函数的连续性与间断点

第 6 次课 2 学时

§1.9 函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，如气温的变化，物体速度的变化，动植物的生长等。这些现象在函数上的反映，就是函数的连续性问题。

1．函数的增量

一个变量u 由初值1u 变到终值2u ，终值与初值之差称为u 的增量( 或改变量)，记作 1,u u ∆∆-2即 u=u

对于函数()y f x =，设它在0x 及0x 的某个邻域内有定义，在0x 处给自变量 x 一个增量x ∆，则函数有相应的增量00((y y f x f x ∆∆=∆， +x)-　)

（几何解释）

21()2 1.f x x =-∆∆例设分别求：

(1)　x 由１变到1.2时，

（2) x 由１变到0.8时，

的增量x 和y .

解：（略）

2．函数的连续性

如果自变量 x 的增量 x ∆很小时，函数y 的增量y ∆ 也很小，则说明函数是随着自变量的渐变而渐变的，这时称函数是连续的。

定义 1：设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，如果当自变量x 在0x 的增量0x ∆→时，相应函数的增量00()()0y f x x f x ∆=+∆-→，就称函数)(x f y =在0x 点处连续。 注 ：)(x f 在0x 点连续0lim 0x y ∆→⇔∆=。 例2 ：证明函数2

()21f x x =-在x=1 处连续。

证明：函数的定义域为(),-∞+∞，在x=1 的邻域内有定义。 ()()()()2222002:1112*1142lim lim 420()211x x x x x x y x x f x x x ∆→∆→→+∆→∆⎡⎤∆∆∆---=∆+∆⎣⎦

⎡⎤∆=∆+∆=⎣

⎦=-= ，　f(x): f(1)f(1+x)

y=f(1+x)-f(1)=21+x 故 在　处连续　．

（类似可证该函数在其定义域内的任意一点处都连续。）

[]0

00000000()()

lim lim ()()0lim ()()x x x x x x x x x x x y f x f x f x f x f x f x ∆→→→=+∆∆→→∆=-∆-== ，则当时， ，这时根据定义１　， y=0 可以写作 ，即　.

定义2：设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，如果0x x → 时f(x)的极限存在，且等于它在0x 的函数值,即0

0lim ()()x x f x f x →=　，则称 f(x) 在点0x 连续。 左（右）连续：若)()0()(lim 00x f x f x f x x =-=-←→，就称)(x f 在0x 点左连续。若)()0()(lim 00x f x f x f x x =+=+

→，就称)(x f 在0x 点右连续。 如果)(x f 在区间I 上的每一点处都连续，就称)(x f 在I 上连续；并称)(x f 为I 上的连续函数；若I 包含端点，那么)(x f 在左端点连续是指右连续，在右端点连续是

指左连续。

连续函数的图像是一条不断开的曲线。

定义1ˊ：设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若对0,0>∃>∀δε，当δ<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f ，就称)(x f 在0x 点连续。

定理：)(x f 在0x 点连续)(x f ⇔在0x 点既左连续，又右连续。

【例3】多项式函数在),(+∞-∞上是连续的；所以)()(lim 00

x f x f x x =→，有理函数在分母不等于零的点处是连续的，即在定义域内是连续的。

以上由§1.6【例2】的推论1、推论2即得。

【例4】不难证明x y x y cos ,sin ==在),(+∞-∞上是连续的。

【例5】证明x x f =)(在0=x 点连续。 证明：0lim lim ,0)(lim lim 0

00000===-=+→+→-→-→x x x x x x x x ，又0)0(=f ，所以由定理 ⇒ x x f =)(在0=x 点连续；

或由前§1.4习题5知)0(0lim 0

f x x ==→，所以 ⇒ x x f =)(在0=x 点连续。 【例6】讨论函数⎩⎨⎧<-≥+=02

02x x x x y 在0=x 的连续性。 解：220)2(lim lim ,220)2(lim lim 0

0000000=+=+=-=-=-=+→+→-→-→x y x y x x x x ，因为22≠-，所以该函数在0=x 点不连续，又因为2)0(=f ，所以为右连续函数。

二、函数的间断点

通俗地说，若)(x f 在0x 点不连续，就称0x 为)(x f 的间断点，或不连续点，为方

便起见，在此要求0x 的任一邻域均含有)(x f 的定义域中非0x 的点。间断点有下列三种情况：

（1）)(x f 在0x x =没有定义；

（2）)(lim 0

x f x x →不存在； （3）虽然)(lim 0x f x x →存在，()f x 在0x 点也有定义，但)()(lim 00

x f x f x ≠→。 几种常见的间断点类型：

【例7】设21)(x x f =

，当∞→→)(,0x f x ，即极限不存在，所以0=x 为)(x f 的间断点。因为∞=→2

01lim x x ，所以0=x 为无穷间断点。 【例8】x

y 1sin =在0=x 点无定义，且当0→x 时，函数值在1-与1+之间无限次地振荡，而不超于某一定数，见书上图，这种间断点称为振荡间断点。

1.⎩⎨⎧∉∈=Q x Q x x f 1

)( x ∀均为振荡间断点。 2、⎪⎩⎪⎨⎧===或无理数1,00

1

)(x q p x q x f Q x ∈不连续，Q x ∉连续。 【例9】 x x y sin =在0=x 点无定义，所以0=x 为其间断点，又1sin lim 0=→x x x ，所以若补充定义1)0(=f ，那么函数在0=x 点就连续了。故这种间断点称为可去间断点。

【例10】 [例6]的函数在0=x 点不连续，但左、右极限均存在，且有不等于)0(f 的，这种间断点称为跳跃间断点。例如x y sgn =在0=x 处即为跳跃间断点。

归纳：(1)∞=→)(lim 0

x f x x ，0x 为无穷间断点； (2))(lim 0

x f x x →震荡不存在，0x 为震荡间断点； (3))()(lim 00

x f A x f x x ≠=→，0x 为可去间断点； (4))(lim )(lim 0

000x f x f x x x x +→-→≠，0x 为跳跃间断点。

如果)(x f 在间断点0x 处的左右极限都存在，就称0x 为)(x f 的第一类间断点，显然它包含(3)、(4)两种情况；否则就称为第二类间断点。