高中数学(必修5)知识结构框图

高中数学（必修5） 知识结构框图
第一章 解三角形
1
sin 221sin S ab ca =
=
第二章数列
第三章不等式
¤知识要点： 结 构 特 征
图例
棱柱 （1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形；
（2）侧棱平行且相等. 圆
柱
（1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴； （3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.
棱锥 （1）底面是多边形，各侧面均是三角形；
（2）各侧面有一个公共
顶点.
圆锥 （1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何
体.
棱台 （1）两底面相互平行；
（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分. 圆
台
（1）两底面相互平行；
（2）是用一个平行于圆锥底面的平面
去截圆锥，底面和截面之间的部分.
球
（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.
¤例题精讲：【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个 选D.
【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为,r R ，求球的半径.
解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R +r ，梯形的高即球的直径为
22()()2r R R r rR +--=
rR .
第4讲 §1.2.3 空间几何体的直观图
¤知识要点：“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下：（1） 建系：在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，得到直角坐标系xoy ，直观图中画成斜坐标系'''x o y ，两轴夹角为45︒.(2）平行不变：已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ’或y ’轴的线段.（3）长度规则：已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半.
第5讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积
¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积进¤知识要点：
表面积相关公式
表面积相关公式 棱柱 2S S S S l c =+=侧全底侧侧棱长直截面周长
，其中 圆柱 222S r rh ππ=+全 （r ：底面半径，h ：高）
棱锥 S S S =+侧全底 圆锥 2S r rl ππ=+全 （r ：底面半径，l ：母线长）
棱台
S S S S =++侧全上底下底
圆台
22('')S r r r l rl π=+++全
（r ：下底半径，r ’：上底半径，l ：母线长）
¤知识要点：1. 体积公式：
体积公式
体积公式
棱柱
V S h =底高
圆柱
2V r h π=
棱锥 1
3V S h =底高
圆锥 21
3
V r h π=
棱台
1
('')3
V S S S S h =++
圆台
221
('')3
V r r r r h π=++
2. 柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系：
13V S h =锥 '0S =←−−
− 1('')3
V S S S S h =++台 'S S
=−−−→ V S h =柱. 第7讲 §1.3.2球的体积和表面积
¤知识要点：1. 表面积：2
4S R π=球面 （R ：球的半径）. 2. 体积：343
V R π=
球面. 第8讲 §2.1.1 平面
¤知识要点：
1. 点A 在直线上,记作A a ∈；点A 在平面α内,记作A α∈；直线a 在平面α内,记作a α⊂.
公理1 公理2 公理3
图形语言
文字
语言
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有
且只有一个平面.
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号
语言 ,,A l B l l A B ααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭
,,,,A B C A B C α⇒不共线确定平面 ,l
P P P l
αβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 第9讲 §2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
¤知识要点：
1.空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎪⎨
⎨⎩⎪
⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
2. 已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）. ,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90]︒，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b ⊥. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.
第19讲 §3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
¤知识要点：1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：
（1）12
//l l 12k k =；（2）12l l ⊥121k k ⋅=-.
2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；….
第20讲 §3.2.1 直线的点斜式方程
¤知识要点：
1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.
2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.
3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0
x x =
.
4. 注意：
y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.
第21讲 §3.2.2 直线的两点式方程
¤知识要点：
1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为
11
2121
y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x y
a b
+=.
3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.
4. 线段12
P P 中点坐标公式1212
(,)22
x x y y ++. 第22讲 §3.2.3 直线的一般式方程
¤知识要点：
1. 一般式：0Ax By C ++=，
注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A C
y x B B
=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.
2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=；与直线
0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.
经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=； 经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.
3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）
，则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠. 如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔
=≠
；1l 与2l 重合111222
A B C
A B C ⇔==；1l 与2l 相交11
22
A B A B ⇔
≠. 第23讲 §3.3.1 两条直线的交点坐标
¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组111222
0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若
方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，
此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合. 2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.
第24讲 §3.3.2 两点间的距离
两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：
.
特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||
||PP x x =-；当12,P
P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12,P
P 在直线y kx b =+上时，1212|||P P x x =-.
2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.
第25讲 §3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离
¤知识要点：1. 点
00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =.
2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，
22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线
11:0l Ax By C ++=的距离为d ==
第26讲 第4章 §4.1.1 圆的标准方程
¤知识要点：1. 圆的标准方程：方程222()()(0)x a y b r r -+-=>表示圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆.
2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；
（2）待定系数法：先根据条件列出关于a 、b 、r 的方程组，然后解出a 、b 、r ，再代入标准方程.
第27讲 §4.1.2 圆的一般方程
¤知识要点：1. 圆的一般方程：方程220x y Dx Ey F ++++= （2240D E F +->）表示圆心
是(,)22D E --的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M 的坐标(,)x y 满足
的关系式.
第28讲 §4.2.1 直线与圆的位置关系
¤知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x 或（y ），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别； 方法二：利用圆心（,a b ）到直线0Ax By C ++=的距离
d =
，比较d 与r 的大
小.
（1）相交d r ⇔<⇔ 0∆>；（2）相切d r ⇔=⇔0∆=；（3）相离d r ⇔>⇔0∆<. 2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式
d =
第29讲 §4.2.2 圆与圆的位置关系
¤知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则： （1）两圆相交121212||||r r O O r r ⇔-<<+；（2）两圆外切1212||O O r r ⇔=+；（3）两圆内切1212||||O O r r ⇔=-；
第30讲 §4.2.3 直线与圆的方程的应用
¤知识要点：坐标法：建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。