正弦和余弦1
三角函数正弦与余弦的关系
三角函数正弦与余弦的关系嘿，朋友们，今天咱们聊聊三角函数里的正弦和余弦，简单说就是Sine 和Cosine，这两个家伙真是关系密切得不得了，像老搭档一样，形影不离。
你知道吗？它们就像那对无话不谈的好朋友，真是个妙不可言的组合。
要说正弦和余弦，最简单的就是把它们想象成一个坐标系里的小伙伴，一个在X 轴上，一个在Y 轴上，两个小家伙相互依赖，缺一不可。
咱们来聊聊正弦。
正弦，哦，那可是个大名鼎鼎的家伙，它负责的是Y 轴上的值，真是太重要了，没了它，图形就像失去了灵魂。
你想想，正弦的值，随着角度的变化而变化，像是在做快乐的舞蹈，随着角度的增加，它有时候高兴得翘起了头，有时候又低下了脑袋，真是变化多端，让人捉摸不透。
可你知道吗？正弦的值只会在 1 到 1 之间跳来跳去，这就像是那孩子，在游乐场里，虽然跑得欢，但永远不可能跳出围栏。
再说说余弦，这小子可不甘示弱，它负责的是 X 轴上的值。
余弦和正弦就像两口子，一个负责大气，一个照顾家务，默契得不行。
余弦也是随着角度而变化，感觉它有时候像个开朗的小太阳，咧嘴大笑，有时候又像个闷闷不乐的小雨点，真是情绪波动得厉害。
不过，余弦的值同样也是被限制在1 到1 之间，这可不是什么随心所欲的事儿，得在这两个极端之间打转。
有趣的是，正弦和余弦有一个特别的关系，它们总是成对出现，这就像是咱们生活中的好朋友，总是一起行动。
你看，正弦的值可以通过余弦的值轻松算出来，只需要找出对应的角度，简单吧？就像你在朋友那儿借书，总能借到想看的那一本。
再说了，如果把它们放在单位圆上，正弦就成了 Y 轴的坐标，而余弦就是 X 轴的坐标，像两个紧紧相拥的好伙伴，互相守护，互相照应。
说到这里，可能有人会问，这两个家伙有什么用呢？哦，别急，听我慢慢说。
它们可不仅仅是数学课本里的冷冰冰的数字，而是实际生活中无处不在的影子。
你想，音乐、物理、工程，甚至是你手机里的 GPS，都是在用到这些三角函数。
比如说，音乐里的音调变化，就是在正弦波和余弦波之间摇摆的。
直角三角形的正弦定理与余弦定理
直角三角形的正弦定理与余弦定理直角三角形是指一个角度为90度的三角形，其中包含一个直角。
在数学中，有两个关于直角三角形的定理：正弦定理和余弦定理。
它们是解决直角三角形问题的重要工具。
本文将详细介绍直角三角形的正弦定理与余弦定理的定义、公式以及应用。
正弦定理是指在一个任意三角形中，三个角的正弦比例等于对应边的长度比例。
对于直角三角形来说，正弦定理可以简化为一个具有特殊形式的等式。
设直角三角形的两腰分别为a和b，斜边为c，直角所对的角为C，则正弦定理可以表示为以下公式：sin(C) = a/c, sin(C) = b/c由于直角三角形的直角角度为90度，所以sin(90度)等于1，从而可以得出以下等式：a/c = 1, b/c = 1根据等式，可以得出直角三角形的正弦定理为：sin(C) = a/c, sin(C) = b/c, sin(90度) = 1正弦定理的应用非常广泛，可以用于解决各种与直角三角形相关的问题。
例如，已知直角三角形的一条边和一个角度，可以利用正弦定理求解其他边的长度。
余弦定理是指在一个任意三角形中，任意两边的平方和与它们夹角的余弦的乘积之间存在一定的关系。
对于直角三角形来说，余弦定理可以化简为一个特殊形式的等式。
设直角三角形的两腰分别为a和b，斜边为c，直角所对的角为C，则余弦定理可以表示为以下公式：c^2 = a^2 + b^2由于直角三角形的直角角度为90度，所以cos(90度)等于0，从而可以得出以下等式：a^2 + b^2 = c^2根据等式，可以得出直角三角形的余弦定理为：c^2 = a^2 + b^2, cos(90度) = 0余弦定理的应用也非常广泛，可以用于解决各种与直角三角形相关的问题。
例如，已知直角三角形的两条边的长度，可以利用余弦定理求解斜边的长度。
总结起来，直角三角形的正弦定理和余弦定理是求解直角三角形问题的重要定理。
通过利用这两个定理，我们可以方便地计算直角三角形各边的长度或角度。
正弦与余弦(1)
第四章 锐角三角函数4．1 正弦与余弦（1）1、理解正弦、余弦的概念。
2、能正确地用sinA,cosA表示直角三角形中两边的比。
学习重点：正弦与余弦的概念。
学习难点：能用数字或字母正确表示sinA,cosA 。
学习方法：自主学习、合作探究学习过程：【复习检测】如图，在Rt △ABC 中，∠C 是直角，它的三条边分别是a ,（1）∠A 与∠B 的关系怎样？（2）三边a 、b 、c【课内预习】自学教材第99—101页，然后回答下面问题。
1、 如图：在直角三角形中，∠A 的对边与斜边的比值有什么规律？结论：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值为一个 。
定义：在直角三角形中，锐角α的 与 的比叫做角α的正弦，记作 ，即sin α＝ 。
2、 如上图：在直角三角形中，∠A 的邻边与斜边的比值有什么规律？结论：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值为一个 。
定义：在直角三角形中，锐角α的 与 的比叫做角α的余弦，记作 ，即cos α＝ 。
3、ΔABC 中，AB=5，AC=3，BC=4，则cosB= ，sinA= 。
【课内探究】【例题】在Rt △ABC 中，∠C 是直角，它的三条边分别是c b a ,,，分别求∠A 与∠B 的正弦与余弦值。
【变式练习】在Rt △ABC 中，∠C 是直角，斜边AB 是2，AC ＝1，分别求sinA 、sinB 、cosA与cosB 的值。
【学习小结】1、正弦与余弦的定义：2、表示方法？3、取值范围： 。
【当堂训练】1、如图是小亮沿与地面成角α的山坡向中走了90米，如果sin α＝31,那么他上升了多少米。
2、在Rt △ABC 中，∠C 是直角，512=AC BC ，求：sinA 与cosB 的值。
3、在Rt △ABC 中，∠C 是直角，sinA=13, 求sinB 。
4、等腰三角形的底角为15º,腰长为2,求腰上的高与腰长的比值，并求底角的正弦值。
正弦定理和余弦定理课件PPT
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
A. 3
B.2
C. 5
D. 7
【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×
cos 60°=7，所以a=
7.
3.在△ABC中，a=3，b=4，c= ，则此三角形的最大角为
37
.
【解析】由c>b>a知C最大，
因为cosC=
a2
所以C=120°.
b2 c2 2ab
32 42 37 234
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c
三角函数中的正弦函数与余弦函数
三角函数中的正弦函数与余弦函数在数学中，三角函数是研究角的性质和变化规律的重要工具。
其中，正弦函数（sine function）和余弦函数（cosine function）是最基本和常见的两个三角函数。
它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将对正弦函数和余弦函数进行详细介绍，探讨它们的定义、性质和应用。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，通常用符号sin表示。
它可以通过单位圆上的点的纵坐标来定义。
在单位圆上，以圆心为原点，半径为1的圆为基准，对于圆上的任意一点P，其纵坐标y就是正弦函数的值。
正弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。
正弦函数具有以下几个重要的性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期为2π。
也就是说，对于任意实数x，有sin(x+2π)=sin(x)。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x)=-sin(x)。
这意味着正弦函数关于原点对称。
3. 对称性：正弦函数具有轴对称性，即sin(π-x)=sin(x)。
4. 最值：正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在数学和物理中有广泛的应用。
例如，在几何学中，正弦函数可以用来求解三角形的边长和角度。
在物理学中，正弦函数可以用来描述波动、振动等现象。
二、余弦函数余弦函数是另一个常见的三角函数，通常用符号cos表示。
它也可以通过单位圆上的点的横坐标来定义。
在单位圆上，以圆心为原点，半径为1的圆为基准，对于圆上的任意一点P，其横坐标x就是余弦函数的值。
余弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。
余弦函数具有以下几个重要的性质：1. 周期性：余弦函数也是周期函数，其最小正周期为2π。
也就是说，对于任意实数x，有cos(x+2π)=cos(x)。
2. 偶性：余弦函数是偶函数，即满足cos(-x)=cos(x)。
这意味着余弦函数关于y轴对称。
3. 对称性：余弦函数具有轴对称性，即cos(π-x)=-cos(x)。
正弦定理和余弦定理公式大全
正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示 三角形 边角关系的重要定理，直接运用它 可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方 便、灵活。
正弦定理
概述
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 正弦定理 [1] (Sine theorem)
（1 ）已知三角形的两角与一边， 解三角形
（2 ）已知三角形的两边和其中一边所对的角， 解三角形
（3 ）运用 a ： b ：c=sinA ： sinB ： sinC 解决角之间的转换关系
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的
正弦 。 [1]
Байду номын сангаас
证明
步骤 1 在锐角 △ABC 中，设 BC=a ， AC=b ， AB=c 。作 CH ⊥ AB 垂足为点 H
CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b ·sinA 得到
a/sinA=b/sinB 同理，在 △ABC 中，
余弦
b/sinB=c/sinC 步骤 2. 证明 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ： 如图， 任意三角形 ABC, 作 ABC 的 外接圆 O. 作直径 BD 交⊙ O 于 D.
三角形正弦余弦公式大全
三角形正弦余弦公式大全高中数学的三角形正弦与余弦的公式同学们还记得吗?如果没有总结过，没记住的话，请往下看。
下面是由小编为大家整理的“三角形正弦余弦公式大全”，仅供参考，欢迎大家阅读。
三角形正弦余弦公式大全Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosASin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosACos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinBCos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinBTan(A+B)=(TanA+T anB)/(1-TanA*TanB)Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanBsin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]拓展阅读：求三角形边长公式三角形边长公式：1、根据余弦定理，有公式：a^2=b^2+c^2-2bc×cosA。
2、根据正弦定理，有公式：a=b*sinA/sinB。
3、根据勾股定理，有公式：a^2+b^2=c^2。
三角形边长的计算方法对于任意一个三角形，已知两角一对边，可以根据正弦定理计算:a=b*sinA/sinB。
正弦定理的公式为a/sinA = b/sinB =c/sinC，根据正弦定理的公式可以解三角形。
对于任意一个三角形，已知两条边与夹角，可以根据余弦定理求出第三条边，有公式：c^2=a^2+b^2-2abcosC、a^2=b^2+c^2-2bccosA、b^2=a^2+c^2-2accosB。
余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
对于直角三角形，可以根据勾股定理求变成，有公式：a^2+b^2=c^2。
如何计算三角形的斜边已知两个直角边，求第三边的方法有已知一个锐角和两直角边，如图所示已知直角三角形一锐角度数，求斜边的方法有正弦定理直接求出还有通过正弦定理算出直角边，再用勾股定理求出。
直角三角形的正弦余弦与正切
直角三角形的正弦余弦与正切直角三角形的正弦、余弦与正切直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
在直角三角形中，我们经常用到三个重要的三角函数：正弦（sine）、余弦（cosine）和正切（tangent）。
在本文中，我们将详细探讨这些三角函数的定义、用法和性质。
1. 正弦（Sine）：正弦函数是一个以角度为自变量的函数，用sin表示。
在直角三角形中，正弦函数定义为直角边的长度与斜边的长度之比。
假设直角三角形的一个锐角的度数为θ，斜边的长度为h，那么正弦函数可以表示为：sin(θ) = 对边长度/斜边长度2. 余弦（Cosine）：余弦函数是一个以角度为自变量的函数，用cos表示。
在直角三角形中，余弦函数定义为直角边的长度与斜边的长度之比。
假设直角三角形的一个锐角的度数为θ，斜边的长度为h，那么余弦函数可以表示为：cos(θ) = 临边长度/斜边长度3. 正切（Tangent）：正切函数是一个以角度为自变量的函数，用tan表示。
在直角三角形中，正切函数定义为对边的长度与临边的长度之比。
假设直角三角形的一个锐角的度数为θ，对边的长度为a，临边的长度为b，那么正切函数可以表示为：t an(θ) = 对边长度/临边长度三角函数的定义和性质使得它们在解决各种实际问题中非常有用。
举个例子：假设一个船只从河岸出发，前往对岸的目标位置，通过测量船只与两岸形成的角度，我们可以利用正切函数计算出船只与目标位置之间的水平距离，从而帮助船只导航到正确的位置。
另外，正弦和余弦函数在三角形的边长关系中也有重要应用。
例如，在计算斜边、对边、临边的关系时，我们可以利用正弦和余弦函数进行计算。
总结一下，直角三角形的正弦、余弦和正切函数是解决实际问题中常用的数学工具。
它们的定义和性质使得我们能够准确计算角度与边长之间的关系，从而解决各种实际问题。
在学习和应用中，我们需要熟练掌握它们的用法，并理解其几何意义和物理背景。
通过不断练习和探索，我们可以更好地应用三角函数解决实际问题。
第1讲 正弦定理和余弦定理
第四章 解三角形第1讲 正弦定理和余弦定理★ 知 识 梳理 ★ 内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -cos2A B +=sin 2C面积公式:1sin 2ABC S ab C ∆== 1sin 2bc A =1sin 2ca B3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具)形式二：⎪⎩⎪⎨⎧===CR c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具)4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..形式一：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具) 2222cos c a b ab C =+-形式二：cos A =bc a c b 2222-+ ； cos B =ca b a c 2222-+ ； cosC=ab c b a 2222-+★ 重 难 点 突 破 ★1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，利用内角和定理实现三内角之间的转换，解题时应注意四大定理的正用、逆用和变形用2.难点：根据已知条件,确定边角转换.3.重难点：通过正弦定理和余弦定理将已知条件中的角化为边或边化为角后,再实施三角变换的转化过程以及解三角形中的分类讨论问题.(1) 已知两边和其中一对角,.求另一边的对角时要注意分类讨论问题1: 在ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=30 4,a b ==，那么满足条件的ABC ∆ （ ）A 、 有一个解B 、有两个解C 、无解D 、不能确定 点拨：在解三角形中涉及到对边对角问题一般用正弦定理，由正弦值定角的原则是大边对大角。
正弦函数与余弦函数的转换
正弦函数与余弦函数的转换
正弦函数与余弦函数是两种常见的三角函数。
它们经常在数学和
物理学中使用。
正弦函数表示一个角度的正弦值，通常用sin表示。
余弦函数表
示一个角度的余弦值，通常用cos表示。
这两个函数都是周期性函数，其周期为360度或2π弧度。
正弦函数和余弦函数可以通过以下方式相互转换：
sin(x) = cos(90° - x)
cos(x) = sin(90° - x)
也可以利用三角函数的基本关系式sin²(x) + cos²(x) = 1来
转换。
例如，如果知道sin(x)，可以使用以下方程式计算cos(x)：cos(x) = ±√(1 - sin²(x))
在计算机程序中，可以使用各种函数库来计算正弦函数和余弦函数。
在大多数编程语言中，可用sin()和cos()函数来计算正弦函数和
余弦函数的值。
正弦公式和余弦公式
正弦公式和余弦公式正弦公式和余弦公式是数学中最基础的公式之一，在微积分、几何、代数、物理等众多学科都有着重要的应用。
它们的出现，完美地解决了数学“无解”的多个难题，使物理学研究以及工程应用更加容易，实现了以数学方式描述现实世界的可能性。
正弦公式是数学中最简单的一类三角函数的表达，它用来描述函数的图像。
其公式可以表达为：Sinθ=Opposite/Hypotenuse，其中Opposite是直角三角形Opposite边的长度，而Hypotenuse则是Hypotenuse边的长度。
正弦公式可以运用于求解任何一个三角形的边长，也可以计算出该三角形的角度，并且可以用来描述函数图像和波动图形，所以它在物理学和工程学中被广泛应用。
余弦公式是另一个简单的三角函数，它的公式为：Cosθ=Adjacent/Hypotenuse，其中Adjacent是直角三角形Adjacent边的长度，而Hypotenuse则是Hypotenuse边的长度。
余弦公式与正弦公式类似，但它求的是直角三角形Adjacent边的长度，它可以用来求解任何直角三角形的边长，可以求出直角三角形的角度，也可以描述函数图形和波动图形，因此它也受到了广泛的应用。
正弦公式和余弦公式又称为“三角函数”，这是因为它们可以用来对各种三角形及其角度进行有效的描述，并可以用来描述曲线和波动图形。
正弦公式和余弦公式在几何学中应用极广，可以解决许多描述三角形及其角度的问题，而且还可以用来解决各种曲线及其相关的问题，这是因为正弦公式和余弦公式可以用来描述三维的曲线和二维的曲线，甚至把它们应用到椭圆及其相关的问题中。
正弦公式和余弦公式在物理学和工程学中也有重要的应用，它们可以用来描述曲线，因此可以用来表示力学系统中物体的运动路径。
此外，它们还可以用于求解振动波和波动方程，及其他一系列的运动方程，可以运用于电子学与传感技术中，用来解决一系列的传感器信号及其频率应用等相关问题。
高中数学必修五-正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b一解两解一解一解解的个数由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•h a（h a表示边a上的高）；2．S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1 C．2 D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B =b sin A，则a=（）A ．B ．C．1 D．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）2=c2+ab，B=30°，a=4，则△ABC的面积为（）A．4 B．3C．4D．6例2.设△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A．B．C．或D．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC的最大值．'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。
关于正弦函数和余弦函数的计算公式
关于正弦函数和余弦函数的计算公式同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系：平方关系：tanα·cotα＝1sinα·cscα＝1cosα·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2α诱导公式sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan（α＋β）＝——————1－tanα·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα·tanβ2tan(α/2)sinα＝——————1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2)cosα＝——————1＋tan2(α/2)2tan(α/2)tanα＝——————1－tan2(α/2)二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—2 2α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—2 2α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—2 2α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—2 2 1sinα·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]21cosα·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]21cosα·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21sinα·sinβ＝－ -[cos（α＋β）－cos（α－β）]2化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）补充微分阶段的公式（sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx (tanx)'=(secx)^2(cotx)'=-(cscx)^2(secx)'=secx*tanxtx(cscx)'=-cscx*cotxarcsinx)'=(1-x^2)^(-1/2)arccosX)'=-(1-X^2)^(-1/2)arctanX)'=(1+^2)^(-1)artcotX0'=-1/(1+X^2)PS. X^2的意思是X的平方1.诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(π2-a)=cos(a)cos(π2-a)=sin(a)sin(π2+a)=cos(a)cos(π2+a)=-sin(a)sin(π-a)=sin(a)cos(π-a)=-cos(a)sin(π+a)=-sin(a)cos(π+a)=-cos(a)2.两角和与差的三角函数sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)3.和差化积公式sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)sin(a)?sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2)cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)4.二倍角公式sin(2a)=2sin(a)cos(b)cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 5.半角公式sin2(a2)=1-cos(a)2cos2(a2)=1+cos(a)2tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)6.万能公式sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2)cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2)tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)7.其它公式(推导出来的 )a?sin(a)+b?cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中tan©=ba a?sin(a)+b?cos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中tan©=ab1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))21-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2三角恒等式sin2θ+cos2θ=1；1+tan2θ=sec2θ；1+cot2θ=csc2θ复角公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB；sin(A–B)=sinAcosB–cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB–sinAsinB；cos(A–B)=cosAcosB+sinAsinB 倍角公式sin2θ=2sinθcosθcos2θ=cos2θ–sin2θ=2cos2θ–1=1–2sin2θ倍角平方sin2θ=1-cos2θ 2；cos2θ=1+cos2θ 2积化和差2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A–B)2cosAsinB=sin(A+B) –sin(A–B)2sinAsinB=cos(A–B) –cos(A+B)2cosAcosB=cos(A–B)+cos(A+B)三角函数基本公式sinθ=对边斜边(正弦),cosθ=邻边斜边(余弦),tanθ=sinθ cosθ(正切)cotθ=cosθ sinθ(余切),secθ= 1 cosθ(正割),cscθ= 1 sinθ(余割)1.诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(π2-a)=cos(a)cos(π2-a)=sin(a)sin(π2+a)=cos(a)cos(π2+a)=-sin(a)sin(π-a)=sin(a)cos(π-a)=-cos(a)sin(π+a)=-sin(a)cos(π+a)=-cos(a)2.两角和与差的三角函数sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)3.和差化积公式sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)sin(a)?sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2)cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)4.二倍角公式sin(2a)=2sin(a)cos(b)cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 5.半角公式sin2(a2)=1-cos(a)2cos2(a2)=1+cos(a)2tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)6.万能公式sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2)cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2)tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)7.其它公式(推导出来的 )a?sin(a)+b?cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中tan©=ba a?sin(a)+b?cos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中tan©=ab 1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))21-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2。
正弦定理和余弦定理-PPT课件
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类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:
1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题 目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起 来运用.
2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
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3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式
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∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
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解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
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[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
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设云高CM x m,则CE x h,
DE x h, AE x h .
tan
又AE x h , x h x h
tan tan tan
解得x tan tan gh hgsin( ) m.
tan tan
sin( )
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[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水 平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.
正弦定理与余弦定理
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cos A a sin A 解析：法一：由正弦定理得cos B＝b＝sin B， ∴sin Acos B＝cos Asin B， 即sin(A－B)＝0，可得A－B＝0，∴A＝B. 法二：由余弦定理将角化为边，可得a＝b.
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1 解：(1)因为cos 2C＝1－2sin C＝－4，及0<C<π，
2
10 所以sin C＝ 4 . (2)当a＝2,2sin A＝sin C时， a c 由正弦定理sin A＝sin C， 得c＝4.
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1 由cos 2C＝2cos2C－1＝－ ， 4 6 及0<C<π得cos C＝± . 4 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得b2± 6b－12＝0， 解得b＝ 6或2 6，
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[冲关锦囊] 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主 要有如下两种方法
1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因
式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的 形状； 2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间 的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从
而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π
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a b bsinA 解析：直接根据正弦定理可得 sinA ＝ sinB ，可得sinB＝ a ＝ 3λsin45° 6 ＝ 2 >1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0. λ
答案： A
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π 1 4．(2011· 北京高考)在△ABC中，若b＝5，B＝4，sin A＝3， 则a＝________.
正弦余弦换算公式
正弦余弦换算公式正弦和余弦是三角函数中的两个重要概念，它们广泛应用于数学、物理、工程和其他科学领域。
正弦函数和余弦函数之间存在着一定的关系，可以通过一些换算公式进行转换。
本文将介绍正弦余弦换算公式，并讨论它们的应用。
首先，我们来定义一下正弦和余弦函数。
在一个直角三角形中，正弦和余弦分别定义为：正弦θ=对边/斜边余弦θ=邻边/斜边根据这个定义，我们可以得到正弦和余弦的换算公式。
换算公式1：正弦函数与余弦函数关系根据三角恒等式sin²θ + cos²θ = 1，可以得到正弦和余弦之间的换算公式：sinθ = √(1 - cos²θ)cosθ = √(1 - sin²θ)通过这个换算公式，我们可以通过已知的一个三角函数值来求解另一个三角函数值。
这对于解题和计算来说非常有用。
换算公式2：正弦余弦换算为直角三角形除了上面的换算公式，我们还可以通过正弦和余弦的换算来进一步求解直角三角形中的边长和角度。
假设已知一个直角三角形（ABC），其中∠B是直角，边BC是斜边。
假设我们已知∠B的角度和BC的长度。
那么我们可以通过正弦余弦换算公式来求解其他边的长度。
1. 如果已知∠B的角度和BC的长度，我们可以通过余弦来求解∠C 的角度。
根据余弦函数cosθ = 邻边/斜边，我们可以得到∠C的角度：∠C = arccos(邻边/斜边) = arccos(AC/BC)2. 通过∠C的角度我们也可以求解其余边的长度。
根据正弦函数sinθ = 对边/斜边，我们可以得到边AC的长度：AC = sin(∠C) * BC通过这两个公式，我们可以根据已知的角度和边长来求解直角三角形中其他未知量。
换算公式3：反余弦函数和反正弦函数除了正弦和余弦之间的换算公式，我们还可以使用反余弦和反正弦函数来求解角度。
例如，已知一个直角三角形中的两个边的长度，我们可以使用反余弦函数来求解夹角的角度。
假设已知两边的长度分别为AC和BC，我们可以使用反余弦函数解出∠C的角度：∠C = arccos(AC/BC)同样地，如果我们已知一个直角三角形中的一边和一个角度，我们可以使用反正弦函数来求解另一个角度。
三角函数正弦与余弦的定义
三角函数正弦与余弦的定义三角函数是数学中研究角与边之间关系的重要工具，其中正弦和余弦是最常见的两个三角函数。
它们既有几何意义，又有代数定义，对于描述周期性现象和解决各种实际问题都非常重要。
一、正弦函数的定义正弦函数（sine function）是一个周期函数，通常用sin(x)表示。
它的定义基于单位圆上的点的纵坐标。
我们先来回顾一下单位圆的概念。
单位圆是半径为1的圆，圆心位于原点(0,0)。
对于单位圆上的任意一点P(x,y)，点P与圆心O之间的线段OP被称为半径，而角度θ则是线段OP与正半轴之间的夹角。
正弦函数的定义是通过角度θ与单位圆上的点的纵坐标y的对应关系来确定。
具体地，对于角度θ，其对应的正弦值sin(θ)等于单位圆上点P的纵坐标y。
即：sin(θ) = y这里θ可以是任意实数，正弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。
二、余弦函数的定义余弦函数（cosine function）也是一个周期函数，通常用cos(x)表示。
类似于正弦函数，余弦函数的定义基于单位圆上的点的横坐标。
对于单位圆上的任意一点P(x,y)，点P与圆心O之间的线段OP被称为半径，而角度θ则是线段OP与正半轴之间的夹角。
余弦函数的定义是通过角度θ与单位圆上的点的横坐标x的对应关系来确定。
具体地，对于角度θ，其对应的余弦值cos(θ)等于单位圆上点P的横坐标x。
即：cos(θ) = x同样地，θ可以是任意实数，余弦函数的定义域也是整个实数集，值域也是[-1, 1]。
三、正弦和余弦函数的性质正弦和余弦函数具有一些重要的性质，这些性质在解决各种实际问题和进行数学计算时非常有用。
1. 周期性：正弦和余弦函数都是周期函数，周期分别为2π。
也就是说，对于任意实数x，有sin(x+2π) = sin(x)和cos(x+2π) = cos(x)成立。
2. 奇偶性：正弦和余弦函数具有不同的奇偶性。
正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；而余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
直角三角形的正弦与余弦计算
直角三角形的正弦与余弦计算直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
在直角三角形中，我们可以使用正弦（sine）和余弦（cosine）来计算角度与边长之间的关系。
本篇文章将介绍如何计算直角三角形中的正弦和余弦。
1. 正弦（Sine）的计算方法正弦是一个角度与其对边长度之比的值。
在直角三角形中，我们可以使用下面的公式来计算正弦：sin(A) = 对边长度 / 斜边长度其中，A代表直角三角形中一个非直角的角度。
举个例子，假设我们有一个直角三角形，其中一个角度为30度，对边的长度为5，斜边的长度为10。
我们可以使用上述公式来计算正弦：sin(30度) = 5 / 10 = 0.5因此，这个直角三角形的正弦值为0.5。
2. 余弦（Cosine）的计算方法余弦是一个角度与其邻边长度之比的值。
在直角三角形中，我们可以使用下面的公式来计算余弦：cos(A) = 邻边长度 / 斜边长度同样以前述的例子为例，我们可以使用上述公式来计算余弦：cos(30度) = 邻边长度 / 斜边长度由于直角三角形中，邻边与对边是相等的，我们可以得到：cos(30度) = 5 / 10 = 0.5因此，这个直角三角形的余弦值为0.5。
3. 利用正弦和余弦计算角度和边长除了计算正弦和余弦的值，我们还可以利用它们来计算直角三角形中其他未知角度或边长的值。
下面是一些用于计算的基本公式：- 角度的计算：如果已知一个角度的正弦值，可以使用反正弦函数（arcsin或sin^(-1)）来计算角度：A = arcsin(对边长度 / 斜边长度)如果已知一个角度的余弦值，可以使用反余弦函数（arccos或cos^(-1)）来计算角度：A = arccos(邻边长度 / 斜边长度)- 边长的计算：如果已知一个角度和对边长度，可以使用正弦来计算斜边长度：斜边长度 = 对边长度 / sin(A)如果已知一个角度和邻边长度，可以使用余弦来计算斜边长度：斜边长度 = 邻边长度 / cos(A)最后，我们需要注意在计算前确认所使用的角度单位（弧度或度数）与计算工具的要求相匹配。
第一节 正弦定理和余弦定理(知识梳理)
第一节 正弦定理和余弦定理复习目标学法指导1.会证明正弦定理、余弦定理.2.理解正弦定理、余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用.3.能用正弦定理、余弦定理解斜三角形.4.会用正弦定理、余弦定理讨论三角形解的情形.5.了解正弦定理与三角形外接圆半径的关系.1.正弦定理和余弦定理是解三角形的基础,熟记定理内容及变形公式,在解决问题时注重数形结合.2.在给定方程的化简和变形上要注重“统一”“消元”思想的运用.统一:统一角度或边长.消元:多个角度利用A+B+C=π进行消元.一、正弦定理正弦定理内容:sin a A =sin b B =sin c C=2R(R 为△ABC 外接圆半径). 变形形式:①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. ②sin A=2a R ,sin B=2b R ,sin C=2c R . ③a ∶b ∶c=sin A ∶sin B ∶sin C.④sin a A =sin sin a b A B ++=sin sin sin a b c A B C++++.1.概念理解(1)正弦定理主要解决两类三角形问题:①知两角和一边;②知两边和其中一边所对应的角.在第②类中要注意会出现两组解的特殊情况. (2)正弦定理中边角互化公式:a=2Rsin A 和sin A=2a R 是表达式变形中常用公式,在统一角度或统一长度上发挥作用. 2.与正弦定理有关的结论(1)三角形中:A+B+C=π,sin(A+B)=sin C, cos(A+B)=-cos C.(2)在△ABC 中,已知a,b 和A 时,解的情况如下:A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a=bsin Absin A<a<ba ≥ba>b解的个数 一解两解一解一解二、余弦定理余弦定理内容:a 2=b 2+c 2-2bc ·cos A, b 2=a 2+c 2-2ac ·cos B, c 2=a 2+b 2-2ab ·cos C.变形形式:cos A=2222bc a bc+-,cos B=2222ac b ac+-,cos C=2222a b c ab+-.1.概念理解(1)余弦定理解决两类三角形问题:一是知两边及其夹角的三角形,二是知三边的三角形.(2)利用余弦定理来解决三角形问题时,要注意角的取值范围.通常求解三角形的内角度数时,不是解该角的正弦,而是解该角的余弦. 2.与余弦定理有关的结论 由cos A=2222b c a bc+-(设A 为最大内角)若b 2+c 2>a 2,则该三角形为锐角三角形. b 2+c 2=a 2,则该三角形为直角三角形. b 2+c 2<a 2,则该三角形为钝角三角形.1.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=12b,且a>b,则∠B 等于( A ) (A)π6 (B)π3(C)2π3 (D)5π6 解析:由正弦定理得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=12sin B, 所以sin Bsin(A+C)=12sin B. 因为sin B ≠0, 所以sin(A+C)=12,即sin B=12,所以B=π6或5π6.又因为a>b, 所以A>B, 所以B=π6.故选A.2.在△ABC 中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( C ) (A)有一解 (B)有两解 (C)无解(D)有解但解的个数不确定解析:由正弦定理得sin b B =sin cC,所以sin B=sin b Cc=40220>1.所以角B 不存在,即满足条件的三角形不存在.故选C. 3.在△ABC 中,A=60°则△ABC 的面积等于 .解析:=4sin B, 所以sin B=1, 所以B=90°, 所以AB=2,所以S △ABC =12×2×23=23.答案:234.(2019·临海高三检测)设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C= . 解析:由3sin A=5sin B,得3a=5b.又因为b+c=2a, 所以a=53b,c=73b,所以cos C=2222a b c ab +-=22257()()33523b b b b b +-⨯⨯=-12. 因为C ∈(0,π), 所以C=2π3. 答案:2π3考点一 利用正弦定理解三角形 [例1] (1)在△ABC 中32°,求角A,C 和边c;(2)已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边,若3求角A 的大小.解:(1)由正弦定理sin a A =sin bB , 得sin A=sin a B b3,所以A=60°或120°. ①当A=60°时,C=75°,由sin a A =sin c C ,得c=sin sin a C A⋅=2·sin 75°62+②当A=120°时,C=15°,c=2·sin 15°62-解:(2)由A+C=2B,A+C+B=180°得B=60°.所以由正弦定理得3=1sin A, 所以sin A=12.所以A=30°或150°. 又因为b>a, 所以B>A. 所以A=30°.利用正弦定理解三角形(1)注重条件和图形的结合;(2)知两边及一边对应的角时,要区分三角形解的情况,通常情况下先利用正弦定理求角,再利用“大边对大角”的条件排除; (3)正弦定理的变形公式.1.(2019·浙江卷)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则BD= ,cos ∠ABD= .解析:如图,易知sin C=45, cos C=35.在△BDC 中,由正弦定理可得sin BD C=sin BC BDC∠, 所以BD=sin sin BC C BDC⋅∠4352⨯122.由∠ABC=∠ABD+∠CBD=90°,可得cos ∠ABD=cos(90°-∠CBD)=sin ∠CBD=sin[π-(∠C+∠BDC)] =sin(∠C+∠BDC)=sin C ·cos ∠BDC+cos C ·sin ∠BDC=45×2+35×2=72.答案122722.在△ABC 中,B=60°3则AB+2BC 的最大值为 .解析:在△ABC 中,由正弦定理得sin AB C =sin BCA 3所以AB+2BC=2sin C+4sin A =2sin(120°-A)+4sin A 7ϕ),其中,tan ϕ3,又因为A ∈(0°,120°), 所以最大值为7答案7考点二 利用余弦定理解三角形[例2] 若△ABC 的内角A,B,C 所对的边a,b,c 满足(a+b)2-c 2=4,且C=60°,则ab 的值为( ) (A)433(C)1 (D)23解析:由已知得a 2+b 2-c 2+2ab=4, 由于C=60°,所以cos C=2222a b c ab+-=12, 即a 2+b 2-c 2=ab,因此ab+2ab=4,ab=43,故选A.利用余弦定理解三角形:一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次关系时,考虑使用余弦定理.△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,已知b=c,a 2=2b 2(1-sin A),则A 等于( C )(A)3π4 (B)π3 (C)π4 (D)π6解析:在△ABC 中,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A, 因为b=c,所以a 2=2b 2(1-cos A), 又因为a 2=2b 2(1-sin A), 所以cos A=sin A,所以tan A=1, 因为A ∈(0,π),所以A=π4,故选C. 考点三 正、余弦定理的综合应用[例3] 设△ABC 的内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c, 已知()sin a bA B ++=sin sin a c AB --.(1)求角B; (2)若6,求△ABC 的面积.解:(1)因为()sin a bA B ++=sin sin a c AB --,所以a b c+=a ca b --, 所以a 2-b 2=ac-c 2, 所以cos B=2222a c b ac+-=2ac ac =12, 又因为0<B<π,所以B=π3.解:(2)由cos A=63可得sin A=33,由sin a A =sin b B可得a=2, 而sin C=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B =3326+,所以△ABC 的面积S=12absin C=3322+.(1)利用正、余弦定理解三角形的关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理.(2)对于面积公式S=12absin C=12acsin B=12bcsin A,一般是已知哪一个角就选用哪一个公式.(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为23sin a A .(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC 的周长. 解:(1)由题设得12acsin B=23sin a A ,即12csin B=3sin aA . 由正弦定理得12sin Csin B=sin 3sin A A ,故sin Bsin C=23.解:(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12,即cos(B+C)=- 12.所以B+C=2π3,故A=π3.由题设得12bcsin A=23sinaA,即bc=8,由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故△ABC的周长为3+33.类型一利用正弦定理解三角形1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C等于( A )(A)725 (B)-725(C)±725(D)2425解析:因为8b=5c,所以由正弦定理,得8sin B=5sin C.又因为C=2B,所以8sin B=5sin 2B,所以8sin B=10sin Bcos B.因为sin B≠0,所以cos B=45,所以cos C=cos 2B=2cos2B-1=725.故选A.2.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,向量p=(1,-∥q,且bcos C+ccos B=2asin A,则C等于( A )(A)30°(B)60°(C)120° (D)150°解析:因为p∥q,cos B=sin B,所以即得所以B=120°.又因为bcos C+ccos B=2asin A,所以由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin2A,即sin A=sin(B+C)=2sin2A,,又由sin A≠0,得sin A=12所以A=30°,C=180°-A-B=30°.故选A.类型二利用余弦定理解三角形3.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+ cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于( D )(A)10 (B)9 (C)8 (D)5解析:由23cos2A+cos 2A=0,得25cos2A=1,因为A为锐角,所以cos A=1.5b,又由a2=b2+c2-2bccos A,得49=b2+36-125整理得5b2-12b-65=0,解得b=-135(舍)或b=5.即b=5. 故选D.4.若锐角△ABC 的面积为,且AB=5,AC=8,则BC 等于 .解析:设内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.由已知及12得因为A 为锐角,所以A=60°,cos A=12.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A =64+25-2×40×12 =49,故a=7,即BC=7. 答案:7类型三 正弦定理和余弦定理的综合应用 5.在△ABC 中,∠B=120°∠BAC的平分线则AC 等于( D )(C)2解析:如图,在△ABD 中,由正弦定理,得sin ∠ADB=sin AB BAD .由题意知0°<∠ADB<60°, 所以∠ADB=45°,则∠BAD=180°-∠B-∠ADB=15°, 所以∠BAC=2∠BAD=30°, 所以∠C=180°-∠BAC-∠B=30°, 所以于是由余弦定理,得AC=222cos120AB BC AB BC ︒+-⨯=()()221222222⎛⎫+-⨯⨯- ⎪⎝⎭=6.故选D.。
正弦定理和余弦定理课件PPT
在钝角三角形 ABC 中，a＝1，b＝2，c＝t，且 C 是最大角，则 t 的取值范围是________．
[错解] ∵△ABC 是钝角三角形且 C 是最大角，∴C>90°， ∴cosC<0，∴cosC＝a2＋2ba2b－c2<0， ∴a2＋b2－c2<0，即 1＋4－t2<0. ∴t2>5.又 t>0，∴t> 5， 即 t 的取值范围为( 5，＋∞)．
sin A
3
y 4sin x 4sin( 2 x) 2 3 3
4 3 sin(x ) 2 3， 6
A ,0 B x 2 .
3
3
故 x ( , 5),sin(x ) (1 ,1］,
6 66
62
∴y的取值范围为 (4 3,6 3］.
正、余弦定理的综合应用 【名师指津】正、余弦定理的综合应用
(2)由于 a:b:c＝1: 3:2， 可设 a＝x，b＝ 3x，c＝2x. 由余弦定理的推论，得 cosA＝b2＋2cb2c－a2 ＝32x×2＋43xx2×－2xx2＝ 23，故 A＝30°. 同理可求得 cosB＝12，cosC＝0，所以 B＝60°，C＝90°.
已知三角形的三边长分别为 x2＋x＋1，x2－1 和 2x＋ 1(x>1)，求这个三角形的最大角．
∵∠ADC＝45°，DC＝2x， ∴在△ADC 中，根据余弦定理，得 AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos45°， AC2＝4x2－4x＋2， 又 AC＝ 2AB， ∴AC2＝2AB2， 即 x2－4x－1＝0，解得 x＝2± 5. ∵x>0，∴x＝2＋ 5，即 BD＝2＋ 5.
名师辨误做答
第一章
解三角形
第一章
1．1 正弦定理和余弦定理
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正弦和余弦
教学目标
1、知识与技能：
（1）使学生理解锐角正弦的定义。
（2）会求直三角形中锐角的正弦值。
2、过程与方法：
使学生经历探索正弦定义的过程。
逐步培养学生观察、比较、分析、归纳的能力。
3、情感态度与价值观：
（1）在自主探索、共同发现、共同交流的过程中分享成功的喜悦；
（2）在讨论的过程中使学生感受集体的力量，培养团队意识；
（3）通过探索、发现、培养学生独立思考，勇于创新的精神和良好的学习习惯。
教学重点
1、理解和掌握锐角正弦的定义。
2、根据定义求锐角的正弦值。
教学难点
探索“在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值是一个常数”的过程
学习目标
1使学生理解锐角正弦的定义。
2会求直三角形中锐角的正弦值。
一、自学指导
自学P99—P100页完成下列问题
1.每位同学画一个直角三角形，其中一个锐角为65°，量出65°角的对边长度
和斜边长度，计算65°角的对边长度比斜边长度，
2.一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角A取固定值时∠A的对边与斜边的比值
是一个固定值的吗？
3.你能证明第2问这个结论吗？
4 如图2一艘轮船从西向东航行到B处时，灯塔A在
船的正北方向轮船从B处继续向正北方向航行2000m
到达C 处，此时灯塔A 在船的北偏西65°的方向；
试问：C 处和灯塔A 的距离AC 约等于多少米（精确到10m ）？ 5什么是正弦?
二、检测自学效果
在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边 与斜边的比值为一个常数
定义：在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比
叫角α 的正弦，记作Sin α 即 1当角A 固定时,它的三角函数值都是固定的,与角A 的边长短无关
2.sinA,cosA,都是整体符号,不能看成sin ·A,cos · A,
3.若用三个大写字母表示一个角时,角的符号“∠”不能省略. 三例题
1 如图AB=5，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，BC=3，AB=5
(1)求∠A 的正弦SinA. (2)求∠B 的正弦SinB. 2 如图，在直角三角形ABC 中，角C=90°,BC=5,AB=13。
(1)求sinA 的值；
(2)求sinB 的值。
3 特殊角的正弦余弦值的探讨
求sin30°sin60°sin45°
思考：小刚说：对于任意锐角α，都有0＜sin α＜1
你认为对吗？为什么？
四、小结
五、当堂训练
斜边的对边
角a Sina ＝。