高中数学(必修5)知识结构框图

高中数学（必修5） 知识结构框图

第一章 解三角形

1

sin 221sin S ab ca =

=

第二章数列

第三章不等式

¤知识要点： 结 构 特 征

图例

棱柱 （1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形；

（2）侧棱平行且相等. 圆

柱

（1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴； （3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.

棱锥 （1）底面是多边形，各侧面均是三角形；

（2）各侧面有一个公共

顶点.

圆锥 （1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何

体.

棱台 （1）两底面相互平行；

（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分. 圆

台

（1）两底面相互平行；

（2）是用一个平行于圆锥底面的平面

去截圆锥，底面和截面之间的部分.

球

（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.

¤例题精讲：【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）.

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个 选D.

【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为,r R ，求球的半径.

解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R +r ，梯形的高即球的直径为

22()()2r R R r rR +--=

rR .

第4讲 §1.2.3 空间几何体的直观图

¤知识要点：“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下：（1） 建系：在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，得到直角坐标系xoy ，直观图中画成斜坐标系'''x o y ，两轴夹角为45︒.(2）平行不变：已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ’或y ’轴的线段.（3）长度规则：已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半.

第5讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积

¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积进¤知识要点：

表面积相关公式

表面积相关公式 棱柱 2S S S S l c =+=侧全底侧侧棱长直截面周长

，其中 圆柱 222S r rh ππ=+全 （r ：底面半径，h ：高）

棱锥 S S S =+侧全底 圆锥 2S r rl ππ=+全 （r ：底面半径，l ：母线长）

棱台

S S S S =++侧全上底下底

圆台

22('')S r r r l rl π=+++全

（r ：下底半径，r ’：上底半径，l ：母线长）

¤知识要点：1. 体积公式：

体积公式

体积公式

棱柱

V S h =底高

圆柱

2V r h π=

棱锥 1

3V S h =底高

圆锥 21

3

V r h π=

棱台

1

('')3

V S S S S h =++

圆台

221

('')3

V r r r r h π=++

2. 柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系：

13V S h =锥 '0S =←−−

− 1('')3

V S S S S h =++台 'S S

=−−−→ V S h =柱. 第7讲 §1.3.2球的体积和表面积

¤知识要点：1. 表面积：2

4S R π=球面 （R ：球的半径）. 2. 体积：343

V R π=

球面. 第8讲 §2.1.1 平面

¤知识要点：

1. 点A 在直线上,记作A a ∈；点A 在平面α内,记作A α∈；直线a 在平面α内,记作a α⊂.

公理1 公理2 公理3

图形语言

文字

语言

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有

且只有一个平面.

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

符号

语言 ,,A l B l l A B ααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭

,,,,A B C A B C α⇒不共线确定平面 ,l

P P P l

αβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩

推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 第9讲 §2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

¤知识要点：

1.空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎪⎨

⎨⎩⎪

⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

2. 已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）. ,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90]︒，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b ⊥. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.

第19讲 §3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

¤知识要点：1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：

（1）12

//l l 12k k =；（2）12l l ⊥121k k ⋅=-.

2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；….

第20讲 §3.2.1 直线的点斜式方程

¤知识要点：

1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.

2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.

3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0

x x =