三角函数模型的应用
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角函 数 关 系 ， Ｕ— Ａｓｎ ￣ ＋ ） ｆ 即 ｉ（ ｔ ， —Ａｓｎ ｏｔ ｉ（￣＋ ） 根 据 图像 ．
例 ３ 如 图 ３所 示 ， ０ 的 半 径 为 圆
Ｒ， 形 ＡＢ Ｄ 内接 于Байду номын сангаас圆 ， 矩 形 ＡＢ Ｄ 矩 Ｃ 求 Ｃ
面积的最大值．
分 析 ： 矩 形 面 积 最 大 值 可 以 考 虑 求 建立面积 关 于某 ～变 量 的函数 关 系式 ， 将 问题 转 化 成 函数 最 值 问 题 来 解 决 ． 解 ： 结 ＡＣ， Ｂ 连 设 ＡＣ＝０ 则 Ａ ， Ｃ＝
故Ｕ ３ｓ ５ｃ 詈） ＝０ｉ１ ０ ０＋ ． ｎ ７
因发 电机 电压 的相 位 和频 率 与 电网 电压 的相 位 和 频 率 互 不相等 ， 此不能直接并网 ， 要调整相位和频率． 因 需 （） ２ 若 在 任 意 一 段 的时 间 内 ， 电压 Ｕ 都 能取 得 最 大
则 ＜ ｆ ，１ ￡ｏ 孥 蠢＜ 即０ ＜ ． 警 ＜２
例 ２ “ 昌之 星” 天 轮 （ ２建 设 总 高 南 摩 图 ）
度 为 １０ 转盘 直径 为 １３ 超 过 了 目前 世 界 ６ｍ， ５ｍ， 最 高 的摩 天轮— — 英 国“ 伦敦 之 眼”摩 天 轮做 ．
匀速转 动 ， 转一 圈大 约 需要 ３ｍｎ若 一位 游 旋 ０ｉ ．
客 从最 低处 登 上摩 天轮． （ ） 确定 在 ｔｍｉ） １试 （ ｎ 时该 游 客距 离 地 面 图２
当 ｔ 时，＝７可得 ｓ￣ ＝０ ｙ ， ｉｏ ｎ＝一１则 ， 一一号．
故 Ｔ ｓ（ ￡号） Ｔ ． １ ｉ 蠢 一 ＋６ ５ｎ ３ １ ７
特 殊 点 确 定 的 值 ．
解 ： １ 由 图 可 知 Ａ一 ３ ０ （） ０．
Ｔ２ 面）去频 ｆ７ ：（ １一 ， ＝ ． 一 率 ５
满 ＝ ｓ（－ｏ Ａ ０ ＞ ， １ 号） 足Ｕ Ａｉ ｌ） ＞ ， ｏｌ ＜ ． ｎ ｔｃ（ －
（ ） 图 １是 该 函 数 在 一 个 周 １若
Ｕ
期 内 的 图 像 ， 出 函 数 Ｕ＝ Ａｓ （Ｊ 求 ｉ （ ｎｃ ￡ 十 的 解 析 式 ； 判 断 该 发 电 厂 能 ） 并 否直 接 与 该 电 网 实 行 并 网 ？ （ 电 发
ｕ ０ｓ （０￣＋ ）一发电厂的输出电压和时间的关系 一３０ｉ １０ｔ ， ｎ
、 Ｏ
（ 不妨 没摩 天 轮按逆 时针 方 向旋转 ） 以摩天 轮 的 圆心 为 坐标 原点 ， 水平 直径 所在 直 线为 ｚ轴 建立平 面直 角坐 标系 ， 由于 摩天 轮 匀速 转动， 客距离地面 的高度呈 周期性变 化， 设 Ｙ 游 故 —Ａｓ （ ｔ ｉ ｗ 十 ｎ ９ ＋是Ａ Ｏ Ｏ ｌ ＜ Ⅱ ， ） （＞ ， ， ｛ ） 由题 意知 ， 游客 距 离地 面 的最 大距 离
２ ， Ｂ 一 ２ ｏ Ｏ， Ｒ Ａ Ｒｃ ｓ ＢＣ ＝ ２ ｓｎ Ｓ Ｒ ｉ ，
图 ３
确 定 解 析 式 的 方 法是 ： 由 最 值 确 定 Ａ 和 Ｔ， Ｔ确 定 ； 先 由 再
一 ４ ｓｎ ｃ ｓ Ｒ。 ｉ０ ｏ ０— ２ ｓｎ２ Ｒ ｉ ０
根 据 特 殊 点 确 定 确 定 时尽 可 能 使 用 最 值 点 ， 果 没 有 最 如 值 点 ， 需根 据 特 殊 点所 在 的 单调 区 间 的单 调 性 进 行 取舍 ． 则
厂输 出 电压 的相 位 和 频 率 与 电 网 电
３Ｃ ０
／
０
为 Ａ＋是 ６ ， 一１ ０ 最小 距离 ｋ Ａ＝１ ０ １ ３ ． － ６ － ５ ＝７
一 一
学
．
： ．
压 的 相位 和频 率 分 别 相 同 是 能 并 网 的必备条件之一） （ ） 果 ￡ 任 意 一 段 ２如 在
２ 三 角 函 数 模 型 在 生 活 中 的 应 用 ．
（。 ９。． ０ ＜ ＜ ０ ）
则 当 ２＝９。即 ０ ５时 ，～ ＝２ ２此 时矩 形为 正方形 ． ０ ０， ＝４。 Ｓ Ｒ， 点评 ： 数 思 想是 数 学 中 重 要 的 、 用 的 思 想 方 法 之 一 ． 函 常 本 题 在 诸 多 解 法 中 用 三 角 函数 模 型 来解 决 最 简捷 ． 综 上 ， 三 角 函 数模 型 的应 用 ， 对 我们 从 解 决 问 题 的 过 程 来 看 ， 们都 经历 了 如 下思 维过 程 ： 我
三 角 函数 模 型 的应 用 掌研版 中掌生数理亿．
■ 王 爱 斌
三 角 函数 是 描 述 周 期 现 象 的 重 要 函 数 模 型 ， 的 应 用 主 它
的品度 ；
要 体 现 在 跨 学 科 、 活 中 和数 学 内部 等 方 面 的 综 合 应 用 ． 面 生 下
（ ） 设 南 昌市 市 区 最 高 建 筑 大 约 是 １ １ ７ｍ， 摩 天 轮 ２假 ２．５ 在 转动的一圈内 。 游客有多长时间超过这一高度？ 该 分 析 ： 客 距 离 地 面 的高 度 随 时 间 呈 周 期 性 变 化 ， 游 因此 可 以用三角函数模型来处理．
解 ： １设 该游 客登 上摩 天轮 ｔ ｉ （） ｍ ｎ后距 离 地 面 的 高度 为 ｙ ｍ，
就 这 三个 方 面 举 些 实 例 来 具 体 说 明．
１ 三 角 函数 模 型 在 物 理 学 中 的运 用 ． 例 １ （ 流 电 ） 电 网 中 的 电压 Ｕ 与 时 间 ｔ的关 系 式 为 交 某
因 Ｔ ３， ｍ 一 ０则 一
图 １
则 一５ｉ景￡ ） 丁 ． 丁 ｓ（ ＋ ＋６ １ ｎ １ ３ ７
的时间 内， 电压 Ｕ 都 能取 得 最
大 值 和 最 小 值 ， 么 ｃ的 最 小 正 整 数值 是 多 少 ？ 那 ｃ ，
分 析 ： 过 观 察 图 像 可 以 确 定 函 数 的 周 期 、 值 ， 根 据 通 最 再
故 在 摩 天 轮 转 动 的 一 圈 内 ， 游 客 约 有 ｌｍｉ 时 间 超 该 Ｏ ｎ的
过这一高度．
点 评 ： 活 中 的摩 天 轮 、 车 和 风 车 等做 匀速 圆周 运 动 的 生 水
物体 ， 以及 潮 汐现 象等 具 有 周 期 性 变化 的 问题 ， 般 都 可 以 用 一
则 Ⅲ一１ ０ ． ５ ｎ
＝６ 警ｃ蠢 ≥） １ Ｔ一 。 ０ ７ ｓ ． （在 一６ 半ｃ蠢 ， ≤ｏ ２ 丁一 。 ｆ ３ ） １ ７ ｓ ｏ ｅ ．
令 ＞２７可 ｃ蠢 一 ． ｙ１．，得。 ＜ ÷ １５ ｓ
当一 （ ＋ ： ， 一 ｏ ｔ１１ 志） １ 时 一 ３． ｕ ｏ 则ｉ警 ＝ １ Ｉ －则一 ． ｓ（＋）一， ￣ ｆ 詈 ｎ 因 ｌ ＜，
三 角 函数 来 模 拟 ． ３ 三 角 函数 模 型 在 几 何 问 题 中 的 应 用 ．
值 和最小值 ， Ｔ Ｉ・ 则 ≤而
即 ≤ ， １ ３０ｃ故 ｍ的 最 小 正整 数 值 是 ９ ３ ＞ ０ ７ ， ４．
点 评 ： 的使 用是 现 代 文 明的 重 要 标 志 之 一 ， 电 电与 我 们 的 生 活 密 切 相 关． 交流 电 中 的 电压 、 流 与 时 间 的 关 系都 满足 三 电
ｌ 实际问题Ｉ—
ｌ 解决实际问题Ｉ
ｌ 三角函数模型Ｉ—
Ｉ 数学解Ｉ—
作 者 单 位 ： 苏 省 宿 迁 中 学 江
例 ３ 如 图 ３所 示 ， ０ 的 半 径 为 圆
Ｒ， 形 ＡＢ Ｄ 内接 于Байду номын сангаас圆 ， 矩 形 ＡＢ Ｄ 矩 Ｃ 求 Ｃ
面积的最大值．
分 析 ： 矩 形 面 积 最 大 值 可 以 考 虑 求 建立面积 关 于某 ～变 量 的函数 关 系式 ， 将 问题 转 化 成 函数 最 值 问 题 来 解 决 ． 解 ： 结 ＡＣ， Ｂ 连 设 ＡＣ＝０ 则 Ａ ， Ｃ＝
故Ｕ ３ｓ ５ｃ 詈） ＝０ｉ１ ０ ０＋ ． ｎ ７
因发 电机 电压 的相 位 和频 率 与 电网 电压 的相 位 和 频 率 互 不相等 ， 此不能直接并网 ， 要调整相位和频率． 因 需 （） ２ 若 在 任 意 一 段 的时 间 内 ， 电压 Ｕ 都 能取 得 最 大
则 ＜ ｆ ，１ ￡ｏ 孥 蠢＜ 即０ ＜ ． 警 ＜２
例 ２ “ 昌之 星” 天 轮 （ ２建 设 总 高 南 摩 图 ）
度 为 １０ 转盘 直径 为 １３ 超 过 了 目前 世 界 ６ｍ， ５ｍ， 最 高 的摩 天轮— — 英 国“ 伦敦 之 眼”摩 天 轮做 ．
匀速转 动 ， 转一 圈大 约 需要 ３ｍｎ若 一位 游 旋 ０ｉ ．
客 从最 低处 登 上摩 天轮． （ ） 确定 在 ｔｍｉ） １试 （ ｎ 时该 游 客距 离 地 面 图２
当 ｔ 时，＝７可得 ｓ￣ ＝０ ｙ ， ｉｏ ｎ＝一１则 ， 一一号．
故 Ｔ ｓ（ ￡号） Ｔ ． １ ｉ 蠢 一 ＋６ ５ｎ ３ １ ７
特 殊 点 确 定 的 值 ．
解 ： １ 由 图 可 知 Ａ一 ３ ０ （） ０．
Ｔ２ 面）去频 ｆ７ ：（ １一 ， ＝ ． 一 率 ５
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、 Ｏ
（ 不妨 没摩 天 轮按逆 时针 方 向旋转 ） 以摩天 轮 的 圆心 为 坐标 原点 ， 水平 直径 所在 直 线为 ｚ轴 建立平 面直 角坐 标系 ， 由于 摩天 轮 匀速 转动， 客距离地面 的高度呈 周期性变 化， 设 Ｙ 游 故 —Ａｓ （ ｔ ｉ ｗ 十 ｎ ９ ＋是Ａ Ｏ Ｏ ｌ ＜ Ⅱ ， ） （＞ ， ， ｛ ） 由题 意知 ， 游客 距 离地 面 的最 大距 离
２ ， Ｂ 一 ２ ｏ Ｏ， Ｒ Ａ Ｒｃ ｓ ＢＣ ＝ ２ ｓｎ Ｓ Ｒ ｉ ，
图 ３
确 定 解 析 式 的 方 法是 ： 由 最 值 确 定 Ａ 和 Ｔ， Ｔ确 定 ； 先 由 再
一 ４ ｓｎ ｃ ｓ Ｒ。 ｉ０ ｏ ０— ２ ｓｎ２ Ｒ ｉ ０
根 据 特 殊 点 确 定 确 定 时尽 可 能 使 用 最 值 点 ， 果 没 有 最 如 值 点 ， 需根 据 特 殊 点所 在 的 单调 区 间 的单 调 性 进 行 取舍 ． 则
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．
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（。 ９。． ０ ＜ ＜ ０ ）
则 当 ２＝９。即 ０ ５时 ，～ ＝２ ２此 时矩 形为 正方形 ． ０ ０， ＝４。 Ｓ Ｒ， 点评 ： 数 思 想是 数 学 中 重 要 的 、 用 的 思 想 方 法 之 一 ． 函 常 本 题 在 诸 多 解 法 中 用 三 角 函数 模 型 来解 决 最 简捷 ． 综 上 ， 三 角 函 数模 型 的应 用 ， 对 我们 从 解 决 问 题 的 过 程 来 看 ， 们都 经历 了 如 下思 维过 程 ： 我
三 角 函数 模 型 的应 用 掌研版 中掌生数理亿．
■ 王 爱 斌
三 角 函数 是 描 述 周 期 现 象 的 重 要 函 数 模 型 ， 的 应 用 主 它
的品度 ；
要 体 现 在 跨 学 科 、 活 中 和数 学 内部 等 方 面 的 综 合 应 用 ． 面 生 下
（ ） 设 南 昌市 市 区 最 高 建 筑 大 约 是 １ １ ７ｍ， 摩 天 轮 ２假 ２．５ 在 转动的一圈内 。 游客有多长时间超过这一高度？ 该 分 析 ： 客 距 离 地 面 的高 度 随 时 间 呈 周 期 性 变 化 ， 游 因此 可 以用三角函数模型来处理．
解 ： １设 该游 客登 上摩 天轮 ｔ ｉ （） ｍ ｎ后距 离 地 面 的 高度 为 ｙ ｍ，
就 这 三个 方 面 举 些 实 例 来 具 体 说 明．
１ 三 角 函数 模 型 在 物 理 学 中 的运 用 ． 例 １ （ 流 电 ） 电 网 中 的 电压 Ｕ 与 时 间 ｔ的关 系 式 为 交 某
因 Ｔ ３， ｍ 一 ０则 一
图 １
则 一５ｉ景￡ ） 丁 ． 丁 ｓ（ ＋ ＋６ １ ｎ １ ３ ７
的时间 内， 电压 Ｕ 都 能取 得 最
大 值 和 最 小 值 ， 么 ｃ的 最 小 正 整 数值 是 多 少 ？ 那 ｃ ，
分 析 ： 过 观 察 图 像 可 以 确 定 函 数 的 周 期 、 值 ， 根 据 通 最 再
故 在 摩 天 轮 转 动 的 一 圈 内 ， 游 客 约 有 ｌｍｉ 时 间 超 该 Ｏ ｎ的
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点 评 ： 活 中 的摩 天 轮 、 车 和 风 车 等做 匀速 圆周 运 动 的 生 水
物体 ， 以及 潮 汐现 象等 具 有 周 期 性 变化 的 问题 ， 般 都 可 以 用 一
则 Ⅲ一１ ０ ． ５ ｎ
＝６ 警ｃ蠢 ≥） １ Ｔ一 。 ０ ７ ｓ ． （在 一６ 半ｃ蠢 ， ≤ｏ ２ 丁一 。 ｆ ３ ） １ ７ ｓ ｏ ｅ ．
令 ＞２７可 ｃ蠢 一 ． ｙ１．，得。 ＜ ÷ １５ ｓ
当一 （ ＋ ： ， 一 ｏ ｔ１１ 志） １ 时 一 ３． ｕ ｏ 则ｉ警 ＝ １ Ｉ －则一 ． ｓ（＋）一， ￣ ｆ 詈 ｎ 因 ｌ ＜，
三 角 函数 来 模 拟 ． ３ 三 角 函数 模 型 在 几 何 问 题 中 的 应 用 ．
值 和最小值 ， Ｔ Ｉ・ 则 ≤而
即 ≤ ， １ ３０ｃ故 ｍ的 最 小 正整 数 值 是 ９ ３ ＞ ０ ７ ， ４．
点 评 ： 的使 用是 现 代 文 明的 重 要 标 志 之 一 ， 电 电与 我 们 的 生 活 密 切 相 关． 交流 电 中 的 电压 、 流 与 时 间 的 关 系都 满足 三 电
ｌ 实际问题Ｉ—
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作 者 单 位 ： 苏 省 宿 迁 中 学 江