ｐｚ），…，Ｇ（Ｐ。），同样可以覆盖Ｄ．而ＵＧ（只）中含｛Ｐ。）有限项，从而Ｄ
中含有｛Ｐ，Ｉ）有限项，与｛Ｐ。）有无限多个点矛盾． 证毕． 定理２净定理５ 证若（只）有无穷多项相等即Ｐ。一Ｐ唧一Ｐ。一…一Ｐ～＝…，则Ｐ。一Ｐ。（咒一ｏ。）．即。．．Ｖ￡＞ｏ，
ｊ Ｎ，Ｖ矩＞Ｎ，Ｐ∈Ｎ＋， Ｐ。一Ｐ。＋ｐ Ｉ＜￡，而对于Ｎ，存在Ｎｔ＞Ｎ，使ＰＭ＝Ｐｏ．故Ｖ￡＞ｏ，ｊ Ｎ， ｊ小“＞Ｎ，Ｖ，ｚ＞Ｎ， ＰＭ一九ｌ—Ｉ Ｐｏ—九｜＜￡，即Ｐ。一Ｐ０（以一。。）．
摘要：平面上的５个定理，闭区域套定理，有限覆盖定理，聚点定理，致密性定理及Ｃａｕｔｈｙ准则，刻画
了Ｒ２的完备性，构成了二元函数极限理论的基础．分别以闭区域套定理，有限覆盖定理，聚点定理为基础，
证明其它定理。体现了这５个定理之间的相互等价．
关键词：完备性；覆盖；聚点；有序域
中圈分类号：０ １７４
文献标识码：Ａ
定理２净定理１ 证反证法．设闭区域套定理不成立，则Ｄ。中的任意一点Ｐ都不属于某个Ｄｔ，从而存在Ｐ点的邻
域【，（Ｐ，砩），使Ｄｔ ｎ【，（Ｐ，∞）一万·显然ＰＭ，ｕ（Ｐ，品）覆盖了Ｄ·，根据定理２．ＰＭ，ｕ（Ｐ，郛）
中有有限个开圆域覆盖Ｄ。，设Ｄ－ｃ。Ｕ１ｕ（Ｒ，瓴），其中【，（Ｐｔ，电）ｎ Ｄ札一历，五＝１，２，…，咒，ｉｔ
故存在唯一一点Ｐｏ，满足Ｐ。∈Ｄ。（扎一１，２，３…）．
证毕．
定理３专定理２ 证设Ｄ是Ｒ２上的一个有界闭集，｛△ａ）为Ｒ２上的一个开集族，它覆盖了Ｄ．若Ｄ为有限点集，则
文章编号：１６７３一１４９２（２００７）０４一ｏ００５．０４
Ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌ Ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉ蚰ｏｆ Ｐｒｉｎｃｉｐａｌ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ蚰Ｃｏｍｐｌｅｔｅｎ姻ｓ Ｐｍｐｅｒｔｙ ｏｆ Ｔｗｏ．ｄｉｍｅ璐ｉｏｎａｌ Ｓｐ懿ｅ
ＧＵＡＮ Ｊｉｎ＿ｙｕ，ＸＵ Ｙｏｎｇ－ｃｈｕｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＣｏＨｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｅｂｅｉ Ｎｏｒｔｈ Ｕｎｊｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈａｒｌｇｊｉａｋｏｕ ０７５０２８，Ｈｅｂｅｉ，Ｃｈｉｎａ）
１
ＰＮ２≠ＰＮ。），令￡２一ｍｉｎ｛ｄ（ＰＮ，，ＰＮ。），１一ｄ（ＰＮ，，ＰⅣ２），专），则Ｄ２一｛Ｐ Ｐ—Ｐ心Ｉ≤ｅ２｝外
最多有｛Ｐ。）的有限项，且Ｄ－３Ｄｚ，一直做下去，取￡ｔ—ｍｉｎ｛ｄ（Ｐ心一，，ＰＭ），ｄ（ＰＭ一。，Ｐ心一。）一
矗（ＰＭ一。，Ｐ％），专），（Ｍ＞ＮＩ一，），则Ｄ＾一｛Ｐ Ｐ—Ｐ魄Ｊ≤缸）外最多有｛Ｐ。）有限项，Ｄｔ一，３
万方数据
２００７年８月
关金玉等：二维空间完备性基本定理的相互证明
第４期
∈Ｎ＋，以≥２．设Ｊ—ｍａｘ｛ｉ。，ｉ。，ｉ。，…，矗），由定理ｌ的条件，有ｎ【，（Ｒ，＆。）一Ｄ，，于是Ｖ志∈
女一ｉ
’
（１，２，…，挖），ｕ（Ｒ，氓）ｎ ｑ一彩，即。Ｕ１【，（Ｒ，啦）ｎ ｑ一万．一方面，有Ｄ－ｃ。Ｕ１【，（Ｒ，
多有（Ｐ。｝有限项，显然，｛Ｕ（Ｐ，￡。）Ｉ Ｐ∈Ｄ）覆盖了Ｄ，从而有有限个开覆盖能覆盖Ｄ，设Ｕ（Ｐ，，
ｅ＾），…，【，（Ｐ。，ｅ＾）覆盖了Ｄ从而也覆盖了（Ｐ。），而每个Ｕ（Ｒ，ｓ＾）中至多有｛Ｐ。）中有限项． 从而｛只）至多有有限项，与｛Ｐ。）为无限点列矛盾．
证毕．
３以定理３为公理证明其它定理
定理３净定理１ 证设｛Ｄ。）是平面Ｒ２上的一个闭域列，它满足条件：（１）Ｄ。３Ｄ什ｔ（孢一１，２，３…）；（２）ｚｉｍｄ
（Ｐ～｝即为收敛子列；若（只）中没有无限项相等，则（Ｐ。｝有无限多个点．由于（Ｐ。）有界，故存在 闭正方形区域Ｄ，使得Ｐ。∈Ｄ，（”一１，２，３…）．连结Ｄ各边中点将Ｄ四等分为Ｄ。，Ｄ：，Ｄ。，Ｄ。，则 Ｄ；（ｉ一１，２，３，４）至少有一个含有｛Ｐ。）中无穷多个点，否则与｛Ｐ。）有无限多个点相矛盾，将这个 （若有多个，取其中一个）Ｄｔ记为Ｄｎ’，取定含在Ｄｎ’中的｛Ｐ。）的某一项Ｐ。，，再四等分Ｄｎ’，将Ｄｎ’ 的四个子闭区域中含有｛Ｐ。）中无穷多个点的一个记为Ｄ姑’，取含在Ｄ他’中的｛Ｐ。）的某一项Ｐ。。（规：＞ 挖ｔ），一直做下去，得到一列闭区域套｛Ｄｈ’）和点列｛Ｐ。。） （咒抖，＞扎。，五一１，２，３…），其中１ｉｍｄ
定理ｌ 闭区间套定理设｛Ｄ。）是平面Ｒ２上的１个闭域列，它满足条件：（１）Ｄ。３Ｄ计，（咒一ｌ， ２，３，…）；（２）ｌｉｍｄ（Ｄ。）一ｏ，则存在唯一一点Ｐｏ，满足Ｐｏ∈Ｄ。（，ｌ＝１，２，３，…）．
ｎ●∞
定理２有限覆盖定理若Ｄ是Ｒ２上的一个有界闭集，（△ａ）为Ｒ２上的一个开集族，它覆盖了Ｄ， 则在｛△口）中必存在有限个开集可以覆盖Ｄ．
’，ｒ＋∞
（Ｄ“’一ｌｉｍ未一（Ｄｎ’）一ｏ．由定理１，存在唯一一点Ｐ０，满足Ｐ０∈Ｄ“’（咒一１，２，３…）．显然有ｏ≤ｄ
（Ｐ～，Ｐ。）≤ｄ（Ｄ‘～’）·而璺ｄ（Ｄ“’）一ｏ，故避ｄ（Ｐ～，Ｐ０）一ｏ．故｛Ｐ～｝为｛Ｐ。）的收敛子列．
证毕． 定理ｌ净定理５
证必要性易证．下面证充分性．
设点列｛Ｐ。）满足定理５的条件．
Ａｂｓｔｍｃｔ： Ｃａｕｃｈｙ Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ， Ａｃｃｕｍｕｌａｔｉｏｎ Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，Ｂ０１ｚａｎｏ－Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ Ｔｈｅｏｒｅｍ， Ｎｅｓｔｅｄ Ｃｌｏｓｅｄ Ｒｅｇｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｅｍ ａｎｄ Ｆｉｎｉｔｅ Ｃｏｖｅｒｉｎｇ Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ａｒｅ ｅｑｕａｌ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｗｈｉｃｈ ｄｅｐｉｃｔ ｓｅｑｕｅｎｔｉａｌ ｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓ ａｎｄ ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａＩ ｓｐａｃｅ． Ｔｈｅ ｆｉｖｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ａｒｅ ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ ｂａｓｉｃ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｔｈｅｏｒｙ ｏｎ ｄｕａｌｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｉｓ ｔｏ ｎａｒｒａｔｅ ｔｈｅ ｅｑｕｉｐｏｌｌｅｎｃｅ ｂｙ ｐｒｏｖｉｎｇ ｅｖｅｒｙ ｔｈｅｏｒｅｍ ｂｙ ｕ— ｓｉｎｇ Ａｃｃｕｍｕｌａｔｉｏｎ Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ， Ｎｅｓｔｅｄ Ｃｌｏｓｅｄ Ｒｅｇｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｅｍ ａｎｄ Ｆｉｎｉｔｅ Ｃｏｖｅｒｉｎｇ Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ．
第２３卷第４期 ２００７年８月
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Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｅｂｅｉ Ｎｏｒｔｈ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
Ｖ０１．２３ Ｎｏ．４ Ａｕｇ．２００７
二维空问完备性基本定理的相互证明
关金玉，徐永春
（河北北方学院理学院数学系，河北张家口０７５０００）
下面设｛Ｐ。卜中没有无限多项相等．取￡。一１，则存在正整数Ｎ，使得当犯＞Ｎ时，对一切自然数Ｐ，
都有ｄ（Ｐ。，Ｐ—ｐ）＜ｅｌ，取Ｎ１＝Ｎ＋１＞Ｎ，则当，ｌ＞Ｎ，有ｄ（Ｐ。，ＰⅣ１）＜１，即Ｄ，＝｛Ｐ
Ｐ—
Ｐ Ｎ’ｌ≤１）外最多有｛Ｐ。）的有限项，从而Ｄ，内有（Ｐ。｝的无限多项，取一点ＰＮ。∈Ｄ。，（Ｎ。＞Ｎ，，
２００７年８月
河北北方学院学报（自然科学版）
第４期
Ｎ，使得当扎＞Ｎ时，对一切自然数Ｐ，都有ｄ（Ｐ。，Ｐ井。）＜ｅ．
１ 以定理１为公理证明其它定理
定理１净定理２［４０ 定理１净定理３［５１ 定理ｌ净定理４
证 设｛Ｐ。）为Ｒ２上有界数列．若｛Ｐ。）中有无穷多项相等，设Ｐ。，一Ｐ。。一·一Ｐ。。一·，则
１
一ｍｉｎ｛ｄ（Ｐ。，，Ｐ０），÷｝，则（Ｐ ｄ（Ｐ，Ｐｏ）＜￡ｚ）中含有（Ｐ。）的无限多项，取一项Ｐ。。（Ｐ。。≠
Ｐ＾，，ｌ。＞，ｌ。），一直下去，得到（Ｐ。）的子列｛Ｐ。。），显然｛Ｐ～）收敛于Ｐｏ，与假设矛盾．于是Ｖ Ｐ∈ Ｄ，存在Ｇ（Ｐ），其中至多有｛Ｐ。）的有限项，开区域簇｛Ｇ（Ｐ） Ｐ∈Ｄ）覆盖了Ｄ，由定理２，存在
（Ｄ。）＝０．不妨设Ｄ。≠Ｄ抖，（咒＝ｌ，２，３…），任取只∈耽（咒＝１，２，３…），则Ｅ一｛Ｐ，，Ｐｚ，…， ｎ，…）是有界无限点集，由定理３，Ｅ有聚点．设Ｐ０为Ｅ的一个聚点，则易证Ｐｏ∈Ｄ。（ｎ一１，２，３
万方数据
２００７年８月
河北北方学院学报（自然科学版）
第４期
…），否则，存在某个ｎ。，使得Ｐｏ旺Ｄ‰，则Ｐｏ必为Ｄ～的外点，存在Ｐｏ的某个邻域Ｕ（Ｐ。），使得【， （Ｐｏ）与Ｄ。无交，则ｕ（Ｐ。）内最多有Ｅ有限个点，与Ｐｏ为Ｅ的一个聚点矛盾．设有或∈Ｄ。（，ｌ＝１， ２，３…），则ｏ≤ｄ（Ｐ；，Ｐｏ）≤ｄ（Ｄ。），而由ｚｉ，，ｌｄ（Ｄ。）一ｏ，易知ｄ（Ｐ：，Ｐ。）一ｏ，从而Ｐ：＝Ｐｏ．
Ｄ。．得到闭域套｛Ｄ。｝，满足ｌｉｍｄ（Ｄ。）＝ｏ．由定理ｌ，存在唯一一点Ｐ。，满足Ｐ０∈Ｄｔ（忌一１，２，３ …）．Ｖ ｅ＞Ｏ，了是∈Ｚ＋，使得￡＞２ｅ。，令Ｄ＝｛Ｐ Ｐ—Ｐ０ Ｉ≤￡），则Ｄ３Ｄｔ，而Ｄ。外最多有｛只｝ 有限项，故Ｄ外最多有｛Ｐ。｝有限项，从而点列｛Ｐ。）收敛于Ｐ０．
证毕．
２ 以定理２为公理证明其它定理
定理３ 聚点定理Ｒ２上的有界无限点集至少有一个聚点． 定理４致密性定理有界数列必有收敛子列． 定理５平面点列收敛的柯西准则 平面点列｛Ｐ。｝收敛的充要条件是：任给正数ｅ，存在正整数
收稿日期：２００７—０５－２４ 作者筒介：关金玉（１９７６一），男，内蒙古通辽人，河北北方学院理学院数学系讲师，学士．
万方数据
证 设（Ｐ。）为Ｒ２上有界数列．若（Ｐ。｝中有无穷多项相等，设Ｐ。，一Ｐ。，一…一Ｐ。。一·，则
｛Ｐ。。）即为收敛子列．若｛Ｐ。）中没有无限项相等，则｛Ｐ。）有无限多个点．存在有界闭区域Ｄ，使得 （Ｐ。）ｃＤ．反证法，假设｛Ｐｎ）不存在收敛子列，任取Ｐ。∈Ｄ，都不是｛Ｐ。）的子列的极限，存在ｅ （Ｐｏ）＞ｏ，使得Ｇ（Ｐｏ）一（Ｐ｜ｄ（Ｐ，Ｐ。）＜ｅ（Ｐ。））中至多有｛Ｐ。）的有限项．事实上，Ｖ ｅ＞ｏ， 中有｛Ｐ。｝的无限多项，取ｅ，一１，｛Ｐ ｄ（Ｐ，Ｐｏ）＜１）中含有｛Ｐ。）的无限多项，取一项Ｐ。，，取￡。
若｛Ｐ。）有无穷多项相等，设Ｐｏ—Ｐ。，一Ｐ。。一…一Ｐ～一·，则Ｐ。一Ｐ。（祀一∞）．
事实上，Ｖｅ＞ｏ，ｊ Ｎ，Ｖ咒＞Ｎ，Ｖ户∈Ｎ＋， Ｐ。一Ｐ。＋ｐ Ｉ＜ｓ，而对于Ｎ，存在仇＞Ｎ，使Ｐ。。一Ｐ。， 故Ｖｅ＞ｏ，了Ｎ，ｊ咒毗＞Ｎ，Ｖ咒＞Ｎ，Ｉ Ｐ～一Ｐ。｜＝ｆ Ｐ０一Ｐ。｝＜￡，即只一Ｐ。（７ｚ一。。）．
１【ｅｙ ｗｏｒｄｓ： ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ； ｃｏｖｅｒｉｎｇ； ａｃｃｕｍｕｌａｔｉｏｎ； ｏｒｄｅｒｅｄ ｆｉｅｌｄ
二维平面Ｒ２上的５个基本定理：闭区域套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理及＆矩砌ｙ 准则口１刻画了Ｒ２的完备性，构成了二元函数极限理论的基础．一维实空间中，刻画其完备性的定理除了 闭区域套定理，有限覆盖定理，聚点定理，致密性定理及∞乱咖ｙ准则之外，还有确界存在定理和单调有 界定理．这两个定理是以实数集是有序域为基础的，而平面上的点不能比较大小，故少了２个定理．孙书 荣嘲给出了一维实空间中７个定理全部的相互证明．平面上的这５个基本定理之间的部分证明在一些教材 中已经给出，薛怀玉嘲作了一定的补充，下面笔者分别给出利用闭区域套定理，有限覆盖定理和聚点定理 证明其他定理的过程．为叙述方便，现将这５个定理列出来．
品。）；另一方面，Ｕ Ｕ（Ｒ，郛。）不包含ＤｆｃＤｔ，矛盾．因此，至少存在一点Ｐ。，使得Ｐｏ∈Ｄ。，（规一 ｌ，２，３…）．设有Ｐｊ∈Ｄ。（咒一１，２，３…），则ｏ≤ｄ（Ｐ）一ｏ，从而或＝Ｐｏ．故存在唯一一点Ｐ。，满足Ｐ０∈Ｄ。，（咒一１，２，３…）． 证毕． 定理２净定理３［４１ 定理２辛定理４