计算动力学第三章讲解
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(T t) (t)B
ˆ (T t) ˆ (t)Bˆ
由于ˆ (t)是解矩阵，自然存在可逆矩阵C 使得它可由基本解矩阵(t) 表示
ˆ (t) (t)C, ˆ (t T ) (t T )C
易见
Bˆ ˆ (t)1ˆ (t T ) ((t)C)1(t T )C C1(t)(t T )C C1BC
根据线性代数，单值矩阵B和Bˆ 互为相似矩
阵，它们具有相同的特征值。
例：exp（At）的计算。
(t) 2(t) u(t)
令x
，则x
，u(t)
1(t),
x0
00
所以x Ax Bu
y Cx
0
A 2
10, B 10,C 1
0
t
y(t) CeAt x0 CeA(t )Bu( )d
u(t) a11(t) a22 (t) (t)a
其中
(t) 1(t) 2 (t), a a1 a2 T
Φ(t)称作基本解矩阵。
现讨论基本解矩阵的主要性质。鉴于A(t)以T 为周期，若u(t) 是方程的解，u(t +T) 也是该 方程的解。自然，Φ(t+T)中的 1(t T )和 2 (t T ) 亦如此。因此,存在两个常数向量b1和b2使得
f0
cos
pt
2w x 2
EI
4w x 4
0
以两端铰支Bernoulli-Euler梁的固有振型作 为Galerkin形函数，将挠度表示为
w( x, t )
un (t) sin
n1
n
l
x
ห้องสมุดไป่ตู้
n 1,2,
根据固有振型的加权正交性得到一组解耦的 常微分方程
un (t) pn2 (1 fn cos pt)un (t) 0,
0
eAt
cos t
sin t
1cosisnt t
y(t) 0 cost 0 1 sin t 2 (1 cost)
(3) Floquet（弗洛凯）定理
定理 (Floquet定理)方程
u (t) A(t)u(t)
存在具有如下形式的所谓正规解
ur (t) qr (t)ert , r 1, 2
计算动力学（2）
运载工程与力学学部
第三章 线性时变系统的参激振动
❖ 本节讨论具有快时变参数的系统，即系统参数随 时间变化的速率达到与系统振动频率相同的量级 ，其最简单的例子是Mathieu方程。随着参数变化 的加快，这类系统的行为会发生质的变化，出现 由参数变化激发出的参激振动。
❖ 1831年，英国科学家Faraday首先发现了参激振 动现象：当充液容器作铅垂振动时，液体的自由 表面波动周期是容器振动周期的二倍。由于充液 容器在运载工具、化工等诸多工程领域中占有重 要地位，对这一问题的研究吸引了许多学者，推 动了对参激振动的研究。
e 0 p1 (t )dt
(2) 特征乘数与特征指数 根据矩阵B的特征值问题
(B rI)br 0
定义r为方程的第r 阶特征乘数，而满足如下 关系的r为第r 阶特征指数
r erT , r 1,2
它们反映了系统的内在性质，与Φ(t)的 选取无关。
设有两个不同的基本解矩阵 (t) 和ˆ (t) ，它们各自满足
例
图示两端铰支Bernoulli-Euler梁受简谐纵 向力f(t)=f0cospt作用，忽略梁的纵向惯 性，建立其受扰后的横向微振动方程。
解：设梁的长度为l，单位长度质量为ρA， 抗弯刚度为EI。忽略梁的纵向惯性后，梁在
轴向简谐力f(t)=f0cospt作用下的横向微振
动微分方程为
A
w2 t 2
(t T ) 1(t T ) 2 (t T ) (t)b1 b2 (t)B
其中矩阵B称作单值矩阵。不难证明，B具有 如下性质：
a. B是可逆矩阵
b.B (t)1(t T )
c. 若取Φ(0)=I，B=Φ(T)
d. 根据线性常微分方程理论，可导出
T
T
det B
e
trA(t
0
) dt
再取
r 1, 2
qr (t) ur (t)ert , r 1, 2
可验证其周期性如下
qr (t T ) ur (t T )er(tT ) rur (t)erterT ur (t)ert qr (t) ,
r 1, 2
推论：
a. 若 Re (r )0, 即 r 1, 则 limur (t) 0, 相应的正规
满足
ur (t T ) rur (t) ; r 1, 2
其中
qr (t T) qr (t) , r 1,2
证明：取基本解矩阵和由式
(B rI)br 0
所确定的特征向量构造方程
u (t) A(t)u(t)
的正规解
ur (t) (t)br , r 1, 2
不难导出
不难导出
ur (t T ) (t T )br (t)Bbr r(t)br rur (t)
p1
u(t) (t)
p1(t)u(t) p1(t T ),
p2 (t p2 (t)
)u
(t) p2
(t
0
T
)
将其写作二维相空间中的状态方程
u (t) A(t)u(t)
其中
u(t
)
u1 u2
u u,
0
1
A(t) p2 (t) p1(t) A(t T )
(1) 基本解 根据线性常微分方程理论，方程具有两个线 性无关的基本解 1(t) 和 2 (t)。对于该方程的 任意解，存在常数a1和a2，使得
n 1,2,
pn2
n 4 4 EI Al 4
fn
f0l 2 n 2 2 EI
1
n 1,2,
引入
pt 2
,
n
2
pn p
, n
fnn 2
得到标准的Mathieu方程
n 1,2,
d
2un () dt 2
n
2n
cos
2un
()
0
n 1,2,
1 周期系数线性常微分方程理论
考察具有周期系数的齐次线性常微分方程
解渐近稳定；
t
b.
若Re (r )0, 即 r 1,
则
lim
t
ur (t)
,
相应的正规
解不稳定；
c.若 Re (r ) 0,即 r 1, 则相应的正规解稳定 （但非渐近稳定。特别地,若存在正整数m,
使 m 1, 则有 r
ur (t mT) mr ur (t) ur (t), r 1, 2
即正规解以 mT 为周期。
Floquet定理应用
❖一.线性系统
u(t) 2 0u(t) 02u(t) 0
1.首先将其写作二维相空间中的状态方程
u (t) Au(t)
ˆ (T t) ˆ (t)Bˆ
由于ˆ (t)是解矩阵，自然存在可逆矩阵C 使得它可由基本解矩阵(t) 表示
ˆ (t) (t)C, ˆ (t T ) (t T )C
易见
Bˆ ˆ (t)1ˆ (t T ) ((t)C)1(t T )C C1(t)(t T )C C1BC
根据线性代数，单值矩阵B和Bˆ 互为相似矩
阵，它们具有相同的特征值。
例：exp（At）的计算。
(t) 2(t) u(t)
令x
，则x
，u(t)
1(t),
x0
00
所以x Ax Bu
y Cx
0
A 2
10, B 10,C 1
0
t
y(t) CeAt x0 CeA(t )Bu( )d
u(t) a11(t) a22 (t) (t)a
其中
(t) 1(t) 2 (t), a a1 a2 T
Φ(t)称作基本解矩阵。
现讨论基本解矩阵的主要性质。鉴于A(t)以T 为周期，若u(t) 是方程的解，u(t +T) 也是该 方程的解。自然，Φ(t+T)中的 1(t T )和 2 (t T ) 亦如此。因此,存在两个常数向量b1和b2使得
f0
cos
pt
2w x 2
EI
4w x 4
0
以两端铰支Bernoulli-Euler梁的固有振型作 为Galerkin形函数，将挠度表示为
w( x, t )
un (t) sin
n1
n
l
x
ห้องสมุดไป่ตู้
n 1,2,
根据固有振型的加权正交性得到一组解耦的 常微分方程
un (t) pn2 (1 fn cos pt)un (t) 0,
0
eAt
cos t
sin t
1cosisnt t
y(t) 0 cost 0 1 sin t 2 (1 cost)
(3) Floquet（弗洛凯）定理
定理 (Floquet定理)方程
u (t) A(t)u(t)
存在具有如下形式的所谓正规解
ur (t) qr (t)ert , r 1, 2
计算动力学（2）
运载工程与力学学部
第三章 线性时变系统的参激振动
❖ 本节讨论具有快时变参数的系统，即系统参数随 时间变化的速率达到与系统振动频率相同的量级 ，其最简单的例子是Mathieu方程。随着参数变化 的加快，这类系统的行为会发生质的变化，出现 由参数变化激发出的参激振动。
❖ 1831年，英国科学家Faraday首先发现了参激振 动现象：当充液容器作铅垂振动时，液体的自由 表面波动周期是容器振动周期的二倍。由于充液 容器在运载工具、化工等诸多工程领域中占有重 要地位，对这一问题的研究吸引了许多学者，推 动了对参激振动的研究。
e 0 p1 (t )dt
(2) 特征乘数与特征指数 根据矩阵B的特征值问题
(B rI)br 0
定义r为方程的第r 阶特征乘数，而满足如下 关系的r为第r 阶特征指数
r erT , r 1,2
它们反映了系统的内在性质，与Φ(t)的 选取无关。
设有两个不同的基本解矩阵 (t) 和ˆ (t) ，它们各自满足
例
图示两端铰支Bernoulli-Euler梁受简谐纵 向力f(t)=f0cospt作用，忽略梁的纵向惯 性，建立其受扰后的横向微振动方程。
解：设梁的长度为l，单位长度质量为ρA， 抗弯刚度为EI。忽略梁的纵向惯性后，梁在
轴向简谐力f(t)=f0cospt作用下的横向微振
动微分方程为
A
w2 t 2
(t T ) 1(t T ) 2 (t T ) (t)b1 b2 (t)B
其中矩阵B称作单值矩阵。不难证明，B具有 如下性质：
a. B是可逆矩阵
b.B (t)1(t T )
c. 若取Φ(0)=I，B=Φ(T)
d. 根据线性常微分方程理论，可导出
T
T
det B
e
trA(t
0
) dt
再取
r 1, 2
qr (t) ur (t)ert , r 1, 2
可验证其周期性如下
qr (t T ) ur (t T )er(tT ) rur (t)erterT ur (t)ert qr (t) ,
r 1, 2
推论：
a. 若 Re (r )0, 即 r 1, 则 limur (t) 0, 相应的正规
满足
ur (t T ) rur (t) ; r 1, 2
其中
qr (t T) qr (t) , r 1,2
证明：取基本解矩阵和由式
(B rI)br 0
所确定的特征向量构造方程
u (t) A(t)u(t)
的正规解
ur (t) (t)br , r 1, 2
不难导出
不难导出
ur (t T ) (t T )br (t)Bbr r(t)br rur (t)
p1
u(t) (t)
p1(t)u(t) p1(t T ),
p2 (t p2 (t)
)u
(t) p2
(t
0
T
)
将其写作二维相空间中的状态方程
u (t) A(t)u(t)
其中
u(t
)
u1 u2
u u,
0
1
A(t) p2 (t) p1(t) A(t T )
(1) 基本解 根据线性常微分方程理论，方程具有两个线 性无关的基本解 1(t) 和 2 (t)。对于该方程的 任意解，存在常数a1和a2，使得
n 1,2,
pn2
n 4 4 EI Al 4
fn
f0l 2 n 2 2 EI
1
n 1,2,
引入
pt 2
,
n
2
pn p
, n
fnn 2
得到标准的Mathieu方程
n 1,2,
d
2un () dt 2
n
2n
cos
2un
()
0
n 1,2,
1 周期系数线性常微分方程理论
考察具有周期系数的齐次线性常微分方程
解渐近稳定；
t
b.
若Re (r )0, 即 r 1,
则
lim
t
ur (t)
,
相应的正规
解不稳定；
c.若 Re (r ) 0,即 r 1, 则相应的正规解稳定 （但非渐近稳定。特别地,若存在正整数m,
使 m 1, 则有 r
ur (t mT) mr ur (t) ur (t), r 1, 2
即正规解以 mT 为周期。
Floquet定理应用
❖一.线性系统
u(t) 2 0u(t) 02u(t) 0
1.首先将其写作二维相空间中的状态方程
u (t) Au(t)