三角函数模型的应用
三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用
一、引言
三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
本文将介
绍三角函数模型在实际问题中的简单应用，包括振动、音乐、天文等方面。
二、振动模型
振动是物理学中常见的现象，三角函数模型可以很好地描述振动的特性。
例如，在弹簧振子中，物体在平衡位置附近偏离并摆动，可以用正弦
函数描述振动的过程。
振动的周期、频率和振幅等因素可以通过三角函数
进行计算和预测。
三、音乐模型
音乐是艺术与科学的结合，三角函数模型在音乐中也有着重要的应用。
音乐的基本要素包括音高、音长和音色等。
三角函数可以帮助我们理解和
创建不同音调的声音，例如正弦函数可以生成纯音，而复杂的乐曲可以通
过多个三角函数的叠加来表示。
四、天文模型
三角函数模型在天文学中也扮演着重要的角色。
例如，我们可以使用
正弦函数来描述地球公转和自转的运动规律。
通过对三角函数模型的运用，我们可以计算出日出、日落以及季节变化等现象，并预测天文事件的发生
时间和位置。
五、结论
三角函数模型的简单应用涵盖了振动、音乐和天文等多个领域。
通过
对三角函数的理解和运用，我们可以更好地理解和解释各种现象，并进行
相关问题的计算和预测。
在实际应用中，对三角函数模型的灵活运用将有
助于我们解决各类问题。
1.6 三角函数模型的简单应用
1 A (30 10) 10 2
1 b (30 10) 20 2 1 2 14 6, 2 8
8 3 代入(*)式，解得 4
综上，所求解析式为：
3 y 10sin( x ) 20, x [6,14] 8 4
注：
一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的 温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围。
例2：画出函数 y | sin x | 的图象并观察其周期。
解：函数图象如图所示：
从图中可以看出，函数y | sin x |是以 为周期的波浪形曲线。
我们也可以这样验证： 由于 | sin( x ) || sin x || sin x | 所以，函数 y | sin x | 是以 为周期的函数。 注： 利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的 认识，这是研究数学问题的常用方法。
例4：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。 一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进 航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。下面是某港口在 某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 3：00 水深/米 5.0 7.5 时刻 9：00 12：00 水深/米 2.5 5.0 时刻 18：00 21：00 水深/米 5.0 2.5
一、三角函数模型的应用：
例1：如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数
y A sin( x ) b
(1)求这一天6～14时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式。 解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是 20 C 。 (2)从图中可以看出，从6～14时的图象是函数 y A sin( x ) b (*) 的半个周期的图象 将 A 10, b 20, , x 6, y 10
2024-2025学年高一数学必修第一册(配湘教版)教学课件5.5三角函数模型的简单应用
解得
π
φ=2kπ-12 ,k∈Z.
π
π
由- <φ< ,
2
2
所以
π
φ=- .
12
所以
π
f(x)=2sin(2x-12 ),故选
C.
规律方法
给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,确定A,ω,φ的方法
(1)逐一定参法:先通过图象确定A和ω,再选取“第一零点”(即“五点法”作图
中的第一个点)的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零
应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析
它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题
的一般程序如下:
(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.
(2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型.
(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.
2π
又||=12,取
则有
又
π
ω=6 ,
π
h=Asin6 t,
π
h(3)=Asin2 =A=-6,
故所求解析式为
π
h=-6sin6 t.
重难探究·能力素养速提升
探究点一 由y=Asin(ωx+φ)的图象确定其解析式(或参数值)
【例 1】 函数
π
π
f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-2 <φ<2 )的部分图象如图所示,
A.x轴上
B.最低点
C.最高点
D.不确定
解析 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期,故乙移至最高点.
1 2 3 4 5
1.6三角函数模型的简单应用
•
• •
• oπ
-5
4
•
5π x
2 π y = 5 sin( x + ) 3 3
小结:学会读图 由图像找出 小结 学会读图,由图像找出 学会读图 需要的条件. 需要的条件
小结
三角函数模型的应用 三角函数模型 （一）一） 应用（ 应用（
问题1 问题
已知函数y＝ 已知函数 ＝Asin(ωx＋ ϕ )，在同一周期内， ＋ ，在同一周期内， 当x＝ ＝
π
4π 时函数取得最大值2， x＝ ，时函数取得最大值2，当x＝ 9 9
函数取得最小值－2，求该函数的解析式 时， ，
问题2 问题
应用1： 应用 ：
如图，某地一天从 ～ 时的温度变化曲线近似满 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满 足函数 y = Asin x + + b
(ω ϕ )
T/oC 30 20 10 o 6
• （１）求这一天 ～14时的最大温度差。 求这一天6～ 时的最大温度差 时的最大温度差。 • （２）写出这段曲线的函数解析式。 写出这段曲线的函数解析式。
发散:如果求 时将点(10,20)或点 或点(14,30) 发散 如果求 ϕ 时将点 或点 代入呢？ 代入呢？
y
30 20 10
o
6 8 10 12 14
x
函数 y
= A sin(ω x + ϕ ) + B（其中A > 0，ω > 0）
2π
ω 周期是 T = ，频率是 f = 2π ω
函数最大值是A+B 最小值是B 函数最大值是A+B ，最小值是B-A， ,
相位是 ωx + ϕ ，初相是 ϕ ,
三角函数模型的简单应用
(1)将 t＝0 代入 s＝4sin2t＋π3，得 s＝4sin π3＝2 3， 所以小球开始振动时的位移是 2 3 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是 π，所以小球往复振动一次所用的时间是 πs.
[归纳升华] 处理物理学问题的策略
(3)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完 成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本 的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题.
(4)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器.
三角函数在物理中的应用 自主练透型
已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 s(cm)随时间 t(s)的变化规律为 s＝4sin2t＋π3，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个 函数的简图，并回答下列问题：
∴0≤π6t≤4π.② 由①②得π6≤π6t≤56π 或163π≤π6t≤167π. 化简得 1≤t≤5 或 13≤t≤17. ∴该船最早能在凌晨 1 时进港，下午 17 时出港，在港内最多可停留 16 小时．
[归纳升华] 在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图； (2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管 理提供依据．
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数 y＝Asin ωt＋b 的图象． (1)试根据以上数据，求出函数 y＝f(t)的近似解析式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为 是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距 离)为 6.5 米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多 长时间(忽略进出港所需的时间)
三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用一周强化一、知识结构二、重难点知识概述1、用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题，将所发现的规律抽象为恰当的的三角函数模型．2、选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据．3、研究的方法是利用收集到的数据分析分析问题中的数量关系，通过作出散点图，根据散点图进行函数拟合，得到函数模型．4、三角函数模型的应用包括（1）根据图象建立解析式；（2）根据解析式作出图象；（3）根据实际问题处理数据，作出图象进行函数拟合，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．5、建立数学模型解决实际问题，所得的模型一般是近似的，并且得到的解也是近似的，所以需要根据实际背景及问题的条件，注意考虑实际意义，对问题的解进行具体分析．三、例题讲解例1、如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S厘米和时间t秒的函数关系式为：，那么单摆从最高点开始来回摆动一次所需的时间为（）A．2π秒B．π秒C．0.5秒D．1秒分析：本题已给出了单摆离开平衡位置O的距离S厘米和时间t秒的函数关系式，单摆从最高点开始来回摆动一次所需的时间即为此函数的一个周期．解：∵ω=2π，∴．故选D．说明：客观世界中很多物理现象的数量之间存在着三角函数关系，熟练掌握三角函数的图象与性质及有关结论，有助于解决此类问题．例2、如图，某大风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点O离地面0.5m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．(1)求函数h=f(t)的关系式；(2)画出函数h=f(t)的图象．解析：本小题主要考查三角函数的图象和性质及恒等变换知识，以及由数到形的转化思想和作图技能；考查运算能力和解决实际问题的能力．解：(1)如图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系．设点A的坐标为(x,y)，则h=y＋0.5．设∠OO1A=θ，则又，即，所以(2)函数的图象如下例3、下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序号x1 59 80 117 126 172 225 263 298 356白昼时间y（小时）5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.48.5 5.4(I)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；(Ⅱ)试选用一个形如y=Asin(ωx＋)+t的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系．(注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算)(Ⅲ)用(Ⅱ)中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．解：（I）画散点图见下面．（II）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为y=Asin(ωx＋)＋t，由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，即y max=19.4，y min=5.4，由19.4－5.4=14，得A=7；由19.4＋5.4=24.8，得t=12.4；又T=365，∴，例4、在长江汽车渡口，马力不足或装货较重的汽车上岸时，采用沿着坡面斜着成S形的方向向上升，这是为什么？解析：在汽车马力恒定的情况下，行驶单位路程内，垂直上升高度愈大，汽车愈费“力”，当“力”所不及时，就会发生危险．日常经验告诉我们，走S形可减少这种危险．从数学的角度看，如图所示，AB表示笔直向上行走的路线，(AB⊥CA)，α表示它与水平面所成的夹角，CB表示斜着向上所行走的路线，β表示它与水平面所成的夹角，它们所达到的高度都是BD．现在的问题就是要研究α和β这两个角哪个大．在Rt△BAD中，，①在Rt△BCD中，，②比较①与②，因为AB、CB分别是Rt△ABC的直角边和斜边，也就是说AB＜CB，所以，所以sinα＞sinβ．又因为α、β都是锐角，所以α＞β．因此，汽车沿着CB方向斜着向上开要省力．说明：山区修筑的公路，采取盘山而上的方法，也就是这个道理．另外实际问题中也要碰到利用三角函数来比较大小的问题．。
高中课件 三角函数模型的简单应用
1.通过对三角函数模型的简单应用的学习， 初步学会由图象求解析式的方法； 2.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的 过程； 3.体会三角函数是描述周期变化现象的重要 函数模型．
在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用
数学语言可以说这些现象具有周期性1、，物理情而景—我—们所学的三角
①简谐运动
.
（2）货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5 （米），所以
当y≥5.5时就可以进港.令
化简得
sin
6
x
2.5 sin
0.2
6
x
5
5.5
由计算器计算可得
6
x
0.2014,或来自6x0.2014
y
6
4
AB
CD
2
O
3 6 9 12 15 18 21 24
x
解得 xA 0.3848, xB 5.6152
1.6三角函数模型的简单应 用
本节课以三角函数各种实践生活中的模型让学生 体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建 模”思想,从而培养学生建模、分析问题、数形结合、 抽象概括等能力．
让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解 决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴 趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、 勤于思考的精神.
分析：根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为——
南，北回归线之间的地带.画出图形如下，由画图易知
H
A
B
C
解：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回 归线时，楼顶在地面上的投影点，要使新楼一层正午的太 阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情 况考虑，此时的太阳直射纬度为-23º26'，依题意两楼的间 距应不小于MC.
《三角函数模型的简单应用》 讲义
《三角函数模型的简单应用》讲义一、引入在我们的日常生活和学习中，三角函数有着广泛的应用。
从物理中的波动现象到建筑设计中的角度计算，从音乐中的声波到天文观测中的星体运动，三角函数都发挥着重要的作用。
通过学习三角函数模型的简单应用，我们能够更好地理解和解决与周期变化相关的实际问题。
二、三角函数的基本概念在深入探讨三角函数模型的应用之前，我们先来回顾一下三角函数的基本概念。
1、正弦函数（sin）：对于一个角α，正弦函数的值等于这个角的对边与斜边的比值。
2、余弦函数（cos）：余弦函数的值等于这个角的邻边与斜边的比值。
3、正切函数（tan）：正切函数的值等于这个角的对边与邻边的比值。
三角函数的周期是其重要的性质之一。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，正切函数的周期是π。
三、三角函数模型的构建在实际问题中，我们常常需要根据给定的条件构建三角函数模型。
例如，考虑一个简单的摆动问题。
一个摆锤从某一位置开始摆动，它的位移与时间的关系可以用正弦函数来描述。
假设初始位置在平衡位置右侧，摆锤的振幅为 A，周期为 T，那么位移 y 与时间 t 的关系可以表示为：y ＝A sin(2πt/T) 。
再比如，对于一个周期性变化的温度问题。
如果一天中温度的最高值和最低值已知，以及温度变化的周期（通常为 24 小时），我们可以用正弦函数的形式来近似地表示温度随时间的变化：T(t) ＝ Asin(2πt/24) ＋ B ，其中 A 是温度变化的幅度，B 是平均温度。
四、三角函数模型在物理中的应用1、交流电的变化在电学中，交流电的电压和电流通常是随时间周期性变化的。
可以用正弦函数来描述其变化规律，例如：U ＝ U₀ sin(ωt ＋φ) ，其中 U₀是电压的最大值，ω 是角频率，φ 是初相位。
2、机械振动弹簧振子的位移、速度和加速度都可以用三角函数来表示。
通过对这些三角函数的分析，我们可以了解振子的运动规律，从而为机械设计和工程应用提供理论基础。
三角函数的模型及应用
三角函数的模型及应用三角函数是数学中一个重要的分支，它涉及到角的度量和关系，以及角在几何图形中的应用。
三角函数的模型是用来描述角度和边长之间的关系，而三角函数的应用则广泛涉及到几何、物理、工程等领域。
首先，我们来讨论三角函数的模型。
最常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的定义如下：正弦函数：sin(x) = 对边/ 斜边余弦函数：cos(x) = 邻边/ 斜边正切函数：tan(x) = 对边/ 邻边其中，对边、邻边和斜边指的是一个直角三角形中与角度x相关的边长。
这些三角函数的定义基于一个特殊的直角三角形，即单位圆上的一条半径与x轴和y 轴夹角为x的射线。
三角函数的模型可以进一步扩展到一般的三角形中，通过在单位圆上做垂线，我们可以将非直角三角形的边长和角度联系起来。
例如，根据正弦定理和余弦定理，可以得到以下关系：正弦定理：a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(C)这些模型提供了计算三角形各边长和角度的方法，非常有用。
接下来，我们来探讨三角函数的应用。
三角函数在几何学中有广泛的应用。
例如，在解决三角形的边长和角度问题时，可以使用三角函数求解未知量。
三角函数还可以被用来计算几何图形的面积和体积，例如圆的面积和球的体积等。
此外，三角函数在物理学中也有广泛的应用。
例如，在运动学中，三角函数可以用来描述物体在直线上的运动，如加速度、速度和位移之间的关系。
另外，在力学中，三角函数可以用来计算力的分解，例如对一个斜面上的物体施加的力的分解等。
在工程学中，三角函数也被广泛应用。
例如，在建筑设计中，可以使用三角函数计算斜塔的高度和角度。
在航海中，可以使用三角函数来计算航线和船只的位置等。
总结起来，三角函数是数学中一个重要的分支，其模型描述了角度和边长之间的关系，应用于几何学、物理学和工程学等领域。
通过使用三角函数的模型和公式，我们可以解决各种与角度和边长相关的问题，推导出相应的计算方法，丰富了数学的应用领域。
三角函数在计算机模型中的应用
三角函数在计算机模型中的应用三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在计算机科学中，三角函数也扮演着重要的角色。
它们被用于处理计算机模型中的各种问题，包括图形渲染、动画设计、物理模拟和信号处理等等。
本文将探讨三角函数在计算机模型中的具体应用。
一、图形渲染中的三角函数应用图形渲染是计算机图形学的一个重要领域，它涉及将二维或三维的图形模型转化为屏幕上的像素。
在图形渲染中，三角函数被广泛应用于计算坐标变换、投影变换和光照变换等。
例如，在三维图形中，利用正弦函数可以计算光线与物体表面的夹角，从而实现阴影的效果。
此外，三角函数还可用于插值、平滑和形变等操作，使得生成的图像更加真实和逼真。
二、动画设计中的三角函数应用动画设计是计算机图形学中的另一个重要领域。
通过利用三角函数的周期性特点，可以实现物体的运动效果。
比如，通过改变角度和时间，可以实现旋转、平移和缩放等效果。
此外，三角函数还可以用于设计复杂的运动轨迹，如螺旋、波形等。
通过灵活运用三角函数，动画设计可以创造出各种各样的视觉效果，提升用户的观赏体验。
三、物理模拟中的三角函数应用在计算机模型中，对物体进行物理模拟是一项重要任务。
通过合理地利用三角函数，可以模拟出真实世界中的物理现象，如重力、摩擦、弹性等。
例如，在游戏开发中，通过计算物体的位置和速度，利用三角函数来模拟物体的加速度和角度等。
这样可以实现游戏中的碰撞、弹射和飞行等效果，增强游戏的真实感和可玩性。
四、信号处理中的三角函数应用信号处理是计算机科学中的一个重要分支，它涉及分析、处理和改变各种信号的方法与技术。
三角函数在信号处理中具有重要的应用，尤其是频域分析。
通过傅里叶变换，可以将信号从时域转换为频域，并利用三角函数的正交性质对信号进行分解和合成。
这使得我们能够更好地理解信号的频谱特性，并对信号进行滤波、压缩和修复等操作。
综上所述，三角函数在计算机模型中具有广泛的应用。
无论是图形渲染、动画设计、物理模拟还是信号处理，三角函数都扮演着重要的角色。
三角函数模型的简单应用 课件
已知电流 I＝Asin(ωt＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜2π在 一个周期内的图象如图．
(1)根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电流 I＝Asin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多 少？
• 【思路点拨】对于(1)，由于解析式的类型已经确定，只需根据图象确 定参数A，ω，φ的值即可．其中A可由最大值与最小值确定，ω可由周 期确定，φ可通过特殊点的坐标，解方程求得．对于(2)可利用正弦型 函数的图象在一个周期中必有一个最大值和一个最小值点来解．
三角函数模型的简单应用
• 三角函数的应用
• 1．根据实际问题的图象求出函数解析式．
• 2．将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． • 3．利用搜集的数据作出 散点图 ，并根据 散点图 进行函数拟合，从
而得到函数模型．
• 在建模过程中，散点图的作用是什么？
• 提示：利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然 后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲 目选择函数模型而造成的不必要的失误．
12分
• 【题后总结】由于三角函数是周期函数，只有相关数据呈周期性变化， 才考虑用三角函数来拟合，并根据散点图的大致形态，选择适当类型
的三角函数，再利用已知数据结合图象，确定函数解析式中的参数
值．对实际问题的求解，需仔细审题，将问题转化为三角函数模型来 解决(如本例中将实际问题转化为解三角不等式)，并回到实际情景作 答．
故所求的解析式为
I＝300sin150π
t＋6π.
(2)依题意，周期 T≤1510， 即2ωπ≤1510(ω＞0)， 所以 ω≥300π＞942， 故 ω 的最小正整数值为 943.
三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用1．三角函数的周期性y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|；y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|；y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期是T ＝π|ω|.2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的性质(1)y max ＝A ＋k ，y min ＝－A ＋k .(2)A ＝y max －y min 2，k ＝y max ＋y min 2.(3)ω可由ω＝2πT 确定，其中周期T 可观察图象获得．(4)由ωx 1＋φ＝0，ωx 2＋φ＝π2，ωx 3＋φ＝π，ωx 4＋φ＝32π，ωx 5＋φ＝2π中的一个确定φ的值．3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．y ＝|sin x |的图象，如下图所示：函数y ＝|cos x |的图象函数y ＝sin|x |的图象函数y=cos|x|的图像求下列函数的周期：(1)y ＝|sin 2x |；(2)y ＝|sin(32π+x )+31|(3)y ＝|tan 2x |.一般地有以下结论：①y ＝|sin x |的周期是π；②y ＝|cos x |的周期是π；③y ＝|tan x |的周期是π；④y ＝|A sin(ωx ＋φ)|(Aω≠0)的周期是π|ω|；⑤y ＝|A sin(ωx ＋φ)＋k |(Aωk ≠0)的周期是2π|ω|.1°审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2°建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；3°求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°还原：把数学结论还原为实际问题的解答．下图表示电流I 与时间t 的函数关系式：I ＝A sin(ωt ＋φ)（|ϕ|<2π）在同一周期内的图象．(1)据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)为使I ＝A sin(ωt ＋φ)中t 在任意一段1100的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？解(1)由题图知，A ＝300，t 1＝－1300，t 2＝1150，∵T ＝2(t 2－t 1)＝2(1150＋1300)＝150ω＝2πT＝100π.由ωt 1＋φ＝0知φ＝－ωt 1＝π3，∴I ＝300sin(100πt ＋π3(2)问题等价于T ≤1100，即2πω≤1100，也即ω≥200π，故最小正整数为ω＝629.三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．(3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．。
《三角函数模型的简单应用》 讲义
《三角函数模型的简单应用》讲义在我们的日常生活和许多科学领域中，三角函数模型都有着广泛而重要的应用。
通过建立三角函数模型，我们能够对各种周期性的现象进行分析、预测和理解。
接下来，让我们一起深入探讨三角函数模型的一些简单应用。
一、三角函数模型在物理学中的应用1、简谐运动简谐运动是一种典型的周期性运动，例如弹簧振子的运动、单摆的摆动等。
在这些运动中，物体的位移随时间的变化可以用正弦或余弦函数来描述。
以弹簧振子为例，假设弹簧的劲度系数为\（k\），物体的质量为\（m\），平衡位置为原点。
当振子从平衡位置开始运动时，其位移\（x\）与时间\（t\）的关系可以表示为\（x ＝ A\sin(＼omega t ＋＼varphi)＼），其中\（A\）为振幅，＼（＼omega ＝＼sqrt{＼frac{k}｛m}｝＼）为角频率，＼（＼varphi\）为初相位。
通过这个三角函数模型，我们可以计算出振子在任意时刻的位移、速度和加速度，从而深入了解其运动规律。
2、交流电在电学中，交流电的电压和电流也是周期性变化的。
以正弦交流电为例，其电压\（U\）或电流\（I\）随时间\（t\）的变化可以表示为\（U ＝ U_{m}＼sin(＼omega t ＋＼varphi_{1}）＼）或\（I ＝ I_{m}＼sin(＼omega t ＋＼varphi_{2}）＼），其中\（U_{m}＼）和\（I_{m}＼）分别为电压和电流的最大值，＼（＼omega\）为角频率，＼（＼varphi_{1}＼）和\（＼varphi_{2}＼）分别为电压和电流的初相位。
利用这个三角函数模型，我们能够计算交流电的有效值、平均值等重要参数，为电路的设计和分析提供依据。
二、三角函数模型在天文学中的应用1、日月食的预测日月食是一种天文现象，其发生的时间和位置具有一定的周期性。
通过建立三角函数模型，可以对日月食的发生时间、类型和可见区域进行预测。
例如，太阳、地球和月球的相对位置关系可以用角度和时间来描述，从而构建出三角函数模型，推算出日月食的大致时间和地点。
三角函数在数学建模中的应用
三角函数在数学建模中的应用数学建模是一种将数学方法运用于实际问题解决的过程，广泛应用于各个领域，例如物理学、工程学、计算机科学等。
而三角函数作为数学的重要分支，具有广泛的应用，尤其在数学建模中发挥着重要的作用。
本文将探讨三角函数在数学建模中的应用，并探讨其中的一些具体实例。
一、几何建模中的三角函数应用在几何建模中，三角函数被广泛应用于求解与角度相关的问题。
例如，在测量中，我们必须确定两个物体之间的角度。
这时，三角函数可以用来计算夹角的大小。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
通过使用这些函数，我们可以轻松地计算出两个物体之间的角度，从而精确地进行距离测量。
此外，三角函数也可以应用于形状与位置的建模。
例如，当我们需要计算一个物体或结构的边长时，可以使用三角函数来解决。
通过利用三角函数的关系，我们可以确定一个物体或结构的边长与角度之间的关系，从而精确地计算出其边长。
二、物理建模中的三角函数应用在物理学中，三角函数在建模过程中起到了至关重要的作用。
物理学中的许多现象和运动都与角度有关，因此三角函数的概念和应用就显得格外重要。
例如，当我们需要建立一个摆的运动模型时，可以使用正弦函数来描述摆的周期性运动。
正弦函数的周期性特征与摆的周期性运动相吻合，可以精确地描述摆的行为。
此外，在测量光的强度时，也可以利用三角函数来建模。
光的强度通常在传播路径上发生变化，这种变化可以用正弦函数来描述。
因此，通过使用三角函数，我们可以精确地描述光在空间中的传播和变化。
三、工程建模中的三角函数应用在工程学中，三角函数被广泛应用于建立各种工程模型，以解决实际问题。
例如，在建筑设计中，我们常常需要计算斜面的倾斜角度。
这时，可以利用正切函数来解决问题。
通过求取正切值，我们可以精确地计算斜面的倾斜角度，从而在设计和施工过程中采取相应的措施。
此外，三角函数还可以应用于无线通信中的信号传输模型。
在无线通信过程中，信号的传输与角度有着密切的关系。
三角函数模型的实际应用
三角函数模型的实际应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.下面通过几个具体实例，说明三角函数模型的实际应用．1 直接给出三角函数模型的应用题例1 （2012年青岛市调考题）某专业调查队在调查某商品的出厂价格和它的市场销售价格时发现：信息1：该商品的出厂价格是在6元的基础上按月份随函数y1=a1sin（ω1x+φ1）+b1波动的.已知3月份出厂价格达到最高，为8元，然后逐渐降低，到7月份出厂价格达到最低，为4元．信息2：该商品的销售价格是在8元的基础上，按月份随函数y2=a2sin（ω2x+φ2）+b2波动的.已知5月份销售价格达到最高，为10元，然后逐渐降低，到9月份销售价格达到最低，为6元．（1）根据上述信息，求该商品的出厂价格y1（元/件）和销售价格y2（元/件）与月份x之间的函数关系式；（2）若某经销商每月购进该商品m件，且当月能售完，则在几月份盈利最大？并说明理由．解析（1）依题意，得b1=8+42=6，a1=2，t1=2×（7-3）=8，所以ω1=2πt1=π4，y1=2sinπ4x+φ1+6.将点（3，8）代入函数y1=2sinπ4x+φ1+6，得φ1=-π4，所以y1=2sinπ4x-π4+6.同理，可得y2=2sinπ4x-3π4+8.（2）因为利润函数是y=m（y2-y1）=m2sinπ4x-3π4+8-2sinπ4x-π4-6=m2-22sinπ4x，当sinπ4x=-1，即π4x=2kπ-π2（k∈z），亦即x=8k-2（k∈z）时，y取最大值．又1≤x≤12，故当k=1，即x=6时，y最大.综上可知，在6月份盈利最大．点评本题是经济学中的销售利润问题，是两正弦曲线的叠加，紧扣已知条件分别确定出厂价格函数和销售价格函数是解题的关键．例2 （2012年苏州市模拟题）在某个以旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性变化.现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f（n）可近似地用函数f（n）=100acosωn+2π3+m来刻画，其中正整数n表示月份且n∈［1，12］，例如n=1时表示1月份；a和m是正整数；ω>0．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的f（n）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数不少于400人时，该地区进入了一年中的旅游“旺季”.那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．解析（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12，由此可得t=2πω=12，得ω=π6．由规律②可知f（n）max=f（8）=100a+100m，f（n）min=f（2）=-100a+100m，由题意可知f（8）-f（2）=400，所以200a=400，a=2. 又当n=2时，f（2）=200cos（π6×2+2π3）+100m=100，即-200+100m=100，于是m=3.综上可得f（n）=200cosπ6n+2π3+300符合条件．（2）由条件200cosπ6n+2π3+300≥400，可得cosπ6n+2π3≥12，所以2kπ-π3≤π6n+2π3≤2kπ+π3（k∈z），化简可得12k-6≤n≤12k-2（k∈z）.因为n∈［1，12］，n∈n*，所以当k=1时，6≤n≤10，故n=6，7，8，9，10，即一年中的6，7，8，9，10五个月是该地区的旅游“旺季”．点评本题从一个实际的应用背景出发考查三角函数的图象与性质，但不同于以往的考查方式，考查学生的文字理解能力与应用意识，考查学生的运算能力与数据处理能力．例3 （2009年福建省高考题）如图1所示，某市拟在长为8km的道路op的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段osm，该曲线段为函数y=asin ωx（a>0，ω>0），x∈［0，4］的图象，且图象的最高点为s（3，23）；赛道的后一部分为折线段mnp，为保证参赛运动员的安全，限定∠mnp=120°．（1）求a，ω的值和m，p两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道mnp最长？解析（1）依题意，有a=23，t4=3，又t=2πω，所以ω=π6. 所以y=23sinπ6x.当x=4时，y=23sin2π3=3.所以m（4，3）.又p（8，0），所以mp=42+32=5.图1 图2（2）法1 在△mnp中，∠mnp=120°，mp=5，如图2，设∠pmn=θ，则0°故np+mn=1033sin θ+1033sin（60°-θ）=103312sin θ+32cos θ=1033sin（θ+60°）. 因为0°例6 （2012年襄阳市质检题）某港口在某季节每天的水深y（m）与时间t（h）（0≤t≤24）的观测数据及其关系如下表：（1）选用一个函数来近似拟合这个港口的水深y（m）与时间t （h）的函数关系；（2）一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若使该船当天安全离港，它在港内停留的最长时间是多少？（忽略进离港所用的时间）图6解析（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（如图6）．根据散点图，可选用函数y=asin（ωt+φ）+b来拟合水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：a=3，b=10，t=12，φ=0.由t=2πω=12，得ω=π6．因此这个港口的水深y与时间t的关系可用函数y=3sinπ6t+10，t∈［0，24］来近似拟合．（2）由于船的吃水深度为7m，船底离海底的距离不少于4.5m，故船在安全航行时水深应不少于11.5m．令y=3sinπ6t+10≥11.5，得sinπ6t≥12，所以2kπ+π6≤π6t≤2kπ+5π6（k∈z），即12k+1≤t≤12k+5（k∈z）．注意到t∈［0，24］，所以1≤t≤5或13≤t≤17．所以该船在凌晨1时至5时，或下午13时至17时，能够安全进港．该船要在一天内在港口停留时间最长，就应凌晨1时进港，下午17时离港，故该船在港内停留的最长时间为16小时．点评通过对给出数据的研究，了解函数图象的大致走向，为拟合函数提供直观的印象，这是利用三角函数模型解决实际问题最常见的方法．3 演绎建立三角函数模型的应用题例7 （2012年杭州市模拟题）游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心o距地面40.5m，半径40m.若小明从最低点处登上摩天轮，从他登上摩天轮开始计时，他与地面的距离h将随时间t变化，已知5min后到达最高点．（1）求出h与t之间的函数关系式；（2）当小明第1次距离地面20.5m时，用了多少时间？图7解析（1）不妨设摩天轮沿逆时针方向旋转，如图7所示，设经过tmin后，小明由p旋转到p1，则∠p1op=π5t．由图可知，on为中心o到地面的距离，p1m为点p1到地面的距离，过p1作p1q⊥on于q，则h=p1m=on-oq=40.5-op1cos∠p1op，即h=40.5-40cosπt5=40sinπ5t-π2+40.5．所以h与t之间的函数关系式为h=40sinπ5t-π2+40.5．（2）由h=40sinπ5t-π2+40.5=20.5，得sinπ5t-π2=-12．所以当小明第1次距离地面20.5m时，π5t-π2=-π6，即t=53（min）．故小明第1次距离地面20.5m时，用了53min．点评摩天轮在周而复始的转动中，包含着许多数学问题，这里研究了人所在的高度与时间的函数关系，得到一个三角函数模型，解答的关键是通过直角三角形中的边角关系，寻找出两个变量之间的函数关系，从而转化为三角函数模型．例8 （2011年北京海淀区模拟题）一半径为4m的水轮如图8所示，水轮圆心o距水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点p从水中浮现时（图中点p0）开始计算时间．（1）将点p距离水面的高度y（m）表示为时间t（s）的函数；（2）点p第一次到达最高点大约要多少时间？解析（1）不妨设水轮沿逆时针方向旋转，如图9所示，建立直角坐标系. 设角φ-π2<φ<0是以ox为始边，op0为终边的角．由op在t（s）内所转过的角为5×2π60t=π6t，可知以ox为始边，op为终边的角为π6t+φ，故p点纵坐标为4sinπ6t+φ，则y=4sinπ6t+φ+2．当t=0时，y=0，可得sin φ=-12.因为-π2<φ<0，所以φ=-π6，故所求函数关系式为y=4sinπ6t-π6+2．（2）令y=4sinπ6t-π6+2=6，得sinπ6t-π6=1．取π6t-π6=π2+2kπ（k∈z），解得t的最小值为4．故点p第一次到达最高点需要4s．点评实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．。
三角函数在经济学模型中的应用与分析
三角函数在经济学模型中的应用与分析在经济学中，数学方法广泛应用于经济模型的建立与分析。
三角函数作为数学的重要分支，也在经济学中发挥着重要的作用。
本文将探讨三角函数在经济学模型中的应用与分析，并举例说明其在实际经济问题中的运用。
一、周期性现象的建模与分析周期性现象在经济学中非常常见，如经济周期、季节性波动等。
而三角函数中的正弦函数正是一个周期性函数，在经济学模型中被广泛应用。
以经济周期为例，经济的波动往往呈现出周期性的特征，即有一定的周期，如繁荣期、衰退期等。
这种波动可以使用正弦函数进行建模。
假设经济周期的长度为T，周期性现象可以表示为y = A*sin(2πt/T)，其中A为振幅，t为时间。
通过对历史数据的分析，我们可以利用三角函数拟合出具体的周期函数，从而对未来的经济发展趋势进行预测与分析。
二、波动的幅度和周期的分析在经济模型中，我们不仅关注波动的周期，还关注波动的幅度。
三角函数的振幅正是描述波动的幅度的重要指标。
以物价指数的波动为例，我们常常使用三角函数来拟合物价指数随时间变化的函数。
通过对振幅的分析，我们可以判断物价波动的幅度，从而制定相应的经济政策。
例如，如果振幅较大，说明物价波动较为剧烈，政府可以采取相关措施来平抑物价的上涨或下降。
三、经济数据的平滑处理与预测在经济学分析中，经济数据的平滑处理与预测是非常重要的一环。
而三角函数在数据平滑处理和预测中发挥了重要作用。
以季节性调整为例，季节性波动对经济数据的影响往往比较明显，为了剔除这种季节性影响，我们可以使用三角函数对数据进行平滑处理。
通过对历史数据的拟合，我们可以得到一个去除季节性影响后的趋势线，从而更好地分析数据的长期趋势。
此外，三角函数还可以用于经济数据的预测。
通过对历史数据的拟合，我们可以建立一个数据的波动模型，并利用该模型对未来的数据进行预测。
这种方法对于经济预测具有一定的参考价值。
四、求解经济学问题中的几何关系三角函数的特性使其可以描述经济学问题中的几何关系，如角度、距离等。
三角函数模型的实际应用
三角函数模型的实际应用三角函数模型有广泛的应用，下面介绍几类实际应用：一、航海航空三角函数模型在航海航空方面的应用非常重要，利用它可以测量地球的大地测量和定位，在航空运输中提供权威的航行资料，例如绘制路线图、求解航行距离和航行时间等。
二、地图编绘地图编绘工作中也常用三角函数，在建立地图坐标系之前，可以用三角函数求出两点之间的距离或者方位角，在行使凹凸修正等工作中极为重要。
三、极坐标三角函数模型也常用在极坐标系中，假设有一个极坐标点(ρ ˆθ)，那么根据三角函数关系可以将其转换为直角坐标系的表示形式。
从而使可以用直角坐标形式来表示任意的极坐标点，并在其表示形式与直角坐标有关的几何图形中，可以将其绘制出来。
四、机械加工三角函数在机械加工中也有着广泛的用途，例如，利用三角算法，可以得出从一个极坐标到另一个极坐标的机械变换路径；用三角函数实现的抛物面及弧线的切削；在利用摄像机的3D 扫描时，也可以通过三角函数，将摄像机扫描的原始数据，转换成机械加工的参数数据。
五、摄影测量三角函数模型在摄影测量中也有深远的影响，可以进行空间坐标系的转换，从而使摄影测量与地理空间坐标系统融汇贯通。
比如，可以用三角函数模型实现从一幅空间摄影影像到另外一个空间坐标系的世界坐标系之间的重映射。
六、信息存储处理三角函数主要应用于信息存储处理，可以转换地理坐标或者其它形式的数据，将其存储在数据库中，实现进一步的统计分析或者与其它信息数据的结合，从而实现连接存储的数值信息。
七、数字信号处理三角函数在数字信号处理中具有重要作用，可以利用这种模型进行信号的压缩和数字图像的提取和处理，并利用三角算法对多边形进行着色，从而实现信号和图形的处理。
总之，三角函数模型在日常生活中具有很重要的应用，能够有效地解决一些复杂的实际问题，它是一门研究几何形状和距离的重要工具，其求解能力令人感到惊叹。
三角函数模型及其应用
三角函数符号
三角函数包括正弦（sin）、余弦 （cos）、正切（tan）等，每个 函数都有特定的符号和表示方法。
三角函数的性质
奇偶性
正弦函数（sin）和余弦函数（cos）都是偶函 数，正切函数（tan）是奇函数。
周期计算
通过三角函数的周期性，可以计算出任意角 度的三角函数值。
02
三角函数模型
正弦函数模型
定义
正弦函数是直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，记作sin(x)。
周期性
正弦函数具有周期性，其周期为360°或2π弧度。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满足sin(-x) = -sin(x)。
图像
正弦函数的图像是一个周期为2π的波形曲线。
阻尼振动
阻尼振动是指振动物体受到阻力作用而逐渐减小的振 动，其振动幅度可以用三角函数表示。
交流电
正弦交流电
交流电的电压和电流随时间变化，其变化规律可以用正弦 函数和余弦函数表示。
01
相位差
在交流电系统中，两个不同频率的交流 电信号之间存在相位差，可以用三角函 数表示。
02
03
交流电的合成
多个不同频率和幅值的交流电信号可 以合成一个新的交流电信号，其合成 结果可以用三角函数表示。
通信系统
载波调制
01
通过三角函数调制信号的载波，实现信号的远距离传输和抗干
扰能力。
扩频通信
02
利用三角函数（如伪随机序列）实现扩频通信，提高通信系统
的抗干扰和保密性能。
信道均衡
03
在数字通信中，利用三角函数（如最小均方误差算法）对信道
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例 ３ 如 图 ３所 示 ， ０ 的 半 径 为 圆
Ｒ， 形 ＡＢ Ｄ 内接 于 圆 ， 矩 形 Ａ 积 最 大 值 可 以 考 虑 求 建立面积 关 于某 ～变 量 的函数 关 系式 ， 将 问题 转 化 成 函数 最 值 问 题 来 解 决 ． 解 ： 结 ＡＣ， Ｂ 连 设 ＡＣ＝０ 则 Ａ ， Ｃ＝
三 角 函数 来 模 拟 ． ３ 三 角 函数 模 型 在 几 何 问 题 中 的 应 用 ．
值 和最小值 ， Ｔ Ｉ・ 则 ≤而
即 ≤ ， １ ３０ｃ故 ｍ的 最 小 正整 数 值 是 ９ ３ ＞ ０ ７ ， ４．
点 评 ： 的使 用是 现 代 文 明的 重 要 标 志 之 一 ， 电 电与 我 们 的 生 活 密 切 相 关． 交流 电 中 的 电压 、 流 与 时 间 的 关 系都 满足 三 电
因 Ｔ ３， ｍ 一 ０则 一
图 １
则 一５ｉ景￡ ） 丁 ． 丁 ｓ（ ＋ ＋６ １ ｎ １ ３ ７
的时间 内， 电压 Ｕ 都 能取 得 最
大 值 和 最 小 值 ， 么 ｃ的 最 小 正 整 数值 是 多 少 ？ 那 ｃ ，
分 析 ： 过 观 察 图 像 可 以 确 定 函 数 的 周 期 、 值 ， 根 据 通 最 再
ｕ ０ｓ （０￣＋ ）一发电厂的输出电压和时间的关系 一３０ｉ １０ｔ ， ｎ
、 Ｏ
（ 不妨 没摩 天 轮按逆 时针 方 向旋转 ） 以摩天 轮 的 圆心 为 坐标 原点 ， 水平 直径 所在 直 线为 ｚ轴 建立平 面直 角坐 标系 ， 由于 摩天 轮 匀速 转动， 客距离地面 的高度呈 周期性变 化， 设 Ｙ 游 故 —Ａｓ （ ｔ ｉ ｗ 十 ｎ ９ ＋是Ａ Ｏ Ｏ ｌ ＜ Ⅱ ， ） （＞ ， ， ｛ ） 由题 意知 ， 游客 距 离地 面 的最 大距 离
三 角 函数 模 型 的应 用 掌研版 中掌生数理亿．
■ 王 爱 斌
三 角 函数 是 描 述 周 期 现 象 的 重 要 函 数 模 型 ， 的 应 用 主 它
的品度 ；
要 体 现 在 跨 学 科 、 活 中 和数 学 内部 等 方 面 的 综 合 应 用 ． 面 生 下
（ ） 设 南 昌市 市 区 最 高 建 筑 大 约 是 １ １ ７ｍ， 摩 天 轮 ２假 ２．５ 在 转动的一圈内 。 游客有多长时间超过这一高度？ 该 分 析 ： 客 距 离 地 面 的高 度 随 时 间 呈 周 期 性 变 化 ， 游 因此 可 以用三角函数模型来处理．
例 ２ “ 昌之 星” 天 轮 （ ２建 设 总 高 南 摩 图 ）
度 为 １０ 转盘 直径 为 １３ 超 过 了 目前 世 界 ６ｍ， ５ｍ， 最 高 的摩 天轮— — 英 国“ 伦敦 之 眼”摩 天 轮做 ．
匀速转 动 ， 转一 圈大 约 需要 ３ｍｎ若 一位 游 旋 ０ｉ ．
客 从最 低处 登 上摩 天轮． （ ） 确定 在 ｔｍｉ） １试 （ ｎ 时该 游 客距 离 地 面 图２
当 ｔ 时，＝７可得 ｓ￣ ＝０ ｙ ， ｉｏ ｎ＝一１则 ， 一一号．
故 Ｔ ｓ（ ￡号） Ｔ ． １ ｉ 蠢 一 ＋６ ５ｎ ３ １ ７
特 殊 点 确 定 的 值 ．
解 ： １ 由 图 可 知 Ａ一 ３ ０ （） ０．
Ｔ２ 面）去频 ｆ７ ：（ １一 ， ＝ ． 一 率 ５
故 在 摩 天 轮 转 动 的 一 圈 内 ， 游 客 约 有 ｌｍｉ 时 间 超 该 Ｏ ｎ的
过这一高度．
点 评 ： 活 中 的摩 天 轮 、 车 和 风 车 等做 匀速 圆周 运 动 的 生 水
物体 ， 以及 潮 汐现 象等 具 有 周 期 性 变化 的 问题 ， 般 都 可 以 用 一
故Ｕ ３ｓ ５ｃ 詈） ＝０ｉ１ ０ ０＋ ． ｎ ７
因发 电机 电压 的相 位 和频 率 与 电网 电压 的相 位 和 频 率 互 不相等 ， 此不能直接并网 ， 要调整相位和频率． 因 需 （） ２ 若 在 任 意 一 段 的时 间 内 ， 电压 Ｕ 都 能取 得 最 大
则 ＜ ｆ ，１ ￡ｏ 孥 蠢＜ 即０ ＜ ． 警 ＜２
２ ， Ｂ 一 ２ ｏ Ｏ， Ｒ Ａ Ｒｃ ｓ ＢＣ ＝ ２ ｓｎ Ｓ Ｒ ｉ ，
图 ３
确 定 解 析 式 的 方 法是 ： 由 最 值 确 定 Ａ 和 Ｔ， Ｔ确 定 ； 先 由 再
一 ４ ｓｎ ｃ ｓ Ｒ。 ｉ０ ｏ ０— ２ ｓｎ２ Ｒ ｉ ０
根 据 特 殊 点 确 定 确 定 时尽 可 能 使 用 最 值 点 ， 果 没 有 最 如 值 点 ， 需根 据 特 殊 点所 在 的 单调 区 间 的单 调 性 进 行 取舍 ． 则
满 ＝ ｓ（－ｏ Ａ ０ ＞ ， １ 号） 足Ｕ Ａｉ ｌ） ＞ ， ｏｌ ＜ ． ｎ ｔｃ（ －
（ ） 图 １是 该 函 数 在 一 个 周 １若
Ｕ
期 内 的 图 像 ， 出 函 数 Ｕ＝ Ａｓ （Ｊ 求 ｉ （ ｎｃ ￡ 十 的 解 析 式 ； 判 断 该 发 电 厂 能 ） 并 否直 接 与 该 电 网 实 行 并 网 ？ （ 电 发
则 Ⅲ一１ ０ ． ５ ｎ
＝６ 警ｃ蠢 ≥） １ Ｔ一 。 ０ ７ ｓ ． （在 一６ 半ｃ蠢 ， ≤ｏ ２ 丁一 。 ｆ ３ ） １ ７ ｓ ｏ ｅ ．
令 ＞２７可 ｃ蠢 一 ． ｙ１．，得。 ＜ ÷ １５ ｓ
当一 （ ＋ ： ， 一 ｏ ｔ１１ 志） １ 时 一 ３． ｕ ｏ 则ｉ警 ＝ １ Ｉ －则一 ． ｓ（＋）一， ￣ ｆ 詈 ｎ 因 ｌ ＜，
厂输 出 电压 的相 位 和 频 率 与 电 网 电
３Ｃ ０
／
０
为 Ａ＋是 ６ ， 一１ ０ 最小 距离 ｋ Ａ＝１ ０ １ ３ ． － ６ － ５ ＝７
一 一
学
．
： ．
压 的 相位 和频 率 分 别 相 同 是 能 并 网 的必备条件之一） （ ） 果 ￡ 任 意 一 段 ２如 在
２ 三 角 函 数 模 型 在 生 活 中 的 应 用 ．
（。 ９。． ０ ＜ ＜ ０ ）
则 当 ２＝９。即 ０ ５时 ，～ ＝２ ２此 时矩 形为 正方形 ． ０ ０， ＝４。 Ｓ Ｒ， 点评 ： 数 思 想是 数 学 中 重 要 的 、 用 的 思 想 方 法 之 一 ． 函 常 本 题 在 诸 多 解 法 中 用 三 角 函数 模 型 来解 决 最 简捷 ． 综 上 ， 三 角 函 数模 型 的应 用 ， 对 我们 从 解 决 问 题 的 过 程 来 看 ， 们都 经历 了 如 下思 维过 程 ： 我
ｌ 实际问题Ｉ—
ｌ 解决实际问题Ｉ
ｌ 三角函数模型Ｉ—
Ｉ 数学解Ｉ—
作 者 单 位 ： 苏 省 宿 迁 中 学 江
解 ： １设 该游 客登 上摩 天轮 ｔ ｉ （） ｍ ｎ后距 离 地 面 的 高度 为 ｙ ｍ，
就 这 三个 方 面 举 些 实 例 来 具 体 说 明．
１ 三 角 函数 模 型 在 物 理 学 中 的运 用 ． 例 １ （ 流 电 ） 电 网 中 的 电压 Ｕ 与 时 间 ｔ的关 系 式 为 交 某