2006年高考.湖北卷.理科数学试题及详细解答

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2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理工农医类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。全卷共150分。考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条

形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(3,1)a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b =，则b =

A 12）

B ．（12）

C ．（14）

D ．（1,0） 2.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a =

A ．4

B ．2

C ．－2

D ．－4

3.若ABC ∆的内角A 满足2

sin 23A =

，则sin cos A A +=

B ．．53 D ．53-

4．设2()lg 2x f x x +=-，则2

()()2x f f x

+的定义域为

A ．(4,0)(0,4)-

B ．(4,1)(1,4)--

C ．(2,1)(1,2)--

D ．(4,2)(2,4)--

5．在24

(x 的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项

6．关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题： ①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；

④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； 其中真命题的序号是

A ．①②

B ．③④

C ．①④

D ．②③

7．设过点(,)P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P

关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =且1OQ AB =，则点P 的轨迹方程是

A ．2

2331(0,0)2x y x y +

=>> B ．223

31(0,0)2x y x y -=>> C ．22331(0,0)2x y x y -=>> D ．22

331(0,0)2

x y x y +=>>

8．有限集合S 中元素的个数记做()card S ，设,A B 都为有限集合，给出下列命题： ①A B =∅的充要条件是()()()card A B card A card B =+； ②A B ⊆的充要条件是()()card A card B ≤； ③A B Ú的充要条件是()()card A card B ≤； ④A B =的充要条件是()()card A card B =；

其中真命题的序号是

A ．③④

B ．①②

C ．①④

D ．②③

9．已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部和边界组成。若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数my x z +=取得最小值，则m = A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4

10．关于x 的方程222

(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题：

①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

注意事项：

第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。

11．设,x y 为实数，且

511213x y i i i

+=---，则x y += 。 12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 。（精确到0．01）

13．已知直线5120x y a -+=与圆2

2

20x x y -+=相切，则a 的值为 。 14．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 。（用数字作答）

15．将杨辉三角中的每一个数r

n C 都换成

1

(1)r

n

n C +，就得到一个如右图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出1

111

(1)(1)r x r

n n n n C n C nC --=++，其中x = 。令331111111

3123060(1)n n n

a nC n C -=++++++-，则lim n n a →∞= 。 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

设函数()()f x a b c =+，其中向量(sin ,cos )a x x =-，(sin ,3cos )b x x =-，

(cos ,sin )c x x =-，x R ∈。

（Ⅰ）、求函数()f x 的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）、将函数()f x 的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d 。 17．（本小题满分13分）

已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。 （Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）、设1

1n n n b a a +=

，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *

∈都成立

的最小正整数m ； 18．（本小题满分12分）

如图，在棱长为1的正方体1111ABCD

A BC D -中，

P 是侧棱1CC 上的一点，CP m =。

（Ⅰ）、试确定m ，使直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为

（Ⅱ）、在线段11AC 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ，并证明尼的结论。

20．（本小题满分10分）

在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近

似服从正态分布(70,100)N 。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。

A

B

C

D

1A

1B

1C

1D