线段的定比分点

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线段定比分点公式

线段定比分点公式

线段定比分点公式线段定比分点公式是解决线段分点问题的一种方法,它在数学中有着广泛的应用。

它的原理是根据线段的长度比例,确定分点的位置。

下面我将详细介绍线段定比分点公式的应用和推导过程。

我们来看一个具体的问题。

假设有一条线段AB,长度为L。

我们需要在这条线段上确定一个点C,使得AC:CB的长度比例为m:n。

那么我们可以通过线段定比分点公式来求解这个问题。

根据线段定比分点公式,我们可以得到以下等式:AC/CB = m/n我们可以将这个等式进一步转化为:AC = mL/(m+n)CB = nL/(m+n)这就是线段定比分点公式的具体表达式。

根据这个公式,我们可以在给定的线段上确定一个满足长度比例的分点。

接下来,我们来看一个具体的例子,以更好地理解线段定比分点公式的应用。

例题:在线段AB上,已知AC:CB = 3:2,且AB的长度为10。

求点C的坐标。

解析:根据线段定比分点公式,我们可以得到以下表达式:AC = 3/5 * 10 = 6CB = 2/5 * 10 = 4因此,点C的坐标为(6, 4)。

线段定比分点公式不仅可以用于求解已知长度比例的问题,还可以用于求解已知分点和端点长度的问题。

下面我们来看一个例子。

例题:在线段AB上,已知点A的坐标为(1, 2),点C的坐标为(5, 6),且AC:CB = 2:3,求线段AB的长度。

解析:根据线段定比分点公式,我们可以得到以下表达式:AC/AB = 2/5将已知的点的坐标代入上述表达式,可以得到以下等式:√[(5-1)^2+(6-2)^2]/AB = 2/5解方程可得:√[(5-1)^2+(6-2)^2] = 2/5 * AB化简得:√[(5-1)^2+(6-2)^2] = 2/5 * AB两边平方可得:(5-1)^2+(6-2)^2 = (2/5 * AB)^2化简得:16 + 16 = (2/5)^2 * AB^2化简得:32 = (4/25) * AB^2进一步化简可得:AB^2 = 25/4 * 32化简得:AB^2 = 200开平方可得:AB = √200化简得:AB = 10√2因此,线段AB的长度为10√2。

高考数学总复习线段的定比分点和平移精品课件大纲人教版

高考数学总复习线段的定比分点和平移精品课件大纲人教版

互动探究2 将此抛物线按怎样的向量a=(h,k)
平移,能使平移后的曲线的函数解析式为y=x2?
解:由x′= x+ h y′= y+ k
得 xy==yx′′--kh
Hale Waihona Puke 代入y=(x-1)2-9 中得到 y′-k=(x′-h-1)2-9, 使其顶点为 (0,0),
∴h+1=0 , ∴h=-1
- 9+ k= 0
数y=f(x)的图象向左平移了1个单位,向下平移
了2个单位,故选C.
用=建立M、N之间的坐标关系,用其坐标表示λ,
求其值域.
【解】 (1)设曲线 C 上的点的坐标为(x′,y′), 由平移公式得
x′=x+2
y′=y+1
,即x=x′-2 y=y′-1
.代入曲线方程
即(x+2)2+2(y+1)2=2 中得到 x′ 2+ 2y′ 2= 2. ∴曲线 C 的方程为x2+y2=1.
x1+ x2 2
x1+ λx2 1+ λ
y1+ y2 2
2.图形的平移 (1)平移 设F为坐标平面内一个图形,将F上所有点按 _同__一_个__方__向____ 移 动同__样_____ 的 长 度 , 得 到 图 形 F′,这个过程叫图形的平移.将一个图形平移, 图形的形状大小不变,只是在坐标平面内的位置 发生变化.
即把y=ex的图象向右平移两个单位,再向上平
移3个单位得到f(x)的图象.∴f(x)=ex-2+3.故
选C.
3.若函数y=f(x)的图象按向量a平移后,得到函
数y=f(x+1)-2的图象,则向量a等于( )
A.(1,-2)
B.(1,2)
C.(-1,-2)
D.(-1,2)
解析:选C.可知函数y=f(x+1)-2的图象是由函

《线段的定比分点》课件

《线段的定比分点》课件

线段的相等与比较
相等
当两条线段的长度相同,它们是相等的。
比较
当两条线段的长度不同,可以通过比较它们的长度确定它们的大小关系。
线段的中点
线段的中点位于线段的正中间,将线段分成两个等长的部分。
定义线段的等分点
内分点
在线段的内部,将线段分成若干个等长的部分。
外分点
在线段的延长线上,将线段的延长线分成若干个等长 的部分。
线段的内分点
等分点
线段上的内分点可以将线段分成不同的比例。
等分点
可以通过内分点将线段分成1:2、1:3、1:4等不同的比例。
线段的外分点
1
比例
外分点将线段延长,并将线段的延长部分分
应用
2
成1:2、1:3、1像变换等。
3
插值
外分点可以将线段分成多个等长的部分,用 于插值计算。
线段的定比分点
本PPT课件将介绍线段的概念、作图方法、相等与比较、中点、等分点、内分 点和外分点。
线段的概念
线段是由两个点之间连结起来的部分,具有起点和终点。
线段的作图方法
1 用尺规作图
使用尺子构造线段,用圆规确定线段的长度。
2 用坐标作图
根据给定的坐标点,在坐标系中绘制线段。
3 用徒手绘制
直接使用铅笔或画笔在纸上绘制线段。

《线段定比分点》课件

《线段定比分点》课件
分享一些有用的网站资源,供学习者深入了解线段定比分点。
案例三:求P点坐标
给出一个复杂的几何问题,通过 使用分部计算求得线段上的特定 点的坐标。
总结
1
线段定比分点的应用
总结线段定比分点在数学和几何学中的实际应用。
2
需要注意的Байду номын сангаас题
强调学习线段定比分点时需要注意的一些常见问题。
参考资料
相关书籍
提供一些推荐的书籍来进一步学习线段定比分点和相关数学概念。
相关网址
线段定比分点
介绍线段定比分点,包括什么是线段定比分点以及为什么需要线段定比分点。
线段内分点
线段内分点
定义线段内分点并解释它的意义。
求线段内分点
介绍如何通过使用比例和坐标计算方法来求得线段内分点。
实际应用举例
提供具体的实际问题,使用线段内分点的概念来解决。
线段外分点
1 线段外分点
定义线段外分点并说明其用途。
2 求线段外分点
通过使用比例和坐标计算方法,解释如何求得线段外分点。
3 实际应用举例
展示具体的实例,说明线段外分点在实际问题中的应用。
相关习题
案例一:求C点坐标
案例二:求M点坐标
提供一个简单的几何问题,通过 计算求得线段上的特定点的坐标。
展示另一个几何问题,通过分割 线段并计算求得线段上的特定点 的坐标。

线段的-定比分点

线段的-定比分点

∴ x-x1= λ(x2-x) 解得 x x1 x2
P1
y-y1= λ(y2-y)
1
y y1 y2
(1)
1
y
P2 l
P
0
x
公式(1)叫有向线段P1P2的定比分点坐标公式
当P点是线段P1P2的中点时, λ=1,得
x x1 x2
2
y y1 y2 2
(2)
公式(2)叫有向线段P1P2的中点坐标公式
(3)设D点坐标(x0, y0 )
x0
11 1 2
2
1 3
y0

7
2 1 2
2
11 3
D(1 ,11) AD (5 1)2 (1 11)2 14 2
33
3
33
11
课堂小结
1.有向线段P1P2的定比分点公式
x x1 x2 1
y y1 y2 1
有向线段P1P2中点公式
( x1 x2 , y1 y2 )
4
3.推导公式及举例
若把直线l放在坐标系中,设P1(x1,y1),P2(x2,y2),点P分有向线段P1P2所成 的比为λ,那么点P的坐标如何表示呢?由向量的坐标等于终点的坐标减去
起点的坐标得:
P1P=(x-x1,y-y1), PP2=(x2-x,y2-y)
∵ P1P= λPP2 ∴ (x-x1,y-y1)= λ(x2-x,y2-y)
A
(2)D点分BC的比;
(3)线段AD的长度。
B
D
C
分析 : 本题用到了两点间距离公式及三角形角平分线性质 : BD AB
解:
DC AC
(1) AB [5 (1)]2 (1 7)2 10 同理 : AC 5

《线段的定比分点》教案

《线段的定比分点》教案

《线段的定比分点》教案教案:线段的定比分点教学目标:1.理解线段的定比分点的概念和性质;2.掌握求解线段的定比分点的方法;3.运用线段的定比分点解决实际问题;4.培养学生的逻辑思维和空间想象力。

教学重点:1.理解线段的定比分点的概念;2.理解线段的定比分点的性质;3.掌握求解线段的定比分点的方法。

教学难点:1.运用线段的定比分点解决实际问题;2.培养学生的逻辑思维和空间想象力。

教学准备:1.教学PPT;2.课堂展示用的线段模型;3.案例练习题。

教学过程:一、导入(10分钟)1.引入线段的定义:什么是线段?如何求线段长度?2.提问:如果要将一个线段分成两个等长的部分,应该如何切割呢?二、讲解(20分钟)1.讲解线段的定比分点的概念:什么是定比分点?在一个线段上如何确定一个定比分点?2.讲解定比分点的性质:定比分点将线段分成两个部分,这两个部分的比等于给定的比例。

3.讲解如何求解线段的定比分点:通过比例求解定比分点的坐标,或者通过距离比例求解定比分点的坐标。

三、示范(20分钟)1.模拟示范一:展示一个线段,介绍给定的比例,然后求解线段的定比分点的坐标。

2.模拟示范二:展示一个线段,介绍给定的长度比例,然后求解线段的定比分点的坐标。

四、练习(30分钟)1.独立练习:学生分组进行线段的定比分点的练习。

2.案例练习:提供一些实际问题,要求学生运用线段的定比分点解决问题。

五、总结(10分钟)1.给出线段的定比分点的定义、性质和求解方法的总结;2.引导学生进行反思和回顾,让他们意识到线段的定比分点在实际问题中的应用和重要性。

六、拓展(10分钟)1.引导学生思考:如何运用线段的定比分点来解决其他几何题目?2.提供一些拓展问题,让学生进行思考和讨论。

教学延伸:1.使用几何软件进行线段的定比分点的可视化演示;2.安排学生进行实地考察,观察和测量现实生活中的线段及其定比分点。

教学评价:1.教师观察学生的参与程度和学习态度;2.教师收集整理学生的练习答案并进行评分;3.学生之间进行小组合作评价;4.教师对学生的表现进行评价并给出建议。

线段的定比分点

线段的定比分点

课题:线段的定比分点.目的:掌握有向线段的定比分点和线段的中点公式,并能简单应用. 重点、难点:线段的定比分点.过程:一、复习引入前面我们学习了有向直线,有向线段,有向线段的长度,有向线段的数量等许多概念和符号.今天我们想在此基础上跟大家讨论线段的定比分点.二、新授1.定义:有向直线l 上的一点P ,把l 上的有向线段21P P 分成两条有向线段P P 1和2PP .P P 1和2PP 数量的比叫做点P 分21P P 所成的比,通常用字母λ来表示这个比值,21PP P P =λ,点P 叫做21P P 的定比分点. 2.说明: (1)21P P 是在过两点1P 、2P 的一条有向直线上的有向线段,1P 是起点,2P 是终点;(2)P P 1是以1P 为起点,P 为终点;2PP 是以P 为起点,2P 为终点.顺序不能颠倒,否则λ的值就会随之改变;(为了联系紧密,P 为分点,∴21PP P P =λ中,P P →1,2P P →,就是起点→分点,分点→终点.)(3)21PP P P 不是线段的长度之比,而是有向线段的数量之比,这个比与过21P P 的有向直线无关;(4)在21PP P P 中,分子是由线段的起点1P 到分点P 的有向线段P P 1的数量,分母是由分点P 到终点2P 的有向线段2PP 的数量.请思考,点P 分21P P 所成的比和点P 分12P P 所成的比有何关系.3.练习:如图,求点B 分AC ,点B 分CA ,点C 分AB ,点C 分BA ,点A分BC ,点A 分CB 所成的比.(23,32,25-,52-,53-,35-) 由此回答:(1)P 分21P P 的比与P 分12P P 的比互为倒数;(2)λ的符号与点P 的位置有关.4.小结:若点P 在线段21P P 上,点P 叫做21P P 的内分点,此时0>λ;若点P 在线段12P P 或21P P 的延长线上,点P 叫做21P P 的外分点,此时0<λ.三、解几的基础是坐标系、点的坐标,那么我们怎样求定比分点的坐标呢?问题:设21P P 的两个端点分别为),(111y x P 和),(222y x P ,点P 分21P P 所成的比为λ(1-≠λ),求分点P 的坐标),(y x .分析:过点1P 、2P 、P 分别作x 轴的垂线11M P 、22M P 、PM ,则垂足分别是)0,(11x M 、)0,(22x M 、)0,(x M .根据平行线分线段成比例定理,得2121MM M M PP PP =.如果点P 在线段21P P 上,那么点M 也在线段21M M 上;如果点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上,那么点M 也在线段21M M 或12M M 的延长线上.因此21PP P P 与21MM M M 的符号相同,所以21PP P P =21MM M M . ∵11x x M M -=,x x MM -=22,∴xx x x --=21λ, 即21)1(x x x λλ+=+,当1-≠λ时,得λλ++=121x x x . 同理可以求得y y y y --=21λ,λλ++=121y y y . 因此,当已知两个端点为),(111y x P 、),(222y x P ,点),(y x P 分21P P 所成的比为λ时,点P 的坐标是λλ++=121x x x ,λλ++=121y y y (1-≠λ). (1)把P P 1、2PP ,M M 1、2MM 看成一般的线段,根据初中几何平行截割定理得2121MM M M PP PP =;(2)从有向线段的数量的符号来验证这个比例. 当点P 在两点1P 、2P 之间,这时点M 也在两点1M 、2M 之间,有向线段P P 1和2PP 都具有相同的方向,它们的数量符号相同,∴=λ21PP P P 是正的.同样有向线段M M 1、2MM 也具有相同的方向,它们的数量的符号也相同,所以21MM M M 也是正的,因此,=λ21PP P P =21MM M M . 当点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上,那么点M 也在线段21M M 或12M M 的延长线上,而P P 1与2PP 的符号相反,于是=λ21PP P P 0<.同样M M 1、2MM 的符号也相反,所以21MM M M 也是负的,因此,=λ21PP P P =21MM M M . 所以1P 、2P 不论在哪个象限,相互位置关系怎样,也不论点P 在21P P 上或在延长线上,定比分点公式都是正确的.特别地,当点P 是线段21P P 的中点时,有21PP P P =,即1=λ,因此线段21P P 中点P 的坐标是221x x x +=,221y y y +=.四.简单应用例.点1P 和2P 的坐标分别是)6,1(--和)0,3(,点P 的横坐标为37-.求点P 分21P P 所成的比λ和点P 的纵坐标y . 解:由λ的定义,可得x x x x --=21λ41373)1(37-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=. 84110416121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=++=λλy y y . 点P 分21P P 所成的比是41-,点P 的纵坐标是8-. 五.练习1.已知两点)2,3(1-P 、)4,9(2-P .求点)0,(x P 分21P P 所成的比λ及x 的值.2.点M 分有向线段21M M 的比为λ,求点M 的坐标),(y x ,其中)5,1(1M 、)3,2(2M ,2-=λ; 六.小结1.定比分点P 的位置与λ的符号关系;2.定比分点坐标公式;3.λ的求法.七.作业。

03线段的定比分点及平移

03线段的定比分点及平移
2 + 5λ −1 + 3λ k − + 1 = 0 ⇒ (5k − 2)λ = −2k + 2 1+ λ 1+ λ
>0
点不能与B点重合 点重合, QP点不能与 点重合,所以 5k − 2 ≠ 0
2k + 2 2 ∴λ = − > 0得 − 1 < k < 5k − 2 5
进行平移, 6.将函数 y = − x 进行平移,使得到的图象与原函数的 图象的两交点关于原点对称.求平移后图象的解析式. 图象的两交点关于原点对称.求平移后图象的解析式.
3.三角形重心公式及推导 三角形重心公式及推导 x1 + x 2 + x3 y1 + y 2 + y 3 三角形重心公式: , ) 三角形重心公式: ( 3 3
二、平移及平移公式 1.图形平移:设 F 是坐标平面内的一个图形,将 F 上 图形平移: 是坐标平面内的一个图形, 图形平移 所有的点按照同一方向移动同样长度(即按向量 所有的点按照同一方向移动同样长度 即按向量 a 平 移),得到图形 F`,我们把这一过程叫做图形的平移。 , ,我们把这一过程叫做图形的平移。 r 2.平移公式:点 P ( x, y ) 按向量 a = ( h, k ) 平移到 P′ ( x', y' ) 平移公式: 平移公式
一、线段的定比分点 1.定义 设 P 、P2 是直线 l 上的两点 点 P 是 l 上不同于 定义:设 1 上的两点, 定义 uuu r uuur P 、P2 的任意一点,则存在一个实数 λ 使 P P = λ PP2 , 1 1 uuuu r λ 叫做点 P 分有向线段 P P2 所成的比.(如图) 1
r r r 例 2 设函数 f ( x) = a ⋅ b ,其中向量 a = (2 cos x ,1) , 其中向量 r b = (cos x, 3 sin 2 x ), x ∈ R .

线段的定比分点

线段的定比分点

解得
5 17 y 2 5 22
5.5 线段的定比分点
ABC 的三个顶点的坐标分 例2.如图, 别为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x 3 , y3 ) , D是边AB的中点,G是CD上的一点, CG 且 GD 2 ,求点G的坐标. y D A
5.5 线段的定比分点
有向线段 P1 P2 的定比分点坐标公式 x x x 起点 : P ( x , y ) 1 P: y y 终点 : P ( x , y ) y 1
1 2
1
1
1
1
2
2
2
2
有向线段 P1 P2 的中点坐标公式
x1 x 2 x 2 y y1 y2 2
A B C
5.5 线段的定比分点
练习:
ABC 中, AB的中点是 (2)如图, D(-2,1),AC 的中点是 E(2,3),重 心是G(0,1),求A、B、C的坐标. A
A(0,5), B(-4,-3), C(4,1)
D G
E
B
C
作业:P117 1, 2, 4。
你能根据P点的三种不同的位置和实数 确定λ的取值范围吗?
P在之间
P1, P2
P2
P在 P1 P2 的延长线上, P在 P2 P1 的延长线上.
P1
P
P1
P2
P
P
P1
P2
0
1
1 0
5.5 线段的定比分点
设 P1 ( x1 , y1 ),P2 ( x2 , y2 ) ,P分 P1 P2 所成的比为 ,如何求P点的坐标呢? Y P1 P ( x x1 , y y1 )P(x , y )

线段定比分点

线段定比分点

练习:

例、已知抛物线 y x 2x 8
2
(1)求抛物线顶点的坐标 (2)求将这条抛物线的顶 点平移到 点(2, 3)时的函数解析式 (3)将此抛物线按怎样的向 量平移,能使
平移后的曲线的函数解 析式为y x
2
(3)将函数y log3 (2 x 1) 4的图象,按向量 a平移 后得到的函数是 y log3 2 x, 求a
知识提要 3、图形的平移
所有点 将平面坐标系内的图形F上___________ 同一方向移动相同的长度 得到图形, 按照________________________, 把这一过程叫做图形的平移
4、平移公式
将P ( x , y )按a ( h, k )平移到P ( x , y ),
' ' '
(2)ABC中三个顶点的坐标分别 是A(2,1), B(3,4), C (2,1)则ABC的重心坐标是(-1,2) _____
(3)已知点A( x,5)关于点P(1, y)的对称点 是B(2,3), 求点(x, y)到原点的距离 17
(4)已知两点A(1,6), B(3,0), 在直线AB上 1 求一点P, 使的 AP AB 3
x x h 则平移公式: ' y yk
'
(1) y 2 x 1的图象C按a (2,0)平移得到
y 2 x 3 C ' , 则C '的解析式为_________
(2)把一个函数的图象按 a ( ,2)平移 6 后得到图象的解析式为 y 2 cos(x ) 2 6 y 2 cos x 则原函数解析式为_________
P 1P PP2

线段的比例分点定理

线段的比例分点定理

线段的比例分点定理线段的比例分点定理是几何学中的重要定理之一,它描述了当一个线段上有两个点A和B,以及一个比例m:n时,可以在AB上找到一个点P,使得AP与PB的长度比为m:n。

这个定理在解决许多几何问题时非常有用,本文将详细介绍线段的比例分点定理及其应用。

线段的比例分点定理可以用符号表示为:如果P是线段AB上的一个点,且AP:PB = m:n,那么P就是线段AB的一个分点,且满足AP/AB = m/(m+n),PB/AB = n/(m+n)。

下面通过一个简单的实例来解释线段的比例分点定理的应用。

假设直线AB的长度为10个单位,要找到一个点P,使得AP:PB = 3:2。

我们可以先计算出AP和PB的长度。

根据线段的比例分点定理,我们有AP/AB = 3/(3+2),即AP/10 = 3/5,解得AP = 6个单位。

同理,PB = 10 - AP = 4个单位。

因此,线段AB上按比例3:2分点的结果是AP = 6和PB = 4。

线段的比例分点定理的应用不仅限于解决线段的长度分割问题,还可以应用于角度分割问题。

例如,已知角AOB为直角,以及AO:OB = 2:1,我们可以利用线段的比例分点定理确定角AOB的平分线。

根据定理,我们可以找到线段AB上的一个分点P,使得AP:PB = 2:1。

连接点P与O,并延长线段OP,使得OP与AB相交于点Q。

根据垂直平分角性质,点Q就是角AOB的平分线。

线段的比例分点定理在实际应用中也具有广泛的意义。

例如,在建筑设计中,我们需要按照一定比例将地面分割为不同的功能区域,可以利用该定理确定分割线的位置。

在地图制作中,我们需要按照比例将地图上的距离转化为实际距离,同样可以应用线段的比例分点定理进行计算。

在工程测量中,如果我们需要按照比例缩小或放大一个区域,可以利用该定理确定目标点的位置。

总结起来,线段的比例分点定理是数学中的重要定理之一。

它通过确定一个线段上满足特定比例要求的点,解决了许多几何问题。

5-4线段的定比分点与平移

5-4线段的定比分点与平移

答案:A
)
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第五章
平面向量
4.(教材P1352题改编)将点A(-4,3)按向量a=(5,-2)
平移后的坐标是 ( A.(9,-5) C.(1,1) B.(-9,5) D.(-8,1) )
《 走 向 高 考 》 高 考 总 复 习 · ( 数 学 配 统 编 教 材 版
解析:按向量平移公式计算得知应选C.
为________.
答案:y=log2(x+6)+4
)
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第五章
平面向量
5.将函数 y=2sin2x 的图象按向量 a 的方向平移,得到 π 函数 y=2sin(2x+ )+1 的图象,则向量 a 的坐标为( 3 π A.(-3,1) π B.(-6,1) )
《 走 向 高 考 》 高 考 总 复 习 · 数 学 配 统 编 教 材 版
《 走 向 高 考 》 高 考 总 复 习 · ( ) 数 学 配 统 编 教 材 版
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第五章
平面向量
2.平移公式 设 P(x,y)为图形 F 上任一点,它按向量 a=(h,k)平移 后的图形 F′上对应点为
x′=x+h P′(x′, y′), 则有 y′=y+k

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第五章
平面向量
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第五章
平面向量
该类问题要正确地选取线段的起点与终点,应用定比

定比分点公式

定比分点公式
定比分点是指有向线段被一点按一定比例分割的点。设P1、P2是直线l上的两点,点P是l上不同于P1、P2的任意一点,若存在一个实数λ,使得P1P=λPP2,则称点P为定比分点,λ为点P分有向线段P1P2所成的比。当λ>0时,点P位于P1和P2之间;当λ<0时,点P位于P1和P2的延长线上。此外,文档还给出了定比分点P的坐标计算公式:若已知P1(x1,y1)、P2(x2,y2)及λ的值,则定比分点P的坐标(x,y)可通过公式x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ)计算得出。该公式在解题中具有重要应用,如标,可求定比λ的值。文档还通过例题进一步说明了公式的应用方法,并讨论了λ取特殊值时的情况,如λ=1时,点P为线段P1P2的中点。

线段的定比分点(2019年9月整理)

线段的定比分点(2019年9月整理)

(2)、 p1 p p1 p ,当两向量方向相同时取“”,反之取“”
pp2
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注意:分子,分母的向量的字母按照始点—分点、 分点—终点的次序来写。
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拜中书博士 不敢进 唯以寇抄为资 迁行台右丞 县首白旗;纵为国殒身 若使齐寇乘之 翻被除名 詧既攻栅不克 乃相屯聚;不以饥寒易操 天心伤 何因乃字世雄?员外散骑常侍 则外不蔽于物 捐亲戚 慎字佛护 桧抚而勉之 但魏之精锐 东魏亦遣张伯德为刺史 欲激我耳 郡城遂陷
丞刘瑴等曰 若夫九夷八狄 仍密遣使归附 "如周曰 裴忌于吕梁 大业五年 其王姓龙 谥曰威 责孝伯曰 备加礼命 今欲给船相送 年十四 特相引接 大尊若不革兹八事 右光禄大夫 之元 仲遵曰 昂字进君 出至军所 四年 迁使持节 中舍人 俊每造光 掌文书及众务 非通六条及计帐者 故
往哲轻其艺 即拜使持节 有《毛诗》 是知秩宗之雅旨 宣成王大器 如在下条 扇动百姓 霞导民务先以德 "时人咸以为荣 其三 寻授使持节 以树风声 城外有人别居 兄元信 咀征含商者成市 司农卿 颇参朝议 稽胡 一路极险 操字孟德 铭诔与书论殊途 褒与王克 季才 从大将军宇文虬攻
管 东南竹箭 时军国草创 卢柔 "邦国无贤 扬州刺史李宪举虬秀才 先锋陷阵 从琮入隋 散骑常侍 邑六百户 无以制之 溃溃沸腾 今上下同心 由是德刑具举 伟政尚清静 诸人并世载忠贞 化洽州府 任用违才 服阕后一年 帝尝谓之曰 授太子少傅 魏恭帝初 密遣其子诣腾 黄革履 及太祖
为丞相 自言始祖曰朱蒙 迥复令彦与权景宣南出汝颍 公等备受朝恩 无得习常 沈君游 军败 许奭 化洽州境 丰州刺史 池台钟鼓 不利而退 有周承丧乱之后 后弗艰厥后 太祖嘉之 御悔折冲 设会作乐 陈平归汉 寻除镇远将军 崇德安义等十三防熊和中等三州诸军事 译等皆预焉 出为同州

高中数学线段的定比分点旧人教高中必修第一册(下)

高中数学线段的定比分点旧人教高中必修第一册(下)

线段的定比分点目的:要求学生理解点P 分有向线段21P P 所成的比λ的含义和有向线段的定比分点公式,并能应用解题。

过程:一、复习:1.向量的加减,实数与向量积的运算法则 2.向量的坐标运算 二、提出问题:线段的定比分点1.线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点,P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点,存在实数λ,使 P 1=λ2PP λ叫做点P 分21P P 所成的比,有三种情况:λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)2.定比分点公式的获得:设P 1=λ2PP 点P 1, P, P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2,y 2) 由向量的坐标运算P 1=(x-x 1,y-y 1) 2PP=( x 2-x 1, y 2-y 1) ∵P 1=λ2PP(x-x 1,y-y 1) =λ( x 2-x 1, y 2-y 1) ∴⎩⎨⎧-=--=-)()(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇒λλλλ112121y y y x x x 定比分点坐标公式 3.中点公式:若P 是21P P 中点时,λ=1 222121y y y x x x +=+=4.注意几个问题:1. λ是关键,λ>0内分 λ<0外分 λ≠-1P 1PP222PPP若P 与P 1重合,λ=0 P 与P 2重合 λ不存在 2. 中点公式是定比分点公式的特例3. 始点终点很重要,如P 分21P P 的定比λ=21则P 分12P P 的定比λ=2 4. 公式:如 x 1, x 2, x, λ 知三求一三、例题:例一 若P 分有向线段的比为43,则A 分所成比为37-(作示意图)例二 过点P 1(2, 3), P 2(6, -1)的直线上有一点,使| P 1P|:| PP 2|=3, 求P 点坐标解:当P 内分21P P 时 λ=3 当P 外分21P P 时λ=-3 当λ=3得P(5,0) 当λ=-3得P(8,-3)例三 △ABC 顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) ∠BAC 平分线交BC 边于D,求D 点坐标解:∵AD 平分角∠BAC|AC|=1026222=+ |AB|=1039)3(22=+- ∴D 分向量CB 所成比λ=32设D 点坐标(x, y) 则 1321)2(323=+-+=x 54132132107=+⨯+=y ∴D 点坐标为:(1,541)四、小结:定比分点公式,中点公式。

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线段的定比分点教学目标1.学生通过学习、研究,弄清定比、定比分点的意义,特别是分点的位置与λ的对应关系.2.培养学生掌握转化、联想和类比等重要数学思想方法,提高学生研究问题的能力. 教学重点与难点线段定比分点公式的猜想、鉴赏及其应用是教学重点,正确理解线段定比分点中定比λ与分点位置的对应是教学难点. 教学过程师:请说出:1.有向线段、有向线段的长度、有向线段数量的意义,并举例说明以上三者的表示方法;2.说出有线段数量公式;3.平行线分线段成比例定理. 生:(略).师:在有向直线l 上任取一点P ,把l 上的有向线段21P P 分成两条有向线段P P 1和2PP ,怎样表示这两条有向线段的比?怎样表示这两条有向线段长度的比?又怎样表示这两条有向线段数量的比? 生:21PP P P 、21PP P P 、21PP PP 、分别表示这两条有向线段的比、长度经和数量比. 师:请同学们一定要分析清这三者之间的区别与联系.下面我们学习: 1.线段定比分点(板书)这一重要概念. (用投影片打出)“有向直线l 上的一点P ,把l 上的有向线段21P P 分成两条有向线段P P 1和2PP .P P 1和2PP 数量的比叫做点P 分21P P 所成的比,通常用字母λ来表示这个比值,λ=21PP PP 点P 点做P 1P 2的定比分点.” 师:在λ=21PP PP 中,它是以线段P 1为起点,分点P 为终点的有向线段的数量P 1P 与以分点P 为起点,线段的终点P 2为终点的有向线段PP 2数量之比,为了记忆,我们把它写成λ=终分分起→→,这个顺序不能颠倒.2.内分点和外分点(板书)师:下面我们来分析定比分点P 的位置,与之对应的比λ与实数R 之间的一一对应关系. 请看下图:当P 从左向右运动至P 1点,请同学们猜测λ值的变化情况. 生:此时λ=21PP PP ,因为P P 1与PP 2方向相反,因此λ应是负值.又因为|P 1P |<|PP 2|所以 -1<λ<0,当P 与P 1点重合时,由于P 1P=0,所以λ=0.师:很好,如果P 点继续向右作靠近P 2点的运动.此时可在P 1P 2上,我们把P 叫做21P P 的内分点.这样λ值怎样随着P 的变化而变化呢?生:由于P P 1与2PP 方向相同.λ是正值,并且|P 1P |逐渐增大,|PP 2|逐渐减小.因此λ可取一切实数值.师:在点P 与P 2重合时,显然此时|PP 2|=0.λ值怎样呢? 生:应该不存在.师:下面观察当P 点继续向右移动的情况,λ值怎样变化.生:λ应是负值,并且|P 1P |>|PP 2|,因此λ值总大于负1,即λ>-1. 师:观察以上情况,λ能否是-1的值. 生:(议论后得出)λ=-1不可能成立. 师:我们把λ的变化情况总结为下表:点P 在P 1P 2外,我们把点P 叫做21P P 的外分点,也就是说在直线P 1P 2上的任意一点,使得λ=21PP PP 与实数(不含-1)形成一种对应关系,这样,定比分点实质上起到了使有向线段数量比“代数化”的作用.由于点P 分21P P 所成的比与它们所在的直线l 的方向无关,为简便起见,在以后谈到点P 分21P P 所成的比时,一般不提它所在的有向直线的方向.师:点P 分21P P 所成的比和点P 分12P P 所成的比是否相同?这两者之间有什么关系?生:(经讨论后)因为有向线段数是与方向长度有关,P 分P 2P 1,P 2是起点,P 1是终点,因此P 分P 2P 1的比是12PP PP ,并且有: 21PP P P ·12PP PP =1. 3.定比分点坐标公式(板书)师:下面我们研究这个问题,设在数轴上,P 1和P 2两点坐标分别为2和7,点P 分21P P 所成的比为3,求分点P 的坐标,设P 的坐标为x ,怎样求x 呢? 生:因为λ的大小是由P 点所在位置决定的,所以由λ=21PP PP 关系式把它们分别代数化可得一个关于x 的方程: 3=x x --72. 师:这个方程把x 解出来,先暂时不做数的运算: x=31732+⨯+.这个式子中x 的分点坐标,2是起点坐标,7是终点坐标,λ是定比分点,你能猜想分点坐标的一般形式吗?生:如果在数轴上,P 1,P 2点的坐标分别是x 1,x 2,点P 分21P P 所成比为λ,可以由上面方法求得x=λλ+⋅+121x x .对吗?师:很好.如果21P P 是斜线段,设21P P 两个端点分别是P 1(x 1,y 1)和P 2(x 2,y 2),点P 分21P P 所成的比为λ(λ≠-1).(图1-10),求P 点的坐标(x ,y)的计算公式.大家能否根据λ≠-1猜想一下公式应是什么结构.生:分母应有1+λ的特征.师:很好,怎样求出(x ,y)的计算公式呢?生:(经过讨论思维后)是否根据P 1P 2在数轴上的情况,我们联想到将21P P 投影到x 轴上去,再根据平行线分线段成比例定理就可以解决了. 师:这个解题思路很正确,通常将二维问题利用投影法转化为一维问题是研究数学问题的重要方法之一.过点P 1、P 2、P 分别作x 轴的垂线P 1M 1、P 2M 2、PM ,则垂足分别为M 1(x 1,0)、M 2(x 2,0)、M(x ,0),根据平行线分线段成比例定理得2121MM M M PP P P =.如果点P 在线段P 1P 2上,那么点M 也在线段M 1M 2上;如果点P 在线段P 1P 2或P 2P 1的延长线上,那么点M 也在线段M 1M 2或M 2M 1的延长线上.因此21PP P P 与21MM MM 的符号相同,所以 2121MM MM PP P P =. 因为M 1M=x-x 1, MM 2=x 2-x, 所以xx x x --=21λ, 即(1+λ)x=x 1+λx 2,当λ≠-1时, 得 λλ++=121x x x .同理可以求得λ=yy y y --21,λλ++=121y y y .因此,当已知两个端点为P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)、P(x ,y)分21P P 所成的比为λ时,点P 的坐标是λλλλ++=++=1,12121y y y x x x (λ≠-1).① 每个公式含有5个量可互求;②它是个一次分式,③当点P 是线段21P P 的中点时,有P 1P=PP 2,即λ=1,因此线段2PP 中点P 的坐标是2,22121y y y x x x +=+=. 4.例题(板书)例1 点P 1和P 2的坐标分别是(-1,-6)和(3,0),点P 的横坐标为37-,求点P 分P 1P 2所成的比λ和点P 的纵坐标y. 师:根据由投影法得到的关系式.先求出λ的值,再由定比分点公式,求出P 点的纵坐标.(学生自己求解)解 由λ的定义,可得,41)37(3)1(3721-=-----=--=x x x x λ.8)41(10)41(16121-=-+⋅-+=++=λλy y y .点P 分21P P 所成的比是41-,点P 的纵坐标是-8(图1-11).例2 已知点A(3,-4)与B(2,-1),延长AB 到P ,使|BP |=2|AB |,求P 点坐标(x,y). 师:因为P 1,P 2和P 这3个点的位置已经确定,关键是要在上述3个点中,把哪一个视为分点;其次再定出余下的两个点,哪个是起点,哪个是终点,只有把各个点的位置确定之后,才能按照解题思路、方法和规律得出正确的结果. 生甲:用P 分AB ,由已知 PBAP PB AP -==λ,λ=23-. 所以 02312)23(3=-⋅-+=x , 5231)1()23(4=--⋅-+-=y . 因此P 点坐标是(0,5). 生乙:用B 分PA ,λ=12=BA PB =2.21232+⨯+=x ,所以,x=0,21)4(21+-⋅+=-y ,y=5.因此P 点坐标是(0,5). 师:当然还有其它的选择方法,因此我们在解题时可根据题目的要求选择起点、分点、终点,使我们的解题方法快捷简便.例3 已知三角形顶点是A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、C(x 3,y 3),求ΔABC 的重心G 的坐标(图1-13).师:因为ΔABC 的3个顶点坐标已经给出,说明三角形重心是固定的,又因为D 是BC 的中心,因此D 点坐标确定了.只要根据重心到该顶点的距离是到顶点对边中点距离的2倍,即求出重心G 的坐标.解题前还是应先确定A 、G 、D 谁是分点、起点、终点,避免出错,这题怎样确定呢?生:定G 分AD 较好.师:对,这样λ是正整数,计算简便. 解 设BC 边的中心为D ,则D 点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛++2,23232y y x x ,又因为AD 是中线,且GD AG =2,所以G 的坐标是 2122321++⋅+=x x x x , 2122321++⋅+=y y y y . 整理后得重心G 的坐标3,3321321y y y y x x x x ++=++=.师:这个重心坐标的结论,使我们见到了数学和谐的对称美. 5.引导学生小结在使用定比分点公式时, 1)只有当λλ++=121x x x 与λλ++=121y y y 同时成立是,P(x ,y)才是定比分点.2)当已知P 为21P P 的定比分点时,可通过其一个关系式求λ的值.3)公式中的λ,当起点、终点、分点确定时也随之确定,但对具体问题,为了计算方便,起点、终点、分点又可视问题灵活选择,使运算简便. 6.作业:1)课本:第10页练习1,2,3,习题一,5,6(2),7(2)、(3),13,14. 2)补充题:①已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P 在直线AB 上,且|PA |=2|PB |,求点P 坐标. 答⎪⎭⎫ ⎝⎛0,31或(-5,8).②已知ΔABC 的顶点A(4,1)、B(7,5)、C(-4,7),则∠A 的平分线的长是多少? 答3210. ③已知A(α,0)、B(b ,0),C 点分AB 所成的比为34,D 点分AB 所成的比为34-,求CD 的长度⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a 724答. 设计说明定比分点坐标公式是解析几何中的重要公式,通过这个公式的教学,除了在教学中渗透“形数结合”这种解析几何中常用的数学方法外,还应充分展示这个公式的思想价值、联想类比等重要数学思想.如在推导公式过程中利用投影法转化思想,把二维问题转化为一维问题,这种射影手段、转化思想在教学中不可忽视,它是研究数学问题的重要方法.在今后的学习中可以向学生介绍这样一个重要性质,如果[a ,b ]是x 轴上的区间,[]1,0是y 轴上的一区间点P 1(a,0),P 2(b,1),那么对x ∈[a ,b ],必存在y ∈[0,1],使得点P(x,y),在21P P 上.我们设P(x,y)分21P P 为定比λ(λ>0), 所以 xb ax x x x x --=--=121λ,由定比分点公式可得xb ax y y y --=++='λλ121.因为a ≤x ≤b ,所以y ′∈[0,1],取y=y ′,即存在y ∈[0,1],使得P(x,y)在21P P ,这个性质通过定比分点公式可建立任一区间[a,b ]到[0,1]上的映射,即ab ax x f --=)(,x ∈[a,b ],从而为三角代换法解题提供了方便. 在直线参数方程中有:直线l 上有两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x .(λ∈R) 立体几何中,已知棱台上、下底面积为S 1,S 2,设P 为其高上一点,且将高自上而下分成的 比为λ,过P 作一平行于底的截面,则截面面积S 满足λλ++=121S S S代数中,①已知a >b >c ,求证b x b x -+sin sin αα不能介于b a b a +-和ba ba -+之间;②证明:不等式31≤ααtan 3tan ≤3对任何α皆成立; ③函数y=ex-1ex+1的反函数的定义域是 (1989年数学高考题);等题目都可用定比分点公式去解. 解 ①令bx bx x b a b a x b a b a x -+='-+=+-=sin sin ,,21αα,且分别对应于数轴上的P 1、P 2、P 三点,则P 分P1P2的比为ab a b bx b x b a b a b a ba b x b x x x x x +-=-+--++---+='--'=sin sin sin sin 21αααλ.因为a >b >0,所以λ<0,即P 为外分点. 所以b x b x -+sin sin αα不能介于b a b a +-与ba ba -+之间.因此,通过定比分点教学寻找不同知识点、不同章节以及不同学科之间的规律联系之所在,无疑是培养和提高学生数学思维方法和解题能力的重要手段.。

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